Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Transcript

1 Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών

2 Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

3 Περιεχόµενα ενότητας 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier Χώροι Hilbert Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Καθετότητα Ορθοκανονικές ϐάσεις Σύγκλιση στον L (T) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

4 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό γινόµενο αν ικανοποιεί τα εξής: (α) x, x 0 για κάθε x X, µε ισότητα αν και µόνο αν x = 0. (ϐ) x, y = y, x, για κάθε x, y X. (γ) για κάθε y X η συνάρτηση x x, y είναι γραµµική. Πρόταση 7.1. (ανισότητα Cauchy-Schwarz). Εστω X χώρος µε εσωτερικό γινόµενο. Αν x, y X, τότε ( ) x, y x, x y, y. Απόδειξη. Εξετάζουµε πρώτα την περίπτωση K = C. Εστω x, y X και έστω M = x, y. Υπάρχει θ R ώστε x, y = Me iθ. Για κάθε µιγαδικό αριθµό λ = re it έχουµε 0 λx + y, λx + y = λ x, x + λ x, y + λ x, y + y, y Επιλέγουµε το t έτσι ώστε e i(θ+t) = 1. Τότε, έχουµε = λ x, x + Re(λ x, y ) + y, y = r x, x + Re(r Me i(θ+t) ) + y, y. (7.1.1.) r x, x r M + y, y 0 για κάθε r > 0. Παίρνοντας r = y, y / x, x έχουµε το Ϲητούµενο (η περίπτωση x = 0 ή y = 0 είναι προφανής). Στην περίπτωση που K = R, παρατηρούµε ότι για κάθε x, y X και για κάθε t R ισχύει ( ) 0 tx + y, tx + y = t x, x + t x, y + y, y. Η διακρίνουσα του τριωνύµου ως προς t πρέπει να είναι µικρότερη ή ίση από µηδέν. Αρα, 4 x, y 4 x, x y, y 0. Αυτό δίνει το Ϲητούµενο. Ορίζουµε : X R µε x = x, x. Η ανισότητα Cauchy-Schwarz µας επιτρέπει να δείξουµε ότι η είναι νόρµα: Πρόταση Εστω X χώρος µε εσωτερικό γινόµενο. Η συνάρτηση : X R, µε x = x, x είναι νόρµα. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

5 Απόδειξη. Αρκεί να ελέγξουµε την τριγωνική ανισότητα (οι άλλες ιδιότητες είναι απλές). Οµως, x + y = x + y, x + y = x + x, y + y, x + y = x + y + Re( x, y ) x + y + x, y x + y + x y = ( x + y ), από τις ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου και την ανισότητα Cauchy-Schwarz. Παρατήρηση Εστω X χώρος µε εσωτερικό γινόµενο και έστω η επαγόµενη νόρµα. Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz έπεται εύκολα ότι το εσωτερικό γινόµενο είναι συνεχές ως προς την : Αν x n x και y n y ως προς την, τότε ( ) x n, y n x, y. Για την απόδειξη γράφουµε x n, y n x, y = x n, y n y + x n x, y x n, y n y + x n x, y x n y n y + x n x y. Η (x n ) συγκλίνει άρα είναι ϕραγµένη, και y n y 0, x n x 0. Αρα, ( ) x n, y n x, y. Ειδικότερα, για κάθε y X η απεικόνιση x x, y είναι ϕραγµένο γραµµικό συναρτησοειδές στον X. Ορισµός Ενας χώρος Banach λέγεται χώρος Hilbert αν υπάρχει εσωτερικό γινόµενο, στον X ώστε x = x, x για κάθε x X. Στη συνέχεια συµβολίζουµε τους χώρους Hilbert µε H. Κάθε χώρος Hilbert ικανοποιεί τον κανόνα του παραλληλογράµµου: για κάθε x, y H, ( ) x + y + x y = x + y. Αντίστροφα, αν η νόρµα ενός χώρου Banach X ικανοποιεί τον κανόνα του παραλληλογράµµου, τότε προέρχεται από εσωτερικό γινόµενο το οποίο ορίζεται από την ( ) x, y = 1 4 { x + y x y } στην περίπτωση K = R, και από την ( ) x, y = 1 4 ( x + y x y + i x + iy i x iy ) στην περίπτωση K = C Καθετότητα Ορισµός (καθετότητα). Εστω X ένας χώρος µε εσωτερικό γινόµενο. Λέµε ότι τα x, y X είναι ορθογώνια (ή κάθετα) και γράφουµε x y, αν x, y = 0. Αν x X και M είναι ένα µη κενό υποσύνολο του X, λέµε ότι το x είναι κάθετο στο M και γράφουµε x M αν x y για κάθε y M. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

