Εισαγωγή στις στοχαστικές διαδικασίες

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή στις στοχαστικές διαδικασίες"

Transcript

1 Κεφάλαιο 2 Εισαγωγή στις στοχαστικές διαδικασίες 2.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό κάνουμε μια συνοπτική αναφορά στη θεωρία πιθανοτήτων και στις στοχαστικές διαδικασίες. Το μαθηματικό υπόβαθρο αυτό σχετίζεται άμεσα με τη θεματολογία του βιβλίου και παρατίθεται εδώ για λόγους πληρότητας και αναφοράς. Ο αναγνώστης ο οποίος είναι εξοικειωμένος με τις έννοιες αυτές μπορεί κάλλιστα να συνεχίσει με τη μελέτη του επόμενου κεφαλαίου. 2.2 Βασική θεωρία πιθανοτήτων Σε μεγάλο μέρος του παρόντος βιβλίου ασχολούμαστε με πιθανοτικά μοντέλα. Τα χρησιμοποιούμε για να περιγράφουμε το θόρυβο, τα λάθη και και τις λοιπές ανακρίβειες στα προβλήματα επεξεργασίας σημάτων τα οποία μελετάμε. Έτσι, στην ενότητα αυτή κάνουμε μια σύντομη αναφορά στους βασικότερους συμβολισμούς, την ορολογία και τις κυριότερες έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να ανατρέξει στα [Fel68], [ΚΜ99], [BT02] και [PP02] για μια πιο ολοκληρωμένη αναφορά στη θεωρία πιθανοτήτων Αξιωματικός ορισμός της πιθανότητας Ένα πείραμα τύχης είναι ένα πείραμα του οποίου το αποτέλεσμα δεν μπορούμε να γνωρίζουμε εκ των προτέρων. Το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης καλείται δειγματοχώρος του πειράματος και συμβολίζεται με Ω. Για παράδειγμα, ο δειγματοχώρος που αντιστοιχεί στο πείραμα τύχης για το ρίξιμο ενός νομίσματος είναι Ω = { Κεφάλι, Γράμματα }, ενώ για το ρίξιμο ενός ζαριού ο δειγματοχώρος είναι Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ένας δειγματοχώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων καλείται πεπερασμένος. Ένας δειγματοχώρος με άπειρο πλήθος στοιχείων, για τον οποίο όμως υπάρχει μια ένα προς ένα αντιστοιχία των στοιχείων του με τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3,... καλείται αριθμήσιμα άπειρος. Αντίθετα, ένας δειγματοχώρος με άπειρα στοιχεία όπου υπάρχει μια ένα προς ένα αντιστοιχία των στοιχείων του στα σημεία ενός διαστήματος πραγματικών αριθμών (a, b) καλείται μη αριθμήσιμα άπειρος ή συνεχής. Ένας 9

2 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ δειγματοχώρος που είναι είτε πεπερασμένος είτε αριθμήσιμα άπειρος καλείται διακριτός. Η συλλογή όλων των υποσυνόλων του Ω, συμβολίζεται με A και κάθε στοιχείο του α A ονομάζεται γεγονός ή ενδεχόμενο. Εκτός από το δειγματοχώρο Ω και το σύνολο A, για να ορίσουμε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, A, Pr) πρέπει να ορίσουμε και ένα μέτρο πιθανότητας Pr το οποίο αντιστοιχεί κάθε ενδεχόμενο σε έναν πραγματικό αριθμό και θα πρέπει να πληροί τα ακόλουθα αξιώματα: α A, 0 Pr{α} 1 Pr{Ω} = 1 Αν τα ενδεχόμενα α και β είναι αμοιβαία αποκλειόμενα ή ξένα, δηλαδή α β =, τότε Pr{α β} = Pr{α} + Pr{β}. Χρησιμοποιώντας τα αξιώματα αυτά, μπορούμε να αποδείξουμε τα ακόλουθα χρήσιμα θεωρήματα: 1. Pr{ } = 0 2. Pr{ᾱ} = 1 Pr{α}, όπου ᾱ το συμπληρωματικό ενδεχόμενο του α 3. α 1 α 2 Pr{α 1 } Pr{α 2 } 4. Pr{α β} = Pr{α} + Pr{β} Pr{α β} 5. Pr{ N n=1 α n} N n=1 Pr{α n} Δεσμευμένη πιθανότητα και ανεξαρτησία Η δεσμευμένη ή υπό συνθήκη πιθανότητα πραγματοποίησης ενός γεγονότος α, με δεδομένη την πραγματοποίηση ενός άλλου γεγονότος β, συμβολίζεται με Pr{α β} και δίνεται από τη σχέση Pr{α β} = Pr{α β} Pr{β} (2.1) με την προϋπόθεση πως Pr{β} = 0. Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε το πείραμα τύχης με το ρίξιμο ενός ζαριού και τα ενδεχόμενα α = {1, 2, 3} και β = {1, 2}, τότε εύκολα βρίσκουμε πως η πιθανότητα πραγματοποίησης του α είναι Pr{α} = 1/2. Στην περίπτωση ωστόσο που γνωρίζουμε πως το β έχει πραγματοποιηθεί, έχουμε Pr{α β} = Pr{α β} Pr{β} = Pr{{1, 2}} Pr{{1, 2}} = 1 (2.2) το οποίο δείχνει πως η γνώση μας για την πραγματοποίηση του β μας δίνει πολύ σημαντική πληροφορία για το α. Δυο γεγονότα α και β ονομάζονται ανεξάρτητα αν ισχύει ότι Pr{α β} = Pr{α}. Με άλλα λόγια, η γνώση μας για την πραγματοποίηση του β δεν μας δίνει καμιά επιπλέον πληροφορία για την πραγματοποίηση ή μη του α. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε πως εκτελούμε ένα πείραμα τύχης στο οποίο ρίχνουμε δύο ζάρια και ας ορίσουμε τα ενδεχόμενα α το πρώτο ζάρι φέρνει 1 και β το δεύτερο ζάρι

3 2.2. ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 11 φέρνει 1. Αν συμβολίσουμε το αποτέλεσμα αυτού του πειράματος τύχης με ένα ζεύγος (x, y) για τα αποτελέσματα κάθε ζαριού, τότε είναι α = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)} και β = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1)}. Στην περίπτωση αυτή έχουμε Pr{α} = 1/6 και Pr{α β} = Pr{α β} Pr{β} = Pr{{(1, 1)}} 1/6 = 1/36 1/6 = 1 6 το οποίο επιβεβαιώνει τη διαίσθησή μας πως αφού το ένα ζάρι δεν επηρεάζει το άλλο τα ενδεχόμενα που εξετάσαμε είναι ανεξάρτητα. Μια πολύ χρήσιμη σχέση η οποία εμπλέκει τις δεσμευμένες πιθανότητες Pr{α β} και Pr{β α}, προκύπτει εύκολα από τη Σχέση (2.1) και είναι γνωστή ως κανόνας του Bayes: Pr{β α} = Pr{β} Pr{α β} (2.3) Pr{α} Όπως θα δούμε στη συνέχεια, η σχέση αυτή παίζει σημαντικό ρόλο σε πολλά προβλήματα εκτίμησης σημάτων τα οποία θα δούμε στα επόμενα Τυχαίες μεταβλητές Κατά τη μελέτη εφαρμογών, σπάνια ορίζουμε ρητά τον χώρο πιθανότητας που περιγράφει το πείραμα τύχης που μελετάμε. Αντίθετα, εργαζόμαστε ορίζοντας τυχαίες μεταβλητές οι οποίες αποτελούν απεικονίσεις από το δειγματοχώρο Ω σε άλλους χώρους όπως το σύνολο των πραγματικών αριθμών R. Μια τυχαία μεταβλητή είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το δειγματοχώρο Ω ενός πειράματος τύχης, η οποία αντιστοιχίζει κάθε σημείο του δειγματοχώρου σε ένα σημείο ενός χώρου όπως ο R N. Για παράδειγμα, μια τυχαία μεταβλητή που λαμβάνει πραγματικές τιμές είναι μια απεικόνιση X : Ω R, δηλαδή για κάθε ω Ω έχουμε μια τιμή X (ω) R. Μέσω μιας τυχαίας μεταβλητής μπορούμε να ορίζουμε και ενδεχόμενα, για παράδειγμα με την έκφραση {X 0} εννοούμε το γεγονός που ορίζεται ως η ένωση όλων των ω Ω για τα οποία X (ω) 0, δηλαδή {X 0} = {ω : X (ω) 0}. (2.4) Με τον τρόπο αυτό, μπορούμε να αντιστοιχούμε και πιθανότητες σε γεγονότα τα οποία ορίζονται μέσω τυχαίων μεταβλητών, για παράδειγμα Pr{{X 0}} = Pr{{ω : X (ω) 0}}. (2.5) Γενικότερα, για οποιοδήποτε σύνολο A R και μια τυχαία μεταβλητή που λαμβάνει πραγματικές τιμές μπορούμε να ορίσουμε το ενδεχόμενο {X A} και την αντίστοιχη πιθανότητα Pr{X A}. Μια τυχαία μεταβλητή λέγεται διακριτή όταν λαμβάνει τιμές από ένα πεπερασμένο ή αριθμήσιμα άπειρο σύνολο τιμών. Αντίθετα, μια τυχαία μεταβλητή ονομάζεται συνεχής όταν το πλήθος των τιμών της είναι μη αριθμήσιμα άπειρο.

