ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Κατασκευή: Το μονόχορδο του Πυθαγόρα Τόλιας Γιάννης Α1 Λ Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Α. Τσαγκογέωργα

2 Περιεχόμενα: Τίτλος Εργασίας Σκοπός Υπόθεση (Περιγραφή Κατασκευής) Ορισμός Μεταβλητών Υλικά Ανάλυση αποτελεσμάτων Ιστορικά Στοιχεία -Πυθαγόρας - Το Λάθος των Πυθαγορείων Βιβλιογραφία

3 Μονόχορδο Του Πυθαγόρα (κατασκευή μονόχορδου με απλά υλικά) Μαθηματικά και Μουσική

4 Σκοπός Εργασίας: Μελέτη της σχέσης που υπάρχει ανάμεσα στα μαθηματικά και τη μουσική. Τα μαθηματικά και η μουσική είναι δυο επιστήμες που έχουν πολύ μεγάλη σχέση μεταξύ τους. Από την αρχαιότητα ακόμη οι δύο τέχνες αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και η αλληλεπίδραση αυτή φτάνει ως τις μέρες μας... Η ιδέα της σύνδεσης των μαθηματικών και της μουσικής γεννήθηκε πριν από 26 ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα από τον Πυθαγόρα, μαθηματικό και ιδρυτή της πυθαγόρειας σχολής σκέψης. Ο φιλόσοφος γνώριζε πολύ καλά τη σχέση της μουσικής με τους αριθμούς. Οι ειδικοί ερευνητές θεωρούν ότι το πιθανότερο είναι πως ο ίδιος και οι μαθητές του εντρύφησαν στη σχέση της μουσικής και των αριθμών μελετώντας το αρχαίο όργανο μονόχορδο. Όπως φαίνεται από το όνομά του, το μονόχορδο ήταν ένα όργανο με μία χορδή και ένα κινητό καβαλάρη που διαιρούσε τη χορδή επιτρέποντας μόνο ένα τμήμα της να ταλαντώνεται.που από αρκετούς μελετητές τοποθετείται στην οικογένεια του λαούτου δηλαδή με βραχίονα, χέρι. Το μονόχορδο χρησιμοποιήθηκε για τον καθορισμό των μαθηματικών σχέσεων των μουσικών ήχων. Ονομάζονταν και "Πυθαγόρειος κανών" γιατί απέδιδαν την εφεύρεσή του στον Πυθαγόρα. Πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί εργάσθηκαν για τον υπολογισμό των μουσικών διαστημάτων πάνω στον κανόνα, όπως ο Αρχύτας (εργάσθηκε στις αναλογίες των διαστημάτων του τετραχόρδου στα τρία γένη, διατονικό, χρωματικό και εναρμόνιο και ανακάλυψε το λόγο της μεγάλης τρίτης στο εναρμόνιο γένος), ο Ερατοσθένης ο Δίδυμος (σ αυτόν αποδίδεται ο καθορισμός του "κόμματος του Διδύμου", που είναι η διαφορά μεταξύ του μείζονος τόνου (9/8) και του ελάσσονος (10/9) δηλαδή 81/80). Πιο συγκεκριμένα η κατασκευή του μονόχορδου επάνω στο οποίο εργάζονταν οι Πυθαγόρειοι με σύγχρονα και απλά μέσα θα μας προσφέρει τη δυνατότητα να ερευνήσουμε τη σχέση του μήκους της χορδής (ενός έγχορδου) με τον ήχο τον οποίο αυτή παράγει.

5 Υπόθεση (Περιγραφή κατασκευής): 1. Με τη σέγα κόβουμε 2 κομμάτια μολύβι σε μήκος 3 εκ. που τα χρησιμοποιούμε σαν καβαλάρηδες και τα κολλάμε έτσι ώστε να απέχουν μεταξύ τους 48 εκ..στη μέση τους ανοίγουμε με τη σέγα ένα μικρό αυλάκι απ όπου στη συνέχεια θα διέρχεται η χορδή. 2. Βιδώνουμε τις βιδοθηλιές στα άκρα του ξύλου 3. Σημαδεύουμε πάνω στο ξύλο τις γραμμές που μας δίνουν την κλίμακα του Πυθαγόρα με το ένα χρώμα και με το άλλο τις γραμμές της συγκερασμένης (δυτικοευρωπαϊκής) μείζονος κλίμακας. Μετά τεντώνουμε τη χορδή.

