Κ τελ Κ αρχ = W αντλ. + W w 1 2 m υ2-0 = W αντλ. - m gh W αντλ. = 1 2 m υ2 + m gh. Άρα η ισχύς της αντλίας είναι: dw m υ + m g h m υ + g h

Transcript

1 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα Α Κυριακή 19 Φεβρουαρίου 2017 Α1. δ Α2. β Α3. β Α4. γ Α5. α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Λ Θέµα Β Β1. Σωστή απάντηση είναι η γ. Στο δίσκο ασκούνται τρεις δυνάµεις: το βάρος w, που αναλύεται σε δυο συνιστώσες wσυνφ και σε wηµφ, η τάση του νήµατος Τ η οποία είναι παράλληλη στο κεκλιµένο επίπεδο και η δύνα- µη του επιπέδου η οποία αναλύεται σε δύο συνιστώσες την κάθετη δύναµη Ν από το επίπεδο στο σώµα και την στατική τριβή Τ σ. Αφού το στερεό ισορροπεί ισχύει: ΣF r x = 0 T + T σ = w ηµφ = = 5 N (1) Στ(Κ) = 0 Τ R - T σ R = 0 T = T σ (2) Από την σχέση (1) λόγω της (2) προκύπτει: 2T σ = 5 N T σ = 2,5 Ν. Β2. Σωστή απάντηση είναι η α. Εφαρµόζουµε ΘΜΚΕ για τη µετακίνηση µιας µάζας m νερού, από ένα σηµείο στον πυθµένα του πηγαδιού µέχρι την έξοδο της αντλίας και υπολογίζουµε το έργο της αντλίας:

2 Κ τελ Κ αρχ = W αντλ. + W w 1 2 m υ2-0 = W αντλ. - m gh W αντλ. = 1 2 m υ2 + m gh. Άρα η ισχύς της αντλίας είναι: dw m υ + m g h m υ + g h ρ V υ + g h P αντλ. = αντλ. = = = dt t t t P αντλ. = ρ Π υ + g h 2 = ρ Α υ υ + g h 2 2 P αντλ. = ( ) P αντλ. = 5000 W. Β3. Σωστή απάντηση είναι η α. Γνωρίζουµε ότι η ροπή αδράνειας ενός στερεού εκφράζει την αδράνεια αντίδραση στη στροφική του κίνηση, δηλαδή πόσο δύσκολα µεταβάλλεται η στροφική του κατάσταση κίνησης. Επίσης γνωρίζουµε από τη θεωρία ότι η ροπή αδράνειας ενός στερεού ως προς κά- 2 ποιο άξονα, υπολογίζεται από τη σχέση: I = Σm i r, όπου r είναι η απόσταση των στοιχειωδών µαζών του από τον άξονα περιστροφής. Έτσι, η ροπή αδράνειας ενός στερεού εξαρ- i τάται από την κατανοµή της µάζας του ως προς τον άξονα περιστροφής του και συγκεκρι- µένα, όσο πιο αποµακρυσµένα είναι τα υλικά σηµεία του από τον άξονα περιστροφής τόσο πιο µεγάλη είναι η ροπή αδράνειάς του. Έτσι στην περίπτωσή µας, το σώµα που θα σταµατήσει πιο δύσκολα είναι αυτό, που έχει τη µεγαλύτερη ροπή αδράνειας και αυτός είναι ο δίσκος Α, που έχει την πιο «απλω- µένη» µάζα ως προς τον άξονα περιστροφής. Θέµα Γ Στη γέφυρα ασκούνται 4 δυνάµεις: το βάρος της στο µέσο, οι δυο δυνάµεις από τα υποστηρίγµατα στα δυο άκρα και η αντίδραση του βάρους του αυτοκινήτου που είναι ίση µε το βάρος του αυτοκινήτου, δηλαδή: Ν = w 1 = N.

