ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΚΑΙ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΜΕ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ 2

Transcript

1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΚΑΙ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΜΕ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ) Ένα ιδανικό ελατήριο σταθεράς 00 N/m που έχει τον άξονα του κατακόρυφο έχει το φυσικό του µήκος και η πάνω άκρη του είναι δεµένη σε σταθερό σηµείο. ένουµε στη κάτω άκρη του ελατήριου ένα σώµα, που έχει µάζα m g και τη χρονική στιγµή t 0 δίνουµε από τη θέση αυτή στο σώµα ταχύτητα υ 3 m/s. Θεωρείστε θετική τη φορά προς τα κάτω. ίνεται g 0 m/s. Για κάθε µια από τις παρακάτω προτάσεις να εξηγήσετε αν είναι σωστή ή λανθασµένη. α. η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης συµπίπτει µε το φυσικό µήκος του ελατήριου. β. η επιτάχυνση του σώµατος τη χρονική στιγµή t 0 είναι α 0 m/s. γ. το σώµα θα περάσει και πάλι για πρώτη φορά από την αρχική του θέση σε χρόνο Τ. δ. το πλάτος της ταλάντωσης είναι 0, m. α. Η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης είναι κατά l πιο κάτω από τη θέση φυσικού µήκους του ελατηρίου. Άρα η πρόταση είναι λάθος. β. Την χρονική στιγµή t 0 το σώµα βρίσκεται στη θέση φυσικού µήκους του ελατηρίου, άρα η µόνη r r r r r r r r δύναµη που δέχεται είναι το βάρος άρα Σ F mα w mα mg mα gα και επειδή η θετική φορά είναι προς τα κάτω ισχύει α g 0 m/s. Συνεπώς η πρόταση είναι σωστή. γ. Η αρχική του θέση είναι µία ενδιάµεση θέση της ταλάντωσης που θα ακολουθήσει. Σε κάθε ενδιάµεση θέση της ταλάντωσης το σώµα περνά έχοντας για πρώτη φορά αντίθετη ταχύτητα µε την αρχική και µετά µε την ίδια ταχύτητα οπότε και ολοκληρώνει την ταλάντωση του. Άρα για πρώτη φορά θα περάσει από την ίδια θέση σε χρόνο t < Τ, και τελικά η πρόταση είναι λάθος. δ. Στη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης έχουµε: r mg Σ F 0 Fελ w l mg l l 0,m Από τη διατήρηση ενέργειας στη θέση φυσικού µήκους του ελατηρίου έχουµε: mυ E K+ U Α mυ + l Α + l A 0, m, άρα η πρόταση είναι λάθος.

2 ) Σύστηµα ελατήριου µάζας εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Η ταχύτητα του σώµατος σε αποµάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας έχει µέτρο 0 m/s. ιατηρούµε σταθερό το πλάτος της ταλάντωσης και διπλασιάζουµε τη µάζα του σώµατος. Για κάθε µια από τις παραπάνω προτάσεις να εξηγήσετε αν είναι σωστή ή λανθασµένη. α. η συχνότητα της ταλάντωσης διπλασιάζεται. β. η ολική ενέργεια του συστήµατος δε µεταβάλλεται. γ. η µέγιστη επιτάχυνση του σώµατος υποδιπλασιάζεται. δ. το µέτρο της ταχύτητας στην ίδια αποµάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας είναι 5 m/s. α. Η συχνότητα θα είναι: π m π m, άρα η πρόταση είναι λάθος. β. Εφόσον η σταθερά του ελατηρίου και το πλάτος παραµένουν ίδια δεν θα µεταβληθεί και η ενέργεια σύµφωνα µε τη σχέση E A, άρα η πρόταση είναι σωστή. γ. Για τις µέγιστες επιταχύνσεις έχουµε: πρόταση είναι σωστή. δ. Αποδείξαµε πιο πάνω ότι: α α,max,max ωa m α α,max ω A m,max E E mυ + x mυ + x υ υ 00 υ m υ 5, άρα η πρόταση είναι σωστή. s και συνεπώς η 3) Ένα σώµα που έχει µάζα m g ισορροπεί δεµένο στη κάτω άκρη ιδανικού ελατήριου σταθεράς 00 N/m. Μετακινούµε το σώµα κατακόρυφα προς τα κάτω (θετική φορά) προσφέροντας ενέργεια J και τη χρονική στιγµή t 0 το αφήνουµε ελεύθερο. Για κάθε µια από τις παρακάτω προτάσεις να εξηγήσετε αν είναι σωστή ή λανθασµένη. α. τη χρονική στιγµή t η δυναµική ενέργεια του ελατήριου είναι τετραπλάσια από τη δυναµική 6 ενέργεια της ταλάντωσης. β. η µέγιστη δυναµική ενέργεια του ελατήριου είναι J.

3 γ. το σώµα θα περάσει, για πρώτη φορά, από τη θέση ισορροπίας του µε ταχύτητα υ m/s. δ. τη στιγµή που το σώµα περνά για πρώτη φορά από τη θέση που το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος έχει επιτάχυνση α 0 m/s. ε. τη χρονική στιγµή t η δυναµική ενέργεια της ταλάντωσης ελαττώνεται µε ρυθµό 0 3 J/S. 6 α. Στη θέση ισορροπίας ισχύει: r mg Σ F 0 Fελ w l mg l l 0,m Το πλάτος της ταλάντωσης είναι: E A 0, m E A A Την t 0 το σώµα βρίσκεται στην θετική ακραία θέση οπότε έχει αρχική φάση. Για t 0 έχουµε: xαηµϕ0 ΑΑηµϕ0 ηµϕ 0 φ 0 π rad Την χρονική στιγµή t η αποµάκρυνση από τη θέση ισορροπίας είναι: 6 π Τ π 6π Α x Αηµ ( + ) x Αηµ ( ) x x 0,m Τ 6 6 x U ( l+ x) Uελ 4 U ελ 4U, άρα η πρόταση είναι σωστή. β. Η µέγιστη δυναµική ενέργεια του ελατηρίου είναι: ελ +Α U ελ,max 4,5J U,max ( l ) 00 0, 09 άρα η πρόταση είναι λάθος. γ. Εφόσον ξεκινά από την κάτω θέση αρχικά θα κινηθεί προς τα πάνω οπότε η αλγεβρική τιµή της ταχύτητας θα είναι αρνητική. Άρα η πρόταση είναι λάθος. δ. Την στιγµή που περνά για πρώτη φορά από τη θέση φυσικού µήκους ισχύει: r r r r r r r r Σ F mα w mα mg mα gα και επειδή η θετική φορά είναι προς τα κάτω έχουµε: α g 0 m/s. Συνεπώς η πρόταση είναι σωστή. ε. Για τον ρυθµό µεταβολής της δυναµικής ενέργειας ισχύει: 3

4 r r du dw ΣF dx r r r r du Σ υ υ υ dt dt dt dt w du dww F Dx x Την χρονική στιγµή t η ταχύτητα είναι: 6 π Τ π 5π 3 υυmaxσυν( + ) A συν( ) υ ( ) υ Τ 6 m 6 m 3 s Άρα λοιπόν du 00 0, ( 3) du 0 3 dt dt J s και η πρόταση είναι σωστή. 4) υο σώµατα Σ και Σ έχουν µάζες m m και m 4m αντίστοιχα. Τα σώµατα είναι δεµένα στα ελευθέρα άκρα δυο οριζοντίων ιδανικών οµοίων ελατήριων και ισορροπούν σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Εκτρέπουµε τα δυο σώµατα κατά τη διεύθυνση του άξονα των ελατήριων και τα αφήνουµε ελευθέρα ταυτόχρονα. Για κάθε µια από τις παρακάτω προτάσεις να εξηγήσετε αν είναι σωστή ή λανθασµένη. α. τη στιγµή που το Σ έχει εκτελέσει Ν ταλαντώσεις, το Σ έχει εκτελέσει Ν ταλαντώσεις. β. τη στιγµή που µηδενίζεται για πρώτη φορά η ταχύτητα του Σ το µέτρο της ταχύτητας του Σ αποκτά για δεύτερη φορά τη µέγιστη τιµή. γ. τη στιγµή που το µέτρο της ταχύτητας του Σ αποκτά για πρώτη φορά τη µέγιστη τιµή η κινητική ενεργεία του Σ είναι ίση µε τη δυναµική του ενέργεια. α. Για τις ταλαντώσεις έχουµε: Άρα η πρόταση είναι λάθος. N t π m N N N N N N N t π 4m β. Οι περίοδοι των δύο ταλαντώσεων συνδέονται µε τη σχέση: m π 4m π Τα δύο σώµατα ξεκινούν την ταλάντωση τους από το άκρο, η ταχύτητα του Σ θα µηδενιστεί για πρώτη φορά την χρονική στιγµή t αλλά η ίδια χρονική στιγµή για το σώµα Σ είναι 4

