Εργασία στα πλαίσια του μαθήματος της Α Λυκείου, «Ερευνητικές Εργασίες» Πυθαγόρεια Ταξίδια

Transcript

1 Εργασία στα πλαίσια του μαθήματος της Α Λυκείου, «Ερευνητικές Εργασίες» Πυθαγόρεια Ταξίδια Συγγραφικές Ομάδες 1η Ομάδα : Κόμης Λουκιανός, Κοψιάς Παντελής, Κράνιας Παναγιώτης, Λιάπης Ιωάννης, Μερκούρης Χρήστος. 2η Ομάδα : Κοτομάτας Πάρις, Μιχαλοδημητράκης Νικόλαος, Μπέλλας Κωνσταντίνος, Ναμίας Σαμουήλ, Παπακωστόπουλος Κωνσταντίνος 3η Ομάδα : Καρακατσάνη Μυρτώ, Κόντζογλου Μαλβίνα, Κουγιούφα Αικατερίνη, Κουρκουμέλη Αγγελική, Λεβή Ιωάννα 4η Ομάδα : Καννάς Αλέξανδρος, Καρούμπαλη Άρτεμις, Καστόρα Δήμητρα, Κουκάκης Χρήστος, Μουζακιώτης Άγγελος Υπεύθυνος Καθηγητής : Γιώργος Ι. Μήλιος Σχολικό Έτος

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ I. 1ο κεφάλαιο: Η βιογραφία και τα ταξίδια του Πυθαγόρα (σελ.3-19) Εισαγωγή Γενικά-Γέννηση και Καταγωγή-Η νεότητα και πρώτες σπουδές Τα ταξίδια του Πυθαγόρα και η δράση του στην Ιταλία Οι υπερφυσικές του ικανότητες Η δίκαιη κούπα του Πυθαγόρα Ο Πυθαγόρας και η αρμονία Τα των Πυθαγορείων Χρυσά Έπη 13 II. 2ο κεφάλαιο: Πυθαγόρεια Κοινότητα Πυθαγόρεια Φιλοσοφία(σελ.20-18) 2.1 Εισαγωγή Πυθαγόρεια κοινότητα και αρχές-πυθαγόρειος Διατροφή Πυθαγόρεια Φιλία Αρμονία Κοσμοθεωρία-Τετρακτύς.. 26 III. 3o κεφάλαιο: Η συμβολή των Πυθαγορείων στα μαθηματικά(σελ.29-47) 3.1 Εισαγωγή Η συμβολή των Πυθαγορείων στην αρρητότητα Άρτιοι και περιττοί αριθμοί Γεωμετρικές ανακαλύψεις που αποδίδονται στους Πυθαγορείους Το Πυθαγόρειο Θεώρημα στα κινεζικά μαθηματικά Πυθαγόρειοι και Τετακτύες Χρυσή Τομή Αρχές των Πυθαγορείων Παραστατικοί αριθμοί-σχεδιασμός Αριθμών.. 45 IV. 4 ο κεφάλαιο: Η συμβολή του Πυθαγόρα στη μουσική(σελ.48-62) 4.1 Περίληψη Μουσική των Πλανητών Διαπασών Μουσικά Διαστήματα Σύνδεση των διαστημάτων με την αρμονία του σύμπαντος Τετρακτύς Μουσική Μονόχορδο Πορεία του μονόχορδου μέσα στους αιώνες Τρόπος λειρουργίας του μονοχόρδου Υλικά για την κατασκευή του μονοχόρδου. 58 Συμπεράσματα. 64 Βιβλιογραφία

3 Εισαγωγή Την παρακάτω εργασία επιμελήθηκαν μαθητές και μαθήτριες της 1ης Λυκείου. Κεντρικό της θέμα αποτελεί ένας από τους σημαντικότερους αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς και όχι μόνο, ο Πυθαγόρας. Σκοπός της είναι να μας ενημερώσει και να μας πληροφορήσει για τον βίο του Πυθαγόρα και της κοινότητας που ο ίδιος ίδρυσε. Καθώς συλλέγαμε στοιχεία και πληροφορίες πάνω στην εργασία, είχαμε την ευκαιρία να γνωρίσουμε πτυχές της ζωής του σπουδαίου μαθηματικού τις οποίες δύσκολα κανείς θα σκεφτόταν. Έτσι, μέσω αυτής της εργασίας, επιδιώκουμε να διαθέσουμε στο ευρύτερο κοινό τη σημαντικότατη συμβολή του Πυθαγόρα στα μαθηματικά, τη μουσική και άλλους τομείς. Οπωσδήποτε, χωρίς τη συμβολή του, πράγματα που στη σύγχρονη εποχή θεωρούμε αυτονόητα και δεδομένα, θα ήταν πολύ διαφορετικά. Ας γνωρίσουμε λοιπόν κάποια από τα σημαντικότερα στάδια της ζωής του. 3

4 1.1 Γενικά Μια από τις πιο αμφιλεγόμενες προσωπικότητες της αρχαιότητας. Υπήρξε αντικείμενο μελέτης από τους : Διογένη Λαέρτιο 1, Πορφύριο 2 και τον μαθητή του Ιάμβλιχο. Ο Ηρόδοτος 3 τον χαρακτήρισε ως «σημαντικό σοφιστή», δηλαδή δάσκαλο της σοφίας. Γέννηση και καταγωγή Οι σημαντικότερες αρχαίες βιογραφίες έγιναν από τους: Διογένη Λαέρτιο, τον Πορφύριο και τον μαθητή του Ιάμβλιχο. Η αναξιοπιστία των πηγών, καθιστά την προσωπικότητά του ως μία από τις πιο αμφιλεγόμενες της αρχαιότητας. Παρόλα αυτά οι περισσότεροι αρχαίοι συγγραφείς συμφωνούν πως o Πυθαγόρας ήταν γιος του Μνήσαρχου του κοσμηματοπώλη και της Πυθαίδας αλλά υπήρχε η φήμη ότι είχε θεϊκή καταγωγή από τον Απόλλωνα. Γεννήθηκε σε χρονολογία που δεν μας είναι γνωστή, αλλά που εικάζεται πως είναι το 570 Π.Χ. και ως επικρατέστερος τόπος γεννήσεως παραδίδεται η νήσος Σάμος. Το όνομα Πυθαγόρας (αυτός που εκφωνεί τα λόγια της Πυθίας) του το έδωσαν οι γονείς του προς τιμήν της Πυθίας που προφήτευσε την γέννηση του και το ότι θα ξεχώριζε από όλους τους άλλους νέους σε ομορφιά και σοφία. Επίσης στενά συνδεδεμένο με το όνομα του ήταν και το δόγμα της μετεμψύχωσης. Η νεότητα και οι πρώτες σπουδές στην Ελλάδα Ο νεαρός Πυθαγόρας μεγάλωνε με μεγάλη σεμνότητα και σωφροσύνη. Την μόρφωση του την ανέλαβαν δυο εξαιρετικοί διδάσκαλοι, ο Συριανός Φερεκύδης, που δίδασκε σε μια σπηλιά και ο Ερμοδάμαντας που ήταν απόγονος του Σάμιου Κρεώφιλου. Απολάμβανε δε, κάθε είδους σεβασμό ακόμη και από τους πολύ μεγαλύτερούς του σε ηλικία πολίτες. Όντας ακόμη έφηβος, η φήμη του έφθασε ως την Μίλητο προς τον Θαλή και ως την Πριήνη προς τον Βίαντα, τους δύο εκ των επτά σοφών της αρχαιότητος. 1. Ο Διογένης Λαέρτιος ήταν ιστοριογράφος της φιλοσοφίας της αρχαιότητας, συγγραφέας του έργου Βίοι φιλοσόφων. Ήταν ελληνικής καταγωγής γεννημένος μάλλον στην πόλη Λαέρτη της Κιλικίας. 2. Ο Πυθαγόρου βίος του νεοπλατωνικού φιλοσόφου του 3ου μ.χ. αιώνα Πορφύριου αντιστοιχεί στο μόνο σωζόμενο κεφάλαιο από μια ιστορία της φιλοσοφίας που εκτεινόταν από τα τρωικά ως τον Πλάτωνα. 3. Ο Ηρόδοτος ήταν αρχαίος Έλληνας περιηγητής, γεωγράφος και ιστορικός του 5ου αιώνα π.χ. Έγραψε για τους περσικούς πολέμους καθώς και περιγραφές για διάφορα μέρη και πρόσωπα που συναντούσε στα ταξίδια του. Ο Ηρόδοτος χαρακτηρίστηκε για πρώτη φορά από τον Κικέρωνα ως Πατέρας της Ιστορίας. 4

5 Μόλις άρχισε να εμφανίζεται το τυραννικό καθεστώς του Πολυκράτους στη Σάμο, εποχή όπου ο Πυθαγόρας ήταν περίπου δεκαοκτώ ετών, προβλέποντας ότι η τυραννία θα εμπόδιζε τα σχέδιά του και την φιλομάθειά του, έφυγε μαζί με τον Ερμοδάμαντα για την Μίλητο κοντά στον Φερεκύδη,τον φυσικό Αναξίμανδρο και τον φιλόσοφο Θαλή. Με την προσωπικότητα και την ευφράδεια της ομιλίας του, κέρδισε τον θαυμασμό και την εκτίμηση όλων. Μάλιστα ο Θαλής διακρίνοντας την μεγάλη διαφορά του Πυθαγόρα συγκριτικά με τους άλλους νέους, του παραστάθηκε με ευχαρίστηση και του μετέδωσε όσες γνώσεις κατείχε, που ήταν δυνατόν να μεταδοθούν. 1.2 Τα ταξίδια του Πυθαγόρα και η δράση του στην Ιταλία Μετά την Μίλητο ο Πυθαγόρας θα μεταβεί στη Σιδώνα της Φοινίκης, όπου θα μυηθεί από τους απογόνους του προφήτη Μώχου στα μυστήρια της Τύρου και της Βύβλου. Στη συνέχεια θα επιτελέσει το πρώτο θαύμα του όταν θα αποσυρθεί στον ναό του Καρμύλου,θα περάσει τους γκρεμούς του ιερού όρους και θα βρει στους πρόποδες του ένα αιγυπτιακό πλοίο που θα τον μεταφέρει στην Αίγυπτο. Εκεί θα γίνει δεκτός από τον Φαραώ Άμασι και τους ιερείς της Μέμφιδας, της Ηλιούπολης και της Διόσπολης. Έμεινε εκεί, έμαθε τη γλώσσα των Αιγυπτίων, σπούδασε αιγυπτιακή φιλοσοφία, μαθηματικά, γεωμετρία και αστρονομία. Μυήθηκε στα αιγυπτιακά άδυτα και μελέτησε τις Βίβλους τους. Όταν ο βασιλιάς Καμβύσης την κατέλαβε, ο Πυθαγόρας μεταφέρθηκε αιχμάλωτος στη Βαβυλώνα όπου έζησε για δώδεκα χρόνια και συναναστράφηκε με Πέρσες μάγους και σοφούς Χαλδαίους,επίσης από αυτούς διδάχτηκε τη ζωροαστρική 4 θρησκεία και την επιστήμη των αριθμών και της μουσικής. Στο ταξίδι του στην Ινδία θα γνωρίσει από τους Βραχμάνες τη σημασία της σιωπής και της προσευχής και θα έρθει σε επαφή με τον Βούδα. Στη Σάμο, που την κυβερνούσε ακόμα ο τύραννος Πολυκράτης, επέστρεψε σε ηλικία 56 ετών και ασχολήθηκε με τη διδασκαλία της Γεωμετρίας, των Μαθηματικών και της Φιλοσοφίας. Ζούσε σε μια σπηλιά που έμοιαζε με αυτήν του Φερεκύδη 5. Επίσης ταξίδια του αναφέρονται στη Θράκη,στη Σπάρτη και στους Δελφούς. Απογοητευμένος από την τυραννική διακυβέρνηση του Πολυκράτη και από το γεγονός ότι προσπαθούσε να διαδώσει τις γνώσεις του αλλά δεν γινόταν ούτε κατανοητός ούτε πιστευτός εγκατέλειψε την Σάμο και έφτασε στην Ιταλία γύρω στο 512 π.χ. σύμφωνα με τον Τίμαιο τον Ταυρομενίτη ή το 536 π.χ. κατά τον Αριστόξενο 6. Γι αυτό το λόγο πήγε στη Σικελία, όπου τον υπεδέχθησαν με ευμένεια διάφορες ιταλικές πόλεις. Ιδιαίτερα στον Κρότωνα η διδασκαλία του υπήρξε ιδιαίτερα παραγωγική καθώς ενθουσίαζε τους Κρότωνες. Έτσι ίδρυσε τη Σχολή του η οποία απαριθμούσε περίπου μαθητές μεταξύ των οποίων και γυναίκες. 4. Ο ζωροαστρισμός είναι μια από της παλαιότερες θρησκείες που εχουν ακόμα οπαδούς. Η εμφάνιση του χρονολογείται περίπου χρόνια πριν, ως μια ριζική αναμόρφωση της πολυθεϊστικής ιρανικής θρησκείας. 5. Ο Φερεκύδης ήταν γιος του Βάβυος, ποιητής και φιλόσοφος από την νήσο Σύρο. 6. Ο Αριστόξενος ήταν αρχαίος φιλόσοφος από τον Τάραντα, μαθητής του Αριστοτέλη. 5

6 1.3 Τα τελευταία έτη του βίου του Ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του θαυμάστηκαν για πολύ χρόνο, τόσο ώστε οι πόλεις να εμπιστεύονται την πολιτειακή διοίκηση σε Πυθαγορείους. Ύστερα όμως από πολλά έτη έγιναν αντικείμενο μεγάλου φθόνου και εξυφάνθηκε εναντίον τους η εξής συνωμοσία: Ένας άντρας από τον Κρότωνα, ο Κύλων, που παρότι καταγόταν από αριστοκρατική γενεά και διέθετε πλούτο μεγαλύτερο από των άλλων πολιτών, δεν διέθετε ευγενή χαρακτήρα αλλά ήταν φορτικός, βίαιος και τυραννικός, προσήλθε στον Πυθαγόρα αυτοεπαινούμενος και επιθυμώντας να γίνει μαθητής του. Όμως ο Πυθαγόρας διακρίνοντας από τη φυσιογνωμία του ανδρός και από άλλα σημάδια το ποιόν του, τον διέταξε αμέσως να φύγει και να επιστρέψει στις ασχολίες του. Ο Κύλων το εξέλαβε ως μεγάλη προσβολή και οργίσθηκε πολύ. Συγκέντρωσε τους φίλους του, όπου κατηγόρησε τον Πυθαγόρα και μαζί τους άρχισε να προετοιμάζεται για να βλάψει αυτόν και τους μαθητές του. Φαίνεται πως υπήρχαν και πολιτικά αίτια όμως για το μίσος του Κύλωνος, διότι ήθελε να μεταβάλει το πατροπαράδοτο πολίτευμα του Κρότωνος που όριζε ορισμένο αριθμό πολιτών με το δικαίωμα να συμμετέχουν στην εκκλησία του δήμου (οι «χίλιοι»). Σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο πέθανε καθώς προσπαθούσε να διαφύγει από την καταδίωξη Κροτώνων που φοβήθηκαν την εγκαθίδρυση της τυραννίας λόγο της μεγάλης δύναμης που είχε απόκτηση αυτός και οι μαθητές του στην πόλη. Οι Κροτωνιάτες έσφαξαν αυτόν και τους τετρακόσιους μαθητές του. Αντίθετα ο Δικαίαρχος 7 αναφέρει πως ο Πυθαγόρας πέθανε στο ιερό των Μουσών στο Μεταπόντιο, μένοντας σαράντα μέρες νηστικός. 1.3 Οι υπερφυσικές του ικανότητες Είναι σημαντικό να αναφέρουμε πως υπήρχαν πολλές φήμες σχετικά με υπερφυσικές ικανότητες τις οποίες μπορεί να είχε ο Πυθαγόρας. Πιο συγκεκριμένα λέγεται πως προέβλεψε ότι ένα πλοίο μετέφερε νεκρό την στιγμή που αυτό πλησίαζε στο λιμάνι του Μεταπόντιου και στην Τυρρηνία σκότωσε με μια δαγκωματιά ένα θανατηφόρο φίδι. Επιπλέον εμφανίστηκε στους μαθητές του στον Κρότωνα και στο Μεταπόντιο ταυτόχρονα. Σε μια άλλη περίπτωση μίλησε σ ένα βόδι και το απέτρεψε από το να τρώει κουκιά και όταν περνούσε από κάποιο ποταμό, ο ποταμός έβγαλε φωνή και τον χαιρέτησε. Ο Άβαρις ιερέας του Απόλλωνα αναγνώρισε στο πρόσωπο του Πυθαγόρα τον θεό του και γι αυτό και του έδωσε το βέλος του Απόλλωνα, ο Πυθαγόρας ως αντάλλαγμα του έδειξε τον χρυσό μηρό του, σημάδι της ηλιακής του καταγωγής. Ωστόσο απ όλες τις πληροφορίες ελάχιστες είναι εκείνες που μπορούν να χαρακτηριστούν αληθοφανείς. 7.Ο Δικαίαρχος ήταν Έλληνας φιλόσοφος, χαρτογράφος, γεωγράφος μαθηματικός και συγγραφέας. Ο Δικαίαρχος ηταν μαθητής στο Λύκειον του Αριστοτέλους. Έγραψε βιβλία για την πολιτική και την φιλοσοφία. 6

7 Η θεωρία της μετεμψύχωσης Στενά συνδεδεμένο με το όνομα του ήταν το δόγμα της μετεμψύχωσης.ο Πυθαγόρας(όπως αναφέρουν ο Διογένης Λαέρτιος και ο Ηρακλείδης Ποντικός) υποστήριζε πως στην πρώτη του ζωή είχε γεννηθεί ως Αιθαλίδης, γιός του Ερμή και γι αυτό το λόγο απέκτησε το χάρισμα της μνήμης των προηγούμενων ζωών του, έτσι ώστε να έχει συλλέξει όλες τις αναμνήσεις όταν τελικά θα γεννηθεί ως Πυθαγόρας. Στη συνέχεια γεννήθηκε ως Εύφορβος και σκοτώθηκε από τον Μενέλαο. Μετέπειτα ως Ερμότιμος και ύστερα ως Πύρρος ο οποίος ήταν ψαράς στη Δήλο. Μετά από τον Πύρρο γεννήθηκε ως Πυθαγόρας. 1.4 Η δίκαιη κούπα του Πυθαγόρα ή Ποτέ να μην ξεπερνάτε το Μέτρο Ο μεγάλος μαθηματικός έζησε μια ζωή λιτή που την χαρακτήρισε σε μεγάλο βαθμό το μέτρο. Μερικά από τα αποφθέγματα που μας άφησε παρατίθενται παρακάτω: Να αποδοκιμάζετε κάθε είδους υπερβολή και να μην ξεπερνάτε το μέτρο Να αποφεύγετε την παχυσαρκία Μην τρώτε υπερβολικά Πρέπει να αποφεύγεται με κάθε τρόπο και να κόβεται δια πυρός και σιδήρου και με κάθε τρόπο, από το σώμα η ασθένεια, από την ψυχή η αμάθεια, από την κοιλιά η πολυτέλεια από την πόλη η εξέγερση, από την οικογένεια η διχόνοια και από όλα η έλλειψη μέτρου. Ένδειξη της διδαχής του μέτρου στους μαθητές του αποτέλεσε η ανακάλυψη της κούπας του Πυθαγόρα ή της «δίκαιης κούπας». Η κούπα αδειάζει όταν γεμίσει περισσότερο απ όσο πρέπει. Στην κούπα υπάρχει χαραγμένο ένα όριο, μια γραμμή. Αν το υγρό που περιέχει δεν υπερβεί τη γραμμή αυτή, ο κάτοχος του δοχείου απολαμβάνει το κρασί του. Εάν, όμως, ξεπεράσει τη γραμμή του ορίου, τότε η κούπα αδειάζει και το κρασί χύνεται από τη βάση. Η δικαιοσύνη επέρχεται καθώς τότε το δοχείο αδειάζει εξ ολοκλήρου, και όχι μόνο η επιπλέον ποσότητα. Στο κέντρο της κούπας βρίσκεται μια στήλη τοποθετημένη ακριβώς πάνω από έναν σωλήνα που οδηγεί στο κάτω μέρος της. Ενώ η κούπα γεμίζει, η στάθμη του κρασιού ανεβαίνει και στο εσωτερικό της κεντρικής στήλης, ακολουθώντας το νόμο του Pascal 8 για τα συγκοινωνούντα δοχεία. Όσο η στάθμη του κρασιού δεν ξεπερνά τη γραμμή που είναι χαραγμένη στο εσωτερικό της κούπας «δεν τρέχει τίποτα». 8. Η Αρχή του Πασκάλ είναι ένας από τους βασικόυς νόμους της Υδροστατικής. 7

