(s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). s n (f) g = (f D n ) g = f (D n g) = f (g D n ) = f s n (g). K n (x)g δ (x) dx. K n (x) dx.
|
|
- Ακακαλλις Αργυριάδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωμα Lebesgue (11 1) 3ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω f, g : T C ολοκληρώσιμες συναρτήσεις. Δείξτε ότι, για κάθε n N, (s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). Υπόδειξη. Θυμηθείτε ότι s n (f) = (f D n ) και ότι η πράξη της συνέλιξης είναι προσεταιριστική και αντιμεταθετική: s n (f) g = (f D n ) g = f (D n g) = f (g D n ) = f s n (g). Ομοια δείχνουμε και την άλλη ισότητα.. Εστω {K n } n=1 μια ακολουθία καλών πυρήνων. Δείξτε ότι: για κάθε p > 1, ( 1 π 1/p lim K n p = lim K n (x) dx) p = +. n n Υπόδειξη. Εστω p > 1 και q ο συζυγής εκθέτης του, δηλαδή 1/p + 1/q = 1. Για κάθε < δ < π θεωρούμε τη συνάρτηση g δ = χ [ δ,δ]. Από την ανισότητα Hölder παίρνουμε (δ/π) 1/q K n p = ( 1 π 1/q g δ () d) q K n p 1 Από την άλλη πλευρά, από τις ιδιότητες των καλών πυρήνων παίρνουμε 1 π K n (x)g δ (x) dx = 1 1 K n (x) dx. δ< x π K n (x)g δ (x) dx. Εστω M >. Υπάρχει δ (, π) ώστε (π/δ) 1/q > M. Επιπλέον, υπάρχει n N ώστε αν n n τότε 1 δ< x π K n(x) dx < 1/ (εξηγήστε γιατί). Συνδυάζοντας όλα τα παραπάνω βλέπουμε ότι αν n n τότε ( 1 π 1/p K n p = K n (x) dx) p > M, το οποίο δείχνει ότι K n p + καθώς n. 3. Εστω f : T C ολοκληρώσιμη συνάρτηση και έστω x T. Υποθέτουμε ότι υπάρχει M > ώστε f(x ) f(x ) M για κάθε [, π]. Δείξτε ότι s n (f)(x ) f(x ). Υπόδειξη. Γνωρίζουμε ότι s n (f)(x ) = (f D n )(x ) όπου D n () = sin(n+1/) sin(/) ο πυρήνας Dirichle. Επιπλέον, από τη σχέση 1 π D n() d = 1 μπορούμε να γράψουμε: s n (f)(x ) f(x ) = 1 [f(x ) f(x )]D n () d. Θεωρούμε τη συνάρτηση F : [, π] R με { f(x ) f(x ) F () =, < π, = (Στην πραγματικότητα μπορούμε να ορίσουμε την F όπως θέλουμε στο ). Παρατηρήστε ότι για κάθε δ > (οσοδήποτε μικρό) η F είναι Riemann ολοκληρώσιμη στο [, δ] [δ, π]. Επιπλέον, από την Lipschiz συνθήκη της f στο x έπεται ότι η F είναι φραγμένη στο [, π] άρα και στην περιοχή
2 του επομένως, από το κριτήριο του Riemann έπεται ότι η F είναι ολοκληρώσιμη. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε s n (f)(x ) f(x ) = 1 = 1 = 1 F ()D n () d sin(n + 1/) F () d sin(/) F () sin(/) cos(/) sin n d + 1 F () cos n d, γράφοντας sin(n + 1/) = sin n cos(/) + cos n sin(/). Επειδή, η g() = sin(/) cos(/) είναι ολοκληρώσιμη στο [, π] το ζητούμενο έπεται από το λήμμα Riemann Lebesgue (εξηγήστε γιατί). 4. (α) Εστω f : T C ολοκληρώσιμη συνάρτηση και έστω. Δείξτε ότι και συμπεράνατε ότι f() = 1 f(x + π/)e ix dx, f() = 1 [f(x) f(x + π/)]e ix dx. 4π (β) Υποθέτουμε ότι η f ικανοποιεί την συνθήκη Hölder f(x + h) f(x) C h α για κάποιον < α 1, κάποια σταθερά C > και για κάθε x, h. Χρησιμοποιώντας το (α) δείξτε ότι υπάρχει M > ώστε α f() M για κάθε Z. Υπόδειξη. (α) Παρατηρούμε ότι, με την αντικατάσταση y = x + π, Άρα, f ( x + π ) e ix dx = = + π + π f(y)e i(y π ) dy = + π f(y)e iy dy = f(). f() = 1 f(x + π/)e ix dx, + π f(y)e iy e iπ dy απ όπου έπεται ότι f() = f() + f() = 1 f(x)e ix dx 1 f(x + π/)e ix dx 4π 4π = 1 [f(x) f(x + π/)]e ix dx. 4π (β) Εστω Z \ {}. Χρησιμοποιώντας το (α) και την συνθήκη Hölder γράφουμε f() 1 4π = Cπα α = M α, f(x) f(x + π/) dx 1 4π όπου M = Cπ α /. Επεται ότι α f() M για κάθε Z. C π α dx 5. Εστω {ε } ακολουθία θετικών αριθμών με ε. Δείξτε ότι υπάρχει συνεχής συνάρτηση f : T C με την ιδιότητα: για άπειρες τιμές του Z, f() ε.
