Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Save this PDF as:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)"

Transcript

1 Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Να κατανοήσει ο φοιτητής τις βασικές έννοιες του διαφορικού λογισμού. Ειδικότερα, μελετώνται τα εξής: όρια συναρτήσεων, μη πεπερασμένα όρια, συνέχεια συνάρτησης, όριο συνάρτησης στο διηνεκές και θεώρημα μέσης τιμής μονοτονία συνάρτησης. 4

5 Περιεχόμενα ενότητας Όρια συναρτήσεων. Μη πεπερασμένα όρια. Συνέχεια συνάρτησης. Όριο συνάρτησης στο διηνεκές. Θεώρημα μέσης τιμής μονοτονία συνάρτησης. 5

6 Όριο συνάρτησης (1) Η έκφραση lim f x = l μπορεί να είναι σωστή ακόμη και x x0 αν f x l. Επιπλέον, το σημείο x 0 ενδέχεται να μην ανήκει στο πεδίο ορισμού της f, δηλαδή το όριο lim f x = x x0 l μπορεί να έχει νόημα ακόμα και για σημεία x 0 στα οποία η f δεν ορίζεται. 6

7 Όριο συνάρτησης (2) lim f x x x 0 = l lim x 2 f x = 2 7

8 Όριο συνάρτησης (3) lim f x x x 0 = l lim x x0 f x l = 0 π. χ. lim x 7 f x 15 = 0 lim x 7 f(x) = 15 8

9 Όριο συνάρτησης (4) Εάν μια συνάρτηση f έχει όριο στο x 0, τότε το όριο αυτό είναι μοναδικό και παριστάνεται με lim f x = l x x 0 Το όριο της ταυτοτικής συνάρτησης f(x) = x είναι lim x x 0 x = x 0 για κάθε x 0 R. Για παράδειγμα, lim x 7 x = 7 Το όριο της σταθερής συνάρτησης f(x) = c, c R είναι lim x x 0 c = c για κάθε x 0 R. Για παράδειγμα, lim x 4 8 = 8 9

10 Πλευρικά όρια Πολλές φορές είναι απαραίτητο να διερευνήσουμε το όριο μιας συνάρτησης f(x) καθώς το x τείνει (πλησιάζει) στο x 0 μόνο από δεξιά ή μόνο από αριστερά. Αν καθώς το x τείνει στο x 0 από αριστερά, δηλαδή ορίζεται από αριστερά του x 0 στο διάστημα (a, x 0 ), το f(x) τείνει σε κάποιο αριθμό l 1, τότε λέμε ότι το l 1 είναι το αριστερό πλευρικό όριο της f στο x 0 και συμβολίζουμε lim f x = l x x0 1. Αντίστοιχα ορίζουμε και το δεξιό πλευρικό όριο της f στο x 0 και το συμβολίζουμε με lim f x = l x x+ 2 0 (Προσέξτε τα πρόσημα πάνω από το x 0, γράφουμε x x 0 και x x 0 + ). 10

11 Θεώρημα 1 Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο της μορφής (α, x 0 ) (x 0, β) έχει στο x 0 όριο l R, αν και μόνο αν τα πλευρικά της όρια υπάρχουν και είναι ίσα με l, δηλαδή lim x x 0 f x = l lim x x0 f x = lim x x 0 + f x = l 11

12 Παράδειγμα 1 (1) Έστω f x = l και l R. lim x 7 Να βρεθεί το β R στην περίπτωση που τα πλευρικά όρια είναι: lim f x = x 7 2β4 και lim f x = 32 x

13 Παράδειγμα 1 (2) Εφόσον υπάρχει το όριο lim f x = l x 7 θα πρέπει τα πλευρικά όρια να οδηγούν στο ίδιο αποτέλεσμα, δηλαδή lim f x = lim f x x 7 x 7 + 2β4 = 32 β 4 4 = 16 β = 16 β = 2 β =

14 Παράδειγμα 2 (1) Υποθέτοντας ότι υπάρχουν τα lim f x και lim f x x 7 x 5 να βρεθούν τα α, β R στην περίπτωση που τα πλευρικά όρια είναι: lim f x = 3α β x 7 lim f x = 2β x 7 + lim f x = 9α + 4β x 5 lim f x = 3α + 2 x

15 Παράδειγμα 2 (2) Εφόσον υπάρχουν τα lim f x και lim f x x 7 x 5 τα πλευρικά όρια θα εξισωθούν και συνεπώς θα έχουμε: lim f x = lim f x x 7 x 7 + lim f x = lim f x x 5 x 5 + 3α β = 2β 9α + 4β = 3α

16 Παράδειγμα 2 (3) 3α 3β = 0 6α + 4β = 2 α = β 6α + 4β = 2 α = β 6α + 4α = 2 α = β α = 2 10 β = 1 5 α =

17 Ιδιότητες των ορίων (1) 17

18 Ιδιότητες των ορίων (2) 18

19 Ιδιότητες των ορίων (3) 19

20 Μη πεπερασμένα όρια Εάν οι τιμές μιας συνάρτησης f(x) αυξάνονται ή μειώνονται συνεχώς χωρίς να προσεγγίζουν μια συγκεκριμένη τιμή (κινούνται στο διηνεκές), ενώ παράλληλα η μεταβλητή x πλησιάζει με οποιονδήποτε τρόπο την τιμή x 0, τότε το όριο της f(x) στο x 0 είναι το + ή το. Ορισμός: Μια συνάρτηση f(x), με πεδίο ορισμού ένα σύνολο της μορφής (α, x 0 ) (x 0, β), έχει στο x 0 όριο +, δηλαδή lim f x = +, όταν για κάθε ε > 0 x x0 υπάρχει δ > 0, τέτοιο ώστε για κάθε x με 0 < x x 0 < δ να ισχύει ότι f(x) > ε. 20

21 Παράδειγμα 3 (1) Έστω fμια συνάρτηση με πεδίο ορισμού (α, x 0 ) (x 0, β) και lim f x = β x x0 2, lim f x x x+ 0 = β2 Να βρεθούν οι κατάλληλες τιμές του β R για τις οποίες υπάρχει το lim x x 0 f x 21

22 Παράδειγμα 3 (2) lim f x x x 0 = lim x x 0 + f x β 2 = β2 β 2 + β2 = 0 β β = 0 β = 0 β = 1 2 για τις δυο αυτές ρίζες υπάρχει το όριο της f(x) στο x 0, συγκεκριμένα: lim f x = 0 για β = 0 και lim f x = 1 x x 0 x x0 4 για β =

23 Παράδειγμα 4 (1) Έστω η συνάρτηση f x = 1 x2 και αναζητούμε το όριο αυτής στο x 0 = 0, είτε από δεξιά, είτε από αριστερά, τόσο η τιμή του f(x) αυξάνεται με τάση, φυσικά, το διηνεκές. x δεξιά του 0 + 1/x 2 x αριστερά του ,9 1,23 0,9 0,8 1,56 0,8 0,7 2,04 0,7 0,5 4 0,5 23

24 Παράδειγμα 4 (2) x δεξιά του 0 + 1/x 2 x αριστερά του ,3 11,11 0,3 0,2 25 0,2 0, ,1 0, ,01 0, ,001 0, ,

25 Παράδειγμα 4 (3) 25

26 Μη πεπερασμένα όρια: χαρακτηριστικά (1) Γενικότερα, για f x = c x 2λ ισχύει: 26

27 Μη πεπερασμένα όρια: χαρακτηριστικά (2) Στην περίπτωση, βέβαια, της συνάρτησης f x στο 0 δεν υπάρχει, καθώς lim. x x = 1 x το όριο 1 = + lim = x 0 x Δεξιά του μηδενός οι τιμές της συνάρτησης f(x) βαίνουν αυξανόμενες καθώς το x τείνει στο 0, αριστερά του μηδενός οι τιμές της συνάρτησης είναι αρνητικές και συνεχώς μειούμενες καθώς το x πλησιάζει το μηδέν. 27

28 Μη πεπερασμένα όρια: χαρακτηριστικά (3) x με τιμές δεξιά του 0 1/x x με τιμές αριστερά του 0 1/x ,9 1,11-0,9-1,11 0,8 1,25-0,8-1,25 0,7 1,42-0,7-1,42 0,5 2-0,5-2 0,3 3,33-0,3-3,33 0,2 5-0,2-5 0,1 10-0,1-10 0, , , , , ,

29 Μη πεπερασμένα όρια: χαρακτηριστικά (4) 29

30 Μη πεπερασμένα όρια: χαρακτηριστικά (5) Η περίπτωση της συνάρτησης f x = 1 εντάσσεται στην x γενικότερη περίπτωση των συναρτήσεων f x = c τις οποίες ισχύουν τα εξής: x 2λ+1 για 30

31 Μη πεπερασμένα όρια: χαρακτηριστικά (6) Τέλος, βάσει του παραπάνω ορισμού ισχύουν και οι ακόλουθες ιδιότητες: Εάν lim x x0 f x = +, τότε f(x) > 0 στην περιοχή του x 0. Εάν lim x x0 f x =, τότε f(x) < 0 στην περιοχή του x 0. Εάν lim x x0 f x = ±, τότε lim x x0 1 f x = 0. 31

32 Μη πεπερασμένα όρια: Εάν lim x x0 f x χαρακτηριστικά (7) = ±, τότε lim x x0 f x = +. Εάν lim f x = 0 και f x > 0 στην περιοχή του x 0, τότε x x0 1 lim = +. x x 0 f x Εάν lim x x0 f x 1 lim x x 0 f x =. = 0 και f(x) < 0 στην περιοχή του x 0, τότε 32

33 Όριο αθροίσματος (1) Περίπτωση I II III Όριο της συνάρτησης f c R c R + Όριο της συνάρτησης g + + Όριο της συνάρτησης f + g

34 Όριο αθροίσματος (2) Περίπτωση IV V VI Όριο της συνάρτησης f + Όριο της συνάρτησης g + Όριο της συνάρτησης f + g Απροσδιοριστία Απροσδιοριστία 34

35 Όριο γινομένου (1) Περίπτωση I II III IV Όριο της συνάρτησης f Όριο της συνάρτησης g Όριο της συνάρτησης f g c > 0 c < 0 c > 0 c <

36 Όριο γινομένου (2) Περίπτωση V VI Όριο της συνάρτησης f Όριο της συνάρτησης g Όριο της συνάρτησης f g Απροσδιοριστία Απροσδιοριστία 36

37 Άσκηση 1 (1) 37

38 Άσκηση 1 (2) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α =, 3 3, +, καθώς ο παρονομαστής της f x = x 1 θα πρέπει να x 3 είναι διάφορος του μηδενός, δηλαδή x 3 0. Το όριο της συνάρτησης είναι x 1 lim x 3 x 3 = = 2 0 Εφόσον πρόκειται για πηλίκο θα χρησιμοποιήσουμε τον Πίνακα 11.5, προσπαθώντας να βρούμε σε ποια περίπτωση εντάσσεται. Πρώτο βήμα αποτελεί η εύρεση του ορίου του αριθμητή: lim (x 1) = 3 1 = 2. Δεύτερο βήμα αποτελεί η x 3 εύρεση του ορίου του παρονομαστή: lim x 3 x 3 = 0. 38

39 Άσκηση 1 (3) Τρίτο βήμα αποτελεί η εκτίμηση της παράστασης του παρονομαστή με αντικατάσταση όπου x του x 0. Επειδή αναζητούμε το πλευρικό όριο της f αριστερά του x 0 = 3, η ποσότητα x 3 πρέπει να είναι μικρότερη από 0, αφού το x προσεγγίζει το 3 από αριστερά. Για παράδειγμα, αν x = 2,99, τότε 2,99 3 = 0,01 < 0. Συνεπώς, η άσκηση εντάσσεται στην περίπτωση IV του πίνακα 11.5, επομένως x 1 lim =. x 3 x 3 39

40 Άσκηση 2 (1) 40

41 Άσκηση 2 (2) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α = (, 1) (1, + ), καθώς ο παρονομαστής της f x = 3 x 2 2x+1 θα πρέπει να είναι διάφορος του μηδενός, δηλαδή x 2 2x (x 1) 2 0 x 1. Επειδή lim 3 = 3 x 1 x 2 2x+1 0 προηγούμενης άσκησης., ακολουθούμε τα βήματα της Πρώτο βήμα: o αριθμητής είναι μεγαλύτερος του μηδενός (c = 3 > 0). Δεύτερο βήμα: Το όριο του παρονομαστή είναι lim x 1 (x 2 2x + 1) = 0. 41

42 Άσκηση 3 (1) 42

43 Άσκηση 3 (2) Κατ αρχήν θα πρέπει να βρούμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Η συνάρτηση θα έχει νόημα όταν x 0 1 x > 0 x 0 x < 1 Συνεπώς, το πεδίο ορισμού της f θα είναι Α = [0,1). Το όριο της συνάρτησης στο x 0 = 1 δεν υπάρχει, καθώς η εν λόγω συνάρτηση ορίζεται μόνο αριστερά του 1, δηλαδή υπάρχει μόνο το αριστερό πλευρικό όριο. Για τον x υπολογισμό του πλευρικού ορίου lim εργαζόμαστε x 1 1 x ως εξής: Πρώτο βήμα: Υπολογίζουμε το όριο του αριθμητή: lim = 1. x 1 43

44 Άσκηση 3 (3) Δεύτερο βήμα: Υπολογίζουμε το όριο του παρονομαστή: lim x 1 1 x = 0. Τρίτο βήμα: Εκτιμούμε το μέγεθος του παρονομαστή 1 x > 0 που ισχύει για κάθε x του πεδίου ορισμού, καθώς το x παίρνει σε κάθε περίπτωση οριακές τιμές μικρότερες του 1 αλλά ποτέ 1. Για παράδειγμα, για x = 0,99 τότε 1 0,99 > 0. Η άσκηση εντάσσεται στην περίπτωση III του πίνακα 11.5 και x επομένως lim = +. x 1 1 x 44

45 Άσκηση 4 (1) 45

46 Άσκηση 4 (2) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α = (, 0) (0, 3) (3, + ), καθώς ο παρονομαστής της f x = x+1 x 3 3x2 θα πρέπει να είναι διάφορος του μηδενός, δηλαδή f x = x+1 = x+1 που σημαίνει x 3 3x 2 x 2 (x 3) x 2 0 x 3 0 x 0 x+1. Επειδή lim x 3 = 1 x 0 x 2 (x 3) 0 ακολουθούμε τα εξής βήματα. Πρώτο βήμα: παρουσιάζουμε την συνάρτηση ως γινόμενο δυο κλασμάτων, δηλαδή f x = 1 x 2 x+1 (x 3). 46

47 Άσκηση 4 (3) Δεύτερο βήμα: Το όριο του πρώτου κλάσματος είναι lim x 0 1 x 2 = +. Τρίτο βήμα: το όριο του δεύτερου x+1 κλάσματος είναι lim = 1 = c < 0. Η άσκηση x 0 (x 3) 3 εντάσσεται στην περίπτωση IV του πίνακα 11.4 και επομένως lim x 1 1 x 2 x + 1 (x 3) = 47

48 Άσκηση 5 (1) 48

49 Άσκηση 5 (2) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α =, 1 1, +, καθώς ο παρονομαστής της f x = x+1 x 1 θα πρέπει να είναι διάφορος του μηδενός, δηλαδή x 1 0 x 1. Για τη λύση της άσκησης μετατρέπουμε τη συνάρτηση σε πολλαπλού τύπου, καθώς αριστερά του 1 η παράσταση του παρονομαστή είναι μικρότερη του μηδενός, ενώ δεξιά του 1 είναι μεγαλύτερη του μηδενός. Συνεπώς, x + 1 αν x > 1 f x = x 1 x + 1 x + 1 αν x < 1 49

50 Άσκηση 5 (3) Υπολογίζουμε, λοιπόν, τα πλευρικά όρια της συνάρτησης x+1 x+1 lim = + και lim = + και βλέπουμε ότι το x 1 + x 1 x 1 x+1 όριο της συνάρτησης f στην περιοχή του 1 υπάρχει (αφού x+1 = + = lim = + ). x 1 x+1 x+1 lim x 1 + x 1 50

51 Συνέχεια συνάρτησης Η συνέχεια αναφέρεται στις περιπτώσεις των συναρτήσεων που γραφικά η γραμμή που αναπαριστά τη συνάρτηση δεν διακόπτεται (αν και αυτό δεν είναι απόλυτα σωστό). Γενικά, μια συνάρτηση f είναι συνεχής εάν οι όποιες μικρές μεταβολές στην τιμή της μεταβλητής x έχουν ως αποτέλεσμα μικρές μεταβολές στην τιμή της συνάρτησης f. Επειδή όμως ο ορισμός αυτός είναι σχετικά αόριστος, θα περιοριστούμε ορίζοντας τη συνέχεια σε ένα συγκεκριμένο σημείο. 51

52 Συνεχείς συναρτήσεις (1) 52

53 Συνεχείς συναρτήσεις (2) 53

54 Ασυνεχείς συναρτήσεις (1) 54

55 Ασυνεχείς συναρτήσεις (2) 55

56 Θεώρημα 1 (1) Αν f: A R είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α υποσύνολο του R A R και το x 0 ανήκει στο πεδίο ορισμού της, τότε η f ονομάζεται συνεχής στο x 0 αν Υπάρχει το f(x 0 ), δηλαδή το x 0 ανήκει στο πεδίο ορισμού της f. Το όριο lim x x0 f x = L υπάρχει. Ισχύει f(x 0 ) = L, δηλαδή η περίπτωση 1 να είναι ίση με την 2. Οι παραπάνω συνθήκες μπορούν να ενσωματωθούν στην πρόταση: lim x x 0 f x = f(x 0 ) 56

57 Θεώρημα 1 (2) Αν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι της μορφής Α = [a, b], τότε η f είναι συνεχής στο α αν και μόνο αν lim x α +f x = a και συνεχής στο b αν και μόνο αν lim x b f x = b. Αν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι της μορφής Α = (α, c] (c, β), τότε η f είναι συνεχής στο c αν και μόνο αν lim f x = lim x c + x c f x = f(c) 57

58 Παράδειγμα 5 (1) Να αποφανθείτε για τη συνέχεια της συνάρτησης f x = x2 1 όταν x x 1 0 = 1. 58