4 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ Συνάρτηση κατανομής και πυκνότητα πιθανότητας Για τις βαθμωτές τυχαίες μεταβλητές που λαμβάνουν πραγματικές τιμές συνηθίζουμε να ορίζουμε τις πιθανότητες Pr{X x} συναρτήσει του x. Η συνάρτηση που ορίζεται με αυτόν τον τρόπο ονομάζεται αθροιστική συνάρτηση κατανομής ή απλά συνάρτηση κατανομής (Cumulative Distribution Function, CDF) της τυχαίας μεταβλητής X και τη συμβολίζουμε ως F X (x). Μέσω της συνάρτησης κατανομής μπορούμε να υπολογίζουμε την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να λαμβάνει τιμή εντός ενός διαστήματος, για παράδειγμα η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή X να λαμβάνει τιμή στο διάστημα (a, b], με b > a, θα δίνεται ως F X (b) F X (a) = Pr{X b} Pr{X a} = (Pr{X a} + Pr{a < X b}) Pr{X a} = Pr{a < X b}. Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή X θεωρούμε τώρα πως το όριο lim ϵ 0 ( ) FX (x + ϵ) F X (x) υπάρχει σε κάθε σημείο x, δηλαδή η συνάρτηση κατανομής είναι παραγωγίσιμη παντού. Την παράγωγο της F X (x) τη συμβολίζουμε ως f X (x) και την ονομάζουμε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (Probability Density Function, PDF) της τυχαίας μεταβλητής X. Μια ιδιότητα της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας είναι πως, καθώς η συνάρτηση κατανομής είναι μια αύξουσα συνάρτηση του x, η παράγωγός της θα πρέπει να λαμβάνει μόνο μη αρνητικές τιμές, δηλαδή f X (x) 0. Επίσης, η συνάρτηση κατανομής θα δίνεται μέσω της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας από τη σχέση F X (x) = x ϵ f X (t)dt. (2.6) Η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή X να λάβει τιμή από ένα διάστημα (a, b] μπορεί να εκφραστεί μέσω της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας από τη σχέση Pr{a < X b} = b a f X (x)dx (2.7) από την οποία μπορούμε να κατανοήσουμε το λόγο για τον οποίο χρησιμοποιούμε τον όρο πυκνότητα πιθανότητας για τη συνάρτηση f X (x). Οι βαθμωτές διακριτές τυχαίες μεταβλητές δεν έχουν συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, αντίθετα για τις τυχαίες μεταβλητές αυτές ορίζουμε τη λεγόμενη συνάρτηση μάζας πιθανότητας (Probability Mass Function, PMF), η οποία απλά αντιστοιχίζει κάθε σημείο του συνόλου τιμών της στην πιθανότητα εμφάνισης που έχει. Έτσι, για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή X που λαμβάνει τιμές από ένα σύνολο της μορφής {x 1, x 2, x 3,...} (πεπερασμένο ή αριθμήσιμα άπειρο), η συνάρτηση μάζας πιθανότητας είναι απλά p X (x n ) = Pr{X = x n }. (2.8)

5 2.2. ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Αναμενόμενη τιμή Σε πολλές περιπτώσεις ενδιαφερόμαστε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής ή, γενικότερα, μιας συνάρτησης της τυχαίας μεταβλητής. Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X (x), η αναμενόμενη τιμή μιας συνάρτησης, έστω g(x), θα δίνεται από τη σχέση E[g(X )] = g(x)f X (x)dx. (2.9) Στην περίπτωση όπου η τυχαία μεταβλητή είναι διακριτή, η αναμενόμενη τιμή μιας συνάρτησης g(x) θα ορίζεται από τη σχέση E[g(X )] = g(x n ) Pr{X = x n }, (2.10) n είναι δηλαδή το άθροισμα με βάρη τις πιθανότητες, των αντίστοιχων τιμών της συνάρτησης που μας ενδιαφέρει. Για την επιλογή g(x) = x, υπολογίζουμε την αναμενόμενη τιμή της τυχαίας μεταβλητής µ = E[X ]. Επίσης, για την επιλογή g(x) = (x µ) 2 υπολογίζουμε τη διασπορά της τυχαίας μεταβλητής σ 2 = E[(X µ) 2 ]. Στην περίπτωση όπου η τυχαία μεταβλητή X έχει διανυσματική μορφή με διάσταση N, το διάνυσμα αναμενόμενων τιμών θα αποτελείται από τις αναμενόμενες τιμές των επιμέρους βαθμωτών τυχαίων μεταβλητών µ = E[X ] = µ 1 µ 2., και ο πίνακας συνδιασποράς θα δίνεται από τη σχέση µ N Σ = E[(X µ)(x µ) T ] με στοιχεία Σ m,n = E[(X m µ m )(X n µ n )], για m, n {1, 2, 3,..., N}. Σε ορισμένες περιπτώσεις, θεωρούμε ένα γραμμικό μετασχηματισμό μιας πολυδιάστατης τυχαίας μεταβλητής X, μέσω μιας σχέσης της μορφής Y = AX όπου ο πίνακας A είναι ένας M N πίνακας ο οποίος μετασχηματίζει γραμμικά την τυχαία μεταβλητή X (διάστασης N) και παράγει την τυχαία μεταβλητή Y (διάστασης M). Στην περίπτωση αυτή, το διάνυσμα αναμενόμενων τιμών της τυχαίας μεταβλητής Y θα είναι E[AX ] = Aµ και ο πίνακας συνδιασποράς της τυχαίας μεταβλητής Y θα είναι E[(AX Aµ)(AX Aµ) T ] = AΣA T Στην ειδική περίπτωση όπου η τυχαία μεταβλητή X στην οποία εφαρμόζεται ο γραμμικός μετασχηματισμός ακολουθεί μια πολυδιάστατη κανονική κατανομή (βλέπε επόμενη παράγραφο), τότε και η πολυδιάστατη τυχαία μεταβλητή Y θα ακολουθεί μια πολυδιάστατη κανονική κατανομή (πιθανώς) διαφορετικής διάστασης και με διαφορετικό διάνυσμα αναμενόμενων τιμών και πίνακα συνδιασποράς. Πιο συγκεκριμένα, θα είναι Y N (Aµ, AΣA T ). Στη γενική περίπτωση ωστόσο, η κατανομή που θα ακολουθεί η μετασχηματισμένη τυχαία μεταβλητή θα είναι διαφορετικής μορφής σε σχέση με την αρχική κατανομή.

6 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ Σε πολλές εφαρμογές της στατιστικής επεξεργασίας σημάτων, είναι ιδιαίτερα χρήσιμο να υπολογίζουμε την υπό συνθήκη αναμενόμενη τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής. Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε τις εξαρτημένες τυχαίες μεταβλητές X και Y, τότε η αναμενόμενη τιμή μιας συνάρτησης g(x), που συμβολίζεται με E[g(X )] θα είναι διαφορετική από την αναμενόμενη τιμή της ίδιας συνάρτησης ενώ γνωρίζουμε την τιμή της τυχαίας μεταβλητής Y. Η δεύτερη αναμενόμενη τιμή ονομάζεται υπό συνθήκη αναμενόμενη τιμή και για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές θα δίνεται από τη σχέση E[g(X ) Y = y] = g(x)f X (x y)dx (2.11) όπου f X (x y) είναι η υπό συνθήκη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής X όταν έχουμε παρατηρήσει την τιμή της τυχαίας μεταβλητής Y Gaussian τυχαίες μεταβλητές Οι Gaussian τυχαίες μεταβλητές κατέχουν ένα πολύ σημαντικό ρόλο στη θεωρία πιθανοτήτων. Μια τυχαία μεταβλητή X λέγεται Gaussian όταν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητάς της είναι της μορφής 1 f X (x) = exp { (x m } x) 2 σ x 2π όπου m x και σ 2 x είναι η μέση τιμή και η διασπορά της X, αντίστοιχα. Παρατηρήστε ότι η πυκνότητα πιθανότητας μιας Gaussian τυχαίας μεταβλητής ορίζεται πλήρως αν γνωρίζουμε τη μέση τιμή και τη διασπορά της. Δύο τυχαίες μεταβλητές λέγονται από κοινού Gaussian όταν η από κοινού πυκνότητα πιθανότητάς τους είναι { [ 1 (x mx ) 2 f X,Y (x, y) = A exp 2(1 ρ 2 xy) σ 2 x 2σ 2 x (x m x )(y m y ) 2ρ xy + (y m ]} y) 2 σ x σ y σy 2 όπου 1 A = 2πσ x σ y 1 ρ 2 xy και έχουμε χρησιμοποιήσει τον συντελεστή συσχέτισης (correlation coefficient), των τυχαίων μεταβλητών X και Y ο οποίος ορίζεται ως ρ xy = E[(x m x)(y m y ) ] σ x σ y = E[xy ] m x m y σ x σ y. (2.12) Και πάλι, η από κοινού πυκνότητα πιθανότητας ορίζεται πλήρως αν γνωρίζουμε τις μέσες τιμές, τις διασπορές, και το συντελεστή συσχέτισης ρ xy. Οι Gaussian τυχαίες μεταβλητές έχουν μια σειρά από ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Στη συνέχεια, αναφέρουμε κάποιες από αυτές: Ιδιότητα 1. Αν οι X και Y είναι από κοινού Gaussian τυχαίες μεταβλητές, τότε για κάθε σταθερές a και b η τυχαία μεταβλητή Z = ax + by

7 2.2. ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 15 είναι Gaussian με μέση τιμή και διασπορά m z = am x + bm y σ 2 z = a 2 σ 2 x + b 2 σ 2 y + 2abσ x σ y ρ xy Ιδιότητα 2. Αν δύο από κοινού Gaussian τυχαίες μεταβλητές είναι ασυσχέτιστες, ρ xy = 0, τότε είναι και στατιστικά ανεξάρτητες, f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y). Ιδιότητα 3. Αν η X είναι Gaussian και μηδενικής μέσης τιμής, τότε { E [X n (n 1)σx 2 ; n άρτιος ] = 0 ; n περιττός Πολυδιάστατες κατανομές Σε πολλές εφαρμογές της στατιστικής επεξεργασίας σημάτων, χρειάζεται να ορίσουμε τυχαίες μεταβλητές οι οποίες λαμβάνουν τιμές που έχουν διανυσματική μορφή. Μια τυχαία μεταβλητή με διανυσματική μορφή αποτελείται από επιμέρους τυχαίες μεταβλητές που λαμβάνουν βαθμωτές τιμές. Οι πολυδιάστατες κατανομές περιγράφουν τις από κοινού σχέσεις πιθανότητας των επιμέρους τυχαίων μεταβλητών. Μια πολυδιάστατη κατανομή πιθανότητας που χρησιμοποιείται πολύ συχνά σε εφαρμογές της στατιστικής επεξεργασίας σημάτων, είναι η πολυδιάστατη κατανομή Gauss, ή κανονική κατανομή. Ας θεωρήσουμε μια τυχαία μεταβλητή X : Ω R N, δηλαδή μια τυχαία μεταβλητή που η τιμή της είναι ένα διάνυσμα N στοιχείων. Όπως είπαμε, κάθε ένα από αυτά τα στοιχεία μπορούμε να το αντιμετωπίσουμε ως μια βαθμωτή τυχαία μεταβλητή. Στην ειδική περίπτωση όπου οι επιμέρους τυχαίες μεταβλητές - στοιχεία του διανύσματος είναι ανεξάρτητες, τότε η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των τυχαίων μεταβλητών, η οποία ταυτίζεται με τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της πολυδιάστατης τυχαίας μεταβλητής, θα δίνεται ως το γινόμενο των επιμέρους συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας. Στη γενική περίπτωση, όταν δηλαδή οι επιμέρους τυχαίες μεταβλητές δεν είναι ανεξάρτητες, μια τέτοια παραγοντοποίηση της από κοινού συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας δεν είναι δυνατή. Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή αποτελεί ένα μοντέλο το οποίο μπορεί να περιγράψει εξαρτημένες τυχαίες μεταβλητές, και έχει τη μορφή 1 f X (x) = ( (2π)N Σ exp 1 ) 2 (x µ)t Σ 1 (x µ), (2.13) όπου x R N είναι το όρισμα της πολυδιάστατης PDF, µ R N είναι το διάνυσμα μέσων τιμών της κατανομής και Σ R N N είναι ένας θετικά ημί-ορισμένος συμμετρικός πίνακας που ονομάζεται πίνακας συνδιασποράς. Επίσης, με Σ συμβολίζουμε την ορίζουσα του πίνακα Σ. Συνήθως χρησιμοποιούμε το συμβολισμό X N (µ, Σ) για να δηλώσουμε πως η τυχαία μεταβλητή X ακολουθεί την πολυδιάστατη κανονική κατανομή με διάνυσμα μέσων τιμών µ και πίνακα συνδιασποράς Σ. Στην περίπτωση όπου ο πίνακας Σ είναι διαγώνιος, τότε οι επιμέρους τυχαίες μεταβλητές είναι ασυσχέτιστες. Στη περίπτωση αυτή, ειδικά για την κανονική κατανομή, μπορούμε να γράψουμε την από κοινού