3 Υπόδειξη. Αφού ε, μπορούμε να βρούμε υπακολουθία (ε s ) της (ε ) ώστε Θεωρούμε την σειρά ε s < +. ε s e isx. Χρησιμοποιώντας το κριτήριο του Weiersrass ελέγχουμε ότι συγκλίνει ομοιόμορφα σε μια συνεχή συνάρτηση. Αν f(x) = ε s e is x, τότε f(s ) = f(s ) = ε s για κάθε N. Δηλαδή, για άπειρες τιμές του Z έχουμε f() ε. 6. Δείξτε ότι η τριγωνομετρική σειρά = sin x συγκλίνει για κάθε x R αλλά δεν είναι σειρά Fourier Riemann ολοκληρώσιμης συνάρτησης. Υπόδειξη. Η σύγκλιση της σειράς προκύπτει από το κριτήριο dirichle. Αν η παραπάνω σειρά είναι σειρά Fourier Riemann ολοκληρώσιμης συνάρτησης, τότε πρέπει από την ανισότητα του Bessel να έχουμε a + a + b < +. Αλλά, a = για =, 1,,..., b 1 = και b = 1/ για. Οπότε, θα έπρεπε η αρμονική σειρά = 1 να συγκλίνει, άτοπο. 7. Εστω f : R R συνεχής -περιοδική συνάρτηση και έστω a, b οι συντελεστές Fourier της f. Δείξτε ότι a = 1 ( f(x) ln sin x ) dx. π Υπόδειξη. Επεκτείνουμε την ln( sin x ) σε μια άρτια -περιοδική συνάρτηση g στο R. Δείξτε ότι, γενικά, 1 π f(x)g(x)dx = 1 π a (f)a (g) + (a (f)a (g) + b (f)b (g)). Αφού η g είναι άρτια, έχουμε b (g) = για κάθε 1. Επίσης, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι ελέγχουμε ότι a (g) =. Άρα, Τέλος, για κάθε 1 έχουμε: a (g) = 1 π / ln(sin u)du = π ln, 1 π f(x)g(x)dx = π = π a (f)a (g). ln sin x cos x dx ln( sin x ) cos x dx
4 = π = 1 π = 1 π sin x cos x sin(x/) dx sin( + 1/)x + sin( 1/)x dx sin(x/) D (x) + D 1 (x) dx = Εστω f : [, π] R περιττή ολοκληρώσιμη συνάρτηση ώστε f(x) M για κάθε x [, π] και b (f) για κάθε 1. Δείξτε ότι για κάθε n 1 και για κάθε x [, π]. s n (f)(x) 5M Υπόδειξη. Στην άσκηση 6 του δευτέρου φυλλαδίου είδαμε ότι s n (f)(x) σ n+1 (f)(x) 1 n + 1 n b. Επίσης, είναι εύκολο να δούμε ότι σ n (f)(x) f M. Πράγματι μπορούμε να γράψουμε σ n (f)(x) 1 f(x ) F n () d M 1 F n () d = M. Επιπλέον, είναι σ n+1 (f)(x) = n (1 n+1 )b sin x. Οπότε, για x n = π/(4n) και n αντί n παίρνουμε M σ n+1 (f)(x n ) = ( 1 ) b sin(x n ) n + 1 ( 1 ) b n + 1 n, όπου έχουμε χρησιμοποιήσει την ανισότητα sin x > (/π)x για < x < π/ και το γεγονός ότι b. Συνεπώς, είναι ( nm 1 ) n 1 b n + 1 b, χρησιμοποιώντας ακόμη μια φορά το γεγονός ότι b. Ετσι, καταλήγουμε στην Συνδυάζοντας με τα παραπάνω βρίσκουμε: n b 4nM. s n (f)(x) σ n+1 (f)(x) + 1 n + 1 το οποίο αποδεικνύει το ζητούμενο. n b M + 4nM n + 1 < 5M, 9. Εστω f : [, π] R άρτια ολοκληρώσιμη συνάρτηση με την ιδιότητα: a (f) για κάθε. Δείξτε ότι a < +. = Υπόδειξη. Αν θεωρήσουμε το n-οστό μερικό άθροισμα Cesàro της f τότε για κάθε n N μπορούμε να γράψουμε: σ n (f)() = 1 n s (f)() 1 n =n+1 s (f)() 1 s n(f)(),
5 διότι s n (f)() = a / + a a n και a n για κάθε n. Από την άλλη πλευρά γνωρίζουμε ότι σ n (f)(x) f για κάθε x R. Ετσι, τα μερικά αθροίσματα της n=1 a n είναι άνω φραγμένα: n a 4 f, που αποδεικνύει τη σύγκλιση της σειράς. = 1. Εστω f : R R μια -περιοδική συνάρτηση, η οποία ικανοποιεί την συνθήκη Lipschiz f(x) f(y) M x y για κάθε x, y R και κάποια σταθερά M >. Δείξτε ότι: υπάρχει σταθερά C > ώστε f σ n (f) C log n n για κάθε n N. ( Υπόδειξη. Αν F n (x) = 1 sin(nx) n sin(x/)) ο πυρήνας του Fejér τότε μπορούμε να γράψουμε σn (f)(x) = (f F n )(x). Επομένως, αν x R τότε σ n (f)(x) f(x) = 1 π [f(x ) f(x)]f n () d M F n () d M nπ sin (n) sin(/) sin(/) d, όπου έχουμε χρησιμοποιήσει την συνθήκη Lipschiz για την f και το ότι η {F n } είναι οικογένεια καλών πυρήνων που παίρνει θετικές τιμές. Καθώς, η συνάρτηση sin(/) είναι γνησίως αύξουσα στο (, π), παίρνουμε sin(/) π για κάθε π. Ετσι, βρίσκουμε: σ n (f) f M sin n n sin(/) d, διότι sin n 1. Τέλος, αν μιμηθούμε την απόδειξη της D n 1 := 1 D n () d C log n, μπορούμε να δείξουμε ότι sin n sin(/) d C log n και το συμπέρασμα έπεται. Πράγματι μπορούμε να γράψουμε, χρησιμοποιώντας την ανισότητα sin(/) > /π για < < π, sin n π sin(/) d sin(n) d nπ sin sin + d n 1 d + n 1 (+1)π n π (+1)π π sin π sin d n c log n d sin d
6 για κάποια αριθμητική σταθερά c >. Εχουμε λοιπόν σ n (f) f c M log n n.
Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Απειροστικού Λογισμού ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Περιεχόμενα Υπακολουθίες και ακολουθίες Cuchy Σειρές πραγματικών αριθμών 3 3 Ομοιόμορφη συνέχεια 3 4 Ολοκλήρωμα
Διαβάστε περισσότεραL 2 -σύγκλιση σειρών Fourier
Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό
Διαβάστε περισσότεραf(x) dx. f(x)dx = 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riemann Α Οµάδα
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riemnn Α Οµάδα. Εστω f : [, ] R. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας).
Διαβάστε περισσότεραΑπειροσ τικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών
Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών - Περιεχόμενα Υπακολουθίες και βασικές ακολουθίες. Υπακολουθίες. Θεώρημα Bolzno Weierstrss.αʹ Απόδειξη με χρήση της
Διαβάστε περισσότεραn = r J n,r J n,s = J
Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα
Κεφάλαιο 6 Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα 6. Οικογένειες καλών πυρήνων και προσεγγίσεων της µονάδας Σε αυτήν την παράγραφο ϑα ασχοληθούµε µε µέσες τιµές µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης f οι οποίες
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΣυντελεστές και σειρές Fourier
Κεφάλαιο 3 Συντελεστές και σειρές Fourier Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund 22, Katznelson 24 και Stein and Shakarchi 211. 3.1 Συντελεστές Fourier μιας ολοκληρώσιμης
Διαβάστε περισσότεραΣύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p
Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Μιχάλης Σαράντης και Κωνσταντίνος Τσίνας Βασικά αποτελέσµατα από την ανάλυση Fourier Ορισµός.. Ο n-οστός πυρήνας του Dirichlet ορίζεται ως (.) D n (y) Πρόταση.. Για
Διαβάστε περισσότεραΣύγκλιση των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier
Κεφάλαιο 6 Σύγκλιση των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund 2002, Katznelson 2004 και Stein and Shakarchi 20. 6. Όχι σύγκλιση σε
Διαβάστε περισσότεραf(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)
Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων
Διαβάστε περισσότερα< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε
Διαβάστε περισσότεραB = F i. (X \ F i ) = i I
Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις μερικών ασκήσεων του τρίτου φυλλαδίου.
Λύσεις μερικών ασκήσεων του τρίτου φυλλαδίου.. Έστω 0 < a
Διαβάστε περισσότεραh(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i
Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα I. Λέμε ότι η F είναι αντιπαράγωγος της f στο I αν ισχύει F = f στο I. ΠΡΟΤΑΣΗ. Αν η F είναι αντιπαράγωγος της f στο
Διαβάστε περισσότεραAnˆlush Fourier kai Olokl rwma Lebesgue. Prìqeirec Shmei seic
Anˆlush Fourier kai Olokl rwma Lebesgue Prìqeirec Shmei seic Tm ma Majhmatik n Panepist mio Ajhn n Aj na, 22 Perieqìmena I Anˆlush Fourier Εισαγωγή 3. Τριγωνομετρικά πολυώνυμα..........................
Διαβάστε περισσότερα> ln 1 + ln ln n = ln(1 2 3 n) = ln(n!).
η Διάλεξη: Άρρητοι αριθμοί Το σύνολο Q των ρητών αριθμών είναι το Q = { m n : m Z, n N}. αριθμός που δεν είναι ρητός λέγεται άρρητος. Ενας πραγματικός Ασκηση: Αποδείξτε ότι το άθροισμα και το γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραlim y < inf B + ε = x = +. f(x) =
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηματική Ανάλυση Ι ΟΜΑΔΑ: Α 8 Μαρτίου, 0 Θέμα. (αʹ) Εστω A, B μη κενά σύνολα πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε x y, για
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, 6-7 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΠΙΚ. ΚΑΘ. ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους 6-7. Περιοδικές Συναρτήσεις) Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R περιοδική
Διαβάστε περισσότερα1 + t + s t. 1 + t + s
Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι Ομάδα Α 1.1. Εστω (X, ) χώρος με νόρμα. Δείξτε ότι η νόρμα είναι άρτια συνάρτηση και ικανοποιεί την ανισότητα x y x y για κάθε x, y X. Υπόδειξη. Για κάθε x X έχουμε x = ( 1)x
Διαβάστε περισσότεραΣειρές Fourier. Κεφάλαιο Σειρές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. f(x) dλ(x) u(x) dλ(x) + i. (tf(x) + sg(x)) dλ(x) = t. f(x) dλ(x) = Re ix 0
Κεφάλαιο 5 Σειρές Fourier 5. Σειρές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων Σε αυτό το κεφάλαιο ϑεωρούµε συναρτήσεις µε µιγαδικές τιµές. Αν f : [a, b] C είναι οποιαδήποτε συνάρτηση, τότε η f γράφεται στη µορφή
Διαβάστε περισσότεραf(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2].
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riem Α Οµάδα. Εστω f : [, ] R. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας).
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΠ Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων
Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Πρ. Η f : [0, ] R είναι συνεχής στο [0, ]. Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Bolzao- Weierstraß δείξτε ότι η f είναι φραγμένη στο [0, ]. Μην επικαλεστείτε κάποιο άλλο θεώρημα.
Διαβάστε περισσότεραM. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =
Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές
Διαβάστε περισσότεραΜέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης.
Κεφάλαιο 1 Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης. Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Stein and Shakarchi 2009 και Wheeden 2015. 1.1 Μέτρο Lebesgue στο R Αν E R το μέτρο
Διαβάστε περισσότεραAkoloujÐec sunart sewn A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA
AkoloujÐec sunrt sewn A. N. Ginnkìpouloc, Tm m Sttistik c OPA Eisgwg Στη διάλεξη αυτή θα μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης ακολουθίων συναρτήσεων και συγκεκριμένα την έννοια της ομοιόμορφης σύγκλισης.
