Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις

Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 23

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3 Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις Περιεχόμενα Άδειες Χρήσης... 2 Χρηματοδότηση... 2 Ενότητα η: Μέτρα Ενότητα 2η: Το Θεώρημα Καραθεοδωρή και τα μέτρα Borel...4 Ενότητα 3η: Ολοκλήρωση 4 Ενότητα 4η: Ολοκλήρωση επί Καρτεσιανών γινομένων.6 Ενότητα 5η: Οι χώροι L p Ενότητα 6η: Μιγαδικά Μέτρα Ενότητα 7η: Χρήσιμες ανισότητες 3

4 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ενότητα 2 η και Ενότητα 3 η Δείξτε ότι το Λήμμα του Fatou ισχύει αν f n είναι μετρήσιμες και f n g, όπου g L και θετική. Έστω ότι οι f n L και f n f ομοιόμορφα.. αν μ(x) <, τότε f L και f n f. 2. αν μ(x) =, τότε το () δεν ισχύει. (βρείτε αντιπαραδείγματα στον R) (Γενίκευση της Κυριαρχούμενης σύγκλισης). Αν οι f n, g n, f, g L και g n g, σ. π., g n g, και f n g n, τότε f n f. (Ξαναδουλέψτε την απόδειξη της Κυριαρχούμενης σύγκλισης). Υποθέτουμε ότι f n, f L και f n f σ.π. Τότε f n f ανν f n f. Έστω, αν x (,), f(x) = { x, αν όχι. και ας είναι r n, n N, όλοι οι ρητοί. Θέτουμε g(x) = f(x r n ). n. Δείξτε ότι g L και συνεπώς g < σ.π. 2. Δείξτε ότι η g είναι παντού ασυνεχής και πωε είναι μη φραγμένη σε κάθε διάστημα. 3. Δείξτε ότι g 2 <, αλλά η g 2 δεν είναι ολοκληρώσιμη σε κανένα διάστημα. Αν g L (R) και δείξτε ότι η G είναι συνεχής. Θέτουμε όπου < a < b. Δείξτε ότι. f n (x) dx =. G(x) = x g(s)ds, f n (x) = ae anx be bnx, 4

5 Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις 2. f n (x)dx =. 3. f n L (, ) και f n (x)dx = log b a. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια δικαιολογώντας τους υπολογισμούς. lim n ημ ( x n ) dx 2. lim n ( + nx 2 ) (+ x n )n 3. lim n nημ ( x n ) dx 4. lim n ndx a (+n 2 x 2 ).. dx (+x 2 ) n x(+x 2 ) (διακρίναμε τις περιπτώσεις a <, a = και a > ). Παραγωγίζοντας την σχέση δείξτε ότι Με τον ίδιο τρόπο δείξτε ότι παραγωγίζοντας την.. e tx dx x n e x dx x 2n e x2 dx = t, = n! = (2n)! π 4 n n!, e x2 dx = π τ. Υπολογίστε τα ολοκληρώματα που ακολουθούν, αναπτύσσοντας τα σε σειρά και δικαιολογώντας την ολοκλήρωση όρο προς όρο.. Για a >, 2. Για a >, 3. Για a >, e x2 συνaxdx = πe α2 /4. x a logx x dx = (a + k) 2. x a dx e x = Γ(a)ζ(a), 5

6 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα όπου ζ(a) = είναι η περιώνυμη συνάρτηση ζ του Riemann. k a Ενότητα 4 η Διερευνείστε πότε τα ολοκληρώματα f(x, y)dxdy, dx f(x, y)dy [,] 2 υπάρχουν και είναι ίσα όταν. f(x, y) = x2 y 2 (x 2 +y 2 ) 2, 2. f(x, y) = ( xy) β, β >. και dy f(x, y)dx, 3. f(x, y) = (x 4 ) 3 αν < y < x και αν οχι. 4 Αν η f είναι ολοκληρώσιμη επί του (, R)και δείξτε ότι και η F είναι ολοκληρώσιμη και ότι Δείξτε ότι R F(x) = f(s)ds, s R F(x)dx x R = f(x)dx. ημxdx sx e = τοξεφ, s >, x s ολοκληρώνοντας την e sxy ημx ως προς x και y. (Θυμίζουμε ότι εφ ( π 2 θ) = εφθ ). Δείξτε ότι e sx ημ2 xdx x ολοκληρώνοντας την e sxy ημ2xy ως προς x και y. Δείξτε ότι ενώ = 4 log ( + 4 s2), s >, ημx x =, 6

7 Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις (Συνάρτηση Γάμμα) Για Rez >, θέτουμε R ημxdx R π x 2. Γ(z) = t z e t dt. Δείξτε ότι το ως άνω ολοκλήρωμα είναι απολύτως συγκλίνων και ότι ισχύει Γ(z + )zγ(z). () Από την σχέση Γ() =, συμπεραίνουμε ότι Γ(n) = (n )! 2. Θέστε Γ(z) = Γ(z + ) z και χρησιμοποιώντας την (), κάντε την επέκταση της Γ σ όλο το C πλήν των αρνητικών ακεραίων. 3. Δείξτε ότι Γ(x)Γ(y) Γ(x + y) = tx ( t) y dt, x, y >. (Υπόδειξη: Γράψτε το Γ(x)Γ(y) ως διπλό ολοκλήρωμα ) Αν η f συνεχής και δείξτε ότι Αν f, g L (X, dμ), δείξτε ότι η Αν ανήκει στον L (X, dμ) και δείξτε ότι η ανήκει στον C (B(,)). I a (f)(x) Γ(a) (x t)a f(t)dt, a > I α+β (f) = I α (f)i β (f). (f g)(x) = f(x y) g(y)dμ(y) X f g f g. C (R n ) = {f: R n C, f είναι C και έξω απο ένα συμπαγές}, φ(x) = { e x 2, αν x 2,, αν x 2 >, 7

8 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Έστω f απλή με συμπαγή φορέα το Κ, και ψ C (B(,)) τ.ω. ψ =. Για ε >, θέτουμε f ε (x) = f(x εy)ψ(y)dy = R n ε n y f(y)ψ (x ) dy ε. Δείξτε ότι η f ε C (R n ) και προσδιορίστε τον φορέα της. 2. Δείξτε ότι f f ε ε. R n. 3. Συμπεράνατε ότι ο C (R n ) είναι παντού πυκνός στον L (R n ). 8