8 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ως γινόμενο των επιμέρους μονοδιάστατων συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας, κάτι το οποίο συνεπάγεται πως οι επιμέρους τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες. Ωστόσο, γενικά δεν ισχύει πως οι ασυσχέτιστες τυχαίες μεταβλητές είναι και ανεξάρτητες, αυτό ισχύει στην ειδική περίπτωση όπου οι επιμέρους κατανομές είναι κανονικές. 2.3 Στοχαστικές διαδικασίες Ορισμοί Ας υποθέσουμε πως κάνουμε ένα πείραμα τύχης στο οποίο ρίχνουμε ένα ζάρι και κρατάμε το αποτέλεσμα του πειράματος. Το αποτέλεσμα του πειράματος είναι έτσι ένας ακέραιος αριθμός από το 1 έως το 6. Όπως γνωρίζουμε, το αποτέλεσμα του συγκεκριμένου πειράματος τύχης μπορεί να αναπαρασταθεί από μια διακριτή τυχαία μεταβλητή X η οποία λαμβάνει τις ακέραιες τιμές από 1 έως 6, κάθε μια με πιθανότητα 1/6. Ας υποθέσουμε τώρα πως κάνουμε ένα διαφορετικό πείραμα τύχης στο οποίο ρίχνουμε αρχικά ένα ζάρι, κρατάμε το αποτέλεσμα, στη συνέχεια ρίχνουμε ένα νόμισμα και κρατάμε το αποτέλεσμα κ.ο.κ. Διαπιστώνουμε πως αυτό το πείραμα τύχης δεν μπορεί να περιγραφεί από μια τυχαία μεταβλητή όπως το προηγούμενο. Αντίθετα, εδώ έχουμε μια εξάρτηση από το χρόνο γιατί για παράδειγμα είναι αδύνατο να πάρουμε το αποτέλεσμα γράμματα όταν τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή ρίχναμε το ζάρι. Για να περιγράψουμε το φαινόμενο αυτό, θέλουμε μια διαφορετική τυχαία μεταβλητή για κάθε χρονική στιγμή. Πιο συγκεκριμένα, το πείραμα περιγράφεται από την τυχαία μεταβλητή X του προηγούμενου πειράματος και από μια άλλη διακριτή τυχαία μεταβλητή Y η οποία λαμβάνει τις τιμές 1 (αντιστοιχία με κεφάλι) και 2 (αντιστοιχία με γράμματα) κάθε μια με πιθανότητα 1/2. Η τυχαία μεταβλητή X ισχύει για τις χρονικές στιγμές 0, 2, 4, 6,... και η τυχαία μεταβλητή Y ισχύει για τις χρονικές στιγμές 1, 3, 5,... Ας υποθέσουμε τώρα πως εκτελούμε το παραπάνω πείραμα τύχης για τις χρονικές στιγμές από 0 έως K 1. Καταλήγουμε έτσι σε μια ακολουθία αποτελεσμάτων A = {a 0, a 1, a 2,..., a K 1 } Η πιθανότητα η ακολουθία A να είναι μια συγκεκριμένη ακολουθία, για παράδειγμα η ακολουθία A 0 = {4, 2, 6, 1, 1, 2, 5, 1,..., 1}, τότε θα είναι Pr{A = A 0 } = ( ) K1 1 6 ( ) K2 1 2 όπου K 1 και K 2 είναι το πλήθος των πειραμάτων με το ζάρι και το νόμισμα αντίστοιχα και K = K 1 + K 2. Επομένως, ένας άλλος τρόπος να περιγράψουμε αυτό το πείραμα τύχης είναι να δώσουμε όλες τις πιθανότητες για όλες τις πιθανές ακολουθίες A. Με βάση όλα όσα περιγράψαμε, προκύπτουν οι ακόλουθοι δυο ισοδύναμοι ορισμοί για την έννοια της στοχαστικής διαδικασίας: 1. Μια στοχαστική διαδικασία X (t) είναι μια συνάρτηση του χρόνου. Η τιμή της συνάρτησης αυτής σε κάθε χρονική στιγμή είναι μια τυχαία μεταβλητή.

9 2.3. ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ 17 Ω p 1 ω 1 ω 2 p 2 ω i p i X [n 0 ] Σχήμα 2.1: Μια στοχαστική διαδικασία είναι μια αντιστοίχιση από ένα σύνολο σημάτων Ω στις πιθανότητες p 1, p 2,..., p i. Επίσης, σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή n 0 η τιμή της στοχαστικής διαδικασίας είναι μια τυχαία μεταβλητή X [n 0 ] 2. Μια στοχαστική διαδικασία είναι μια αντιστοίχιση από ένα σύνολο σημάτων Ω (όπως η ακολουθία A) στο σύνολο των μη αρνητικών πραγματικών αριθμών (πιθανότητες ή πυκνότητες πιθανότητας). Κάθε ένα σήμα του δειγματοχώρου Ω ονομάζεται στιγμιότυπο ή υλοποίηση της στοχαστικής διαδικασίας. Στο Σχήμα (2.1) παρουσιάζουμε σχηματικά τους ανωτέρω ορισμούς. Με βάση τις χρονικές στιγμές στις οποίες ορίζεται μια στοχαστική διαδικασία έχουμε τις ακόλουθες κατηγορίες: 1. Στοχαστικές διαδικασίες συνεχούς χρόνου: Μια στοχαστική διαδικασία συνεχούς χρόνου X (t) ορίζεται σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή. 2. Στοχαστικές διαδικασίες διακριτού χρόνου: Μια στοχαστική διαδικασία διακριτού χρόνου X [n] ορίζεται μόνο σε διακριτές χρονικές στιγμές. Επιπρόσθετα, ανάλογα με τις τιμές που λαμβάνει μια στοχαστική διαδικασία έχουμε τις ακόλουθες κατηγορίες: 1. Συνεχείς στοχαστικές διαδικασίες: Η τιμή μιας συνεχούς στοχαστικής διαδικασίας είναι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή. 2. Διακριτές στοχαστικές διαδικασίες: Η τιμή μιας διακριτής στοχαστικής διαδικασίας είναι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή. Οι διακριτές στοχαστικές διαδικασίες διακριτού χρόνου ονομάζονται και αλυσίδες. Στα επόμενα θα επικεντρωθούμε στις στοχαστικές διαδικασίες διακριτού χρόνου. Παράδειγμα 2.1 Ένα απλό παράδειγμα τυχαίας διαδικασίας διακριτού χρόνου είναι το ακόλουθο: Ας θεωρήσουμε το

10 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ πείραμα της ρίψης ενός δίκαιου ζαριού. Έστω A η τυχαία μεταβλητή στην οποία αναθέτουμε το αποτέλεσμα της ρίψης και A μια τιμή της. Μέσω της σχέσης, x(n) = A cos(nω 0 ) (2.14) έχουμε ορίσει μια τυχαία διαδικασία X [n]. Αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύνολο έξη διαφορετικών και ισοπίθανων σημάτων διακριτού χρόνου. Παράδειγμα 2.2 Μια πολυπλοκότερη διαδικασία μπορεί να παραχθεί μέσω του πειράματος διαδοχικών ρίψεων ενός νομίσματος. Τη χρονική στιγμή n, θέτουμε x(n) = 1 εάν ήρθε κεφαλή, και x(n) = 1 εάν ήρθε γράμματα. Με τον τρόπο αυτό δημιουργείται μια τυχαία διαδικασία διακριτού χρόνου X [n] που λαμβάνει τιμές ±1. Εάν η ρίψη του νομίσματος τη χρονική στιγμή n, δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα κάποιας άλλης ρίψης, τότε η τυχαία διαδικασία που παράγεται ονομάζεται διαδικασία Bernoulli. Δοθείσης μιας τυχαίας διαδικασίας X [n], μπορούμε να παράγουμε μια άλλη, μετασχηματίζοντας την X [n] μέσω κάποιας μαθηματικής πράξης. Χαρακτηριστικός και ιδιαίτερα χρήσιμος μετασχηματισμός είναι το γραμμικό φιλτράρισμα. Αξίζει να αναφέρουμε στο σημείο αυτό πως προκειμένου να έχουμε μια πλήρη στατιστική περιγραφή μιας τυχαίας διαδικασίας, πέρα από τις συναρτήσεις πιθανοτήτων πρώτης τάξης, θα πρέπει να ορίσουμε και τις από κοινού πιθανότητες, F X [n1 ],...,X [n k ](α 1,..., α k ) = P r{x [n 1 ] α 1,..., X [n k ] α k } για κάθε συλλογή τυχαίων μεταβλητών X [n i ]. Ανάλογα με τη συγκεκριμένη μορφή των από κοινού πιθανοτήτων, μπορούμε να έχουμε αρκετά διαφορετικές τυχαίες διαδικασίες. Έστω, για παράδειγμα, μια τυχαία διαδικασία που σχηματίζεται από μια ακολουθία κανονικών τυχαίων μεταβλητών X [n]. Αν οι μεταβλητές αυτές είναι ασυσχέτιστες, τότε η ακολουθία είναι γνωστή ως λευκός, Gaussian θόρυβος. Αντίθετα, αν X [n] = α για κάθε n και α μια Gaussian τυχαία μεταβλητή, τότε κάθε τυχαία διαδικασία της συλλογής ισούται με μια σταθερά. Έτσι, αν και οι δύο διαδικασίες έχουν τα ίδια στατιστικά πρώτης τάξης, είναι σημαντικά διαφορετικές ως αποτέλεσμα των διαφορών τους στα στατιστικά υψηλότερης τάξης Μέσοι όροι συνόλων Εφόσον μια τυχαία διαδικασία είναι μια αριθμημένη ακολουθία τυχαίων μεταβλητών, μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέση τιμή καθεμιάς από αυτές τις τυχαίες μεταβλητές. Με τον τρόπο αυτό παράγεται μια ντετερμινιστική ακολουθία m X [n] = E [X [n]] (2.15) γνωστή ως ο μέσος όρος της διαδικασίας. Κατά αντιστοιχία, υπολογίζοντας τη διασπορά κάθε τυχαίας μεταβλητής, δημιουργούμε την ακολουθία σx 2 [n] = E [ X [n] m X [n] 2] (2.16)

11 2.3. ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ 19 που λέγεται διασπορά της διαδικασίας. Παρατηρούμε πως η μέση τιμή και η διασπορά εξαρτώνται γενικά από το n. Δύο επιπλέον σημαντικοί μέσοι όροι συνόλου είναι η αυτοσυνδιασπορά (autocovariance) και η αυτοσυσχέτιση (autocorrelation) c X (k, l) = E [(X [k] m X [k])(x [l] m X [l]) ] (2.17) r X (k, l) = E [X [k]x [l]] (2.18) που αναφέρονται σε δύο τυχαίες μεταβλητές διαφορετικών χρονικών στιγμών X [k] και X [l]. Σημειώνουμε ότι για k = l, η αυτοσυνδιασπορά ανάγεται στη διασπορά c X (k, k) = σ 2 X [k]. Παρατηρήστε επίσης, ότι αν αναπτύξουμε τη Σχέση (2.17), τότε οι δύο τελευταίες συναρτήσεις συνδέονται ως c X (k, l) = r X (k, l) m X [k]m X [l] Έτσι, σε τυχαίες διαδικασίες με μηδενική μέση τιμή, η αυτοσυσχέτιση και η αυτοσυνδιασπορά είναι ίσες. Στα επόμενα, θα θεωρήσουμε ότι όλες οι τυχαίες διαδικασίες έχουν μηδενική μέση τιμή, εκτός αν κάπου αναφέρεται ρητά το αντίθετο. Επομένως, οι όροι αυτοσυσχέτιση και αυτοσυνδιασπορά είναι ανταλλάξιμοι. Η υπόθεση αυτή δεν περιορίζει τη γενικότητα, εφόσον, για κάθε τυχαία διαδικασία μη μηδενικής μέσης τιμής X [n] μπορούμε πάντοτε να σχηματίσουμε μια άλλη τυχαία διαδικασία Y[n] με μηδενική μέση τιμή ως Y[n] = X [n] m X [n]. Όπως στην περίπτωση των τυχαίων μεταβλητών, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μας παρέχει πληροφορία για τη γραμμική εξάρτηση δύο τυχαίων μεταβλητών. Αν, για παράδειγμα, c X (k, l) = 0, k l, τότε οι μεταβλητές X [k] και X [l] είναι ασυσχέτιστες. Σε κάποιες εφαρμογές, που εμπεριέχουν περισσότερες από μία τυχαίες μεταβλητές, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τη συσχέτιση ή τη συνδιασπορά μεταξύ τυχαίων μεταβλητών που ανήκουν σε διαφορετικές τυχαίες διαδικασίες. Συγκεκριμένα, αν X [n] και Y[n] δύο τυχαίες διαδικασίες, η ετεροσυνδιασπορά (cross-covariance) τους ορίζεται ως και η ετεροσυσχέτισή (cross-correlation) τους Οι δύο αυτές συναρτήσεις ικανοποιούν τη σχέση c X Y (k, l) = E [(X [k] m X [k])(y[l] m Y [l]) ] (2.19) r X Y (k, l) = E [X [k]y [l]] (2.20) c X Y (k, l) = r X Y (k, l) m X [k]m Y[l]. Αν c X Y (k, l) = 0 ή ισοδύναμα r X Y (k, l) = m X [k]m Y [l] για κάθε k και l, τότε οι δύο τυχαίες διαδικασίες είναι ασυσχέτιστες (uncorrelated). Αντίστοιχα, αν r X Y (k, l) = 0 δύο διαδικασίες είναι ορθογώνιες (orthogonal). Αν και οι ορθογώνιες τυχαίες διαδικασίες δεν είναι απαραίτητα ασυσχέτιστες, τυχαίες διαδικασίες μηδενικής μέσης τιμής που είναι ασυσχέτιστες είναι και ορθογώνιες.

12 20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ Σε κάθε πρακτική εφαρμογή, οι παρατηρήσεις των δεδομένων αλλοιώνονται από θόρυβο ή σφάλματα μέτρησης. Σε πολλές εφαρμογές, ο θόρυβος μοντελοποιείται ως προσθετικός, έτσι ώστε αν X [n] είναι το σήμα και W[n] είναι ο θόρυβος, τότε το παρατηρούμενο σήμα είναι Y[n] = X [n] + W[n]. Συχνά, αυτός ο προσθετικός θόρυβος θεωρείται μηδενικής μέσης τιμής και ασυσχέτιστος με το σήμα. Στην περίπτωση αυτή, η αυτοσυσχέτιση των δεδομένων μέτρησης είναι το άθροισμα των αυτοσυσχετίσεων των X [n] και W[n]. Αυτό προκύπτει αναλυτικά ως εξής r Y (k, l) = E [Y[k]Y [l]] = E [(X [k] + W[k])(X [l] + W[l]) ] = E [X [k]x [l]] + E [W[k]W [l]] + E [X [k]w [l]] + E [W[k]X [l]] = r X (k, l) + r W (k, l) (2.21) Συνοψίζοντας το παραπάνω βασικό αποτέλεσμα, έχουμε την εξής ιδιότητα Ιδιότητα Αν δύο τυχαίες διαδικασίες, X [n] και Y[n], είναι ασυσχέτιστες, τότε η αυτοσυσχέτιση του αθροίσματος Z[n] = X [n] + Y[n] ισούται με το άθροισμα των αυτοσυσχετίσεων, δηλαδή r Z (k, l) = r X (k, l) + r Y (k, l) Gaussian διαδικασίες Στην Παράγραφο εξηγήσαμε τι σημαίνει δύο τυχαίες μεταβλητές να είναι από κοινού κανονικές (Gaussian). Ο ορισμός αυτός μπορεί να επεκταθεί σε μια συλλογή από n τυχαίες μεταβλητές ως ακολούθως. Έστω X = [X 1, X 2,..., X n ] T ένα διάνυσμα με n πραγματικές τυχαίες μεταβλητές. Το διάνυσμα αυτό λέγεται Gaussian τυχαίο διάνυσμα και οι τυχαίες μεταβλητές λέγονται από κοινού Gaussian αν η από κοινού πυκνότητα πιθανότητας των n μεταβλητών X i είναι f X (x) = { 1 exp 1 } (2π) n/2 C X 1/2 2 (x m X ) T C 1 X (x m X ) όπου m X = [m 1, m 2,..., m n ] T είναι ένα διάνυσμα που περιέχει τις μέσες τιμές των X i, δηλαδή = E [X i ]. Ο C X είναι ένας συμμετρικός, θετικά ορισμένος πίνακας με στοιχεία c ij που είναι οι m i συνδιασπορές μεταξύ των X i και X j, δηλαδή c ij = E [(X i m i )(X j m j )]. Τέλος C X είναι η ορίζουσα του πίνακα συνδιασποράς. Μια τυχαία διαδικασία X [n] λέγεται Gaussian αν κάθε πεπερασμένη συλλογή δειγμάτων X [n] είναι από κοινού Gaussian. Μια Gaussian τυχαία διαδικασία ορίζεται πλήρως από το διάνυσμα των μέσων τιμών και τον πίνακα της συνδιασποράς.

13 2.3. ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ Στάσιμες διαδικασίες Σε πολλές εφαρμογές επεξεργασίας σημάτων, οι στατιστικές ιδιότητες ή οι μέσοι όροι συνόλων μιας τυχαίας διαδικασίας είναι συχνά ανεξάρτητες του χρόνου n. Για παράδειγμα, ο θόρυβος κβαντισμού που εισάγεται σε ένα DSP (Digital Signal Processor) με αριθμητική σταθερής υποδιαστολής, συνήθως έχει σταθερή μέση τιμή και διασπορά, όταν το σήμα εισόδου είναι αρκετά πολύπλοκο. Γενικά, θεωρούμε ότι ο θόρυβος κβαντισμού έχει πυκνότητες πιθανότητας πρώτης και δεύτερης τάξης (δηλαδή, πυκνότητες πιθανότητας που εξετάζουν είτε μια χρονική στιγμή είτε ένα ζεύγος από χρονικές τιμές) που είναι ανεξάρτητες του χρόνου. Αυτές οι συνθήκες αποτελούν παραδείγματα στατιστικής χρονικής σταθερότητας ή στασιμότητας (stationarity). Στην υποενότητα αυτή θα ορίσουμε διάφορα είδη στασιμότητας. Όπως θα δούμε στην Παράγραφο 2.3.6, η υπόθεση της στασιμότητας είναι πολύ σημαντική για την εκτίμηση των μέσων όρων συνόλων. Αν η πυκνότητα πιθανότητας μιας τυχαίας διαδικασίας X [n] είναι ανεξάρτητη του χρόνου, δηλαδή f X [n] (α) = f X [n+k] (α), για κάθε k, τότε η διαδικασία ονομάζεται στάσιμη πρώτης τάξης (first order stationary). Η στασιμότητα πρώτης τάξης σημαίνει ότι τα στατιστικά πρώτης τάξης είναι ανεξάρτητα του χρόνου. Για παράδειγμα, η μέση τιμή και η διασπορά της διαδικασίας θα είναι σταθερές, m X [n] = m X σx 2 [n] = σx 2. Κατά παρόμοιο τρόπο, μια διαδικασία λέγεται δεύτερης τάξης στάσιμη (second order stationary) όταν η από κοινού πυκνότητα πιθανότητας δεύτερης τάξης f X [n1 ],X [n 2 ](α 1, α 2 ) εξαρτάται μόνο από τη χρονική διαφορά n 2 n 1, και όχι από τις ξεχωριστές χρονικές στιγμές n 1 και n 2. Ισοδύναμα, η διαδικασία X [n] είναι στάσιμη δεύτερης τάξης, αν για κάθε k, οι διαδικασίες X [n] και X [n + k] έχουν την ίδια από κοινού πυκνότητα δεύτερης τάξης f X [n1 ],X [n 2 ](α 1, α 2 ) = f X [n1 +k],x [n 2 +k](α 1, α 2 ). Αν μια διαδικασία είναι στάσιμη δεύτερης τάξης, τότε θα είναι και στάσιμη πρώτης τάξης. Επιπλέον, η στασιμότητα δεύτερης τάξης σημαίνει ότι τα στατιστικά δεύτερης τάξης είναι σταθερά ως προς μια χρονική μετατόπιση της διαδικασίας. Ας δούμε την ακολουθία της αυτοσυσχέτισης r X (k, l) = = αβf X [k],x [l] (α, β)dα dβ αβf X [k+n],x [l+n] (α, β)dα dβ = r X (k + n, l + n) (2.22) Επομένως, η συσχέτιση μεταξύ των τυχαίων μεταβλητών X [k] και X [l] εξαρτάται μόνο από τη διαφορά k l, η οποία καλείται lag. Έτσι, προχωράμε στην παρακάτω απλοποίηση του συμβολισμού r X (k, l) = r X (k l, 0) r X (k l)