Διαβάστε περισσότεραf(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).
Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Συνεχίζουμε την λύση της άσκησης 6.3.. Μέχρι τώρα έχουμε αποδείξει ότι για κάθε διαμέριση του [, b] υπάρχει μια αντίστοιχη διαμέριση του [, B] ώστε να ισχύουν
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Σειρά Fourier Ορθοκανονικές Συναρτήσεις Στοεδάφιοαυτόθαδιερευνήσουμεεάνκαικάτωαπό
Διαβάστε περισσότεραG n. n=1. n=1. n=1 G n) = m (E). n=1 G n = k=1
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Επαναληπτικές Εξετάσεις στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωση Θέμα. Εστω R Lebesgue μετρήσιμο σύνολο. (αʹ) Να αποδειχθεί ότι για κάθε ε
Διαβάστε περισσότεραu x = 2uu y u y = 0 ϕ x = x t h (t), ϕ xx = x2 t 3 h (t) και ϕ y = y t h (t), ϕ yy = y2 t 3 h (t). t 2 h (t) + x2
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Β 9 Ιουνίου, 07 Θ. αʹ) Αν το G είναι ένας τόπος, δηλαδή ένα ανοικτό και συνεκτικό σύνολο στο
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση ( ) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3
Αρµονική Ανάλυση (2017 2018) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3 0. (α) Εστω f L (T). είξτε ότι σ n ( f ) f n N. (ϐ) Εστω f L (T). είξτε ότι (γ) είξτε ότι S n ( f ) f + n k=1 sin(kt) k n k= n [Υπόδειξη: Για το (γ) ϑεωρήστε
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.
Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε
Διαβάστε περισσότεραf (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Διαγωνισμάτος 1 Ενότητα: Ακολουθίες-Σειρές
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegea.gr Λύσεις Διαγωνισμάτος Ενότητα: Ακολουθίες-Σειρές Άσκηση. Έστω ακολουθία (a ), για την οποία ισχύει ότι Θεωρούμε
Διαβάστε περισσότεραsup(a + B) = sup A + sup B inf(a + B) = inf A + inf B.
Ασκήσεις, Φυλλάδιο. Βρειτε το συνολο Φ A ολων των ανω ϕραγματων του A, και το συνολο φ A ολων των κατω ϕραγματων του A, οταν: a) A = m :, m N}, b) A = + m 2. Βρειτε το if και sup οποτε υπαρχουν) των συνολων
Διαβάστε περισσότερα( y = 2, x R) και ( y = 0, x R ) ή ισοδύναμα πάνω στην ευθεία z = 2
ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγματικό μέρος uxy (, ) = ycosxκαι φανταστικό μέρος vxy (, ) = y sinx, όπου = x+ iy
Διαβάστε περισσότεραΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. v. Σε αυτή την περίπτωση το lim v
ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Η ακολουθία { α ν } λέγεται αθροίσιμη αν η ακολουθία {S ν } συγκλίνει, όπου S 2 3.... Σε αυτή την περίπτωση το lim S συμβολίζεται με και λέγεται το άθροισμα της ακολουθίας {
Διαβάστε περισσότεραΠρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής.
f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I ɛ > 0, δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ f(x) ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής ɛ > 0, δ > 0 : x, ξ I, x ξ < δ f(x) f(ξ) ɛ f(x) συνεχής στο [a, b] f(x) ομοιόμορφα συνεχής
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος.
Πανεπιστηµιο Αιγαιου Τµηµα Μαθηµατικων 8 200 Καρλοβασι Σαµος Καρλόβασι 09/02/2012 Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. 1. Απαντήστε µε α(αλήθεια)
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραi=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),
Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο
Διαβάστε περισσότερα1. E. Stein and R. Shakarchi, Fourier Analysis, and introduction, Princeton Univ. Press, 2003
Αρμονική Ανάλυση (Μ 25 ή Μ 2) Φθινοπωρινό Εξάμηνο 2- Τελευταία τροποποίηση: April, 2 Μιχάλης Κολουντζάκης Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης, Λεωφόρος Κνωσού, 74 9 Ηράκλειο, kolount AT gmail.com Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει
Διαβάστε περισσότεραΑθροισιμότητα σειρών Fourier
Κεφάλαιο 4 Αθροισιμότητα σειρών Fourier Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund 22, Katznelson 24 και Stein and Shakarchi 2. 4. Θεώρημα Μοναδικότητας Μπορούν δύο διαφορετικές
Διαβάστε περισσότεραΤριγωνομετρικά πολυώνυμα
Κεφάλαιο Τριγωνομετρικά πολυώνυμα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund, Katznelson 4 και Stein and Shakarchi.. Μερικά βασικά περί μιγαδικών αριθμών Υποθέτουμε ως γνωστές
Διαβάστε περισσότεραΠραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών
Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών 2010-11 Περιεχόμενα I Μετρικοί χώροι 1 1 Μετρικοί χώροι 3 1.1 Ορισμός και παραδείγματα........................... 3 1.2 Χώροι με
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Σειρές Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Σειρές Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 23 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότερα~ 1 ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
~ ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Μια συνάρτηση f ( ) u( x, y) iv( x, y ) έχει παράγωγο σε ένα σημείο x iy αν ικανοποιούνται
Διαβάστε περισσότεραlim (f(x + 1) f(x)) = 0.
Ανάλυση Ι και Εφαρμογές 4ο Τεστ (Σειρά Α) 17-19 Δεκεμβρίου 2018 Ονοματεπώνυμο:.................................................................. Αριθμός Μητρώου:...............................................................
Διαβάστε περισσότεραΤο Λήμμα του Fejér και Εφαρμογές
Το Λήμμα του Fejér και Εφαρμογές Ανδρέας Καβατζικλής Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Πολυτεχνειούπολη Ζωγράφου 57 8 Αθήνα e-mail: kaviros@ceral.ua.gr
Διαβάστε περισσότεραΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014
ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερμότητας.
1 Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ H εξίσωση θερμότητας Εστω είναι ανοικτό σύνολο του με γνωστή θερμοκρασία στο σύνορό του κάθε χρονική στιγμή και γνωστή αρχική θερμοκρασία σε κάθε σημείο του Τότε οι φυσικοί νόμοι μας
Διαβάστε περισσότερα1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n
Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 215-16. Λύσεις ενδέκατου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε το πρόβλημα συνοριακών συνθηκών u xx + u yy =, u(x, ) = u(x, π) =, u(, y) =, u(a, y) = sin 2y + 4 sin 5y, < x
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΤΡΙΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΚΟΣΤΟ ΤΡΙΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 28--3 Μ. Παπαδημητράκης. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ. Αν η σειρά + = x συγκλίνει απολύτως, τότε συγκλίνει και + x x. = = Δεν θα παρουσιάσω την απόδειξη. Διαβάστε την στο βιβλίο.
Διαβάστε περισσότεραHMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι
Σύγκλιση Σειρών Fourier Ιδιότητες Σειρών Fourier Παραδείγματα HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #10 Τρεις ισοδύναμες μορφές: () = = = = Σειρές Fourier j( 2π ) t Τ.. x () t FS a jω0t xt () = ae =
Διαβάστε περισσότεραΜιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης
Μιχάλης Παπαδημητράκης Αρμονική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα 1 Το ολοκλήρωμα Lebesgue. 1 1.1 Σύνολα μηδενικού μέτρου..................................... 1 1.2 Η συλλογή C
Διαβάστε περισσότεραΑπειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις τέταρτου φυλλαδίου ασκήσεων. ( n(n+1) e 1 (
. Αποδείξτε ότι: Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 08-9. Λύσεις τέταρτου φυλλαδίου ασκήσεων. +) 7 +) +), 5 +7 5 5, +log ) 7 log 4, +, ++ + + ) +4+4 + +4, + si +, +) +), + [ ], + + 0, + +, ) +,,
Διαβάστε περισσότεραj=1 x n (i) x s (i) < ε.
Κεφάλαιο 5 Πληρότητα 5.1 Πλήρεις μετρικοί χώροι Ορισμός 5.1.1 (πλήρης μετρικός χώρος). Ενας μετρικός χώρος (X, ρ) λέγεται πλήρης (complete) αν κάθε ρ βασική ακολουθία (x n ) στον X είναι ρ συγκλίνουσα.
Διαβάστε περισσότεραΜιχάλης Παπαδημητράκης. Πραγματική Ανάλυση. Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο R. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης
Μιχάλης Παπαδημητράκης Πραγματική Ανάλυση Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο R Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα Το μέτρο Lebesgue.. Μήκη διαστημάτων..................................2
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΕΙΚΟΣΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω μια δυναμοσειρά a (x ξ) = a 0 + a (x ξ) + a 2 (x ξ) 2 + με ακτίνα σύγκλισης R και με ρ = lim a. Αν x = ξ, η δυναμοσειρά συγκλίνει και έχει άθροισμα
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER. Μιχάλης Κολουντζάκης και Χρήστος Παπαχριστόδουλος
ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER Μιχάλης Κολουντζάκης και Χρήστος Παπαχριστόδουλος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Βούτες 700 13 Ηράκλειο 2 Περιεχόμενα Πρόλογος 5 1 Μέτρο και ολοκλήρωμα
Διαβάστε περισσότεραlim f n(x) = f(x) 1 ǫ < n ln ǫ N (ǫ, x) = ln ( )
ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗ Εστω {f n x), n N} µια ακολουθία συναρτήσεων ορισµένων στο διάστηµα I = [, b] ή, b] ή [, b) ή, b) ) ΟΡΙΣΜΟΣ Η ακολουθία συναστήσεων συγκλίνει σηµειακά point wise convergence) στην συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στο μάθημα Ανάλυση Ι & Εφαρμογές 26 Φεβρουαρίου 2015
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στο μάθημα Ανάλυση Ι & Εφαρμογές 26 Φεβρουαρίου 25 Απαντήστε και στα 4 προβλήματα με σαφήνεια και απλότητα. Όσοι έχουν πάρει προβιβάσιμο βαθμό στην Πρόοδο (πάνω
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις Αόστολος Γιαννόουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκαιδευτικό υλικό, όως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΑπειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις δέκατου φυλλαδίου ασκήσεων. 2 x dx = 02 ( 2) 2
Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 08-9. Λύσεις δέκατου φυλλαδίου ασκήσεων.. Υπολογίστε το x αν x < 0 4 fx) dx όταν fx) = αν 0 x 3/x αν < x 4 Λύση: Η f ταυτίζεται στο [, 0] με την συνεχή συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραsin(5x 2 ) sin(4x) e 5t 2 1 (ii) lim x 0 10x 3 (iii) lim (iv) lim. 10t sin(ax) = 1. = 1 1 a lim = sin(5x2 ) = 2. f (x) = sin x. = e5t 1 = 1 0 = 0.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Ι, Φυλλάδιο 3 Λύσεις Ασκήσεων. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια. sia) i) ποιες συνθήκες πρέπει να ισχύουν για τα a, β ώστε να έχει νόημα το όριο;) 0 siβ) si5 ) si4) cos cos
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας
Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι ικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 207 Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Επισκόπηση γνωστών εννοιών. -8. Σειρές πραγµατικών αριθµών..2 Σειρές συναρτήσεων..3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα. Κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραlim x)) = lim f( x) lim (f( x)) x)) x 2 y x 2 + y 2 = 0 r 3 cos 2 θsinθ r 2 (cos 2 θ + sin 2 θ) = lim
Ορια Πραγματικών Συναρτήσεων Εστω f : A R n R. Το καλείται σημείο συσσώρευσης του Α και γράφουμε: f x = b, b R ε > 0, δε = δ > 0 : f x b < ε, για κάθε x A με 0 < x < δ. Γεωμετρική Ερμηνεία της Εννοιας
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας
Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΔΕΚΑΤΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Άσκηση. Έστω f συνεχής στο διάστημα I και έστω ότι ισχύει f() για κάθε I. Αν η f 2 είναι παραγωγίσιμη στο I, αποδείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο
Διαβάστε περισσότεραf (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ι ΣΕΙΡΕΣ Διδάσκουσα : Δρ Μαρία Αδάμ Λυμένες ασκήσεις ) Να μελετηθούν ως προς τη σύγκλισή
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΕΙΚΟΣΤΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ Άσκηση 0... Θεωρήστε τη σειρά συναρτήσεων sin( ). Αποδείξτε ότι η σειρά συγκλίνει σε κάποια συνάρτηση s κατά σημείο στο R και ομοιόμορφα στο [ a, a]
Διαβάστε περισσότεραn 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1
Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a
Διαβάστε περισσότεραΑπειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων.
Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 2018-19. Λύσεις έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Έχουν οι παρακάτω συναρτήσεις μέγιστη ή ελάχιστη τιμή στο διάστημα (0, 1); Στο διάστημα (, + ); Στο διάστημα [0,
Διαβάστε περισσότεραΜέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 2019
Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών ΜΕΜ 74 Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 9 Ζήτημα Α Α. Δείξτε ότι αν p, q πραγματιϰά πολυώνυμα ίδιου βαϑμού, τότε p q ϰαϑώς ±. Λύση. Αρϰεί να δείξουμε ότι για με αρϰετά μεγάλο
Διαβάστε περισσότεραΑκολουθίες & Σειρές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ακολουθίες, Σειρές, Δυναμοσειρές. τεχνικές.
Ακολουθίες & Σειρές Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Ακολουθίες Σειρές Δυναμοσειρές τεχνικές 0 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / / 0 9 εκδόσεις Καλό
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουλίου Θέμα ( μονάδες) 4 Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο και τον υποχώρο του V που παράγεται
Διαβάστε περισσότεραHMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι
Σύγκλιση Σειρών Fourier Ιδιότητες Σειρών Fourier Παραδείγματα HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #10 Σειρές Fourier: Προσέγγιση Οι Σειρές Fourier μπορούν να αναπαραστήσουν μια πολύ μεγάλη κλάση περιοδικών
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ι και Εφαρμογές Σημειώσεις από τις παραδόσεις Α. Γιαννόπουλος Τμήμα Φυσικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 2018
Ανάλυση Ι και Εφαρμογές Σημειώσεις από τις παραδόσεις Α. Γιαννόπουλος Τμήμα Φυσικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 08 Περιεχόμενα Το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Φυσικοί, ακέραιοι και ρητοί αριθμοί............................
Διαβάστε περισσότερα1 Το ϑεώρηµα του Rademacher
Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 5: Οι χώροι L p Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις μερικών ασκήσεων του τέταρτου φυλλαδίου.
Λύσεις μερικών ασκήσεων του τέταρτου φυλλαδίου.. Βρείτε τον μετασχηματισμό Fourier της συνάρτησης x, αν x xχ [,] (x) =, αν x < ή < x Λύση. Εειδή η συνάρτηση είναι τμηματικά συνεχής και μηδενίζεται έξω
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΚΟΣΤΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 9--3 Μ. Παπαδημητράκης. Εκτός από το κριτήριο του Cauchy, όλα τα άλλα κριτήρια σύγκλισης μιας σειράς που είδαμε μέχρι τώρα (απόλυτης σύγκλισης, σύγκρισης δυο σειρών, λόγου,
Διαβάστε περισσότεραΑπειροστικός Λογισμός Ι Ασκήσεις
Απειροστικός Λογισμός Ι Ασκήσεις Μ. Παπαδημητράκης . Για καθεμία από τις ανισότητες ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ + >, +, + > +3 3+, ( )( 3) ( ) 0 γράψτε ως διάστημα ή ως ένωση διαστημάτων το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)
ΜΑΣ00: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΣΕΙΡΕΣ:. Να γράψετε τους πρώτους πέντε όρους της κάθε ακολουθίας: (β) (γ), Απαντήσεις: {/, /, 7/8, 5/6, /} (β) {, /5, /,5/, /7} (γ) {, /,, /,
Διαβάστε περισσότεραΕκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ
Σειρές και Ολοκληρώµατα Fourier ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 16 Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποσκοπούν στο να δώσουν µια σύνοψη της ϑεωρίας
Διαβάστε περισσότερα35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης
4 5 35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης Περίληψη: Στο ένθετο αυτό περιλαμβάνονται 35 βασικές προτάσεις, μικρά λήμματα χρήσιμα για τις εξετάσεις. Μας βοηθούν να «ξεκλειδώνουμε»
Διαβάστε περισσότεραΑκολουθίες & Σειρές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ακολουθίες, Σειρές, Δυναμοσειρές. τεχνικές.
Ακολουθίες & Σειρές Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Ακολουθίες, Σειρές, Δυναμοσειρές τεχνικές 0 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / / 0 7 εκδόσεις Καλό
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραB = {x A : f(x) = 1}.
Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 016 017 Λύσεις 1. Χρησιμοποιώντας την Αρχή του Περιστερώνα για τους φυσικούς αριθμούς, δείξτε ότι για κάθε πεπερασμένο σύνολο A και για κάθε f : A A, αν η f είναι 1-1 τότε
Διαβάστε περισσότερα