Αιολική Ενέργεια & Ενέργεια του Νερού

Transcript

1 Αιολική Ενέργεια & Ενέργεια του Νερού Ενότητα 6: Σχεδίαση Πτερυγίων Γεώργιος Λευθεριώτης, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

2 Σκοποί ενότητας Ιδανικό ρευστό - εξίσωση Laplace Στοιχειώδεις λύσεις της εξίσωσης Laplace (-D) D Κύλινδρος Περιστρεφόμενος κύλινδρος Μετασχηματισμοί: Περιστροφή Μετασχηματισμός αεροτομής σε κύλινδρο Κυκλοφορία Γ Συντελεστής άντωσης Συμμετρικές αεροτομές Joukovski Μη συμμετρικές αεροτομές Joukovski Αεροτομές Joukovski

3 Περιεχόμενα ενότητας Ιδανικό ρευστό - εξίσωση Laplace Στοιχειώδεις λύσεις της εξίσωσης Laplace (-D) D Κύλινδρος Περιστρεφόμενος κύλινδρος Μετασχηματισμοί: Περιστροφή Μετασχηματισμός αεροτομής σε κύλινδρο Κυκλοφορία Γ Συντελεστής άντωσης Συμμετρικές αεροτομές Joukovski Μη συμμετρικές αεροτομές Joukovski Αεροτομές Joukovski 3

4 Ιδανικό ρευστό - εξίσωση Laplace Ιδανικό ρευστό είναι εκείνο που έχει σταθερή πυκνότητα (άρα είναι ασυμπίεστο και σωληνοειδές) και έχει μηδενικό ιξώδες, επομένως είναι αστρόβιλο. Για ένα τέτοιο ρευστό ισχύει: ΕΞΙΣΩΣΗ LAPLACE xq= 0 q= Φ, q= 0 Φ = 0 Φ ( )

5 Στοιχειώδεις λύσεις της εξίσωσης Laplace (-D) Δυναμικό Φ, ρευματική συνάρτηση Ψ, ταχύτητες σε κυλινδρικές συντεταγμένες Πηγή Καταβόθρα σ σ σ Φ= nr + C, Ψ= θ + C qr =, qθ = 0 π π πr Στρόβιλος Φ= Γ θ + C, Ψ= Γ nr + C qr = 0, qθ = Γ π π πr Διπολική Ροπή cos sin cos sin Φ=± µ θ, Ψ= µ θ qr = µ θ, q θ = µ θ π r πr πr πr Αρχή της υπέρθεσης

6 D Κύλινδρος (1) Διπολική πηγή στη θέση (0,0) και ομογενές πεδίο με ταχύτητα με ταχύτητα V Στη x κατεύθυνση: µ cosθ Φ µ 1 Φ µ Φ= Vr cos θ +, qr = = V cos θ, q V sin θ = = + θ π r r πr r θ πr Θέτουμε = RV και παίρνουμε: µ π Υπολογισμός δυνάμεων L,D R R qr = Vcosθ 1, q = V sinθ 1+ r r θ Κατανομή ταχυτήτων για r=r: q = 0, q = V sinθ r θ

7 D Κύλινδρος () Απο νόμο Bernoulli: P + ρv = P+ ρqθ P= P P = ρ( V qθ) = ρv ( 1 4sin θ) P P Cp = = 1 4sin θ 1 ρv π π π π 0 0 ( ) L = PRdθsinθ = ρv R 1 4sin θ sinθdθ = 0 1 D = PRdθcosθ = ρv R 1 4sin θ cosθdθ = 0 ( ) Παράδοξο του Allembert: Oι δυνάμεις είναι μηδενικές!!!

8 Περιστρεφόμενος κύλινδρος Προστίθεται κυκλοφορία Γ R Γ Φ= V cosθ r+ θ r π R R Γ qr = Vcosθ 1, q V sin 1 θ = θ + θ r r π Σημείο τερματισμού: Γ qθ = 0 sinθs = Γ 4πRV sinθs 1 4π RV Έτσι προκύπτει μη μηδενική Άντωση: ( ) ( ) π π ρvγ L PRdθsin θ... sin θdθ L ρv π 0 0 = = = = Γ ή διανυσµατικά: L= ρ VxΓ

9 Περιστρεφόμενος κύλινδρος Από θεώρημα kutta-joukovski. Απόδειξη: Από νόμο Bernoulli: Έτσι: R Γ Γ qθ = V 1+ sin q θ θ ( R) = Vsinθ r πr πr Γ Γ θ ( R) sinθ 4 sin θ ΓV sinθ q = V + = V + + πr 4π R πr 1 1 Γ Γsinθ P= P P = ρ( V qθ ) = ρv 1 4sin θ 4π R V πrv 1 L= ρv R π ( 1 4sin 0 Γ θ) π π 0 Γ sinθdθ sinθ d 4π RV θ 0 π RV 0 0 π π 1 Γ π θ sin θ L= ρv R L= ρvγ sin θdθ = π RV sin θdθ