5 t t. 4 Άρα το σώµα Σ αποκτά για πρώτη φορά µέγιστη ταχύτητα, οπότε η πρόταση είναι λάθος γ. Για πρώτη φορά το σώµα Σ αποκτά µέγιστου µέτρου ταχύτητα την στιγµή t t π Για το σώµα Σ τη στιγµή αυτή ισχύει: (αρχική φάση ϕ 0 rad αφού ξεκινά από το άκρο) π πτ π 3π A x A ηµ ( ω t + ) A ηµ ( + ) A ηµ ( ) x 8 4 Τ A x A A K U K E U 4 U U A A 4 Συνεπώς η πρόταση είναι σωστή. 5) Τα σώµατα Σ και Σ µε µάζες m m και m 3m αντίστοιχα, εφάπτονται µεταξύ τους και ισορροπούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο µε το σώµα Σ να είναι δεµένο στην άκρη ιδανικού ελατήριου σταθεράς. Σπρώχνουµε το σώµα Σ συσπειρώνοντας το ελατήριο κατά l και στη συνέχεια αφήνουµε το σύστηµα ελεύθερο. Α. στη διάρκεια της ταλάντωσης του συστήµατος: α. τα δυο σώµατα χάνουν την επαφή µεταξύ τους τη στιγµή που µηδενίζεται η ταχύτητα του σώµατος Σ. β. η ενέργεια της ταλάντωσης του Σ είναι τριπλάσια από την ενέργεια της ταλάντωσης του Σ. γ. το µέτρο της δύναµης που ασκείται στο σώµα Σ από το Σ, σε αποµάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας είναι F x. 4 Β. Μόλις αποχωριστούν τα δυο σώµατα: α. η σταθερά της ταλάντωσης του Σ δε µεταβάλλεται. β. το πλάτος της ταλάντωσης του Σ υποδιπλασιάζεται. γ. η ενέργεια της ταλάντωσης του Σ δε µεταβάλλεται. Αρχική θεση l Θ.Φ.Μ Θ.Ι. m m (+) F F 5

6 δ. τη στιγµή που µηδενίζεται για πρώτη φορά η ταχύτητα του Σ τα δυο σώµατα απέχουν µεταξύ τους d π l. 4 Να χαρακτηρίσετε τις παραπάνω προτάσεις ως σωστές ή λάθος αιτιολογώντας την επιλογή σας. Α.α. Η δύναµη επαφής F r που το σώµα m δέχεται από το σώµα m είναι η δύναµη επαναφοράς της r r ταλάντωσης του. Οπότε για το σώµα m ισχύει: Σ F D x F Dx Η δύναµη επαφής F r µηδενίζεται στη θέση όπου x 0. Συνεπώς τα δύο σώµατα χάνουν την µεταξύ τους επαφή στη Θ.Φ.Μ. του ελατηρίου. Άρα η πρόταση είναι λάθος. β. Ισχύει: D A m m D m 3m 3 A Ε ω Ε Ε ω Ε E 3E Άρα η πρόταση είναι σωστή. γ. Από την α ερώτηση έχουµε για το µέτρο της F r 3 : F Dx 3mω x 3m x F x, οπότε η 4m 4 πρόταση είναι λάθος. Β.α. Η σταθερά επαναφοράς για το Σ αρχικά είναι: D mω m µετά την αποχώρηση του Σ 4m 4 αυτή γίνεται D. Άρα η πρόταση είναι λάθος. β. Η ταλάντωση των Σ, Σ "τελειώνει" στην Θ.Ι., οπότε τα σώµατα έχουν µέγιστη ταχύτητα υ max και η ταλάντωση του Σ αρχίζει από την Θ.Ι. (δεν έχουµε αλλαγή Θ.Ι. Παραµένει η Θ.Φ.Μ. ως θέση ισορροπίας και για την νέα ταλάντωση) οπότε έχει επίσης µέγιστη ταχύτητα υ max κατά την έναρξη της νέας ταλάντωσης. Άρα: m m A υmax υ max ωαωα A A A A A A A m + m m m + m m + 3m. Άρα η πρόταση είναι σωστή. γ. Για την ενέργεια της ταλάντωσης που αντιστοιχεί στο Σ πριν και µετά την αποχώρηση έχουµε: D A A E 4 E A DA 4 E E. Άρα η πρόταση είναι σωστή. 6

7 δ. Το Σ ακινητοποιείται για πρώτη φορά σε χρόνο t µετά 4 την έναρξη της ταλάντωσής του και έχει διανύσει διάστηµα ως τότε από την Θ.Ι. s A. Το Σ κάνει Ε.Ο.Κ. µε ταχύτητα υ max ωα. (Την ταχύτητα που είχε τη στιγµή της αποχώρησης από το Σ ) και στον ίδιο χρόνο διανύει διάστηµα s υ max t απέχουν µεταξύ τους s υ. Άρα τα δύο σώµατα 4 max Τ m A A A π d s s ωα Α A π A π d ( ), 4 4m 4 4 άρα η πρόταση είναι λάθος. 6) Ένα σώµα ισορροπεί δεµένο στη κάτω άκρη ενός ιδανικού ελατήριου του οποίου η άλλη άκρη είναι δεµένη σε σταθερό σηµείο. Μετακινούµε το σώµα προς τα κάτω και τη χρονική στιγµή t 0 το αφήνουµε ελεύθερο. Το διάγραµµα τον σχήµατος δείχνει τη γραφική παράσταση της δύναµης που ασκείται στο σώµα από το ελατήριο σε συνάρτηση µε την αποµάκρυνση του σώµατος από τη θέση ισορροπίας. Η εξίσωση της ταλάντωσης που εκτελεί το σώµα είναι: α. x 0,ηµ(0t + 3π/) β. x 0,ηµ0t γ. x 0,ηµ(0t + 3π/) δ. x 0,ηµ(0t + π/) Να επιλέξετε και να αιτιολογήσετε τη σωστή απάντηση. Η γραφική παράσταση έχει τη µορφή F ελ α βx Για x 0 έχουµε F ελ 0 Ν άρα α 0 Ν Για x 0, m έχουµε F ελ 0 άρα 0 0 β 0, β 00 N/m Σε µία ταλάντωση ισχύει r ur Σ α ω F m Fελ w m( x) Fελ w x άρα w 0 N m g και 00 N/m επίσης rad mω ω ω 0 m s 7

8 Θεωρήσαµε θετική την φορά προς τα πάνω για να συµπίπτει µε την µορφή της δύναµης. Την χρονική στιγµή t 0 βρισκόµαστε στην θέση x A Αηµφ 0 Α ηµφ 0 φ 0 3π/. Το πλάτος από το σχήµα προκύπτει ότι είναι Α 0, m. Τελικά 3π x 0, ηµ ( 0t + ). Άρα σωστή απάντηση η α. 7) Ένα σώµα ισορροπεί δεµένο στην κάτω άκρη ενός ιδανικού ελατηρίου και η άλλη άκρη του είναι στερεωµένο σε σταθερό σηµείο. Ασκούµε στο σώµα κατάλληλη δύναµη µε την οποία το φέρνουµε στη θέση που το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος και την t 0 το αφήνουµε. Το έργο της παραπάνω δύναµης αποθηκεύεται στο ελατήριο µε µορφή δυναµικής ενέργειας. Να χαρακτηρίσετε την πρόταση ως σωστή ή λάθος. Το έργο της παραπάνω δύναµης ισούται µε την ενέργεια της ταλάντωσης ή µπορούµε να πούµε το έργο της παραπάνω δύναµης µαζί µε το έργο της δύναµης του ελατηρίου ισούται µε την αύξηση της δυναµικής ενέργειας. Άρα η πρόταση είναι λάθος. Επιµέλεια Βασίλης ουκατζής 8