59 Παράδειγμα 5 (2) Λύση: Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α = (, 1) (1, + ), καθώς ο παρονομαστής θα πρέπει να είναι διάφορος του μηδενός, δηλαδή θα πρέπει x 1. Συνεπώς, η συνάρτηση f δεν μπορεί να είναι συνεχής στο x 0 = 1 διότι δεν ορίζεται στο σημείο αυτό και επομένως δεν ισχύει η 1 η περίπτωση του παραπάνω ορισμού της συνέχειας. Σημειώνουμε ότι σημεία στα οποία η συνάρτηση δεν είναι συνεχής ονομάζονται σημεία ασυνέχειας. 59

60 Παράδειγμα 6 (1) Να αποφανθείτε για τη συνέχεια της συνάρτησης f x 7 = x 1 αν x 1 όταν x 0 = 1 5 αν x = 1 60

61 Παράδειγμα 6 (2) Λύση: Το πεδίο ορισμού της f είναι A = R. Η 1 η συνθήκη του ορισμού ικανοποιείται, καθώς υπάρχει το f(1) = 5. Η 2 η, όμως, συνθήκη, δεν ισχύει, διότι το όριο lim 7 δεν x 1 x 1 υπάρχει. Συγκεκριμένα, σύμφωνα με τις περιπτώσεις III και IV του πίνακα 11.5 (βλέπε απόσπασμα παρακάτω) έχουμε: 7 lim x 1 + x 1 = + lim x 1 7 x 1 = 61

62 Παράδειγμα 6 (3) Πέραν του γεγονότος της διαφορετικότητας των πλευρικών ορίων, η όποια σύγκλιση γίνεται στο άπειρο. 62

63 Παράδειγμα 7 (1) Να αποφανθείτε για τη συνέχεια της συνάρτησης x 2 1 f x = αν x 1 x 1 όταν x 0 = 1 3 αν x = 1 63

64 Παράδειγμα 7 (2) Λύση: Το πεδίο ορισμού της f είναι A = R. Η 1 η συνθήκη του ορισμού ικανοποιείται, καθώς υπάρχει το f(1) = 3. Η 2 η συνθήκη επίσης ικανοποιείται διότι υπάρχει το όριο: lim x 1 x 2 1 x 1 = lim x 1 (x 1)(x + 1) x 1 = lim x 1 x + 1 = 2 H 3 η όμως, συνθήκη δεν ικανοποιείται διότι x 2 1 f 1 = 3 lim x 1 x 1 = 2 Συνεπώς, η f δεν είναι συνεχής για x 0 = 1. 64

65 Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών (1) Έστω f μια συνάρτηση συνεχής στο κλειστό διάστημα [a, b] και υποθέτουμε ότι c είναι ένας πραγματικός αριθμός μεταξύ f(a) και f(b), τότε υπάρχει d στο διάστημα (a, b) τέτοιο ώστε f d = c. 65

66 Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών (2) 66

67 Θεώρημα Bolzano Έστω f μια συνάρτηση συνεχής στο κλειστό διάστημα [a, b] και το γινόμενο f a f b < 0, τότε υπάρχει c στο διάστημα (a, b) τέτοιο ώστε f(c) = 0. Με άλλα λόγια, η συνάρτηση f έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα (a, b). 67

68 Παράδειγμα 8 (1) Να αποφανθείτε για τη συνέχεια της συνάρτησης f(x) = x 3 68

69 Παράδειγμα 8 (2) Λύση: Η συνάρτηση βρίσκεται σε απόλυτη τιμή και διαφοροποιείται ανάλογα με τις τιμές που λαμβάνει η μεταβλητή x. Συγκεκριμένα, x 3 αν x > 3 f x = x 3 αν x < 3 0 αν x = 3 H f(x) ως πολυωνυμική είναι συνεχής στις περιπτώσεις x 3 και (x 3). Μένει, λοιπόν, να διερευνηθεί η περίπτωση του x = 3. Για να διαπιστώσουμε την ύπαρξη ορίου για x = 3 θα υπολογίσουμε τα αντίστοιχα πλευρικά όρια του εν λόγω σημείου: 69

70 Παράδειγμα 8 (3) lim x 3 +f x lim x 3 f x = lim x 3 = 0 x 3 + = lim x 3 = 0 x 3 Συνεπώς, το όριο για x = 3 υπάρχει, αφού τα πλευρικά όρια είναι ίσα lim f x = lim x 3 + x 3 f x = 0. Επίσης, η συνάρτηση είναι συνεχής, αφού limf x = f x 0 = 0. x 3 Συμπεραίνουμε επομένως, ότι η συνάρτηση μπορεί να χαρακτηριστεί συνεχής σε όλο το R. 70

71 Παράδειγμα 9 (1) Να αποφανθείτε για τη συνέχεια της συνάρτησης f(x) = x2 4 x

72 Παράδειγμα 9 (2) Λύση: Για να έχει νόημα η συνάρτηση θα πρέπει ο παρονομαστής να είναι διάφορος του μηδενός. Συγκεκριμένα, f(x) = x2 4 x 2 4 = x 2 4 x 2 (x + 2) που σημαίνει ότι η f δεν ορίζεται για x = 2 ή x = 2. Επιπλέον, ο παρονομαστής βρίσκεται σε απόλυτη τιμή και συνεπώς η συνάρτηση f διαφοροποιείται ανάλογα με τις τιμές που λαμβάνει η μεταβλητή x. Ο παρονομαστής x 2 4 έχει δυο ρίζες x 2 4 = 0 x 2 = 2 2 x = ±2 και λαμβάνει θετικές τιμές όταν x < 2 και x > 2, ενώ αντίστοιχα λαμβάνει αρνητικές τιμές για 2 < x < 2 72

73 Παράδειγμα 9 (3) 73

74 Παράδειγμα 9 (4) x 2 4 x 2 4 αν x > 2 Ψ x < 2 x = x2 4 x 2 αν 2 < x < 2 4 δεν ορωζεται αν x = ±2 1 αν x > 2 Ψ x < 2 f x = 1 αν 2 < x < 2 δεν ορωζεται αν x = ±2 Η συνάρτηση f είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της R { 2, 2}, όπως φαίνεται και στο Σχήμα Όμως στα σημεία 2 και 2, η f δεν μπορεί να χαρακτηριστεί συνεχής καθώς δεν ορίζεται σε αυτά τα σημεία. 74

75 Παράδειγμα 9 (5) 75

76 Παράδειγμα 10 (1) Να δείξετε ότι η παρακάτω εξίσωση έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα. x 2 + 4x 1 = 0 76

77 Παράδειγμα 10 (2) Λύση: Η μεθοδολογία που θα ακολουθήσουμε για να λύσουμε την άσκηση βασίζεται στο θεώρημα Bolzano. Γνωρίζουμε ότι μια συνάρτηση f, συνεχής στο κλειστό διάστημα [a, b], με γινόμενο f(a) f(b) < 0, έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο κλειστό διάστημα. Συνεπώς, στόχος για την εύρεση ρίζας είναι η επιλογή ενός τέτοιου διαστήματος [a, b] που θα δώσει αρνητικό γινόμενο f(a) f(b). Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση f(x) = x 2 + 4x 1. Eύκολα διαπιστώνουμε ότι 77

78 Παράδειγμα 10 (3) αν επιλέξουμε ως αριστερό άκρο του διαστήματος το μηδέν η f θα ισούται με f(0) = = 1 < 0, αν επιλέξουμε ως δεξιό άκρο το 1 η f θα ισούται με f(1) = = 4, Το γινόμενο f(0) f(1) = 1 4 = 4. Επιπλέον, η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [0, 1] ως πολυωνυμική. Σύμφωνα, λοιπόν, με το θεώρημα Bolzano η παραπάνω εξίσωση έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα στο διάστημα (0,1). Πράγματι, η εξίσωση x 2 + 4x 1 με διακρίνουσα Δ = ( 1) = 20, έχει ρίζες 78

79 Παράδειγμα 10 (4) x 1,2 = β ± β2 4aγ 4 ± 20 x 2a 1,2 = x 1 = x 2 = ,47 x 1 = 2 4 0,447 x 2 = 2 x 1 = 0,235 x 2 = 2,236 παρατηρούμε ότι η ρίζα x 1 = 0,235 όντως βρίσκεται στο διάστημα (0, 1). 79

80 Παράδειγμα 11 (1) Να δείξετε ότι η παρακάτω εξίσωση έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα. x 6 + 7x 3 3x 10 = 0 80

81 Παράδειγμα 11 (2) Λύση: Η μεθοδολογία που θα ακολουθήσουμε για να λύσουμε την άσκηση βασίζεται στο θεώρημα Bolzano. Έστω η συνάρτηση f(x) = x 6 + 7x 3 3x 10 τότε εύκολα διαπιστώνουμε ότι αν επιλέξουμε ως αριστερό άκρο του διαστήματος το μηδέν η f θα ισούται με f(0) = = 10, αν επιλέξουμε ως δεξιό άκρο το 2 η f θα ισούται με f(2) = = = 104, 81

82 Παράδειγμα 11 (3) Tο γινόμενο f(0) f(2) = < 0. Επιπλέον, η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [0, 2] ως πολυωνυμική. Συνεπώς, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, η παραπάνω εξίσωση έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα στο διάστημα (0,2). 82

83 Όριο στο διηνεκές (1) Ενδεικτικές τιμές της συνάρτησης f x = 1 x, (x > 0) 83

84 Όριο στο διηνεκές (2) Καθώς το x αυξάνει (για x > 0) η f(x) τείνει στο +. 84

85 Όριο στο διηνεκές (3) 85

86 Όριο στο διηνεκές (4) 86

87 Όριο στο διηνεκές (5) 87

88 Όριο στο διηνεκές (6) 88

89 Τα σημαντικότερα όρια στο διηνεκές (1) Το όριο πολυωνυμικής συνάρτησης f x = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 όταν το x τείνει στο άπειρο έχει ως αποτέλεσμα το + ή ανάλογα με το πρόσημο του μεγαλύτερου σε βαθμό όρου. Συγκεκριμένα, lim f x = lim a nx n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = x + x + lim a nx n με συνθήκη a n 0 και n N. Το όριο x + lim a nx n διαφοροποιείται ανάλογα με την τιμή του α: x + 89

90 Τα σημαντικότερα όρια στο διηνεκές (2) για α > 0 lim x + a nx n = +, π.χ. lim x + 3x5 = +. για α < 0 lim x + a nx n = π.χ. lim x + 5x4 =. 90

91 Τα σημαντικότερα όρια στο διηνεκές (3) lim f x = lim a nx n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = lim a nx n με x x + x συνθήκη a n 0 και n N. Το όριο lim a nx n διαφοροποιείται, όπως x + και παραπάνω, ανάλογα με την τιμή του α: για α > 0 και n άρτιος lim x a nx n = +, π.χ. lim x 7x4 = +. για α > 0 και n περιττός lim x a nx n =, π.χ. lim x 3x3 =. για α < 0 και n άρτιος lim x a nx n =, π.χ. lim x 5x2 =. για α < 0 και n περιττός lim x a nx n = +, π.χ. lim x 7x9 = +. 91

92 Τα σημαντικότερα όρια στο Το όριο ρητής συνάρτησης f x διηνεκές (4) = P(x) Q(x) = a nx n + a n 1 x n a 1 x + a 0 b k x k + b k 1 x k b 1 x + a 0 μπορεί να βρεθεί με τη χρήση ενός πρακτικού κανόνα παρόμοιου με αυτόν του πολυωνύμου. Συγκεκριμένα, P(x) lim x ± Q(x) = lim a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 x ± b k x k + b k 1 x k b 1 x + a 0 a n x n = lim x ± b k x k με συνθήκη Q(x) 0 και n, k N. Με άλλα λόγια, το όριο της ρητής συνάρτησης καθορίζεται από τους μεγιστοβάθμιους όρους του αριθμητή και παρονομαστή. 92

93 Τα σημαντικότερα όρια στο διηνεκές (5) lim x + 3x 4 x 3 3x 5 2x 3 + 7x = = lim x + x 4 (3 1 x 3 x 3 5 x 3 x x 2 = = lim x + κοινός παραγοντας το x 4 και το x 3 x 3 1 x 3 x 3 5 x x 2 = = lim x x + lim x x 3 x 3 5 x x 2 = = + 93

94 Τα σημαντικότερα όρια στο διηνεκές (6) Εφαρμόζοντας τώρα τον κανόνα που προηγουμένως αναφέραμε μπορούμε να πάρουμε το όριο ως εξής: 3x 4 x 3 3x 5 lim x + 2x 3 = + 7x 3x 4 = lim x + 2x 3 = lim 3 x + 2 x = + 94

95 Παράδειγμα 12 (1) lim x 5x 7 4x 5 + 3x x 2 9x 3 95

96 Παράδειγμα 12 (2) lim x 5x 7 4x 5 + 3x x 2 9x 3 = 5x 7 = lim x 2x 2 = lim 5 x 2 x5 96

97 Παράδειγμα 13 (1) lim x 2x 4 + 3x 3 + x 5 3x 2 + 2x

98 Παράδειγμα 13 (2) lim x 2x 4 + 3x 3 + x 5 3x 2 + 2x + 1 = + 2x 4 = lim x 3x 2 = lim 2 x 3 x2 98

99 Όριο εκθετικής συνάρτησης Για 0 < α < 1, τότε: lim x + αx = 0 lim x αx = + Για α > 1, τότε: lim x + αx = +, π.χ. για τον αριθμό e έχουμε lim x + ex = + Υπενθυμίζεται ότι το e είναι η βάση των Νεπερίων λογαρίθμων ή αλλιώς ο αριθμός Όιλερ ίσος περίπου με 2,

100 Άσκηση 6 (1) Να βρεθεί το όριο lim ( x 16x2 x + 2x) 100

101 Άσκηση 6 (2) Λύση: Για να έχει νόημα η συνάρτηση το υπόριζο πρέπει να είναι θετικό, συνεπώς 16x 2 x 0 x 16x 1 0, που σημαίνει x 0 και x 1. Επομένως, το πεδίο 16 ορισμού της συνάρτησης είναι 1 Α = (, 0) (0, 16 ) ( 1 16, + ). 101

102 Άσκηση 6 (3) 1 ος Τρόπος lim x 16x 2 x + 2x = = lim x x x + 2x = = lim x x 16 1 x + 2x = = lim x ( x) 16 1 x + 2x επειδή x<0, x = x 102

103 Άσκηση 6 (4) lim x 16 1 x x 2 κοινός παρφγοντας το x = lim x x 16 1 x 2 = = + 2 = + 103

104 2 ος Τρόπος lim x = lim x lim x = lim x Άσκηση 6 (5) 16x 2 x + 2x = ΠολλαπλασιΦζουμε και διαιρούμε με τη συζυγψ παρφσταση 16x 2 x + 2x 16x 2 x 2x 16x 2 x 2x 16x 2 x 2 2x 2 x = x + 2x ( x ) 2 =x, ενώ x 2 = x 16χ 2 x 4x 2 x 16 1 = x + 2x 104

105 Άσκηση 6 (6) = lim x = lim x επειδή x<0, x = x 12x 2 x x 16 1 = x + 2x x 2 (12 1 x ) x 16 1 = x + 2 = lim x2 x x lim x = lim x x (12 0) ( x 16 1 x + 2 = = + 2 = + 105

106 Θεώρημα του Rolle (1) Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή στο κλειστό διάστημα [a, b] και παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα (a, b). Εάν f(a) = f(b), τότε υπάρχει c στο διάστημα (a, b) τέτοιο ώστε f c = 0. H παράγωγος αποτελεί εφαπτομένη της συνάρτησης f, δηλαδή δείχνει την κλίση της συνάρτησης, η οποία όταν πάρει την τιμή μηδέν σε συγκεκριμένο σημείο παριστάνεται με παράλληλη ευθεία προς τον άξονα x 106

107 Θεώρημα του Rolle (2) 107

108 Θεώρημα μέσης τιμής (1) Εάν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [a, b] και παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα (a, b), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο x = c στο διάστημα (a, b) για το οποίο να ισχύει: f c = f b f(a) b a Η f c είναι η κλίση της εφαπτομένης στο σημείο c, ενώ η f b f(a) b a είναι η κλίση (εφαπτομένη) της χορδής που ενώνει τα σημεία (a, f(a)) και (b, f(b)) Χορδή είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία μιας καμπύλης. Η κλίση της χορδής παριστάνει τον μέσο ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης f στο διάστημα ab. 108

109 Θεώρημα μέσης τιμής (2) 109

110 Θεώρημα μέσης τιμής (3) Υποθέτοντας ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα Δ και με βάση το Θεώρημα Μέσης Τιμής, προκύπτουν τα ακόλουθα πορίσματα: f x = 0 σε κάθε σημείο στο διάστημα Δ, εάν και μόνο αν η συνάρτηση f είναι σταθερή στο Δ. Εάν f x = g x για κάθε x (σημείο) στο διάστημα Δ, τότε η συναρτήσεις f και g διαφέρουν το πολύ κατά μια σταθερά c, δηλαδή f x = g x + c, c R, για κάθε x Δ. Εάν f x > 0 για κάθε x (σημείο) στο διάστημα Δ, τότε η f είναι αύξουσα στο διάστημα Δ. Εάν f x < 0 για κάθε x (σημείο) στο διάστημα Δ, τότε η f είναι φθίνουσα στο διάστημα Δ. 110

111 Παράδειγμα 14 (1) Να βρεθεί η τιμή x = c στη συνάρτηση f x = x 3 + 2x 1 που να ικανοποιεί το Θεώρημα Μέσης Τιμής στο διάστημα [ 2, 2]. 111

112 Παράδειγμα 14 (2) Λύση: Η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής και παραγωγίσιμη, ως πολυωνυμική, στο R. Για τη διερεύνηση του Θεωρήματος Μέσης Τιμής είναι απαραίτητο να εξετάσουμε την τιμή της f(x) στα σημεία 2 και 2: f 2 = = = 3 f 2 = = = 5 Συνεπώς, η μεταβολή f b f a b a 112

113 Παράδειγμα 14 (3) θα είναι ίση με: f b f(a) = 5 3 b a 2 ( 2) = 8 4 = 2 H παράγωγος της συνάρτησης είναι: f x = ( x 3 + 2x 1) = 3x Σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής θα πρέπει να βρεθεί c τέτοιο ώστε να ισχύει: 113

114 Παράδειγμα 14 (4) f c = f b f(a) b a = 4 3 f x = 3x c = 2 3c 2 = 4 c 2 H εξωσωση x 2 =2 Χχει δυο ρωζες x= α και x= α c 1 = 4 3 c 2 = 4 3 c 1 = 2 c 2 =

115 Παράδειγμα 14 (5) 115

116 Μονοτονία συνάρτησης (1) Ορισμός 1: Μια συνάρτηση f ορίζεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της εάν για κάθε x 1, x 2 του εν λόγω διαστήματος ισχύει: x 1 < x 2 τότε f x 1 < f x 2 Το γράφημα της παραπάνω συνάρτησης είναι γραμμή ανερχόμενη από τα αριστερά προς τα δεξιά. 116

117 Μονοτονία συνάρτησης (2) 117

118 Μονοτονία συνάρτησης (3) Ορισμός 2: Μια συνάρτηση f ορίζεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της εάν για κάθε x 1, x 2 του εν λόγω διαστήματος ισχύει: x 1 < x 2 τότε f x 1 > f x 2 Το γράφημα της παραπάνω συνάρτησης είναι γραμμή κατερχόμενη από τα αριστερά προς τα δεξιά. 118

119 Μονοτονία συνάρτησης (4) 119

120 Μονοτονία συνάρτησης (5) Ορισμός 3: Μια συνάρτηση f ορίζεται αύξουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της εάν για κάθε x 1, x 2 του εν λόγω διαστήματος ισχύει: x 1 < x 2 τότε f x 1 f x 2 Ορισμός 4: Μια συνάρτηση f ορίζεται φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της εάν για κάθε x 1, x 2 του εν λόγω διαστήματος ισχύει: x 1 < x 2 τότε f x 1 f x 2 120

121 Μονοτονία συνάρτησης (6) Ορισμός 5: Μια συνάρτηση f ορίζεται σταθερή σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της εάν για κάθε x 1, x 2 του εν λόγω διαστήματος ισχύει: x 1 < x 2 τότε f x 1 = f x 2 Ορισμός 6: Μια συνάρτηση f ορίζεται γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της όταν είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα, αντίστοιχα ονομάζεται μονότονη όταν είναι αύξουσα ή φθίνουσα. 121

122 Θεώρημα 2 (1) Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα A = [a, b] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (a, b), τότε αν f x > 0 για κάθε σημείο του διαστήματος (a, b), η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο εν λόγω διάστημα. αν f x 0 για κάθε σημείο του διαστήματος (a, b), η συνάρτηση είναι αύξουσα στο εν λόγω διάστημα. αν f x < 0 για κάθε σημείο του διαστήματος (a, b), η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο εν λόγω διάστημα. 122

123 Θεώρημα 2 (2) αν f x 0 για κάθε σημείο του διαστήματος (a, b), η συνάρτηση είναι φθίνουσα στο εν λόγω διάστημα. αν f x = 0 για κάθε σημείο του διαστήματος (a, b), η συνάρτηση είναι σταθερή στο εν λόγω διάστημα. Σημειώνεται ότι το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει. Για παράδειγμα, αν διαπιστώσουμε μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση f αυτό δεν σημαίνει ότι η παράγωγος συνάρτηση θα είναι υποχρεωτικά μεγαλύτερη του μηδενός, δηλαδή f x >

124 Παράδειγμα 15 (1) Να εξεταστεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f x = x 2 + 2x 124

125 Παράδειγμα 15 (2) Λύση: Η συνάρτηση f, ως πολυωνυμική, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R. Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης f είναι: f x = x 2 + 2x = 2x + 2 f x = 0 2x + 2 = 0 2x = 2 2x 2 = 2 2 x = 1 125

126 Παράδειγμα 15 (3) x 1 + f + f Στον πίνακα προσήμων ξεκινάμε με το πρόσημο + διότι το πρόσημο του x στην εξίσωση 2x + 2 = 0 είναι αρνητικό και επομένως το αποτέλεσμα για τιμές μικρότερες του 1 θα είναι θετικό, ενώ για τιμές μεγαλύτερες του 1 θα είναι αντίστοιχα αρνητικό. Π.χ. για x = 1 η εξίσωση f x θα δώσει αποτέλεσμα = 4 > 0, ενώ για x = 2 θα δώσει = 6 >

127 Παράδειγμα 15 (4) Η συνάρτηση f x θα παίρνει ολοένα και μεγαλύτερες θετικές τιμές για όσο μικρότερες από το 1 τιμές παίρνει το x, γεγονός που άλλωστε είναι εύκολα αντιληπτό και από τη σχετική γραφική παράσταση του f x = 2x

128 Παράδειγμα 15 (5) x 1 + f + f η μονοτονία της συνάρτησης είναι: γνησίως αύξουσα από (, 1), καθώς η καμπύλη της συνάρτησης είναι ανερχόμενη από τα αριστερά προς τα δεξιά, και γνησίως φθίνουσα από (1, + ), καθώς η καμπύλη της συνάρτησης είναι κατερχόμενη από τα αριστερά προς τα δεξιά. 128

129 Παράδειγμα 15 (6) 129

130 Παράδειγμα 16 (1) Να εξεταστεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f x = 4 x 2 130

131 Παράδειγμα 16 (2) Λύση: Επειδή το υπόριζο θα πρέπει να είναι θετικό: 4 x x (2 + x) 0, οι ρίζες της εξίσωσης 2 x 2 + x = 0 είναι x x 2 + x = 2 x = 2 Στον πίνακα ξεκινάμε με το πρόσημο του μεγιστοβάθμιου όρου. 131

132 Παράδειγμα 16 (3) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο Α. Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης f είναι: f x = 4 x 2 = = f x = 0 Σύνθετη συναρτηση u = 1 2 u u = x 2 4 x x 2x = x 2 4 x 2 αρκει ο αριθμητης να ειναι μηδεν x 4 x 2 = 0 σημειώνεται ότι η x ειναι συνεχης στο ανοικτό διαστημα 2, 2 συνεπώς στο διαστημα αυτό δεν υπαρχει απροσδιοριστια. x = 0 132

133 Παράδειγμα 16 (4) x f + f Η μονοτονία της συνάρτησης είναι: γνησίως αύξουσα από ( 2, 0), καθώς η καμπύλη της συνάρτησης είναι ανερχόμενη από τα αριστερά προς τα δεξιά, και γνησίως φθίνουσα από (0, 2), καθώς η καμπύλη της συνάρτησης είναι κατερχόμενη από τα αριστερά προς τα δεξιά. 133

