Υδροδυναμικές Ροές και Ωστικά Κύματα

Transcript

1 Υδροδυναμικές Ροές και Ωστικά Κύματα Εισαγωγή Οι διαδικασίες υψηλών ενεργειών που περιγράφηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια, καθώς και η επιτάχυνση σωματιδίων σε υψηλές ενέργειες η οποία θα περιγραφεί στο επόμενο κεφάλαιο, λαμβάνουν χώρα στο εσωτερικό αστροφυσικών πλασμάτων και γενικά επηρεάζονται από τις ιδιότητές τους. Στο παρόν κεφάλαιο θα γίνει μία σύντομη παρουσίαση των στοιχείων που θα χρειαστούν στη μελέτη επιτάχυνσης σωματιδίων (επόμενο κεφάλαιο), εστιάζοντας στη μελέτη ωστικών κυμάτων. Στο κεφάλαιο 9 θα γίνει λεπτομερέστερη μελέτη των ροών πλάσματος στην παρούσα μελέτη θα αγνοήσουμε αρχικά το μαγνητικό πεδίο και θα μελετήσουμε ωστικά κύματα σε μη σχετικιστικά, υδροδυναμικά, συμπιεστά ρευστά, δηλ. σε αέρια. Αρχικά θα παρουσιάσουμε τις βασικές εξισώσεις της υδροδυναμικής που αντιστοιχούν στη διατήρηση μάζας, ενέργειας και ορμής, και στη συνέχεια τις συνθήκες άλματος στα ωστικά κύματα. 7. Εξισώσεις διατήρησης Διατήρηση μάζας Εστω ένας σταθερός όγκος δτ στον χώρο. Ο ρυθμός ελάττωσης της μάζας που βρίσκεται μέσα στον όγκο αυτό είναι d ρ ρ dτ = dτ, επομένως σε χρόνο dt η μάζα ελαττώνεται κατά dτ dt. dt t ρ t Λόγω διατήρησης μάζας, ίση μάζα περνά στον χρόνο dt την επιφάνεια δs που περικλείει τον όγκο. Από μια στοιχειώδη επιφάνεια ds σε χρόνο dt περνά 83

2 84 Υδροδυναμικές Ροές και Ωστικά Κύματα μάζα ρv dt ds = ρv ds dt. Το γινόμενο ρv εκφράζει τη ροή μάζας (μάζα ανά επιφάνεια, ανάχρόνο). Η συνολική μάζα που περνά την επιφάνεια δs είναι ρv ds dt = (ρv )dτ dt χρησιμοποιώντας το θεώρημα της απόκλισης. Εξισώνοντας τις δυο εκφράσεις έχουμε [ ] ρ t + (ρv ) dτ = 0. Επιλέγοντας τον όγκο δτ αρκούντως μικρό ώστε η ολοκληρωτέα να είναι σταθερή προκύπτει τελικά Διατήρηση ορμής ρ t + (ρv ) = 0. (7.1) Ομοια θα βρούμε το ισοζύγιο της ορμής, λαμβάνοντας υπόψη τις προσθαφαιρέσεις λόγω των δυνάμεων και των κινήσεων του αερίου. Θα βρούμε την εξίσωση που εκφράζει τη διατήρηση της ˆx ορμής και μετά θα γενικεύσουμε το αποτέλεσμα. Ο ρυθμός αύξησης της ˆx ορμής μέσα στον τυχαίο σταθερό όγκο δτ είναι d ρv x dτ = dt t (ρv x)dτ. Από το μέρος ds της επιφάνειας που περικλείει τον όγκο, λόγω μακροσκοπικής κίνησης του ρευστού με ταχύτητα V εξέρχεται ˆx ορμή ανά χρόνο ρv dt ds V x = ρv x V ds. Η αντίστοιχη συνολική εξερχόμενη ˆx ορμή ανά dt χρόνο είναι ρv x V ds = (ρv x V ) dτ χρησιμοποιώντας το θεώρημα της απόκλισης. Λόγω της πίεσης το αέριο ασκεί δύναμη στο περιβάλλον του P dτ η οποία αφαιρεί ˆx ορμή στη μονάδα του χρόνου P ds = P x dτ. Αν υπάρχουν δυνάμεις όγκου f (δύναμη ανά όγκο) αυτές προσθέτουν ˆx ορμή στη μονάδα του χρόνου f x dτ, όπου f x = f ˆx. Το ισοζύγιο της ˆx ορμής είναι λοιπόν t (ρv x)dτ = P f x dτ (ρv x V ) dτ ή ισοδύναμα t (ρv x)+ (ρv x V )+ P x = f x. x dτ Γενικεύοντας το αποτέλεσμα και για τις άλλες δύο συνιστώσες της ορμής μπορούμε να γράψουμε t (ρv i) + (ρv i V ) + P i = f i, i = x, y, z. (7.) Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (7.1) μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση

3 7. Εξισώσεις διατήρησης 85 ορμής σαν ρ ( ) t + V V = P + f. (7.3) Διατήρηση ενέργειας Ομοια θα εκφράσουμε τη διατήρηση ενέργειας. Η ενέργεια του αερίου που σε κάθε στιγμή βρίσκεται μέσα στον σταθερό όγκο δτ είναι το άθροισμα της κινητικής ενέργειας λόγω της μακροσκοπικής κίνησης με ταχύτητα V και της ( ρv εσωτερικής ενέργειας λόγω των θερμικών κινήσεων + 1 ) Γ 1 P dτ, όπου Γ ο πολυτροπικός δείκτης του αερίου για μονατομικό αέριο Γ = 5/3. ( ρv Ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας αυτής είναι + 1 ) t Γ 1 P dτ, ( ρv επομένως η ενέργεια αυξάνεται κατά + 1 ) t Γ 1 P dτ dt σε χρόνο dt. Για να γράψουμε την έκφραση της διατήρησης ενέργειας πρέπει να λάβουμε υπόψη κάθε ενέργεια που προστίθεται ή αφαιρείται από το αέριο που βρίσκεται στον συγκεκριμένο όγκο. Αν υπάρχει θέρμανση που προσθέτει ενέργεια q ανά μονάδα μάζας και ανά μονάδα χρόνου τότε στον χρόνο dt προστίθεται ενέργεια ρq dτ dt. Αν ασκείται εξωτερική δύναμη f ανά όγκο του αερίου τότε μέσω του έργου της σε χρόνο dt προσθέτει ενέργεια dτ f V dt. Λόγω του έργου της δύναμης πίεσης που ασκείται μεταξύ αερίου και περιβάλλοντος στην επιφάνεια που περικλείει τον συγκεκριμένο όγκο, αφαιρείται ενέργεια ds P V dt. Τέλος, λόγω της κίνησης του αερίου που έχει ως αποτέλεσμα από το μέρος ds της επιφάνειας σε χρόνο dt να εξέρχεται όγκος V dt ds = V ds dt ( ρv αφαιρείται ενέργεια + 1 ) Γ 1 P V ds dt. Προσθέτοντας τις δύο τελευταίες συνεισφορές, η ενέργεια που αφαιρείται από ( ρv την επιφάνεια που περικλείει τον όγκο είναι + Γ ) Γ 1 P V ds dt. ( Ολες οι προηγούμενες εκφράσεις είναι αλγεβρικές, δηλ. αρνητικό πρόσημο σημαίνει αντίθετη συνεισφορά στο ενεργειακό ισοζύγιο.) ( ρv Η διατήρηση ενέργειας γράφεται λοιπόν + 1 ) t Γ 1 P dτ dt = ( ρv ρq dτ dt + ρf V dt dτ + Γ ) Γ 1 P V ds dt, ή χρησι-