8 Μόλις όμως το υγρό υπερβεί τη γραμμή-όριο τότε αρχίζει να ρέει μέσω του εσωτερικού σωλήνα από τη βάση της κούπας. Τα μόρια του υγρού παρασύρουν το ένα το άλλο με αποτέλεσμα η κούπα να αδειάζει εντελώς. Αυτό, πέρα από μια απλή εφαρμογή της υδραυλικής, αποτελεί και έναν τρόπο διδαχής: Όταν το όριο ξεπερνιέται (ύβρις) δεν χάνονται μόνον όσα έχουν ξεπεράσει το όριο αλλά και όλα τα προηγούμενα που είχαν αποκτηθεί (Νέμεσις). Το άριστο οφείλουμε να το απολαμβάνουμε με μέτρο, σαν τον οίνο που ήδη έχουμε στην κούπα μας, αντλώντας τη μέγιστη ωφέλεια χωρίς να επιζητούμε παραπάνω. 'Eζησε το διάστημα ( π.χ.) Ιδρυτής του πρώτου συστηματικού πανεπιστημίου του κόσμου, στον Κρότωνα της Ιταλίας. Το πανεπιστήμιο αυτό ήταν ένα πολιτικο-θρησκευτικό ίδρυμα, με πολιτικούς κυρίως στόχους, στο οποίο ανάμεσα στα άλλα μελετήθηκαν και αναπτύχθηκαν η Αριθμητική και η Γεωμετρία. Οι πληροφορίες για τη ζωή και τη δράση του ίδιου του Πυθαγόρα είναι αμφιλεγόμενες, αν και γράφτηκαν περί τις 15 βιογραφίες του. Βέβαιο είναι ότι οι προσωπικές του προσφορές στα Μαθηματικά ήταν: Το περίφημο θεώρημα, που φέρει το όνομά του. Αγνοούμε την απόδειξη που έδωσε ο ίδιος, ενώ γνωρίζουμε ότι αυτή διέφερε από εκείνη του Ευκλείδη. Η ανακάλυψη μερικών Πυθαγόρειων τριάδων, δηλαδή τριάδων ακεραίων αριθμών, που επαληθεύουν την ισότητα του θεωρήματός του. Η ανακάλυψη των ασύμμετρων μεγεθών. Το γεγονός αυτό κλόνισε το αριθμητικό δόγμα του, ότι τα "πάντα είναι αριθμοί" (δηλ. αριθμήσιμα με τους γνωστούς τότε αριθμούς, τους ακέραιους και τα κλάσματα). Η κατασκευή και μελέτη τουλάχιστον των τριών από τα πέντε κανονικά πολύεδρα (τετράεδρο, κύβο, δωδεκάεδρο). Η κατασκευή της μουσικής κλίμακας. Μελέτη των λόγων της 4-χορδης λύρας και δημιουργία κανόνων κατασκευής της 8-χορδης λύρας. Εκτός αυτών σημαντική πρέπει να ήταν και η συμβολή του στις προτάσεις του βιβλίου ΙΙ των Στοιχείων (θεωρείται ολόκληρο πυθαγόρειο) και στην κατασκευή της λύσης δευτεροβάθμιας εξίσωσης (και εκείνης της χρυσής τομής). Μεγάλη πρέπει να ήταν και η συμβολή του στην Αριθμητική (θεωρία των Αριθμών). Ειδικότερα σε θεωρήματα ακεραίων αριθμών και στην μελέτη των αριθμητικών προόδων. Σήμερα είναι βέβαιο ότι ο Πυθαγόρας υπήρξε μεγάλη μαθηματική προσωπικότητα και ότι με τις έρευνες και το Πανεπιστήμιό του συνέβαλε στο άλμα των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών. Η περίεργη μυστικότητα όμως, που διέπνεε το σύλλογο, έγινε αιτία να μην πληροφορηθούν οι βιογράφοι τα προσωπικά επιτεύγματα του ίδιου και έτσι να αγνοούμε σήμερα το δικό του έργο, το οποίο ασφαλώς θα ήταν σημαντικότατο. 1.5 Ο Πυθαγόρας και η αρμονία Είναι κοινός τόπος ότι η αρχαία ελληνική φιλοσοφία είναι ο θεμέλιος λίθος πάνω στον οποίο στηρίζεται ολόκληρο το πνευματικό οικοδόμημα της Δύσης των νεοτέρων 8

9 χρόνων. Από την Αναγέννηση ακόμη έως τις μέρες μας οι έλληνες φιλόσοφοι της κλασικής εποχής, διαχρονικοί και αξεπέραστοι, έγιναν αντικείμενο θαυμασμού και συστηματικής μελέτης, από τους νεότερους ευρωπαϊκούς λαούς. Συνακόλουθα η σκέψη αυτή έγινε η «τροφός Μητέρα» όλης της νεότερης ευρωπαϊκής παιδείας. Η Ελληνική φιλοσοφία έγινε η γενεάρχης ολόκληρης της ευρωπαϊκής φιλοσοφίας. Όλα τα βασικά ζητήματα της φιλοσοφίας, της θεωρητικής όσο και της πρακτικής, τα έθεσαν και απήντησαν με την χαρακτηριστική για το ελληνικό πνεύμα διάφανη καθαρότητα. Οι πρωτοπόροι Έλληνες φιλόσοφοι έζησαν κιόλας πάντα ως φιλόσοφοι. Αυτό που ο Νίτσε το είπε «θαρρετή ξαστεριά φιλοσοφικής ζωής» και το είχε παράπονο που αυτό δεν το βρίσκει στους φιλοσόφους των νέων χρόνων. Το μεγάλο δώρο που ο Πυθαγόρας ο Σάμιος ένας από τους 7 σοφούς της αρχαίας Ελλάδος έκανε στους ανθρώπους, είναι η λέξη «φιλόσοφος». Στον κύκλο των Πυθαγορείων αναδύεται η λέξη «φιλόσοφος», δημιούργημα ελληνικό, το οποίο θα παραμείνει, περνώντας μέσα στους αιώνες και στους περισσότερους λαούς, ως λέξη ελληνική και συνήθως αμετάφραστη. Η σοφία δεν ανήκει στον άνθρωπο τείνει προς αυτήν ως ένα ιδεώδες, και επειδή, είναι ιδεώδες,ποτέ δεν την αγγίζει. Φωτίζεται έτσι καθαρά η περατότητα του ανθρώπου, τα όρια που ποτέ δεν μπορεί να ξεπεράσει. Όταν αναφερόμαστε σε ευρήματα του Πυθαγόρα, δεν πρέπει να αποκλείουμε καθόλου το ενδεχόμενο να πρόκειται περί εργασιών στις οποίες έλαβαν μέρος και οι μαθητές του. Υπάρχουν δύο διεξοδικές βιογραφίες του, αυτές όμως γράφτηκαν αργότερα, από τους νεοπλατωνικούς Πορφύριο και Ιάμβλιχο και ξαναπιάνουν τον πυθαγορικό μύθο, την αρχή του οποίου τη συναντούμε στα λίγα κατάλοιπα της πραγματείας «Περί Πυθαγορείων» και που άνθισε από τα χρόνια του νεοπυθαγορισμού 9. Μισόν αιώνα μετά τον θάνατό του ο Ηρόδοτος τον ονομάζει έναν από τους σημαντικότερους σοφούς της Ελλάδος. Η σχολή του Πυθαγόρα στηριζόταν σε προφορικά αποφθέγματά του «ούτος έφα».τα «ακούσματα» ή «σύμβολα» ήταν κανόνες που προέρχονταν από την προφορική διδασκαλία του Πυθαγόρα και σχετίζονταν με την διατροφή, την συμπεριφορά στο ιερό, την καθημερινή ζωή και τις συναναστροφές. Τα «μαθήματα» ή τα «μαθηματικά» είναι αυτά που μαθαίνονται. Η επιστήμη των αριθμών αποκαλείται «μαθηματική» από τα μέσα του 4ου αιώνα π.χ. Η ζωή για τους Πυθαγορείους είναι κάτι το εξαιρετικά σοβαρό και για να τη ζήσει κανείς όπως πρέπει χρειάζεται συστηματική προπαιδεία. 9. Φιλοσοφική κίνηση με σκοπό την αναβίωση του πυθαγορισμού που ξεκίνησε τον 1ο αιώνα π.χ. και αποτέλεσε μέρος της εξέλιξης της ελληνικής σκέψης που οδήγησε στον νεοπλατωνισμό. 9

10 Στα βασικά στοιχεία της πνευματικής κάθαρσης ανήκουν ακόμα η μουσική και η γυμναστική. Έδωσαν μεγάλη σημασία και στην διαιτητική. Μπορούμε να ξεχωρίσουμε τους παλαιότερους Πυθαγορείους ως την διάλυση του συλλόγου, στο δεύτερο μισό του 5ου αιώνα, από τους νεότερους, που στην αρχή του 4ου αιώνα, αρχηγό είχαν τον Αρχύτα στην πόλη του Τάραντα. Με αυτούς ήλθε σε στενή σχέση ο Πλάτων, κι αυτούς εννοεί ο Αριστοτέλης όταν γράφει οι «λεγόμενοι Πυθαγόρειοι». Σύμφωνα με ρητή μαρτυρία, έως τον Φιλόλαο δεν υπήρχαν συγγράμματα για την πυθαγορική φιλοσοφία. Πρώτος ο Φιλόλαος 10 δημοσιεύει σε τρεις τόμους την διδασκαλία του Πυθαγόρα και τους ακριβοπληρώνει ο Πλάτων, για να τους αποκτήσει. Στον Πυθαγόρα επίσης οφείλεται η διαίρεση των μαθημάτων (σε τέσσερις κλάδους), τα οποία ήταν : Αριθμητική, Μουσική, Γεωμετρία, Αστρονομία. Εκείνο όμως που διακρίνει τους Πυθαγορείους από όλους τους άλλους, είναι η οδός μέσω της οποίας πίστευαν ότι ελάμβανε χώρα η ανύψωση της ψυχής και η ένωσή της με τον Θεό. Η οδός αυτή ήταν: τα μαθηματικά.η διδασκαλία τους πρέσβευε ότι ο Θεός είναι ενότητα, ο κόσμος είναι πολλαπλότητα και συνίσταται από αντιτιθέμενα στοιχεία. Η αρμονία είναι εκείνη που αποκαθιστά την ενότητα ανάμεσα στα αντιτιθέμενα μέρη και τα συγκροτεί σε Κόσμο. Η αρμονία είναι θεία και συνίσταται από αριθμητικούς λόγους. Όποιος επιτυγχάνει να κατανοήσει πλήρως αυτήν την αριθμητική αρμονία γίνεται ο ίδιος θείος και αθάνατος. Μουσική, Αρμονία και Αριθμοί είναι άρρηκτα ενωμένα στη διδασκαλία των Πυθαγορείων. «Είμαι πεπεισμένος ότι ο ίδιος ο Πυθαγόρας ήταν αυτός που μεταλαμπάδευσε τις γνώσεις των Βαβυλωνίων (στον τότε ελληνικό κόσμο)», ισχυρίζεται ο Van de Waerden. Η κοσμογονία των Πυθαγορείων είχε αριθμητικό χαρακτήρα. Σύμφωνα με αυτήν το σύμπαν δημιουργήθηκε από το ένα μετά από διαίρεσή του, που πραγματοποιήθηκε από εισπνοή του απείρου. Το άπειρο εισβάλλει στο αδιαφοροποίητο είναι, και το διασπά δημιουργώντας τη δυάδα. 10. Ο Φιλόλαος ο Κροτωνιάτης (500 π.χ.) από τον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας υπήρξε μαθητής του Πυθαγόρα. 10

11 Ο κόσμος κυριολεκτικά δημιουργείται από το δίπολο «πέρας άπειρο». Αρχικά υπήρχε το δίπολο. Το είναι ήταν αδιαφοροποίητο, ενιαίο πεπερασμένο, για τους Πυθαγορείους ταυτόσημο με τον αριθμό ένα. Το μη είναι ήταν ισχυρότατα συνδεδεμένο με το κενό. Το πεπερασμένο αδιαφοροποίητο όν περιορίζεται από το κενό που εκτείνεται έπ άπειρον. Αυτό το άπειρο και οριοθετούν - κενό εισβάλλει στην αρχή της πυθαγόρειας κοσμογονίας, και διασπά το πεπερασμένο είναι, παρεμβαλλόμενο ανάμεσα στα δύο του κομμάτια. Δημιουργείται από την μονάδα η δυάδα, από αυτήν η τριάδα κ.τ.λ. με τρόπο ώστε το πυθαγόρειο σύμπαν να αποτελεί ένα αντίγραφο αυτού που σήμερα θα λέγαμε σύνολο φυσικών αριθμών. Για τους Πυθαγορείους ήταν «φυσιολογικό» να αναμένουν να υπακούει ο κόσμος που αποτελείται από διακριτές ψηφίδες σε σχέσεις, νόμους και αρμονίες εκφράσιμες με λόγους της μορφής α / β, όπου α, β φυσικοί αριθμοί και β όχι μηδέν. Δεν χρησιμοποιούσαν συνεχή μεγέθη και παρίσταναν γεωμετρικά σχήματα με μικρούς λίθους, ώστε κάθε πλευρά ενός συγκεκριμένου τριγώνου, να αποτελείται από συγκεκριμένο αριθμό χαλικιών. Κατά την μετά Χριστόν εποχή ο Πρόκλος 11 [ μ.Χ.] στα σχόλιά του στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη, δίνει μια περιγραφή ενός (σωστού) αλγορίθμου εύρεσης συγκεκριμένων τριάδων αριθμών, στους οποίους ο πρώτος είναι περιττός και οι άλλοι σαν τριάδες αποτελούν τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου. Η περιγραφή βεβαίως δεν αποτελεί απόδειξη. Οι έννοιες «περιττός» και «άρτιος» αριθμός ήταν συνδεδεμένες με το βασικό εννοιολογικό δίπολο των Πυθαγορείων «πέρας άπειρον». Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη9, μία βασική πυθαγόρεια δοξασία ήταν ότι ο κόσμος στηριζόταν σε δέκα αρχές. Αυτές τις Αρχές της συστοιχούσαν και τις εμφάνιζαν με την μορφή εννοιολογικών δίπολων, ώστε τα μέρη των δίπολων, τα οποία ανήκαν στην ίδια συστοιχία, να αποτελούν μία απόλυτα συγγενική κλάση. 11. Ο Πρόκλος ο Διάδοχος ήταν Νεοπλατωνικός φιλόσοφος που όρισε ένα από τα πιο περίτεχνα και πλήρους ανάπτυξης συστήματα νεοπλατωνισμού κοντά στο τέλος της κλασσικής περιόδου της φιλοσοφίας που άσκησε μεγάλη επιρροή στη δυτική μεσαιωνική φιλοσοφία και στην ισλαμική σκέψη. 11

12 Οι αρχές αυτές ήταν : Πέρας Περιττόν Έν Δεξιόν Άρρεν Ηρεμούν Ευθύ Φως Αγαθόν Τετράγωνον Άπειρον Άρτιον Πλήθος Αριστερόν Θήλυ Κινούμενον Καμπύλον Σκότος Κακόν Ετερόμηκες Ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του υποστήριξε επίσης την άποψη ότι από την περιστροφή των πλανητών παράγονται ήχοι, ανάλογα με την απόστασή τους από τη γη, οι οποίοι όμως δεν ακούγονται. Το σύνολο των ήχων αυτών δίνει την «αρμονία των σφαιρών». Την αρμονία των σφαιρών οι Πυθαγόρειοι τη συνδύασαν και με την αρμονία της ψυχής. Οι φιλοσοφικές αντιλήψεις τους επηρέασαν τον Πλάτωνα ο οποίος αργότερα θεωρεί ότι η αρμονία της μουσικής καθρεφτίζει την αρμονία της ψυχής. Συμπερασματικά, παρά τον ηθικοθρησκευτικό χαρακτήρα της διδασκαλίας του, ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του διαμόρφωσαν φιλοσοφικές αρχές που επηρέασαν την πλατωνική και αριστοτελική διανόηση, κυρίως όμως συνέβαλαν στην ανάπτυξη των μαθηματικών, της μουσικής και της δυτικής φιλοσοφίας. Καθιέρωσαν την αντίληψη ότι η πραγματικότητα - συμπεριλαμβανομένης της μουσικής και της αστρονομίαςείναι στο βαθύτερο επίπεδό της μαθηματικής φύσης. Μας κληροδότησαν επίσης το Πυθαγόρειο θεώρημα, τη χρήση της φιλοσοφίας ως μέσου πνευματικής κάθαρσης, την ιδέα περί ουράνιου πεπρωμένου της ψυχής και της δυνατότητας ανύψωσής της σε ένωση με το θεϊκό στοιχείο του κόσμου. Πυθαγόρεια είναι και η προσφυγή σε εντυπωσιακά σύμβολα με μυστικιστικές ιδιότητες, όπως η τετρακτύς, η χρυσή τομή και η αρμονία των σφαιρών. 12

13 1.6 Τα των Πυθαγορείων Χρυσά Έπη Αθανάτους μὲν πρῶτα θεούς, νόμῳ ὡς διάκεινται, Τίμα καὶ σέβου ὅρκον, ἔπειθ ἥρωας ἀγαυούς, Τούς τε καταχθονίoυς σέβε δαίμονας, ἔννομα ῥέζων. Τούς τε γονεῖς τίμα, τούς τ ἄγχιστ ἐκγεγαῶτας. Τῶν δ ἄλλων ἀρετῇ ποιεῦ φίλον ὅστις ἄριστος. Πραέσι εἶκε λόγοις, ἔργοισί τ ἐπωφελίμοισι, Μηδ ἔχθαιρε φίλον σὸν ἀμαρτάδος εἴνεκα μικρῆς, Οφρα δύνῃ. Δύναμις γὰρ ἀνάγκης ἐγγύθι ναίει. Ταῦτα μὲν οὕτως ἴσθι κρατεῖν δ εἰθίζεο τῶνδε Γαστρὸς μέν πρώτιστα, καὶ ὕπνου λαγνείης τε Καὶ θυμοῦ. πρήξης δ αἰσχρόν ποτε μήτε μετ ἄλλου, Μήτ ἰδίῃ πάντων δὲ μάλιστ αἰσχύνεο σαυτόν. Εἶτα δικαιοσύνην ἄσκει ἔργῳ τε λόγῳ τε. Μηδ ἀλογίστως σαυτὸν ἔχειν περὶ μηδὲν ἔθιζε. Ἀλλὰ γνῶθι μὲν ὡς θανέειν πέπρωται ἅπασι. Χρήματα δ ἄλλοτε μὲν κτᾶσθαι φίλει, ἄλλοτ ὀλέσσαι. Ὅσσα τε δαιμονίῃσι τύχαις βροτοὶ ἄλγἐ ἔχουσιν, Ὧν ἂν μοῖραν ἔχῃς, ταύτην φέρε μηδ ἀγανάκτει. Ἰᾶσθαι δὲ πρέπει, καθόσον δύνῃ.ὧδε δὲ φράζευ Οὐ πάνυ τοῖς ἀγαθοῖς τούτων πολὺ μοῖρα δίδωσι. Πολλοὶ δ ἀνθρώποισι λόγοι δειλοί τε καὶ ἐσθλοὶ Προσπίπτουσ, ὧν μήτ ἐκπλήσσεο, μήτ ἄρ ἐάσῃς Εἴργεσθαι σαυτόν. Ψεῦδος δ ἥνπερ τι λέγηται Πράως εἶχ. Ο δέ τοι ἐρέω, ἐπὶ παντὶ τελείσθω. Μηδεὶς μήτε λόγῳ σε παρείπῃ μήτε τι ἔργῳ, Πρῆξαι, μηδ εἰπεῖν, ὅ τι τοι μὴ βέλτερόν ἐστι. Βουλεύου δὲ πρὸ ἔργου, ὅπως μὴ μῶρα πέληται Δειλοῦ τοι πρήσσειν τε λέγειν τ ἀνόητα πρὸς ἀνδρός. Αλλὰ τάδ ἐκτελέειν, ἅ σε μὴ μετέπειτ ἀνιήσῃ. Πρῆσσε δὲ μηδὲν τῶν μὴ πίστασαι, ἀλλὰ διδάσκευ Οσσα χρεών, καὶ τερπνότατον βίον ὧδε διάξεις. Οὐδ ὑγιείης τῆς περὶ σῶμ ἀμέλειαν ἔχειν χρή. Αλλὰ ποτοῦ τε μέτρον καὶ σίτου γυμναστίων τε Ποιεῖσθαι μέτρον δὲ λέγω τόδ ὃ μή σ ἀνιήσει. Ειθιζου δε διαιταν εχειν καθαρειον αθρυπτον. Καὶ πεφύλαξό γε ταῦτα ποιεῖν, ὁπόσα φθόνον ἴσχει. Μὴ δαπανᾶν παρὰ καιρόν, ὁποῖα καλῶν ἀδαήμων Μηδ ἀνελεύθερος ἴσθι. Μέτρον δ ἐπὶ πᾶσιν ἄριστον. Πρῆσσε δὲ ταῦθ ἅ σε μὴ βλάψει λόγισαι δὲ πρὸ ἔργου. 13

14 Πρώτα να τιμάς τους αθάνατους Θεούς, όπως νόμος ορίζει, και να σέβεσαι τον όρκο. Έπειτα τους ένδοξους ήρωες να σέβεσαι και τις χθόνιες θεότητες, πράττοντας τα νόμιμα. Να τιμάς τους γονείς σου και τους κοντινούς συγγενείς σου. Ανάμεσα στους άλλους, να κάνης φίλο, όποιον είναι άριστος στην αρετή. Να υπακούς στα λόγια της πραότητας και στα έργα τα επωφελή. Να μην εχθρεύεσαι τον φίλο σου εξ αιτίας μικρού σφάλματος, όσο μπορείς, διότι η δύναμη κοντά στην ανάγκη κατοικεί. Αυτά μεν έτσι να γνωρίζης, να συνηθίζης δε να κυριαρχής στα παρακάτω: Πρώτα στην κοιλιά και στον ύπνο, κατόπιν στην λαγνεία και στον θυμό. Ποτέ να μην πράξης κάτι αισχρό, ούτε με άλλον ούτε μόνος σου, προπαντός δε, να ντρέπεσαι τον εαυτό σου. Έπειτα να ασκής την δικαιοσύνη με έργα και με λόγια, ούτε να συνηθίζης να είσαι ασυλλόγιστος για τίποτε, αλλά να γνωρίζης, ότι είναι πεπρωμένο όλοι να πεθάνουν και τα χρήματα άλλοτε αποκτούνται κι άλλοτε χάνονται. Όσα δε βάσανα έχουν οι θνητοί, από θεϊκή τύχη, όποια κι αν είναι η μοίρα σου, να την υποφέρης χωρίς να αγανακτής, αλλά πρέπει να θεραπεύης όσα μπορείς. Τούτο δε σκέψου: δεν δίνει η μοίρα στους αγαθούς μεγάλο μέρος απ αυτά. Πολλά θ ακούσης να λέγονται λόγια, ευγενικά και ανάξια, για τα οποία να μην εκπλήττεσαι, ούτε να τα απορρίπτης απερίσκεπτα. Αν ψέματα για κάτι λέγεται, να είσαι πράος. Ό,τι θα σου πω, να το εκτελής απαρέγκλιτα: κανείς να μην σε πείση, ούτε με λόγια ούτε με έργα, να πράξης ή να πης κάτι που δεν σου είναι ωφέλιμο. Να σκέπτεσαι πριν από κάθε σου έργο ώστε να μην φανής ανόητος, ο άνθρωπος που κάνει και λέει ανόητα, άφρονας χαρακτηρίζεται. Εκείνα να εκτελής για τα οποία δεν θα μετανιώσης μετέπειτα. Να μην κάνης τίποτε από κείνα που δεν γνωρίζεις, αλλά να διδάσκεσαι όσα υπολείπεσαι και έτσι θα ζήσης τον πιο ευχάριστο βίο. εν πρέπει να αμελής την υγεία του σώματος, αλλά με μέτρο να πίνης, να τρως και να γυμνάζεσαι, ως μέτρο ονομάζω εκείνο το οποίο δεν σε καταπονεί. Να συνηθίζης να έχεις καθαρό κι άφθαρτο βίο και να φυλάγεσαι να κάνεις όσα προκαλούν τον φθόνο, ούτε να σπαταλάς άκαιρα τα καλά όπως οι αδαείς, μήτε να στερείσαι, γιατί το μέτρο είναι το άριστο σε όλα. Πράξε όμως εκείνα που δεν θα σε βλάψουν και να σκέπτεσαι πριν την πράξη σου. 14

15 Μηδ ὕπνον μαλακοῖσιν ἐπ ὄμμασι προδέξασθαι Πρὶν τῶν ἡμερινῶν ἔργων λογίσασθαι ἕκαστον. Πῇ παρέβην; τί δ ἔρεξα; τί μοι δέον οὐκ ἐτελέσθη; Ἀρξάμενος δ ἀπὸ πρώτου ἐπέξιθι καὶ μετέπειτα δειλὰ μὲν ἐκπρήξας ἐπιπλήσσεο, χρηστὰ δέ, τέρπου. Ταῦτα πόνει, ταῦτ ἐκμελέτα τουτῶν χρὴ ἐρᾶν σε, Ταῦτά σε τῆς θείης ἀρετῆς εἰς ἴχνια θήσει Ναὶ μὰ τὸν ἀματέρᾳ ψυχᾷ παραδόντα τετρακτύν, Παγὰν ἀενάου φύσεως. Ἀλλ ἔργευ ἐπ ἔργον, Θεοῖσι ἐπευξάμενος τελέσαι. Τούτων δὲ κρατήσας Γνώσῇ ἀθανάτων τε θεῶν θνητῶν τ ἀνθρώπων Σύστασιν, ᾗ τε ἕκαστα διέρχεται ᾗ τε κρατεῖται Γνώσῃ δ ᾗ θέμις ἐστι, φύσιν περὶ παντὸς ὁμοίην, Ὡστέ σε μήτε ἄελπτ ἐλπίζειν, μήτε τι λήθειν. Γνώσῃ δ ἀνθρώπους αὐθαιρετα πήματ ἔχοντας Τλήμονας, οἵ τ ἀγαθῶν πέλας ὄντων οὔτ ἐσορῶσιν Οὔτε κλύουσιν λύσιν δὲ κακῶν παῦροι συνίσασι. Τοίη μοῖρα βροτών βλάπτει φρένας ὡς δὲ κύλινδροι Ἄλλοτ ἐπ ἄλλα φέρονται, ἀπείρονα πήματ ἔχοντες. Λυγρὴ γὰρ συνοπαδὸς ἔρις βλάπτουσα λέληθεν, Σύμφυτος, ἣν οὐ δεῖ προάγειν εἴκοντα δὲ φεύγειν. Ζεῦ πάτερ ἧ πολλῶν κε κακῶν λύσειας ἅπαντας, Εἰ πᾶσιν δείξαις, οἵῳ τῷ δαίμονι χρῶνται. Ἀλλὰ σὺ θάρσει, ἐπεῖ θεῖον γένος ἐστὶ βροτοῖσιν, Οἷς ἱερὰ προφέρουσα φύσις δείκνυσιν ἕκαστα. Ὧν εἴ σοί τι μέτεστι, κρατήσεις ὧν σε κελεύω, Ἐξακέσας, ψυχὴν δὲ πόνων ἀπὸ τῶνδε σαώσεις. Ἀλλ εἴργου βρωτῶν, ὧν εἴπομεν, ἔν τε καθαρμοῖς, Ἔν τε λύσει ψυχῆς κρίνων, καὶ φράζευ ἕκαστα, ἡνίοχον γνώμην στήσας καθύπερθεν ἀρίστην. Ἢν δ ἀπολείψας σῶμα ἐς αἰθέρ ἐλεύθερον ἔλθης, Ἔσσεαι ἀθάνατος θεὸς ἄμβροτος, οὐκέτι θνητός Παγὰν ἀενάου φύσεως. Ἀλλ ἔργευ ἐπ ἔργον, Θεοῖσι ἐπευξάμενος τελέσαι. Τούτων δὲ κρατήσας Γνώσῇ ἀθανάτων τε θεῶν θνητῶν τ ἀνθρώπων Σύστασιν, ᾗ τε ἕκαστα διέρχεται ᾗ τε κρατεῖται Γνώσῃ δ ᾗ θέμις ἐστι, φύσιν περὶ παντὸς ὁμοίην, Ὡστέ σε μήτε ἄελπτ ἐλπίζειν, μήτε τι λήθειν. Γνώσῃ δ ἀνθρώπους αὐθαιρετα πήματ ἔχοντας Τλήμονας, οἵ τ ἀγαθῶν πέλας ὄντων οὔτ ἐσορῶσιν Οὔτε κλύουσιν λύσιν δὲ κακῶν παῦροι συνίσασι. Τοίη μοῖρα βροτών βλάπτει φρένας ὡς δὲ κύλινδροι Ἄλλοτ ἐπ ἄλλα φέρονται, ἀπείρονα πήματ ἔχοντες. Λυγρὴ γὰρ συνοπαδὸς ἔρις βλάπτουσα λέληθεν, Σύμφυτος, ἣν οὐ δεῖ προάγειν εἴκοντα δὲ φεύγειν. Ζεῦ πάτερ ἧ πολλῶν κε κακῶν λύσειας ἅπαντας, 15

16 Μήτε να επιτρέπης τον απαλό ύπνο στα μάτια σου, πριν εξετάσης τρεις φορές τις πράξεις εκείνης της ημέρας: «τι παρέβην; τι έπραξα; τι απ ό,τι έπρεπε δεν ολοκλήρωσα;» αρχίζοντας δε από το πρώτο να επεκτείνεσαι στα μετέπειτα, για τα ανάξια μεν που έπραξες να επιπλήττης τον εαυτό σου και για τα χρηστά ευχαριστήσου. Αυτά να προσπαθής, αυτά να μελετάς, αυτά πρέπει ν αγαπάς, αυτά θα σε βάλουν στα ίχνη της θεϊκής Αρετής. Ναι, μα τον παραδώσαντα στην ψυχή μας την Τετρακτύν, την πηγή της αέναης φύσεως. Άρχιζε λοιπόν το έργον προσευχόμενος στους θεούς για να το ολοκληρώσης. Εφόσον τα τηρής αυτά, θα γνωρίσης την σύσταση των αθανάτων Θεών και των θνητών ανθρώπων, είτε αυτή τα διεισδύει ή παραμένει σ αυτά. Θα γνωρίσης δε, αν αυτό είναι δίκαιο, ότι η φύση όλων είναι όμοια, ώστε μήτε τ ανέλπιστα να ελπίζης, ούτε κάτι να σου ξεφεύγη. Θα γνωρίσης ακόμη ταλαίπωρους ανθρώπους από συμφορές που ίδιοι προκάλεσαν, οι οποίοι ενώ τα αγαθά βρίσκονται κοντά τους ούτε τα βλέπουν ούτε τ ακούν. Λίγοι γνωρίζουν πώς να λύσουν τα κακά. Η μοίρα αυτή τους βλάπτει το μυαλό, σαν κύλινδροι περιφέρονται εδώ κι εκεί, υποφέροντας ατελείωτες συμφορές, γιατί τους διαφεύγει ότι η Έριδα που τους είναι σύμφυτη, είναι μια ολέθρια συνοδός που τους βλάπτει, και δεν πρέπει να την προάγουν, αλλά να την αποφεύγουν. Δία πατέρα, αναμφίβολα μπορείς ν απαλλάξης όλους από πολλά δεινά, 16

17 Εἰ πᾶσιν δείξαις, οἵῳ τῷ δαίμονι χρῶνται. Ἀλλὰ σὺ θάρσει, ἐπεῖ θεῖον γένος ἐστὶ βροτοῖσιν, Οἷς ἱερὰ προφέρουσα φύσις δείκνυσιν ἕκαστα. Ὧν εἴ σοί τι μέτεστι, κρατήσεις ὧν σε κελεύω, Ἐξακέσας, ψυχὴν δὲ πόνων ἀπὸ τῶνδε σαώσεις. Ἀλλ εἴργου βρωτῶν, ὧν εἴπομεν, ἔν τε καθαρμοῖς, Ἔν τε λύσει ψυχῆς κρίνων, καὶ φράζευ ἕκαστα, ἡνίοχον γνώμην στήσας καθύπερθεν ἀρίστην. Ἢν δ ἀπολείψας σῶμα ἐς αἰθέρ ἐλεύθερον ἔλθης, Ἔσσεαι ἀθάνατος θεὸς ἄμβροτος, οὐκέτι θνητός. 17

18 αν έδειχνες σε όλους ποια μοίρα έχουνε. Αλλά να είσαι θαρραλέος, επειδή οι άνθρωποι έχουν καταγωγή θεϊκή και σε αυτούς η φύση δείχνει τα ιερά καθετί ιερό. Αν εσύ συμμετέχοντας σε αυτά, κρατήσης ό,τι σε διατάσσω, απαλλάσσοντας την ψυχή σου από τους κόπους αυτούς, θα την σώσης. Αλλά, να απέχης από τις τροφές που είπαμε στους Καθαρμούς και στην Λύτρωση της ψυχής, κρίνοντας και σκεπτόμενος το κάθε τι, θέτοντας ως ηνίοχο το υπέρτατο αγαθό, την άριστη γνώμη. Αν λοιπόν εγκαταλείψης το σώμα και πας στον ανοιχτό αιθέρα, θα γίνης αθάνατος, θεός άφθαρτος, όχι πλέον θνητός. 18

19 Τα Χρυσά Έπη Τα χρυσά έπη είναι μια ποιητική συλλογή 71 στίχων, που πιθανόν να έχουν συντεθεί από τους νεοπυθαγόρειους, αντικατοπτρίζουν όμως ολόκληρη την ηθική διδασκαλία του Πυθαγόρα. Εδώ έγκειται το ενδιαφέρον ενασχόλησης με αυτό το σύντομο ποίημα, που εκθειάζει κι άλλα προβλήματα,φιλολογικά, κυρίως όσον αφορά τη χρονολόγηση και την πατρότητά του. Είναι ένα απόσταγμα της φιλοσοφίας των Πυθαγορείων με μεταφυσική διάσταση, που προτρέπει τον μύστη ως απώτερος σκοπός του εν ζωή να είναι το μέτρο και η Αρετή, ψυχή τε και σώματι, σε όλες τις εκφάνσεις του αγαθού. Και μετά θάνατο έρχεται η αθανασία της ψυχής. Υποστήριζαν ότι η αθανασία της ψυχής θα υπάρξει για όλους ανεξαιρέτως, ακόμα και αν καθυστερήσει να έρθει. Όσο πιο πιστά τηρείς τις εντολές για ηθική και ενάρετη ζωή τόσο πιο γρήγορα θα έλθει και η αθανασία της ψυχής. Η επισκόπηση της Ιστορίας των περιόδων ανάπτυξης των αρχαίων ελληνικών Μαθηματικών. Η αρχαία Ελλάδα και οι Έλληνες μαθηματικοί συγκρότησαν τα μαθηματικά σε καθαρή επιστήμη.για πρώτη φορά στην αρχαία Ελλάδα του 6 ου αι. π. Χ. οι άνθρωποι αναζητούν επιστημονικές ερμηνείες για να ικανοποιήσουν τις πνευματικές τους ανησυχίες.η μελέτη των μαθηματικών είναι το αποτέλεσμα του ελληνικού ορθολογισμού που προσπαθεί να ερμηνεύσει τον κόσμο, αναζητώντας το «γιατί» και το «πως» των φαινομένων. Οι Αιγύπτιοι μπορούσαν να επαναπροσδιορίσουν τα όρια των αγρών μετά τις πλημμύρες του Νείλου με μια πρακτική γνώση της γεωμετρίας, ενώ οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν τα μαθηματικά και την αστρονομία για να γνωρίζουν τον πιο κατάλληλο χρόνο για τη σπορά των σιτηρών. Στην Ελλάδα όμως τα μαθηματικά έγιναν καθαρή επιστήμη με λογική μαθηματική συγκρότηση.ο μελετητής ενδιαφέρεται να βρει ένα γενικό κανόνα, όχι να λύσει ένα συγκεκριμένο πρακτικό πρόβλημα. Στην αρχαιότητα τα μαθηματικά ήταν ένα πεδίο πνευματικής αναζήτησης που περιελάμβανε πολλούς τομείς γνώσης, παραδείγματος χάριν την αστρονομία ή τη φυσική, τα οποία γνώρισαν μεγάλη ανάπτυξη κάνοντας χρήση των μαθηματικών. Η εποχή του Θαλή και των φιλοσόφων της Ιωνίας,του Πυθαγόρα και των Πυθαγορείων,η πρώτη περίοδος ανάπτυξης των μαθηματικών στην αρχαία Ελλάδα τον 6 ο και το α μισό του 5 ου αι. π. Χ. Στην προσπάθεια να περιγραφούν οι παρατηρήσεις των ιδιοτήτων των σχημάτων και αριθμών, διατυπώθηκε ένας πρώιμος μαθηματικός λόγος. Ακόμη τα μαθηματικά είναι άρρηκτα συνδεδεμένα με τη φιλοσοφία. Κατά την εποχή του Πλάτωνα,του Ευκλείδη,του Αριστοτέλη και του Ευδόξου, η δεύτερη περίοδος της ιστορίας των μαθηματικών το β μισό του 5 ου και τον 4 ο αι. π. Χ. διαμορφώθηκε η έννοια της απόδειξης. Κέντρο ανάπτυξης των μαθηματικών την ελληνιστική περίοδο υπήρξε η Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου όπου λόγο της ανακάλυψης της μαθηματικής απόδειξης τα μαθηματικά γνώρισαν μεγάλη άνθηση. Οι σημαντικότερες σχολές ήταν : η Ιωνική σχολή με ιδρυτή το Θαλή, η Πυθαγόρεια σχολή, η Ελεατική σχολή με ιδρυτή τον Ξενοφάνη τον Κολοφώνιο, η Νέα Ιωνική σχολή με τον Εμπεδοκλή το Λεύκιππο,τον Δημόκριτο και τον Αναξαγόρα. 19

