Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 13: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Transcript

1 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 13: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Cretive Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

2 ÌÜèçì 13 ÏÑÉÓÌÅÍÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ - ÌÅÑÏÓ I Óôï ìüèçì õôü, ðïõ üðùò Ý åé Þäç ãñöåß ðñýðåé óå ìé õóôçñü ìèçìôéêþ óåéñü í ðñïçãçèåß ôïõ ÌèÞìôïò 12, è äïèïýí ðåñéëçðôéêü ïé óçìíôéêüôåñåò Ýííïéåò, ðïõ íöýñïíôé óôï ïñéóìýíï ïëïêëþñùì. 1 Ç ñ éêþ ìïñöþ ôçò Ýííïéò ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìôïò óí ðñïóýããéóç ôïõ åìâäïý åíüò ãåùìåôñéêïý ó Þìôïò óõííôüôé ôï ðñþôïí óôçí ñ éüôçô êôü ôïí 3ïí ð.. éþí ìå ôïí Áñ éìþäç, ï ïðïßïò ñçóéìïðïßçóå ðñïóåããéóôéêýò ìåèüäïõò ãé í õðïëïãßóåé ôï åìâäüí ôïõ êýêëïõ, ôçò Ýëéêò, ê.ëð. Óô ìýó ôïõ 18ïõ éþí ãßíåôé ðü ôïí Riemnn ìé ðñïóðüèåé ïñéóìïý ôçò Ýííïéò ìå êèñü ìèçìôéêïýò üñïõò. Ï ïñéóìüò õôüò ãåíéêåýôçêå óôç óõíý åé ðü ìß óåéñü Üëëùí åðéóôçìüíùí, ç óçìíôéêüôåñç üìùò ãåíßêåõóç ôçò Ýííïéò Ýãéíå ðü ôïí Lebesgue óôéò ñ Ýò ôïõ 19ïõ éþí. Ôï ïñéóìýíï ïëïêëþñùì åêôüò ðü ôïí õðïëïãéóìü åìâäþí ñçóéìïðïéåßôé êé óå ìß óåéñü Üëëùí åöñìïãþí ðïõ êëýðôåé ôï óýíïëï ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí, ìýñïò ôùí ïðïßùí è äïèïýí óôï ìüèçì ðïõ êïëïõèåß. 1 Ï íãíþóôçò ãé ìé åêôåíýóôåñç ìåëýôç ðñðýìðåôé óôç âéâëéïãñöß êé óôï âéâëßï Á. ÌðñÜôóïò [2] Êåö. 8. 1

3 2 ÏñéóìÝíï ïëïêëþñùì Êè. Á. ÌðñÜôóïò 13.1 ÅéóãùãéêÝò Ýííïéåò Ïñéóìüò ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìôïò óôù f() ìé óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï [; â ], ðïõ õðïôßèåôé üôé åßíé óõíå Þò ãé êüèå [; â ] êé ùñßò í âëüðôåôé ç ãåíéêüôçô üôé éó ýåé f() >. Áí ôï [; â ] õðïäééñåèåß óå ôï ðëþèïò õðïäéóôþìô ðü ô óçìåß = { = < 1 < 2 < : : : < = â} ; ( ) ôüôå ç õðïäéßñåóç õôþ è ëýãåôé óôï åîþò äéìýñéóç êé è óõìâïëßæåôé ìå, åíþ ô, 1, : : :, óçìåß ôçò äéìýñéóçò. Ôï ðëüôïò i ôùí õðïäéóôçìüôùí åßíé ôüôå i = i i 1, üôí i = 1; 2; : : : ; (Ó ). f f Ν1 Ν () Ν1 Ν (b) Ó Þì : () Ôï äéüãñìì ôçò f() êé ç äéìýñéóç ôïõ [; â ]. (b) èñïéóì Ê(; f) ÅðåéäÞ ç óõíüñôçóç f Ý åé õðïôåèåß óõíå Þò óôï êëåéóôü äéüóôçì [; â ], è ðñýðåé í åßíé óõíå Þò êé óå êüèå õðïäéüóôçì ôçò ðñðüíù äéìýñéóçò. Óýìöùí ìå ôï èåþñçì ìýãéóôçò êé åëü éóôçò ôéìþò óõíå þí óõíñôþóåùí 2 è ðñýðåé í õðüñ åé Ýí óçìåßï ó i, íôßóôïé s i, ðïõ ç f() [ i 1; i ] ãé êüèå i = 1; 2; : : : ; í ëìâüíåé ìé åëü éóôç, íôßóôïé ìé ìýãéóôç ôéìþ óå õôü. Ôüôå óýìöùí ìå ô ðñðüíù åßíé äõíôüí í ïñéóôïýí: i) ôï êüôù Üèñïéóì (Ó b) Ê(; f) = ó ó : : : + ó ; ( ) 2 ÂëÝðå ÌÜèçì 8 Èåþñçì 8:1:3 6.

