f (x) = (x) e + x(e ) = e + xe = e (1 + x)

Transcript

1

2 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 000 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο A. Α - 6, Β - 4, Γ -, Δ -, Ε - 7. Β. f (x) = x x x x x f (x) = (x) e + x(e ) = e + xe = e ( + x) f (x) = () + ( nx) = 0 + = x x x (x) (x + ) - x(x + ) x + - x f (x) = = = = x + (x + ) (x + ) (x + ) f (x) = (ημx) + (συνx) = συνx - ημx 4 5 ΘΕΜΑ ο α. f (x) = (x - 9x + 004) = 6x - 8x, x IR β. f (x) = 0 6x - 8x = 0 6x(x - ) = 0 x = 0 ή x = γ. x f (x) f (x) Η f είναι γνησίως αύξουσα στα (-, 0) και (, +), ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, ).

3 ΘΕΜΑ ο x i v i f i Ν i f i % F i % 0, , , , Σύνολα 0 00 ΘΕΜΑ 4 ο α. x A = = = Γράφουμε τις παρατηρήσεις με αύξουσα σειρά : 00, 05, 0, 5, 5, 0, 5, 0 Οι μεσαίες παρατηρήσεις είναι 5, άρα δ A = = β. x Β = = = Γράφουμε τις παρατηρήσεις με αύξουσα σειρά : 50, 70, 90, 0, 0, 0, 40 Η μεσαία παρατήρηση είναι 0, άρα δ = B 0 t i(a) + ti(b) γ. x ολ = = = = Γράφουμε τις παρατηρήσεις με αύξουσα σειρά : 50,70,90, 00, 05, 0, 0,0, 5, 5, 0, 5, 0,0,40 Η μεσαία παρατήρηση είναι 0, άρα δ = 0

4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 0 ΙΟΥΛΙΟΥ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο A. α. Σ, β. Λ, γ. Λ, δ. Σ, ε. Σ. Β. x i v i f i Ν i F i 0 4 0,0 4 0,0 0,0 6 0,40 4 0,5 0 0,75 8 0,0 8 0,95 4 0,05 40 Σύνολα 40 ΘΕΜΑ ο α = β α + β β + 74 α. x = 7 4 = 7 β + 74 = 98 β = 4 β = 8 β. Από τη στήλη Ν i παρατηρούμε ότι αν γράψουμε τις παρατηρήσεις με αύξουσα σειρά, οι μεσαίες παρατηρήσεις (στις θέσεις 0 η και η ) + είναι, άρα δ = δ = Μ 0 = ΘΕΜΑ ο im im α. f (x) = x + ημx + x + = ημ = x0 x0 β. f (x) = x + ημx + x + ημx + x = ημx + x + συνx + = x + x ημx + x + συνx + x +

5 0 ημ0 γ. 0 + άρα η C τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α (0, ) Για x = 0 είναι f (0) = συν0 + = ΘΕΜΑ 4 ο f x (x) (x + ) - x (x + ) α. f (x) = = x + (x + ) x + - x - x = = (x + ) (x + ) x f (x) f (x) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στα (-, -] και [, +), ενώ είναι γνησίως αύξουσα στο [-, ]. - β. τοπικό ελάχιστο f (-) = = (-) + τοπικό μέγιστο f () = = γ. f (0) = = (0 + ) δ. Είναι f (0) = 0 και f (0) =, άρα ζητούμενη εφαπτομένη είναι η (ε) : y - f (0) = f (0). (x - 0) (ε) : y - 0 =. x (ε) : y = x

6 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΛΙΟΥ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο A. Σχολικό βιβλίο σελίδα Β. α -, β - 4, γ -, δ - 5. ΘΕΜΑ ο α. Μ = 0 β. v = f v = 0, 80 = 4 μαθητές γ. f % = f 00% = 0,5 00% = 5% δ. f % + f % + f % = 5% + 5% + 5% = 50% 4 5 ΘΕΜΑ ο 4 α. im f (x) = im(6x + x + 0) = = 8 x- x- 4 β. f (x) = (6x + x + 0) = 4x + 6x γ. f (x) = 0 4x + 6x = 0 6x(4x + ) = 0 x = 0 x x - + 4x f (x) - + f (x) Η f παρουσιάζει ελάχιστο την τιμή f (0) = 0

7 ΘΕΜΑ 4 ο v5 α. f 5 = 0, = v = v = 0 v v 0, β. Επειδή δ =,5 θα πρέπει αν γράψουμε τις παρατηρήσεις με αύξουσα σειρά να είναι : η 0 η παρατήρηση το η η παρατήρηση το άρα Ν = 0 και v = N - v = 0-8 = γ. v = ν + v + v = 0 v = 8 - v 4 i 4 4 xiv () i v + 4v 4 + x =,5 = v + 4v 4 + = 50 ν 0 (8 - v ) + 4v + = v + 4v + = 50 v + 46 = 50 v = 4 () 4 v = x i v i x i ν i v v 4 v 4 4v ΣΥΝΟΛΑ 0 v + 4v 4 + v = 4 4 () x i v i f i 8 0,4 0, 4 0, 4 4 0, 5 0, ΣΥΝΟΛΑ 0

8 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 9 Β. f (x) =, g (x) = συνx, h (x) = -ημx, φ (x) = 0. ΘΕΜΑ ο α. x i v i f i N i F i x i ν i 0 0 0,50 0 0, ,5 5 0,75 5 0,0 7 0,85 4 0,0 9 0, , ΣΥΝΟΛΑ β. x v 9 ν 0 i i x = = =,95 γ. Από τη στήλη Ν i βλέπουμε ότι αν γράψουμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά, οι δύο μεσαίες στις θέσεις 0 η και η είναι 0 και αντίστοιχα. 0 + Άρα δ = = ΘΕΜΑ ο x - α. im f (x) = im = - x0 x0 x x - 0 im f (x) = im = = 0 x- x- x + 9 0

9 β. γ. f (x) = = x + 9 (x + 9) x - (x - ) (x + 9) - (x - ) (x + 9) x (x + 9) - (x - ) x = = (x + 9) 40x = (x + 9) x x f (x) x - x (x + 9) + x f (x) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-, 0] και γνησίως αύξουσα στο [0, +). ΘΕΜΑ 4 ο α. h (0) = = 5m β. h (t) = t - 6t + 5 = 6t - 6 h () = 6-6 = 6 m/sec γ. t 0 5 h (t) - + h (t) Η h παρουσιάζει ελάχιστο για t = sec h min = h () = = = m.

10 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 004 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 8 Β. Σ, Γ. Σ, Δ. Λ, Ε. Λ, ΣΤ. Σ. ΘΕΜΑ ο α. ν + ν + ν + ν 4 = = 0 μαθητές β. ν + ν + ν 4 = = 5, άρα 5 μαθητές έχουν βαθμό από 40 μόρια και πάνω γ. x v 060 ν 0 i i x = = = 5 Κλάσεις x i v i x i ν i [0, 40) [40, 60) [60, 80) [80, 00) ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΜΑ ο t 45 ν 5 i α. x = = = 69 β. Γράφουμε τις παρατηρήσεις με αύξουσα : 6, 65, 69, 7, 77 δ = 69 γ. R = 77-6 = 5 δ. Έστω x το βάρος του 6 ου μαθητή 45 + x 45 + x x = 7 = x = 4 x = 87

11 ΘΕΜΑ 4 ο α. f (x) = x - 4 (x - ) = x - 4x + 8 f (x) = x - 4x + 8 = β. f (x) = x - 4 = x - 4 x f (x) - f (x) = x - (x - 4) = x - x + 4 = 4 γ. f () = 5 και f () = - (ε) : y - f () = f () (x - ) (ε) : y - 5 = -(x - ) (ε) : y - 5 = -x + (ε) : y = - x + 7 δ. x - + f (x) - + f (x) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-, ] και γνησίως αύξουσα στο [, +). Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο την τιμή f () = 4.

12 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 005 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 8 Β. α. Σ, β. Λ, γ. Σ, δ. Λ, ε. Σ. ΘΕΜΑ ο α. Πρέπει x - 0 x, άρα το πεδίο ορισμού της f είναι IR - {} x + x(x - ) - (x + ) x - x - β. f (x) = = =, x x - (x - ) (x - ) x - x - f (x) = 0 = 0 x - x - = 0 x = - ή x = (x - ) γ. x f (x) f (x) H f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για x = την τιμή + f () = = = 6 -

13 ΘΕΜΑ ο α. ν = ν + μ + λ + 5 = 80 i μ + λ = 4 μ = 4 - λ () β. x ν + μ + λ + 00 i i x =,6 = ν = μ + λ + () 08 = (4 - λ) + λ + 08 = 86 - λ + λ + 08 = λ + 98 λ = 0 () μ = 4-0 λ = 0 μ = x i v i N i x i v i ΣΥΝΟΛΑ Από τη στήλη N i προκύπτει ότι αν γράψουμε τις παρατηρήσεις με αύξουσα σειρά οι «μεσαίες» παρατηρήσεις (40 η και 4 η ) είναι + Άρα δ = =. x v x v γ. s = x v - = - x ν ν ν 64 = -,6 = 7,95-6,76 =,65 80 i i i i i i

14 ΘΕΜΑ 4 ο α. s 5 A CV A = 00% = 00% =,5% xa 000 s 90 Β CV Β = 00% = 00% =,5% xβ 800 Είναι CV < CV, άρα η ευρωπαϊκή εταιρεία έχει μεγαλύτερη Β ομοιογένεια μισθών. A β. Οι τιμές στην εταιρεία Α αυξάνουν κατά 50 Από εφαρμογή σχολικού βιβλίου είναι : x = x + 50 = = 50 A A A s = s = 5 A Οι τιμές στην εταιρεία Β αυξάνουν κατά 0%, δηλαδή κάθε τιμή πολλαπλασιάζεται επί, Από εφαρμογή σχολικού βιβλίου είναι : x = x, = 800, = 960 Β Β Β s = s, = 90, = 08 Β γ. s 5 A CVA = 00% = 00% = 0% xa 50 s 08 Β CVΒ = 00% = 00% =,5 xβ 960 Είναι CV < CV, άρα η αμερικανική εταιρεία έχει μεγαλύτερη Α Β ομοιογένεια μισθών μετά τις αυξήσεις. %

15 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 007 Θέµα ο Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 65 Β. σχολικό βιβλίο σελίδα 85 Γ. α. ΣΩΣΤΟ β. ΣΩΣΤΟ γ. ΛΑΘΟΣ δ. ΛΑΘΟΣ Θέµα ο α. Πρέπει x 0, άρα Α=R ( x ) x ( x ) ( x) x + x f ( x) + + = = =, x x x x 0. f x = 0 x = 0 x = x= ή x= β. ( ) x f x + + ( ) f ( x ) τ.µεγ. τ. ελάχ. Τοπικό µέγιστο το f(-)=- Τοπικό ελάχιστο το f()=

16 x x x f ( x x ) γ. lim lim x lim x x = = = lim = = 0 x f ( x) x x + x x + x x + + x x Θέµα ο α. Το 50% των µαθητών έγραψε τουλάχιστον άρα x =δ=. Το 4% των µαθητών έγραψε από ως 4 µε x = άρα x +s=4 s=. β.i. 95 µαθητές έγραψαν από (= x -s) ως (= x ) άρα οι 95 µαθητές αντιστοιχούν σε ποσοστό 47,5%. Άρα 95=ν 47,5% ν=00 µαθητές. ii. Στο διάστηµα (4,5)=( x +s, x +s), αντιστοιχεί το,5% των µαθητών δηλαδή ν,5%=00 0,5=6 µαθητές. Θέµα 4 ο α. ( ) f x = x sx + x+ x = + + = +. ( ) ( ) f x x sx x x x sx Είναι ( ) Μ(,5) C f ο f = εϕ45 5 s= s= s= f () = 5 s+ x = 5 x = 4 s β.i. CV= 00% = 00% = 50% > 0%. Άρα το δείγµα δεν είναι x 4 οµοιογενές. ii. ( ) f x = x x + x+ 4 ( ) f x = x 4x+ f ( x) = 6x 4 Ο ρυθµός µεταβολής της παραγώγου της f στο x 0 = είναι f ( ) = 6 4=.

17 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 66 A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 A. Σχολικό βιβλίο σελίδα Α4. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Σωστό, δ. Λάθος, ε. Λάθος. ΘΕΜΑ Β κ κ Β. f (x) = - =, x 0 x x κ Για x 0 : g (x) = x f (x) + f (x) = x κ + - κ = κ + - = x x x x κ κ Β. Α (, ) C f f () = - = = κ = Β. Για κ = είναι f (x) = -, x 0 και f (x) =, x 0 x x f () = - και f () = (ε): y - f () = f () (x - ) (ε): y + = (x - ) Β4. (ε) : y = x - 4 Για x = 0 y = -4 Γ (0, -4) (ε) : y = x Για y = 0 x = Δ, (ΟΓΔ) = (ΟΓ) (ΟΔ) = 4 = τ.μ. Β5. f (x) = > 0 για x 0, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα x σε καθένα από τα (-, 0) και (0, + ). Είναι λάθος το ότι ζητήθηκε ν αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της (ένωση διαστημάτων)

18 ΘΕΜΑ Γ t - Γ. θ (t) = t - 4 t + α = - 4 = - =, t (0, 4] t t t t - θ (t) < 0 < 0 t - < 0 t < t < 4 t άρα η θεροκρασία μειώνεται για t (0, 4] t - θ (t) > 0 > 0 t - > 0 t > t > 4 t άρα η θεροκρασία αυξάνεται για t (4, 4] Γ. θ = θ (4) - = α - 4 α = min Γ. t = x θ (t) = 0 t - 4 t + = 0 x - 4x + = 0 x = ή x = x = t = t = 0:00 x = t = t = 9 09:00 t - θ (t) t - Γ4. im = im t = im t4 t 4 t 4 t - 6 t - 6 t (t - 6) = im t4 = im t4 ( t - )( t + ) t(t - 4)(t + 4)( t + ) t - 4 t (t - 4) (t + 4)( t + ) = im = t4 t(t + 4)( t + ) 64

19 ΘΕΜΑ Δ Δ. f % = 00% x + x x + x - 6x = 00 i x - x - 80 = 0 x = 0 ή x = -8 (απορρίπτεται) f % = 0%, f % = 0%, f % = 0% και f 4 % = 40%. Δ. Κλάσεις f i % F i % [5, 5+c) 0 0 [5+c, 5+c) 0 40 [5+c, 5+c) 0 60 [5+c, 5+4c) ΣΥΝΟΛΑ 00 - Κατασκευάζουμε ιστόγραμμα και πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων Ιστόγραμμα & πολύγωνο Fi% αθροιστ. σχετικών συχνοτήτων Ε 40 A Γ 0 Η Ι Θ c 5+c 50 5+c 5+4c Το Ε είναι το μέσο του ΑΓ και η ΕΖ είναι μεσοπαράλληλη των ΑΒ και ΓΔ, άρα το Ζ είναι το μέσο του ΔΒ και η ΖΙ είναι μεσοπαράλληλη των ΔΗ και ΒΔ, άρα το Ι είναι μέσο του ΗΘ. Δ Ζ B 5 + c c 5 + c c = 50 = c = 00 5c = 50 c = 0

20 Δ. Κλάσεις x i ν i f i % Ν i F i % x i v i [5, 5) [5, 45) [45, 55) [55, 65) ΣΥΝΟΛΑ xivi 450 x = = = 49 v 50 Η μέση τιμή των ηλικιών είναι 49 χρόνια. Δ4. Έστω ότι προσλαμβάνονται x άτομα που ανήκουν στην η κλάση Ο πίνακας τότε διαμορφώνεται ως εξής: Κλάσεις x i ν i x i v i [5, 5) x x [5, 45) [45, 55) [55, 65) ΣΥΝΟΛΑ x x xivi x x = 40 = v 50 + x 40(50 + x) = x x = x 40x - 0x = x = 450 x = 45 Άρα για να γίνει η μέση ηλικία 40 χρόνια, πρέπει να προσληφθούν 45 άτομα που ανήκουν στην πρώτη κλάση.

21 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 0 IOYNIΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 9 A. Σχολικό βιβλίο σελίδα Α4. α. Σωστό, β. Σωστό, γ. Σωστό*, δ. Λάθος, ε. Σωστό. *έπρεπε να δίνεται ότι η μεταβλητή είναι ποσοτική διακριτή ΘΕΜΑ Β x x x (x - )(x + ) x x Β. im = im = x x - 4 α x α im im x x - (x - ) (x + ) x f = α = = (x + ) x α α 4 α = Α (-, 9) C f (-) = 9 -α + β + 5 = 9 α = β = 6 Β. Για α = και β = 6 είναι : f (x) = x - 6x + 5 και f (x) = 6x - 6 Η εφαπτομένη της C f στο σημείο Μ (x 0, f (x 0 )) είναι παράλληλη στον άξονα x x σημαίνει ότι : f (x 0 ) = 0 6x 0-6 = 0 6x 0 = 6 x 0 = x 0 = Για x 0 = - : f (-) = 9 A (-, 9) Για x 0 = : f () = B (, )