10 Ιδιότητες μιγαδικών αριθμών iθ ( ) + iθ Z = x + iy = re Z = x iy = re iθ r = x + y, e = cosθ + isinθ Συνθήκη Cauchy Riemann Z = a+ iβ Z a β = + i x x x Z 1 a β β a = + = i iy i y y y y Για να είναι συνεχώς διαφορίσιμη μια μιγαδική συνάρτηση Ζ(x,y) πρέπει η παραγωγός της να είναι ίδια τόσο στον πραγματικό όσο και στο μιγαδικό άξονα δηλαδή: a β a β =, = x y y x Αυτή η συνθήκη ικανοποιείται από το δυναμικό Φ και την ρευματική συνάρτηση Ψ: u = Φ = Ψ, v = Φ = Ψ x y y x

11 Α) Ομογενές πεδίο: Φ= Vx Ψ= V y Μιγαδικό δυναμικό F =Φ+ iψ ( ) F =Φ+ iψ= V x + iv y = V x + iy = V Z B) Πηγή - Καταβόθρα F =Φ+ iψ= σ nr + i σ θ = σ ( nr + iθ) = σ n( Ζ) π π π π Γ) Στρόβιλος F =Φ+ i Ψ= Γ θ + i Γ nr = ii Γ θ + i Γ nr = i Γ i θ + π π π π π nr = i Γ π n Ζ Δ) Διπολική ροπή µ cosθ µ sinθ µ F =Φ+ iψ=± i =± i π r π r πr µ µ F =± =± iθ πre πz ( cosθ sinθ) ( ) ( )

12 Ταχύτητες Q = df dz Α) Ομογενές πεδίο: Q = V B) Πηγή - Καταβόθρα Q = σ πζ Γ) Στρόβιλος Q = iγ πζ Δ) Διπολική ροπή Q = µ π Z

13 Μετασχηματισμοί: Περιστροφή iα iα iα ( ) = = + = cos sin + cos + sin f Z Ze xe iye x α ix α iy α y α Επομένως: iα iα iα ( ) = = + = cos sin + cos + sin f Z Ze xe iye x α ix α iy α y α f( Z) = Ze i α Γεωμετρική ερμηνεία: Ο μετασχηματισμός είναι η περιστροφή των αξόνων ή του πεδίου: Η e -iα προκαλεί δεξιόστροφη περιστροφή ενώ η e +iα προκαλεί αριστερόστροφη περιστροφή. ( ) Ο μετασχηματισμός f( Z) = Z Z0 = x x0 + i y y0 αντιπροσωπεύει παράλληλη μετατόπιση των αξόνων ή του πεδίου. π.χ. για διπολική πηγή στη θέση Ζ 0 που έχει περιστραφεί κατά γωνία +α: F iα µ e = π ( Z Z ) 0 iα df µ e Q = = dz π ( Z Ζ ) 0

14 Μετασχηματισμός αεροτομής σε κύλινδρο με σύμμορφη απεικόνιση (1) ΕΠΙΠΕΔΟ ξ ΕΠΙΠΕΔΟ z R R Μετασχηματισμός Joukovski: ξ = z + Για τον κύλινδρο ισχύει : F = F1+ F + F3 z F 1 : Ομογενές πεδίο στο εξωτερικό του κυλίνδρου με περιστροφή κατά μια γωνία α (γωνία προσβολής) V ze ia iγ F : Στρόβιλος με αρχή στο z o ln ( z z0 ) π ia µ e F 3 : Διπολική πηγή με περιστροφή και μετατοπιση π ( z z ) 0

15 Μετασχηματισμός αεροτομής σε κύλινδρο με σύμμορφη απεικόνιση () Τελικά 3 F = Fi i= 1 df Q = dz µ = πrv Q ia iγ = Ve + π ia VRe ( ) ( ) ( 1 ) z z z z 0 0 Η ταχύτητα στο επίπεδο ξ δηλαδή της αεροτομής: df df dz 1 Q = Q Q dξ = dz dξ = d ξ dz z 0 R θ Ρευματική γραμμή Σημείο τερματισμού

16 Κυκλοφορία Γ Q ia iγ = Ve + π ia VRe 0 0 ( z z ) ( z z ) Kutta Q ia ia iγ VRe.. Ve = 0 + = 0 ΣΤ Jukovski π ( z z0 ) ( z z0 ) z = z + Re z z = Re iβ Όμως: ΣΤ.. 0 ΣΤ.. 0 iβ ia ia iγ V R e Ve + = 0 i π Re β iβ R e iβ ia iβ ia iβ πre V e + iγ πrv e e e = 0 ( α β) i( α β) i + + πrv e + iγ πrv e = 0 ( α+ β) i( α+ β) i iγ= πrv e πrv e ( α+ β) ( α+ β) ( α+ β) ( α+ β) i i i i e e e e Γ= πrv Γ= 4πRV i i Γ= + 4πRV sin ( a β) κυκλοφορία ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη Kutta