14 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ Συνεχίζοντας σε συναρτήσεις από κοινού πυκνότητας μεγαλύτερης τάξης, μια διαδικασία λέγεται στάσιμη L τάξης (L order stationary), αν οι διαδικασίες X [n] και X [n + k] έχουν τις ίδιες από κοινού πυκνότητες L τάξης. Τέλος, μια διαδικασία που είναι στάσιμη για όλες τις τάξεις L > 0 λέγεται αυστηρά στάσιμη (stationary in the strict sense). Η ισχυρή στασιμότητα είναι πολύ αυστηρή συνθήκη και σπάνια ικανοποιείται από φυσικές διαδικασίες. Άλλωστε συνήθως μας ενδιαφέρουν τα στατιστικά πρώτης και δεύτερης τάξης. Για τους λόγους αυτούς, προχωράμε σε έναν χαλαρότερο ορισμό της στασιμότητας που είναι γνωστός ως στασιμότητα υπό την ευρεία έννοια (Wide Sense Stationarity - WSS), που ορίζεται ως εξής. Wide Sense Stationarity - WSS Μια τυχαία διαδικασία λέγεται στάσιμη υπό την ευρεία έννοια, αν ικανοποιούνται οι τρεις επόμενες συνθήκες: 1. Η μέση τιμή είναι μια σταθερά, ανεξάρτητη του χρόνου, m X [n] = m X. 2. Η αυτοσυσχέτιση r X (k, l) εξαρτάται μόνο από τη χρονική διαφορά k l (lag). 3. Η διασπορά της διαδικασίας είναι πεπερασμένη c X (0) <. Επειδή οι παραπάνω συνθήκες αναφέρονται στα στατιστικά συνόλου και όχι στις συναρτήσεις πυκνότητας, η στασιμότητα με την ευρεία έννοια είναι χαλαρότερος περιορισμός σε σχέση με τη στασιμότητα δεύτερης τάξης. Ωστόσο, στην περίπτωση των Gaussian διαδικασιών η στασιμότητα υπό την ευρεία έννοια είναι ισοδύναμη της αυστηρής στασιμότητας. Αυτό είναι αποτέλεσμα του γεγονότος ότι μια Gaussian διαδικασία ορίζεται πλήρως στατιστικά από τη μέση τιμή και τη συνδιασπορά της. Στην περίπτωση που έχουμε δύο ή περισσότερες στοχαστικές διαδικασίες, υπάρχουν αντίστοιχοι ορισμοί για την από κοινού στασιμότητα (joint stationarity). Για παράδειγμα, δύο διαδικασίες, X [n] και Y[n] λέγονται από κοινού WSS (jointly WSS), αν καθεμιά από αυτές είναι WSS και η ετεροσυσχέτισή τους r X Y (k, l) εξαρτάται μόνο από τη διαφορά k l, δηλαδή r X Y (k, l) = r X Y (k + n, l + n) r X (k l) = E [X [k]y [l]]. Η ακολουθία αυτοσυσχέτισης μιας WSS διαδικασίας παρουσιάζει αρκετές χρήσιμες και σημαντικές ιδιότητες, κάποιες από τις οποίες παρουσιάζονται στη συνέχεια: Ιδιότητα 1: Συμμετρία. Η αυτοσυσχέτιση μιας WSS τυχαίας διαδικασίας είναι συζυγώς συμμετρική συνάρτηση του k, r X (k) = rx ( k) Για πραγματικές διαδικασίες, είναι συμμετρική r X (k) = r X ( k). Ιδιότητα 2: Μέση Τετραγωνική Τιμή. Η τιμή της αυτοσυσχέτισης μιας WSS διαδικασίας στο lag k = 0 ισούται με τη μέση τετραγωνική τιμή της διαδικασίας, r X (0) = E [ X [n] 2] 0

15 2.3. ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ 23 Ιδιότητα 3: Μέγιστη Τιμή. Το μέτρο της αυτοσυσχέτισης μιας WSS διαδικασίας στο lag k έχει ως άνω όριο την τιμή της συνάρτησης για το lag k = 0, r X (k) r X (0) Ιδιότητα 4: Περιοδικότητα. Αν μια WSS διαδικασία ικανοποιεί τη συνθήκη r X (k 0 ) = r X (0), για κάποιο k 0, τότε η r X (k) είναι περιοδική με περίοδο k Πίνακας αυτοσυσχέτισης και συνδιασποράς Οι ακολουθίες αυτοσυσχέτισης και συνδιασποράς είναι πολύ σημαντικά στατιστικά χαρακτηριστικά δεύτερης τάξης για τυχαίες διαδικασίες διακριτού χρόνου. Για το λόγο αυτό συχνά εκφράζονται υπό μορφή πινάκων. Για παράδειγμα, αν X = [X [0] X [1]... X [p]] T είναι ένα διάνυσμα p + 1 τιμών μια διαδικασίας X [n], τότε το εξωτερικό γινόμενο X [0]X [0] X [0]X [1] X [0]X [p] X [1]X X X H = [0] X [1]X [1] X [1]X [p] X [p]x [0] X [p]x [1] X [p]x [p] (2.23) είναι ένας (p + 1) (p + 1) πίνακας. Εάν η X [n] είναι WSS, παίρνοντας την αναμενόμενη τιμή και χρησιμοποιώντας την Ερμιτιανή συμμετρία της ακολουθίας αυτοσυσχέτισης, r X (k) = rx ( k), οδηγούμαστε σε έναν πίνακα των τιμών της αυτοσυσχέτισης, r X (0) rx R X = E [ (1) r X (p) X X H] r = X (1) r X (0) r X (p 1) (2.24) r X (p) r X (p 1) r X (0) Ο πίνακας αυτός ονομάζεται πίνακας αυτοσυσχέτισης (autocorrelation matrix). Κατά αναλογία, μπορούμε να ορίσουμε και τον πίνακα συνδιασποράς (autocovariance matrix), ως C X = E [ (X m X )(X m X ) H] όπου m X = [m X,..., m X ] T είναι ένα p + 1 διάνυσμα που περιέχει τη μέση τιμή της διαδικασίας. Οι δύο πίνακες σχετίζονται ως εξής C X = R X m X m H X Για τυχαίες διαδικασίες μηδενικής μέσης τιμής, οι δύο πίνακες ταυτίζονται. Στη συνέχεια, παραθέτουμε κάποιες βασικές ιδιότητες.

16 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ Ιδιότητα 1: Ο πίνακας αυτοσυσχέτισης μια WSS τυχαίας διαδικασίας X [n] είναι ένας Toeplitz και Ερμιτιανός πίνακας, R X = Toeplitz {r X (0), r X (1),..., r X (p)} Ιδιότητα 2: Είναι μη αρνητικά ορισμένος, R X 0, δηλαδή v H R X v 0 για κάθε μη μηδενικό διάνυσμα v C p+1. Ιδιότητα 3: Οι ιδιοτιμές του λ k είναι πραγματικές και μη αρνητικές Εργοδικότητα Η μέση τιμή και η αυτοσυσχέτιση μιας τυχαίας διαδικασίας αποτελούν στατιστικούς μέσους όρους που αναφέρονται σε όλα τα σήματα διακριτού χρόνου (υλοποιήσεις) που αποτελούν τη διαδικασία. Ωστόσο, σε πολλά προβλήματα, αν και χρειαζόμαστε τα παραπάνω στατιστικά, δεν τα γνωρίζουμε εξαρχής, αλλά θα πρέπει να τα εκτιμήσουμε από τα δεδομένα. Η εκτίμηση των στατιστικών αυτών από μια υλοποίηση της τυχαίας διαδικασίας είναι ένα σημαντικό πρόβλημα. Στην υποενότητα αυτή ασχολούμαστε με την εκτίμηση της μέσης τιμής και της αυτοσυσχέτισης μια τυχαίας διαδικασίας και παραθέτουμε κάποιες συνθήκες που μας επιτρέπουν να εκτιμήσουμε αυτούς τους στατιστικούς μέσους όρους από χρονικούς μέσους όρους. Ας ξεκινήσουμε από την εκτίμηση της μέσης τιμής. Έστω λοιπόν μια στοχαστική διαδικασία, X [n], για την οποία έχουμε μια τεράστια συλλογή από υλοποιήσεις, δηλαδή σήματα διακριτού χρόνου, x i [n], i = 1..., L. Στην περίπτωση αυτή, θα μπορούσαμε να κάνουμε μια εκτίμηση της μέσης τιμής, από το χρονικό μέσο όρο: ˆm X [n] = 1 L L x i [n] Ωστόσο, στις περισσότερες εφαρμογές, δεν έχουμε διαθέσιμες όλες αυτές τις υλοποιήσεις της X [n], αλλά μόνο μια υλοποίησή της, δηλαδή μόνο ένα σήμα διακριτού χρόνου. Στην περίπτωση αυτή, η i=1 παραπάνω εκτίμηση μας δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί. Αν έχουμε μία μόνο υλοποίηση x[n] της τυχαίας διαδικασίας X [n], τότε μια εκτίμηση του στοχαστικού μέσου όρου E [X [n]] θα μπορούσε να είναι ο χρονικός ή δειγματικός μέσος της υλοποίησης, δηλαδή ˆm X,N = 1 N N 1 n=0 x[n]. (2.25) Προκειμένου να έχει κάποιο νόημα ο παραπάνω εκτιμητής, θα πρέπει να επιβάλλουμε κάποιους περιορισμούς στην τυχαία διαδικασία. Αν η τυχαία διαδικασία δεν είναι στάσιμη πρώτης τάξης, δηλαδή η μέση τιμή της δεν είναι σταθερή, αλλά συνάρτηση του χρόνου, m X [n], τότε είναι προφανές ότι ο παραπάνω εκτιμητής δεν έχει νόημα. Άρα, ένας πρώτος περιορισμός είναι η τυχαία διαδικασία να έχει σταθερή μέση τιμή. Αν περιορίσουμε το ενδιαφέρον μας σε WSS διαδικασίες, τότε έχουμε το πλεονέκτημα ότι η ακολουθία της μέσης τιμής είναι σταθερή, m X [n] = m X. Στις περιπτώσεις αυτές γεννάται το ερώτημα αν μπορώ να εκτιμήσω τη στοχαστική μέση τιμή του σήματος χρησιμοποιώντας τη Σχέση (2.25).