6 Παρατηρήσεις (α) Το 0 είναι κάθετο σε κάθε x X, και είναι το µοναδικό στοιχείο του X που έχει αυτήν την ιδιότητα. (ϐ) Αν x y, ισχύει το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα: x + y = x + y. Ορισµός Εστω X ένας χώρος µε εσωτερικό γινόµενο και έστω M γραµµικός υπόχωρος του X. Ορίζουµε (7.1..1) M = {x X : y M, x, y = 0}. Ο M είναι κλειστός γραµµικός υπόχωρος του X Πρόταση Εστω H χώρος Hilbert, M κλειστός γραµµικός υπόχωρος του H, και x H. Υπάρχει µοναδικό y 0 M ώστε (7.1..) x y 0 = dist(x, M) = inf{ x y : y M}. Το µοναδικό αυτό y 0 M συµβολίζεται µε P M (x), ονοµάζεται προβολή του x στον M και ικανοποιεί την x P M (x) M. Απόδειξη. Θέτουµε δ = dist(x, M). Υπάρχει ακολουθία (y n ) στον M ώστε (7.1..3) x y n δ. Από τον κανόνα του παραλληλογράµµου, y n y m = (y n x) + (x y m ) Οµως, y n+y m M, άρα y n+y m x δ. Εποµένως, = y n x + y m x (y n + y m ) x = y n x + y m x 4 y n + y m x. (7.1..4) y n y m y n x + y m x 4δ δ + δ 4δ = 0 όταν m, n. Αρα, η (y n ) είναι ακολουθία Cauchy στον H. Ο H είναι πλήρης, άρα υπάρχει y 0 H ώστε y n y 0. Επεται ότι y 0 M (ο M είναι κλειστός) και x y 0 = lim n x y n = δ. Για τη µοναδικότητα, χρησιµοποιούµε και πάλι τον κανόνα του παραλληλογράµµου. Αν x y = δ = x y, τότε 0 y y = x y + x y 4 y + y δ + δ 4δ = 0. x Αρα, y = y. Για τον τελευταίο ισχυρισµό ϑέτουµε w = x P M (x). Εστω ότι το w δεν είναι κάθετο στον M. Τότε, υπάρχει z M ώστε w, z > 0. Για ε > 0 αρκετά µικρό, έχουµε w, z ε z > 0. Αρα, x (P M (x) + εz) = w εz = w εz, w εz = w ε w, z + ε z = δ ε( w, z ε z ) < δ, το οποίο είναι άτοπο γιατί P M (x) + εz M. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

7 Πόρισµα Αν H χώρος Hilbert και M κλειστός γνήσιος υπόχωρος του H, τότε υπάρχει z H, z 0, ώστε z M. Απόδειξη. Εστω x H \ M. Παίρνουµε z = x P M (x) Ορθοκανονικές βάσεις Ορισµός Εστω X χώρος µε εσωτερικό γινόµενο. Μια πεπερασµένη ή άπειρη ακολουθία (e k ) X λέγεται ορθοκανονική, αν e i, e j = δ i j ( 1 αν i = j και 0 αν i j). Αν (e k ) είναι µια ορθοκανονική ακολουθία στον X, τότε το {e k : k N} είναι γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο. Πράγµατι, αν τότε για κάθε j = 1,..., n έχουµε n λ k e ik = 0, ( ) 0 = n λ k e ik, e i j = λ k e ik, e i j = λ j. Ορισµός Εστω H χώρος Hilbert. Μία ορθοκανονική ακολουθία (e k ) λέγεται ορθοκανονική ϐάση του H αν (7.1.3.) H = span{e k : k N}. Πρόταση Εστω H ένας απειροδιάστατος διαχωρίσιµος χώρος Hilbert. Υπάρχει ορθοκανονική ϐάση {e k : k N} του H. Απόδειξη. Παρατηρούµε πρώτα ότι κάθε ορθοκανονική οικογένεια {e i : i I} του H είναι αριθµήσιµο σύνολο: πράγµατι, αν e i e j είναι στοιχεία µιας τέτοιας οικογένειας, τότε e i e j =. Την ίδια στιγµή, αφού ο χώρος είναι διαχωρίσιµος δεν γίνεται να υπάρχουν υπεραριθµήσιµα το πλήθος σηµεία του που να απέχουν ανά δύο απόσταση ίση µε. Θεωρούµε λοιπόν µια ορθοκανονική ακολουθία {e k : k N} του H (η διάταξη των στοιχείων της ϐάσης είναι τυχούσα) η οποία να είναι µεγιστική, δηλαδή να µην περιέχεται γνήσια σε κάποια άλλη. Αυτό γίνεται µε χρήση του λήµµατος του Zorn. Τότε, ο υπόχωρος span{e k : k N} είναι πυκνός στον H (αλλιώς, ϑα µπορούσαµε να ϐρούµε µοναδιαίο z e k για κάθε k, και η (e k ) δεν ϑα ήταν µεγιστική). Αρα, η (e k ) είναι ορθοκανονική ϐάση του H. Λήµµα Εστω X χώρος µε εσωτερικό γινόµενο και έστω (e n ) ορθοκανονική ακολουθία στον X. Για κάθε x H και κάθε n N, ( ) d(x, span{e 1,..., e n }) = x Απόδειξη. Εστω λ 1,..., λ n K και y = n x λ k e k = x = x x, e k e k. λ k e k. Παρατηρούµε ότι x, e k e k + ( x, e k λ k )e k x, e k e k + ( x, e k λ k )e k Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

8 = x x, e k e k + λ k x, e k (χρησιµοποιήσαµε το γεγονός ότι το x n x, e k e k είναι κάθετο σε όλα τα e k, άρα και στο ( x, e k λ k )e k, οπότε εφαρµόσαµε το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα γι αυτά τα δύο διανύσµατα). Αρα, ( ) x λ k e k x x, e k e k και ισότητα µπορεί να ισχύει µόνο αν λ k = x, e k για κάθε k = 1,..., n, δηλαδή αν y = n x, e k e k. Σηµείωση. Παρατηρήστε επίσης ότι x = x x, e k e k + x, e k e k = x x, e k e k + x, e k. Το επόµενο ϑεώρηµα δίνει ισοδύναµους χαρακτηρισµούς του ότι η (e n ) είναι ορθοκανονική ϐάση. Θεώρηµα Εστω (e k ) ορθοκανονική ακολουθία σε έναν χώρο Hilbert H. Τα εξής είναι ισοδύναµα: (α) Η (e k ) είναι ορθοκανονική ϐάση του H. (ϐ) Αν x H και x, e k = 0 για κάθε k, τότε x = 0. (γ) Αν x H και s n (x) = n x, e k e k, τότε s n (x) x. ηλαδή, ( ) x = x, e k e k. (δ) Ισχύει η ισότητα του Parseval: για κάθε x H, ( ) k x, e k = x. Απόδειξη. (α) = (ϐ) Εστω x H. Αφού ο F = span{e k : k N} είναι πυκνός, υπάρχει ακολουθία (y n ) F µε y n x. Από την υπόθεση έχουµε x y για κάθε y F. Τότε, 0 = x, y n x, x. Αρα, x, x = 0, το οποίο σηµαίνει ότι x = 0. (ϐ) = (γ) Παρατηρούµε πρώτα ότι x s n (x) s n (x): πράγµατι, ( ) x, s n (x) = x, e k = s n (x) = s n (x), s n (x). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

9 Από το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα παίρνουµε ( ) x = x s n (x) + s n (x) = x s n (x) + x, e k. Συνεπώς. ( ) x, e k x για κάθε n, και αφήνοντας το n παίρνουµε την ανισότητα Bessel x, e k x. Ειδικότερα, η σειρά x, e k συγκλίνει, και από την ( ) s m (x) s n (x) = m k=n+1 x, e k η οποία ισχύει για κάθε m > n, έπεται ότι η {s n (x)} είναι ακολουθία Cauchy. Αφού ο H είναι πλήρης, υπάρχει y H ώστε s n (x) y. Από την σύγκλιση αυτή ϐλέπουµε ότι x y, e k = 0 για κάθε k, και η υπόθεσή µας (το (ϐ)) εξασφαλίζει ότι ( ) x = y = lim n s n (x) = lim n x, e k e k = x, e k e k. (γ) = (δ) Εστω x H. Ελέγξαµε ότι x = x s n (x) + n Αφού x s n (x) 0, έπεται ότι x, e k για κάθε n. ( ) x, e k = x. (δ) = (α) Εστω x H. Ελέγξαµε ότι x = x s n (x) + n x, e k για κάθε n. Αφού n x, e k x, έπεται ότι x s n (x) 0. ηλαδή, s n (x) x. Αφού κάθε s n (x) span{e k : k N}, έπεται ότι ( ) H = span{e k : k N}. ηλαδή, η {e k } είναι ορθοκανονική ϐάση του H. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

10 7. Σύγκλιση στον L (T) Εφαρµόζουµε τα αποτελέσµατα της προηγούµενης παραγράφου στην L -σύγκλιση των σειρών Fourier. Το ερώτηµα είναι αν για κάθε f L (T) ισχύει ( ) s n ( f ) f 0 καθώς το n. Υπενθυµίζουµε ότι ο L (T) είναι χώρος Hilbert. Η επάγεται από το εσωτερικό γινόµενο ( ) f, g = 1 f (x)g(x) dx. π Λήµµα Η ακολουθία {e ik x } k= είναι ορθοκανονική ϐάση στον L (T). T Απόδειξη. Εχουµε δεί ότι ( ) e ik x, e isx = δ k,s για κάθε k, s Z, και από το Θεώρηµα έχουµε ότι αν f L (T) και f (k) = 0 για κάθε k Z, τότε f 0. Ισοδύναµα, αν f, e ik x = 0 για κάθε k Z τότε f = 0. Το συµπέρασµα έπεται από το Θεώρηµα Αµεσο πόρισµα της γενικής ϑεωρίας των χώρων Hilbert είναι τώρα το εξής. Θεώρηµα 7... Εστω f L (T). Τότε, ( ) s n ( f ) f 0 καθώς το n και ( ) f = 1 π T f (x) dx = f (k). k= Παρατήρηση Στην απόδειξη της f = f s n( f ) + s n( f ) χρησιµοποιήθηκε µόνο το γεγονός ότι το {e ikθ : k n} είναι ορθοκανονικό. Με το ίδιο επιχείρηµα µπορείτε εύκολα να ελέγξετε ότι: αν ϑεωρήσουµε οποιοδήποτε όρθοκανονικό σύνολο E = {e k : k Z} συναρτήσεων στον L (T) και αν, για τυχόν n, ϑεωρήσουµε τη συνάρτηση f n = n k= n f, e k e k, τότε ( ) f = f f n + f n = Συνεπώς, (7..0.0) k= k= n f, e k f, f, e k. για κάθε ορθοκανονικό σύνολο E = {e k : k Z} R. Αυτή είναι η (γενική) ανισότητα του Bessel. Ισότητα στην ανισότητα του Bessel ισχύει για κάθε f L (T), ακριβώς όταν το E είναι ορθοκανονική ϐάση του L (T), δηλαδή (7..0.1) lim n f για κάθε f L (T). f, e k e k = 0 k= n Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 10

11 Θεώρηµα 7..4 (Riesz-Fisher). Ο L (T) είναι ισοµετρικά ισόµορφος µε τον l (Z). Απόδειξη. Ορίζουµε T : L (T) l (Z) µε (7..0.) T ( f ) = { f (k)} k=. Ο T είναι καλά ορισµένος, γιατί (7..0.3) k= f (k) = f < + από την ταυτότητα του Parseval, άρα T ( f ) l (Z). Η γραµµικότητα του T ελέγχεται εύκολα. Η ταυτότητα του Parseval δείχνει επιπλέον ότι (7..0.4) T ( f ) l (Z = f για κάθε f L (T), άρα ο T είναι ισοµετρία (ειδικότερα, είναι ένα προς ένα). είχνουµε τέλος ότι ο T είναι επί: έστω {a k } k= l (Z). Ορίζουµε f N (x) = N Τότε, αν N > M έχουµε (7..0.5) f N f M = N k=m+1 a k 0 a k e ik x. καθώς N, M, και αυτό δείχνει ότι η ( f N ) είναι ακολουθία Cauchy στον L (T). Ο L (T) είναι πλήρης, άρα υπάρχει f L (T) ώστε f N f. Αφού (7..0.6) f f N 1 f f N 0, είναι εύκολο να δούµε (άσκηση του Κεφαλαίου 5) ότι (7..0.7) ( f N )(k) f (k) (και µάλιστα οµοιόµορφα ως προς k). Οµως, για κάθε N > k ισχύει f (k) = a k, από τον ορισµό των f N. Συνεπώς, (7..0.8) f (k) = a k, k Z το οποίο αποδεικνύει ότι T ( f ) = {a k } k=. Παρατήρηση Αµεση συνέπεια της ταυτότητας του Parseval είναι το Λήµµα Riemann-Lebesgue για τον L (T). Για κάθε f L (T) έχουµε (7..0.9) k= f (k) < +, άρα ( ) lim f (k) = 0. k Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 11

12 Συχνά, χρησιµοποιούµε το Λήµµα Riemann-Lebesgue στην εξής µορφή: αν η f L (T) είναι ολοκληρώσιµη, τότε ( ) a k ( f ) = f (x) συν(k x) dλ(x) 0 και b k ( f ) = f (x) ημ(k x) dλ(x) 0 T όταν k. Από τις σχέσεις που συνδέουν τους f (k), a k ( f ) και b k ( f ), ελέγχουµε εύκολα ότι η πρόταση «a k ( f ) 0 και b k ( f ) 0 όταν k» είναι ακριβώς ισοδύναµη µε την «f (k) 0 όταν k» (εξηγήστε γιατί). T Κλείνουµε αυτήν την παράγραφο µε µια γενίκευση της ταυτότητας του Parseval. Πρόταση Εστω f, g L (T). Τότε, (7..0.3) f, g = 1 π T f (x)g(x) dλ(x) = k= f (k)ĝ(k). Απόδειξη. Χρησιµοποιούµε την παρατήρηση ότι αν X είναι ένας γραµµικός χώρος πάνω από το C µε εσωτερικό γινόµενο,, τότε ( ) x, y = 1 [ x + y x y + i x + iy i x iy ]. 4 Εχουµε ( ) f, g = 1 [ f + g 4 f g + i f + ig i f ] ig και ( ) k= f (k)ĝ(k) = 1 [ f (k)+ĝ(k) f (k) ĝ(k) +i f (k)+iĝ(k) i f (k) iĝ(k) ]. 4 Το συµπέρασµα προκύπτει άµεσα, αν εφαρµόσουµε την ταυτότητα του Parseval για τις f + g, f g, f + ig και f ig. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 1