4 86 Υδροδυναμικές Ροές και Ωστικά Κύματα μοποιώντας το θεώρημα της απόκλισης [ ( ) ( ρv ρv + ρe + t V + Γ ) ] Γ 1 P V f V ρq dτ = 0. Επιλέγοντας τον όγκο δτ αρκούντως μικρό ώστε η ολοκληρωτέα να είναι σταθερή προκύπτει τελικά ( ρv + 1 ) ( ρv t Γ 1 P + V + Γ ) Γ 1 P V = f V + ρq. (7.4) 7.3 Ωστικά κύματα και συνθήκες άλματος Γενικά οι ροές αερίων δεν είναι πάντα ομαλές. Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι αναπόφευκτη η δημιουργία ασυνεχειών, μέσα στις οποίες το αέριο δεν βρίσκεται σε θερμοδυναμική ισορροπία. Οπως θα δούμε στη συνέχεια αυτό συμβαίνει όταν τα αέρια κινούνται με υπερηχητικές ταχύτητες. Ενα παράδειγμα για τη δημιουργία ασυνέχειας είναι το ακόλουθο: Εστω ότι έχουμε ένα κυλινδρικό δοχείο μεγάλου μήκους γεμάτο με ιδανικό μονατομικό αέριο, το οποίο είναι κλειστό στη μια μεριά με ένα κινούμενο έμβολο. Εστω ότι για t = 0 αρχίζουμε να κινούμε το έμβολο με σταθερή ταχύτητα V ε. Προφανώς τα άτομα/μόρια που βρίσκονται κοντά στην επιφάνεια του εμβόλου εξαναγκάζονται να κινηθούν με ταχύτητα V ε και αρχικά δημιουργείται ένα πύκνωμα και μια αύξηση πίεσης (να σημειώσουμε εδώ ότι η μέση ταχύτητα της ροής είναι ανεξάρτητη από τις θερμικές κινήσεις μέτρο των οποίων είναι η θερμοκρασία). Η πληροφορία ότι η πίεση αυξήθηκε, η οποία θα οδηγήσει σε κίνηση τελικά όλα τα άτομα/μόρια του δοχείου, διαδίδεται με πεπερασμένη ταχύτητα, την ταχύτητα του ήχου C s. Για μικρές ταχύτητες του εμβόλου V ε < C s υπάρχει αρκετός χρόνος να διαδοθεί η πληροφορία και να αποκατασταθεί η ισορροπία. Τα τελευταία άτομα/μόρια που «μαθαίνουν τα νέα» τη χρονική στιγμή t βρίσκονται σε απόσταση (C s V ε )t από το έμβολο. Τι γίνεται όμως αν κινήσουμε το έμβολο με ταχύτητα V ε > C s ; Τότε δεν δίνουμε χρόνο στα άτομα/μόρια να αντιδράσουν και να μεταδώσουν την πληροφορία ομαλά, αφού τα ηχητικά κύματα είναι πιο αργά από το έμβολο. Σίγουρα βέβαια κοντά στο έμβολο τα άτομα/μόρια έχουν ταχύτητα V ε όπως πριν, ενώ σε κάποια απόσταση το αέριο παραμένει ακίνητο. Το αέριο λύνει το πρόβλημα «επικοινωνίας» αυξάνοντας την ταχύτητα του ήχου σε μια περιοχή κοντά στο έμβολο, κάτι που συνεπάγεται αύξηση της θερμοκρασίας, της πίεσης και της πυκνότητας. Το μέτωπο αυτής της πυκνής περιοχής είναι το ωστικό κύμα. Το έμβολο σπρώχνει βίαια το αέριο όπως ένα εκχιονιστικό μηχάνημα σπρώχνει και συσσωρεύει μπροστά του το χιόνι. Και στις δύο περιπτώσεις δημιουργείται μια ασυνέχεια στη ροή (το άκρο αυτής της περιοχής βρίσκεται εκεί όπου τελειώνει η περιοχή μεγάλης πίεσης), η οποία κινείται με