134 Παράδειγμα 16 (5) 134

135 Παράδειγμα 17 (1) Να εξεταστεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f x = e x 135

136 Παράδειγμα 17 (2) Λύση: To πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το όλο το R. Η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R. Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης είναι: f x = (e x ) = e x > 0 H παράγωγος συνάρτηση f x είναι γνησίως αύξουσα, καθώς η συνάρτηση f x = e x είναι μεγαλύτερη του μηδενός για κάθε x R. Στο Σχήμα διαπιστώνεται εύκολα η μονοτονία της συνάρτησης, καθώς η καμπύλη της είναι ανερχόμενη από τα αριστερά προς τα δεξιά. 136

137 Παράδειγμα 17 (3) Η συνάρτηση f x = f x = e x 137

138 Βιβλιογραφία Κοντέος, Γ. & Σαριαννίδης, Ν. (2012). Μαθηματικά. ISBN

Μαθηματικά. Ενότητα 7: Μη Πεπερασμένα Όρια. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 7: Μη Πεπερασμένα Όρια. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 7: Μη Πεπερασμένα Όρια Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Ενότητα 11: Θεώρημα Μέσης Τιμής Μονοτονία Συνάρτησης

Μαθηματικά Ενότητα 11: Θεώρημα Μέσης Τιμής Μονοτονία Συνάρτησης Μαθηματικά Ενότητα 11: Θεώρημα Μέσης Τιμής Μονοτονία Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 9: Όριο Συνάρτησης στο Διηνεκές. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 9: Όριο Συνάρτησης στο Διηνεκές. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 9: Όριο Συνάρτησης στο Διηνεκές Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 12: Ακρότατα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 12: Ακρότατα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 12: Ακρότατα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 13: Κυρτότητα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 13: Κυρτότητα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 13: Κυρτότητα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #16: Βασικά Θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 5: Συνέχεια συναρτήσεων και όρια στο άπειρο

Διάλεξη 5: Συνέχεια συναρτήσεων και όρια στο άπειρο Διάλεξη 5: Συνέχεια συναρτήσεων και όρια στο άπειρο Ακριβής ορισμός του πλευρικού ορίου Έστω ότι το πεδίο ορισμού της f x περιέχει ένα διάστημα d, c στα αριστερά του c. Η f x έχει αριστερό όριο L στο c

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.5.1: Μελέτη Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.5.1: Μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #7: Μονοτονία- Ακρότατα-Αντιγραφή Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 5: Όρια και Συνέχεια Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

x είναι f 1 f 0 f κ λ

x είναι f 1 f 0 f κ λ 3 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ [Κεφάλαια, Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ Α.Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 4.. Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 88, 89. 3. α) ΣΩΣΤΟ, διότι αν η f παραγωγίσιμη στο χ

Διαβάστε περισσότερα

Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης

Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης Αγνοώ το πώς με βλέπει ο κόσμος αλλά στον εαυτό μου, φαίνομαι σαν να μην ήμουν τίποτα άλλο από ένα αγοράκι που παίζει στην ακρογιαλιά και κατά καιρούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος. Πως ορίζεται η έννοια. Το όριο. To f() f() ; f() εφόσον υπάρχει είναι μονοσήμαντα ορισμένο; εξαρτιέται από τα άκρα α, β των ( α, ) και (, β ) ;. Πως ορίζονται τα πλευρικά

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 8: Πρόσκαιρες Ράντες Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Οι απαντήσεις βρίσκονται μετά τις εκφωνήσεις Εξετάστε αν είναι αληθείς ή ψευδείς οι παρακάτω προτάσεις και αιτιολογήστε.

Διαβάστε περισσότερα

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1 I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; (5 ΕΣΠ Β ) Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 8: Ράντες Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 4 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Παράγωγος Συνάρτησης 4.1 Έννοια Παραγώγου Ορισμός f(x) f(x 0 ) Μια συνάρτηση f ονομάζεται παραγωγίσιμη στο x 0 Df αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα # 2: Συναρτήσεις Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση x 0

Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση x 0 5 Όριο συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση (δηλαδή όταν το βρίσκεται πολύ κοντά στο ) ή στο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να

Διαβάστε περισσότερα

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ] ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης (αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Κεφάλαιο 5 Καταρχήν, όταν ορίζουμε την παράγωγο μιας συνάρτησης δεν την ορίζουμε έτσι γενικά, αλλά σε κάποιο συγκεκριμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1. Έστω η συνάρτηση f ( x,,1. Nα αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο. v v 1 και ισχύει : x vx A2. Να διατυπώσετε και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημα Bolzano.

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

( ) f( x ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. (ενδεικτικές λύσεις)

( ) f( x ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. (ενδεικτικές λύσεις) Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ ΤΗΛ : 777 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ ΤΗΛ : 99 9494 www.sygrono.gr Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ενδεικτικές

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Θεωρία Συνόλων, Συναρτήσεις Πραγματικής Μεταβλητής, Όριο και Συνέχεια Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής

Διαβάστε περισσότερα

2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ

2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΑΠΟ 3//7 ΕΩΣ 5//8 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν μία συνάρτηση f είναι

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.4: Βασικά Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». * Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β], παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) και f (α) = f (β), τότε υπάρχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ, 9 Πότε μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ; Απάντηση : Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τοπική μονοτονία Αν μια συνεχής συνάρτηση έχει γνήσια θετική αρνητική παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 7: Εφαρμογές παραγώγων Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

f(x) f(c) x 1 c x 2 c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια του ορίου στο x ο Υπάρχουν συναρτήσεις οι τιμές των οποίων πλησιάζουν ένα πραγματικό αριθμό L, όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες συνάρτησης Μονοτονία Συνάρτησης Ορισμοί Α) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα υποσύνολο Β του Πεδίου Ορισμού της όταν : για κάθε, B με < f( ) < f( ). Β) Μια

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Σκοπός: Σκοπός του κεφαλαίου είναι αρχικά η υπενθύμιση βασικών εννοιών που αφορούν τον ορισμό, τις πράξεις και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αφ ενός και η μελέτη της

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις-Απαντήσεις Θεωρίας

Ερωτήσεις-Απαντήσεις Θεωρίας 1 ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΡΟΣ Β 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 5: Ισοδυναμία Πιστωτικών Τίτλων Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 6: Παράγωγοι Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα