Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος
|
|
- Ἐφραίμ Βασιλειάδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
2 ÌÜèçìá 5 ÏÑÉÓÌÅÍÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ - ÌÅÑÏÓ III ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ Óôï ÌÜèçìá áõôü èá äïèåß ìéá óåéñü åöáñìïãþí ôùí ïñéóìýíùí ïëïêëçñùìüôùí, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôïí õðïëïãéóìü äéáöüñùí ñþóéìùí óôéò èåôéêýò åðéóôþìåò ìåãåèþí. 5. Åìâáäüí åðßðåäïõ ó Þìáôïò ÁíÜëïãá ìå ôéò óõíôåôáãìýíåò ðïõ ñçóéìïðïéïýíôáé ãéá ôçí ðåñéãñáöþ ôçò åîßóùóçò ôçò êáìðýëçò áðü ôçí ïðïßá äçìéïõñãåßôáé ôï ó Þìá, äéáêñßíïíôáé ïé ðáñáêüôù ðåñéðôþóåéò. 5.. Ïñèïãþíéåò óõíôåôáãìýíåò Åßíáé Þäç ãíùóôþ óôïí áíáãíþóôç áðü ôï ÌÜèçìá üôé ãåùìåôñéêü ôï ïñéóìýíï ïëïêëþñùìá ðáñéóôüíåé åìâáäü. Óáí óõíýðåéá áõôþò ôçò ãåùìåôñéêþò éäéüôçôüò ôïõ Ý ïõìå ôïí ðáñáêüôù ïñéóìü ôïõ åìâáäïý. Ïñéóìüò (åìâáäü ó Þìáôïò). óôù üôé ç óõíüñôçóç f(x) åßíáé ïëïêëçñþóéìç óôï [á; â] êáé f(x) ãéá êüèå x [á; â]. Ôüôå ôï åìâáäüí ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôïí x-üîïíá, ôéò åõèåßåò x = á, x = â êáé ôçí êáìðýëç
3 ÅöáñìïãÝò ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò fx Α 4 x Β Ó Þìá : Åßíáé f(x) > ãéá êüèå x [a; b], ïðüôå E = b a f(x) dx y = f(x) äßíåôáé áðü ôïí ôýðï (Ó ) E = â á f(x) dx: (5.. - ) Ãåíéêüôåñá, üôáí äåí åßíáé ãíùóôü ôï ðñüóçìï ôçò f(x), éó ýåé ï åîþò ïñéóìüò ôïõ åìâáäïý. Ïñéóìüò óôù üôé ç óõíüñôçóç f(x) åßíáé ïëïêëçñþóéìç óôï [á; â]. Ôüôå ôï åìâáäüí ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôïí x-üîïíá, ôéò åõèåßåò x = á, x = â êáé ôçí êáìðýëç y = f(x) äßíåôáé áðü ôïí ôýðï (Ó ) E = â á f(x) dx: (5.. - ) Óôéò ðåñéðôþóåéò üðïõ ôï ó Þìá ðåñéïñßæåôáé áðü äýï êáìðýëåò, ôüôå ôï åìâáäüí ïñßæåôáé ùò åîþò:
4 Åìâáäüí åðßðåäïõ ó Þìáôïò fx..5.5 Γ Β 4 5 Α x. Ó Þìá : Åßíáé f(x) ãéá êüèå x [á; ] êáé f(x) ãéá êüèå â â x [; â]. Ôüôå E = f(x) dx + f(x) dx = f(x) dx f(x) dx a a Ïñéóìüò (ãåíßêåõóç åìâáäïý ó Þìáôïò). óôù üôé ïé óõíáñôþóåéò f(x); g(x) åßíáé ïëïêëçñþóéìåò óôï [á; â]. Ôüôå ôï åìâáäüí ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôéò åõèåßåò x = á, x = â êáé ôéò êáìðýëåò f(x), g(x) äßíåôáé áðü ôïí ôýðï (Ó ) E = â á f(x) g(x) dx: (5.. - ) ÐáñáôÞñçóç (åìâáäüí êýêëïõ) óôù üôé æçôåßôáé íá õðïëïãéóôåß ôï åìâáäüí ôïõ êýêëïõ ìå êýíôñï ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí êáé áêôßíá r, ðïõ üðùò åßíáé ãíùóôü ç åîßóùóç ôùí óçìåßùí ôçò ðåñéöýñåéüò ôïõ äßíåôáé áðü ôïí ôýðï x + y = r : ( ) Ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôùí Üêñùí ïëïêëþñùóçò óôïí ôýðï (5:: ), ðñýðåé íá ðñïóäéïñéóôïýí ôá óçìåßá ðïõ ï êýêëïò ìå åîßóùóç (5:: 4), ôýìíåé
