Εισαγωγή στην Αστρόβιλη Άκυκλη Ροή

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ Διδάσκων: Δρ. Ριζιώτης Βασίλης Εισαγωγή στην Αστρόβιλη Άκυκλη Ροή

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

3 ur+dr (,t) = ur (,t) + du ζ = ζ0 + du dt Η έννοια της στροβιλότητας Κίνηση των στοιχείων του ρευστού - Η έννοια της Στροβιλότητας u u u du = ( dr ) u = dx1 + dx + dx3 x x x du u u u x x x dx1 u u u dx x1 x x3 dx 3 u u u x x x = r = (x 1,x,x 3) u = (u 1,u,u 3)

4 Η έννοια της στροβιλότητας du du u u u u u x 1 x x 1 x 3 x 1 dx1 1 u u1 u u u 3 1 = + + dx x1 x x x3 x dx3 u3 u1 u3 u u x1 x3 x x3 x D 0 u1 u u1 u x x x x dx1 1 u u1 u u 3 = 0 dx x1 x x3 x dx 3 u u u u x x x x R

5 du u 1 u u1 u3 0 x x1 x3 x1 dx1 1 u u1 u u3 = 0 dx = x1 x x3 x dx3 u3 u1 u3 u 0 x1 x3 x x R = ω dr 1 1 ω= {R 3,R,R 31 1}= u= Ω Η έννοια της στροβιλότητας Ω = u στροβιλότητα του πεδίου ροής

6 Η έννοια της στροβιλότητας Στροβιλότητα και Κυκλοφορία Γ = uds C C n dγ = uds = un ds= Ωn ds θεώρημα του Stokes C S S Γ = uds = un ds= Ωn ds

7 Εξισώσεις στροβιλότητας Ρυθμός μεταβολής της Στροβιλότητας Εξίσωση μεταφοράς Στροβιλότητας u u p + u Ω = f t ρ η περιστροφή της εξίσωσης ορμής: Ω ( u Ω) = f t ( u Ω) = { Ω u ( u ) Ω + ( Ω ) u { u Ω αν f = εξίσωση ορμής ασυμπίεστης μη συνεκτικής ροής Ω + ( u ) Ω ( Ω ) u = 0 t D ή Ω = ( Ω ) u Dt

8 Εξισώσεις στροβιλότητας 0 για αστρόβιλο πεδίο δυνάμεων (εξίσωση ορμής) D Ω ( Ωn ds) = ( u Ω) + u = Ω n ds 0 Dt t αποδεικνύεται ότι ισχύει η ταυτότητα προϋποθέσεις ροή σταθερής πυκνότητας ροή μη συνεκτική πεδίο εξωτερικών δυνάμεων αστρόβιλο dγ = Ωn ds D D ( Ωn ds) = (dγ) = 0 Dt Dt θεώρημα Helmholtz Η παροχή στροβιλότητας μέσα από επιφάνεια που κινείται με τη ροή (υλική επιφάνεια) παραμένει σταθερή

9 Θεώρημα Kelvin Ρυθμός μεταβολής της Κυκλοφορίας DΓ D D = ds 0 Dt Dt uds = = Dt Ωn C S θεώρημα Kelvin Η κυκλοφορία διατηρείται υλικά Ισοδύναμο με το θεώρημα του Helmholtz. Αποδεικνύει την ισχύ του και για την περίπτωση συμπιεστής ροής

10 Θεώρημα Kelvin Θεώρημα Kelvin Η κυκλοφορία διατηρείται υλικά DΓ = Dt 0 Γ α Γ w Αεροτομή που ξεκινά από ακινησία (Γ=0) παράγει στρόβιλο (στρόβιλος εκκίνησης) ίσης έντασης με την κυκλοφορία που αναπτύσσεται γύρω της και αντίθετης φοράς. Ο στροβιλος ταξιδεύει κατάντι της ροής και όταν απομακρυνθεί αρκετά από την αεροτομή τότε η κυκλοφορία γύρω από την αεροτομή σταθεροποιείται

11 Πηγή: Principles of ideal-fluid aerodynamics - Karamcheti K., Wiley Θεώρημα Kelvin

12 Το πρόβλημα της εκκίνησης Θεώρημα Kelvin

13 Αστρόβιλη Ροή Αστρόβιλη ροή Δυναμικό της ταχύτητας Σύμφωνα με τα θεωρήματα Kelvin και Helmholtz για μη συνεκτικό ρευστό που υπόκειται σε πεδίο αστρόβιλων δυνάμεων: Αν σε κατάσταση ηρεμίας ή σε ομοιόμορφη κίνηση ρευστού η κυκλοφορία γύρω από οποιοδήποτε απειροστό στοιχείο επιφάνειας του ρευστού είναι μηδέν ή αντίστοιχα η στροβιλότητα του στοιχείου είναι μηδέν, τότε αν αυτό αλλάξει κατάσταση η κυκλοφορία και η στροβιλότητα θα παραμείνουν μηδέν Υπό την επίδραση αστρόβιλων εξωτερικών δυνάμεων όλες οι κινήσεις μη συνεκτικού ρευστού που ξεκινούν από ηρεμία ή ομοιόμορφη κίνηση είναι αστρόβιλες

14 Αστρόβιλη Ροή Αστρόβιλη ροή Δυναμικό της ταχύτητας Ω = u =0 αστρόβιλο πεδίο Φ = Φ( r,t) u= Φ( r,t) u = 0 συνθήκη ασυμπίεστου ρευστού = + u Ω = f Dt t ρ Du u u p εξίσωση κίνησης/διατήρηση ορμής

15 Αστρόβιλη Ροή Αστρόβιλη ροή Δυναμικό της ταχύτητας Ω = u =0 αστρόβιλο πεδίο Φ = Φ( r,t) u= Φ( r,t) ( Φ) = Φ = 0 συνθήκη ασυμπίεστου ρευστού Φ u p + + U = c(t) t ρ εξίσωση κίνησης/διατήρηση ορμής n Φ = 0 r στερεό σώμα Φ U r οριακές συνθήκες

16 Αστρόβιλη Ροή Συνθήκες στο άπειρο για το εξωτερικό Neumann πρόβλημα Για το πεδίο διαταραχής της ταχύτητας ισχύει: 3D ροή 1 u,u,u r θ ϕ ~ r 3 D ροή 1 u r ~ r 1 u θ ~ r Γ = 0 1 u θ ~ r Γ 0

17 Αστρόβιλη Ροή Μοναδικότητα λύσης για το εξωτερικό Neumann πρόβλημα Η λύση του Neumann εξωτερικού προβλήματος είναι μοναδική σε 3D προβλήματα μέχρι μια προστιθέμενη σταθερά Φ =λύση 1 Φ =Φ +c =λύση 1 Η λύση του Neumann εξωτερικού προβλήματος είναι μοναδική σε D προβλήματα μέχρι μια προστιθέμενη σταθερά μόνο όταν η κυκλοφορία είναι καθορισμένη. Για τις ίδιες συνοριακές συνθήκες και συνθήκες στο άπειρο διαφορετικές τιμές της κυκλοφορίας οδηγούν σε διαφορετικές λύσεις

18 Αστρόβιλη Ροή Δυνάμεις σε κινούμενο σώμα τυχαίου σχήματος F = p S n ds p Φ u = p0 ρ Ub u+ t Εξίσωση Bernoulli για κινούμενα σώματα (ως προς κινούμενο με το σώμα σύστημα συντεταγμένων) S Φ u F= ρ nds + ρ Ub u nds t S Φ d ρ nds = ρ Φ nds t dt S S χρησιμοποιώντας ( ) ( ) u u ρ Ub u nds = ρ n ( Ub n) u ds ρ Ub ( n u) ds S S S U n u = U u n ( U n) u b b b

19 Αστρόβιλη Ροή Δυνάμεις σε κινούμενο σώμα τυχαίου σχήματος u u ρ Ub u nds = ρ n ( Ub n) u ds ρ Ub ( n u) ds S S S S un = Ub n συνθήκη μη εισχώρησης u u ρ n ( Ub n) u ds = ρ n ( u n) u ds S αποδεικνύεται ίσο με 0 d F= ρ Φ nds ρ U b ( n u) ds dt S S αδρανειακός όρος όρος σχετιζόμενος με τη κυκλοφορία

20 Αστρόβιλη Ροή Δυνάμεις σε κινούμενο σώμα τυχαίου σχήματος Η προβολή του ου ολοκληρώματος στην κατεύθυνση e S ( ) e n u ds n ds = dl db n ds u= ( dl db) u= ( u dl) db ( u db) dl S h c en u ds = ( udledb ){ e ( n u) ds = u dl dh Γ(h) Αν η κυκλοφορία γύρω από τομές του σώματος είναι μηδέν τότε η δύναμη στο σώμα είναι d F = ρ Φ nds dt S dh και για μόνιμη ροή F = 0

21 Αστρόβιλη Ροή Δυνάμεις σε κινούμενο σώμα τυχαίου σχήματος αποδεικνύεται ότι η ροπή στο σώμα είναι: d M= r ρ Φ n dt S ds Για μόνιμη ροή (σταθερή ταχύτητα σώματος) M= U ρ Φ nds b S

22 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα» του ΕΜΠ έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.