17 2.3. ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ 25 Παρατηρούμε ότι ο δειγματικός μέσος όρος είναι ο μέσος όρος των τυχαίων μεταβλητών X [0],..., X [N 1], οπότε η ˆm X,N είναι επίσης μια τυχαία μεταβλητή. Αν τη δούμε ως ακολουθία αριθμημένη ως προς το N, τότε είναι μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών. Αν και υπάρχουν διάφοροι ορισμοί της σύγκλισης, εμείς θα εξετάσουμε τη σύγκλιση υπό την έννοια των μέσων τετραγώνων. Η συνθήκη για μια τέτοια σύγκλιση της εκτίμησης είναι lim E [ ˆm X,N m x 2] = 0 (2.26) N Ορισμός Εργοδικότητας Εάν ο δειγματικός μέσος όρος ˆm X,N μιας WSS στοχαστικής διαδικασίας συγκλίνει στο m X υπό την έννοια των μέσων τετραγώνων, τότε η διαδικασία λέγεται εργοδική ως προς τη μέση τιμή (ergodic in the mean) και γράφουμε lim ˆm X,N = m X. N Ικανές και αναγκαίες συνθήκες για τη σύγκλιση αυτή είναι οι εξής δύο: 1. Ο δειγματικός μέσος όρος να είναι ασυμπτωτικά αμερόληπτος, 2. Η διασπορά της εκτίμησης να τείνει στο μηδέν καθώς N, lim E [ ˆm X,N] = m X (2.27) N lim Var [ ˆm X,N] = 0. (2.28) N Η πρώτη συνθήκη ικανοποιείται για κάθε WSS διαδικασία εφόσον ισχύει E [ ˆm X,N ] = 1 N N 1 n=0 E [X [n]] = m X Όσο αφορά τη δεύτερη συνθήκη στη Σχέση (2.28), θα πρέπει να τεθούν και άλλοι περιορισμοί. Αποδεικνύεται ότι η X [n] είναι εργοδική ως προς τη μέση τιμή αν και μόνο αν lim N 1 N N 1 k= N+1 ( 1 k ) c X (k) = 0 (2.29) N Μια ισοδύναμη ικανή και αναγκαία συνθήκη εκφράζεται από το επόμενο θεώρημα: Εργοδικότητα ως προς τη Μέση Τιμή 1 Έστω X [n] μια WSS διαδικασία με ακολουθία συνδιασποράς c X (k). Η διαδικασία είναι εργοδική ως προς τη μέση τιμή αν και μόνο αν lim N N 1 1 N k=0 c X (k) = 0 (2.30) Σύμφωνα με το θεώρημα αυτό, ικανή και αναγκαία συνθήκη είναι η ασυμπτωτική μείωση της ακολουθίας αυτοσυσχέτισης. Στο επόμενο θεώρημα δίνεται μια ικανή συνθήκη για την εργοδικότητα που είναι ευκολότερο να εφαρμοστεί.

18 26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ Εργοδικότητα ως προς τη Μέση Τιμή 2 Έστω X [n] μια WSS διαδικασία με ακολουθία συνδιασποράς c X (k). Ικανή συνθήκη για να είναι η διαδικασία εργοδική ως προς τη μέση τιμή είναι c X (0) < και δηλαδή να είναι ασυμπτωτικά ασυσχέτιστη. lim c X (k) = 0 (2.31) k Τα δύο παραπάνω θεωρήματα μπορούν να γενικευτούν για την εκτίμηση άλλων στατιστικών μέσων όρων. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε την εκτίμηση της ακολουθίας αυτοσυσχέτισης r X (k) = E [X [n]x [n k]] από μια μόνο υλοποίηση της διαδικασίας. Εφόσον για κάθε k, η αυτοσυσχέτιση είναι η αναμενόμενη τιμή της διαδικασίας Y k [n] = X [n]x [n k] μπορούμε να εκτιμήσουμε την αυτοσυσχέτιση από το δειγματικό μέσο όρο των Y k [n] ως ακολούθως ˆr X (k, N) = 1 N N 1 n=0 y k [n] = 1 N N 1 n=0 x[n]x [n k]. Η διαδικασία X [n] λέγεται εργοδική ως προς την αυτοσυσχέτιση (autocorrelation ergodic) αν το ˆr X (k, N) συγκλίνει στο r X (k) υπό την έννοια των μέσων τετραγώνων. Τότε γράφουμε lim ˆr X (k, N) = r X (k) N Εφόσον το ˆr X (k, N) είναι ο δειγματικός μέσος όρος του y k [n], προκύπτει ότι η X [n] θα είναι εργοδική ως προς την αυτοσυσχέτιση αν η Y k [n] είναι εργοδική ως προς τη μέση τιμή. Εφαρμόζοντας το πρώτο θεώρημα εργοδικότητας ως προς τη μέση τιμή για το δειγματικό μέσο όρο του Y k [n], τίθεται ένας περιορισμός στη συνδιασπορά του Y k [n]. Αυτό είναι ισοδύναμο με έναν περιορισμό στα στατιστικά τέταρτης τάξης της X [n]. Ένα θεώρημα που είναι χρήσιμο για Gaussian διαδικασίες είναι το παρακάτω Εργοδικότητα ως προς την Αυτοσυσχέτιση Μια ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι εργοδική ως προς την αυτοσυσχέτιση μια WSS Gaussian διαδικασία με συνδιασπορά c X (k) είναι lim k N 1 1 N k=0 c 2 X (k) = 0 Από τα παραπάνω γίνεται προφανές ότι το να καθορίσουμε αν μια δοθείσα διαδικασία είναι εργοδική δεν είναι πρακτικό. Επομένως, όταν το πρόβλημά μας απαιτεί τη γνώση της μέσης τιμής, της αυτοσυσχέτισης, ή κάποιου άλλου στατιστικού μέσου όρου, υποθέτουμε ότι η διαδικασία είναι εργοδική και χρησιμοποιούμε χρονικούς μέσους όρους για να εκτιμήσουμε τους αντίστοιχους στοχαστικούς. Το αν η υπόθεση αυτή ήταν σωστή ή όχι κρίνεται από την απόδοση των αλγορίθμων που χρησιμοποίησαν τις παραπάνω εκτιμήσεις.

19 2.3. ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ Λευκός θόρυβος Ο λευκός θόρυβος είναι μια θεμελιώδης τυχαία διαδικασία διακριτού χρόνου και εμφανίζεται σε πολλές περιπτώσεις. Μια WSS διαδικασία V(n), πραγματική ή μιγαδική, καλείται λευκή (white) αν η αυτοσυνδιασπορά της είναι μηδενική για όλα τα lags εκτός του k = 0, c V (k) = σ 2 Vδ(k) Επομένως, λευκός θόρυβος είναι μια ακολουθία ασυσχέτιστων τυχαίων μεταβλητών, καθεμιά από τις οποίες έχει διασπορά σv 2. Εφόσον ο λευκός θόρυβος ορίζεται μόνο ως προς τα στατιστικά δεύτερης τάξης, υπάρχει μια μεγάλη ποικιλία τέτοιων διαδικασιών. Για παράδειγμα, μια τυχαία διαδικασία που αποτελεί ακολουθία ασυσχέτιστων, Gaussian τυχαίων μεταβλητών πραγματικής τιμής λέγεται λευκός Gaussian θόρυβος (WGN). Μια άλλη λευκή διαδικασία είναι η διαδικασία Bernoulli (βλέπε Παράγραφο 2.3.1). Για μιγαδικό λευκό θόρυβο, παρατηρήστε ότι V[n] = V 1 [n] + jv 2 [n] οπότε E [ V[n] 2] = E [ V 1 (n) 2] + E [ V 2 (n) 2]. Επομένως, η διασπορά του μιγαδικού θορύβου ισούται με το άθροισμα των διασπορών της πραγματικής και της φανταστικής του συνιστώσας Φάσμα ισχύος Γνωρίζουμε ότι ο μετασχηματισμός Fourier κατέχει ένα πολύ σημαντικό ρόλο στην περιγραφή και ανάλυση των ντετερμινιστικών σημάτων. Σημαντικό ρόλο έχει επίσης και στην περίπτωση των στοχαστικών σημάτων, δηλαδή των τυχαίων διαδικασιών. Ωστόσο, επειδή μια τυχαία διαδικασία είναι μια συλλογή σημάτων - υλοποιήσεων, δε μπορούμε να εφαρμόσουμε το μετασχηματισμό Fourier απευθείας σε μία από αυτές. Από την άλλη μεριά, όπως θα δούμε στην υποενότητα αυτή, είναι δυνατό να αναπτύξουμε μια αναπαράσταση της διαδικασίας στο πεδίο της συχνότητας εκφράζοντας το μετασχηματισμό Fourier μέσω στατιστικών μέσων όρων. Υπενθυμίζεται ότι η ακολουθία αυτοσυσχέτισης μιας WSS διαδικασίας αποτελεί μια αναπαράσταση στο πεδίο του χρόνου της δεύτερης ροπής της διαδικασίας. Εφόσον η r X (k) είναι μια ντετερμινιστική ακολουθία, μπορούμε να υπολογίσουμε το μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου, P X (e jω ) = k= r X (k)e jkω (2.32) που καλείται φάσμα ισχύος ή φασματική πυκνότητα ισχύος (power spectrum - power spectral density) 1. 1 Εάν η τυχαία διαδικασία δεν είναι μηδενικής μέσης τιμής, το φάσμα ισχύος της από αυτόν τον ορισμό θα δώσει έναν παλμό στο ω = 0. Έτσι, για τυχαίες διαδικασίες μη μηδενικής μέσης τιμής, το φάσμα ισχύος ορίζεται ως ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου της αυτοσυνδιασποράς.

