Ορμή. Απλούστερη περίπτωση: σύστημα δυο σωματίων, μάζας m 1 και m 2 σε αποστάσεις x 1 και x 2, αντίστοιχα, από την αρχή ενός συστήματος συντεταγμένων

Transcript

1 Y Ορμή ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ Όταν ένα σώμα περιστρέφεται ή ταλαντεύεται κατά την κίνησή του, υπάρχει ένα σημείο του σώματος που λέγεται Κέντρο Μάζας, το οποίο κινείται με τον ίδιο τρόπο με τον οποίο θα κινιόταν ένα σωμάτιο κάτω από την επίδραση της ίδιας εξωτερικής δύναμης. Απλούστερη περίπτωση: σύστημα δυο σωματίων, μάζας και σε αποστάσεις και, αντίστοιχα, από την αρχή ενός συστήματος συντεταγμένων C Ο C X Ορίζουμε ως κέντρο μάζας C του συστήματος των δυο σωματίων ένα σημείο σε απόσταση CΜ από την αρχή Ο, η οποία ορίζεται από την σχέση, C

2 ή το γινόμενο της ολικής μάζας του συστήματος,, επί την απόσταση του σημείου αυτού από την αρχή, ισούται προς το άθροισμα των γινομένων της μάζας κάθε σωματίου επί την αντίστοιχη απόσταση του από την αρχή, δήλαδή C Όπου. Γενικεύοντας, αν έχουμε σωμάτια, μάζας,, 3,,, πάνω σε μια ευθεία γραμμή, C όπου,, 3,,, οι αντίστοιχες αποστάσεις των μαζών από την αρχή Ο του συστήματος συντεταγμένων από την οποία μετριέται και η C και όπου συστήματος. η συνολική μάζα του Ακόμη, μπορεί να γραφεί C

3 3 Για έναν μεγάλο αριθμό σωματίων που κατανέμονται στον χώρο, το διάνυσμα του κέντρου μάζας θα έχει την γενική μορφή, C r = ˆ C + ŷ C y + ẑ C όπου C C y y y y y y C όπου, y και (=,,3,,) οι συνιστώσες του διανύσματος θέσης r του σωματίου μάζας, δηλαδή, r = ˆ + ŷ y + ẑ

4 Οπότε, Κίνηση του κέντρου μάζας Για να βρεθεί η κίνηση του κέντρου μάζας αρκεί να βρούμε πως μεταβάλλεται το διάνυσμα θέσης του κέντρου μάζας με τον χρόνο, οπότε θα πρέπει να παραγωγίσουμε ως προς τον χρόνο. r C r r r r C r rc ) ( r r r ) ( ( rc ) ( r ) ( r ) ( r ) 4

5 rc r r r υc υ υ υ Παραγωγίζοντας, εκ νέου, ως προς χρόνο, έχουμε, υc ) ( υ υ υ ) ( ( υc ) ( υ) ( υ ) ( υ ) υc υ υ υ a a a a C C F F F F a Το άθροισμα στο δεξιό μέρος της παραπάνω εξίσωσης είναι το άθροισμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων που εξασκούνται πάνω σε όλα τα σωμάτια. Οι εσωτερικές δυνάμεις που εξασκούν μεταξύ τους τα σωμάτια εμφανίζονται κατά ζεύγη, οπότε, με βάση τον 3 ο Νόμο του Νεύτωνα (δράσης-αντίδρασης) αλληλοεξουδετερώνονται και δεν υπολογίζονται καθόλου στο παραπάνω άθροισμα. 5

6 Οπότε, ac F. Δηλαδή, το κέντρο μάζας ενός συστήματος σωματίων κινείται σαν όλη η μάζα του συστήματος να είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο μάζας και όλες οι εξωτερικές δυνάμεις να εξασκούνται στο σημείο αυτό. Ορμή ενός σωματίου ΟΡΜΗ Η ορμή ενός σωματίου είναι ένα διάνυσμα, p, που ορίζεται ως το γινόμενο της μάζας του,, και της ταχύτητάς του υ, δηλαδή, p=υ Με την βοήθεια της ορμής, ο ος Νόμος του Νεύτωνα μπορεί να διατυπωθεί και ως εξής: p F= Προφανώς, p υ F= = (υ)= (υ)= F =a p Δηλαδή, οι σχέσεις, F= περίπτωση του ενός σωματίου. και F =a είναι ισοδύναμες. 6

7 Ορμή ενός συστήματος σωματίων Έστω ότι αντί για ένα σωμάτιο έχουμε ένα σύστημα σωματίων με μάζες,, 3,,. Θεωρούμε ότι στο σύστημα δεν προστίθεται ούτε αφαιρείται μάζα. Τα σωμάτια μπορούν να αλληλεπιδρούν μεταξύ τους αλλά και να εξασκούνται πάνω τους εξωτερικές δυνάμεις. Κάθε σωμάτιο έχει μια ταχύτητα και μια ορμή, δηλαδή, το σωμάτιο μάζας έχει ταχύτητα υ και ορμή p = υ. Σε ένα ορισμένο σύστημα αναφοράς, η ολική ορμή Ρ ορίζεται ως το διανυσματικό άθροισμα των ορμών p των σωματίων στο ίδιο σύστημα αναφοράς, δηλαδή, P p p p p P υ υ υ Άρα Ρ = υc η μάζα του συστήματος. Άρα, η ολική ορμή ενός συστήματος σωματίων ισούται προς το γινόμενο της ολικής μάζας του συστήματος επί της ταχύτητας του κέντρου μάζας του συστήματος. 7

8 Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο έχουμε, P ( υ C ) P Μ υc P Μ a C Συγκρίνοντας τις εξισώσεις, προκύπτει ότι, F. P καταλήξαμε, δηλαδή, στο ίδιο αποτέλεσμα με αυτό της περίπτωσης του ενός σωματίου. 8

9 ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ Έστω ότι το άθροισμα των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν πάνω σε ένα σύστημα είναι μηδέν, δηλαδή, F. 0, οπότε από την εξ. (5.5) προκύπτει ότι, P 0 Ρ = σταθ. Η παραπάνω σχέση αποτελεί την Αρχή Διατήρησης της Ορμής, δηλαδή, όταν η συνισταμένη εξωτερική δύναμη που δρα πάνω σε ένα σύστημα είναι μηδέν, η ολική διανυσματική ορμή του συστήματος παραμένει σταθερή (δηλαδή, δεν μεταβάλλεται με τον χρόνο). 9