6 Ορισμός Μεταβλητών: Η μουσική κλίμακα του Πυθαγόρα κατασκευάζεται με βάση τις αναλογίες του κύβου, ο οποίος εκφράζεται με τον αριθμό 4 της 5ης τετρακτύος (1 = τετράεδρο, 2 = οκτάεδρο, 3 = εικοσάεδρο, 4 = κύβος) και συμβολίζει τη γη και το συνδυασμό των στοιχείων της. Ο κύβος έχει 6 έδρες, 8 κορυφές και 12 ακμές. Οι αριθμοί 12 και 6 δίνουν την αναλογία 2/1, οι 8 και 6 την αναλογία 4/3 ενώ οι 12 και 8 την αναλογία 3/2. Επίσης ο αριθμός 8 είναι το αρμονικό μέσο των 6 και 12, ενώ το αριθμητικό μέσο των αριθμών αυτών είναι ο 9. Ο αρμονικός και αριθμητικός μέσος δίνουν την αναλογία 9/8. Έτσι προκύπτουν οι μαθηματικές αναλογίες βάση των οποίων κατασκευάζεται η μουσική κλίμακα κατά τους Πυθαγόρειους. Οι αναλογίες αυτές αποδείχθηκαν και στην πράξη από τα πειράματα που έκανε ο Πυθαγόρας πάνω στο μονόχορδο το οποίο διαίρεσε σε 12 ίσα τμήματα (όσες και οι ακμές του κύβου). Με τη χορδή «ανοιχτή» δηλαδή σε θέση να μπορεί να ταλαντώνεται όλο το μήκος της (λόγος 1, συχνότητα 1), έκρουσε και άκουσε ένα μουσικό τόνο. Στη συνέχεια περιόρισε το μέρος της χορδής που ταλαντώνεται στο μισό της μήκος, και βρήκε ότι ο ήχος που ακούστηκε είναι η διαπασών, αυτό που σήμερα ονομάζουμε οκτάβα. Το ύψος λοιπόν του ήχου επηρεάζεται από το μήκος της χορδής και μάλιστα όταν η αναλογία του μήκους είναι 1/2 (συχνότητα 2/1) έχουμε το διάστημα της οκτάβας. Έτσι ορίστηκαν τα άκρα της μουσικής κλίμακας, η υπάτη και η νήτη. Στη συνέχεια μετακινώντας τον καβαλάρη σε διάφορα σημεία, βρήκε ότι αν ταλαντωνόταν τα 3/4 της χορδής (συχνότητα 4/3) προέκυπτε ο τέταρτος φθόγγος από τους οκτώ μιας μουσικής κλίμακας, η μέση, ενώ αν ταλαντωνόταν τα 2/3 της χορδής (συχνότητα 3/2) προέκυπτε ο πέμπτος φθόγγος, η παραμέση. Οι υπόλοιποι φθόγγοι της κλίμακας κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας το λόγο 9/8 ως εξής: - Ο δεύτερος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του πρώτου (υπάτη) αν τον πολλαπλασιάσουμε με 9/8: 1 x 9/8 = 9/8 δηλαδή για την παραγωγή του θα ταλαντώνονται τα 8/9 της χορδής. - Ο τρίτος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του δεύτερου (9/8) αν και πάλι πολλαπλασιαστεί με 9/8: 9/8 x 9/8 = 81/64 δηλαδή θα ταλαντώνονται τα 64/81 της χορδής. - Ο έκτος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του πέμπτου (παραμέση) που πολλαπλασιάζεται με 9/8: 1:2/3 x 9/8 = 27/16 δηλαδή θα ταλαντώνονται τα 16/27 της χορδής. - Τέλος, ο έβδομος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του έκτου και πάλι πολλαπλασιαζόμενου με 9/8: 1:16/27 x 9/8 = 243/128 δηλαδή για την παραγωγή του θα ταλαντώνονται τα 128/243 της χορδής.

7 Υλικά: Ένα ξύλο με διαστάσεις 55x3x2 εκ. Ένα μολύβι Πετονιά Σέγα, Χάρακα 2 στυλό διαφορετικού χρώματος 2 μικρές βιδοθηλιές Κόλλα λευκή Ψηφιακή φωτογραφική μηχανή

8 Ανάλυση αποτελεσμάτων: Πέρα από το μονόχορδο, ο Πυθαγόρας πειραματίστηκε και με άλλα υλικά και τις ιδιότητές τους που συνθέτουν τα μουσικά διαστήματα, όπως η τάση χορδών ίσου μήκους και πάχους, το μήκος ηχητικού σωλήνα κ.τ.λ. Ο χωρισμός και καθορισμός των μουσικών διαστημάτων που πέτυχε, ήταν ένα τεράστιας σημασίας επίτευγμα τόσο για τη μουσική και τη θεωρία της όσο και για τα μαθηματικά και τη δύναμή τους να ερμηνεύουν τον κόσμο με αριθμούς όπως εξάλλου δίδασκε και ο Πυθαγόρας. Πέρα από τη μεγάλη σημασία για τη θεωρία της μουσικής, ο υπολογισμός του έδωσε την ευκαιρία να κατασκευαστούν μουσικά όργανα με μεγαλύτερη ακρίβεια από πριν. Με το πέρασμα του χρόνου, η Πυθαγόρεια μουσική κλίμακα τροποποιήθηκε είτε για πρακτικούς είτε για καθαρά φιλοσοφικούς λόγους, όμως ο Πυθαγόρας είχε δείξει έναν δρόμο που και οι σύγχρονες μουσικές κλίμακες ακολουθούν. Ακόμα και σήμερα υπολογίζουμε μαθηματικά τα μουσικά διαστήματα τα οποία βέβαια έχουν διαφοροποιηθεί σημαντικά από τότε. Χρειάστηκε να περάσουν αιώνες για να προστεθούν τα μουσικά διαστήματα της 3ης και 6ης και η "ήπια" (συγκερασμένη) κλίμακα του Γιόχαν Σεμπάστιαν Μπαχ να "ξεκλειδώσει" με την σύνθεση Καλοσυγκερασμένο Κλειδοκύμβαλο τους νέους ατραπούς που ακολουθήσαν οι επόμενοι μεγάλοι "Κλασσικοί". Από την Α-Β-Γ-Δ-Ε- Ζ-Η των αρχαίων Ελλήνων και την ΠΑ-ΒΟΥ-ΓΑ-ΔΗ-ΚΕ-ΖΩ-ΝΗ των Βυζαντινών, στην ΝΤΟ-ΡΕ-ΜΙ-ΦΑ-ΣΟΛ-ΛΑ-ΣΙ-ΝΤΟ των Δυτικών. Στη σημερινή πραγματικότητα, τόσο η μουσική θεωρία, όσο και η μουσική πράξη, ερμηνεύονται με φυσικούς νόμους, που με τη σειρά τους διατυπώνονται με μαθηματικές σχέσεις. Στην ακουστική (στον ιδιαίτερο κλάδο της φυσικής που έχει ως αντικείμενο τον ήχο και τις ιδιότητές του) ένα μουσικό διάστημα εκφράζεται σαν ο λόγος δύο συχνοτήτων. Σε ορισμένες περιπτώσεις ο λόγος είναι απλής μορφής όπως για παράδειγμα οι γνωστοί μας λόγοι της καθαρής πέμπτης (3/2), της καθαρής τετάρτης (4/3), της οκτάβας (2/1) κ.λ.π. Σε άλλες περιπτώσεις, ελλείψει μεγίστου κοινού διαιρέτη, οι όροι του λόγου είναι μεγάλοι αριθμοί όπως στο διάσχισμα (2048/2025). Προκύπτει λοιπόν το συμπέρασμα ότι είναι δύσκολη, αν όχι αδύνατη, η σύγκριση δύο μουσικών διαστημάτων. Η απλούστευση στην παράσταση των μουσικών διαστημάτων επήλθε με τη βοήθεια της λογαριθμικής σχέσης μέγεθος μουσικού διαστήματος = k * log(f2/f1)/log2 στην παραπάνω σχέση, όπου f1, f2 οι συχνότητες των φθόγγων του μουσικού διαστήματος και f2>f1. Το k είναι μια σταθερά η τιμή της οποίας καθορίζει και ένα σύστημα μονάδων μουσικών διαστημάτων. Τελικά με την σημερινή έρευνα καταφέρνουμε να συγκρίνουμε τις 2 βασικές κλίμακες που υπάρχουν ως τώρα (αυτή του Πυθαγόρα με την τωρινή συγκερασμένη).μπορούμε να κάνουμε τη σύγκριση αυτή χρησιμοποιώντας ένα σύγχρονο μουσικό όργανο όπως π.χ. μία κιθάρα ή συγκρίνοντας τις 2 κλίμακες στη δική μας κατασκευή (όπου είναι και οι 2 σχεδιασμένες).