17 Συντελεστής άντωσης Άντωση: ( ) ( ) L = ρv Γ= ρv 4π RV sin a + β L = 4πρV Rsin a + β Συντελεστής άντωσης: C L L = = 1 ρv c 4πρV 1 Rsin ρv ( a+ β ) c = C L = 8πRsin ( a+ β) c Σχετίζεται με γεωμετρικά χαρακτηριστικά

18 Εφαρμογή Θεωρήστε μοναδιαίο κύκλο που βρίσκεται στην αρχή των αξόνων. Προκύπτει επίπεδη πλάκα. 1,5 1 0,5 Στην περίπτωση αυτή ισχύουν : z0 = 0, β = 0, R= 1 0 -,5 - -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5,5-0,5-1 Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του κύκλου : iθ z = Re = 1e iθ -1,5 ξ = cosθ Πραγματικός αριθμός που σημαίνει ότι η αεροτομή θα συμπιεστεί σε ένα ευθύγραμμο τμήμα. για cosθ = 1: ξ = ξ = cosθ Eέ ποµ c νως = 4 για cosθ = 1: ξ = C L 8π R = sin( a+ β ) L sin c C = π a

19 Συμμετρικές αεροτομές Joukovski (1) Θεωρώ μετατόπιση του κύκλου κατά μ στον πραγματικό άξονα. μ Δεν έχουμε μοναδιαία ακτίνα (αφού το σημείο αναφοράς είναι το 0) 1 ξ = z + z 1 ξ = ( r cosθ µ ) + ir sin θ +... θ µ + ir sinθ ( r cos ) 1 1 ξ = θ µ + + θ Α Α ( r cos ) 1 ir sin 1 ( 1)

20 Συμμετρικές αεροτομές Joukovski () Υπολογισμός της χορδής c: μ Για cosθ=1 και sinθ=0: 1 1 = 1+ r + µ rµ ( ) ξ ( r µ ) 1 ξ = ( r µ ) + ξ = ( + ) ξ = ( r µ ) r µ = Για cosθ=-1 και sinθ=0: 1 ( 1+ µ ) + 1 ( 1) ξ = ( r + µ ) 1+ ξ = ( r µ ) + 1+ µ ( 1+ µ ) + 1 ( 1+ µ ) ( 1+ µ ) c ( 1+ µ ) ( ) ( ) r= µ + 1 c= + c= 4 1+ µ c= 4 1+ r 1 = 4 µ = r 1 1+ µ 1+ µ 1+ µ r 1+ µ Συντελεστής άντωσης: 8π β = 0 µ o µ CL = rsin ( a+ β) ( ) CL = π 1+ sin a( a< 5 ) CL = π 1+ a c r r

21 Μη συμμετρικές αεροτομές Joukovski (1) Μετατόπιση κύκλου κατά μ x από τον άξονα x και κατά μ y από τον άξονα y μ x μ y ( ) r = µ µ, x µ y β = arcsin r y

22 Μη συμμετρικές αεροτομές ( cosθ µ x) ( sinθ µ y) z = r + i r + Joukovski () 1 1 ξ = + ξ = θ µ + θ + µ + z ( rcos x) i( rsin y) z ( rcosθ µ x) + i( rsinθ + µ y) ( rcosθ µ ) i( rsinθ + µ ) ( rcos x) i( rsin y) r + µ x + µ y + r( µ ysinθ µ xcosθ) x y Α= r + µ x+ µ y+ r( µ ysinθ µ xcosθ) = ξ θ µ θ µ 1 ξ = ( rcosθ µ x ) 1+ + i rsinθ + Α ( µ y ) 1 Α 1 Για λεπτές αεροτομές : C ( a 5 o ) π ( α β) L < + Γραμμική μεταβολή της C L (α). Όσο μεγαλύτερη είναι η γωνία β (δηλαδή η κυρτότητα της αεροτομής) τόσο μεγαλύτερη είναι και η άντωση.

23 Αεροτομές Joukovski C L Μη συμμετρική αεροτομή Ίδια κλίση πα Μεγαλύτερη C L κατά πβ πβ Συμμετρική αεροτομή Κλίση ~ πα α

24 Τέλος Ενότητας

25 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

26 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0.

27 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Λευθεριώτης Γεώργιος, 015. «Αιολική Ενέργεια & Ενέργεια του Νερού, Ενότητα: Σχεδίαση Πτερυγίων» Έκδοση: 1.0. Πάτρα 015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

28 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

29 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

30 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων