y S xoy το οριζόντιο επίπεδο πάνω στο οποίο κινείται η ράβδος. v και d της ράβδου, κινείται με ταχύτητα u A B A x S x y Sh τότε ισχύουν:

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "y S xoy το οριζόντιο επίπεδο πάνω στο οποίο κινείται η ράβδος. v και d της ράβδου, κινείται με ταχύτητα u A B A x S x y Sh τότε ισχύουν:"

Μνημοσύνη Ζέρβας
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Κίνηση ράβδου (rigid bod) σε οριζόντιο επίπεδο με τριβή. Ευθύγραμμη ράβδος μήκους με μάζα m και μεταβλητή γραμμική πυκνότητα r, κινείται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Να μελετηθεί η κίνηση της ράβδου. Δίνεται το g και ο συντελεστής τριβής m (μεταβλητός). Λύση Έστω O το οριζόντιο επίπεδο πάνω στο οποίο κινείται η ράβδος. d της ράβδου, κινείται με ταχύτητα u Το στοιχειώδες τμήμα δέχεται από το O τριβή αντίρροπη της ταχύτητάς του: Tv uv =d ^h uv ή αλλιώς σε συνιστώσες: Tv Tv =d =d + o o + o ^h ^3h v και 0 d M j ^h = ^h = ^h = ^Mh = Το εικονικό έργο πάνω στο d (virtua work) είναι: = T d + T d ^h και άρα το συνολικό εικονικό έργο πάνω στη ράβδο (virtua work) είναι: = _ T d+ T di = ' _ d + o did ^5h + o Αν τυχαίο σημείο της ράβδου με συντεταγμένες ^, h τότε ισχύουν: = + cos j = + sin j ^6h άρα = sin j o = o + cos j ^7h και d = d sin j dj d = d + cos j dj ^8h

2 Η σχέση ^5h λόγω των ^7h και ^8h γίνεται: ' = + o + _ sinjo cos ji 7_ sinji_ d sin j dji+ _ o + cosji_ d + cos j dji d ^9h Θέτω = + o = + o + _ sinjo cos ji οπότε η ^9h γίνεται: = % 7_ sinji d + _ o + cos ji d + _ sinj+ o cos j+ i djd Η ολοκλήρωση αφορά στο ^ M h =, το οποίο μετράται πάνω στη ράβδο, σε σχέση με το τυχαίο σημείο. Το έχει συνεπώς = 0 και άρα = + % _ sin jid d = + % _ o + cos jid d = + % _ sinj+ o cos j+ i d dj ^0h Από την ^0h προκύπτει ότι οι γενικευμένες δυνάμεις είναι F F = % _ sin jid = % _ o + cos jid Fj = % _ sinj+ o cos j+ i d ^h ^h ^3h

3 Η κινητική ενέργεια της ράβδου είναι: K = r_ + o id = r d = r7+ o+ _ sinjo cos jid οπότε K = m_ + oi + r d _ sinjo cos ji r d ^h όπου m η μάζα της ράβδου. Η κίνηση της ράβδου θα προσδιοριστεί από το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων όπως αυτό προκύπτει από τις εξισώσεις Lagrange σε μη συντηρητικά πεδία δυνάμεων (σε πεδία γενικευμένων δυνάμεων): d d d t K o n K = F d d d t K o n K = F ^5h ^6h d d t d K K n j = F j ^7h Το παραπάνω σύστημα των διαφορικών εξισώσεων μετά από τις αντικαταστάσεις των σχέσεων και ^h γίνεται: ^ h, ^h, ^3h mp _ jpsinj+ cos ji r d =% _ sin jid ^8h mp + _ jpcosj sin ji r d = % _ o + cos jid ^9h jp r d 7_ p sinj p cos ji+ _ cosj+ o sin ji r d = % _ sinj+ o cos j+ j o i d ^0h ^ h, ^9h και ^0h περιγράφει την κίνηση της ράβδου. Τα r και m γε Το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων 8 νικά είναι μεταβλητά. 3