9 Ιστορικά στοιχεία: Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ ΚΑΙ Η ΔΙΠΛΗ ΤΟΥ ΙΔΙΟΤΗΤΑ Ο Πυθαγόρας ( π.χ.) ήταν φιλόσοφος, μαθηματικός και θεωρητικός της μουσικής. Υπήρξε ο πρώτος που έθεσε τις βάσεις της επιστήμης της μουσικής με μια επιστημονικά θεμελιωμένη θεωρία της μουσικής. Ίδρυσε σχολή γύρω στο 532 π.χ. όπου δίδασκε ότι ο κόσμος πρέπει να ερμηνεύεται με αριθμούς. Ανακάλυψε τη σχέση ανάμεσα στο μήκος των χορδών και το τονικό ύψος που δίνουν. Με υπολογισμούς καθαρά μαθηματικούς βρήκε τις αριθμητικές αναλογίες των μουσικών διαστημάτων της όγδοης (οκτάβας) της τέταρτης (4/3), της πέμπτης (3/2) καθώς και του μείζονα τόνου, τη διαφορά δηλαδή ανάμεσα στην τέταρτη και την πέμπτη (9/8). Για τους Πυθαγόρειους διάστημα είναι το ευθύγραμμο τμήμα που τα άκρα του (ακραία σημεία) σχηματίζουν αριθμητική σχέση (αναλογία αριθμών). Οι όροι διάστημα και λόγος είναι ταυτόσημοι. Σε κάθε διάστημα επομένως υπάρχουν πάντα δύο αριθμοί. Ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του υποστήριξε επίσης την άποψη ότι από την περιστροφή των πλανητών παράγονται ήχοι, ανάλογα με την απόστασή τους από τη γη, οι οποίοι όμως δεν ακούγονται. Το σύνολο των ήχων αυτών δίνει την «αρμονία των σφαιρών». Την αρμονία των σφαιρών οι Πυθαγόρειοι τη συνδύασαν και με την αρμονία της ψυχής. Οι φιλοσοφικές αντιλήψεις τους επηρέασαν τον Πλάτωνα ο οποίος αργότερα θεωρεί ότι η αρμονία της μουσικής καθρεφτίζει την αρμονία της ψυχής.