20 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ Δοθέντος του φάσματος ισχύος, μπορούμε να υπολογίσουμε την ακολουθία αυτοσυσχέτισης εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου στο P X (e jω ), r X (k) = 1 2π π π P X (e jω )e jkω dω (2.33) Έτσι, το φάσμα ισχύος δίνει μια αναπαράσταση στο πεδίο της συχνότητας για τη δεύτερη ροπή της τυχαίας διαδικασίας. Σε κάποιες περιπτώσεις είναι βολικότερο αντί του μετασχηματισμού Fourier, να χρησιμοποιηθεί ο μετασχηματισμός z, οπότε P X (z) = k= το οποίο εξακολουθεί να ονομάζεται φάσμα ισχύος της X [n]. r X (k)z k (2.34) Όπως η ακολουθία της αυτοσυσχέτισης, έτσι και το φάσμα ισχύος διαθέτει αρκετές χρήσιμες ιδιότητες. Μερικές από αυτές παρατίθενται στη συνέχεια. Ιδιότητα 1: Συμμετρία Το φάσμα ισχύος μιας WSS τυχαίας διαδικασίας X [n] έχει πραγματικές τιμές, P X (e jω ) = P X (ejω ), και το P X (z) ικανοποιεί τη συνθήκη συμμετρίας P X (z) = P X (1/z ) Επιπλέον, εάν η X [n] έχει πραγματικές τιμές, τότε το φάσμα ισχύος παρουσιάζει άρτια συμμετρία, P X (e jω ) = P X (e jω ), που συνεπάγεται ότι P X (z) = P X (z ) Ιδιότητα 2: Θετικό Το φάσμα ισχύος μιας WSS τυχαίας διαδικασίας είναι μη αρνητικό P X (e jω ) 0 Ιδιότητα 3: Συνολική Ισχύς Η ισχύς μιας WSS τυχαίας διαδικασίας μηδενικής μέσης τιμής είναι ανάλογη της επιφάνειας κάτω από την καμπύλη του φάσματος ισχύος, δηλαδή E [ X [n] 2] = 1 2π π π P X (e jω ) dω Ιδιότητα 4: Ακρότατα Ιδιοτιμών Οι ιδιοτιμές του n n πίνακα αυτοσυσχέτισης μιας WSS τυχαίας διαδικασίας μηδενικής μέσης τιμής φράσσονται άνω και κάτω, από τη μέγιστη και την ελάχιστη, αντίστοιχα, τιμή του φάσματος ισχύος, min P X (e jω ) λ i max P X (e jω ) ω ω Το φάσμα ισχύος μπορεί να ειδωθεί και ως ο μέσος όρος των τετραγώνων του μέτρου του Fourier, X(e jω ) 2. Συγκεκριμένα, θεωρήστε P N (e jω ) = = 1 2N N + 1 N n= N N n= N m= N x(n)e jnω 2 N x(n)x (m)e j(n m)ω (2.35)

21 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 29 που είναι ανάλογο με το τετράγωνο του μέτρου του μετασχηματισμού Fourier 2N + 1 δειγμάτων μιας υλοποίησης της τυχαίας διαδικασίας. Εφόσον για κάθε συχνότητα ω, το P N (e jω ) είναι μια τυχαία μεταβλητή, παίρνοντας την αναμενόμενη τιμή της προκύπτει E [ P N (e jω ) ] = 1 2N + 1 N N n= N m= N r X (n m)e j(n m)ω (2.36) Με την αντικατάσταση k = n m, και αναδιατάσσοντας τους όρους της Σχέσης (2.36) προκύπτει E [ P N (e jω ) ] = = k= 2N Αν υποθέσουμε ότι η αυτοσυσχέτιση τείνει γρήγορα στο μηδέν, ώστε k r X (k) <, 2N 1 (2N + 1 k )r X (k)e jkω 2N + 1 k= 2N 2N ( 1 k ) r X (k)e jkω (2.37) 2N + 1 k= τότε παίρνοντας το όριο της Σχέσης (2.37) έχουμε lim P N (e jω ) ] = N r X (k)e jkω = P x (e jω ). (2.38) k= Τελικά, συνδυάζοντας τις Σχέσεις (2.35) και (2.38) έχουμε P X (e jω 1 ) = lim N 2N + 1 E N n= N 2 x(n)e jnω (2.39) Επομένως, το φάσμα ισχύος μπορεί να ειδωθεί ως η αναμενόμενη τιμή του P N (e jω ), N. Τέλος, προτού ολοκληρώσουμε την υποενότητα αυτή, θα σταθούμε στη φυσική σημασία του φάσματος ισχύος. Το φάσμα ισχύος εκφράζει την κατανομή ισχύος της τυχαίας διαδικασίας στις διάφορες συχνότητες ω. Είναι ένα πολύ σημαντικό χαρακτηριστικό των τυχαίων διαδικασιών που αξιοποιείται σε πληθώρα εφαρμογών. Ωστόσο, η εκτίμησή του είναι ένα αρκετά περίπλοκο και ενδιαφέρον πρόβλημα. Βιβλιογραφία [BT02] D.P. Bertsekas and J.N. Tsitsiklis. Introduction to Probability. Athena Scientific books. Athena Scientific, : [Fel68] W. Feller. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Vol. 1. Wiley, [PP02] A. Papoulis and S. U. Pillai. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. 4th ed. McGraw-Hill Higher Education, [ΚΜ99] Σ. Κoύνιας and Χ. Θ. Μωυσιάδης. Θεωρία Πιθανοτήτων (Τόμος 1) - Κλασική Πιθανότητα, Μονοδιάστατες Κατανομές. Εκδόσεις ΖΗΤΗ, 1999.

22 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ

Στοχαστικές Διαδικασίες (έμφαση στις σ.δ. διακριτού χρόνου)

Στοχαστικές Διαδικασίες (έμφαση στις σ.δ. διακριτού χρόνου) Στοχαστικές Διαδικασίες (έμφαση στις σ.δ. διακριτού χρόνου) Εισαγωγικές Έννοιες για το μάθημα Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Τυχαίες Μεταβλητές: Ορισμοί Θεωρούμε το πείραμα της ρίψης ενός νομίσματος. Το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι) HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Χρόνου (Ι) Στοχαστικά σήματα Στα προηγούμενα: Ντετερμινιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επεξεργασία Σημάτων και Μάθηση

Στατιστική Επεξεργασία Σημάτων και Μάθηση Δημήτρης Αμπελιώτης Διδάκτωρ Ερευνητής Τμ. Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Χρήστος Μαυροκεφαλίδης Διδάκτωρ Ερευνητής Τμ. Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Κώστας Μπερμπερίδης

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 3: Τυχαίες Διαδικασίες Διακριτού Χρόνου Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Εισαγωγή στις

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Ανελίξεις (2) Αγγελική Αλεξίου

Στοχαστικές Ανελίξεις (2) Αγγελική Αλεξίου Στοχαστικές Ανελίξεις (2) Αγγελική Αλεξίου alexiou@unipi.gr 1 Στοχαστικές Διαδικασίες 2 Στοχαστική Διαδικασία Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 3 Στοχαστική Διαδικασία ως συλλογή από συναρτήσεις χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων HMY 799 : Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη Στοχαστικές Τυχαίες Μεταβλητές/ Στοχαστικά Σήματα Πειραματικά δεδομένα >Επιλογή τύπου μοντέλου >Επιλογή κριτηρίου >Υπολογισμός >Επικύρωση Προσαρμογή καμπύλης (Curve

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3 5.6: Μέση Τιμή, Συναρτήσεις Συσχέτισης (Correlation) & Συνδιασποράς (Covariance)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3 5.6: Μέση Τιμή, Συναρτήσεις Συσχέτισης & Συνδιασποράς 5.7: Μετάδοση Στοχαστικής

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Τυχαίες μεταβλητές: Βασικές έννοιες Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (σε αντίθεση με τις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 4

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 4 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 4 5.9 Η Στοχαστική Ανέλιξη Gauss (οι διαφάνειες ακολουθούν διαφορετική

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Η Έννοια της τυχαίας Διαδικασίας Η έννοια της τυχαίας διαδικασίας βασίζεται στην επέκταση

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήνα Επανέκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1 5.1: Εισαγωγή 5.2: Πιθανότητες 5.3: Τυχαίες Μεταβλητές καθ. Βασίλης Μάγκλαρης

Διαβάστε περισσότερα

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2) Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό,

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την Μαθηματικά Πληροφορικής 8ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ανίχνευσης & Εκτίμησης

Ανίχνευσης & Εκτίμησης Θεωρία Ανίχνευσης & Εκτίμησης Γεώργιος Β. Μουστακίδης, Καθηγητής Πανεπιστήμιο Πατρών 1 Εισαγωγή Στο παρόν σύγγραμμα θα επικεντρωθούμε στην ανάπτυξη μεθοδολογιών για: α) λήψη αποφάσεων, β) εκτίμηση παραμέτρων

Διαβάστε περισσότερα

X i = Y = X 1 + X X N.

X i = Y = X 1 + X X N. Κεφάλαιο 6 Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Σε σύνθετα προβλήματα των πιθανοτήτων, όπως π.χ. σε προβλήματα ανάλυσης πολύπλοκων δικτύων ή στη στατιστική ανάλυση μεγάλων δεδομένων, η λεπτομερής, στοιχείο-προς-στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Πιθανοτήτων και Στοχαστικών Διαδικασιών

Στοιχεία Πιθανοτήτων και Στοχαστικών Διαδικασιών Α Στοιχεία Πιθανοτήτων και Στοχαστικών Διαδικασιών Α.1 Εισαγωγικά Το παρόν παράρτημα δεν έχει σαν στόχο να καλύψει αναλυτικά την ύλη της Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στοχαστικών Διαδικασιών. Υπάρχει στη βιβλιογραφία

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Βέλτιστος Δέκτης

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Βέλτιστος Δέκτης Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστος Δέκτης Σύνδεση με τα Προηγούμενα Επειδή το πραγματικό κανάλι είναι αναλογικό, κατά τη διαβίβαση ψηφιακής πληροφορίας, αντιστοιχίζουμε τα σύμβολα σε αναλογικές κυματομορφές

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια της τυχαίας ιαδικασίας

Η Έννοια της τυχαίας ιαδικασίας Η Έννοια της τυχαίας ιαδικασίας Η έννοια της τυχαίας διαδικασίας, βασίζεται στην επέκταση της έννοιας της τυχαίας µεταβλητής, ώστε να συµπεριλάβει το χρόνο. Σεκάθεαποτέλεσµα s k ενόςπειράµατοςτύχης αντιστοιχούµε,

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 3 ο a. Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί

Μάθημα 3 ο a. Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί Μάθημα 3 ο a Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί Στο μάθημα αυτό θα ορίσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής και θα αναφερθούμε σε σχετικές βασικές έννοιες και συμβολισμούς. Ross, σσ 135-151 Μπερτσεκάς-Τσιτσικλής,

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 5

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 5 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 5 5.10: Θόρυβος (Πηγές Θορύβου, Κατανομή Poisson, Λευκός Θόρυβος, Ισοδύναμο

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτού χρόνου Τυχαίες ιαδικασίες

ιακριτού χρόνου Τυχαίες ιαδικασίες ιακριτού χρόνου Τυχαίες ιαδικασίες Τα σήµατα ταξινοµούνται σε δύο ευρείες κατηγορίες: 1. Αιτιοκρατικά (deterministic): Αναπαράγονται ακριβώς ίδια µε επαναλαµβανόµενες διαδικασίες. Παράδειγµα το µοναδιαίο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασική Θεωρία Πιθανοτήτων

3. Βασική Θεωρία Πιθανοτήτων Περίληψη 3. Βασική Θεωρία Πιθανοτήτων Η στατιστική μηχανική βασίζεται στη θεωρία πιθανοτήτων για την παραγωγή μακροσκοπικών ιδιοτήτων στην ισορροπία. Οι θερμοδυναμικές μεταβλητές εμφανίζονται ως μέσοι

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Τυχαίες μεταβλητές Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η απεικόνιση των εκβάσεων ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Ως γνωστό δείγμα είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων από ένα πληθυσμό. Αν ο πληθυσμός αυτός θεωρηθεί μονοδιάστατος τότε μπορεί να εκφρασθεί με τη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά μαθηματικά εργαλεία

Βασικά μαθηματικά εργαλεία Παράρτημα Αʹ Βασικά μαθηματικά εργαλεία Σύνοψη Παρατίθενται μια επανάληψη σε βασικές γνώσεις που αφορούν βασικά μαθηματικά εργαλεία, για την αντιμετώπιση προβλημάτων που παρουσιάζονται στο σύγγραμμα, και

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα. Διγαλάκης Βασίλης

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα. Διγαλάκης Βασίλης Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Διγαλάκης Βασίλης Τυχαία Σήματα Γενίκευση τυχαίων διανυσμάτων Άπειρο σύνολο πιθανά αριθμήσιμο από τυχαίες μεταβλητές Παραδείγματα τυχαίων σημάτων: Τηλεπικοινωνίες: Σήμα πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης 1 Oct 16 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 4 η Γεωμετρική Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

X(t) = sin(2πf t) (1)

X(t) = sin(2πf t) (1) Στοχαστικές Διαδικασίες πίνακας περιεχομένων Κινητικότης.................................... Στασιμότης..................................... 6 Λανθάνουσες ισχείς............................... 1 Γκαουσιανή

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων και Εκτιμητικής

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων και Εκτιμητικής Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά και Εκτιμητικής Ορισμός 1.1. Όλα τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος αποτελούν το δειγματοχώρο (sample space) που συμβολίζεται με. Κάθε δυνατό αποτέλεσμα του πειράματος,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f =

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f = ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 16 (version 9-6-16) 1. A Να δώσετε τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο ορισμού της. Απάντηση: Παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Ανίχνευσης & Εκτίμησης

Ανίχνευσης & Εκτίμησης Θεωρία Ανίχνευσης & Εκτίμησης Γεώργιος Β. Μουστακίδης, Καθηγητής Πανεπιστήμιο Πατρών Περιεχόμενα Πρόλογος Ευχαριστίες v vi 1 Εισαγωγή 1 1.1 Τρεις ενδιαφέρουσες εφαρμογές 1 1.1.1 Ανίχνευση αεροσκάφους

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 59 Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 004, ΜΑΪΟΣ 008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Έχουμε f (x+h) - f (x) = c - c = 0 και για h 0 είναι f (x + h) - f (x) 0 m

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σκοπός Οι δειγματικοί χώροι, ανάλογα με τη φύση και τον τρόπο έκφρασης των ενδεχομένων τους κατατάσσονται σε ποσοτικούς και ποιοτικούς. Προφανώς ο υπολογισμός πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες

Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες Ενότητα : Βέλτιστος δέκτης για ψηφιακά διαμορφωμένα σήματα Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Επικοινωνιών Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Έννοια του στοχαστικού σήµατος. Θεωρούµε ένα µονοδιάστατο γραµµικό δυναµικό σύστηµα που περιγράφεται από τις σχέσεις:

2.1 Έννοια του στοχαστικού σήµατος. Θεωρούµε ένα µονοδιάστατο γραµµικό δυναµικό σύστηµα που περιγράφεται από τις σχέσεις: Στοχαστικά σήµατα Έννοια του στοχαστικού σήµατος Θερούµε ένα µονοδιάστατο γραµµικό δυναµικό σύστηµα που περιγράφεται από τις σχέσεις: & α Γνρίζουµε µε απόλυτη βεβαιότητα (µε πιθανότητα ένα), ότι η αρχική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αναγνώριση Προτύπων Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Χριστόδουλος Χαμζάς Τα περιεχόμενο της παρουσίασης βασίζεται στο βιβλίο: Introduction to Pattern Recognition A Matlab Approach, S. Theodoridis,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 5 : Θόρυβος Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Είδη θορύβου Περιγραφή θορύβου Θεώρημα Shannon Hartley Απόδοση ισχύος και εύρους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα. Διγαλάκης Βασίλης

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα. Διγαλάκης Βασίλης Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Διγαλάκης Βασίλης Στατικές (Στάσιμες) Διαδικασίες Στατική (Stationary) ορίζεται η διαδικασία της οποίας οι στατιστικές ιδιότητες δεν μεταβάλλονται με την πάροδο του χρόνου.

Διαβάστε περισσότερα

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@fme.aegean.gr Τηλ: 7035468 σ-άλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, διανύσματος =, όπου ~ N ( 0, και όλα τα μεταξύ τους ανεξάρτητα Τότε = (,, = ( 0, ( 0, f x f

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Κωδικοποίηση Αναλογικής Πηγής: Κβάντιση Εισαγωγή Αναλογική πηγή: μετά από δειγματοληψία γίνεται διακριτού χρόνου άπειρος αριθμός bits/έξοδο για τέλεια αναπαράσταση Θεωρία Ρυθμού-Παραμόρφωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 2016-2017 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegean.gr Τηλ: 2271035468

Διαβάστε περισσότερα

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων HMY 799 : Αναγνώριση Συστημάτων Διαλέξεις 3 4 Στοχαστικά/τυχαία / χ διανύσματα Ντετερμινιστικά και στοχαστικά σήματα στο πεδίο της συχνότητας Στοχαστικά σήματα και γραμμικά συστήματα Deterministic and

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων Ι

Αναγνώριση Προτύπων Ι Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 3: Στοχαστικά Συστήματα Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 7: Θεωρία Πιθανοτήτων (Πείραμα Τύχης) Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Στις βασικές υποθέσεις των γραμμικών υποδειγμάτων (απλών και πολλαπλών), υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση (autocorrelation

Διαβάστε περισσότερα

X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 )

X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 ) Εστω X : Ω R d τυχαίο διάνυσμα με ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ X Εχουμε δει ότι η γνώση της κατανομής καθεμιάς από τις X, X,, X d δεν αρκεί για να προσδιορίσουμε την κατανομή του X, αφού δεν περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 4: Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Είδη τυχαίων διανυσµάτων 1. ιακριτού τύπου X = (X 1, X 2,...,X k ) ονοµάζεται διακριτό τυχαίο διάνυσµα αν το πεδίο τιµών του είναι της µορφής, S = {x 1 x 2 n,,...,x,...}.

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία μεταβλητή είναι μία συνάρτηση ή ένας κανόνας που αντιστοιχίζει ένα αριθμό σε κάθε αποτέλεσμα ενός πειράματος.

Τυχαία μεταβλητή είναι μία συνάρτηση ή ένας κανόνας που αντιστοιχίζει ένα αριθμό σε κάθε αποτέλεσμα ενός πειράματος. ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Τυχαία μεταβλητή είναι μία συνάρτηση ή ένας κανόνας που αντιστοιχίζει ένα αριθμό σε κάθε αποτέλεσμα ενός πειράματος. Εναλλακτικά η τιμή της τυχαίας μεταβλητής είναι ένα αριθμητικό γεγονός.

Διαβάστε περισσότερα

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2014 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής Με λόγια, η f ( x, y) δίνει την πιθανότητα να εμφανισθεί

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

MAJ. MONTELOPOIHSH II

MAJ. MONTELOPOIHSH II MAJ MONTELOPOIHSH II ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 009 ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΙV Οι ασκήσεις είναι από το βιβλίο του Simon Haykin Θα ακολουθήσει ακόμη ένα φυλλάδιο τις επόμενες μέρες Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων 1ο Σετ Ασκήσεων - Λύσεις

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων 1ο Σετ Ασκήσεων - Λύσεις Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων ο Σετ Ασκήσεων - Λύσεις Νοέμβριος - Δεκέμβριος 205 Ερώτημα (α). Η νοσοκόμα ακολουθεί μια Ομογενή Μαρκοβιανή Αλυσίδα Διακριτού Χρόνου με χώρο καταστάσεων το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q 7ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 7ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

Συμπίεση Δεδομένων

Συμπίεση Δεδομένων Συμπίεση Δεδομένων 2014-2015 Κβάντιση Δρ. Ν. Π. Σγούρος 2 Αναλογικά Ψηφιακά Σήματα Αναλογικό Σήμα x t, t [t min, t max ], x [x min, x max ] Δειγματοληψία t n, x t x n, n = 1,, N Κβάντιση x n x(n) 3 Αλφάβητο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων

Βασικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων Βασικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων Ορισµός πιθανότητας Έστω Ω το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων ενός πειράµατος Συµβολίζουµε µε ω τα στοιχεία του Ω Ονοµάζουµε ενδεχόµενο (evet ένα υποσύνολο του Ω Για

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ 3ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 3ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι: Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3. ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θα εισαγάγουμε την έννοια του τυχαίου αριθμού με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα: Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας η οποία σε

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Σύγκλιση Σειρών Fourier Ιδιότητες Σειρών Fourier Παραδείγματα HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #10 Σειρές Fourier: Προσέγγιση Οι Σειρές Fourier μπορούν να αναπαραστήσουν μια πολύ μεγάλη κλάση περιοδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ]

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ] 1 ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σε αυτό το μέρος της πτυχιακής θα ασχοληθούμε λεπτομερώς με το φίλτρο kalman και θα δούμε μια καινούρια έκδοση του φίλτρου πάνω στην εφαρμογή της γραμμικής εκτίμησης διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) = Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές

Διαβάστε περισσότερα

ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ 1 ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σε αυτό το μέρος της πτυχιακής θα ασχοληθούμε λεπτομερώς με το φίλτρο kalman και θα δούμε μια καινούρια έκδοση του φίλτρου πάνω στην εφαρμογή της γραμμικής εκτίμησης διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 εκεµβρίου 2009 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ορισµός (α) Εστω (X, Y) διακριτή διδιάστατη τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 5ης Διάλεξης 1 Ανισότητα Markov 2 Διασπορά 3 Συνδιασπορά 4 Ανισότητα Chebyshev 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5

Περιεχόμενα 5ης Διάλεξης 1 Ανισότητα Markov 2 Διασπορά 3 Συνδιασπορά 4 Ανισότητα Chebyshev 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5 5ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα