ÈÅÌÁÔÁ 2005 ÏÅÖÅ ( ) ( ) 2 2 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ. θ έ µ α τ α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ( )( )( ) ( )( ) Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 2005.

Transcript

1 ο Θέµα Α. i) Σχολ. βιβλίο σελ. 6 ii) Σχολ. βιβλίο σελ. Β. Σχολικό βιβλίο σελ. 65 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Γ. (Λ), (Σ), αφού για i=5, είναι N = v v = = 0 ο Θέµα (Λ), (Σ), 5 (Λ) α) Για x είναι: οπότε ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α x F x = ( t s)( x ) lim F x F x 5 = α. ερωτ. = κ υποθ. x t s x x + t s x x + = = x x + x lim t s x + = s t s + = s t s = 6 s β) Η F είναι συνεχής, t = s ( είναι s > 0, άρα t< 0 ) s = t ÈÅÌÁÔÁ 005 s = t CV = 0,5 = 5%. Εποµένως, το δείγµα των τιµών t, t,..., t 00 της µεταβλητής T δεν είναι οµοιογενές. ( t s)( x )( x + ) ( t s)( x ) = = + x

2 β.ερωτ. γ) H g ορίζεται στο [0,+ ) αφού t s = s s = 6 s 0 (από υπόθεση) Για χ είναι και ο Θέµα οπότε έχουµε α.ερωτ. ( t s)( x + ) F x g( x) = = = x + t s t s 5 g = + = + = g ( x) =, x και Η εφαπτοµένη (ε): y= λx+ β στο Α έχει λ = y = g x + β y = x + β. g = = (). g, έτσι γίνεται: 5 9 Επειδή το A,g ανήκει στην (ε): y=x+β, είναι = + β β =, εποµένως (ε): 9 y= x+ α) Το ποσοστό των αυτοκινήτων µε κυβισµό µικρότερο από.00κ.εκ. είναι Όµως 00 00% =,5% % 95%,5% = είναι το ποσοστό των αυτοκινήτων µε κυβισµό µικρότερο από x s. Άρα x s =.00 () Το ποσοστό των αυτοκινήτων µε κυβισµό µικρότερο από.000κ.εκ. είναι % = 8%. ÈÅÌÁÔÁ 005 s x s x s x s x x + s x + s x + s 68% 95% 99,7% s

3 Όµως 00% 68% 8% = 00% είναι το ποσοστό των αυτοκινήτων µε κυβισµό µικρότερο από x Άρα + s. x+ s= 000 () Οι σχέσεις (), () δίνουν το σύστηµα x s = 00 s = 00. x + s = 000 x = 800 Ώστε: x=.800κ.εκ., s= 00κ.εκ. και, τέλος, R 6 s =.00κ.εκ.. β) Έστω τα ενδεχόµενα: Α: το αυτοκίνητο έχει κινητήρα µε κυβισµό µικρότερο από.00κ.εκ. Β: το αυτοκίνητο έχει κινητήρα µε κυβισµό µεγαλύτερο από.000κ.εκ. Ζητάµε την πιθανότητα Ρ(Α Β) Το ποσοστό των αυτοκινήτων µε κυβισµό µικρότερο από 00κ.εκ. = x s είναι 00% 99,7% = 0,5% ενώ αυτό των αυτοκινήτων µε κυβισµό µεγαλύτερο από 000κ.εκ. = x+ s είναι 00% 68% = 6%. Εποµένως Ρ(Α)=0,5% και Ρ(Β)=6% Επειδή, προφανώς, τα ενδεχόµενα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, η ζητούµενη πιθανότητα είναι Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)= 0,5% + 6%=6,5% γ) Έστω y i, i=,,,,000, ο κυβισµός των κινητήρων µετά την επισκευή. Είναι y i = x i + 0,06x i =,06 x i, i=,,,,000, οπότε ( βλέπε εφαρµογή σελίδα 99 σχολικού βιβλίου) και άρα y=,06 x =, = 908κ.εκ s y y =,06s =,06 00 = κ.εκ. x ÈÅÌÁÔÁ 005 s = =9 (κ.εκ). Το εύρος των νέων τιµών βρίσκεται ως εξής: Αν µ x, Μ x είναι η µικρότερη και η µεγαλύτερη αντίστοιχα από τις τιµές x i, i=,,,,000, τότε έχουµε διαδοχικά: µ x x i Μ x,06 µ x,06x i,06μ x,06 µ x y i,06μ x για κάθε i=,,,,000