10 ΤΟ ΛΑΘΟΣ ΤΩΝ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΩΝ Ήταν εντυπωσιακό το γεγονός ότι μόνο οι ακριβείς μαθηματικές σχέσεις έδιναν αρμονικούς ήχους στο μονόχορδο. Για παράδειγμα, έπρεπε να χωρίσουν ακριβώς στη μέση τη χορδή, και όχι περίπου στη μέση, ώστε να έχουν το ευχάριστο ψυχικό συναίσθημα που απορρέει από έναν αρμονικό ήχο. Εύκολα λοιπόν οι Πυθαγόρειοι κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι τα μαθηματικά κυβερνούν τη μουσική ή και ότι, ως ένα βαθμό, η μουσική κυβερνά τα μαθηματικά. Για τους Πυθαγορείους, αυτή η άμεση και ακριβής σχέση μαθηματικών, μουσικής και ευχάριστου ψυχικού συναισθήματος αποτελούσε τη μέγιστη απόδειξη ότι η αλήθεια, στο ύψιστο επίπεδό της, εκφράζεται με μαθηματικές σχέσεις. Πίστευαν, μάλιστα, ότι η ψυχή, μέσα από τα μαθηματικά και τη μουσική, μπορούσε να εξυψωθεί ώσπου να ενωθεί με το σύμπαν και ότι ορισμένα μαθηματικά σύμβολα έχουν αποκρυφιστική σημασία. Η εμμονή των Πυθαγορείων στους ρητούς αριθμούς - είναι οι ακέραιοι αριθμοί, καθώς και οι αριθμοί που μπορούν να εκφραστούν με κλάσματα- ήταν εκείνη που περιόρισε τους ορίζοντές τους και τους οδήγησε στο συμπέρασμα ότι ο κόσμος που μας περιβάλλει είναι δομημένος με βάση την τέλεια αρμονία των πάντων. Ωστόσο, στις αρχές της αρμονίας των Πυθαγορείων βασίστηκε η ευρωπαϊκή μουσική μέχρι, τουλάχιστον, τη στιγμή που ο Γιόχαν Σεμπάστιαν Μπαχ, μέσω της σύνθεσής του "Καλοσυγκερασμένο Κλειδοκύμβαλο" πρότεινε την υποδιαίρεση της οκτάβας σε δώδεκα ημιτόνια - κάτι, παρεμπιπτόντως, που είχε προτείνει δύο χιλιάδες χρόνια πριν από τον Μπαχ ο Αριστόξενος, όμως δεν εισακούστηκε Συμπερασματικά, παρά τον ηθικοθρησκευτικό χαρακτήρα της διδασκαλίας του, ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του διαμόρφωσαν φιλοσοφικές αρχές που επηρέασαν την πλατωνική και αριστοτελική διανόηση, κυρίως όμως συνέβαλαν στην ανάπτυξη των μαθηματικών, της μουσικής και της δυτικής φιλοσοφίας. Καθιέρωσαν την αντίληψη ότι η πραγματικότητα - συμπεριλαμβανομένης της μουσικής και της αστρονομίαςείναι στο βαθύτερο επίπεδό της μαθηματικής φύσης. Μας κληροδότησαν επίσης το Πυθαγόρειο Θεώρημα, τη χρήση της φιλοσοφίας ως μέσου πνευματικής κάθαρσης, την ιδέα περί ουράνιου πεπρωμένου της ψυχής και της δυνατότητας ανύψωσής της σε ένωση με το θεϊκό στοιχείο του κόσμου. Πυθαγόρεια είναι και η προσφυγή σε εντυπωσιακά σύμβολα με μυστικιστικές ιδιότητες, όπως η τετρακτύς, η χρυσή τομή και η αρμονία των σφαιρών.

11 Βιβλιογραφία από το Internet: Ελληνική ιστοσελίδα για τη Βυζαντινή μουσική Περιοδικό Focus Πανελλήνιο Σχολικό δίκτυο Βιβλίο: «Το εργαστήριο της μουσικής» (Π. Καμπύλης, Ι. Σπετσιώτης)

12 Φωτογραφίες Εργασίας:

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ ΚΑΤΆ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ

ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ ΚΑΤΆ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ ΚΑΤΆ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ Στον τομέα της μουσικής η έρευνα του Αριστόξενου ήταν επαναστατική. Παραμέρισε τις έρευνες των πυθαγορείων

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

«Διαστηµατικά» Εκεί που τα µαθηµατικά συναντούν τη µουσική.

«Διαστηµατικά» Εκεί που τα µαθηµατικά συναντούν τη µουσική. «Διαστηµατικά» Εκεί που τα µαθηµατικά συναντούν τη µουσική. Του καθηγητή µουσικής µουσικολόγου Δηµήτρη Γρίβα Web-site: http://users.sch.gr/dgrivas E-mail: dgrivas@sch.gr Τα µαθηµατικά και η µουσική είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική Πληροφορική. Δ. Πολίτης, Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ, 2015

Μουσική Πληροφορική. Δ. Πολίτης, Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ, 2015 Μουσική Πληροφορική Δ. Πολίτης, Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ, 2015 Άδεια Χρήσης 2 Άδεια Χρήσης 3 Άδεια Χρήσης 4 Ήχος Κλίμακες Β & Γ Δ. Πολίτης 2 ο Μάθημα Περιεχόμενα Μέρος Α : Ανατομία και φυσιολογία του αυτιού

Διαβάστε περισσότερα

Μουσικοθεωρητικό σύστημα - Αρμονική

Μουσικοθεωρητικό σύστημα - Αρμονική Μουσικοθεωρητικό σύστημα - Αρμονική Κλεονίδης, Εισαγωγή Αρμονική. Αρμονική εστίν επιστήμη θεωρητική και πρακτική. μέρη δε αυτής επτά. Περί φθόγγων Περί διαστημάτων Περί γενών Περί συστήματος Περί τόνου

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ. Πέτρου Αναστασία. Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ. Πέτρου Αναστασία. Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Πέτρου Αναστασία Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα ΑΘΗΝΑ 2013 Ο Πυθαγόρας (586 500 π.χ.) του Μνησάρχου και της «ωραίας υπέρ φύσιν» Πυθαϊδος γεννήθηκε στη Σάμο. Μικρός επισκέφθηκε τους Δελφούς,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλίµακες της Βυζαντινής Mουσικής, κατά την Μουσική Επιτροπή του 1881

Οι κλίµακες της Βυζαντινής Mουσικής, κατά την Μουσική Επιτροπή του 1881 Οι κλίµακες της Βυζαντινής Mουσικής, κατά την Μουσική Επιτροπή του 1881 του Παναγιώτη. Παπαδηµητρίου panayiotis@analogion.net, α έκδοση: 4 Οκτωβρίου 2005 Το Οικουµενικό Πατριαρχείο στα 1881 συγκρότησε

Διαβάστε περισσότερα

Μουσικές Νότες και Κλίμακες Κλίμακες και Ηχοχρώματα (συγκερασμός) Η Πυθαγόρεια Κλίμακα Ισο συγκερασμένη Κλίμακα Ανορθόδοξες Κλίμακες

Μουσικές Νότες και Κλίμακες Κλίμακες και Ηχοχρώματα (συγκερασμός) Η Πυθαγόρεια Κλίμακα Ισο συγκερασμένη Κλίμακα Ανορθόδοξες Κλίμακες Η Φυσική της Μουσικής Τ.Ε.Ι. Ιονίων Νήσων Διάλεξη 10 Μουσικές Νότες και Κλίμακες Κλίμακες και Ηχοχρώματα (συγκερασμός) Η Πυθαγόρεια Κλίμακα Ισο συγκερασμένη Κλίμακα Ανορθόδοξες Κλίμακες Επανάληψη της Διάλεξης

Διαβάστε περισσότερα

«Μουσικό διάστημα: Μήκος ή λόγος μηκών;»

«Μουσικό διάστημα: Μήκος ή λόγος μηκών;» «Μουσικό διάστημα: Μήκος ή λόγος μηκών;» Η έννοια «διάστημα» ως σχέσεως δύο αριθμών προς αλλήλους. Η σχέση μεταξύ δύο αριθμών στη Πυθαγόρειο θεωρία της Μουσικής και σ αυτήν ακόμη την Κατατομή Κανόνος του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Γνωριμία με την ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ 1 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΘΕΩΡΙΑ 5. 1 ος ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 7 Προσδοκώμενα αποτελέσματα 8

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Γνωριμία με την ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ 1 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΘΕΩΡΙΑ 5. 1 ος ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 7 Προσδοκώμενα αποτελέσματα 8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Γνωριμία με την ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ 1 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΘΕΩΡΙΑ 5 1 ος ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 7 Προσδοκώμενα αποτελέσματα 8 1.1. Περιοδική κίνηση Περιοδικά φαινόμενα 9 1.2. Ταλάντωση - Ταλαντούμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ 1 Οι ήχοι που χρησιμοποιούμε στη μουσική λέγονται νότες ή φθόγγοι και έχουν επτά ονόματα : ντο - ρε - μι - φα - σολ - λα - σι. Η σειρά αυτή επαναλαμβάνεται πολλές φορές

Διαβάστε περισσότερα

Κουρδίσµατα (περίληψη)

Κουρδίσµατα (περίληψη) Κουρδίσµατα (περίληψη) Ι. Αρµονική στήλη Κάθε νότα που παράγεται µε φυσικά µέσα είναι ένα πολύ σύνθετο φαινόµενο. Ως προς το τονικό ύψος, συνιστώσες του ("αρµονικοί") είναι η συχνότητα που ακούµε ("θεµελιώδης")

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Αναστασία Πέτρου Κωνσταντίνος Χρήστου Β 3 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, υπήρξε σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεω μέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

Eν φωναίς και οργάνοις ΒασΙλησ Θ. ΓρατσοΥνασ

Eν φωναίς και οργάνοις ΒασΙλησ Θ. ΓρατσοΥνασ Eν φωναίς και οργάνοις ΒασΙλησ Θ. ΓρατσοΥνασ Μεθοδική παρουσίαση των θέσεων των φθογγοσήμων στο ούτι, το πολίτικο λαούτο και τον ταμπουρά σε σχέση με τις τονικές αλλαγές. AΘΗΝΑ 1999 2 3 Iούνιος 2001 Χρωστάω

Διαβάστε περισσότερα

Το Βιολί. Πασχαλιά-Μπρέντα Νίκη. Μαθήτρια Α2 Γυμνασίου, Ελληνικό Κολλέγιο Θεσσαλονίκης. Επιβλέπων Καθηγητής: Κωνσταντίνος Παρασκευόπουλος

Το Βιολί. Πασχαλιά-Μπρέντα Νίκη. Μαθήτρια Α2 Γυμνασίου, Ελληνικό Κολλέγιο Θεσσαλονίκης. Επιβλέπων Καθηγητής: Κωνσταντίνος Παρασκευόπουλος Το Βιολί Πασχαλιά-Μπρέντα Νίκη Μαθήτρια Α2 Γυμνασίου, Ελληνικό Κολλέγιο Θεσσαλονίκης Επιβλέπων Καθηγητής: Κωνσταντίνος Παρασκευόπουλος Καθηγητής Πληροφορικής Ελληνικού Κολλεγίου Θεσσαλονίκης Περίληψη Στην

Διαβάστε περισσότερα

Μουσικοκινητική αγωγή

Μουσικοκινητική αγωγή Μουσικοκινητική Αγωγή Α εξάμηνο Θεωρία Μίχα Παρασκευή, PhD Μουσικολόγος, Μουσικοπαιδαγωγός 1 Μουσικοκινητική Αγωγή (Θ) - ΜΙΧΑ Παρασκευή 1 Μουσικοκινητική αγωγή Η μουσικότητα των ήχων και της ανθρώπινης

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Ηχου και Μουσικής (ΤΗΛ313) Φροντιστήριο

Επεξεργασία Ηχου και Μουσικής (ΤΗΛ313) Φροντιστήριο Επεξεργασία Ηχου και Μουσικής (ΤΗΛ313) Εισαγωγή στη Θεωρία Μουσικής (Μέρος 1ο) Φροντιστήριο 03/03/2010 (Εισαγωγή στη Θεωρία Μουσικής (Μέρος 1ο)) Επεξεργασία Ηχου και Μουσικής (ΤΗΛ313) 03/03/2010 1 / 32

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία ΠΩΣ Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΠΗΡΕΑΣΕ ΤΗΝ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΟΥ ΜΟΥΣΙΚΟΥ ΟΡΓΑΝΟΥ ΤΗΣ ΚΙΘΑΡΑΣ. 7ο Λύκειο Καλλιθέας Σκαρλάτος Βασίλης Α4

Τεχνολογία ΠΩΣ Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΠΗΡΕΑΣΕ ΤΗΝ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΟΥ ΜΟΥΣΙΚΟΥ ΟΡΓΑΝΟΥ ΤΗΣ ΚΙΘΑΡΑΣ. 7ο Λύκειο Καλλιθέας Σκαρλάτος Βασίλης Α4 Τεχνολογία ΠΩΣ Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΠΗΡΕΑΣΕ ΤΗΝ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΟΥ ΜΟΥΣΙΚΟΥ ΟΡΓΑΝΟΥ ΤΗΣ ΚΙΘΑΡΑΣ 7ο Λύκειο Καλλιθέας Σκαρλάτος Βασίλης Α4 Από τα παλιά χρόνια η κιθάρα χρησιμοποιούνταν ως μέσο ψυχαγωγίας

Διαβάστε περισσότερα

Ηεπιστήμημέσααπόταμάτιατουπαιδιού... Ιδέες και πειράματα για τον «Ήχο»

Ηεπιστήμημέσααπόταμάτιατουπαιδιού... Ιδέες και πειράματα για τον «Ήχο» Ηεπιστήμημέσααπόταμάτιατουπαιδιού... Ιδέες και πειράματα για τον «Ήχο» Οήχος«ταξιδεύει» με κύματα. Μπορούμε να αναπαραστήσουμε τα πυκνώματα και τα αραιώματα των κυμάτων με ένα πλαστικό παιχνίδιελατήριο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος

Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος 1 Εισαγωγή Ο Νικόμαχος ο Γερασηνός στην πραγματεία του «Αριθμητική Εισαγωγή» αναφέρει ότι χαρακτηριστικά γνωρίσματα των όντων είναι το πλήθος και το μέγεθος. Το ορισμένο

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες.

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. Μαθηματικά A Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. 1. Τι λέμε σημείο; Η άκρη του μολυβιού μας, οι κορυφές ενός σχήματος, η μύτη μιας βελόνας, μας δίνουν την έννοια του σημείου. 2. Τι λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ. Συντροφιά με την Κιθάρα ΕΚΔΟΣΗ: ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΙΕΡΟΥ ΝΑΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΤΡΙΑΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ

ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ. Συντροφιά με την Κιθάρα ΕΚΔΟΣΗ: ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΙΕΡΟΥ ΝΑΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΤΡΙΑΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ Συντροφιά με την Κιθάρα ΕΚΔΟΣΗ: ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΙΕΡΟΥ ΝΑΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΤΡΙΑΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Συντροφιά με την Κιθάρα ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ Συντροφιά με την Κιθάρα ΑΘΗΝΑ 2011 Έκδοση: c Πνευματικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.)

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Ε.Κ.Π. (Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο) Κοινό όταν δύο άτομα έχουν ένα κοινό

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 8.03.12 Χ. Χαραλάμπους Θαλής ο Μιλήσιος ( 630-550π.Χ.) Πυθαγόρας o Σάμιος (570-490) Ζήνωνας ο Ελεάτης ( 490-430) Δημόκριτος o Αβδηρίτης (c. 460-370) Πλάτων (427-347 π.χ.) Ιστορικές

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 8. Η Φυσική της Μουσικής Τ.Ε.Ι. Ιονίων Νήσων. Αντιληπτό ύψος καθαρού τόνου Απόλυτο ύψος

Διάλεξη 8. Η Φυσική της Μουσικής Τ.Ε.Ι. Ιονίων Νήσων. Αντιληπτό ύψος καθαρού τόνου Απόλυτο ύψος Η Φυσική της Μουσικής Τ.Ε.Ι. Ιονίων Νήσων Διάλεξη 8 Αντιληπτό ύψος καθαρού τόνου Απόλυτο ύψος Ανασκόπηση της Διάλεξης 7 Το αν ένας ήχος είναι ακουστός ή όχι εξαρτάται κυρίως από την έντασή του και τη συχνότητα.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1 Dodecaeder 3 7 5 11 9. 2 12 4 10 6. 8 Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Dodecaeder Copyright 1998-2005 Gijs Korthals

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 03 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 03 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Σελίδα 1 από 5 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 03 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α Α1. Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π 1 και Π αρχίζουν τη χρονική στιγμή t=0 να ταλαντώνονται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Περιεχόμενα ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών Η αναπαράσταση των

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ: Μελωδία Ντο Μείζων (2) ΣΧΟΛΕΙΟ/ΤΑΞΗ: ΑΡ. ΜΑΘΗΤΩΝ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΣΤΟΧΟΙ και ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ: Οι μαθητές να: ο ΑΚΡΟΑΣΗΣ: Επίπεδο 1 Επίπεδο 2 Διακρίνουν τη Ακούσουν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και άλγεβρα. Μάθημα 2 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και άλγεβρα. Μάθημα 2 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και άλγεβρα Μάθημα 2 ο, Τμήμα Α Στην αρχή του μαθήματος τονίστηκε πως κάθε φορά θα γίνεται αναφορά σε ένα θέμα που θα ξεφεύγει από την ροή του μαθήματος, αλλά που θα έχει σχέση με

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

έτος 200 τεύχη 01-4 Κώστας Δόρτσιος Μαθηματικός

έτος 200 τεύχη 01-4 Κώστας Δόρτσιος Μαθηματικός Κώστας Δόρτσιος Μαθηματικός Ξεκίνησε να δημοσιεύεται κάθε Τετάρτη στην Εφημερίδα ''Γραμμή '' της Κοζάνης το 006 καθ όλη τη διάρκεια του έτους. Ένα μεγάλο μέρος της έχει φιλοξενηθεί στην ιστοσελίδα του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΖΑΣ ΔΥΝΑΜΗΣ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΖΑΣ ΔΥΝΑΜΗΣ 1 ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ 1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΖΑΣ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. ΣΤΟΧΟΙ Η συνειδητή χρήση των κανόνων ασφαλείας στο εργαστήριο. Η εξοικείωση στη χρήση του υποδεκάμετρου και του διαστημόμετρου

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 9. Η Φυσική της Μουσικής Τ.Ε.Ι. Ιονίων Νήσων. Αντίληψη συνδυασμών τόνων Μορφές ακοής Συνήχηση & παραφωνία Θεωρίες αντίληψης ύψους

Διάλεξη 9. Η Φυσική της Μουσικής Τ.Ε.Ι. Ιονίων Νήσων. Αντίληψη συνδυασμών τόνων Μορφές ακοής Συνήχηση & παραφωνία Θεωρίες αντίληψης ύψους Η Φυσική της Μουσικής Τ.Ε.Ι. Ιονίων Νήσων Διάλεξη 9 Αντίληψη συνδυασμών τόνων Μορφές ακοής Συνήχηση & παραφωνία Θεωρίες αντίληψης ύψους Ανασκόπηση της Διάλεξης 8 Εξετάσαμε την αντίληψη του ύψους ενός καθαρού

Διαβάστε περισσότερα

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης.

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. Τα κόκκινα κομμάτια αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΕ1. Περιεχόμενα. Η φυσική. Υπόθεση και φυσικό μέγεθος

ΦΕ1. Περιεχόμενα. Η φυσική. Υπόθεση και φυσικό μέγεθος Περιεχόμενα ΦΕ1 ΤΑ ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΚΑΙ Η ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥΣ ΤΟ ΜΗΚΟΣ 2015-16 6 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΘΗΝΑΣ Τα φυσικά μεγέθη Η Μέτρηση των φυσικών μεγεθών Μια μονάδα μέτρησης για όλους Το φυσικό μέγεθος Μήκος Όργανα μέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Πρώτη νύχτα Μονάδα Όνειρα ( εργασία ) Η έννοια του απείρου Φρόυντ Κλάσματα Αριθμητικό σύστημα ( εργασία

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

& percussion. Boomwhackers. Π ο τ έ έ ν α κ ρ ο υ σ τ ό δ ε ν ε ί χ ε τ έ τ ο ι ε ς δ υ ν α τ ό τ η τ ε ς

& percussion. Boomwhackers. Π ο τ έ έ ν α κ ρ ο υ σ τ ό δ ε ν ε ί χ ε τ έ τ ο ι ε ς δ υ ν α τ ό τ η τ ε ς & percussion Boomwhackers Π ο τ έ έ ν α κ ρ ο υ σ τ ό δ ε ν ε ί χ ε τ έ τ ο ι ε ς δ υ ν α τ ό τ η τ ε ς & percussion Βαλτετσίου 15, 10680 Αθήνα Τ: 210 3645147, F: 210 3645149 Ζακύνθου 7, 31100 Λευκάδα

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΑ: 3 Κύματα: αρμονικό έως στάσιμο, Στερεό: κινηματική έως διατήρηση στροφορμής

ΣΕΙΡΑ: 3 Κύματα: αρμονικό έως στάσιμο, Στερεό: κινηματική έως διατήρηση στροφορμής ΜΑΘΗΜΑ /ΤΑΞΗ: Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥMΟ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 16/03/014 ΣΕΙΡΑ: 3 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: Κύματα: αρμονικό έως στάσιμο, Στερεό: κινηματική έως διατήρηση στροφορμής ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 14.03.12 Χ. Χαραλάμπους Πριν: Σύμφωνα με την πυθαγόρεια αντιμετώπιση η διαγώνιος και η ακμή τετραγώνου δεν είναι συγκρίσιμα. Ορισμός Ευδόξου: δύο μεγέθη σχηματίζουν λόγο όταν (ακέραιο)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ Το αναλυτικό πρόγραμμα που παρουσιάζουμε εδώ είναι μια πρόταση από περιεχόμενα που θα μπορούσαν να διδαχτούν στο σχολείο δεύτερης ευκαιρίας. Αυτό δεν σημαίνει ότι το πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μουσικής. Β εξάμηνο Θεωρία. Μίχα Παρασκευή, PhD Μουσικολόγος, Μουσικοπαιδαγωγός. Βιογραφικό

Θεωρία Μουσικής. Β εξάμηνο Θεωρία. Μίχα Παρασκευή, PhD Μουσικολόγος, Μουσικοπαιδαγωγός. Βιογραφικό Θεωρία Μουσικής Β εξάμηνο Θεωρία Μίχα Παρασκευή, PhD Μουσικολόγος, Μουσικοπαιδαγωγός 1 Θεωρία Μουσικής (Θ) - ΜΙΧΑ Παρασκευή 1 Μουσικολόγος, Μουσικοπαιδαγωγός Βιογραφικό Πτυχιούχος μουσικολογίας και κάτοχος

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ 2 5 +32 17 2= 1156 Μαθηματικά Β μέρος 8 9 15 Δ=2 δ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ )

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) Α. ΣΤΟΧΟΙ Η ικανότητα συναρμολόγησης μιας απλής πειραματικής διάταξης. Η σύγκριση των πειραματικών

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Παγκύπριων Εξετάσεων

Θέματα Παγκύπριων Εξετάσεων Θέματα Παγκύπριων Εξετάσεων 2009 2014 Σελίδα 1 από 24 Ταλαντώσεις 1. Το σύστημα ελατήριο-σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση μεταξύ των σημείων Α και Β. (α) Ο χρόνος που χρειάζεται το σώμα για να κινηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 11 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Δ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 11 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Δ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 11 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2010 Χρόνος: 60 λεπτά Δ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ποια από τις ακόλουθες παραστάσεις έχει το ίδιο αποτέλεσμα με (15-5) + 6 ; Α) (15-6)

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρούλα Πατσιομίτου

Σταυρούλα Πατσιομίτου Αριστοτέλους Μεταφυσικά 1078 α 30 Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr Σ υνδέονται τα Μαθηματικά με την Αισθητική, με την Τέχνη, με την Τεχνολογία. Πόσο σημαντικό είναι να γνωρίζουμε την Ιστορία τους;

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Βασιλειάδης, Λύκειο Παιανίας «Η χρυσή τομή στα μαθηματικά, στην τέχνη, στη ζωή» 2012-2013

Γεώργιος Βασιλειάδης, Λύκειο Παιανίας «Η χρυσή τομή στα μαθηματικά, στην τέχνη, στη ζωή» 2012-2013 Γεώργιος Βασιλειάδης, Λύκειο Παιανίας «Η χρυσή τομή στα μαθηματικά, στην τέχνη, στη ζωή» 2012-2013 Η Χρυσή τοµή στην καθηµερινότητά µας Η χρυσή τοµή δεν είναι µόνο ένας µαθηµατικός όρος, αλλά και µια

Διαβάστε περισσότερα

Α = 2010 2009 + 2008 2007 + 2006 2005 +...+ 4 3 + 2 1 είναι : Α) 2010 Β) 1005 Γ) 5 Δ) 2009 Ε) Κανένα από τα προηγούμενα. είναι :

Α = 2010 2009 + 2008 2007 + 2006 2005 +...+ 4 3 + 2 1 είναι : Α) 2010 Β) 1005 Γ) 5 Δ) 2009 Ε) Κανένα από τα προηγούμενα. είναι : ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 11 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 Η τιμή της αριθμητικής παράστασης Α = 010 009 + 008 007 + 006 005 +...+ 4 3 + 1 είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

Εικόνα 1 Εικόνα 2. β)τι είδους κύµα είναι ο ήχος (µε βάση την εικόνα 2):

Εικόνα 1 Εικόνα 2. β)τι είδους κύµα είναι ο ήχος (µε βάση την εικόνα 2): ΠΑΡ. 5.4: ΗΧΟΣ-ΗΧΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Στόχος: Ο µαθητής: Να περιγράφει τον τρόπο παραγωγής και διάδοσης του ήχου Να µετρά µέσω της προσοµοίωσης την ταχύτητα του ήχου στον αέρα. ΠΡΟΒΛΕΨΗ: α) Η κίνηση των µορίων

Διαβάστε περισσότερα

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», «

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», « .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΟΣΜΩΝ

Η ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΟΣΜΩΝ Η ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΟΣΜΩΝ Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου Όπως διατυπώθηκε στην κοσμοθεωρία μας ΤΟ ΙΔΙΟΝ, ο κόσμος μας, το σύμπαν μας είναι μία ολογραφία, περίπου ένα επίπεδο τετράγωνο. Υπάρχουν έξι

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α1 Α5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α1 Α5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ 24/04/2016 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α1 Α5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Θεόδωρου Π. Ματθαίου, συγγραφέα

Θεόδωρου Π. Ματθαίου, συγγραφέα Νεαντερτάλιος Αυλός: Πεντατονική μουσική κλίμακα ηλικίας 40000-80000 ετών; Θεόδωρου Π. Ματθαίου, συγγραφέα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝA 1. H Ανακάλυψη του Ευρήματος 2. Πιθανή Εξέλιξη της Μουσικής 3. Προσπάθεια Ανασκευής

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 15 ΙΟΥΝΙΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1 ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 29 ΑΠΡΙΛΙΟΥ

ΑΡΧΗ 1 ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 29 ΑΠΡΙΛΙΟΥ ΑΡΧΗ 1 ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 9 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 016- ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΟΧΤΩ (8) ΘΕΜΑ Α. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ-Β ΦΑΣΗ ΘΕΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΡΙΘΜΩΝ-19 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΧΟΛΕΙΟ: 2 ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Σχεδίαση µε ελεύθερο χέρι (Σκαρίφηµα)

1.3 Σχεδίαση µε ελεύθερο χέρι (Σκαρίφηµα) 20 1.3 Σχεδίαση µε ελεύθερο χέρι (Σκαρίφηµα) 1.3.1 Ορισµός- Είδη - Χρήση Σκαρίφηµα καλείται η εικόνα ενός αντικειµένου ή εξαρτήµατος που µεταφέρεται σε χαρτί µε ελεύθερο χέρι (χωρίς όργανα σχεδίασης ή

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 6.Ανάλυση των παραμέτρων που θεωρήθηκε ότι δεν επηρεάζουν τα αποτελέσματα της έρευνας.

4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 6.Ανάλυση των παραμέτρων που θεωρήθηκε ότι δεν επηρεάζουν τα αποτελέσματα της έρευνας. Πρόλογος 1.Τίτλος της έρευνας. 2.Παρουσίαση του προβλήματος. 3.Παρουσίαση του σκοπού της έρευνας. 4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 5.Διαμωρφωση της υπόθεσης της έρευνας. 6.Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Η μουσική των σφαιρών των Πυθαγορείων

Η μουσική των σφαιρών των Πυθαγορείων Η μουσική των σφαιρών των Πυθαγορείων Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης, Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής, Διευθυντής Τομέως Τεχνολογίας Ήχου, Μουσικοπαιδαγωγικής & Βυζαντινής Μουσικολογίας, Διευθυντής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΡΙΤΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/12/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/12/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/12/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D 1 Φύλλο 2 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο με το αντίστοιχο λογισμικό του Cabri II. Περιέχει γενικές εντολές και εικονίδια που συμπεριλαμβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ www.askisopolis.gr 3 4 .5381 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 0, οι κόκκινες είναι 7, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κλινική χρήση των ήχων

Κλινική χρήση των ήχων Κλινική χρήση των ήχων Ήχοι και ακουστότητα Κύματα υπερήχων Ακουστικά κύματα, Ήχοι, Είδη ήχων Ήχους υπό την ευρεία έννοια καλούμε κάθε κύμα πίεσης που υπάρχει και διαδίδεται στο εσωτερικό των σωμάτων.

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα