Κίνηση στερεού σώματος (rigid body) δύο υλικών σημείων σε οριζόντιο επίπεδο με τριβή.

Transcript

1 Κίνηση στερεού σώματος (rigi oy) δύο υλικών σημείων σε οριζόντιο επίπεδο με τριβή. Δύο σφαίρες αμελητέων διαστάσεων με μάζες m και m αποτελούν στερεό σώμα (rigi oy) με απόσταση μεταξύ τους. Το σώμα κινείται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με τριβή. Να μελετηθεί η κίνησή του. Δίνονται τα, m, m. g Λύση Έστω σώμα. xo y το οριζόντιο επίπεδο πάνω στο οποίο κινείται το y y B m Στο xoy υπάρχει η γνωστή μας τριβή που είναι αντίρροπη της ταχύτητας. Για να προσδιορίσω την κίνηση του σώματος αρκεί να προσδιορίσω τις συντεταγμένες x, yh ενός τυχαίου σημείου μεταξύ των m και m και τη γωνία. y ABh Ah Bh Η τριβή που δέχεται καθεμιά από τις μάζες m και m είναι αντίστοιχα: h y 0 A m x x x x ή αλλιώς σε συνιστώσες: x x yo yo h y y yo yo yo yo 3h Το εικονικό συνολικό έργο (virtul work) W T $ x T $ y T $ x T $ y x y x y 4h $ x y$ y x$ x y$ y W m m m x y - o x y - o o o x y - o o o o o yo 5h

2 Όμως x x - cos y y - si x x cos y y si 6h και άρα o si yo yo - o cos - o si yo yo o cos 7h Οι γενικευμένες συντεταγμένες είναι x, y,. Άρα x x si $ y y - cos $ x x - si $ y y cos $ Αντικαθιστώ τις 7h και 8h στην 5h 8h W -m -m -m o sii $ x si $ i o sii yo - o yo - o cosi $ y - cos $ i o sii yo - o - o sii $ x - si $ i - o sii yo o yo o cosi $ y cos $ i - o sii yo o 9h Θέτω Z ] [ ] \ o sii yo - o - o sii yo o οπότε η 9h γίνεται: si si W x o x o o- o < -m -m F x cos cos y o y - o o o - < m -m F y - < m o sii $ si - yo- o cosi $ cos -m - o sii $ si yo o cosi $ cos F 0h

3 Άρα οι γενικευμένες δυνάμεις είναι: si si F x o x o o- o x -m cos cos F y o y - o o o y -m si cos si cos F x o y - o o - yo o -m h h 3h Η κινητική ενέργεια του συστήματος είναι: K mu m u m yo i m yo i 7h m8 o sii yo- o B m8 - o sii yo o B m yoi mo mo si-yo m yoi mo mo si- yo K m yoi m m io -o m -m i si-yo όπου m m m 4h Οι γενικευμένες συντεταγμένες x, y, που προσδιορίζουν την κίνηση του σώματος θα εξαχθούν από το παρακάτω σύστημα των διαφορικών εξισώσεων όπως αυτό προκύπτει από τις εξισώσεις Lgrge σε μη συντηρητικά πεδία δυνάμεων (σε πεδία γενικευμένων δυνάμεων): t x K o - x K F t y K o - y K F x y 5h 6h t K K o - F 7h 3

4 Επιλύουμε τη 5h. x K o m - m -m io si t x K o mxp - m - m i psi o si i 5h Ισχύει: x K 0 5i Η 5h λόγω των 5h, 5i και h γίνεται: mxp - m- mi psi o si si x o x o o- o -m -m 8h Εργαζόμενοι ομοίως με τις 6 h και 7 h προκύπτει: myp m- mi pcos o si i cos cos y o y - o o o -m -m 9h m mip - m-mi xp si- yp si cos si cos x o y - o o - yo o -m -m 0h Ειδική περίπτωση Αν οι μάζες είναι ίσες, m m ml, το σημείο είναι το άρα / l και ο m σταθερός παντού το σύστημα των εξισώσεων 8h, 9h και 0h γίνεται: lo si - lo si xp - h yo - lo cos yo lo cos yp - h si- yo cos lo x si y cos l - - o o l o p 3h 4

5 Μεταξύ των υποπεριπτώσεων που εντάσσονται στην ειδική περίπτωση ας σταθούμε ως παράδειγμα στις παρακάτω δύο. Υποπερίπτωση Α Αν το σύστημα των δύο μαζών μόνο περιστρέφεται γύρω από το : x σταθ. και y σταθ. οι εξισώσεις h, h και 3h δίνουν τα προφανή: o $ p - 4h o Από την 4h προκύπτει p - o o 5h Η τελευταία σχέση είναι η γνωστή μας (σε αλγεβρική μορφή) I$ gù t όπου I m lc m και t gm ol - m l ol Η 5 o το o h λέει απλά ότι η γωνιακή επιτάχυνση του σώματος είναι αντίρροπη της γωνιακής ταχύτητας, μιας και είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης είναι. Υποπερίπτωση B Αν το σώμα δεν περιστρέφεται τότε: σταθ. και οι εξισώσεις h, h και 3 xp - h γίνονται: yo 6h yp - yo yo 7h 0 0 Επομένως στην περίπτωση μη περιστροφής της ράβδου το θα κινηθεί με επιτάχυνση μέτρου αντίρροπη της ταχύτητας u v. Δηλαδή πιο απλά θα κινηθεί σε ευθεία με επιβράδυνση. Η ευθεία προφανώς είναι εύκολη υπόθεση και εξαρτάται από την αρχική ταχύτητα του και την αρχική του θέση 5

6 Το κρίσιμο ερώτημα. «Μπορεί το του σώματος να κινηθεί σε ευθεία γραμμή;» Για να συμβεί αυτό πρέπει το σύστημα των εξισώσεων h, h και 3 h και Οι y x όπου και σταθερές τότε yo και yp xp h γίνονται αντίστοιχα: h να δέχεται ως λύση την lo si - lo si xp - 8h - lo cos lo cos xp - 9h Η επεξεργασία των 8 h και 9 h οδηγεί στο συμπέρασμα ότι για να ισχύουν θα πρέπει: t - σταθ. 30h Αυτό με τη σειρά του σημαίνει σταθερό και άρα το σώμα να μην περιστρέφεται. Συμπέρασμα: Κατά την ολίσθηση του σώματος σε οριζόντιο επίπεδο με τριβή το είναι ΑΔΥΝΑΤΟ να κινηθεί σε ευθεία γραμμή εκτός αν το σώμα δεν περιστρέφεται. Παρασκευή 8/5/0 Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας 6