3 Γ1. Παίρνουµε τη συνθήκη ισορροπίας των ροπών ως προς το σηµείο Β και έχουµε: Στ(Β) = 0 Ν 1 L w L 2 - Ν L = 0 N 1 = w 2 + N N 1 = N. Γ2. Παίρνουµε τη συνθήκη ισορροπίας των ροπών ως προς το µέσο της γέφυρας και έχουµε: Στ (Μ) = 0 Ν 1 L 2 Ν ( L 2 - χ) Ν 2 L 2 = 0 Ν 1 = Ν2 Ν ( L 2 - χ) = 0 L 2 - χ = 0 χ = L 2 = 4 m. Γ3. Θα βρούµε µια σχέση που να συνδέει την δύναµη Ν 1 που δέχεται η ράβδος από το υ- ποστήριγµα µε την απόσταση χ που έχει διανύσει το αυτοκίνητο πάνω στην γέφυρα: Στ (Β) = 0 Ν 1 L w L 2 - N (L - χ) = 0 8 Ν 1 = (8 χ) Ν 1 = (8 χ) Ν 1 = χ (SI) (1). Επειδή το αυτοκίνητο κινείται οµαλά ισχύει η σχέση: χ = υ t, όπου υ = 1 m/s. Εποµένως, η σχέση (1) είναι ισοδύναµη µε τη: Ν = t (S.I.) (2) Η σχέση (2) είναι η σχέση που συνδέει τη δύναµη Ν 1 µε τον χρόνο και της οποίας θέλουµε να κάνουµε την γραφική παράσταση. Ο χρόνος για να περάσει το αυτοκίνητο την γέφυρα υπολογίζεται από την σχέση: χ = L = 8 m χ = υ t t = 8 s. Από τη σχέση (2) βρίσκουµε την ελάχιστη και µέγιστη τιµή της δύναµης Ν 1 θέτοντας t = 0 και t = 8 s : Ν 1(min) = N και N 1(max) = N. Το ζητούµενο διάγραµµα φαίνεται στο σχήµα.

4 Θέµα 1) Το σύστηµα των δύο κυλίνδρων κάνει οµαλά επιταχυνόµενη περιστροφική κίνηση, µε την ίδια γωνιακή επιτάχυνση, αφού οι δύο κύλινδροι στρέφονται γύρω από το ίδιο κέντρο, άρα: Στ (Κ) = Ι α γ Τ 1 R 1 Τ 2 R 2 = I α γ (1) N Τ 2 Τ 2 N 2 (Σ 2) Το σώµα (Σ 2 ) κάνει ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη µεταφορική κίνηση, άρα: r ΣF = m 2 a r cm(2) T 2 = m 2 α cm(2) (2) Τ 1 (Σ 1) K R 1 Τ 1 R 2 mg m 2g Το σώµα (Σ 1 ) κάνει ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη µεταφορική κίνηση, άρα: m 1g r ΣF = m 1 a r cm(1) m 1 g - T 1 = m 1 α cm(1) T 1 = m 1 g m 1 α cm(1) (3) 2) Επειδή το σχοινί είναι αβαρές, µη εκτατό και δεν ολισθαίνει στην περιφέρεια των δύο κυλίνδρων όλα τα σηµεία του, κάθε χρονική στιγµή, θα έχουν την ίδια ταχύτητα άρα και την ίδια επιτάχυνση (α = dυ ), οπότε θα ισχύει: dt α cm(1) = α γ R 1 και α cm(2) = α γ R 2 (4) 3) Από την (1) λόγω της (2), (3) και (4) παίρνουµε: (m 1 g m 1 α γ R 1 ) R 1 - m 2 α γ R 2 R 2 = I a γ (20 0,4 α γ ) 0,2-0,01 α γ = 0,01 a γ 4 0,08 α γ - 0,01 α γ = 0,01 a γ 4 = 0,1 α γ α γ = 40 rad/s 2. Το θετικό πρόσηµο στην αλγεβρική τιµή της γωνιακής επιτάχυνσης σηµαίνει ότι το διάνυσµα της γωνιακής επιτάχυνσης είναι πάνω στον άξονα περιστροφής µε την κατεύθυνση του σχήµατος (σηµειώνεται παράπλευρα χάριν σαφήνειας). Στο σχήµα φαίνονται και οι κατευθύνσεις των a r cm(1) και a r cm(2).

5 4) Το Σ 1 έχει πέσει κατά y 1 = 4 m τη χρονική στιγµή: α cm 1 = α R y 1 = 1 2 a cm(1) t 2 ( ) γ 1 2 y1 8 t = = α R 8 t = 1 s. γ 1 Αυτή τη στιγµή η γωνιακή µετατόπιση της διπλής τροχαλίας είναι: θ = 1 2 α γ t 2 θ = 20 rad. Άρα ο αριθµός των περιστροφών που έχει κάνει η διπλή τροχαλία στο χρονικό διάστηµα που χρειάσθηκε το σώµα Σ 1 για να κατέβει κατά y 1 = 4 m είναι: Ν = θ = = 2π 2π π Ν = 10 π περιστροφές Η µετατόπιση του σώµατος Σ 2 στο χρονικό διάστηµα που χρειάσθηκε το σώµα Σ 1 να κατέβει κατά y 1 = 4 m είναι: α cm = α R χ 2 = 1 2 a cm(2) t 2 ( 2) γ 2 χ 2 = 1 2 a γ R 2 t 2 χ 2 = 2 m.