MIKΡΕΣ ΟΠΕΣ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ MIKΡΕΣ ΟΠΕΣ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Περιεχόμενα. Μικρές Οπές. Ασκήσεις

2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θεωρούμε ιδανικό αέριο που βρίσκεται σε δοχείο όγκου με μία μικρή οπή. Εξωτερικά του δοχείου υπάρχει κενό. Μικρές Οπές Θα υπολογίσουμε των αριθμό των μορίων (dn) που διαφεύγουν σε χρονικό διάστημα d Τα τοιχώματα του δοχείου πρέπει να είναι λεπτά. Αποφεύγουμε σκεδάσεις των σωματιδίων με τα τοιχώματα Μικρή οπή διατομής S. Αποφεύγουμε μεγάλη συγκέντρωση σωματιδίων στην έξοδο ή στην είσοδο Η οπή πρέπει να είναι μικρή. Ώστε τα σωματίδια που θα διαφεύγουν θα έχουν ταχύτητα κάθετη στην επιφάνεια της οπής

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Έστω κύλινδρος μήκους d = <υ + >d Τα μόρια κοντά στην διατομή κινούνται χαοτικά. Θεωρούμε ότι αυτά που διαφεύγουν έχουν οριζόντια θετική συνιστώσα ταχύτητας <υ + >. Θεωρούμε ότι Η αρχική συγκέντρωση στο δοχείο (πριν το άνοιγμα της οπής) είναι: N Αριθμός των σωματιδίων Όγκος δοχείο Η συγκέντρωση των σωματιδίων που βρίσκονται μέσα στο κύλινδρο την χρονική στιγμή : Η μέση ταχύτητα των σωματιδίων που κινούνται στο θετικό ημιάξονα: Ο αριθμός των μορίων που διαφεύγουν από το δοχείο σε χρόνο d: Ο αριθμός των μορίων που εισέρχονται σε χρόνο d: () <υ + > dn dn 3

4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Ο αριθμός των σωματιδίων που βρίσκονται στο κύλινδρο και τελικά θα διαφύγουν μέσα σε χρόνο d: Επειδή έξω υπάρχει κενό και τα μόρια που dn διαφεύγουν δεν ξαναεπιστρέφουν πίσω έτσι τα εισερχόμενα σωματίδια στο δοχείο θα είναι: dn 0 d dn Sd dn S d Η συχνότητα κρούσεων με τα τοιχώματα του δοχείο είναι αριθμό των μορίων στη μονάδα του χρόνου και στη μονάδα της επιφάνειας δηλαδή: Η συγκέντρωση του δοχείο θα είναι: dn S d Sd Sd 4 d dn dn kt m 8kT m d 0 S d d S d d S d e 0 S 4

5 Παρατήρηση Στην διαδικασία που ακολουθήσαμε εξωτερικά του δοχείου () υπήρχε κενό και θεωρητικά ένα δεύτερο () και μεγαλύτερο δοχείο απείρων διαστάσεων. Δηλαδή τα σωματίδια που εξέρχονται από την μικρή οπή δεν ξαναγυρίζουν ποτέ πίσω στο αρχικό δοχείο. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα η συγκέντρωση του δοχείου να ελαττώνεται μέχρι να μηδενιστεί. Με αυτόν τον τρόπο θα επέλθει ισορροπία αφού η συγκέντρωση μέσα και έξω θα είναι μηδενική. () e S 5

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Παρατήρηση Αν το δεύτερο δοχείο () δεν είχε αυτές τις ιδιότητες (κενό και απείρων διαστάσεων) τότε θα είχαμε και έναν αριθμό σωματιδίων ο οποίος θα διαχέονταν από το δεύτερο δοχείο στο πρώτο.,t, Άρα για το μελετώμενο δοχείο () θα είχαμε: dn S d,,t, dn S d, dn dn dn S d S d,, =, = kt m = kt m Ενώ η μεταβολή της συγκέντρωσης για το δοχείο () θα είναι: d dn dn S d S d,, 6

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Παρατήρηση 3 Αν και τα δύο δοχεία δεν είναι κενά αλλά περιέχουν διαφορετικά αέρια τότε δεχόμαστε ότι το κάθε δοχείο είναι αρχικά κενό για το αέριο που αρχικά υπάρχει στο άλλο και πραγματοποιούμε την ίδια διαδικασία. 7

