Μετασχηματισμός Jοukowski κυκλικού κυλίνδρου σε ομοιόμορφη ροή

Transcript

1 Μετασχηματισμός Jοukowski κυκλικού κυλίνδρου σε ομοιόμορφη ροή Κυκλικός κύλινδρος (ακτίνας r ) βρίσκεται εντός επίπεδης, άτριβης, δυναμικής ροής. Η γωνία πρόσπτωσης της αδιατάρακτης (επ άπειρον) ροής είναι α. Α) Βρείτε το μιγαδικό δυναμικό της ροής. Β) Υπολογείστε τη θέση του σημείου ανακοπής και σχεδιάστε τις γραμμές ροής. Γ) Τίνος σώματος το περίγραμμα λαμβάνουμε, εάν απεικονίσουμε τον κυκλικό r κύλινδρο μέσω του μετασχηματισμού iα ζ = + e ; Δ) Βρείτε τη θέση του σημείου ανακοπής στο (μετασχηματισμένο) ζ επίπεδο. Ε) Τι είδους ροή προκύπτει για ζ ; ΣΤ) Υπολογείστε την κατανομή πίεσης επί του περιγράμματος στο επίπεδο. Δίνονται: r, α, U, ρ, p

2 Α) Μιγαδικό Δυναμικό 1 ος Τρόπος : Κατασκευάζουμε το δυναμικό από τη γνωστή περίπτωση δυναμικής ροής γύρω από κύλινδρο με μετασχηματισμό συντεταγμένων. r W( ˆ) U ˆ = +, (*.1) ẑ iˆ ϕ i ( ϕ α) iϕ iα iα ẑ = re = re = re e = e. (*.) Από τις σχέσεις (*) παίρνουμε: iα r iα W( ) = U e + e, (*.3) ος Τρόπος : Κατασκευάζουμε το δυναμικό της παράλληλης ροής (μεταφορική κίνηση των στοιχείων του ρευστού). Είναι iα W U cos isin U e 1 ( ) ( α α) = =. (*.4) Όμως για την παράλληλη ροή γύρω από κύλινδρο γνωρίζουμε (επαλληλία παράλληλης ροής και διπόλου) οτι

3 r = +, (*.5) W( ) W1( ) W1 όπου με A συμβολίζουμε το μιγαδικό συζυγή του A. Από τις δύο τελευταίες σχέσεις, έχουμε αμέσως: W( ) = U e + U = U e + e iα iα iα r δηλαδή, προκύπτει και πάλι η (*.3)., (*.6) Β) Σημεία ανακοπής και γραμμές ροής Τα σημεία ανακοπής της ροής αντιστοιχούν σε μηδενισμό της ταχύτητας, συνεπώς η κατάλληλη συνθήκη είναι dw ( ) = u iv =. d Επομένως, και με βάση τη σχέση (*.3)

4 ( ) d r dw iα iα = U e + e =, ή d d r = e iα ή, τελικά, e i iα iα r e =, ή = r e α. (*.7) θ π k Σύμφωνα με τη γενική σχέση a n k = exp i + n n, k = 1,,,,n 1, για n την επίλυση της =, με το μέτρο του και θ = arg το (πρωτεύον) όρισμά του, η μιγαδική εξίσωση (*.7) έχει δύο ρίζες ( n = ). Δηλαδή είναι: α πk = r exp i +, k = 1,, ή iα = r e, k = και S S 1 i ( + ) = r e α π, k = 1.

5 Γ) Περίγραμμα σώματος μέσω του μετασχηματισμού ζ = + e r iα i Το περίγραμμα του σώματος στο επίπεδο είναι ο κύκλος C = r e ϕ.