4 Ïñéóìüò ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìôïò 3 ii) ôï Üíù Üèñïéóì (Ó ) A(; f) = s s : : : + s ; ( ) iii) ôï åíäéüìåóï Üèñïéóì (Ó b) Å(; f; î) = f (î 1 ) 1 + f (î 2 ) 2 + : : : + f (î í ) í ; ( ) üôí î i ; i = 1; 2; : : : ; åßíé ìß åðéëïãþ åíäéüìåóùí óçìåßùí, äçëäþ i 1 î i i ; i = 1; 2; : : : ;. f f Ν1 Ν () Ξ 1 Ξ 2 Ξ 3 Ξ Ν1 Ξ Ν (b) Ó Þì : () èñïéóì A(; f) êé (b) E(; f; ) Åßíé ðñïöíýò üôé óå êüèå äéìýñéóç ôïõ [; â ] íôéóôïé ïýí êé äéöïñåôéêü èñïßóìô ôùí ìïñöþí (13:1:1 3) - (13:1:1 4). Óôçí ðåñßðôùóç üìùò ðïõ ôï ðëüôïò ôçò äéìýñéóçò ôåßíåé óôï ìçäýí, ïé ôéìýò ôùí ðñðüíù èñïéóìüôùí ôåëéêü óõãêëßíïõí. ÓõãêåêñéìÝí óôçí ðåñßðôùóç õôþ ðïäåéêíýåôé üôé éó ýåé ôï ðñêüôù èåìåëéþäåò èåþñçì. Èåþñçì (ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìôïò). óôù f [; â ] ìß óõíüñôçóç óõíå Þò ãé êüèå [; â ]. Ôüôå, üôí ôï ðëüôïò i = i i 1 üðïõ i = 1; 2; : : : ;, ôçò äéìýñéóçò ôïõ [; â ] ôåßíåé óôï ìçäýí, ô ðñðüíù èñïßóìô (13:1:1 3) - (13:1:1 4) óõãêëßíïõí ðñïò Ýí ìïíïóþìíô ïñéóìýíï ðñãìôéêü ñéèìü, Ýóôù I(f), ðïõ åßíé íåîüñôçôïò ðü ôçí äéìýñéóç êé ôçí åðéëïãþ ôùí åíäéüìåóùí óçìåßùí. Ïñéóìüò (ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìôïò). Ï ðñãìôéêüò ñéèìüò I(f), óôïí ïðïßï óýìöùí ìå ôï Èåþñçì óõãêëßíïõí ô èñïßóìô

5 4 ÏñéóìÝíï ïëïêëþñùì Êè. Á. ÌðñÜôóïò (13:1:1 3) - (13:1:1 4), ïñßæåôé óí ôï ïñéóìýíï ïëïêëþñùì Þ ïëïêëþñùì ôïõ Riemnn ôçò f óôï [; â ] êé óõìâïëßæåôé ìå f() d = I(f): ( ) Ô óçìåß êé â ëýãïíôé ôüôå êüôù êé Üíù íôßóôïé Üêñ ïëïêëþñùóçò Þ ãåíéêü Üêñ ïëïêëþñùóçò, åíþ ôï [; â ] äéüóôçì ïëïêëþñùóçò. ÐñôÞñçóåéò I. ÅéäéêÜ ïñßæåôé üôé åíþ ðñïöíþò éó ýåé f() d = ; f() d = f() d: â II. Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ ôï Ýí Üêñï ïëïêëþñùóçò, Ýóôù ôï â, ìåôâüëëåôé, äçëäþ â =, ôüôå ìå ôïí ôýðï (13:1:1 5) ïñßæåôé ç óõíüñôçóç F () = ìå ðåäßï ïñéóìïý, Ýóôù D, üðïõ D [; â ]. f(t) d t ( ) Óçìåßùóç Ç ìåôâëçôþ ôçò ïëïêëþñùóçò êé ç ìåôâëçôþ ôïõ Üêñïõ ïëïêëþñùóçò äåí è ðñýðåé í óõìâïëßæïíôé ìå ôï ßäéï ãñüìì. III. ÃåùìåôñéêÞ åñìçíåß: ï ñéèìüò I(f), üôí f() > ãé êüèå [; â ], ðñéóôüíåé ôï åìâäüí ôïõ êìðõëüãñììïõ ôñðåæßïõ (Ó ), ðïõ ïñßæåôé ðü ôïí Üîïí ôùí, ôï äéüãñìì ôçò óõíüñôçóçò y = f() êé ôéò åõèåßåò = êé = â.

6 Éäéüôçôåò ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìôïò 5 f b Ó Þì : ãåùìåôñéêþ åñìçíåß ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìôïò Éäéüôçôåò ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìôïò Äßíïíôé óôç óõíý åé ìå ôç ìïñöþ èåùñçìüôùí ùñßò ðüäåéîç ïé êõñéüôåñåò éäéüôçôåò ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìôïò. Èåþñçì Áí ç óõíüñôçóç f åßíé ïëïêëçñþóéìç óôï [; â ] êé ë R, ôüôå ëf() d = ë f() d: Èåþñçì [; â ], ôüôå Áí ïé óõíñôþóåéò f; g åßíé ïëïêëçñþóéìåò óôï [f() + g()] d = f() d + g() d: Áðü ô ÈåùñÞìô ðñïêýðôåé üôé:

7 6 ÏñéóìÝíï ïëïêëþñùì Êè. Á. ÌðñÜôóïò Ðüñéóì (ãñììéêþ éäéüôçô). ïëïêëçñþóéìåò óôï [; â ] êé k; ë R, ôüôå Áí ïé óõíñôþóåéò f; g åßíé [kf() + ëg()] d = k f() d + ë g() d: Ç ãñììéêþ éäéüôçô ãåíéêåýåôé ãé ôï ðëþèïò óõíñôþóåéò. Èåþñçì óôù üôé ç óõíüñôçóç f åßíé ïëïêëçñþóéìç óôï [; â ]. Ôüôå, í ã (Ó ) åßíé Ýí óçìåßï ìå < ã < â, éó ýåé üôé ã f() d = f() d + f() d: ã f f b () Γ b (b) Ó Þì : ç ãåùìåôñéêþ åñìçíåß ôïõ ÈåùñÞìôïò Èåþñçì Áí ç óõíüñôçóç f åßíé ïëïêëçñþóéìç óôï [; â ] êé f() ãé êüèå [; â ], ôüôå f() d : Áí åðß ðëýïí ãé Ýí óçìåßï î [; â ] éó ýåé f(î) >, åßíé 3 f() d > : 1). 3 Ìé ðñïöíþò ãåùìåôñéêþ åñìçíåß ôïõ èåùñþìôïò ðñïêýðôåé ðü ôï (Ó

8 ÈåùñÞìô ôïõ Ïëïêëçñùôéêïý Ëïãéóìïý ÈåùñÞìô ôïõ Ïëïêëçñùôéêïý Ëïãéóìïý 4 Äßíïíôé óôç óõíý åé ùñßò ðüäåéîç ô ðñêüôù äýï âóéêü èåùñþìô ôïõ Ïëïêëçñùôéêïý Ëïãéóìïý. Èåþñçì Áí ïé óõíñôþóåéò f; g åßíé ïëïêëçñþóéìåò óôï [; â ] êé f() g() ãé êüèå [; â ], ôüôå f() d g() d Èåþñçì (ìýóçò ôéìþò). Áí ïé óõíñôþóåéò f; g åßíé ïëïêëçñþóéìåò óôï [; â ] êé g() ãé êüèå [; â ], ôüôå m g() d f()g() d M g() d ( ) üðïõ m = min [;â ] f() êé M = m [;â ] f(). ÅéäéêÜ, üôí g() = 1, åßíé m (â ) f() d M (â ): ( ) Ïé íéóüôçôåò (13:1:3 1) êé (13:1:3 2) åßíé äõíôüí í íôéêôóôèïýí ðü ôéò ðñêüôù éóïäýíìåò éóüôçôåò f()g() d = f(î) g() d; ( ) íôßóôïé f() d = f(î)(â ); ( ) üôí î (; â). 4 Ç ðñüãñöïò õôþ í ðñëåéöèåß óå ðñþôç íüãíùóç.

9 8 ÏñéóìÝíï ïëïêëþñùì Êè. Á. ÌðñÜôóïò 13.2 Õðïëïãéóìüò ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìôïò Èåþñçì õðïëïãéóìïý ïíôò õð' üøéí êé ôç ó Ýóç (13:1:1 6) ðïäåéêíýåôé ôï ðñêüôù èåþñçì. Èåþñçì (èåìåëéþäåò Áðåéñïóôéêïý Ëïãéóìïý). Áí f [; â ] åßíé ìé óõíüñôçóç óõíå Þò ãé êüèå [; â ], ôüôå ç f(t) d t = F () åßíé ìé ðñãùãßóéìç óõíüñôçóç ãé ôçí ïðïß éó ýåé F () = f() ãé êüèå [; â ]: ( ) Ôï èåþñçì õôü óõíäýåé ôçí Ýííïé ôçò ðñãþãïõ êé ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìôïò ôçò f() Ôýðïò õðïëïãéóìïý ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìôïò Ìå ôï Èåþñçì ðïäåéêíýåôé üôé: Èåþñçì Áí f [; â ] åßíé ìé óõíüñôçóç óõíå Þò ãé êüèå [; â ] êé F () Ýí üñéóôï ïëïêëþñùìü ôçò, ôüôå f() d = F () â = F (â) F (): ( ) Ôï èåþñçì õôü è ñçóéìïðïéåßôé óôï åîþò ãé ôïí õðïëïãéóìü ôùí ïñéóìýíùí ïëïêëçñùìüôùí.

10 Ôýðïò õðïëïãéóìïý ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìôïò 9 ÐñÜäåéãì Í õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùì (Ó ) Ëýóç. Åßíé tn d = =4 ïðüôå ðü ôïí ôýðï (13:2:2 1) Ý ïõìå =4 tn d: sin ( cos ) cos d = d = ln cos + c; cos tn d = ln cos =4 = [ln cos ] 4 ln cos = [ ln ] 2 ( ) 2 ln 1 = ln 2 1=2 = ( 1 ) 2 ln 2 = 1 2 ln 2: f 1. f b () b (b) Ó Þì : () ÏëïêëÞñùì =4 tn d êé (b) =2 sin 2 d ÐñÜäåéãì ¼ìïé ôï ïëïêëþñùì (Ó b) =2 sin 2 d:

11 1 ÏñéóìÝíï ïëïêëþñùì Êè. Á. ÌðñÜôóïò Ëýóç. ïðüôå Éó ýåé üôé sin 2 d = 1 2 sin 2 = 1 cos 2 2 d 1 2 ; cos 2 d = 1 2 d (2) cos 2 d = 2 1 sin 2 + c: 4 ñ =2 sin 2 d = 2 = 1 2 =2 1 4 sin 2 =2 ( 2 ) 1 4 {}}{ sin 2 2 {}}{ sin = 4 : ÐñÜäåéãì ¼ìïé ôï ïëïêëþñùì (Ó ) 1 e 3 d: 1 Ëýóç. Åßíé e 3 d = 1 3 e 3 + c; ïðüôå e 3 d = 1 3 e 3 1 = = 1 3 ( e 3 e 3) = 2 3 (e 3 e ( 3)) sinh 3: 5 Éó ýåé üôé : sinh = e e 2 :

12 Ôýðïò õðïëïãéóìïý ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìôïò 11 f b () f b (b) Ó Þì : () ÏëïêëÞñùì 1 1 ôçò óõíüñôçóçò e 2, üôí [ 1; 1] e 3 d êé (b) ç ãñöéêþ ðñüóôóç ÐñÜäåéãì ¼ìïé ôï ïëïêëþñùì (Ó b) Ëýóç. ïðüôå e 2 d: Åßíé ( 2 ) e 2 d = e 2 d = e 2 + c; e 2 d = 1 2 e 2 1 = 1 2 ÐñôÞñçóç ( e 12 e ( 1)2) = 1 ( e 1 e 12) = : 2 Óôï ÐñÜäåéãì ç ïëïêëçñùôý óõíüñôçóç e 2 Ãåíéêüôåñ ðïäåéêíýåôé óôéò ðåñéðôþóåéò õôýò üôé: åßíé ðåñéôôþ. Ðñüôóç Áí ç ðåñéôôþ óõíüñôçóç f åßíé ïëïêëçñþóéìç óôï [ ; ], ôüôå f() d = : ( )

13 12 ÏñéóìÝíï ïëïêëþñùì Êè. Á. ÌðñÜôóïò ÐñÜäåéãì ¼ìïé ôï ïëïêëþñùì (Ó ) 1 1 d : Ëýóç. Åßíé ñ d = 1 2 (2) 1 + (2) 2 d = 1 2 tn 1 (2) + c: 1 1 d = 1 2 tn 1 (2) 1 1 ÐñôÞñçóç = 1 2 tn = tn 1 2: tn 1 2 {}}{ tn 1 }{{} óõíüñôçóç ðåñéôôþ Óôï ÐñÜäåéãì ç ïëïêëçñùôý óõíüñôçóç åßíé Üñôé. Ãåíéêüôåñ ðïäåéêíýåôé üôé: ( 2) Ðñüôóç [ ; ], ôüôå Áí ç Üñôé óõíüñôçóç f åßíé ïëïêëçñþóéìç óôï f() d = 2 f() d: ( )

14 Ôýðïò õðïëïãéóìïý ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìôïò 13 f b () f b (b) Ó Þì : () ÏëïêëÞñùì 1 1 ôçò óõíüñôçóçò sin 2, üôí [; ] d êé (b) ç ãñöéêþ ðñüóôóç ÐñÜäåéãì ¼ìïé ôï ïëïêëþñùì (Ó b) sin 2 d: Ëýóç. Åöñìüæïíôò ðñãïíôéêþ ïëïêëþñùóç Ý ïõìå ( ) cos 2 sin 2 d = d = = cos ñ sin 2 + c: sin 2 d = 1 2 cos sin 2 = 1 1 {}}{ cos {}}{{}}{ sin 2 sin = : ÐñôÞñçóç ÃåíéêÜ éó ýåé cos(n) = ( 1) n êé sin(n) = ( ) ãé êüèå n = ; ±1; ±2; : : : :

15 14 ÏñéóìÝíï ïëïêëþñùì Êè. Á. ÌðñÜôóïò 1. f b 1. Ó Þì : Ç ãñöéêþ ðñüóôóç ôçò óõíüñôçóçò e sin 5 (åëåýèåñç ñìïíéêþ ôëüíôùóç ìå ðüóâåóç) ÐñÜäåéãì ¼ìïé ôï ïëïêëþñùì e sin 5 d: Ëýóç. Ç ãñöéêþ ðñüóôóç ôçò ïëïêëçñùôýò óõíüñôçóçò e sin 5 (Ó ), ðïõ ñêôçñßæåôé óí åëåýèåñç ñìïíéêþ ôëüíôùóç ìå ðüóâåóç, 6 ðñïêýðôåé ðü ôéò ãñöéêýò ðñóôüóåéò ôùí: sin 5 åëåýèåñç ñìïíéêþ ôëüíôùóç (Ó ), êé e ðüóâåóç (Ó b). Åöñìüæïíôò 2 öïñýò ôçí ðñãïíôéêþ ïëïêëþñùóç 7 Ý ïõìå ( e e sin 5 d = sin 5 ) d = = e 26 6 ÂëÝðå Á. ÌðñÜôóïò [1] Êåö ÂëÝðå ÌÜèçì 12 íüëïãï ÐñÜäåéãì 12:2:3 4. (5 cos 5 + sin 5) + c:

16 Ôýðïò õðïëïãéóìïý ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìôïò 15 sin 1. ep b b () 1. (b) Ó Þì : [; ]. () ç ãñöéêþ ðñüóôóç ôçò óõíüñôçóçò sin 5 (åëåýèåñç ñìïíéêþ ôëüíôùóç) êé (b) ôçò e óõíå Þò êé e äéêåêïììýíç êìðýëç (ðüóâåóç) ñ e sin 5 d = e 26 = e 26 (5 cos 5 + sin 5) 1 {}}{{}}{ 5 cos 5 + sin 5 e 26 = 5 ( ) 1 + e : 26 1 {}}{{}}{ 5 cos 5 + sin 5 Ï õðïëïãéóìüò ôïõ ïëïêëçñþìôïò ìå ôï MATLAB ãßíåôé ìå ôçí åíôïëýò: >> syms >> int(ep(-)*sin(5*),,,pi)

17 16 ÏñéóìÝíï ïëïêëþñùì Êè. Á. ÌðñÜôóïò ÁóêÞóåéò 1. Äåßîôå üôé i) cos(n) d = 4 ; n = 1; 2; : : : n2 ii) 2 sin(n) d = ; n = 1; 2; : : : n n 1 + n iii) e sin(n) d = 2 (1 ) í n Üñôéïò e n 1 + n 2 (1 + ) í n ðåñéôôüò : e 2. Áí m; n = 1; 2; : : : ñçóéìïðïéþíôò êôüëëçëç ôñéãùíïìåôñéêþ ôõôüôçô äåßîôå üôé 42 í m n sin(m) sin(n) d = 2 í m = n: 13.3 Ïëïêëçñþìô åéäéêþò ìïñöþò Äßíïíôé óôç óõíý åé ô ðñêüôù ïñéóìýí ïëïêëçñþìô, ðïõ Ý ïõí ìåãüëç óçìóß óô ðñïâëþìô ôùí åöñìïãþí êé ôùí ïðïßùí ï õðïëïãéóìüò ãßíåôé ìüíïí ðñïóåããéóôéêü ÓõíÜñôçóç óöüëìôïò Ç óõíüñôçóç óöüëìôïò (error function) åßíé óçìíôéêþ óôç ÓôôéóôéêÞ, üðïõ ëýãåôé êé ïëïêëþñùì ðéèíüôçôò, óôç èåùñß äéüäïóçò ôçò èåñìüôçôò êé ìåôüäïóçò óçìüôùí óôç ÖõóéêÞ, üðùò åðßóçò êé óå ðïëëýò Üëëåò åðéóôþìåò. Ïñéóìüò Ç óõíüñôçóç óöüëìôïò ïñßæåôé ðü ôï ïëïêëþñùì erf() = 2 e t2 d t: ( )

18 Ïëïêëçñþìô åéäéêþò ìïñöþò 17 ÅðïìÝíùò åßíé ìé óõíüñôçóç - êñéâýóôåñ ìé ðåñéôôþ óõíüñôçóç - ôïõ Üíù Üêñïõ ïëïêëþñùóçò (Ó ). Erf () ft t (b) Ó Þì : () Ç óõíüñôçóç óöüëìôïò erf(), üôí [ 2; 2] êé (b) Ôï åìâäüí éóïýôé ìå ôçí ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìôïò erf(2) = 2 e t2 d t 2 Áíðôýóóïíôò ôïí üñï e t2 êôü Mclurin Ý ïõìå e t2 = 1 t 2 + t4 2 t6 6 + ; ïðüôå íôéêèéóôþíôò óôçí (13:3:1 1) ðñïêýðôåé üôé erf() = 2 ( ) 3 3 1! ! 7 7 3! + : : : : ( ) Ïé ôéìýò ôçò óõíüñôçóçò óöüëìôïò äßíïíôé Þ ðü ðßíêåò Þ ðü ô ìèçìôéêü ðêýô. Ãé ðñüäåéãì, í = 2, ôüôå åßíé (Ó b) erf() = 2 e t2 d t : :

19 18 ÏñéóìÝíï ïëïêëþñùì Êè. Á. ÌðñÜôóïò Ïëïêëçñþìô ôïõ Fresnel Ô ïëïêëçñþìô ôïõ Fresnel (Fresnel integrls), ðïõ åìöíßæåôé êõñßùò óå ðñïâëþìô ôçò ÏðôéêÞò, ïñßæïíôé ùò åîþò: Ïñéóìüò (çìéôïíéêü). Ïñßæåôé ðü ôï ïëïêëþñùì 8 (Ó ) S() = ( ) sin 2 t2 d t: ( ) Áíðôýóóïíôò êôü Mclurin ôïí üñï sin t 2 Ý ïõìå ( ) sin 2 t2 = ( ) t 2 t6 2 3! + t1 5! + ; ïðüôå íôéêèéóôþíôò óôçí (13:3:2 1) ðñïêýðôåé üôé S() = 2 ( ) 3 3 1! 7 7 3! ! ! + : ( ) S () C (b) Ó Þì : () Ôï ïëïêëþñùì Fresnel S(), üôí [ 1; 1] êé (b) ôï C() 8 Óýìöùí ìå ôïí ïñéóìü ðïõ äßíåôé óôï âéâëßï ôùí Abrmowitz nd Stegun [4] êé 2 ñçóéìïðïéåßôé óôï MATHEMATICA. Åðßóçò ïñßæåôé óí S() = sin t 2 d t óå Á. ÌðñÜôóïò [2] Þ êé S() = sin t 2 d t.

20 Ïëïêëçñþìô åéäéêþò ìïñöþò 19 Ïñéóìüò (óõíçìéôïíéêü) b) C() = Ïñßæåôé ðü ôï ïëïêëþñùì (Ó. ( ) cos 2 t2 d t: ( ) ¼ìïé ðïäåéêíýåôé üôé C() = 2 ( ) 1! 5 5 2! ! ! + : ( ) Ïé ôéìýò ôùí ïëïêëçñùìüôùí ôïõ Fresnel åðßóçò äßíïíôé Þ ðü ðßíêåò Þ ðü ô ìèçìôéêü ðêýô. Áí ãé ðñüäåéãì =, ôüôå S() = C() = ( ) sin 2 t2 d t : (Ó :13:3:2 1c) ( ) cos 2 t2 d t : : (Ó :13:3:2 1d) sinπt cosπt t t () 1. (b) Ó Þì : () Ç óõíüñôçóç sin ( 2 t2) êé (b) ç cos ( 2 t2), üôí t [; ] Çìéôïíéêü ïëïêëþñùì Ôï çìéôïíéêü ïëïêëþñùì (sine integrl) åìöíßæåôé óå ìß ìåãüëç óåéñü öõóéêþí ðñïâëçìüôùí, üðùò óôç äéüäïóç óçìüôùí, óå öéíüìåí Gibbs, ê.ëð.

21 2 ÏñéóìÝíï ïëïêëþñùì Êè. Á. ÌðñÜôóïò Ïñéóìüò (çìéôïíéêü ïëïêëþñùì). Ïñßæåôé ðü ôï ïëïêëþñùì (Ó ) Si() = sin t t d t: ( ) Óôéò ðåñéóóüôåñåò åöñìïãýò ôï Ýí Üêñï ïëïêëþñùóçò åßíé ôï Üðåéñï. Ôüôå åßíé ãíùóôü êé óí ïëïêëþñùì ôïõ Dirichlet (Dirichlet integrl). Áíðôýóóïíôò ôïí üñï sin t êôü Mclurin êé ïëïêëçñþíïíôò ôçí (13:3:3 1) Ý ïõìå Si() = 1 1! 3 3 3! ! 7 ± : : : : ( ) 7 7! S () t sin t t.2 (b) Ó Þì : () Ôï çìéôïíéêü ïëïêëþñùì Si(), üôí [ 1; 1] êé (b) ç ïëïêëçñùôý óõíüñôçóç sin t t ¼ìïé ïé ôéìýò äßíïíôé Þ ðü ðßíêåò Þ ðü ô ìèçìôéêü ðêýô. 9 9 Áðãïñåýåôé ç íäçìïóßåõóç Þ íðñãùãþ ôïõ ðñüíôïò óôï óýíïëü ôïõ Þ ôìçìüôùí ôïõ ùñßò ôç ãñðôþ Üäåé ôïõ Êè. Á. ÌðñÜôóïõ. E-mil: brtsos@teith.gr URL:

22 Âéâëéïãñöß [1] ÌðñÜôóïò, Á. (211), ÅöñìïóìÝí ÌèçìôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôìïýëç, ÁèÞí, ISBN 978{96{351{874{7. [2] ÌðñÜôóïò, Á. (22), Áíþôåñ ÌèçìôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôìïýëç, ÁèÞí, ISBN 96{351{453{5/978{96{351{453{4. [3] ÓôåöíÜêïò,., Ðñïãñììôéóìüò Ç/Õ ìå MATLAB, Ãêïýñäò ÅêäïôéêÞ, ISBN 978{96{387{856{8. [4] Abrmowitz, M., Stegun, I., (1965), Hndbook of Mthemticl Functions with Formuls, Grphs, nd Mthemticl Tbles, New York: Dover, Chpter 7 pge 297, ISBN 978{48{661{272{. [5] Finney R. L., Giordno F. R. (24), Áðåéñïóôéêüò Ëïãéóìüò ÉÉ, ÐíåðéóôçìéêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò, ISBN 978{96{524{184{1. [6] Spiegel M., Wrede R. (26), Áíþôåñ ÌèçìôéêÜ, Åêäüóåéò Ôæéüë, ISBN 96{418{87{8. ÌèçìôéêÝò âüóåéò äåäïìýíùí Pge

23 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

24 Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, 214. Αθανάσιος Μπράτσος. «Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ενότητα 13: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος Ι». Έκδοση: 1.. Αθήνα 214. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teith.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Cretive Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4. [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 2