5 4 ÅöáñìïãÝò ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò y fx.5..5 Α x â Ó Þìá : Åßíáé f(x) g(x) ãéá êüèå x [á; â]. Ôüôå E = [f(x) á g(x)] dx Β ôïí x-üîïíá, äçëáäþ üôáí y =. Ôüôå x = r Þ x = r ; ïðüôå x = ±r: ñá x [ á; á]. Áðü ôçí åîßóùóç (5:: 4) ðñïêýðôåé ôüôå üôé y = ± r x, ïðüôå Ýóôù y = f(x) = r x êáé y = g(x) = r x üðïõ ðñïöáíþò åßíáé y (x) y (x). ÅðïìÝíùò óýìöùíá ìå ôïí ôýðï (5:: ) ôï æçôïýìåíï åìâáäü E, ðïõ óýìöùíá ìå ôï ãíùóôü ôýðï ôçò Ãåùìåôñßáò åßíáé E = r, èá éóïýôáé ìå E = r = r [y (x) y (x)] dx r = r [ r x ( )] r x dx r
6 Åìâáäüí åðßðåäïõ ó Þìáôïò 5 fx Β Α x Ó Þìá : Ç Ýëëåéøç x á + y â = = r r r x dx: ( ) Áðü ôçí (5:: 5) ðñïêýðôåé üôé a a a x dx = a : ( ) Ï ôýðïò áõôüò èá ñçóéìïðïéçèåß óôç óõíý åéá ôïõ ìáèþìáôïò. ÐáñÜäåéãìá (åìâáäüí Ýëëåéøçò) Íá õðïëïãéóôåß ôï åìâáäüí ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôçí Ýëëåéøç (Ó ) x á + y â = : ( ) Ëýóç. ¼ìïéá üðùò êáé óôçí ÐáñáôÞñçóç ï ðñïóäéïñéóìüò ôùí Üêñùí ïëïêëþñùóçò óôïí ôýðï (5:: ) õðïëïãßæåôáé èýôïíôáò óôçí (5:: 7) y =. Ôüôå x = á Þ x = á ; ïðüôå x = ±á: ñá x [ á; á]:
7 6 ÅöáñìïãÝò ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ñá Áðü ôçí åîßóùóç (5:: 7) ðñïêýðôåé üôé x á + y â y = f(x) = â á = ; ïðüôå y = ± â x á : x á êáé y = g(x) = â á x á üðïõ ðñïöáíþò åßíáé y (x) y (x). ÅðïìÝíùò óýìöùíá ìå ôïí ôýðï (5:: ) ôï æçôïýìåíï åìâáäüí E èá éóïýôáé ìå á á E = [y (x) y (x)] dx = â x á â x dx á = â á á x á dx = â á á á óýìöùíá ìå ôïí ôýðï (5:: 6) á x dx = â á á = áâ: ÐáñÜäåéãìá Íá õðïëïãéóôåß ôï åìâáäü ôçò ðåñéï Þò ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôï ãñüöçìá ôçò óõíüñôçóçò f(x) = x(x )(x ) êáé ôïí x-üîïíá (Ó ). Ëýóç. Ôï ãñüöçìá ôçò óõíüñôçóçò ôýìíåé ôïí x-üîïíá óôá óçìåßá üðïõ f(x) = ; äçëáäþ ôá x = ; ; : ÅðåéäÞ äåí ãíùñßæïõìå ôï ðñüóçìï ôçò f(x), üôáí x [; ] [; ] ñçóéìïðïéåßôáé ï ôýðïò (5:: ), ïðüôå ôï æçôïýìåíï åìâáäüí èá åßíáé E = f(x) dx + Ôï ðñüóçìï ôçò f(x) õðïëïãßæåôáé óôïí Ðßíáêá f(x) dx: ( )
8 Åìâáäüí åðßðåäïõ ó Þìáôïò 7 fx Α.5 Γ Β x Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá Ðßíáêáò : ÐáñÜäåéãìá x x x f(x)
9 8 ÅöáñìïãÝò ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÅðïìÝíùò, åðåéäþ f(x) ; üôáí x [; ] êáé f(x) ; üôáí x [; ]; ï ôýðïò (5:: 8) ãñüöåôáé E = f(x) dx + f(x) dx = = [ x(x )(x ) dx x 5x + x 4 ] 4 = 8 ( 5 ) = 7 : [ x 5x x(x )(x ) dx + x 4 ] 4 ÐáñÜäåéãìá Íá õðïëïãéóôåß ôï åìâáäü ôçò ðåñéï Þò ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôéò êáìðýëåò y = x + êáé y = 4x + 6; üôáí x [ ; 5] (Ó. 5:: 6): Ëýóç. Áñ éêü õðïëïãßæïíôáé ôá óçìåßá ôïìþò ôùí êáìðõëþí y = x + êáé y = 4x + 6 ( ) ùò åîþò: y (x) = y (x); ïðüôå x + = 4x + 6; äçëáäþ óôù ã( ; ) êáé ä(; ). æçôïýìåíï åìâáäüí åßíáé E = x 4x 6 = : ñá x = ; : Ôüôå óýìöùíá ìå ôïí ôýðï (5:: ) ôï y (x) y (x) dx + y (x) y (x) dx
10 Åìâáäüí åðßðåäïõ ó Þìáôïò 9 6 y 5 4 Α Γ Β 4 5 x Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá y (x) y (x) dx: (5.. - ) Ãéá íá õðïëïãéóôïýí ôá ïëïêëçñþìáôá óôçí (5:: ), ðñýðåé íá áðáëåéöèïýí ôá áðüëõôá. Áõôü ãßíåôáé åîåôüæïíôáò ôï ðñüóçìï ôçò äéáöïñüò y (x) y (x). óôù y (x) y (x) Þ ëüãù ôçò (5:: 9) (x + )(x ) ; äçëáäþ x Þ x : Ôüôå ç (5:: ) ãñüöåôáé E = = = [ x [y (x) y (x)] dx + ( x 4x 6 4x 6x ) dx + ] + [ 5 [y (x) y (x)] dx + ( ) x + 4x + 6 dx + x + 4x + 6x ] + [y (x) y (x)] dx 5 [ x ( ) x 4x 6 dx 4x 6x ] 5
11 ÅöáñìïãÝò ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò 8 y 6 4 Α Β x Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá Ç ìðëå êáìðýëç ïñßæåé ôçí y (x) = x = = 4 : ÐáñÜäåéãìá ¼ìïéá ôï åìâáäüí ôçò ðåñéï Þò ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôéò êáìðýëåò y (x) = x êáé y (x) = 8 x (Ó. 5:: 7): Ëýóç. Ôá êïéíü óçìåßá ôïìþò ôùí äýï êáìðõëþí õðïëïãßæïíôáé èýôïíôáò y (x) = y (x); ïðüôå x = 8 x : ñá x = ±: Óôç óõíý åéá õðïëïãßæåôáé ôï ðñüóçìï ôçò äéáöïñüò y (x) y (x). óôù y (x) y (x) Þ x 8 ; ïðüôå (x + )(x ) : ñá y (x) y (x) ; üôáí x :
12 Åìâáäüí åðßðåäïõ ó Þìáôïò 4 y ˇ..4 `.6.8. x Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá H êáöý êáìðýëç äåß íåé ôï ãñüöçìá ôçò y (x) = x, ç ìðëå ôçò y = 8x êáé ç êüêêéíç ôçò y (x) = x Ôüôå óýìöùíá ìå ôïí ôýðï (5:: 8) ôï æçôïýìåíï åìâáäüí éóïýôáé ìå E = [y (x) y (x)] dx = (8 x ) dx = 8x x = 64 : ÐáñÜäåéãìá ¼ìïéá ôï åìâáäüí ôçò ðåñéï Þò ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôéò êáìðýëåò y (x) = 8x; y (x) = x êáé y (x) = x (Ó. 5:: 8): Ëýóç. Ôá êïéíü óçìåßá êáé ôùí ôñéþí êáìðõëþí õðüñ ïõí ìüíï ãéá x, åíþ ç óõíüñôçóç y (x) ïñßæåôáé ãéá x R {}. Ðñïöáíþò ïé êáìðýëåò (åõèåßåò) y (x) êáé y (x) ôýìíïíôáé óôï óçìåßï (; ), äçëáäþ ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí. Ôï êïéíü óçìåßï, Ýóôù A, ôçò y (x) êáé y (x) õðïëïãßæåôáé èýôïíôáò y (x) = y (x) Þ 8x = x ; ïðüôå x = ; (ïé Üëëåò äýï ñßæåò äåí ëáìâüíïíôáé õð' üøéí), åíþ ôï êïéíü óçìåßï, Ýóôù B, ôçò y (x) êáé y (x) èýôïíôáò y (x) = y (x) Þ x = x ; ïðüôå x =
13 ÅöáñìïãÝò ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò üðïõ üìïéá ïé Üëëåò äýï ñßæåò äåí ëáìâüíïíôáé õð' üøéí. óôù E = E + E ôï æçôïýìåíï åìâáäüí. ÅðåéäÞ ôï óçìåßï x = äåí áíþêåé óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò y (x), ôï E äåí èá ðñïêýøåé áðü óõíäõáóìü ôçò y (x) ìå ôçí y (x) Þ ôçí y (x) êáé Üêñï ïëïêëþñùóçò ôï. ÅðïìÝíùò - ôï åìâáäüí E èá ðñýðåé íá ïñßæåôáé áðü ôçí y (x) = 8x êáé ôçí y (x) = x ìå x [; :5] üðïõ ðñïöáíþò y (x) y (x), äçëáäþ Å = :5 [y (x) y (x)] dx = 7 :5 x dx = êáé ôï åìâáäüí E èá ïñßæåôáé áðü ôçí y (x) = x êáé ôçí y (x) = x ìå x [:5; ] üðïõ ðñïöáíþò y (x) y (x), äçëáäþ Å = :5 [y (x) y (x)] dx = ñá E = E + E =. :5 ( x x ) dx = [ x x ] :5 = 5 8 : 5.. ÐáñáìåôñéêÞ ìïñöþ Ïñéóìüò Áí ìßá êáìðýëç ïñßæåôáé ìå ðáñáìåôñéêýò åîéóþóåéò ôçò ìïñöþò x = x(t) êáé y = y(t) üôáí t [t ; t ], ôüôå ôï åìâáäüí E ôïõ êáìðõëüãñáììïõ ôñáðåæßïõ ðïõ ïñßæåôáé áðü ôçí êáìðýëç, ôéò êüèåôåò åõèåßåò x = á, x = â êáé ôïí Üîïíá ôùí x, éóïýôáé ìå E = t t y(t)x (t) d t; (5.. - ) üôáí y(t) ãéá êüèå t [t ; t ] êáé ïé ôéìýò t êáé t ðñïêýðôïõí áðü ôçí åîßóùóç x = x (t). ÐáñÜäåéãìá Íá õðïëïãéóôåß ôï åìâáäüí ôçò Ýëëåéøçò ðïõ åêöñüæåôáé ìå ôç âïþèåéá ôùí ðáñáìåôñéêþí åîéóþóåùí ôçò ìïñöþò x = á cos t êáé y = â sin t: (5.. - )
14 Åìâáäüí åðßðåäïõ ó Þìáôïò. yt.5..5 t t t Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá Ôï ðñþôï ôåôáñôçìüñéï ôçò Ýëëåéøçò x 9 + y 4 = Ëýóç. Ëüãù ôçò óõììåôñßáò ôçò Ýëëåéøçò áñêåß íá õðïëïãéóôåß ôï åìâáäüí åíüò ôåôáñôçìïñßïõ áõôþò (Ó ) êáé ôï áðïôýëåóìá íá ðïëëáðëáóéáóôåß åðß 4. ÈÝôïíôáò óôçí ç åîßóùóç (x = á cos t) ôçò (5:: ) äéáäï éêü x = êáé x = a ðñïêýðôïõí óáí üñéá ïëïêëþñùóçò ôá t = = êáé t =, åíþ åßíáé y > ãéá êüèå t [; =]. Ôüôå óýìöùíá ìå ôïí ôýðï (5:: ) åßíáé ð= â sin á ( sin t) d t = áâ ð= sin t d t = ðáâ 4 : ñá E = áâ. ÐáñáôÞñçóç Ï ðáñáðüíù ôñüðïò õðïëïãéóìïý ôïõ åìâáäïý ôçò Ýëëåéøçò ìå ôç âïþèåéá ôçò ðáñáìåôñéêþò ðáñüóôáóþò ôçò åßíáé åìöáíþò åõêïëüôåñïò ôïõ áíôßóôïé ïõ ôñüðïõ ìå ïñèïãþíéåò óõíôåôáãìýíåò (ÐáñÜäåéãìá ). Áõôü åßíáé ìéá áðüäåéîç ôçò ñçóéìüôçôáò ôùí ðáñáìåôñéêþí ðáñáóôüóåùí ôùí êáìðõëþí.
15 4 ÅöáñìïãÝò ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò rθ 4 B A O Θ Ó Þìá : åìâáäüí ó Þìáôïò óå ðïëéêýò óõíôåôáãìýíåò 5.. ÐïëéêÝò óõíôåôáãìýíåò Ïñéóìüò óôù üôé r = r(è); è [è ; è ] åßíáé ç åîßóùóç óå ðïëéêýò óõíôåôáãìýíåò ôïõ ôìþìáôïò (Ó ) ðïõ ïñßæåôáé áðü ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí êáé ôá óçìåßá A (r; è ) êáé B (r; è ). Ôüôå ôï åìâáäüí E ôïõ ó Þìáôïò AOB äßíåôáé áðü ôï ïëïêëþñùìá E = è r (è) dè: (5.. - ) è ÐáñÜäåéãìá Íá õðïëïãéóôåß ôï åìâáäü ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôïõò ëéìíþóêïõò ôïõ Bernoulli (Bernoulli's lemniscate) (Ó a) ìå åîßóùóç r = a cos è: Ëýóç. Ëüãù ôçò óõììåôñßáò ôçò êáìðýëçò õðïëïãßæåôáé ìüíï ôï åìâáäüí ÂëÝðå: http : ==en:wikipedia:org=wiki=lemniscate of Bernoulli
16 ÌÞêïò ôüîïõ êáìðýëçò 5 r Θ.4.6 r (a) Θ (b) Ó Þìá : Ï ëçìíßóêïò ôïõ Bernoulli r = cos è, üôáí (a) è [; ] êáé (b) è [; =4] ôïõ ïõ ôåôáñôçìïñßïõ (Ó b), ïðüôå 4 E = ð=4 a cos è dè = a [ sin è ] =4 = a 4 : ñá E = a : 5. ÌÞêïò ôüîïõ êáìðýëçò ¼ìïéá áíüëïãá ìå ôéò óõíôåôáãìýíåò ðïõ ñçóéìïðïéïýíôáé ãéá ôçí ðåñéãñáöþ ôçò åîßóùóçò ôçò êáìðýëçò äéáêñßíïíôáé ïé ðáñáêüôù ðåñéðôþóåéò. 5.. Ïñèïãþíéåò óõíôåôáãìýíåò Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ôï ìþêïò ôçò õðïëïãßæåôáé ùò åîþò: Ïñéóìüò (ìþêïò êáìðýëçò). óôù üôé ç óõíüñôçóç f [á; â] åßíáé ðáñáãùãßóéìç ìå óõíå Þ ðáñüãùãï ãéá êüèå x [á; â]. Ôüôå ôï ìþêïò L ôçò êáìðýëçò ðïõ ïñßæåé ç y = f(x) áðü ôï óçìåßï á Ýùò êáé ôï óçìåßï â (Ó ) äßíåôáé áðü ôïí ôýðï L = â á â + [f (x)] dx = á + [ df(x) dx ] dx: (5.. - )
17 6 ÅöáñìïãÝò ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò fx Α 4 x Β Ó Þìá : Ç êáìðýëç y = f(x) ÐáñÜäåéãìá Íá õðïëïãéóôåß ôï ìþêïò ôçò êáìðýëçò (Ó ) y = f(x) = x = ; üôáí x [; ]: Ëýóç. Åöáñìüæïíôáò ôïí ôýðï (5:: ) üðïõ Ý ïõìå + [f (x)] = + 9x. ñá L = = 9 = 4 7 f (x) = x = x = + [f (x)] dx = + 9x dx = ( + 9x) ( + 9x) = dx = ( + 9x) ( ) 8:654: ( + 9x) = dx
18 ÌÞêïò ôüîïõ êáìðýëçò 7 fx Α x Β Ó Þìá : Ç êáìðýëç y = x =, üôáí x [; ] ÐáñÜäåéãìá ¼ìïéá ôï ìþêïò ôçò êáìðýëçò (Ó ) y = f(x) = x (x ); üôáí x [; 9]: Ëýóç. ¼ìïéá åöáñìüæåôáé ï ôýðïò (5:: ) üðïõ ç f (x) õðïëïãßæåôáé ùò åîþò: f (x) = [ ] [ x = ( (x ) = x =) ] (x ) + x = (x ) = [ ] x (x ) + x = Ôüôå ñá L = = 6 x = (x ) + x= = x x : + [f (x)] = [f (x)] dx = ( ) x (x ) = + x 4x 9 x + x dx = 9 x x dx + = x + x : x dx
19 8 ÅöáñìïãÝò ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò fx Α Β x Ó Þìá : Ç êáìðýëç y = x (x ), üôáí x [; 9] = 9 9 x dx + x = dx = 9 x = dx + 9 x = dx = x x + + ÐáñÜäåéãìá = 9 x= + x = 9 ¼ìïéá ôï ìþêïò ôçò êáìðýëçò (Ó ) ( y = f(x) = ln x ) ; üôáí x [; :5]: = 9 + = : Ëýóç. ÅðåéäÞ ç óõíüñôçóç y åßíáé ëïãáñéèìéêþ, ãéá íá ïñßæåôáé ðñýðåé x >, äçëáäþ ( + x)( x) > êáé ôåëéêü < x <. Ôï äéüóôçìá [; :5] áíþêåé óôï ðåäßï ïñéóìïý ( ; ) êáé åðïìýíùò ôï ðñüâëçìá ïñßæåôáé. Áñ éêü õðïëïãßæïõìå ôçí ðáñüãùãï ôçò f(x) ùò åîþò: ( f x ) (x) = x = x x ; ïðüôå óýìöùíá ìå ôïí ôýðï (5:: ) Ý ïõìå ( ) x L = + x dx = ( x ) + 4x ( x ) dx
20 ÌÞêïò ôüîïõ êáìðýëçò 9 Α.5 fx x Β Ó Þìá : Ç êáìðýëç y = ln ( x ), üôáí x [; :5] = ( + x ) x dx = + x dx (5.. - ) x ÅðïìÝíùò óýìöùíá ìå ôçí (5:: ) åßíáé L = + x x dx = ( ) dx + x dx = x + x dx = + x dx = + dx : (5.. - ) x Ðñüêåéôáé ãéá ïëïêëþñùìá ñçôþò óõíüñôçóçò üðïõ ï âáèìüò ôïõ áñéèìçôþ åßíáé ìåãáëýôåñïò Þ ßóïò áðü ôï âáèìü ôïõ ðáñïíïìáóôþ, üðïõ, üðùò åßíáé ãíùóôü áðü ôï ÌÜèçìá, áñ éêü ãßíåôáé ç äéáßñåóç. Óôçí ðåñßðôùóç üìùò áõôþ, åðåéäþ åßíáé ôïõ ßäéïõ âáèìïý, ôñïðïðïéåßôáé êáôüëëçëá ï áñéèìçôþò þóôå íá äçìéïõñãçèåß ï ðáñïíïìáóôþò, äçëáäþ + x x = = ( ) x + = ( ) x + x x x x x = + x :
21 ÅöáñìïãÝò ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ôï ïëïêëþñùìá ôïõ äåîéïý ìýëïõò åßíáé ç ðåñßðôùóç ïëïêëþñùóçò ñçôþò óõíüñôçóçò üðïõ ï âáèìüò ôïõ áñéèìçôþ åßíáé ìéêñüôåñïò áðü ôï âáèìü ôïõ ðáñïíïìáóôþ êáé õðïëïãßæåôáé áíáëýïíôáò ôç ñçôþ óõíüñôçóç óå Üèñïéóìá áðëþí êëáóìüôùí ùò åîþò: x = ( x)( + x) = A + B x + x ; ïðüôå ðïëëáðëáóéüæïíôáò êáé ôá äýï ìýëç ìå ( x)( + x) ðñïêýðôåé = A( + x) + B( x); äçëáäþ (A B)x + A + B = ðïõ ãéá íá éó ýåé ãéá êüèå x R ðñýðåé A B = A + B = ; Ôüôå óýìöùíá êáé ìå ôçí (5:: ) Ý ïõìå L = + = + = + dx x = + dx x + ( x) dx x = ln x ïðüôå A = êáé B = : dx + x + + ln + x ( ( + x) dx + x x + + x = ( [ln ) ] [ ( ln + ln + ) ] ln = ln ( ) ( + ln = ) ( ln ) + ln ln ) dx = + ln :598 6 :
22 ÌÞêïò ôüîïõ êáìðýëçò 5.. ÓõíôåôáãìÝíåò ìå ðáñáìåôñéêþ ìïñöþ ¼ôáí ïé óõíôåôáãìýíåò ôçò êáìðýëçò ïñßæïíôáé ðáñáìåôñéêü, ôï ìþêïò ôçò õðïëïãßæåôáé ùò åîþò: Ïñéóìüò (ìþêïò êáìðýëçò). óôù üôé ç êáìðýëç ïñßæåôáé ðáñáìåôñéêü, äçëáäþ y = y(t) êáé x = x(t) ãéá êüèå t [t ; t ]. Ôüôå ôï ìþêïò L ôçò êáìðýëçò óôï äéüóôçìá [t ; t ] äßíåôáé áðü ôïí ôýðï t [ ] d x(t) [ ] d y(t) L = + d t: (5.. - ) d t d t t ÐáñÜäåéãìá Íá õðïëïãéóôåß ôï ìþêïò ôçò êáìðýëçò (Ó. åîßóùóç x = x(t) = (t + 4)= ; y = y(t) = t ) ìå ðáñáìåôñéêþ + ; üôáí t [; ]: Ëýóç. Áñ éêü åßíáé d x(t) d t d y(t) d t = = t: (t + 4) (t + ) = (t + 4)= = (t + 4) = ÅðåéäÞ åßíáé t = êáé t =, åöáñìüæïíôáò ôïí ôýðï (5:: ) Ý ïõìå [ ] d x(t) [ ] d y(t) + = (t + 4) + t = (t + ) = t + : ñá d t d t L = (t + ) d t = t + t = 9 + = : Áðáãïñåýåôáé ç áíáäçìïóßåõóç Þ áíáðáñáãùãþ ôïõ ðáñüíôïò óôï óýíïëü ôïõ Þ ôìçìüôùí ôïõ ùñßò ôç ãñáðôþ Üäåéá ôïõ Êáè. Á. ÌðñÜôóïõ.
23 ÅöáñìïãÝò ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò yt 5 4 Α Β xt Ó Þìá : Ç êáìðýëç x = x(t) = (t + 4)=, y = y(t) = t +, üôáí t [; ] (á = x(); â = x()) bratsos@teiath.gr URL:
24 Âéâëéïãñáößá [] ÌðñÜôóïò, Á. (), ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç, ÁèÞíá, ISBN 978{96{5{874{7. [] ÌðñÜôóïò, Á. (), Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç, ÁèÞíá, ISBN 96{5{45{5/978{96{5{45{4. [] ÓôåöáíÜêïò,., Ðñïãñáììáôéóìüò Ç/Õ ìå MATLAB, Ãêïýñäáò ÅêäïôéêÞ, ISBN 978{96{87{856{8. [4] Finney R. L., Giordano F. R. (4), Áðåéñïóôéêüò Ëïãéóìüò ÉÉ, ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò, ISBN 978{96{54{84{. [5] Spiegel M., Wrede R. (6), Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Ôæéüëá, ISBN 96{48{87{8. ÌáèçìáôéêÝò âüóåéò äåäïìýíùí Page
25 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
26 Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, 4. Αθανάσιος Μπράτσος. «Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές». Έκδοση:.. Αθήνα 4. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4. [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç
Διαβάστε περισσότεραÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç
ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότερα3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =
Διαβάστε περισσότεραÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ
ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï
Διαβάστε περισσότερα2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr
2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß
ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï
Διαβάστε περισσότεραΘερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ
ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ
Διαβάστε περισσότερα1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò
Διαβάστε περισσότερα( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
. Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 8: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ
ÌÜèçìá 7 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÅéóáãùãÞ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí, ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí I(f) = f(x) dx i) ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò
Διαβάστε περισσότεραÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò
Διαβάστε περισσότεραÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ
ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 8: Τριπλά Ολοκληρώματα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 7: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò
Διαβάστε περισσότεραSPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá
ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí
Διαβάστε περισσότεραΘερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση Ποιότητας,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΔιοικητική Λογιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)
Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 2: Διαφορικές Εξισώσεις Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραÌáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)
44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ
ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.
Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 4: Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 2: Αναλυτική Γεωμετρία Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Πολιτικών Μηχ.ΤΕ και Μηχ. Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότερα16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.
55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò
Διαβάστε περισσότεραå) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙII. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 1: Μετασχηματισμός Laplace. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙII Ενότητα 1: Μετασχηματισμός aplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΠΙΝΑΚΕΣ. Θερμοδυναμική 2012 Σελίδα 292
ΠΙΝΑΚΕΣ 2012 Σελίδα 292 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες: Ιδανικά αέρια Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc.
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση
Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραÓ ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X
V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 6: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò
ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 3: Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας ΤΕ Το
Διαβάστε περισσότεραΔιοικητική Λογιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 6: Μέθοδοι ς Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 9: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 1: Διαφορικές Εξισώσεις Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 9: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 9: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ
28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων
Ενότητα 1 Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων 2 1.1 Βάσεις Δεδομένων Ένα βασικό στοιχείο των υπολογιστών είναι ότι έχουν τη δυνατότητα να επεξεργάζονται εύκολα και γρήγορα μεγάλο πλήθος δεδομένων και πληροφοριών.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 4: Στρατηγικοί προσανατολισμοί Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6 η Άσκηση - DFS δένδρα Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΔιεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 8: Η Οικονομική πολιτική της Ευρωπαϊκής Ένωσης Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 9: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΤΟΠΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΒάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων Ενότητα 3: Μοντέλα βάσεων δεδομένων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας
Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 4: Κλασσική και Κβαντική Πιθανότητα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1)
Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΜηχανολογικό Σχέδιο Ι
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ
55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικό Σχέδιο - CAD
Τεχνικό Σχέδιο - CAD Προσθήκη Διαστάσεων & Κειμένου ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Εντολές προσθήκης διαστάσεων & κειμένου Στο βασική (Home)
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 2: Οργάνωση και Διοίκηση Εισαγωγή Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας
Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 12: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 5: Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ
66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 11: Θεωρία Οργάνωσης & Διοίκησης Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 7: Παράγωγος, ελαστικότητα, παραγώγιση συναρτήσεων (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης
Διαβάστε περισσότεραΜυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης
Δωρεά Κυττάρων Αίματος και Μυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης για τη Δωρεά Κυττάρων Αίματος και Μυελού των Οστών Αλέξανδρος Σπυριδωνίδης Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Συναρτήσεις πολλών Μεταβλητών Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Προσεγγιστική Λύση Εξισώσεων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 7: Προσεγγιστική Λύση Εξισώσεων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότερα1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων
1 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 3 2 η Άσκηση... 3 3 η Άσκηση... 3 4 η Άσκηση... 3 5 η Άσκηση... 4 6 η Άσκηση... 4 7 η Άσκηση... 4 8 η Άσκηση... 5 9 η Άσκηση... 5 10
Διαβάστε περισσότεραΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ Ενότητα 8: ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΤΑΤΜΗΣΗΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons
Διαβάστε περισσότεραΔιοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας
Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας Ενότητα 8: Αξιολόγηση και επιλογή αγορών στόχων από ελληνική εταιρία στον κλάδο παραγωγής και εμπορίας έτοιμου γυναικείου Καθ. Αλεξανδρίδης Αναστάσιος Δρ. Αντωνιάδης
Διαβάστε περισσότεραΕκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 4: Διανυσματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 4: Διανυσματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραÁóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτροτεχνία Ηλ. Μηχανές & Εγκαταστάσεις πλοίου (Θ)
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Ηλεκτροτεχνία Ηλ. Μηχανές & Εγκαταστάσεις πλοίου (Θ) Ενότητα 6: Εναλλασσόμενα τριφασικά κυκλώματα μόνιμης κατάστασης Δ.Ν. Παγώνης Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Διαβάστε περισσότεραÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 3 ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 3.1 Ïñéóìüò êáé ëãåâñá óõíáñôþóåùí 3.1.1 Ïñéóìïß Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ãéá ôéò ðñáãìáôéêýò óõíáñôþóåéò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò,
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους
Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικό Σχέδιο - CAD
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τεχνικό Σχέδιο - CAD Ενότητα 7: SketchUp Αντικείμενα Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά
Διαβάστε περισσότερα