4 Ειδική περίπτωση Αν r = σταθερό, m = σταθερό και το σημείο είναι το τότε το σύστημα γίνεται mp = sin j d ^h mp = o + cos j d ^h sin cos j o j+ o j+ o m jp = d ^3h Μεταξύ των υποπεριπτώσεων που εντάσσονται στην ειδική περίπτωση ας σταθούμε ως παράδειγμα στις παρακάτω δύο. Υποπερίπτωση Α Αν η ράβδος μόνο περιστρέφεται γύρω από το τότε = σταθ. και = σταθ. και συνεπώς οι ^h, ^h και ^3 h δίνουν αντίστοιχα 0 = 0 0 = 0 m jp = ^h Η τελευταία σχέση είναι η γνωστή μας (σε αλγεβρική μορφή) I a gù n = t o όπου I m = και t o = Από την ^h προκύπτει 3mg jp = ^5h Η ^5 h λέει απλά ότι η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου είναι αντίρροπη της γωνιακής ταχύτητας, μιας και το είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης είναι 3m g.

5 Υποπερίπτωση Β Αν η ράβδος δεν περιστρέφεται τότε: j = σταθ. και οι εξισώσεις ^h, ^h και ^3 p =mg h δίνουν αντίστοιχα + o ^6h p =mg o + o ^7h 0 = 0 Oι εξισώσεις 6 ^ h και ^7h λένε ότι η ράβδος θα κινηθεί με τρόπο που το θα βρίσκεται σε ευθεία (μετα m g. φορική κίνηση μόνο) και το μέτρο της ταχύτητάς του θα μειώνεται με ρυθμό Παρατήρηση Είναι καταπληκτική η συνέπεια των μαθηματικών, ας πούμε στην σχέση ^h σε συνδιασμό με την ^5h όπου χωρίς να έχουν οριστεί ούτε η έννοια της ροπής αδράνειας, ούτε η έννοια της γωνιακής επιτάχυνσης, ούτε η έννοια της ροπής, όλα ταυτίζονται με τους μετέπειτα ορισμούς που δόθηκαν στα παραπάνω μεγέθη: Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το κέντρο μάζας είναι: I = m Η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου που περιστρέφεται γύρω από το ακίνητο κέντρο μάζας της έχει μέτρο: 3m g Η ροπή έχει μέτρο: Παρατήρηση Ανάμεσα στις άλλες υποπεριπτώσεις υπάρχει και η 0, o 0 και j = 0 άσκηση της Α Λυκείου!!!! = o η οποία αντιστοιχεί σε 5

6 Το κρίσιμο ερώτημα. «Μπορεί το του σώματος να κινηθεί σε ευθεία γραμμή;» Για να συμβεί αυτό πρέπει το σύστημα των εξισώσεων ^h, ^h και ^3 ^ h και ^ Οι = a + b όπου a και b σταθερές τότε o = a και p = ap h γίνονται αντίστοιχα: h να δέχεται ως λύση την mp = sin j d ^8h mp = a + cos j a d ^9h Η επεξεργασία των 8 ^ h και ^9 h οδηγεί στο συμπέρασμα ότι για να ισχύουν θα πρέπει: tanj = a = σταθ. ^30h Αυτό με τη σειρά του σημαίνει j = σταθερό και άρα η ράβδος δεν περιστρέφεται. Συμπέρασμα: Κατά την ολίσθηση ράβδου σε οριζόντιο επίπεδο με τριβή το είναι ΑΔΥΝΑΤΟ να κινηθεί σε ευθεία γραμμή εκτός αν η ράβδος δεν περιστρέφεται. Πέμπτη 7/6/0 Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας 6

Σχετικά έγγραφα

Κίνηση στερεού σώματος (rigid body) δύο υλικών σημείων σε οριζόντιο επίπεδο με τριβή.

Κίνηση στερεού σώματος (rigid body) δύο υλικών σημείων σε οριζόντιο επίπεδο με τριβή. Κίνηση στερεού σώματος (rigi oy) δύο υλικών σημείων σε οριζόντιο επίπεδο με τριβή. Δύο σφαίρες αμελητέων διαστάσεων με μάζες m και m αποτελούν στερεό σώμα (rigi oy) με απόσταση μεταξύ τους. Το σώμα κινείται