8 ΑΣΚΗΣΗ. Ασκήσεις Δοχείο όγκου με λεπτά τοιχώματα, που είναι γεμάτο ιδανικό αέριο διατηρείται σε σταθερή θερμοκρασία Τ. Στο τοίχωμα του δοχείου ανοίγουμε οπή εμβαδού S, από την οποία τα μόρια διαφεύγουν στο κενό. Τι ποσότητα θερμότητας Q πρέπει να προσφέρουμε στο δοχείο στη μονάδα του χρόνου για να διατηρούμε τη θερμοκρασία σταθερή; Εξωτερικά του δοχείου υπάρχει κενός χώρος πολύ μεγάλου όγκου. Τα μόρια που διαφεύγουν δεν επιστρέφουν ποτέ παίρνοντας μαζί τους και ένα μέρος της ενέργειας του αερίου Τα εισερχόμενα σωματίδια σε χρόνο d θα είναι: Τα εξερχόμενα σωματίδια σε χρόνο d θα είναι: dn 0 dn S d dn dn dn S d,t, Άρα, η μεταβολή του αριθμού των σωματιδίων στο εσωτερικό του δοχείου θα είναι: Ενώ, η μεταβολή της συγκέντρωσης των σωματιδίων στο εσωτερικό του δοχείου θα είναι: d < 0: ελάττωση ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ d dn dn S d 8

9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ S d l d S d S 0 l d S d S 0 e d S Ο ρυθμός μεταβολής των μορίων του δοχείο είναι: dn d S dn S e S dn d Η μέση ενέργεια ενός μορίου λόγω θερμικής κίνησης θα είναι: 3 kt Το συνολικό ποσό της ενέργεια που χάνεται στη μονάδα του χρόνου θα είναι: S S kt S kt dn 3 m kt 3 3 m 3/ OUT E e S kt e S kt e kt S d m 8m Άρα η ενέργεια που πρέπει να kt kt S 3 προσφέρουμε στο δοχείο στη μονάδα 3 m Q m e kt S του χρόνου για να διατηρούμε τη 8m 9 θερμοκρασία σταθερή θα είναι:

10 Παρατήρηση S Το μέγεθος έχει διαστάσεις αντιστρόφου χρόνου. () e S Την συγκέντρωση μπορούμε να την γράψουμε: e /e ο τ είναι ένας χαρακτηριστικός χρόνος, συγκεκριμένα μετά από τόσο χρόνο η συγκέντρωση γίνεται /e. /e τ τ 3τ 4τ 5τ = 0 = τ = τ >> τ 0

11 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΑΣΚΗΣΗ Εντελώς κενό δοχείο όγκου με λεπτά τοιχώματα, τα οποία διατηρούνται συνεχώς σε σταθερή θερμοκρασία, τοποθετείται σε ιδανικό αέριο με σταθερή συγκέντρωση, που έχει την ίδια θερμοκρασία. Πως θα μεταβάλλεται με την πάροδο του χρόνου η συγκέντρωση στο εσωτερικό του δοχείου, αν στα τοιχώματα ανοίξουμε πολύ μικρή οπή εμβαδού S. Αρχικά,T,,T, Η θερμοκρασία είναι και στα δύο δοχεία η ίδια άρα: = Τα εισερχόμενα σωματίδια σε χρόνο d θα είναι: Τα εξερχόμενα σωματίδια σε χρόνο d θα είναι: dn S d dn S d

12 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Η μεταβολή της συγκέντρωσης των σωματιδίων στο εσωτερικό του δοχείου () θα είναι: d > 0: αύξηση dn dn S d S d d S d d d 0 0 d S ' S d d d 0 0 S S l 0 l S e e S

13 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Παρατηρήσεις () e S Ο χαρακτηριστικός χρόνος δίνεται από τη σχέση: 0.63 S m S kt τ τ 3τ 4τ 5τ 6τ Η συγκέντρωση του δοχείου () τελικά εξισώνεται με την συγκέντρωση του μεγαλύτερου δοχείου () επικρατώντας ισορροπία. 3

14 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Αν Μεγαλώναμε την διατομή S ή μικραίναμε τον όγκο του δοχείου ή αυξάναμε την θερμοκρασία Τ και στα δύο δοχεία Τότε, η διαδικασία θα γινόταν πιο γρήγορα, διότι μικραίνει ο χαρακτηριστικός χρόνος τ, (αυξάνει το /τ). () τ < τ 4

15 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΑΣΚΗΣΗ 3 Δοχείο μικρής οπής επικοινωνεί με το περιβάλλον. Η θερμοκρασία του περιβάλλοντος είναι Τ και η πίεση p. Στο δοχείο η θερμοκρασία είναι διαρκώς 4Τ και σε όλη την έκταση του. Πόση είναι η πίεση στο εσωτερικό του δοχείου; Αρχικά,T,,4T, Η θερμοκρασία είναι διαφορετική στα δύο δοχεία άρα: kt m k4t m Η πίεση του ιδανικού αερίου για το δοχείο () δίνεται από την καταστατική εξίσωση: P N kt P kt P 4kT 5

16 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Τα εισερχόμενα σωματίδια σε χρόνο d θα είναι: dn S d S d Τα εξερχόμενα σωματίδια σε χρόνο d θα είναι: dn S d S d Η μεταβολή της συγκέντρωσης των σωματιδίων στο εσωτερικό του δοχείου () θα είναι: d > 0: αύξηση dn dn S d S d d S d d d d S ' S d d d S S l 0 l e S e S 6

17 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Από τις σχέσεις: P 4kT e kt m S P kt e S kt m Παρατηρήσεις: Για = 0 η πίεση είναι μηδενική, άρα δεν υπήρχαν μέχρι τότε μόρια μέσα στο δοχείο. Για η πίεση είναι P = kt 7

18 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΑΣΚΗΣΗ 4 Δοχείο χωρίζεται από διάφραγμα σε δύο μέρη, με όγκους και. Στο πρώτο μέρος υπάρχουν μόρια ιδανικού αερίου μάζας m, με συγκέντρωση, ενώ το δεύτερο είναι κενό. Την χρονική στιγμή = 0 ανοιγουμε στο διάφραγμα μικρή οπής εμβαδού S. Αν η θερμοκρασία και στα δύο μέρη διατηρείται σταθερή και ίση με Τ. Να υπολογιστεί η συγκέντρωση και στα δύο μέρη. Αρχικά I, N,,T II,T Ι = 0,I =,II = 0 ΙΙ > 0 I = II = Η θερμοκρασία είναι και στα δύο δοχεία η ίδια άρα: N N II,I I,I I II II I = 8

19 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Δοχείο Ι Τα εισερχόμενα σωματίδια σε χρόνο d θα είναι: Τα εξερχόμενα σωματίδια σε χρόνο d θα είναι: dn S d S d II II dn S d S d I I Η μεταβολή της συγκέντρωσης των σωματιδίων στο εσωτερικό του δοχείου (Ι) θα είναι: d < 0: ελάττωση S d S d dn dn dn dn d = d S d d d S d 0 d S d d S d 0 9

20 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ S l l S l S S e S e S e I Δοχείο ΙΙ II 0

21 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Παρατηρήσεις Αν τα δύο μέρη είχαν τον ίδιο όγκο = = τότε: S I e S II e ()

22 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΑΣΚΗΣΗ 5 Δοχείο χωρίζεται από διάφραγμα σε δύο ίσα μέρη όγκου το καθένα. Στο ένα μέρος περιέχεται άζωτο και στο άλλο οξυγόνο με τις ίδιες πιέσεις P και θερμοκρασίες Τ. Τα αέρια στο δοχείο είναι πολύ αραιά (ιδανικά). Τη χρονική στιγμή = 0 στο διάφραγμα ανοίγουμε μικρή οπή εμβαδού S. Υπολογίστε την πίεση στους δύο χώρους σαν συνάρτηση του χρόνου. Η θερμοκρασία των αερίων είναι σταθερή. Αρχικά I P,, T,O II P,, T, N

23 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ I P,, T,O II P,,T Θα θεωρήσουμε αρχικά ότι υπάρχει μόνο O. Δηλαδή για = 0 Το δοχείο Ι είναι γεμάτο με Ο Το δοχείο ΙΙ είναι κενό Από τα συμπεράσματα της προηγούμενης άσκησης θα έχουμε:,o,o II,O e I,O e S O S O 3

24 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ I P,, T,O II P,, T, N Αν θεωρήσουμε αρχικά ότι υπάρχει μόνο Ν. Δηλαδή για = 0 Το δοχείο Ι είναι κενό Το δοχείο ΙΙ είναι γεμάτο με Ν Άρα θα έχουμε:,n I,N e,n II,N e S S N N 4

25 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Η συγκέντρωση στο πρώτο δοχείο θα είναι: I IO,, II II, O II, N S S O N,O,N I N e e S O,O e,n e S N Η πίεση στο δοχείο Ι θα δίνεται από τη σχέση: PI IkT Η πίεση στο δοχείο ΙΙ θα δίνεται από τη σχέση: PII IIkT 5