4 Έτσι, η µικρότερη µ y και η µεγαλύτερη Μ y από τις τιµές y i, i=,,,,000, είναι µ y =,06 µ x Μ y =,06Μ x και το εύρος R y είναι: R y = Μ y µ y =,06Μ x,06µ x =,06(Μ x µ x ) =,06R,06 00 = 7 κ.εκ. ο Θέµα α) i) Η f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR (ως πολυωνυµική) µε Είναι Ακόµα: f x = x P Λ + P K = P Λ + Ρ Κ x. f x = 0 P Λ + Ρ Κ x = 0 x = P Λ + P K. f x > 0 P Λ + P K x > 0 x < P Λ + P Κ και f x < 0 P Λ + P K x < 0 x > P Λ + P K Άρα, η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (, Ρ(Λ)+Ρ(Κ)] και γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [Ρ(Λ)+Ρ(Κ), + ), και παρουσιάζει µέγιστο στο x=x o µε x ο =P(Λ)+Ρ(Κ). i) Για την µέγιστη τιµή έχουµε: 5 = f ( P( K) P( Λ) ) 5 Ρ( Κ) + = Ρ( Κ) f x β) i) Ισχύουν: 0 5 P( K) P( Λ) P( Λ) Ρ( Κ) Ρ( Λ) Ρ( Κ) Ρ ( Κ) = 5 P( K) P( K) P( K) P( Λ) Ρ( Κ) + + = P( K) 0 P( K) P( Λ) = P( K) P Λ = P K εποµένως Ακόµα Κ Λ Κ και Λ Κ Λ Ω ÈÅÌÁÔÁ 005 Ρ( ) Ρ(Κ Λ) Ρ(Κ) και Ρ(Λ) Ρ(Κ Λ) Ρ(Ω). Ρ(Κ) < Ρ(Λ) (από ερώτηµα (α) (ii)) Εποµένως, αν διατάξουµε σε αύξουσα σειρά τις παρατηρήσεις, έχουµε: Ρ( ), Ρ( ), Ρ(Κ Λ), Ρ(Κ), Ρ(Κ), Ρ(Κ), Ρ(Λ), Ρ(Κ Λ), Ρ(Κ Λ), Ρ(Ω).

5 5 ν i ii) Η διάµεσος αυτών των 0 παρατηρήσεων είναι το ηµιάθροισµα της 5 ης και 6 ης P K + P K παρατήρησης: δ= = P K Έτσι Ακόµα P K = δ= P( Λ) = P ( K) = = Επειδή τα ενδεχόµενα Κ Λ και Λ Κ είναι ασυµβίβαστα, από τον απλό προσθετικό νόµο των πιθανοτήτων, έχουµε: ( ) ( ) = P( K Λ) P( Λ Κ) P K Λ Λ Κ Τέλος: + = P( K) P( K Λ) + P( Λ) P( Λ Κ) = P( K) + P( Λ) P ( K Λ) = + = Ρ ( Κ Λ) P( K Λ) = 7 P( K Λ) = Ρ( Κ) + Ρ( Λ) P( K Λ) = + =. Με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα συχνοτήτων: x i P( ) P(Κ Λ) Ρ(Κ) Ρ(Λ) Ρ(Κ Λ) Ρ(Ω) v i κατασκευάζουµε το διάγραµµα και το πολύγωνο συχνοτήτων των παρατηρήσεων (διακριτή µεταβλητή). ÈÅÌÁÔÁ 005 ιάγραµµα συχνοτήτων Ρ( ) Ρ(Κ Λ) Ρ(Κ) Ρ(Λ) Ρ(Κ Λ) Ρ(Ω) x i

6 6 ν i Ρ( ) Ρ(Κ Λ) Ρ(Κ) Ρ(Λ) Ρ(Κ Λ) Ρ(Ω) x i Πολύγωνο συχνοτήτων ÈÅÌÁÔÁ 005

7 7 Σηµείωση για τη βαθµολογία του ου Θέµατος: Β. Μονάδες 0. Επιµέρους µονάδες για την η ιδιότητα και 6 µονάδες για την η ιδιότητα. ÈÅÌÁÔÁ 005