20 2. Πυθαγόρεια Κοινότητα Πυθαγόρεια Φιλοσοφία Κύριος θεματικός άξονας της εργασίας αυτής είναι η Πυθαγόρεια κοινότητα η οποία δημιουργήθηκε από τον μεγάλο Έλληνα- Μαθηματικό Πυθαγόρα, καθώς και αρχές και η φιλοσοφία που αναπτύχθηκαν μέσα από τη συγκεκριμένη κοινότητα. Αρχικά θα γίνει αναφορά γενικά στη σχολή που δημιούργησε ο Πυθαγόρας. Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε την Πυθαγόρεια Αρμονία και Κοσμοθεωρία δηλαδή ουσιαστικά την αντίληψη των Πυθαγορείων για τον κόσμο. Τέλος, θα αναφερθούμε στο ιερό σύμβολο των Πυθαγορείων, την Τετρακτύς (τετράδα). 2.1 Εισαγωγή Ο Πυθαγόρας με τη διδασκαλία του, αποσκοπούσε, αρχικά, στο να οδηγήσει τον άνθρωπο στην κατανόηση των νόμων της φύσης και στη συνέχεια, στο να βελτιώσει και να αναπτύξει τις ικανότητές του. Για τον Πυθαγόρα και τους υποστηρικτές του, τους πυθαγόρειους η ουσία των πραγμάτων βρίσκεται στους αριθμούς και στις μαθηματικές σχέσεις. Όπου οι αριθμοί και οι μαθηματικές σχέσεις είναι οι νόμοι που διέπουν τον φυσικό αλλά και τον πνευματικό μας κόσμο. 2.2 Πυθαγόρεια κοινότητα και αρχές Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι ήταν μια φιλοσοφική, θρησκευτική καθώς και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ. από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν σε ένα μεγάλο οίκημα, το Ομακοείον, όπου ο Πυθαγόρας δίδασκε ανεξαιρέτως φύλου τους μαθητές του. Η διδασκαλία γινόταν με προφορικό τρόπο και οι προϋποθέσεις για την είσοδο των μαθητών ήταν αυστηρές. Ο μαθητής έπρεπε να υιοθετήσει έναν εντελώς διαφορετικό τρόπο ζωής, να 20

21 ασκηθεί στην εγκράτεια, να τηρεί απόλυτη σιωπή για κάποια έτη, να απέχει από συγκεκριμένες τροφές και να κάνει καθαρμούς, δηλαδή το τελετουργικό με τα οποίο επιτυγχάνεται η κάθαρση του σώματος και της ψυχής. Κατ αρχήν, οι γνώσεις μας για τους Πυθαγόρειους αλλά και για τον ίδιο τον Πυθαγόρα βασίζονται στα έργα των μεταγενέστερων συγγραφέων, στους οποίους περιλαμβάνονταν και οι λεγόμενοι «Νεοπυθαγόρειοι». Επομένως είναι δύσκολο να αποδειχθεί τι άνηκε στην σκέψη του Πυθαγόρα και τι στους μαθητές του. Ωστόσο, μετά το θάνατο του Πυθαγόρα διακόπηκε η άμεση σχέση μαθητών και δασκάλου, διατηρήθηκε όμως και συνεχίστηκε η πνευματική εργασία του δασκάλου. Τη Πυθαγόρεια κοινότητα διέκρινε ο μυστικισμός, γι' αυτό και ήταν πολύ δύσκολο να γίνει κάποιος μέλος. Επομένως, λόγω αυτής της μυστικότητας, είναι πολύ λίγες οι πληροφορίες που σώθηκαν. Οι Πυθαγόρειοι απέδιδαν πολύ μεγάλη σημασία στα Μαθηματικά, πρεσβεύοντας ότι αυτά αποτελούν την οδό για την απελευθέρωση της ψυχής. Βάση της πεποίθησης του Πυθαγόρα πως «τα στοιχεία των αριθμών είναι στοιχεία όλων των όντων», οι Πυθαγόρειοι απέδωσαν στην Αριθμητική μέγιστη σημασία, μελετώντας τις ιδιότητές της. Καθώς δε ο αριθμός είναι κάτι που δε γίνεται αντιληπτό μέσω της αίσθησης, αλλά μέσω της νόησης, οι Πυθαγόρειοι αναγκάστηκαν να παύσουν να θεωρούν την ουσία των όντων ως υλική και προσιτή στις αισθήσεις. Αντιθέτως η ουσία γίνεται αντιληπτή, κατά τους Πυθαγόρειους, μόνο μέσω της αφηρημένης σκέψης. Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν πως η ψυχή δε χάνεται με τον θάνατο, αλλά ακολουθεί μια συνεχή διαδικασία μετενσάρκωσης, σε κατώτερες ή ανώτερες μορφές ζωής κάθε φορά, έως ότου επιτευχθεί η τελική κάθαρση που οδηγεί τελικά στην αθανασία της. Γι' αυτό, τόσο με τα διδάγματα όσο και με τις ασκήσεις πειθαρχίας, καλλιεργούσαν τη φιλοσοφία της οποίας σκοπός είναι να καθαρίσει και να απελευθερώσει τον συσκοτισμένο νου από τα δεσμά του. Οι Πυθαγόρειοι δεν δέχονταν μονό την μετενσάρκωση που την δίδασκαν στους μαθητές τους, αλλά πίστευαν ότι ήταν πιθανό, για το εξελιγμένο άτομο, να θυμηθεί τις προηγούμενες υπάρξεις του. ίδασκαν ότι η ψυχή ενσαρκωνόταν στον υλικό κόσμο μόνο για να αποκτήσει νέες εμπειρίες και να απαλλαγή από τα λάθη των προηγούμενων ζωών. Οι θεωρίες των Πυθαγορείων αποτελούσαν πράγματι μια σοφία που εκτεινόταν σε όλα τα δυνατά πεδία, τόσο σ' αυτό της γνώσης, της θρησκείας όσο και σ αυτό της αισθητικής ή της πολιτικής. Είναι γεγονός λοιπόν πως η στρατολόγηση των υποψήφιων γινόταν με προσοχή, ανάλογα με τη φυσιογνωμία, το παράστημα, τις συνήθειες και τις κλίσεις τους. Οι σχέσεις των πυθαγόρειων μεταξύ τους πήραν τη μορφή ιερής φιλίας. Ο Πυθαγόρας υποστήριζε ότι "φίλος εστίν άλλος εγώ" και "φιλίαν τ' είναι εναρμόνιον ισότητα". Επικρατούσε, επίσης, κοινοκτημοσύνη των αγαθών και παράλληλα τηρούσαν όλοι τους σειρά νόμων, που ήταν και το πιστεύω τους (π.χ. ενδύματα και καθετί που είχε σχέση με τη σωματική καλοπέραση). Χωρίζονταν σε ακουστικούς και μαθηματικούς. Φιλοδοξούσαν να επιφέρουν κοινωνικές και ηθικές μεταρρυθμίσεις στην ελληνική κοινωνία και να γίνουν αυτοί οι άρχοντες του κόσμου. 21

22 Πυθαγόρειος Διατροφή Ο Πυθαγόρας, απέδιδε μεγάλη σημασία στη διατροφή με ελαφρές τροφές, όπως ο κρίθινος άρτος, τα λαχανικά, το μέλι, και οι φρέσκοι ή αποξηραμένοι καρποί, με σειρά από την μεγαλύτερη ποσότητα στην μικρότερη. Τα δημητριακά ήταν η βάση της διατροφής της Χρυσής Εποχής των ανθρώπων, όπως μας λέει ο Ησίοδος στο έργο του «Έργα και Ημέραι» και η βασική τροφή των Πυθαγορείων: Για το γεύμα τους οι Πυθαγόρειοι χρησιμοποιούσαν αποκλειστικά άρτο και μέλι (Ιάμβλιχος, «Περί Πυθαγορικού Βίου», παρ. 97). Επίσης κατανάλωναν κεχρί, το οποίο είναι ένα είδος δημητριακού πλούσιο σε βιταμίνες του συμπλέγματος Β, ενώ οι πρωτεΐνες του περιέχουν όλα τα αμινοξέα. Ο Πυθαγόρας το πρότεινε στους μαθητές του ως την ιδανική τροφή, θεωρούσε ότι το κεχρί ήταν το καταλληλότερο είδος για την τροφή τους (Ιάμβλιχος «Περί Πυθαγορικού Βίου» παρ. 106). Τα δημητριακά περιέχουν σύνθετους υδατάνθρακες και πρωτεΐνες υψηλής ποιότητος (12%-14% τα δημητριακά, 16% το ρύζι και 18% το κεχρί), ελάχιστα αλλά ωφέλιμα λιπίδια και άφθονες φυτικές ίνες, ενώ είναι πλούσια σε βιταμίνες, μέταλλα και ιχνοστοιχεία. Ο Πυθαγόρας έλεγε πως δεν πρέπει κανείς να τρώει το παράγον μαζί με το παραγόμενο (π.χ. κοτόπουλο και αυγό) και να αποφεύγει σχεδόν όλα γενικώς τα θαλασσινά. Δίδασκε την πλήρη αποχή από την κρεοφαγία με εξαίρεση το κρέας της ιεροθυσίας, δηλαδή κρέας από σφάγια που θυσιάστηκαν κι αυτό όχι από κάθε μέρος του ζώου. Σπάνια δε ο ίδιος θυσίαζε έμψυχα και συχνότερα προσέφερε κριθάλευρο, πλακούντες, στεφάνους ανθέων και θυμιάματα. Ο Πορφύριος καταγράφει την παραδοθείσα εκδοχή ότι κάποια φορά που ο Πυθαγόρας θυσίασε βόδι από ζυμάρι, ανακάλυψε ότι η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου έχει την ίδια δύναμη με τις πλευρές που την περιέχουν. Οι χορτοφάγοι στην Ευρώπη ακόμα και μετά τα αρχαία χρόνια ονομάζονταν «Πυθαγόρειοι» και η χορτοφαγία πριν την ίδρυση του χορτοφαγικού κινήματος (vegan society) απο τον Donalt Watson λεγόταν πυθαγόρεια διατροφή (pythagorean diet). Μία αναφορά στο «Δειπνοσοφισταί» 12 που συνδέεται με το φιλόσοφο του 6ου αιώνα Εμπεδοκλή, προτείνει ότι οι Πυθαγόρειοι πιθανόν να επινόησαν εναλλακτικές λύσεις για τις θυσίες ζώων, μέσω κατασκευής ομοιωμάτων ζώων από φυτικές ύλες. 12. Οι Δειπνοσοφισταί είναι δεκαπεντάτομο έργο του αρχαίου Έλληνα Αθήναιου. Πρωταγωνιστές του είναι αρχαίοι Έλληνες γραμματικοί, λεξικογράφοι, ρήτορες, σοφιστές, μουσικοί και άλλοι φιλόσοφοι. Στους Δειπνοσοφιστές ο Αθήναιος διηγείται στον φίλο του Τιμοκράτη όσα ειπώθηκαν σε ένα συμπόσιο που είχε παραθέσει ο πλουσιότατος και πολυμαθέστατος Ρωμαίος Λαρήνσιος. Πρόκειται για συλλογή διαλόγων. Oι τριάντα τρεις καλεσμένοι απαγγέλλουν στίχους από έργα σχεδόν 700 αρχαίων Ελλήνων και μνημονεύουν σχεδόν άλλα έργα που στις ημέρες μας δεν σώζονται. Θέματα είναι το φαγητό, κρασί, η πολυτέλεια, μουσική, σεξουαλική ηθική, τα κουτσομπολιά, η φιλολογία. 22

23 Η κοινότητα των Πυθαγορείων ακολουθούσε χορτοφάγο διατροφή για θρεπτικούς λόγους, για να κρατήσουν τις τέσσερις ιδιοσυγκρασίες του σώματος σε ισορροπία και για λόγους ηθικής. Κατά το Ρωμαίο ποιητή Οβίδιο, ο Πυθαγόρας είχε πει: «Εφ' όσον συνεχίζει να είναι το άτομο άσπλαχνος καταστροφέας των κατώτερων ζωντανών όντων δεν θα γνωρίσει ποτέ υγεία ή ειρήνη. Για όσο κατασφάζουν οι άνθρωποι τα ζώα, θα σκοτώνουν ο ένας τον άλλο». Πράγματι, αυτός που σπέρνει το σπόρο της δολοφονίας και του πόνου δεν μπορεί να θερίσει χαρά και αγάπη. 2.3 Πυθαγόρεια Φιλία Ο Πυθαγόρας ταξίδεψε σε περίεργα για εκείνη την εποχή μέρη. Όταν επέστρεψε στη Σάμο προσπάθησε να κάνει γνωστή τη διδασκαλία του. Μια μέρα πήγε στο γυμναστήριο και εκεί είδε ένα σπουδαίο αθλητή να γυμνάζεται. Τον πλησίασε και του είπε πως αυτός από τώρα, αν ήθελε, θα τον φρόντιζε και θα του εξασφάλιζε και τροφή αλλά και χρήματα με την προϋπόθεση να κάθεται και να μαθαίνει τις θεωρίες του. Μάλιστα θα του έδινε και 3 οβολούς για κάθε φορά που θα μάθαινε κάτι. Ο νέος συμφώνησε. Ο Πυθαγόρας ήταν σίγουρος για τη θεωρία του πως δηλαδή ήταν κάτι ανώτερο και μόλις η ψυχή του ανθρώπου ερχόταν σε επαφή τότε δε θα μπορούσε να κάνει χωρίς αυτή. Και είχε δίκιο. Μετά από καιρό είπε στο νέο πως δυστυχώς δε θα μπορούσε να του δίνει τους 3 οβολούς που είχαν συμφωνήσει γιατί δεν είχε χρήματα. Καλά είπε ο νέος εγώ θα συνεχίσω να έρχομαι σε σένα. Όμως ούτε και να σε φροντίζω δεν μπορώ γιατί τα χρήματά μου έχουν τελειώσει του είπε ο Πυθαγόρας. Καλά τότε άσε εμένα να σου δίνω τους 3 οβολούς, είπε ο νέος, απλά να συνεχίσουμε τα μαθήματά μας. Η έννοια της φιλίας ήταν ένα βασικό κομμάτι στη διδασκαλία του Πυθαγόρα. Μάλιστα ταυτίστηκε σε τέτοιο σημείο με τις απόψεις των Πυθαγορείων ώστε όταν δυο άνθρωποι ήταν πραγματικοί φίλοι να λένε αυτοί είναι πυθαγόρειοι.. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η ιστορία των Πυθαγορείων Δάμωνα και Φιντία. Ο Δάμων ήταν Πυθαγόρειος φιλόσοφος ο οποίος έζησε και έδρασε στις Συρακούσες της Σικελίας. Έζησε κατά τα μέσα του 4ου αιώνα π.χ., όταν τύραννος των Συρακουσών υπήρξε ο Διονύσιος ο νεότερος. Ο τελευταίος θεώρησε τον Φιντία, τον καλύτερο φίλο του Δάμωνος, ύποπτο συνομωσίας εναντίον του και τον κατεδίκασε εις θάνατον. Ο Φιντίας παρεκάλεσε πριν την εκτέλεση της ποινής να επισκεφτεί την οικογένεια του για να διεκπεραιώσει τις οικογενειακές του υποχρεώσεις. Ο τύραννος Διονύσιος δίσταζε να του επιτρέψει να φύγει, φοβούμενος ότι εκείνος θα αποδράσει και δεν θα γυρίσει για να εκτελεστεί. Τότε επενέβει και έδωσε λύση ο Πυθαγόρειος φιλόσοφος Δάμων ο οποίος ετέθει ως εγγυητής και προθυμοποιήθηκε να πάρει την θέση του φίλου του, εντός ορισμένης προθεσμίας έως ότου να επιστρέψει εκείνος. Η λύσις αυτή έγινε αποδεκτή και έτσι ο Φιντίας έμεινε να περιμένει εκεί μέχρι να γυρίσει ο Δάμων. Επειδή όμως ο Φιντίας άργησε να επιστρέψει οδηγείτο ήδη ο Δάμων στον τόπο της εκτελέσεως. Και ενώ όλα ήταν έτοιμα για να του κόψουν το 23

24 κεφάλι, έφτασε ο Φιντίας τρέχοντας λαχανιασμένος και μόλις που πρόλαβε να γλυτώσει την άδικη εκτέλεση του φίλου του. Το περίεργο όμως ήταν ότι ο Δάμων δεν δεχόταν με κανέναν τρόπο να απαλλαγεί, διότι όπως υποστήριζε, είχε παρέλθει ο καθορισμένος χρόνος της προθεσμίας, όπου ο Διονύσιος είχε δώσει στον Φιντία. Έτσι έπρεπε εκείνος να πεθάνει. Ο Φιντίας από την άλλη, δεν μπορούσε να ανεχθεί να θανατωθεί για δικές του ενέργειες και παραλείψεις ο καλός του φίλος. Εκείνη την στιγμή ο τύραννος Διονύσιος συγκινήθηκε από την πραγματική αγάπη και φιλία των δύο αντρών και αποφάσισε να χαρίσει την ζωή και στους δύο, αφού τους παρακάλεσε να προσληφθεί και ο ίδιος ως τρίτος στην φιλία τους. Έτσι σώθηκε και ο Δάμων και ο Φιντίας. Υπάρχει και μια άλλη ιστορία: Κάποτε ένας Πυθαγόρειος πήγε ένα ταξίδι. Στο δρόμο κουράστηκε και έκατσε σε ένα πανδοχείο για να κοιμηθεί. Όμως τελικά φαίνεται πως κατά τη διάρκεια της πορείας του αρρώστησε και στο πανδοχείο έκατσε περισσότερες ημέρες από ότι υπολόγιζε. Η κατάστασή του όμως δε βελτιωνόταν. Τα χρήματά του τελείωσαν από τις πολλές ημέρες που έκατσε εκεί. Ο πανδοχέας μάλλον επειδή ήταν σωστός άνθρωπος συνέχισε να περιποιείται τον ασθενή χωρίς χρήματα. Λίγο πριν πεθάνει ο πυθαγόρειος ευχαρίστησε πολύ τον πανδοχέα και του ζήτησε να του φέρει ένα κομμάτι ξύλο πάνω στο οποίο σκάλισε κάτι συμβολισμούς. Αυτό το ξύλο να το βάλεις στη είσοδο του μαγαζιού σου σε σημείο που να φαίνεται γιατί μια μέρα θα έλθει ένας άλλος Πυθαγόρειος για να σε ξεπληρώσει, του είπε πριν πεθάνει. Πέρασε κάμποσος καιρός ο πανδοχέας θυμήθηκε την πινακίδα και την έβαλε σε σημείο ώστε να φαίνεται απλά από περιέργεια να δει τι θα γίνει. Μετά από κάποιο χρονικό διάστημα πέρασε από εκεί ένας άλλος Πυθαγόρειος ο οποίος είδε την πινακίδα. Πήγε μέσα και ζήτησε να μάθει τι ακριβώς έγινε. Αφού έμαθε πλήρωσε τον πανδοχέα περισσότερα χρήματα από ότι πραγματικά είχε ξοδέψει για τη φροντίδα του φίλου του. Όροι Πυθαγόρειας φιλίας: Τους φίλους να μην τους κάνετε εχθρούς και τους εχθρούς να καταφέρνετε να τους κάνετε φίλους Αν δεν μπορείς να έχεις έναν πιστό φίλο, να είσαι ο ίδιος φίλος του εαυτού σου Οι φίλοι τα έχουν όλα κοινά και η φιλία είναι ισότητα Η φιλία είναι εναρμονισμένη ισότητα Να επικοινωνείτε προς αλλήλους κατά τρόπον ώστε να μην μετατρέπετε τους φίλους εις εχθρούς, αλλά να μεταβάλλετε τους εχθρούς εις φίλους 24

25 Κατά τον Πυθαγόρα : Δεν επρεπε να εξαιρειται ποτέ η εμπιστοσύνη από τη φιλία,επειδή από τη στιγμή που θα μπει το ψέμα ανάμεσα σε φίλους δε θα είναι εύκολο να εξυγιανθεί η φιλία. Δεν έπρεπε να απαρνείται κανείς τη φιλία εξαιτίας κάποιας αδυναμίας ή ατυχίας από αυτές που συμβαίνουν στη ζωή. Η φιλία που πρόκειται να γίνει αληθινή, έπρεπε να είναι καλά μελετημένη κι όχι τυχαία. Ο Πυθαγόρας με λίγα λόγια έλεγε πως σε μια φιλία δεν πρέπει να υπάρχει ανταγωνισμός γιατί μετά έρχονται τα άσχημα ανθρώπινα πάθη. Στη φιλία μας πρέπει να υπάρχει εμπιστοσύνη γιατί αν δεν υπάρχει μπαίνει στη μέση το ψέμα και τότε τα πράγματα δυσκολεύουν. Το φίλο μας δεν πρέπει να τον εγκαταλείψουμε στην πρώτη δυσκολία αλλά αν πραγματικά έχει γίνει μια ανεπανόρθωτη ζημιά. Σε μια φιλία θα πρέπει πάντα να υπάρχει υποχώρηση και καλή πίστη. Αυτός που πρέπει πάντα να υποχωρεί πρώτος είναι ο μικρότερος σε ηλικία. 25

26 Πυθαγόρεια αρμονία και κοσμογονία 2.4 Αρμονία Κατά τους Πυθαγορείους, η οδός που βοηθά στην ανύψωση της ψυχής και στην ένωση με το θεό είναι τα μαθηματικά. Για να συγκροτηθεί δηλαδή ο κόσμος που αποτελείται από αντιτιθέμενα στοιχεία χρειάζεται η Αρμονία. Το Σύμπαν προήλθε από το υπάρχον χάος μέσα από τη μορφή, δηλαδή το μέτρο και την αρμονία. Πρώτος ο Πυθαγόρας το ονόμασε Κόσμο, δηλαδή Τάξις, εξ αιτίας της αρμονίας που επικρατούσε σε αυτό. Επίσης, στους Πυθαγόρειους είναι πιθανό να οφείλεται η γνώμη ότι η Γη στρέφεται γύρω από τον άξονά της και ταυτόχρονα γύρω από τον Ήλιο. Η ταχύτατη κίνηση όλων των ουράνιων σφαιρών δημιουργεί ήχους και οι τελευταίοι την αρμονία. Αρμονία επίσης για το σώμα είναι η ψυχή, η οποία διατηρεί κάποια συμμετρία ανάμεσα στο υλικό και το πνευματικό στοιχείο του ανθρώπου. Η ψυχή έχει τις ιδιότητες της ταυτότητας, της ετερότητας, της στάσης και της κίνησης (τετρακτύς). 2.5 Κοσμοθεωρία Στη κοσμοθεωρία των Πυθαγορείων εμφανίζονται κάποια ενδιαφέροντα στοιχεία για τη φύση των αριθμών, τα οποία διαφέρουν από τον τρόπο που αντιλαμβανόμαστε σήμερα τους αριθμούς. Η κοσμοθεωρία έχει αριθμητικό χαρακτήρα, επομένως, χρησιμοποιεί τα μαθηματικά και τους φυσικούς αριθμούς σαν δομικά υλικά. Σύμφωνα με την Πυθαγόρεια Κοσμογονία το σύμπαν δημιουργείται από το Εν που είναι πεπερασμένο δηλαδή έχει όριο, το κενό, που είναι άπειρο. Επομένως, αφού το πυθαγόρειο σύμπαν χρησιμοποιεί τους φυσικούς αριθμούς είναι λογικό οι νόμοι τους να περιγράφονται από λόγους φυσικών αριθμών. Σύμφωνα με τον Πυθαγόρα, οι αριθμοί δεν είναι απλά σύμβολα ποσοτικών σχέσεων αλλά αποτελούν την ουσία του κόσμου, γι' αυτό και είναι ιεροί. Η μονάδα (1) συμβολίζει το πνεύμα, τη δύναμη εκείνη από την οποία προέρχεται το παν. Η δυάδα (2) δείχνει τις δύο μορφές της ύλης 26

27 - Γη και Νερό. Η τριάδα (3) φανερώνει το χρόνο στις τρεις του διαστάσεις - παρόν, παρελθόν, μέλλον και συνεχίζεται επ άπειρον. Η κατανόηση των κοσμικών φαινομένων ήταν δυνατή με τη αριθμολογία, τη γεωμετρία και τη μουσική. Κατά το Διογένη το Λαέρτιο 1, ο Πυθαγόρας θεωρούσε ως αρχή όλων των πραγμάτων τη μονάδα. Από τη μονάδα προερχόταν η αόριστη δυάδα με την εκδήλωση της μονάδας και ως ύλης. Από τη μονάδα και την αόριστη δυάδα γίνονταν οι αριθμοί. Από τους αριθμούς τα σημεία. Από αυτά οι γραμμές, από τις οποίες σχηματίζονται τα επίπεδα, και από αυτά τα στερεά. Τετρακτύς Η Τετρακτύς αποτελεί την ουσία της διδασκαλίας και το ιερό σύμβολο των Πυθαγορείων. Αποτελείται από τους δέκα πρώτους αριθμούς τοποθετημένους σε τέσσερις σειρές. Τετρακτύς αποκαλούσαν την Τετράδα που στην Πυθαγόρεια Φιλοσοφία είχαν την έννοια του αριθμού τέσσερα. Με την μελέτη των εννοιών των αριθμών που υπάρχουν στην Τετρακτύς και των σχέσεων τους οι Πυθαγόρειοι υποστηρίζουν ότι κάποιος φθάνει στην απόκτηση της σοφίας. Οι αναλογίες αυτές δημιουργούν την Αρμονία, που για τους Πυθαγόρειους έχει σημασία κυριολεκτικά κοσμική. Οι Πυθαγόρειοι χρησιμοποιούσαν την Τετρακτύς για να ορκιστούν, επικαλούμενοι μάλιστα τον Πυθαγόρα σαν κάποιο θεό. Οι συγκεκριμένοι αριθμοί σχετίζονται με κάποια γεωμετρικά σύμβολα. Επίσης οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν ότι η σοφία αποκτιέται από τις τέσσερις εσωτερικές επιστήμες: αριθμητική, μουσική, γεωμετρία και αστρονομία. Η Τετράδα είναι ο Χώρος, η τάξη του Κόσμου. Η Τετράδα σημειώνει ακόμα τα κοσμικά σώματα των τεσσάρων στοιχείων από τα οποία συντάχθηκε το Κοσμικό Σύμπαν, το τετράεδρο, το οκτάεδρο, το εικοσάεδρο και τον κύβο. 13. Ο Διογένης ο Λαέρτιος (πιθανολογείται πως έζησε στις αρχές του 3ου μ.χ. αιώνα) ήταν ιστοριογράφος της φιλοσοφίας της αρχαιότητας, συγγραφέας του έργου Βίοι φιλοσόφων. Ήταν ελληνικής καταγωγής, γεννημένος μάλλον στην πόλη Λαέρτη της Κιλικίας. 27

28 Παρατηρούμε ότι μέσα στο ισόπλευρο τρίγωνο που παράγεται αν ενώσουμε τις 10 στιγμές, υπάρχει εγγεγραμμένο ένα κανονικό εξάγωνο. Οι αριθμοί που εισέρχονται στο ισόπλευρο τρίγωνο δίπλα, δίνουν το πρώτο μαγικό τετράγωνο, αυτό του Κρόνου με 9 αριθμούς. Ένα κανονικό εξάγωνο είναι εγγεγραμμένο μέσα σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Το 3 και το 6 έχουν βασική σημασία. Η πλευρά του εξαγώνου στα μαγικά τετράγωνα έχει αριθμό 111 και το τελικό άθροισμα είναι 666, 111*6=666, ενώ του τριγώνου η πλευρά είναι 15 και το τελικό άθροισμα 45 15*3=45. Όμως αν αφαιρέσουμε το 45 από το 666 προκύπτει ο αριθμός 621, που είναι 3*207. Η Θεότητα του Χρόνου, το παρελθόν, το παρόν και το μέλλον. Οι ερευνητές ίσως εδώ αναγνωρίσουν τις κυριότητες του Σαββάτου και της Κυριακής. Έχοντας σαν κέντρο τη μεσαία στιγμή της τρίτης σειράς φέρουμε ευθείες γραμμές που να ενώνουν τις κορυφές του τριγώνου - οι ευθείες γραμμές αυτές είναι και ταυτόχρονα τα ύψη του τριγώνου- και περιγράφουμε έξι κύκλους που να εφάπτονται του σημείου τμήσης του ύψους με την βάση. Συνεχίζοντας την χάραξη ακόμα έξι κύκλων που να εφάπτονται των έξι προηγούμενων και έχουν σαν κέντρο τους τις προηγούμενες ευθείες γραμμές, σχηματίζεται τελικά το σχέδιο που βλέπετε δίπλα, το οποίο καλείται Κύβος του Μετατρόν. Είναι ο ψυχογονικός κύβος του Πυθαγόρα. Σε μια ελεύθερη σκιαγράφηση του κύβου αυτού, λαμβάνεται ένα σχέδιο, το οποίο παριστά με γλαφυρό τρόπο την παραγωγή των 72 ονομάτων από την Ιερά Τετρακτύ. Το σχέδιο αυτό ονομάζεται λουλούδι της ζωής και κάθε πέταλο δείχνει από ένα όνομα θεού. 28

29 3.Η συμβολή των Πυθαγορείων στα μαθηματικά 3.1 Εισαγωγή Στόχος του συγκεκριμένου σκέλους της εργασίας, είναι να αναδείξει τη συμβολή του Πυθαγόρα και των μαθητών του (δηλαδή των λεγόμενων «Πυθαγορείων») στην παγκόσμια κοινότητα των μαθηματικών. Θα δούμε στη συνέχεια ότι πολλές από τις ανακαλύψεις και θεωρίες των Πυθαγορείων χρησιμοποιούνται ακόμα και σήμερα ενώ άλλες αποτέλεσαν τη βάση και δημιούργησαν τις προϋποθέσεις για μεταγενέστερες ανακαλύψεις στον τομέα των μαθηματικών, των θετικών επιστημών και όχι μόνο. 29

30 3.2 Η συμβολή των Πυθαγορείων στην αρρητότητα Βασικό στοιχείο της φιλοσοφίας των Πυθαγορείων, είναι η σύλληψη όλου του σύμπαντος ως «αρμονίας και αριθμού». Ο αριθμός κατέχει πρωταρχική σημασία και ανάγεται σε αρχή κατανόησης των πάντων. Αν τα πράγματα δεν είχαν αριθμητική δομή δεν θα μπορούσαμε να τα γνωρίσουμε. Τα αντικείμενα «είναι» αριθμοί ή «μοιάζουν» με αριθμούς που μπορεί να ειπωθούν (ρητοί αριθμοί). Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι το σύμπαν μπορεί να εκφραστεί με ακέραιους αριθμούς και με βάση αυτό προσπάθησαν να επιλύσουν προβλήματα του πραγματικού κόσμου. Μερικοί Πυθαγόρειοι του 5 ου π.χ. αιώνα όπως ο Ίππασος 1 ο Μεταπόντιος, προβληματίστηκαν με κάποιες φανερές αριθμητικές ανωμαλίες : τις αμοιβαίες σχέσεις τριγωνικών και τετράγωνων αριθμών, τις ανώμαλες ιδιότητες του κανονικού πενταγώνου, το γεγονός ότι το μήκος της διαγωνίου του τετραγώνου είναι ασύμμετρο με τις πλευρές του, δηλαδή κανένα κλάσμα από ακέραιους αριθμούς δεν μπορεί να εκφράσει αυτό το λόγο ακριβώς (ο δεκαδικός που προκύπτει καθορίζεται ως άρρητος).η ανακάλυψη αυτού του παραλόγου προκάλεσε κρίση διότι ήταν ασυμβίβαστο με τους πυθαγόρειους συλλογισμούς. Η διδασκαλία του Ιππάσιου 14 του Μεταπόντιου διέφερε των άλλων Πυθαγορείων γιατί αυτός παραδεχόταν ως αρχή του κόσμου την ύλη (πυρ) και όχι την άυλη μορφή (αριθμοί) όπως εκείνοι. Κατά τον 4 ο 15 π.χ. αιώνα οι πυθαγορίζοντες μαθηματικοί με κορυφαίο τον Εύδοξο τον Κνίδιο, επέφεραν σημαντική πρόοδο στη θεωρία των αρρήτων αριθμών, όπως η τετραγωνική ρίζα του ν όπου ν οποιοσδήποτε ρητός αριθμός, όταν ανέπτυξαν μια μέθοδο εύρεσης διαδοχικών προσεγγίσεων της ρίζας του 2 δημιουργώντας σύνολα με τους λεγόμενους διαγώνιους αριθμούς. 14. Ο Ίππασος ο Μεταπόντιος ήταν ο ιδρυτής του μαθηματικού τμήματος της Πυθαγόρειας Σχολής. Είναι πιθανό γι αυτόν το λόγο να πήγασε η διάδοση ότι ο Ίππασος κοινοποίησε μυστικά της Πυθαγόρειας φιλοσοφίας και ότι γι αυτό καταδιώχθηκε και τελικά δολοφονήθηκε. 15. Ο Εύδοξος ο Κνίδιος ήταν μαθητής του Ευκλείδη και έγινε γνωστός για τη χρήση των τύπων για τη μέτρηση τρισδιάστατων σχημάτων. 30

31 3.3 Άρτιοι και περιττοί αριθμοί Οι Πυθαγόρειοι αντιλαμβάνονταν τους αριθμούς ως πλήθος ορισμένων αντικειμένων και τους απεικόνιζαν με σημεία. Με αυτό τον τρόπο παράστασης των αριθμών κατόρθωσαν να τους κατηγοριοποιήσουν σε άρτιους και περιττούς (μονοί - ζυγοί). Έτσι ένας άρτιος αριθμός απεικονιζόταν με μια σειρά σημείων που μπορεί να χωριστεί σε δύο ίσα μέρη, ενώ το αντίθετο συνέβαινε με έναν περιττό. Για παράδειγμα: Ο αριθμός 4 απεικονίζεται έτσι: Και ο αριθμός 5 έτσι: Τα δύο ίσα μέρη από τα οποία αποτελείται ένας άρτιος μπορούν να χωριστούν από μία ευθεία γραμμή που προεκτείνεται επ άπειρο και στις δύο πλευρές και δεν βρίσκει κανένα εμπόδιο. Αντίθετα ένας περιττός αριθμός περιέχει ένα σημείο στη μέση που περιορίζει την επέκταση της ευθείας. Τέλος, οι περιττοί αριθμοί παρομοιάζεται με αρσενικό και οι άρτιοι με θηλυκό, γιατί με το παραπάνω παράδειγμα φαίνεται πως σε έναν άρτιο υπάρχει πάντα κενό μεταξύ των δύο πλευρών, ενώ σε έναν περιττό υπάρχει πάντα κάτι ανάμεσα στα δύο μέλη. Ιδιότητες δεκάδας (1, 2, 3, 10) Ο αριθμός 1 ταυτίζεται με το σημείο. Ο αριθμός 2 συμβολίζει την ευθεία. Ο αριθμός 3 θεωρείται τέλειος αριθμός, καθώς είναι ο πρώτος αριθμός που έχει αρχή, μέση και τέλος και συμβολίζει την επιφάνεια. Ακόμα, το 3 μας συνδέει με τα στερεά, γιατί τα στερεά είναι σχήματα στον χώρο των τριών διαστάσεων. Ο αριθμός 4 συμβολίζει τον όγκο. Ο αριθμός 5 είναι ο πρώτος αριθμός που προκύπτει από το άθροισμα του πρώτου θηλυκού και του πρώτου αρσενικού αριθμού. 31

32 Ο αριθμός 6 είναι το γινόμενο του πρώτου αρσενικού και του πρώτου θηλυκού αριθμού, γι' αυτό και ονομάζεται «γάμος». Ο αριθμός 7 είναι ο μόνος αριθμός της δεκάδας ο οποίος δεν «γεννά» κανέναν αριθμό της δεκάδας, αλλά και δεν γεννιέται από κανέναν τους. Δηλαδή, το 7 είναι ο μόνος αριθμός πολλαπλασιαζόμενος με κάποιον άλλον που δεν έχει ως γινόμενο κανέναν από αυτούς της δεκάδας και που δεν είναι το γινόμενο του πολλαπλασιασμού κανενός αριθμού. Για αυτόν τον λόγο οι Πυθαγόρειοι τον ονόμασαν Αθηνά, καθώς η θεά αυτή δεν γεννή θηκε από μητέρα ούτε υπήρξε ποτέ η ίδια μητέρα. Ο αριθμός 8 συντίθεται από την μονάδα και την επτάδα. Ο αριθμός 9 είναι το πρώτο τετράγωνο μεταξύ των περιττών. Τέλος η ίδια η δεκάδα περιλαμβάνει ίσο αριθμό πρώτων και σύνθετων αριθμών. «Οι πυθαγόρειοι αφοσιώθηκαν στα μαθηματικά και ήταν οι πρώτοι στην ανάπτυξη αυτής της επιστήμης. Μέσα από την μελέτη των μαθηματικών, πίστεψαν πως οι αρχές των μαθηματικών είναι οι αρχές όλων. Επειδή οι αριθμοί είναι κατά στη φύση πρώτοι, φαντάστηκαν ότι θα μπορούσαν να αναγνωρίσουν στους αριθμούς και στα παράγωγα, περισσότερο παρά το πυρ, στη γη και στο ύδωρ και δεδομένου ότι φάνηκε σαφές ότι όλα τα άλλα πράγματα στη φύση διαμορφώθηκαν επάνω στους αριθμούς και ότι οι αριθμοί είναι τα τελευταία πράγματα σε ολόκληρο το φυσικό κόσμο και ολόκληρος ο κόσμος είναι μια αναλογία ή ένας αριθμός». Δυάς: Ήταν το Δύο. Για τους πυθαγορείους, αυτός ο αριθμός αντιπροσώπευσε το πρώτο στάδιο προς τη διαδρομή της δημιουργίας. Η δυάδα αντιπροσώπευσε την πόλωση, την αντίθεση, την απόκλιση, την ανισότητα, και την αστάθεια. Καλείται συχνά Τόλμη, καθώς διασκορπίζει την τελειότητα και την ενότητα της Μονάδας. Τριάς: Ο επόμενος αριθμός είναι ο αριθμός τρία. Οι Πυθαγόρειοι τον έβλεπαν ως πρώτο αληθινό αριθμό. Είναι ένα σύνολο που αντιπροσωπεύει την αρχή, τη μέση και το τέλος. Ο αριθμός αντιπροσωπεύει τον αρχή όλων που είναι ολόκληρα και τέλεια, τις τρεις διαστάσεις, και την τριμερή ψυχή. Ο αριθμός υπονοεί επίσης από το Παρελθόν, το Παρόν και το Μέλλον. Για τον αριθμό λοιπόν τρία, ο Ιάμβλιχος λέει, ότι είναι εξαιρετικού κάλλους και ευσχημοσύνης σε σύγκριση με όλους τους άλλους, επειδή κατέστησε τις ιδιότητες της μονάδας σε ενεργεία, εκφράζοντας την αναλογία, τη συνένωση. Είναι δηλαδή ο πρώτος ενεργεία, επειδή υπερτερεί του ίσου και έχει κάτι περισσότερο από το ίσο στο ένα μέρος του (η μονάδα =1, η δυάδα =1+1, η τριάδα=1+2), ενώ το εξαιρετικό σε αυτόν είναι ότι αποτελεί τη συνέχεια των δύο πρώτων αιτιών και βεβαίως τη σύνθεση αμφοτέρων. Τετράς: Είναι ο αριθμός τέσσερα. Το τέσσερα αντιπροσώπευε την ολοκλήρωση. Για τους Πυθαγορείους, όλα και φυσικά και αριθμητικά ολοκληρώθηκαν στην πρόοδο του ενός μέχρι το τέσσερα. Το εξέφρασαν με τις τέσσερις εποχές, τα τέσσερα στοιχεία (γη, αέρας, πυρ και ύδωρ), τα τέσσερα ζωτικής σημασίας μουσικά διαστήματα και τα τέσσερα είδη πλανητικής κίνησης. Το τέσσερα απεικόνιζε την ευθύτητα και τη σταθερότητα. Ο Πλάτων χρησιμοποίησε αργότερα τον αριθμό 32

33 τέσσερα στις τέσσερις ικανότητες του ατόμου - νοημοσύνη, λόγος, αντίληψη και φαντασίωση. Οι Πυθαγόρειοι αξιολόγησαν τέσσερις μαθηματικές επιστήμες, της αριθμητικής, της μουσικής, της γεωμετρίας και της αστρονομίας τα θεμέλια της αληθινής γνώσης. Κατά συνέπεια η τετράς αντιπροσωπεύει τη Δικαιοσύνη στον Πυθαγόρα και τους μαθητές του. Ο αριθμός αυτός αντιπροσώπευσε την ολοκλήρωση όλων των πραγμάτων στην ακόλουθη πρόοδο = 10. Πεντάς: Ο αριθμός πέντε. Είναι ένας συνδυασμός περιττού και άρτιου και επίσης από τους αριθμούς δύο και τρία στην πρόσθεσή τους. Η πεντάς επίσης αντιπροσωπεύει το γάμο, την ένωση της αρσενικής και θηλυκής συμφιλίωσης και την αρμονία. Η Πεντάς ήταν αφιερωμένη στην Αφροδίτη. Εξάς: Είναι ο αριθμός έξι. Στους Πυθαγορείους είναι ο πρώτος τέλειος αριθμός. Προσθέτοντας τους αριθμούς 1, 2 και 3 προκύπτει το 6. Ο αριθμός αυτός αντιπροσωπεύει τις καταστάσεις της υγείας και της ισορροπίας. Αντιπροσώπευσε επίσης την πληρότητα, την ειρήνη και τη θυσία. Είναι ο πρώτος αριθμός που ενώνει το 2 και το 3 μέσω του πολλαπλασιασμού. Είναι ίσος με το ποσό των μερών των υποπολλαπλασίων του, δηλαδή οι διαιρέτες ή τα παραγόμενα, εκτός του εαυτού του, δίνουν 6. Κατά συνέπεια, 1+2+3=6 και 1*2*3=6. Επτάς: Είναι ο αριθμός επτά. Αυτός ο αριθμός δεν μπορεί να παραχθεί από οποιαδήποτε άλλον που αποτελεί τη δεκάδα. Οι έννοιες που αντιπροσωπεύονται από την επτάδα είναι χαρά, αγάπη και ευκαιρία. Ο αριθμός αντιπροσώπευσε επίσης την παρθενία και θεωρήθηκε αφιερωμένος στην παρθένα θεά Αθηνά. Επίσης, δεδομένου ότι το επτά δεν μπορεί να διαιρεθεί, εκτός από τον εαυτό του, αντιπροσώπευσε μιαν ακρόπολη. Επίσης, ένας κύκλος δεν μπορεί να διαιρεθεί σε επτά μέρη. Επτά είναι ο αριθμός της πρώτης μουσικής συμφωνίας, της δια τέσσερα (4+3), επτά είναι το άθροισμα των κάθετων πλευρών του πρωτότυπου ορθογώνιου τριγώνου Οκτάς: Η οκτάς ή ο αριθμός οκτώ ήταν σημαντικό στους Πυθαγορείους επειδή ήταν ο πρώτος κύβος (2*2*2). Σύνδεσαν οκτώ με την ασφάλεια, την σταθερότητα και όλα όσα ήταν ισορροπημένα στο σύμπαν. Κάθε μήνα, την όγδοη μέρα, γινόταν θυσίες στους Θεούς, γιατί υπήρχε μια ευρύτατα διαδεδομένη άποψη που έλεγε ότι ένα παιδί που γεννιέται κατόπιν επτάμηνης κυοφορίας μπορεί να ζήσει, ενώ όταν γεννηθεί στους οκτώ μήνες πεθαίνει. Εννεάς: Ο αριθμός εννέα, ο οποίος κλήθηκε επίσης ορίζοντας, επειδή χαρακτήρισε τη γραμμή μεταξύ της δεκάδας και των αριθμών που κατέληξαν σε αυτήν. Οι Πυθαγόρειοι έβλεπαν το εννέα σαν αριθμό ολοκλήρωσης. Αυτό οφειλόταν στους εννέα μήνες της εγκυμοσύνης και στην ύπαρξη των εννέα Μουσών. Είναι τον πρώτο άρρεν τετράγωνο (3*3). Ακατάλυτο που όμως πολλαπλασιασμένο συχνά, αναπαράγεται. Δεκάς: Η δεκάς ή ο αριθμός δέκα ήταν ο πιο ιερός όλων των αριθμών στους Πυθαγορείους. Αυτός ο αριθμός περιέχει όλα τα πράγματα σε μια απλή δομή και επιρροή. Είναι το σύνολο των θείων επιρροών που κράτησαν το σύμπαν μαζί και ήταν όλοι οι προφανείς νόμοι της φύσης. Η δεκάς επίσης είναι ο κόσμος, ο ουρανός, ο Θεός, και η μοίρα. Η Δεκάς περιέχει όλους τους αριθμούς. Μετά το 10 οι αριθμοί 33

34 επαναλαμβάνουν τον εαυτό τους. Είναι το άθροισμα των αρχέτυπων αριθμών, δηλαδή = Γεωμετρικές ανακαλύψεις που αποδίδονται στους Πυθαγορείους Πυθαγόρειο Θεώρημα Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι σχέση της ευκλείδειας γεωμετρίας ανάμεσα στις πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου. Συνεπώς αποτελεί θεώρημα της επίπεδης γεωμετρίας. Το πυθαγόρειο θεώρημα: το άθροισμα των τετραγώνων των 2 κάθετων πλευρών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα, που εξ ονόματος αποδίδεται στον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Πυθαγόρα: «Εν τοις ορθογωνίοις τριγώνοις το από της την ορθήν γωνίαν υποτεινούσης πλευράς τετράγωνον ίσον εστί τοις από των την ορθήν γωνίαν περιεχουσών πλευρών τετραγώνοις». Δηλαδή: «το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών». Η παραπάνω πρόταση εκφράζεται με τον ακόλουθο τύπο: α 2 = β 2 + γ 2. - (όπου α = το μήκος της υποτείνουσας και β και γ = τα μήκη των δύο κάθετων πλευρών) Τη παραπάνω αρχαία διατύπωση της πρότασης του εν λόγω θεωρήματος παρέχει ο Ευκλείδης στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων Γεωμετρίας του (47η πρόταση) με σχετική απόδειξη που κατά παράδοση οφείλεται στον Πυθαγόρα, ο οποίος κατ' άλλη, επίσης αρχαία, παράδοση, μετά την ανακάλυψή του αυτή θυσίασε προς τους θεούς εκατόμβη, γι' αυτό και το θεώρημα αυτό ονομάσθηκε «Εκατόμβη» ή «Θεώρημα εκατόμβης». Ισχύει και το αντίστροφο Πυθαγόρειο Θεώρημα: ότι δηλαδή, αν ισχύει η παραπάνω σχέση μεταξύ των πλευρών ενός τριγώνου, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. 34

35 Αν και το θεώρημα σήμερα φέρει το όνομα του Έλληνα μαθηματικού Πυθαγόρα, από ιστορικές έρευνες φαίνεται ότι είχε διατυπωθεί και νωρίτερα (ως εμπειρική παρατήρηση), γύρω στο 800 π.χ., στην Ινδία από τον Baudhayana 16, στο βιβλίο Baudhayana Sulba Sutra (οδηγίες για κατασκευή ναών): Το σχοινί που εκτείνεται κατά μήκος της διαγωνίου ενός ορθογωνίου, παράγει επιφάνεια ίδια με αυτή της κάθετης και της οριζόντιας πλευράς. Από αιγυπτιακά μεγαλιθικά μνημεία των οποίων οι πλευρές είναι ακέραια πολλαπλάσια, φαίνεται ότι οι ιδιότητες των ορθογωνίων τριγώνων και οι σχέσεις των πλευρών τους, ήταν γνωστές από πολύ παλιά. Ο Πυθαγόρας απέδειξε το Πυθαγόρειο θεώρημα με θεωρητική γεωμετρία χρησιμοποιώντας λογικές αποδείξεις, κανόνα και διαβήτη. Αντίστροφο πυθαγόρειου θεωρήματος Από το πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει και το αντίστροφο, που λέει ότι «Αν σε ένα οποιοδήποτε τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των μικρότερων πλευρών του τριγώνου ισούται με το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα τη μεγαλύτερη πλευρά και ορθή γωνία αυτή απέναντι από την υποτείνουσα». Το πυθαγόρειο θεώρημα αποδεικνύεται με πάνω από έναν τρόπους: Απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων: Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή γωνία την Α. Θεωρώ το ύψος της υποτείνουσας ότι την τέμνει στο σημείο Δ. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΑ είναι όμοια μεταξύ τους ως ορθογώνια τρίγωνα με ίδια τη γωνία Β. Παρομοίως τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΓΑ είναι όμοια μεταξύ τους με ίδια τη γωνία Γ. Ισχύει, λοιπόν: ΑΒ = ΔΒ ΒΓ ΑΒ (ΑΒ)2 = (ΒΓ)(ΔΒ) και: (ΑΓ) 2 = (ΒΓ)(ΔΓ) παρομοίως. Αν προσθέσουμε τις δυο αυτές εξισώσεις έχουμε: (ΑΒ) 2 + (ΑΓ) 2 = (ΒΓ)(ΔΒ) + (ΒΓ)(ΔΓ) = (ΒΓ)(ΔΒ + ΔΓ) = (ΒΓ) 2. Τετράγωνο πλευράς α + β 16. Baudhayana: Μέσα από τα βιβλία του δίνει οδηγίες για την κατασκευή του altars, το οποίο ονομάζεται Baudhāyana Śulbasûtra. Η συμβολή του στα μαθηματικά είναι πολύ σημαντική με αποκορύφωμα τον προσδιορισμό του αριθμού «π» και τη συντέλεση μιας πρώιμης μορφής του Πυθαγορείου Θεωρήματος. 35

36 Απόδειξη με εμβαδά Θεωρούμε ένα τετράγωνο πλευράς α + β και σχεδιάζουμε σε αυτό τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές α και β και υποτείνουσα γ, έτσι ώστε στο κέντρο να έχουμε τετράγωνο πλευράς γ (βλ. σχήμα). Υπολογίζουμε το εμβαδό του τετραγώνου προσθέτοντας το εμβαδό του μικρότερου τετραγώνου καθώς και τα εμβαδά των τεσσάρων τριγώνων: γ 2 + 2αβ Αφού πρόκειται για τετράγωνο πλευράς α + β το εμβαδό του ισούται επίσης με: α 2 + β 2 + 2αβ Εξισώνοντας τις δυο αυτές σχέσεις προκύπτει: α 2 + β 2 + 2αβ = γ 2 + 2αβ α 2 + β 2 = γ 2 36

37 3.5 Το Πυθαγόρειο Θεώρημα στα κινεζικά μαθηματικά Το Πυθαγόρειο Θεώρημα παρουσιάζεται για πρώτη φορά στην «Μαθηματική πραγματεία για τον γνώμονα», το αρχαιότερο κείμενο που σώζεται στην ιστορία των Κινεζικών μαθηματικών. Το έργο αυτό είναι γραμμένο με μορφή διαλόγου ανάμεσα στον κυβερνήτη Ζόου και το σοφό Σανγκ Γκάο, ο οποίος θεωρείτο ως εξαιρετικά επιδέξιος στους υπολογισμούς. Σύμφωνα με την μαρτυρία αυτή, η σχέση μεταξύ των πλευρών ορθογωνίου τριγώνου, με πλευρές 3, 4, 5, ήταν γνωστή στον Σανγκ Γκάο, ήδη από τον 12ο αι. π.χ., ίσως και πιο πριν. Στο ίδιο κείμενο αναφέρεται ότι «το ορθογώνιο που είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο διαιρείται σε δύο τρίγωνα με πλευρές 3, 4, 5». Η ιδιότητα επομένως της γωνίας που βαίνει σε διάμετρο, η οποία αποδίδεται στον Θαλή από τον Πρόκλο, ήταν ήδη γνωστή στον Σανγκ Γκάο. Στο τέλος του έργου αυτού αναφέρεται επίσης ότι «οι επιφάνειες των δύο τετραγώνων που κατασκευάζονται στις δύο καθέτους έχουν άθροισμα είκοσι και πέντε, το οποίο είναι η επιφάνεια του τετραγώνου που κατασκευάζεται στην υποτείνουσα του τριγώνου». Αργότερα, στις «Δέκα κλασσικές μαθηματικές πραγματείες» ή «Δεκάβιβλο», που θεωρείται ότι συνέγραψε ή συνέταξε ο Ζεν Λουάν (6ος αι. μ.χ.) εμφανίζεται ο ειδικός όρος «κανονικοί συντελεστές» που υποδηλώνει τη στοιχειώδη τριάδα Πυθαγόρειων αριθμών 3,4,5. Στο δεύτερο διάλογο της πραγματείας για το γνώμονα, το θεώρημα διατυπώνεται στη γενική του μορφή κάνοντας χρήση γεωμετρικού σχήματος. Σε σχόλιο σημειώνεται ότι η απόδειξη αυτή βασίζεται στο σχήμα, από το οποίο προκύπτει ότι το τετράγωνο που κατασκευάζεται με πλευρά την υποτείνουσα γ 37

38 ορθογωνίου τριγώνου μπορεί να παρασταθεί ως άθροισμα του τετραγώνου που κατασκευάζεται με πλευρά τη διαφορά β των καθέτων και τεσσάρων ορθογωνίων τριγώνων με πλευρές α και β, δηλ. 4( 1 2 αβ) + (β α)2 = γ 2 Απ όπου προκύπτει ότι α 2 + β 2 = γ 2 Έτσι ο διάλογος αυτός θεωρείται ως η πρώτη γραπτή μαρτυρία της απόδειξης του Πυθαγορείου θεωρήματος στην ιστορία των Κινεζικών μαθηματικών. Το ίδιο σχήμα απαντάται αργότερα στο έργο του Ινδού μαθηματικού Bhaskara. Η ανακάλυψη των Πυθαγορείων ήταν το θεώρημα, σύμφωνα με το οποίο το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με δύο ορθές, δηλαδή κάθε τρίγωνο έχει τις εσωτερικές γωνίες του ίσες με δύο ορθές. Το θεώρημα αποδεικνύεται ως εξής: Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Ας χαράξουμε μια ευθεία που να περνά από το Α και να είναι παράλληλη με τη ΒΓ, τη ΔΕ. Επειδή η ΒΓ και η ΔΕ είναι παράλληλες, οι εναλλάξ γωνίες είναι ίσες, άρα η ΔΑΒ είναι ίση με την ΑΒΓ και η ΕΑΓ με την ΑΓΒ. Ας προσθέσουμε τώρα και τη ΒΑΓ. Τότε οι γωνίες ΔΑΒ, ΒΑΓ, ΓΑΕ, δηλαδή οι γωνίες ΔΑΒ, ΒΑΕ, δηλαδή δύο ορθές, είναι ίσες με τις τρεις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. Άρα οι τρεις γωνίες του τριγώνου είναι ίσες με δύο ορθές. Οι Πυθαγόρειοι έθεσαν το πρόβλημα κατασκευής σχήματος ίσου με ένα δεδομένο σχήμα και όμοιο με ένα άλλο, επίσης δεδομένο Οι Πυθαγόρειοι εισήγαγαν τους όρους παραβολή, υπερβολή και έλλειψη στη σύγκριση γεωμετρικών μεγεθών. Οι όροι αυτοί χρησιμοποιήθηκαν αργότερα από τον Απολλώνιο τον Περγαίο για την ονομασία των γνωστών καμπύλων. Όταν δοθεί ένα σημείο, ο γύρω του χώρος διανέμεται σε γωνίες με άθροισμα 4 ορθές. Ο χώρος αυτός πληρούται από 6 ισόπλευρα τρίγωνα ή 4 τετράγωνα ή 3 κανονικά εξάγωνα. Αν επιχειρήσουμε όμως να τον γεμίσουμε με άλλα πολύγωνα, το άθροισμα των γωνιών τους θα παρουσιάσει ή υπερβολή ή έλλειψη σε σύγκριση με τις 4 ορθές. 38

39 Στοιχεία του Ευκλείδη (σε σχέση με τον Πυθαγόρα-Προτάσεις 47,48) Πρότασις μζ [47] Ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις. Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ ΒΔΕΓ, ἀπὸ δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ΗΒ, ΘΓ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΔ, ΓΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΛ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΒΑΗ γωνιῶν, πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΒΑ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΑΗ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν ἐπ' εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΑ τῇ ΑΘ ἐστιν ἐπ' εὐθείας. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΑ ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΑ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΑ, δύο δὴ αἱ ΔΒ, ΒΑ δύο ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΖΓ [ἐστιν] ἴση, καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΒΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον καὶ [ἐστὶ] τοῦ μὲν ΑΒΔ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον βάσιν τε γὰρ τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΒΔ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΒΔ, ΑΛ τοῦ δὲ ΖΒΓ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΗΒ τετράγωνον 39

40 βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΖΒ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΖΒ, ΗΓ. [τὰ δὲ τῶν ἴσων διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν ] ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον τῷ ΗΒ τετραγώνῳ. ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνυμένων τῶν ΑΕ, ΒΚ δειχθήσεται καὶ τὸ ΓΛ παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ ΘΓ τετραγώνῳ ὅλον ἄρα τὸ ΒΔΕΓ τετράγωνον δυσὶ τοῖς ΗΒ, ΘΓ τετραγώνοις ἴσον ἐστίν. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγωνον ἀπὸ τῆς ΒΓ ἀναγραφέν, τὰ δὲ ΗΒ, ΘΓ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πλευρῶν τετραγώνοις. Ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν [γωνίαν] περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 40

41 Μετάφραση Σχόλια Διασυνδέσεις Θεώρημα μζ [47] Στα ορθογώνια τρίγωνα το τετράγωνο της υποτείνουσας,της πλευράς απέναντι από την ορθή γωνία, είναι ίσο με τα τετράγωνα των πλευρών που περιέχουν την ορθή γωνία. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ που έχει τη γωνιά ΒΑΓ ορθή. Λέω[υποθέτω]:πως το τετράγωνο της ΒΓ είναι ίσο με τα τετράγωνα των ΒΑ,ΑΓ ας σχεδιάσω από τη ΒΓ το τετράγωνο ΒΔΕΙ, από τις ΒΑ,ΑΓ τα τετράγωνα ΗΒ,ΘΓ και δια Α σε κάθε μια από τις ΒΔ,ΓΕ φέρνω την παράλληλο ΑΛ, κι ας συνδεθούν τα ΑΔ, ΖΓ, και επειδή κάθε γωνιά ΒΑΓ,ΒΑΗ είναι ορθή, αφού προς την ευθεία ΒΑ και προς το σημείο της Α οι δυο ευθείες ΑΓ,ΑΗ δεν βρίσκονται στο ίδιο μέρος τις εφεξής γωνίες τις κάνουν ίσες με δυο ορθές γωνίες, ευθεία γωνιά, επομένως σε ευθεία είναι η ΓΑ με την ΑΗ, για τον ίδιο λόγο σε ευθεία είναι και η ΒΑ με τη ΑΘ, και επειδή η γωνιά ΔΒΓ είναι ίση με τη γωνιά ΖΒΑ-αφου καθεμία ορθή-αν τους κάνω κοινή, τους προσθέσω, τη γωνιά ΑΒΓ τότε το άθροισμα, όλη, η γωνιά ΔΒΑ είναι ίση με το άθροισμα, όλη, τη γωνιά ΖΒΓ, και επειδή είναι ίση η ΔΒ με τη ΒΓ, και η ΖΒ με τη ΒΑ, οι ΔΒ,ΒΑ με τις ΖΒ,ΒΓ καθεμία με καθεμία, και η γωνιά ΔΒΑ ίση με τη ΖΒΓ, τότε η βάση ΑΔ είναι ίση με τη βάση ΖΓ, και το τρίγωνο ΔΒΑ είναι ίσο με το τρίγωνο ΖΒΓ, και είναι το παραλληλόγραμμο ΒΛ διπλάσιο του τρίγωνου ΑΒΔ, αφού έχουν την ίδια βάση τη ΒΔ και είναι στις ίδιες παράλληλες στις ΒΔ, ΑΛ, το ΗΒ τετράγωνο είναι διπλάσιο του τρίγωνου ΖΒΓ, πάλι έχουν την ίδια βάση την ΖΒ και είναι στις ίδιες παράλληλες στις ΖΒ,ΗΓ,[τα διπλάσια ίσων είναι το ένα με το άλλο ίσα],επομένως ίσο είναι και το παραλληλόγραμμο ΒΛ με το τετράγωνο ΗΒ, όμοια συνδεδεμένων των ΑΕ,ΒΕ αποδείχνεται και το παραλληλόγραμμο ΓΛ ίσο με το τετράγωνο ΘΓ, επομένως ολόκληρο το τετράγωνο ΒΔΕΓ είναι ίσο και με τα δυο τετράγωνα ΗΒ,ΘΓ μαζί, και είναι το τετράγωνο ΒΔΕΓ σχεδιασμένο από την ΒΓ, και τα τετράγωνα ΗΒ,ΘΓ από τις ΒΑ, ΑΓ, επομένως το τετράγωνο από τη πλευρά ΒΓ είναι ίσο με τα τετράγωνα από τις πλευρές ΒΑ,ΑΓ. επομένως στα ορθογώνια τρίγωνα το τετράγωνο της υποτείνουσας, της πλευράς απέναντι από την ορθή γωνιά, είναι ίσο με τα τετράγωνα των πλευρών που περιέχουν την ορθή γωνιά.[οπερ εδει δειξαι]. αυτό ακριβώς το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί που περιέχουν την ορθή γωνιά έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ που έχει τη γωνιά ΒΑΓ ορθή. λέω[υποθέτω]:πως το τετράγωνο της ΒΓ είναι ίσο με τα τετράγωνα των ΒΑ,ΑΓ. 41

42 Πρότασις μη [48] Ἐὰν τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς τῶν πλευρῶν τετράγωνον ἴσον ᾖ τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν τετραγώνοις, ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ὀρθή ἐστιν. Τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ τὸ ἀπὸ μιᾶς τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἔστω τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πλευρῶν τετραγώνοις λέγω, ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία. Ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΑΓ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΔ καὶ κείσθω τῇ ΒΑ ἴση ἡ ΑΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΒ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΑ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΔΑ, ΑΓ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις. ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΔΑ, ΑΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνία τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ ὑπόκειται γάρ τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνῳ ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΔΓ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΓ, δύο δὴ αἱ ΔΑ, ΑΓ δύο ταῖς ΒΑ, ΑΓ ἴσαι εἰσίν καὶ βάσις ἡ ΔΓ βάσει τῇ ΒΓ ἴση γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ [ἐστιν] ἴση. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ. Ἐὰν ἄρα τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς τῶν πλευρῶν τετράγωνον ἴσον ᾖ τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν τετραγώνοις, ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ὀρθή ἐστιν ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 42

43 Ἀπὸ τὴν πλευρά ΒΓ κατασκευάζουμε τὸ τετράγωνο ΒΔΕΓ, καὶ ἀπὸ τὶς ΒΑ, ΑΓ τὰ τετράγωνα ΗΒ, ΘΓ (θεώρ_α 46), καὶ ἀπὸ τὸ σημείο Α φέρομε παράλληλο πρὸς ὀποιαδήποτε ἀπὸ τὶς ΒΔ, ΓΕ ἔστω τὴν ΑΛ (θεώρ_α 31) φέρομε ἐπίσης καὶ τὶς ΑΔ, ΖΓ. Καὶ ἐπειδὴ οἱ γωνίες ΒΑΓ, ΒΑΗ εἶναι ὀρθές, τότε στὸ σημείο Α τῆς εὐθείας ΒΑ οἱ δύο εὐθεῖες ΑΓ, ΑΗ ἐφόσον δὲν κεῖνται στὰ ἴδια μέρη σχηματίζουν γωνία ἴση μὲ δύο ὀρθές ἄρα ἡ ΓΑ καὶ ΑΗ κεῖνται σ εὐθεία (θεώρ_α 14). Γιά τοὺς ἴδιους λόγους καὶ οἱ ΒΑ, ΑΘ κεῖνται σ εὐθεία. Καὶ ἐπειδὴ ἡ γωνία ΔΒΓ εἶναι ἴση μὲ τὴν γωνία ΖΒΑ ἐπειδὴ ἡ κάθε μία εἶναι ὀρθὴ ἀν προστεθεῖ ἡ κοινή ΑΒΓ τότε ἡ ΔΒΑ ὅλη εἶναι ἴση μὲ ὅλη τὴν ΖΒΓ (κ.ἔν.β ). Καὶ ἐπειδή ἡ ΔΒ ἰσοῦται με τὴν ΒΓ, καὶ ἡ ΖΒ μὲ τὴν ΒΑ, καὶ ἡ γωνία ΔΒΑ ἰσοῦται μὲ τὴν ΖΒΓ, τότε τὰ τρίγωνα ΑΒΔ καὶ ΖΒΓ ἔχουν τὶς δύο πλευρές καὶ τὴν περιεχόμενη γωνία ἴσες μία πρὸς μία, ἄρα τὰ τρίγωνα εἶναι ἵσα (θεώρ_α 4) Καὶ εἶναι τὸ παραλληλόγραμμο ΒΛ διπλάσιο τοῦ τριγώνου ΑΒΔ διότι ἔχουν τὴν ἴδια βάση τὴν ΒΔ καὶ κεῖνται στὶς ἴδιες παράλληλες τὶς ΒΔ, ΑΛ (θεώρ_α 41) ὅμοια τὸ παραλληλόγραμμο ΗΒ εἶναι διπλάσιο τοῦ τριγώνου ΖΒΓ διότι ἔχουν τὴν ἴδια βάση τὴ ΖΒ καὶ κεῖνται στὶς ἴδιες παράλληλες τὶς ΖΒ, ΗΓ. [τὰ διπλάσια τῶν ἴσων εἶναι καὶ μεταξύ τους ἴσα ] Ἄρα τὸ παραλληλόγραμμο ΒΛ εἶναι ἴσο μὲ τὸ τετράγωνο ΗΒ. Παρόμοια λοιπὸν, φέροντας τήν ΑΕ, ΒΚ ἀποδεικνύεται ὅτι τὸ παραλληλόγραμμο ΓΛ εἶναι ἴσο μὲ τὸ τετράγωνο ΘΓ ἄρα τὸ ὅλο τετράγωνο ΒΔΕΓ ἰσοῦται μὲ τὸ ἄθροισμα τῶν τετραγώνων ΗΒ καὶ ΘΓ. Καὶ τὸ τετράγωνο ΒΔΕΓ εἶναι αὐτὸ πού ὁρίζεται ἀπὸ τή πλευρά ΒΓ, ἐνώ τὰ ΗΒ, ΘΓ ἀπὸ τὶς πλευρές ΒΑ, ΑΓ. Ἄρα τὸ τετράγωνο τῆς πλευρᾶς ΒΓ ἰσοῦται μὲ τὸ ἄθροισμα τῶν τετραγώνων τῶν πλευρῶν ΒΑ, ΑΓ. Ἄρα στὰ ὀρθογώνια τρίγωνα τὸ τετράγωνο τῆς ὑποτείνουσας πλευρᾶς ἰσοῦται μὲ τὸ ἄθροισμα τῶν τετραγώνων τῶν πλευρῶν πού περιέχουν τὴν ὀρθὴ [γωνία] ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 43

44 3.6 Πυθαγόρειοι και Τετακτύες Οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν τον αριθμό 10 τέλειο γιατί προκύπτει από το άθροισμα των πρώτων τεσσάρων αριθμών( =10) και έτσι του έδωσαν το όνομα «τετρακτύς». Κατά το Θέωνα το Σμυρναίο υπάρχουν έντεκα τετρακτύες που η κάθε μία εκφράζει ένα τομέα της φιλοσοφικής σκέψης στην αρχαιότητα. Για παράδειγμα η 4η τετρακτύς δηλώνει τα τέσσερα στοιχεία της φύσης: φωτιά, νερό, γη και αέρα. Η 6η αναφέρεται στα γεωμετρικά σχήματα: με 1 εκφράζεται το σημείο, με 2 το μήκος, με 3 η επιφάνεια και με 4 το στερεό. Η 8η δίνει τα συστατικά του ζώου: το 1,2,3 εκφράζουν τη ψυχή και το 4 το σώμα. 3.7 Χρυσή Τομή Ο Πυθαγόρας υπολόγισε και εισήγαγε τη χρυσή τομή, η οποία θεωρείται ότι δίνει αρμονικές αναλογίες και συμβολίζεται με το γράμμα φ προς τιμήν του Φειδία. Η χρυσή τομή παρατηρείται στη φύση και ακόμα χρησιμοποιείται στις τέχνες που τη συναντάμε από την εποχή της Αναγέννησης μέχρι και σήμερα. Στη φύση παρατηρείται: στο ανθρώπινο σώμα, στα όστρακα, στο σύμπαν και στα φυσικά φαινόμενα και εμφανίζονται με σπειροειδές σχήμα. 3.8 Αρχές των Πυθαγορείων Οι έννοιες «περιττός» και «άρτιος» ήταν συνδεδεμένες με το βασικό εννοιολογικό δίπολο των Πυθαγορείων «πέρας-άπειρον». Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη μία βασική Πυθαγόρεια δοξασία ήταν ότι ο κόσμος στηριζόταν σε δέκα αρχές. ( Αυτές τις αρχές τις συστοιχούσαν και τις εμφάνιζαν με τη μορφή εννοιολογικών διπόλων ώστε τα μέρη των διπόλων τα οποία ανήκουν στην ίδια συστοιχία να αποτελούν μία απόλυτα συγγενική κλάση. Οι αρχές αυτές ήταν: 1. Πέρας-Άπειρον 2. Περιττόν-Άρτιον 3. Έν-Πλήθος 4. Δεξιόν-Αριστερόν 5. Άρρεν-Θήλυ 6. Ηρεμούν-Κινούμενον 7. Ευθύ-Καμπύλον 8. Φως-Σκότος 9. Αγαθόν-Κακόν 10. Τετράγωνον-Ετερόμηνες 44

45 3.9 Σχεδιασμός αριθμών Οι Πυθαγόρειοι συνήθιζαν να αναπαριστούν τους αριθμούς με μικρούς λίθους τοποθετημένους κατάλληλα σε κάποια επίπεδη επιφάνεια. Χρησιμοποιούσαν δύο ειδών σχηματισμούς: έναν για την αναπαράσταση των περιττών αριθμών και έναν για αυτήν των άρτιων. Για την επίτευξη των δύο σχηματισμών χρησιμοποιούσαν γνώμονα. Παραστατικοί αριθμοί Η θεωρία των Πυθαγόρειων για τους παραστατικούς αριθμούς είναι πως κάθε αριθμός, ως σύνολο ψηφίων, μπορεί να απεικονίσει κάποιο γεωμετρικό σχήμα. Για παράδειγμα ο αριθμός 25 παριστάνει ένα τετράγωνο, ο αριθμός 21 παριστάνει ένα ισόπλευρο τρίγωνο και ο αριθμός 30 παριστάνει ένα ορθογώνιο. Η μελέτη των παραστατικών αριθμών οδήγησε τους Πυθαγορείους στην ανακάλυψη της μεθόδου για την εύρεση των πυθαγορείων τριάδων. Ο Νικόμαχος 17 διέκρινε αριθμούς τρίγωνους, τετράγωνους, ορθογώνιους, πεντάγωνους, κ.λπ. Τις ιδιότητες αυτών των αριθμών μπορεί να τις διαβάσει κανείς στο κείμενο του Νικόμαχου(βλ. σελ.97 της μετάφρασης του d Ooge). Προκύπτουν από τα αθροίσματα των όρων απλών αριθμητικών προόδων, όπως οι: (1) ν = ν(ν+1) 2 [τρίγωνος αριθμός] (2) (2ν+1) = ν 2 [τετράγωνος αριθμός] 17. Ένας από τους τελευταίους αξιόλογους του ύστερου πυθαγορισμού, φιλόσοφος αλλά κυρίως σπουδαίος μαθηματικός, ήταν ο Νικόμαχος ο Γερασηνός. Συνέγραψε το "Εγχειρίδιον Αρμονικής", στο οποίο υποστήριξε ότι υπάρχει αναλογία μεταξύ αριθμών και μουσικών φθόγγων. 45

46 (3) (4) ν = ν( ν+1 ) [ορθογώνιος αριθμός] 46

47 (5) (3ν-2) = ν( 3ν 1) 2 [πεντάγωνος αριθμός] Παραδείγματος χάριν, για να εξαχθεί η (2) με τη βοήθεια ενός διαγράμματος, παρατηρεί κανείς ότι ένα τετράγωνο μπορεί να διαιρεθεί σε ένα μικρότερο τετράγωνο. Επαναλαμβάνοντας τη διαίρεση αυτή, συμπεραίνει κανείς ότι ο αριθμός των κουκίδων στο τετράγωνο είναι το άθροισμα των περιττών αριθμών Λιγότερο άμεσος αλλά, παρόλα αυτά, συνέπεια και αυτός του τύπου του αθροίσματος των όρων μιας αριθμητικής προόδου, είναι ο ακόλουθος κανόνας για τα αθροίσματα ενός, δύο, τριών διαδοχικών περιττών αριθμών, που περιέχεται στον Νικόμαχο: 1= = =3 3 47

48 4.Η συμβολή του Πυθαγόρα στη Μουσική 4.1 Περίληψη Ο στόχος αυτής της εργασίας είναι να παρουσιάσει γενικά την συμβολή του Πυθαγόρα στη μουσική. Αρχικά, θα θίξουμε το θέμα της αρμονίας των ουρανίων σωμάτων 18 και πως αυτό συνδέεται με τη θεωρία των διαστημάτων στη μουσική. Στη συνέχεια θα αναφερθούμε στο μονόχορδο 19, το οποίο χρησιμοποίησε ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος-μαθηματικός για να τα αποδείξει. Τέλος, θα δώσουμε αναλυτικές πληροφορίες για τη κατασκευή αυτού του μουσικού οργάνου. Εισαγωγή Η σχέση μεταξύ δύο αριθμών, αυτό δηλαδή που ονομάζεται σήμερα στην αριθμητική και στη γεωμετρία λόγος, στη μαθηματική θεωρία της Μουσικής του Πυθαγόρα ονομάζεται «Διάστημα». Το μουσικό διάστημα, που εκφραζόταν ως «σχέση δύο αριθμών προς αλλήλους» στη θεωρία της Μουσικής του Πυθαγόρα ονομαζόταν αρχικά διάστημα = απόσταση δυο σημείων απ αλλήλων. Το «διάστημα» αυτό είχε πράγματι δύο συνοριακά σημεία (πέρατα, όρους), τα οποία δινόντουσαν ως αριθμοί. Οι αρχαίοι θεωρητικοί ενδιαφέρονταν κυρίως για τα σύμφωνα διαστήματα ή συμφωνίες. Το όνομα ενός τέτοιου διαστήματος στην Πρακτική της Μουσικής ήταν συνήθως «συμφωνία», αφού άλλωστε για αυτό το λόγο ήθελαν να εκφράσουν το «συγχρονισμένο τονισμό», το «συμφωνείν» δηλαδή δύο ήχων. Στη θεωρία της Μουσικής μάλιστα η λέξη διάστημα είχε διπλή σημασία. Διότι αφενός μεν ονομαζόταν διάστημα η αριθμητική σχέση με την οποία εκφραζόταν ο λόγος του μουσικού διαστήματος, αφετέρου δε αυτή η λέξη ήταν σύμφωνη με την καθημερινή έννοιά της και το «τμήμα ευθείας», δηλαδή την απόσταση μεταξύ δύο σημείων. Πιο συγκεκριμένα ο Πυθαγόρας ήταν αυτός που πρώτος έθεσε τις βάσεις της επιστήμης της Μουσικής με μια επιστημονικά θεμελιωμένη θεωρία της Μουσικής. Ανακάλυψε τη σχέση ανάμεσα στο μήκος των χορδών και το τονικό ύψος που δίνουν. Για να το πετύχει αυτό χρησιμοποίησε ένα έγχορδο όργανο, που το δημιούργησε ο ίδιος, το «Μονόχορδο». Τέλος, λέγεται πως ο Πυθαγόρας άκουγε την αρμονία σφαιρών,γεγονός το οποίο είχε ακουστεί για πρώτη φορά από τον Πλάτωνα «Μουσική των πλανητών» Δέσποινα Πιπεράκη «Ευκλείδης Α 81 τ.1/14 19.Εγκυκλοπαίδεια «ΔΟΜΗ» τόμος 19 σελ.248 «Μονόχορδο»: μουσικό όργανο της αρχαιότητας που επινοήθηκε από τον Πυθαγόρα 20.«Προσωκρατικοί» 4 ος τόμος σελ.52 Πυθαγόρας 1 (Χρυσά Έπη) Εκδόσεις «ΚΑΚΤΟΣ» 48

49 4.2 Μουσική των Πλανητών Λέγεται πως ο Πυθαγόρας «άκουγε την αρμονία του σύμπαντος κατανοώντας την καθολική αρμονία των σφαιρών και των αστέρων που κινούνται προς αυτές, αρμονία που εμείς σήμερα δεν ακούμε λόγω της ανεπάρκειας της φύσης μας» 21. Ωστόσο ήταν ο μόνος που είχε αυτήν την ικανότητα. Η ιδέα της ουράνιας μουσικής δεν ακουγόταν για πρώτη φορά, είχε αποτυπωθεί και στο παρελθόν σε μυθολογικές εικόνες. Έτσι, οι Πυθαγόρειοι κλήθηκαν να απαντήσουν στο εξής ερώτημα: Είναι δυνατό οι πλανήτες να παράγουν μουσική, και αν ναι, γιατί δεν την ακούμε; Χρησιμοποιώντας φυσικοακουστικές θεωρίες, αστρονομικές παρατηρήσεις και υπολογισμούς σχετικά με το μέγεθος, το βάρος ή την ταχύτητα ουράνιων σωμάτων απέδειξαν ότι ήχος παράγεται όταν πράγματα που βρίσκονται σε κίνησή συναντώνται και συγκρούονται. Πολλοί από αυτούς τους ήχους δεν είναι ευδιάκριτοι από εμάς, μερικοί λόγω της αδυναμίας της σύγκρουσης, κάποιοι άλλοι λόγω της μεγάλης τους απόστασης από εμάς και κάποιοι λόγω του υπερβολικά μεγάλου μεγέθους τους. Γιατί οι μεγάλοι ήχοι δεν φτάνουν στα αυτιά μας, όπως τίποτα δεν περνά μέσα από το στενό λαιμό ενός αγγείου. Έτσι κατέληξαν ότι όταν τόσο μεγάλα σώματα κινούνται πρέπει να παραχθεί ήχος, αφού έτσι συμβαίνει με τα σώματα στην περιοχή μας, τα οποία ούτε τέτοιο όγκο έ χουν, ούτε με τέτοιες ταχύτητες κινούνται. Όταν ο ήλιος, η σελήνη και τα αστέρια, τόσο μεγάλα σε αριθμό και ύλη, κινούνται με τόσο ταχεία κίνησή, τότε είναι πιθανό να παράγεται ήχος υπερβολικός σε ποσότητα. Λαμβάνοντας αυτούς τους ισχυρισμούς ως υποθέσεις και υποθέτοντας επίσης ότι από τις αποστάσεις μεταξύ τους οι ταχύτητες απαιτούν τους λόγους των συμφωνιών, είπαν, ότι ο ήχος που παράγεται από τα αστέρια καθώς αυτά κινού νται σε κυκλική τροχιά είναι αρμονικός. Σύμφωνα με τον Πυθαγόρα, ο λόγος που δεν ακούμε αυτόν τον ήχο είναι, γιατί από τη στιγμή που γεννιόμαστε, αυτός υπάρχει με τέτοιο τρόπο ώστε να μην είναι εμφανής από την απόλυτη σιγή διότι, αυτός ο ήχος και η σιγή διακρίνονται μεταξύ τους με τον ίδιο τρόπο που ο σιδηρουργός δεν διακρίνει τους ήχους γιατί τους έχει συνηθίσει. Το ίδιο συμβαίνει και με το ανθρώπινο είδος. Η αρμονία είναι το εργαλείο εκείνο που μας επιτρέπει να κάνουμε μεταφορικούς παραλληλισμούς ανάμεσα στη γήινη και την υπερκόσμια μουσική. 21.«Μουσική των πλανητών» Δέσποινα Πιπεράκη «Ευκλείδης Α 81 τ.1/14 49

50 4.3 Διαπασών Η αρμονία είναι το εργαλείο εκείνο που μας επιτρέπει να κάνουμε μεταφορικούς παραλληλισμούς ανάμεσα στη γήινη και την υπερκόσμια μουσική. Με γνώμονα αυτόν τον συλλογισμό, ο Πυθαγόρας προσπάθησε να κατασκευάσει ένα όργανο το οποίο θα ήταν «συνεπές και όχι επιρρεπές σε λάθη» 22. Περνώντας μία μέρα τυχαία από το εργαστήρι ενός σιδηρουργού άκουσε τα σφυριά να χτυπούν στο σίδερο του αμονιού δίνοντας ήχους απολύτως σύμφωνους μεταξύ τους, με εξαίρεση ένα ζευγάρι. Αναγνώρισε ανάμεσά τους την διαπασών 23, την πέμπτη και την τετάρτη, παρατήρησε επίσης ότι αυτό που ήταν ανάμεσα στην τετάρτη και την πέμπτη ήταν παράφωνο αλλά και αναγκαίο να γεμίσει το μεγαλύτερο από αυτά τα διαστήματα. Μετά από πολλά πειράματα ανακάλυψε ότι αυτό που ευθύνεται για την διαφορά στον ήχο ήταν το βάρος των σφυριών. Πήρε κομμάτια σίδερο, τα ζύγισε επακριβώς, μετά έφτιαξε μία μονή ξύλινη ράβδο (που λειτουργούσε ως ηχείο) και κρέμασε από αυτή τέσσερις ίδιες χορδές, ίσου μήκους, τις οποίες τέ ντωσε κρεμώντας τα βάρη στις άκρες τους. Έπειτα, κρούοντας ανά δύο τις χορδές και με βάση τις αναλογίες των βαρών που είχε χρησιμοποιήσει βρήκε τις αναλογίες των νοτών 24. Να επισημάνουμε, βέβαια, ότι δεν είναι σαφές κατά πόσο ο ίδιος ο Πυθαγόρας συνεισέφερε στα μαθηματικά και μουσικά θεωρήματα τα οποία του έχουν αποδοθεί. Σ' αυτόν όμως αποδίδεται η αρχική ιδέα για την μαθηματική τεκμηρίωση της μουσικής. 22. Αρμονικό Εγχειρίδιο pandoura.gr 23. Εγκυκλοπαίδεια «ΔΟΜΗ» Τόμος 7 σελ.772 «Διαπασών»: όργανο με το οποίο μπορεί να παραχθεί ένας απλός ήχος με καθορισμένη συχνότητα. 24. «Μουσική των πλανητών» Δέσποινα Πιπεράκη «Ευκλείδης Α 81 τ.1/14 50

51 4.4 Μουσικά Διαστήματα Οι Πυθαγόρειοι διέκριναν 3 είδη αναλογιών την αριθμητική, τη γεωμετρική και την υπεναντία, την οποία αποκαλούσαν και αρμονική. Από την αναλογία αυτή προχώρησαν οι Πυθαγόρειοι στην ανακάλυψη της λεγόμενης «Μουσικής Μεσότητας» 25 που θεωρήθηκε η τελειότερη όλων. Η ανακάλυψη αυτή εφαρμόστηκε και στη μουσική, διότι τα μουσικά διαστήματα θεωρήθηκε ότι αντιστοιχούν στους αριθμητικούς λόγους μεταξύ των τιμών που καθορίζουν τα μήκη των χορδών. Η πυθαγόρεια μουσική κλίμακα περιέχει 8 φθόγγους και 7 μουσικά διαστήματα. Ο οξύτερος τόνος ονομάζεται «νήτη» και ο βαρύτερος «υπάτη» 26.Η γραφή των φθόγγων, οι οποίοι πήραν τα ονόματά τους από τα δάχτυλα που πάλλουν τις χορδές του 8χορδου, γινόταν, αντίθετα από ότι σήμερα από τον οξύτερο προς τον βαρύτερο: Νήτη, Παρανήτη, Τρίτη, Παραμέση, Μέση, Λιχανός, Παρυπάτη, Υπάτη. Η εκφώνηση των μουσικών φθόγγων γινόταν με τις ακόλουθες συλλαβές: ΤΗ, ΤΑ, ΤΕ, ΤΩ, ΤΗ, ΤΑ, ΤΩ, ΤΗ (ΝΤΟ, ΡΕ, ΜΙ, ΦΑ, ΣΟΛ, ΛΑ, ΣΙ, ΝΤΟ.) ΝΕΑ ΑΡΧΑΙΑ ΚΛΙΜΑΚΑ ΛΟΓΟΙ ΚΛΙΜΑΚΑ Ντο Νήτη 2/1 Σι Παρανήτη 243/128 Λα Τρίτη 27/16 Σολ Παράμεση 3/2 Φα Μέση 4/3 Μι Λιχανός 81/64 Ρε Παρυπάτη 9/8 Ντο Υπάτη 1 (πίνακας 1) 27 οι ευθείες γραμμές που παράγονται ως αριθμοί, ορίζονται με δύο γράμματα ένα στην αρχή και ένα στο τέλος τους, τα μουσικά διαστήματα δηλώνονται με ένα γράμμα 25. «Προσωκρατικοί» 4 ος τόμος σελ.47 Πυθαγόρας 1 (Χρυσά Έπη) Εκδόσεις «ΚΑΚΤΟΣ» 26. «Προσωκρατικοί» 4 ος τόμος σελ.48 Πυθαγόρας 1 (Χρυσά Έπη) Εκδόσεις «ΚΑΚΤΟΣ» 27. «Προσωκρατικοί» 4 ος τόμος σελ.49 Πυθαγόρας 1 (Χρυσά Έπη) Εκδόσεις «ΚΑΚΤΟΣ» 28. «Μουσική των πλανητών» Δέσποινα Πιπεράκη «Ευκλείδης Α 81 τ.1/15 51

52 4.5 Σύνδεση των διαστημάτων με την αρμονία του σύμπαντος ΕΙΚΟΝΑ 1 Η θεωρία των διαστημάτων συνδέθηκε στενά με την αρμονία των ουράνιων σωμάτων. Τα ονόματα των μουσικών νοτών στην αρχαιότητα προέρχονταν από τις θέσεις των πλανητών. Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν πως η απόσταση μεταξύ των πλανητών έπρεπε να μετρούνται με βάση το «κεντρικό πυρ» 29, το οποίο ήταν ένας φανταστικός άξονας γύρω από τον οποίο κινούνταν κυκλικά ο «Αντίχθων» (Ο Αντίχθων είναι υποθετικό σώμα του ηλιακού συστήματος με μάζα ίση με αυτή της Γης, την ύπαρξη του οποίου υπέθεσε ο Έλληνας φιλόσοφος Φιλόλαος στο μη γεωκεντρικό κοσμολογικό του μοντέλο 30 ), κατόπιν η Γη, μετά η σελήνη, ύστερα ο ήλιος, ακολούθως οι υπόλοιποι πλανήτες 31 και τέλος οι εξωτερικοί σφαίρα του σύμπαντος η οποία έφερε τους απλανείς αστέρες. Συνεπώς, τα ονόματα των πλανητών συνδέονταν με την μουσική κλίμακα της αρχαιότητας, όπως υποδεικνύει και ο παρακάτω πίνακας (2). ΟΥΡΑΝΙΑ ΣΩΜΑΤΑ- ΠΛΑΝΗΤΕΣ Κρόνος Δίας Άρης Ήλιος Ερμής Αφροδίτη Σελήνη ΝΟΤΕΣ Υπάτη Παρυπάτη Λιχανός Μέση Παραμέση Παρανήτη Νήτη 29. «Μουσική των πλανητών» Δέσποινα Πιπεράκη «Ευκλείδης Α 81 τ.1/ CE%B1%CF% Κρόνος, Δίας, Άρη, Αφροδίτη και Ερμής ΕΙΚΟΝΑ 1) 3 o ΛΥΚΕΙΟ ΔΡΑΜΑΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: Διερεύνηση των ανακαλύψεων που έγιναν μέσα στους κόλπους της Πυθαγόρειας σχολή 52

53 4.6 Τετρακτύς - Μουσική Ο Πυθαγόρας είναι ο πρώτος φιλόσοφος που συνδέει την Αστρονομία με τη Μουσική, υποστηρίζοντας ότι στο αρμονικό και σφαιρικό σύμπαν τα πάντα διέπονται από απλούς νόμους, που μπορούν να εκφρασθούν με τους αριθμούς της «τετρακτύς». Με τη θεωρία της αρμονίας των σφαιρών που συνδυάζει την κοσμική αρμονία με τη μουσική αρμονία, ο μεγάλος φιλόσοφος επιχείρησε να εξηγήσει τη θέση και την κίνηση των πλανητών στο Σύμπαν. Χρησιμοποιώντας μουσικούς όρους καθόρισε υπό μορφή κλίμακας τις μεσοπλανητικές αποστάσεις. Η τετρακτύς αποτελεί το σημαντικότερο στοιχείο της μουσικής θεωρίας των Πυθαγορείων. Η 4 αριθμοί που την απαρτίζουν (1,2,3,4) όταν αθροιστούν δίνουν αποτέλεσμα 10 που θεωρείται από τους Πυθαγορείους ο πληρέστερος αριθμός. Αφού ο αριθμός 10 είναι πλήρης οι Πυθαγόρειοι υποστήριζαν ότι τα σώματα που θα βρίσκονταν στον ουρανό θα είναι 10. Συνοψίζοντας, αξίζει να αναφέρουμε ότι η μουσική κλίμακα του Πυθαγόρα έχει διατηρηθεί αναύλωτη ακόμα και τώρα, σήμερα. Όμως, συνείσφερε περισσότερο δίνοντας τη σημασία της σχέσεις ήχου και αριθμού 32. Σήμερα παρόλο που έχουν περάσει χρόνια η NASA 33 προσπαθεί, ηχογραφώντας τις ηλεκτρομαγνητικέ «φωνές» των πλανητών, να αποδείξει τους ισχυρισμού των Πυθαγορείων περί μουσικής των πλανητών. 32. Barker Αμερικάνικη Υπηρεσία Αεροναυτικής και Διαστήματος 53

54 «ναὶ μὰ τὸν ἁμετέρᾳ ψυχᾷ παραδόντα τετρακτύν παγὰν ἀενάου φύσεως.» [3][4] (ναι μα τον παραδόσαντα στην ψυχή μας την τετρακτύν, που είναι η πηγή της αενάου φύσεως.) Χρυσά Έπη - στίχοι: 47, 48 54

55 4.7 Μονόχορδο Ο μεγάλος φιλόσοφος, μαθηματικός και μουσικός, ο Πυθαγόρας από τη Σάμο, που έζησε από το 580 μέχρι το 500 π.χ. κατασκεύασε αυτό το μονόχορδο όργανο, το οποίο περιγράφεται μόνο σε αρχαία κείμενα και είναι γνωστό και με την ονομασία «Κανών». Απέδειξε μέσω αυτού του οργάνου ότι οι ήχοι έχουν απόλυτη σχέση με τους αριθμούς και θεωρούσε ότι η πυθαγόρεια κλίμακα είναι μέρος μιας κοσμικής αρμονίας που διέπεται από τους κανόνες της «αρμονίας των ουράνιων σφαιρών». Το μονόχορδο υπήρξε αρχαίο μουσικό και επιστημονικό όργανο, το οποίο συνδέθηκε άρρηκτα με το έργο του αρχαίου φιλοσόφου και θεωρητικού της μουσικής Πυθαγόρα, ο οποίος το χρησιμοποιούσε και για να διδάσκει τους μαθητές του φιλοσοφία και κάποιες βασικές έννοιες των μαθηματικών. Αν και η ονομασία του οργάνου παραπέμπει στη χρήση μίας και μόνης χορδής, στην πραγματικότητα δύο χορδές ήταν το πλέον σύνηθες: η μία εξ αυτών "ανοιχτή" και η άλλη εφαπτόμενη σε κινητό τάστο(λεγόμενο κοινώς και "καβαλάρης" ή "γέφυρα"). Στην απλούστερή του μορφή, το μονόχορδο φέρει μία χορδή που εκτείνεται επί ενός ακουστικού ηχείου (το κυρίως σώμα του οργάνου). Η λεγόμενη Πυθαγόρεια κλίμακα ή Πυθαγόρειος συγκερασμός (χόρδισμα) προκύπτει ακριβώς από τις μαθηματικές αναλογίες που εφαρμόστηκαν στο μονόχορδο. Οι μαθηματικές σχέσεις των μουσικών διαστημάτων περιγράφονται με μεγάλη λεπτομέρεια από τον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο και μαθηματικό Νικόμαχο, στα έργα του "Εγχειρίδιον Αρμονικής" και "Αριθμητική Εισαγωγή". 55

56 4.8 Πορεία του μονόχορδου μέσα στους αιώνες Το μονόχορδο απεικονίστηκε σε δεκάδες πραγματείες των μουσικοθεωρητικών του Μεσαίωνα και της Αναγέννησης (π.χ. Γκουίντο ντ' Αρέτσο, Βοήθιος κλπ), ως το κύριο μέσο πρακτικής απόδειξης της σχέσης μαθηματικών και μουσικής υπήρξε δε κύριο εργαλείο των οργανοποιών, μέχρις ότου αντικαταστάθηκε από το διαπασών(τονοδότης, ή και έλασμα χορδίσματος). Στην καθαυτή μουσική εικάζεται πως δεν είχε κάποια σπουδαία πρακτική εφαρμογή καθώς περιοριζόταν στην επιστημονική του χρήση. Άμεσος απόγονος του μονόχορδου θεωρείται η τρόμπα μαρίνα, ένα παρόμοιο μονόχορδο όργανο, με ιδιαίτερο χαρακτηριστικό τον ήχο του, ο οποίος προσιδιάζει μ' αυτόν της τρομπέτας ΜΟΝΟΧΟΡΔΟ ΤΡΟΜΠΑ ΜΑΡΙΝΑ 56

57 4.9 Τρόπος λειτουργίας του μονοχόρδου Όπως προαναφέραμε ο Πυθαγόρας χρησιμοποιούσε υο μονόχορδο για να διδάξει μαθηματικά. Ειδικότερα, ). Η χρήση κινητών τάστων επιτρέπει την ελεγχόμενη αλλοίωση του ύψους του τόνου, από την οποία προκύπτει η μεταξύ τους μαθηματική σχέση. Για παράδειγμα, εάν το τάστο τοποθετηθεί στο ήμισυ του μήκους της χορδής, η μαθηματική σχέση που προκύπτει εκφράζεται με τον λόγο 1:2, η γνωστή στους μουσικούς οκτάβα, ή διάστημα ογδόης. Παρομοίως, εάν το τάστο τοποθετηθεί στα 4/5 του μήκους της χορδής προκύπτει το διάστημα μεγάλης τρίτης, στα 5/6 το διάστημα μικρής τρίτης κλπ. 57

58 4.10 Υλικά για την κατασκευή του μονοχόρδου Για να κατασκευαστεί το μονόχορδο θα χρειαστούμε κάποια συγκεκριμένα υλικά. Αρχικά, γνωρίζουμε ότι το μονόχορδο είχε 74εκ. μήκος, 11εκ. πλάτος και 10 εκ ύψος. Επίσης, ξέρουμε ότι η χορδή ήταν φτιαγμένη από έντερο ζώου και οι καβαλάρηδες από μολύβι. Τέλος, το ηχείο ήταν κατασκευασμένο από ξύλο. ΥΛΙΚΆ: 1) Ένα κομμάτι ξύλου με τις παραπάνω διαστάσεις 2) Μία χορδή περίπου 60εκ. 3) Δύο κομμάτια μολύβι μήκους 3 ον εκ. 4) Μία σέγα 5) Ένα μολύβι 6) Μία ξυλόκολλα Οδηγίες για την κατασκευή του μονοχόρδου 1) Παίρνουμε το ξύλο και σχηματίζουμε πάνω του ένα αυλάκι. Πάνω στο αυλάκι αυτό θα τοποθετηθεί ο κινητός τάστο το οποίος θα εφάπτεται με την χορδή έτσι ώστε να μπορούμε να υπολογίσουμε με ευκολία τα διαστήματα. Το αυλάκι αυτό θα είναι 48 εκ. και θα εκτείνεται από τον έναν καβαλάρη στον άλλο. 58

59 2) Με το μολύβι σχεδιάζουμε τις γραμμές της σημερινής μουσικής κλίμακας και της αρχαίας. Έτσι θα μπορέσουμε να αντιληφθούμε τη σχέση που διέπει τις Πυθαγόρειες θεωρίες των διαστημάτων με τη μουσική και τις αναλογίες, της τότε μουσικής κλίμακας και της τώρα. 59