22 Β. Ο ρυθμός μεταβολής της f είναι η f. f (x) = x x f (x) - + f (x) Ο ρυθμός μεταβολής της f γίνεται ελάχιστος για x = 0. ΘΕΜΑ Γ x (x + ) - x x - x Γ. g (x) = + = = x + (x + ) (x + ) - x g (x ) = εφ45 = = (x 0 + ) (x + ) = - x x + x + = - x x x + x = 0 x (x + ) = 0 x = 0 x = 0 f (0) = και f (0) =, άρα (ε) : y - f (0) = f (0) (x - 0) y - = x y = x + Γ. g (x) = 0 - x = 0 x = x = x g (x) g (x) H g είναι γνησίως φθίνουσα στα (-, -] και [, +), ενώ είναι γνησίως αύξουσα στο [-, ]. Η g παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για x = - την τιμή g (-) = ενώ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για x = την τιμή g () =. 0

23 Γ. x i = -, 0, x, x 4 M ε y = x + = - + = 0 M ε y = x + = 0 + = M ε y = x + M 4 ε y 4 = x 4 + Είναι < x < x 4, άρα y < y < y < y 4 R y = y 4 - y 5 = (x 4 + ) = x 4 + x 4 = x x δ ω = = κ + x + + x δ y = = κ x ( ) + x Eίναι δ ω = δ κ y = x κ = + x x = Γ4. ΣΧΟΛΙΟ : H μέση τιμή των τιμών x, x, x, x είναι : 4 x + x + x + x Έπρεπε να ζητείται η μέση τιμή της μεταβλητής Χ 4 x = = = Εύρεση της μέσης τιμής της μεταβλητής X που παίρνει τιμές x, x, x, x με αντίστοιχες σχετικές συχνότητες f, f, f, f : 4 4 f = g (x ) - = g (-) - = - = 6 f = g (x ) - = g (0) - = - = g (x) im = x - im x x - (x - ) (x + ) (x + ) x - -(x + ) - = im = = - x (x + ) 4

24 g (x) f = - im = - - = 6 x x - 6 f 4 = - f - f - f = = 6 x i f i x i f i x = x = 0 0 x = 6 x 4 = 4 Σύνολα x = x i f i = ΘΕΜΑ Δ Δ. F 5 = και F 5 % = 00 Από τύπους Vieta έχουμε : 8 8 F + F 5 = F F 5 = + = F = F = 5 κ κ κ F F 5 = F = = κ = κ = F % = 00 κλ - λ + 0 = 00 λ - λ - 70 = 0 Δ = 89 και λ = 0 ή λ = -7 Όμως F % = λ 0, άρα λ = 0

25 Δ. f % = F % = λ = 0 F % = λ + 0 = 40 f % = F % - F % = 40-0 = 0 F % = 00. F = 60 f % = F % - F % = = 0 F 4 % = κλ - λ + 0 = 90 f 4 % = F 4 % - F % = = 0 f 5 % = F 5 % - F 4 % = = 0 f % Δ. 5% = f % + x = 6 () f 4% 5% = + f 5% x 4 = 4 () () c = 4 x - x = c c = 8 4 () η κλάση : [ α, α + 4 ), η κλάση : [ α + 4, α + 8 ) α α + 8 α + x = 6 = α + = α = 0 α = 0 Κλάσεις Κεντρικές τιμές x i f i % F i F i % [0, 4) 0 0, 0 [4, 8) 6 0 0,4 40 [8, ) 0 0 0,6 60 [, 6) 4 0 0,9 90 [6, 0) ΣΥΝΟΛΑ Δ4. Το 40% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες ή ίσες του. Στο 40% των παρατηρήσεων αντιστοιχούν 800 παρατηρήσεις Στο 00% των παρατηρήσεων αντιστοιχούν ν παρατηρήσεις 40ν = ν = ν = 000

26 Γενικό Λύκειο Νεστορίου Σχολικό έτος 0-04 Βοηθητικό Υλικό της Γ Λυκείου