5 7.3 Ωστικά κύματα και συνθήκες άλματος 87 ταχύτητα V s, μεγαλύτερη από την ταχύτητα του εμβόλου ή του εκχιονιστικού μηχανήματος. Η δημιουργία της ασυνέχειας είναι συνέπεια του γεγονότος ότι η αδιαβατική ταχύτητα του ήχου με την οποία μεταφέρεται η πληροφορία μέσα σε ένα αέριο είναι ανάλογη της θερμοκρασίας, πυκνότητας και πίεσης. Συγκεκριμένα είναι C s = ΓP/ρ T 1/ ρ (Γ 1)/ P (Γ 1)/Γ, διότι στις αδιαβατικές μεταβολές (σταθερής) μάζας M του αερίου, η οποία καταλαμβάνει (μεταβλητό) όγκο τ = M/ρ είναι P ( τ) Γ = σταθερό, ή P ρ Γ. Κατά συνέπεια, όταν δημιουργείται μια μεταβολή μέσα στο αέριο, το μέτωπο των πυκνότερων τμημάτων του κινείται πιο γρήγορα και τείνει να προσπεράσει το μέτωπο των πιο αραιών τμημάτων. Η προσπέραση είναι βέβαια αδύνατη, αλλά η προηγούμενη σκέψη δείχνει ότι η απόσταση μεταξύ πυκνών και αραιών τμημάτων ολοένα και μικραίνει, δηλ. η κλίση των μεγεθών ολοένα και μεγαλώνει. Οταν η απόσταση αυτή γίνει μηδενική, η κλίση γίνεται άπειρη και έχει δημιουργηθεί ασυνέχεια, όπως φαίνεται στο σχήμα 7.1 (πρακτικά η ασυνέχεια έχει πάχος συγκρίσιμο με τη μέση ελεύθερη διαδρομή, η οποία είναι όμως πολύ μικρή σε σχέση με τις διαστάσεις που μας ενδιαφέρουν). Σχήμα 7.1: Δημιουργία ωστικού κύματος. Καθώς πυκνότερα στρώματα κινούνται γρηγορότερα, η κλίση της πυκνότητας με την πάροδο του χρόνου γίνεται πιο απότομη και πέρα από κάποιο χρόνο άπειρη. Στο εσωτερικό της ασυνέχειας δεν είναι εύκολο να περιγράψουμε το αέριο (το οποίο υπόκειται σε μη-αντιστρεπτή μεταβολή καθώς περνάει την ασυνέχεια). Ομως, μπορούμε να παρακάμψουμε τη δυσκολία αυτή και να συνδέσουμε τις δύο καταστάσεις πριν και μετά την ασυνέχεια μέσω νόμων διατήρησης. Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να θεωρήσουμε ως επίπεδο της ασυνέχειας το x = 0 (τοπικά η ασυνέχεια είναι πάντα επίπεδη), δηλ. είναι προτιμότερο να εργαστούμε στο σύστημα αναφοράς στο οποίο η ασυνέχεια είναι ακίνητη και να επιλέξουμε τον άξονα x κάθετα στο επίπεδο της ασυ-

6 88 Υδροδυναμικές Ροές και Ωστικά Κύματα νέχειας. Εστω το μέρος είναι το μέρος x > 0 του αερίου απ όπου έχει περάσει η ασυνέχεια (δηλ. το πυκνότερο μέρος στο οποίο η ταχύτητα του ήχου έχει αυξηθεί) με πυκνότητα ρ, πίεση P και ταχύτητα V (ως προς την ασυνέχεια), ενώ το μέρος «1» είναι το μέρος x < 0 που δεν έχει περάσει, με πυκνότητα, πίεση P 1 και ταχύτητα V 1 (ως προς την ασυνέχεια). Ολοκληρώνοντας την εξίσωση (7.1) ως προς x σε ένα απειροστό διάστημα που περιλαμβάνει την ασυνέχεια, δηλ. σε διάστημα ( ϵ, ϵ) με ϵ 0 +, έχουμε [ ϵ ρ lim ϵ 0 + ϵ t + (ρv x) + (ρv y) + (ρv ] z) dx = 0 lim x y z [ρv x] ϵ ϵ 0 + ϵ = 0, διότι όλοι οι όροι είναι ομαλοί (και άρα το ολοκλήρωμά τους μηδενικό), εκτός της παραγώγου ως προς x που είναι άπειρη λόγω της ασυνέχειας. Ετσι βρίσκουμε την πρώτη συνθήκη άλματος που εκφράζει τη διατήρησης μάζας V 1x = ρ V x. (7.5) Ομοια το ολοκλήρωμα της εξίσωσης (7.) δίνει V1x + P 1 = ρ Vx + P για i = x, V 1x V 1y = ρ V x V y για i = y και V 1x V 1z = ρ V x V z για i = z, με τις δύο τελευταίες να απλοποιούνται σε V 1y = V y και V 1z = V z λόγω της συνθήκης (7.5). Ετσι, οι συνθήκες άλματος που εκφράζουν τη διατήρηση της ορμής κάθετα και παράλληλα στο επίπεδο της ασυνέχειας (δηλ. στη διεύθυνση ˆx και στο επίπεδο yz) γράφονται: V 1x + P 1 = ρ V x + P, (7.6) V 1y = V y, V 1z = V z. (7.7) Το ολοκλήρωμα της εξίσωσης (7.4) δίνει όμοια 1 V1 V 1x + Γ Γ 1 P 1V 1x = 1 ρ V V x + Γ Γ 1 P V x. Χρησιμοποιώντας τις συνθήκες (7.5) και (7.7) η συνθήκη άλματος που εκφράζει τη διατήρηση ενέργειας γράφεται: 1 V 3 1x + Γ Γ 1 P 1V 1x = 1 ρ V 3 x + Γ Γ 1 P V x. (7.8) Οι πέντε συνθήκες άλματος (7.5) (7.8) καθορίζουν μονοσήμαντα την κατάσταση στο μέρος αν γνωρίζουμε αυτή του μέρους «1» και αντίστροφα. Μπορεί να αποδειχθεί ότι συνεπάγονται ρ = V 1x V x = Γ + 1 Γ 1 + /M 1 όπου M 1 είναι ο αριθμός Mach του μέρους «1» M 1 = V 1x C s1, C s1 =, P = ΓM 1 Γ + 1, (7.9) P 1 Γ + 1 Γ P 1. (7.10)

7 7.3 Ωστικά κύματα και συνθήκες άλματος 89 Η πρώτη από τις εξισώσεις (7.9) συνεπάγεται ότι ρ > M 1 > 1. Η ίδια σχέση, εναλλάσσοντας τους δείκτες 1 και δίνει ότι < ρ M < 1. Άρα σε ένα ωστικό κύμα έχουμε πάντα μετάβαση από υπερηχητική σε υποηχητική ροή. Πάντα αναφερόμαστε στις συνιστώσες της ταχύτητας κάθετα στο επίπεδο της ασυνέχειας και στο σύστημα όπου η ασυνέχεια είναι ακίνητη. Στο όριο που η ταχύτητα του μέρους «1» είναι κατά πολύ μεγαλύτερη της ταχύτητας ήχου στο ίδιο μέρος, δηλ. M 1 1, λέμε ότι έχουμε ισχυρή ασυνέχεια, διότι ο λόγος συμπίεσης γίνεται μέγιστος και ίσος με ρ = V 1x = V x Γ + 1 Γ 1. Στην περίπτωση που Γ = 5/3 αυτός ο λόγος ισούται με 4, δηλ. ρ = 4 και V 1x = 4V x. Τα αποτελέσματα γενικά τροποποιούνται με την ύπαρξη μαγνητικού πεδίου. Αναφέρουμε δύο οριακές περιπτώσεις: Αν το μαγνητικό πεδίο είναι κάθετο στο επίπεδο της ασυνέχειας τόσο οι συνθήκες άλματος (7.5) (7.8) όσο και οι σχέσεις (7.9) δεν αλλάζουν (απλά σε αυτές προστίθεται η συνθήκη B 1x = B x σαν αποτέλεσμα της διατήρησης μαγνητικής ροής, B = 0). Αν το μαγνητικό πεδίο είναι πάνω στο επίπεδο της ασυνέχειας, τότε αφενός στη συνθήκη άλματος για τη διατήρηση ορμής η πίεση αντικαθίσταται από την ολική πίεση P + B 8π και αφετέρου στη συνθήκη άλματος για τη διατήρηση ενέργειας προστίθεται η ροή Poynting B 4π V x. Επίσης προστίθεται στις εξισώσεις η συνέχεια της εφαπτομενικής συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου E = V c B, η οποία δίνει ότι V 1xB 1 = V x B. Συνέπεια αυτών των αλλαγών είναι ο λόγος συμπίεσης να δίνεται από τη σχέση = Γ 1 + β β 1 M 1 Γ + 1 ( Γ β ) β 1 M1 ρ = V 1x V x = B B 1 = ( Γ)(Γ + 1) Γβ 1 M 1, (7.11) όπου β 1 = 8πP 1 B 1 ο λόγος θερμικής προς μαγνητική πίεση στο μέρος «1». Σε περίπτωση ισχυρής ασυνέχειας M 1 1 είναι ρ / = V 1x /V x = B /B 1 (Γ + 1)/(Γ 1) = 4 (για Γ = 5/3), ακριβώς όπως και στην περίπτωση με αμελητέο μαγνητικό πεδίο. Στο παράδειγμα με το έμβολο που κινείται με υπερηχητική ταχύτητα V ε μέσα σε ακίνητο μονατομικό αέριο, έστω η πυκνότητα και πίεση του αδιατάρακτου αερίου είναι και P 1, αντίστοιχα. Η ταχύτητα του ήχου στο μέρος

8 90 Υδροδυναμικές Ροές και Ωστικά Κύματα αυτό θα είναι C s1 = 5P 1 /3. Αν έχουμε ισχυρή ασυνέχεια V ε C s1 ο λόγος συμπίεσης θα είναι 4. Άρα η πυκνότητα στο μέρος του αερίου κοντά στο έμβολο που έχει συμπιεστεί (από το οποίο έχει περάσει το ωστικό κύμα) θα είναι ρ = 4 και η πίεση θα είναι P = (5/4)M1 P 1. Αν U είναι η ταχύτητα της ασυνέχειας, τότε στο σύστημα της ασυνέχειας θα είναι V 1 = U και V = U V ε, οπότε η σχέση V 1 = 4V δίνει την ταχύτητα του ωστικού κύματος U = (4/3)V ε.

9 7.4 Ασκήσεις Ασκήσεις Άσκηση 7.1: (α) Από τις συνθήκες μετάβασης σε ένα ισχυρό ωστικό κύμα δείξτε ότι ο λόγος θερμοκρασιών είναι T = γ (γ 1) M 1 T 1 (γ + 1), όπου M1 = V 1, C C1 1 = γ P 1. (β) Ενα ωστικό κύμα υπερκαινοφανούς κινείται με ταχύτητα v 1 = 500 km s 1 μέσα στο (ακίνητο) μεσοαστρικό υλικό, του οποίου η ταχύτητα ήχου είναι C 1 = 10 km s 1. Ποια η ταχύτητα και η θερμοκρασία του μεσοαστρικού υλικού από το οποίο έχει περάσει το ωστικό κύμα; Ελέγξτε αν η ροή σε αυτό το μέρος του ωστικού κύματος είναι υποηχητική. Το μεσοαστρικό υλικό μπορεί να θεωρηθεί ιδανικό μονατομικό αέριο πρωτονίωνηλεκτρονίων, με πίεση P = ρ m p / k BT. Δίνονται k B = , m p = , στο σύστημα cgs. Επίσης δίνονται οι σχέσεις: ρ = r = (γ + 1) M 1, P = 1 + γm + (γ 1) M1 1 P 1 ( 1 1 ). r Άσκηση 7.: (α) Δείξτε τις συνθήκες άλματος για [ τις ασυνέχειες υδροδυναμικών ροών ρv [ρv n ] = 0, [ρvn + P ] = 0, [ρv n V t ] = 0, V n + γ ] γ 1 P V n = 0, όπου «n» οι συνιστώσες κάθετα και «t» οι συνιστώσες πάνω στο επίπεδο της ασυνέχειας, ενώ η αγκύλη συμβολίζει διαφορά των ποσοτήτων στο μέρος «1» και στο μέρος, δηλ. [... ] = (... ) 1 (... ). Αναφέρατε τι εκφράζει κάθε μια από αυτές. (β) Με τη βοήθεια της P (γ + 1)r (γ 1) = που προκύπτει από τις συν- P 1 (γ + 1) (γ 1)r θήκες άλματος και την [ρv n + P ] = 0, δείξτε ότι r = r = ρ = V n1 V n είναι ο λόγος συμπίεσης και M n1 = V n1 C s1 με C s1 = (γ + 1)M n1, όπου + (γ 1)M n1 γ P 1. (γ) Η υπερηχητική ροή του σχήματος συναντά μια επίπεδη γωνία και «διαθλάται» ομοιόμορφα κατά supersonic flow γωνία θ, δημιουργώντας ένα πλάγιο ωστικό κύμα σε γωνία β ως προς τη διεύθυνση της αρχικής ροής. β θ Χρησιμοποιώντας τη διατήρηση της μάζας, τη διατήρηση ορμής παράλληλα shock

10 9 Υδροδυναμικές Ροές και Ωστικά Κύματα στο επίπεδο του ωστικού κύματος και την r = (γ + 1)M n1, βρείτε τη + (γ 1)Mn1 σχέση που συνδέει τη γωνία β με τα θ και M 1 = V 1 /C s1. Άσκηση 7.3: Ποιες οι συνθήκες άλματος για μια ασυνέχεια επαφής; Σε μια τέτοια περίπτωση δεν υπάρχει ροή κάθετα στην ασυνέχεια, απλά έχουμε δύο ρευστά σε επαφή.