6 Μέσω του δεδομένου μετασχηματισμού τα σημείου της περιφέρειας του κύκλου μετασχηματίζονται στο ζ επίπεδο ως εξής: ζ C r = re + e = rcos e iϕ iα iα iϕ ϕ re. Συνεπώς, έχουμε μετασχηματισμό του κύκλου σε επίπεδη πλάκα μήκους 4r υπό γωνία α με τον άξονα O ζ ξ ( ζ = ξ + iη). Δ) Σημεία ανακοπής στο ζ επίπεδο Εάν Ŵ ( ζ ) το μιγαδικό δυναμικό στο ζ επίπεδο τότε (σύμφωνα με τον κανόνα παραγώγισης) dw ( ) dwˆ ( ζ ) dζ =. d dζ d dζ Υπό την προϋπόθεση, λοιπόν, οτι, η τελευταία μας δίνει d

7 ( ζ ) ( ) ˆ 1 dw dw dζ = dζ d d, (*.8) δηλαδή τα σημεία ανακοπής θα αντιστοιχούν σε σημεία ανακοπής ζ. Πράγματι, S 1, S 1, dζ d r i r e α i 1 e α = + =, για d d ( + k ) i S r e α π =. Έτσι, με χρήση του σύμμορφου μετασχηματισμού, η εικόνα των S σημείων ανακοπής θα είναι τα Δηλαδή, για για r ζs = re + e e = rcosα + kπ e i( α+ kπ) i( α+ kπ) iα iα ( ) r i k = ζs = rcos 1 αe α, και iα iα k = 1 ζs = rcos( α + π) e = rcosαe., k = 1,.

8 Ε) Είδος ροής για ζ Από τη σχέση (*.8) του προηγούμενου ερωτήματος, η συζυγής μιγαδική ταχύτητα στο ζ επίπεδο είναι U ζ ( ) ( ) ˆ 1 1 dw ζ dw dζ dζ = = = U dζ d d d, ή iα iα r r iα Uζ = U e e 1 e = 1, ή U ζ = U 1 1 ( ) ( r ) iα r e. Από το μετασχηματισμό ζ = + iα iα ζe ζ e r, προκύπτει οτι αν e r iα = ± ζ τότε. και τον αντίστροφό του

9 Άρα, ( ) ( ) ( r ) iα iα 1 r e 1 e U = U = U = U ζ ζ 1 1. Δηλαδή, U ( ) U U i = = κι επομένως, μακρυά από τον κύλινδρο ζ ζ στο ζ επίπεδο έχουμε ροή παράλληλη πρός τον O ζ ζ άξονα. ΣΤ) Κατανομή πίεσης επί του περιγράμματος στο επίπεδο. Με εφαρμογή της εξίσωσης Bernoulli μεταξύ ενός σημείου επί της περιφέρεαις του κυλίνδρου κι ενός μακρυά του, έχουμε: U,C pc U p + = +. ρ ρ Όμως, iα iα r iα iα r U = U U = U e e U e e i Άρα, για τα σημεία επί του περιγράμματος C = r e ϕ, θα είναι

10 iα iα r iα iα r U,C = U,C U,C = U e 1 e U e 1 e iϕ iϕ r e r e, ή ( i( α ϕ) ) i( α+ ϕ) ( ) ( ) ( α ϕ ) U = U 1 e 1 e = U 1 cos.,c H κατανομή της πίεσης θα είναι U C,C p p U U = = U ( 1 cos( α ϕ )), ή ρ pc p ρ 1 = U ( cos( α ϕ) 1 ). Ο συντελεστής πίεσης θα είναι pc p Cp = = cos( α ϕ) 1. 1 U ρ

11 Σημείωση 1 η για μικρή Άσκηση: Να υπολογίσετε την κατανομή και το συντελεστή πίεσης πάνω στο περίγραμμα του σώματος στο ζ επίπεδο. Σημείωση η για μικρή Άσκηση: Να υπολογίσετε το συντελεστή άνωσης του σώματος και την ανωστική δύναμη που αναπτύσσεται σε αυτό στο ζ επίπεδο. Ποιες πρόσθετες παραδοχές απαιτούνται σε σχέση με τα δεδομένα του προβλήματος. (Οι υπολογισμοί θα γίνουν ανά μονάδα μήκους πτέρυγας).

12 C L r = 4 + Λεπτές αεροτομές, ( ) π sin α α Εάν είναι και αt α α r είναι C π sin( α α ) L =. = μικρές, τότε C π ( α α ) L. 1 L 1 L = CL ρu b = C ρu b L