ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Διάδοση οπτικών παλμών εντός οπτικών ινών στο πλαίσιο της μη-γραμμικής εξίσωσης Schrӧdinger. ΦΟΙΤΗΤΗΣ Ευάγγελος Λαζαρίδης ΑΕΜ.:1166 ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Εμμανουήλ Κριεζής ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Ιούλιος 2012

2 Περιεχόμενα Πρόλογος... 2 Κεφάλαιο 1 Μη γραμμικά φαινόμενα στις οπτικές συχνότητες Μη γραμμικά φαινόμενα στις οπτικές ίνες Επιδεκτικότητα τρίτης τάξης και το ατομικό μοντέλο Lorentz Κεφάλαιο 2 Εξίσωση διάδοσης σε μη γραμμικό μέσο Κεφάλαιο 3 Μέθοδος δέσμης στις οπτικές ίνες Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές εφαρμογές Διασπορά ταχύτητας ομάδας Αυτοδιαμόρφωση φάσης (SPM) Μη γραμμικά φαινόμενα ανώτερης τάξης Αυτοδιαμόρφωση κλήσης Ενδοπαλμική διαμόρφωση Raman Οπτικά σολιτόνια Φωτεινά σολιτόνια Σκοτεινά σολιτόνια Παράρτημα Αλγόριθμος του προγράμματος Περιγραφή προγράμματος Περιγραφή προγράμματος προσομοίωσης Βοηθητικές συναρτήσεις Το πρόγραμμα Συναρτήσεις Συνάρτηση diasp Συνάρτηση Nlin Συνάρτηση gonia Συνάρτηση Chirp Συνάρτηση Br Συνάρτηση dc Συνάρτηση dc Βιβλιογραφία Σελίδα 1

3 Πρόλογος Η παρούσα εργασία έχει ως αντικείμενο την παρουσίαση μιας σειράς μη γραμμικών φαινομένων τα οποία, σε συνδυασμό με το φαινόμενο της διασποράς ταχύτητας ομάδας, διέπουν την μετάδοση του φωτός στις οπτικές ίνες. Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η φυσική εξήγηση της προέλευσης των μη γραμμικών φαινομένων, όπως εμφανίζονται στις οπτικές ίνες. Εξήγηση που βασίζεται στις ιδιότητες της αλληλεπίδρασης του φωτός με την ύλη. Εισάγεται η έννοια της επιδεκτικότητας τρίτης τάξης που έχει καθοριστική σημασία στην κατανόηση των μη γραμμικών φαινομένων στις οπτικές ίνες. Επίσης, συνδέεται η αλληλεπίδραση του ατόμου και του φωτός με τα μακροσκοπικά μεγέθη, όπως αυτά εκφράζονται μέσω της επιδεκτικότητας. Το αρμονικό μοντέλο Lorentz του ατόμου εξηγεί με επιτυχία τα περισσότερα από τα μη γραμμικά φαινόμενα, που συναντάμε στης οπτικές ίνες. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται η λύση της κυματικής εξίσωσης στην περίπτωση μετάδοσης σε μονόρρυθμης οπτική ίνα, λαμβάνοντας υπόψη, μέσω της πόλωσης τρίτης τάξης, τα μη γραμμικά φαινόμενα. Στην εξίσωση αυτή ενσωματώνεται και το μη γραμμικό φαινόμενο Raman. Η εξίσωση μετάδοσης περιγράφει με επιτυχία γραμμικά φαινόμενα διασποράς δεύτερης και τρίτης τάξης, καθώς και μη γραμμικά φαινόμενα όπως την αυτοδιαμόρφωση φάσης (SPM) και κλήσης, την ενδοπαλμική σκέδαση Raman και τη δημιουργία σολιτονίων σε συνθήκες ανώμαλης και ομαλής διασποράς. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η θεωρία της μεθόδου μικτού βήματος Fourier (SSFM), μιας υλοποίησης της μεθόδου δέσμης, που εφαρμόζεται στην περίπτωση των οπτικών ινών. Η ανάλυση στην ενότητα αυτή θέτει τις θεωρητικές βάσεις, οι οποίες επιτρέπουν τη δημιουργία προγράμματος για τη μελέτη της διάδοσης των οπτικών παλμών σε οπτικές ίνες. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα αποτελέσματα, που ελήφθησαν με την εφαρμογή του προγράμματος. Μαζί με τα αποτελέσματα υπάρχει για κάθε περίπτωση σύντομη θεωρητική ανάλυση των αντιστοίχων φαινομένων. Το παράρτημα περιέχει τον αλγόριθμο του προγράμματος, το πρόγραμμα γραμμένο με την βοήθεια του Matlab, το οποίο χρησιμοποιείται για την ανάλυση και παρουσίαση των φαινομένων, που περιγράφονται από την γενικευμένη μη γραμμική εξίσωση Schrödinger (NLS), όπως αυτή προέκυψε από την ανάλυση του δεύτερου κεφαλαίου και τους κώδικες των συναρτήσεων και του προγράμματος. Ευάγγελος Λαζαρίδης Σελίδα 2

4 Κεφάλαιο 1 Μη γραμμικά φαινόμενα στις οπτικές συχνότητες 1.1 Μη γραμμικά φαινόμενα στις οπτικές ίνες Η μη γραμμική απόκριση των υλικών σε συνθήκες φυσικού φωτισμού, που μας περιβάλλει είναι τόσο μικρή, που για πολύ καιρό δε γινόταν αντιληπτή. Η εμφάνιση ισχυρών πηγών φωτός επέτρεψε την παρατήρηση των πρώτων μη γραμμικών φαινομένων. Η εφεύρεση του laser και κατά συνέπεια η επίτευξη πυκνοτήτων ισχύος ακτινοβολίας κατά πολλές τάξεις μεγέθους μεγαλύτερες από διαθέσιμες ως τότε, επέτρεψε τη συστηματική μελέτη μιας καινούριας κατηγορίας φαινομένων. Τα φαινόμενα αυτά δε μπορούν να περιγραφούν με γραμμικές εξισώσεις. Τα επόμενα χρόνια αναπτύχθηκαν μη γραμμικά μοντέλα που με μεγάλη ακρίβεια περιγράφουν πληθώρα φαινομένων. Το πρώτο φαινόμενο, που ερευνήθηκε και περιγράφηκε αμέσως μετά την ανακάλυψη των laser, ήταν η δημιουργία της δεύτερης αρμονικής. Η μελέτη των μη γραμμικών φαινομένων στις οπτικές ίνες έχει πολύ μεγάλη σημασία, καθώς η επίδραση τους μπορεί να υποβιβάσει την ποιότητα επικοινωνίας. Η κατανόηση των μη γραμμικών φαινομένων, όχι μόνο επέτρεψε τον περιορισμό των καταστρεπτικών συνεπειών τους, αλλά οδήγησε στη χρήση τους για τη βελτίωση ποιότητας επικοινωνίας καθώς και τη δημιουργία καινούριων τρόπων επικοινωνίας. Κατασκευάστηκαν όχι μόνο καινούργια εξαρτήματα, αλλά και ολόκληρα συστήματα βασισμένα στη μη γραμμική απόκριση της ύλης στο φως. Οι οπτικές ίνες εμφανίζουν εν γένει πολύ μικρή μη γραμμικότητα. Παρόλα αυτά τα μη γραμμικά φαινόμενα εμφανίζονται σχετικά εύκολα. Αυτό συμβαίνει κυρίως για δύο λόγους. Πρώτον η πυκνότητα ισχύος, λόγω της πολύ μικρής διατομής, είναι πολύ μεγάλη. Δεύτερον, λόγω του μεγάλου μήκους της αλληλεπίδρασης του φωτός με το υλικό της ίνας, που επιτυγχάνεται λόγω μικρών απωλειών της τάξης 0.2 db/km στα 1.55 μm. Το γινόμενο της έντασης I 0 ( Ι 0 =ισχύς P /ενεργή επιφάνεια διατομής της ακτίνας ) επί το μήκος L eff της αλληλεπίδρασης καθορίζουν το μέγεθος των φαινομένων. Σε ένα συμπαγές κομμάτι υλικού ( ) ( ) (1.1.1) όπου η ακτίνα δέσμης και Σε μονόρρυθμη οπτική ίνα η ακτίνα δέσμης καθορίζεται από την διατομή του πύρινα και, λόγω της διηλεκτρικής κυματοδήγησης, διατηρείται σταθερή σε όλο το μήκος της ίνας. Το μήκος αλληλεπίδρασης περιορίζεται μόνο από τις απώλειες της ίνας, συνεπώς [ ] (1.1.2) Σελίδα 3

5 απ όπου προκύπτει: (1.1.3) όπου υποθέσαμε Τυπικές αριθμητικές τιμές για λ=1.55μm, w 0 =2μm, α=0.2db/km δείχνει την ενίσχυση του κατά περίπου εννέα τάξης μεγέθους (10 9 ). Ως μη γραμμικά φαινόμενα ορίζονται αυτά κατά τα οποία η απόκριση του υλικού, όπως εκφράζεται μέσω της πόλωσης, στο εφαρμοζόμενο ηλεκτρικό πεδίο, είναι μη γραμμική. Η πόλωση (η ηλεκτρική ροπής διπόλου ανά μονάδα όγκου) του υλικού αποτελεί συνάρτηση του ηλεκτρικού πεδίου: [ ] (1.1.4) όπου η συνάρτηση είναι μη γραμμική. Γενικά η πόλωση εκφράζεται με την μορφή αναπτύγματος δυνάμεων του εφαρμοζόμενου ηλεκτρικού πεδίου: { } (1.1.5.α) (1.1.5.β) Γενικά ορίζεται ως συνιστώσα της πόλωσης βαθμού η πολλαπλή συνέλιξη (1.1.6) Η ολική επαγόμενη πόλωση μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα του γραμμικού μέρους και του μη γραμμικού: (1.1.7) Η επαγόμενη πόλωση στα γραμμικά οπτικά συστήματα είναι η ή ισοδύναμα και εκφράζεται ως: (1.1.8) ( ) = ( ) ( ) (1.1.9) όπου είναι η γραμμική επιδεκτικότητα και η διαπερατότητα του κενού. Το μη γραμμικό μέρος είναι το άθροισμα (1.1.10) Σελίδα 4

6 Η συνάρτηση Green μεταβλητές : της εξίσωσης (1.1.6) είναι συμμετρική ως προς τις (1.1.11) Επίσης ισχύει για τη συνάρτηση αυτή η χρονική αιτιότητα: (1.1.12) Στα χρονικά αμετάβλητα συστήματα η συνάρτηση Green είναι η γνωστή από τα ηλεκτρικά κυκλώματα κρουστική απόκριση. Υπολογίζοντας το μετασχηματισμό Fourier της (1.1.6) προκύπτει ( ) ( ) (1.1.13) Η συνάρτηση Dirac εξασφαλίζει την ισότητα του ορίσματος του αθροίσματος των συχνοτήτων των ηλεκτρικών πεδίων με το όρισμα του μετασχηματισμού Fourier της πόλωσης. Αυτό σημαίνει ότι κάθε συνιστώσα της πόλωσης βαθμού προκύπτει από την αλληλεπίδραση φωτονίων με το υλικό και περιγράφεται από τη μη γραμμική επιδεκτικότητα: ( ) ( ) (1.1.14) Η συμμετρία της συνάρτησης Green ως προς τις μεταβλητές συνεπάγεται ότι η μη γραμμική επιδεκτικότητα υπακούει στη συμμετρία ως προς τις συχνότητες: ( ) ( ) (1.1.15) Σε γενική περίπτωση εξετάζουμε τις αλληλεπιδράσεις της ύλης με επίπεδα κύματα με διαφορετικές συχνότητες, εντάσεις και πολώσεις: μονοχρωματικά (1.1.16) Σελίδα 5

7 όπου c.c. συζυγές μιγαδικό ( ) και είναι το πλάτος του κύματος στην κατεύθυνση. Ο μετασχηματισμός Fourier της είναι (1.1.17) Επομένως κάθε φασματική συνιστώσα της πόλωσης βαθμού προκύπτει ως άθροισμα των συχνοτήτων από τις του φάσματος της ακτινοβολίας : ( ) { } (1.1.18) ( ) όπου για. Μετά από το χωρισμό της κάθε συνιστώσας της συχνότητας της πόλωσης προκύπτει { } (1.1.19) όπου είναι όλες οι διακριτές τιμές { } των αθροισμάτων των συχνοτήτων από τις του φάσματος του ηλεκτρικού πεδίου. Ο συμβολισμός σημαίνει: { } (1.1.20) Η παρουσία στη μη γραμμική πόλωση όλων των δυνατών συνδυασμών των συχνοτήτων της προσπίπτουσας ακτινοβολίας συχνά ονομάζεται μίξη συχνοτήτων. Ένα σχετικό παράδειγμα της εφαρμογής των παραπάνω είναι η ενίσχυση μιας ασθενούς ακτινοβολίας με μια ισχυρή όταν αλληλεπιδρούν ταυτόχρονα σε υλικό, που εμφανίζει μη γραμμικότητα τρίτης τάξης. Σχ Σχέδιο πειράματος όπου δυο δέσμες λέιζερ προσπίπτουν στο υλικό. Σελίδα 6

8 Έστω για απλότητα οι δύο ακτινοβολίες είναι πολωμένες κατά τον άξονα ίδια κατεύθυνση: και έχουν την (1.1.21) και επιπλέον ισχύει τάξης στη συχνότητα. Θέλουμε να βρούμε την έκφραση της πόλωσης τρίτης. Αντικαθιστώντας την (1.1.21) στην (1.1.20) προκύπτει [ (1.1.22) ] και λόγω της συμμετρίας της ως προς τις συχνότητες και του γεγονότος ότι ισχύει,, τελικά προκύπτει [ ( ) ( ) ] (1.1.23) επιπλέων λαμβάνοντας, τελικά προκύπτει [ ( ) ] (1.1.24) Από τη σχέση αυτή προκύπτει η δυνατότητα ενίσχυσης μιας ασθενούς ακτινοβολίας με συχνότητα με ταυτόχρονη εισαγωγή στο μη γραμμικό μέσο ακτινοβολίας με συχνότητα. Σε περίπτωση μη γραμμικών φαινομένων στις οπτικές ίνες λαμβάνονται συνήθως επιδεκτικότητες έως τρίτης τάξης: { } ( α), ( β) όπου οι ποσότητες και είναι γνωστές ως επιδεκτικότητες δεύτερης και τρίτης τάξης, αντίστοιχα. Η βαθμωτές σχέσεις (1.1.25) ισχύουν στην απλή περίπτωση που τα πεδία και θεωρούνται βαθμωτά μεγέθη. Γενικά τα μεγέθη αυτά είναι διανυσματικά και η ποσότητες,, παίρνουν τη μορφή τανυστών δευτέρου, τρίτου και τετάρτου βαθμού, αντίστοιχα. Η παραπάνω μορφή των εξισώσεων (1.25) υποθέτει την εξάρτηση της πόλωσης από τη στιγμιαία τιμή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. Η παραδοχή Σελίδα 7

9 αυτή, που είναι αποδεκτή για παλμούς με διάρκεια πολύ μεγαλύτερη από το χρόνο απόκρισης της ύλης, μέσω των σχέσεων Kramer-Kronig: (1.1.26a) (1.1.26b) συνεπάγεται ότι το μέσο διάδοσης δεν έχει απώλειες και δεν εμφανίζει διασπορά. Η τάξη μεγέθους των, στην κοινή περίπτωση της αλληλεπίδρασης του πεδίου με τα ηλεκτρόνια του μέσου, προσδιορίστηκε προσεγγιστικά για υδρογόνο: (1.1.27) (1.1.28) όπου η είναι της τάξης μεγέθους της έντασης του ατομικού ηλεκτρικού πεδίου. Η σπουδαιότητα της γνώσης της επιδεκτικότητας έχει να κάνει με το γεγονός ότι στα μη γραμμικά φαινόμενα κατά την αλληλεπίδραση του φωτός με την ύλη, η πόλωση εκφράζεται ως συνάρτηση της έντασης του εφαρμοζόμενου ηλεκτρικού πεδίου. Με αυτό τον τρόπο η χρονικά μεταβαλλόμενη πόλωση δρα ως πηγή μιας νέας συνιστώσας του ηλεκτρομαγνητικού πεδίο. Αυτό έχει ως συνέπεια στις οπτικές ίνες η εξίσωση κύματος να αποκτά τη μορφή (1.1.29) όπου ο δείκτης διάθλασης του μέσου, η ταχύτητα του φωτός στο κενό. Η πόλωση σχετίζεται με τη μη γραμμική απόκριση του μέσου στο ηλεκτρικό πεδίο. Η επιδεκτικότητα δεύτερης τάξης ηλεκτρικό πεδίο έχει τη μορφή στην περίπτωση ακτίνας laser, της οποίας το (1.1.30) σχετίζεται με την πόλωση δεύτερης τάξης πράξεις προκύπτει και μετά από κάποιες ( ) (1.1.31) Η πρώτη συνιστώσα περιγράφει τη δημιουργία στο μέσο στατικού ηλεκτρικού πεδίου, ενώ η δεύτερη τη γένεση ακτινοβολίας σε συχνότητα διπλάσια της συχνότητας του αρχικού πεδίου. Σε υλικά που εμφανίζουν συμμετρία ως προς το κέντρο τους η επιδεκτικότητα Σελίδα 8

10 δευτέρου βαθμού εξαφανίζεται,. Πολλά υλικά εμφανίζουν τέτοια συμμετρία. Μεταξύ αυτών και το άμορφο τηγμένο διοξείδιο του πυριτίου, υλικό από το οποίο κατασκευάζονται οι συνηθισμένες οπτικές ίνες. Αυτός είναι και ο λόγος, που στην περίπτωση αυτή μας ενδιαφέρει η επιδεκτικότητα τρίτης τάξης, ως χαρακτηριστικό του υλικού, που μέσω της σχέσης: ή γενικά: (1.1.32) (1.1.33), όπου ο συμβολισμός σημαίνει ότι κάθε συνιστώσα της πόλωσης είναι (1.1.34) ορίζει τα μη γραμμικά φαινόμενα τρίτης τάξης. Η πόλωση στην (1.1.33) προκύπτει ως συνάρτηση των τιμών του ηλεκτρικού πεδίου στο προηγούμενο χρονικό διάστημα και επομένως δε θεωρείται ότι ακολουθεί μόνο τη στιγμιαία ένταση του ηλεκτρικού πεδίου που την διεγείρει. Στην περίπτωση που στη σχέση (1.1.32) η = Ɛcos(ωt) και με εφαρμογή της ταυτότητας (3, η επαγόμενη πόλωση παίρνει τη μορφή: [ ] (1.1.35) Ο πρώτος όρος στην (1.1.35) υποδεικνύει τη δημιουργία συνιστώσας με συχνότητα 3, ενώ ο δεύτερος όρος τη μη γραμμική συνεισφορά στην συχνότητα του προσπίπτοντος πεδίου, οδηγώντας στη μη γραμμική συνεισφορά στο δείκτη διάθλασης του μέσου. Είναι δυνατόν σε αυτή την περίπτωση ο δείκτης διάθλασης να έχει τη μορφή:, (1.1.36) όπου είναι η ένταση του προσπίπτοντος κύματος και το ο γραμμικός δείκτης διάθλασης. Η ποσότητα που εκφράζει το μη γραμμικό δείκτη διάθλασης, θα προσδιοριστεί αργότερα. Στην περίπτωση που στη σχέση (1.1.32) η έχει τη μορφή: (1.1.37) ο υπολογισμός της δίνει 44 διαφορετικές συχνότητες, τις: Σελίδα 9

11 (1.1.38) καθώς και τις αντίστοιχες αρνητικές τους. Η πόλωση τρίτης τάξης σε αυτή την περίπτωση μπορεί να γραφεί στο πεδίο των συχνοτήτων: ( ) (1.1.39) ή αθροίζοντας τα και εισάγοντας τον αριθμό των διακριτών μεταθέσεων των συχνοτήτων ως: ( ) (1.1.40) Για ακτινοβολία της μορφής (1.1.37) τελικά παίρνουμε τα πλάτη για τις θετικές συχνότητες: (a) (1.1.41) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) (p) (r) (s) (t) (u) (v) (w). Οι αριθμοί 1,3,6 μπροστά από κάθε όρο των εξισώσεων ( a έως w) αντιστοιχούν στον αριθμό των διακριτών μεταθέσεων στις οποίες εμφανίζονται οι συγκεκριμένες συχνότητες και στη σχέση (1.1.40) εκφράζονται με τον D. Η επιδεκτικότητα τρίτης τάξης είναι τανυστής τετάρτης τάξης, άρα έχει 3 4 = 81 στοιχεία. Η πολυπλοκότητα των σχέσεων Σελίδα 10

12 μειώνεται σημαντικά, αν λάβουμε υπόψη τη συμμετρία που υπάρχει στο τηγμένο διοξείδιο του πυριτίου και άλλα ισοτροπικά υλικά. Επειδή στην περίπτωση συμμετρίας ως προς το κέντρο, κάθε άξονας πρέπει να έχει τις ίδιες ιδιότητες ισχύει: (a) (1.1.42) (b) (c) (d) Τα υπόλοιπα στοιχεία ισούνται με μηδέν. Επίσης, περιστρέφοντας το σύστημα συντεταγμένων και απαιτώντας τη διατήρηση τιμών της επιδεκτικότητας στα δύο αυτά συστήματα, αποδεικνύεται ότι: (1.1.43) Ο συλλογισμός που οδηγεί στις (1.1.42) και (1.1.43) αποτυπώνεται σύντομα:. (1.1.44) Στην περίπτωση της αλλαγής του δείκτη διάθλασης (πόλωση στην εφαρμοζόμενη συχνότητα) στην (1.1.40) θέτουμε και προσδιορίζουμε την πόλωση για. Λόγω της εγγενής αντιμεταθετικής συμμετρίας της επιδεκτικότητας πρέπει, για και =ω, να είναι άρα: ( ) ( ) (1.1.45) Η εξίσωση (1.1.40) παίρνει τη μορφή: (1.1.46) και με αντικατάσταση της (1.1.44) στην (1.1.45) τελικά προκύπτει (1.1.47) ή σε διανυσματική μορφή (1.1.48) Παρατηρούμε ότι η πόλωση έχει δύο συνιστώσες με διαφορετική φυσική σημασία, καθώς η πρώτη ακολουθεί την περιστροφή του ενώ η δεύτερη την περιστροφή του. Μερικές φορές είναι χρήσιμο η πόλωση να γράφεται στη μορφή (1.1.49) όπου η ενεργή επιδεκτικότητα έχει τη μορφή: Σελίδα 11

13 (1.1.50) Στην περίπτωση μετάδοσης γραμμικά πολωμένου πεδίου στην ίνα με διατήρηση της πόλωσης του και και σε συχνότητες πολύ μικρότερες από την συχνότητα συντονισμού των ατόμων προκύπτει: (1.1.51) Έχει βρεθεί από το κβαντομηχανικό μοντέλο ηλεκτρονικών μη γραμμικών φαινομένων η προσεγγιστική τιμή της, που σε συνθήκες μη συντονισμού του ατόμου είναι (1.1.52) όπου μ η ροπή ατομικού διπόλου, η σταθερά του Planck και η ατομική πυκνότητα. Ακολουθεί ένας πίνακας τιμών των,,και για συνήθη υλικά για εφαρμογές στις οπτικές συχνότητες. Υλικό n 0 x 1111 ( n 2 ( Διαμάντι 2,42 Ζαφείρι 1,83 Τηγμένο διοξείδιο 1,47 του πυριτίου CaF Η παραπάνω θεώρηση της επιδεκτικότητας περιγράφει μακροσκοπικές σχέσεις μεταξύ του εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου και της πόλωσης. Οι σχέσεις αυτές είναι ο μέσος όρος της συνεισφοράς όλων των φορτίων του συστήματος και των εξωτερικών πεδίων. Σχ Υπολογισμός τοπικού πεδίου Lorenz. Σελίδα 12

14 Για να υπολογίσουμε την επαγόμενη ροπή διπόλου του ενδεικτικού μορίου του υλικού, υποθέτουμε ότι το μέσο δεν έχει απώλειες, ούτε εμφανίζει διασπορά. Η επαγόμενη ροπή διπόλου του μορίου είναι (1.1.53) όπου α η πολωσιμότητα του μορίου. Το τοπικό πεδίο προκύπτει ως υπέρθεση του εξωτερικού πεδίου και των πεδίων όλων των μορίων, πλην του εξεταζόμενου. Ακλουθώντας τη διαδικασία που περιέγραψε ο Lorenz παίρνουμε μια σφαίρα με κέντρο ρο εξεταζόμενο μόριο, τέτοια ώστε να περιέχει μεγάλο αριθμό μορίων. Το συνολικό πεδίο στο κέντρο της σφαίρας, που οφείλεται σε όλα τα μόρια πλην του κεντρικού, τείνει στο μηδέν. Ο υπολογισμός του πεδίου ανάγεται στον υπολογισμό του πεδίου στο κέντρο σφαίρας, και έχει βρεθεί: (1.1.54) όπου και η πυκνότητα φορτίων. Γενικά η πόλωση έχει γραμμική και μη γραμμική συνεισφορά και η διηλεκτρική μετατόπιση είναι (1.1.55) Η διηλεκτρική μετατόπιση είναι το μέγεθος μέσω του οποίου εισάγονται τα μη γραμμικά χαρακτηριστικά ενός υλικού στην εξίσωση κύματος, η λύση της οποίας περιγράφει τη μετάδοση του φωτός στην οπτική ίνα. Η μη γραμμική απόκριση της οπτικής ίνας στη συχνότητα διέγερσης θεωρείται ότι έχει την προέλευση στη μη γραμμική μεταβολή του δείκτη διάθλασης και περιγράφεται με την εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου, σύμφωνα με τη σχέση: (1.1.56) όπου η μέση χρονική τιμή του και ο μη γραμμικός δείκτης διάθλασης. Για οπτικό πεδίο της μορφής: ( ) (1.1.57) η μέση τιμή παίρνει τη μορφή: (1.1.58) επομένως, (1.1.59) Στο σημείο αυτό θα συσχετίσουμε την επιδεκτικότητα τρίτης τάξης με το δείκτη διάθλασης. Η ολική πόλωση στην συχνότητα γράφεται: Σελίδα 13

15 (1.1.60) Από τις σχέσεις ( ) (1.1.61) και (1.1.62) και λαμβάνοντας ( α) ( β) προκύπτει ότι ο μη γραμμικός δείκτης σχετίζεται με την επιδεκτικότητα τρίτης τάξης, σύμφωνα με τη σχέση: ( ) (1.1.64) και ο μη γραμμικός συντελεστής απορρόφησης, που προκύπτει από τα μη γραμμικά φαινόμενα που σχετίζονται με την επιδεκτικότητα 3 τάξης είναι ( ) (1.1.65) Ο συντελεστής αυτός έχει πολύ μικρή τιμή σε σχέση με το συντελεστή απορρόφησης που προκύπτει από την επιδεκτικότητα πρώτης τάξης και συνήθως παραλείπεται. Η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου οδηγεί σε έναν αριθμό φαινομένων από τα οποία τα σπουδαιότερα είναι η αυτοδιαμόρφωση φάσης (SPM) και η αλληλοδιαμόρφωση φάσης (XPM). Η πρώτη αναφέρεται στη διαμόρφωση φάσης από το ηλεκτρικό πεδίο κατά τη μετάδοση του, και είναι (1.1.66) όπου, το μήκος της ίνας και (1.1.67) η μη γραμμική μετατόπιση φάσης. Η αυτοδιαμόρφωση φάσης οδηγεί στη διεύρυνση των οπτικών παλμών ή στη δημιουργία σολιτονίων ( μοναχικό κύμα ) σε συνθήκες κατάλληλης διασποράς. Η αλληλοδιαμόρφωση φάσης αναφέρεται στη μη γραμμική μετατόπιση φάσης ενός οπτικού πεδίου επαγόμενη από άλλο πεδίο, το οποίο έχει διαφορετική συχνότητα, Σελίδα 14

16 διεύθυνση μετάδοσης ή πόλωση. Έτσι στην περίπτωση που έχουμε δύο κύματα με διαφορετικές συχνότητες: [ ] (1.1.68) η μη γραμμική μετατόπιση φάσης είναι (1.1.69) Σελίδα 15

17 1.2 Επιδεκτικότητα τρίτης τάξης και το ατομικό μοντέλο Lorentz Σε ένα στερεό διηλεκτρικό υλικό, σε αντίθεση με τους αγωγούς τα ηλεκτρικά φορτία είναι χωρικά περιορισμένα, που σημαίνει ότι κινούνται μόνο γύρω από τη θέση ισορροπίας. Το ηλεκτρικό πεδίο προσπίπτουσας ακτινοβολίας προκαλεί την κίνηση των θετικών φορτίων προς την κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου και των αρνητικών προς την αντίθετη. Σχ Ηλεκτρικό δίπολο σε διηλεκτρικό μέσο παρουσία εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου. Κάθε δίπολο του υλικού πάλλεται υπό την επίδραση του ηλεκτρικού πεδίου και με αυτό τον τρόπο το ίδιο γίνεται μια καινούργια πηγή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. Το φαινόμενο αυτό αναφέρεται ως πόλωση του υλικού (Σχ.1.2.1). Σχέδιο Η πόλωση επαγόμενη από ηλεκτρικό πεδίο μικρής έντασης, που έχει ως αποτέλεσμα την απόκριση μόνο σε συχνότητα ίδια με αυτή του εφαρμοζόμενου πεδίου. Σελίδα 16

18 Όταν η προσπίπτουσα ακτινοβολία έχει μικρή ένταση, τότε η μετατόπιση των φορτίων του μέσου είναι ανάλογη του πεδίου αυτού (Σχέδιο 1.2.2). Το παραγόμενο από τα δίπολα πεδίο έχει την ίδια συχνότητα με αυτό που το διεγείρει. Αντίθετα, όταν η ένταση της διέγερσης είναι μεγάλη η μετατόπιση φορτίων δεν ακολουθεί το ηλεκτρικό πεδίο γραμμικά, κάτι που προκαλεί την δημιουργία ακτινοβολίας με συχνότητα ίδια άλλα και με συχνότητες διαφορετικές της αρχικής του προσπίπτον πεδίου (Σχέδιο 1.2.3). Σχέδιο Η πόλωση επαγόμενη από ηλεκτρικό πεδίο μεγάλης έντασης, που έχει ως αποτέλεσμα την απόκριση και σε συχνότητες διαφορετικές από την συχνότητα του εφαρμοζόμενου πεδίου. Το μοντέλο Lorentz, το οποίο χειρίζεται το άτομο ως έναν αρμονικό ταλαντωτή παρέχει πολύ καλή περιγραφή των γραμμικών οπτικών ιδιοτήτων της ύλης για μια μεγάλη κατηγορία υλικών όπως τα αέρια και τα μη μέταλλα στερεά. Στην περίπτωση αυτή η μετατόπιση από την κατάσταση ισορροπίας του ηλεκτρονίου περιγράφεται ως (1.2.1) όπου το είναι το εφαρμοζόμενο ηλεκτρικό πεδίο, είναι το φορτίο του ηλεκτρονίου και το η μάζα ηλεκτρονίου. Η συχνότητα είναι η ιδιοσυχνότητα του ηλεκτρονίου στο άτομο και ο όρος αντιστοιχεί στη δύναμη απόσβεσης. Η δύναμη επαναφοράς είναι Το αντίστοιχο δυναμικό της έχει την μορφή: (1.2.2) (1.2.3) Στην περίπτωση μη γραμμικού υλικού θεωρούμε ότι η δύναμη επαναφοράς στην Σελίδα 17

19 κατάσταση ισορροπίας δεν ακολουθεί γραμμικά τη μετατόπιση από την κατάσταση αυτή. Η ανάπτυξη της δύναμης επαναφοράς σε σειρά Taylor έχει την μορφή: (1.2.4) άρα η εξίσωση που περιγράφει την μετατόπιση, κρατώντας τους τρεις πρώτους όρους του αναπτύγματος της δύναμης επαναφοράς, έχει την μορφή: (1.2.5) Το αντίστοιχο δυναμικό είναι (1.2.6) όπου και σταθερές, που καθορίζουν το μέγεθος των αντίστοιχων μη γραμμικών φαινομένων. Σχ Επίδραση δευτέρου βαθμού στο δυναμικό. Σχ Επίδραση τρίτου βαθμού στο δυναμικό. Στην περίπτωση υλικού όπως το τηγμένο διοξείδιο του πυριτίου παρατηρήθηκε ότι τα μόρια του εμφανίζουν συμμετρία ως προς το κέντρο τους, άρα πρέπει: (1.2.7) Από τα σχήματα και προκύπτει ότι τέτοια συμμετρία υπάρχει μόνο παρουσία μη γραμμικότητας τρίτης τάξης, άρα στην εξίσωση (1.2.5) πρέπει η σταθερά. Στην περίπτωση αυτή η δύναμη επαναφοράς γράφεται Σελίδα 18

20 (1.2.8) Ο δεύτερος όρος της (1.2.8) έχει τη συγκεκριμένη δομή, διότι είναι τρίτης τάξης ως προς την μετατόπιση και έχει την ακτινική κατεύθυνση, τη μόνη δυνατή σε ένα ισοτροπικό μέσο. Η εξίσωση μετατόπισης από την κατάσταση ισορροπίας είναι (1.2.9) Το εφαρμοζόμενο πεδίο έχει τη μορφή: (1.2.10) Δεν είναι γνωστή αναλυτική λύση για τη συνάρτηση (1.2.9) όταν το εφαρμοζόμενο πεδίο έχει τη μορφή (1.2.10). Στην περίπτωση που ο μη γραμμικός όρος είναι πολύ μικρότερος του γραμμικού όρου για κάθε μετατόπιση από την ισορροπία η εξίσωση μπορεί να λυθεί με την μέθοδο των διαταραχών. Αντικαθιστούμε την με όπου το είναι παράμετρος με συνεχές τιμές 0. Ο θα λάβει τιμή ένα στο τέλος των υπολογισμών. Η (1.2.9) παίρνει τη μορφή: (1.2.11) Αναζητούμε μια λύση με την μορφή: Αντικαθιστώντας την (1.2.12) στην (1.2.11) και εξισώνοντας τους όρους ανάλογους του βρίσκουμε για τους τρείς πρώτους όρους τις εξισώσεις: (1.2.12) (1.2.13a) (1.2.13b) ( ) (1.2.13c) Η λύση της (1.2.13a) για σταθερή κατάσταση, που ισχύει για είναι (1.2.14) όπου (1.2.15) Η γραμμική πόλωση σε μέσο με πυκνότητα ατόμων, στην συχνότητα είναι (1.2.16) Σελίδα 19

21 Η καρτεσιανή συνιστώσα της γραμμικής πόλωσης σύμφωνα με τον ορισμό της είναι, (1.2.17) όπου η γραμμική επιδεκτικότητα για ισοτροπικό μέσο που εξετάζουμε είναι (1.2.18) Συνδυάζοντας της (1.2.15), (1.2.16). (1.2.17) τελικά προκύπτει (1.2.19) Η απόκριση 2 ης τάξης, που περιγράφεται με την (1.2.13b), σε σταθερή κατάσταση πρέπει να εξαφανίζεται. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι η εξίσωση (1.2.13b) περιέχει μόνο όρο απόσβεσης και δεν έχει όρο, που προκαλεί εξαναγκασμένη διέγερση, άρα. (1.2.20) Το αποτέλεσμα αυτό συμφωνεί με την παραδοχή, ότι η δύναμη επαναφοράς στα ισοτροπικά μέσα δε μπορεί να έχει άρτιους όρους, άρα. Για να υπολογίσουμε την απόκριση τρίτης τάξης συνδυάζουμε την εξίσωση (1.2.13c) και την (1.2.14) για το. Έτσι προκύπτει [ ] ( ) ( ) ( ) (1.2.21) Το άθροισμα περιέχει πολλές συχνότητες, κάθε μια από αυτές τις γράφουμε: (1.2.22) Η λύση της (1.2.21) μπορεί να γραφεί στην μορφή: ( ) (1.2.23) Αντικαθιστώντας την (1.2.23) στην (1.2.21) προκύπτει ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) (1.2.24) και επειδή ( ) είναι ο ( ) έχουμε ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) (1.2.25) Σελίδα 20

22 Το πλάτος της πόλωσης στην συχνότητα δίνεται από: ( ) ( ) (1.2.26) Η καρτεσιανή συνιστώσα της πόλωσης τρίτης τάξης σύμφωνα με τον ορισμό της είναι ( ) ( ) (1.2.27) Συνδυάζοντας την (1.2.25), (1.2.26), (1.2.27) παίρνουμε: ( ) ( ) ( ) (1.2.28) Από την εγγενή μεταθετική συμμετρία, που υπαγορεύει ότι δεν πρέπει να έχει σημασία ποιο από τα τρία πεδία θα είναι το ( ) και από το γεγονός ότι υπάρχουν έξι μεταθέσεις της σειράς που λαμβάνουμε τα πεδία, προκύπτει ότι η επιδεκτικότητα τρίτης τάξης πρέπει να είναι το ένα έκτο αθροίσματος έξι εκφράσεων ανάλογων με την (1.2.28). Εκτελώντας αυτό το άθροισμα προκύπτει ότι υπάρχουν μόνο τρείς διακριτές συνεισφορές στην επιδεκτικότητα τρίτης τάξης, που εκφράζεται: ( ) ( ) ( ) (1.2.29) Αντικαθιστώντας στην (1.2.29) τις εκφράσεις για τα προκύπτει ( ) [ ( ) ( )] (1.2.30) ( ) Για να υπολογίσουμε την τιμή της σταθεράς υποθέτουμε ότι η συνεισφορά του γραμμικού και του μη γραμμικού μέρους στη δύναμη επαναφοράς είναι συγκρίσιμες, όταν η μετατόπιση θα είναι συγκρίσιμη με τη διάμετρο του ατόμου d, άρα (1.2.31) Λαμβάνοντας για συχνότητες μακριά της συχνότητας συντονισμού του ατόμου, από την (1.2.29) προκύπτει (1.2.32) Λαμβάνοντας και τελικά παίρνουμε: (1.2.33) Σελίδα 21

23 Η τιμή αυτή είναι σύμφωνη με τιμές που μετρηθήκαν σε πολλά πειράματα και που υπολογίστηκαν με άλλες μεθόδους. Η μέθοδος υπολογισμού της επιδεκτικότητας τρίτης τάξης με τη βοήθεια του μοντέλου Lorentz του ατόμου, παρότι δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα στις περισσότερες εφαρμογές, έχει και κάποιες αδυναμίες. Το γεγονός ότι λάβαμε μόνο μία συχνότητα συντονισμού του ατόμου, συνεπάγεται ότι η παραπάνω προσέγγιση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για συχνότητες αρκετά μικρότερες της πιο μικρής συχνότητας συντονισμού του ατόμου. Το κβαντομηχανικό μοντέλο δεν έχει τέτοιο περιορισμό, και μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε συνθήκες πολλαπλών ιδιοσυχνοτήτων του ατόμου. Κατά την επίλυση των εξισώσεων (1.2.13) θεωρήσαμε ότι το άτομο βρίσκεται στην σταθερή κατάσταση. Αυτό σημαίνει ότι το προσπίπτον πεδίο πρέπει να μην αλλάζει ή οι αλλαγές του να είναι πολύ αργές σε σχέση με την περίοδο. Στην πράξη ο παλμός που διαμορφώνει την φέρουσα συχνότητα του laser πρέπει να έχει διάρκεια πολύ μεγαλύτερη του 1 fs. Θεωρήσαμε επίσης ότι η απόκριση του ατόμου είναι στιγμιαία, κάτι που δεν ισχύει λόγω της σκέδασης Raman και Brillouin, που πρέπει να λάβουμε υπόψη για παλμούς με διάρκεια μικρότερη των 100 fs. Σελίδα 22

24 Κεφάλαιο 2 Εξίσωση διάδοσης σε μη γραμμικό μέσο Η εξίσωση κύματος σε μη γραμμικό μέσο γράφεται (2.1) Για να απλοποιηθεί η επίλυση της εξίσωσης κύματος πρέπει να κάνουμε μερικές παραδοχές. Πρώτον, η μη γραμμική πόλωση λαμβάνεται ως πολύ μικρό μέγεθος σε σχέση με την γραμμική πόλωση και με αυτό τον τρόπο την χειριζόμαστε ως διαταραχή της πόλωσης αυτής. Δεύτερον, υποθέτουμε ότι το κύμα μας είναι γραμμικά πολωμένο και χρησιμοποιούμε πιο απλή βαθμωτή προσέγγιση του προβλήματος. Τρίτον, υποθέτουμε ότι το φάσμα συχνοτήτων του οπτικού παλμού είναι πολύ μικρότερο από την κεντρική γωνιακή συχνότητα. Ουσιαστικά έχουμε να κάνουμε με ένα παλμό, η περιβάλλουσα του οποίου αλλάζει πολύ πιο αργά σε σχέση με την περίοδο της κεντρικής συχνότητας, όπως στο Σχ.2.1. Σχ.2.1 Μορφή του οπτικού παλμού. Με τις παραπάνω παραδοχές, χωρίζοντας το αργά μεταβαλλόμενο μέρος από αυτό που μεταβάλλεται πολύ γρήγορα, το ηλεκτρικό πεδίο γράφεται [ ] (2.2) όπου η αργά μεταβαλλόμενη περιβάλλουσα του παλμού και το μοναδιαίο διάνυσμα γραμμικής πόλωσης κατά τον άξονα των. Η μπορεί να εκφραστεί ως γινόμενο του κάθετου προς την κατεύθυνση διάδοσης όρου επί τον όρο της κατά το μήκος διάδοσης μεταβολής του πλάτους (2.3) όπου είναι η σταθερά διάδοσης απουσία των μη γραμμικών φαινομένων. Αντικαθιστώντας την (2.3) και (2.2) στην (2.1) ο τελεστής παίρνει την μορφή: ( ) (2.4) [ ] (2.5) Σελίδα 23

25 Λόγω της πολύ πιο αργής μεταβολής της κατά μήκος του άξονα διάδοσης σε σχέση με την υποθέτουμε ότι. Μετά από αυτό η (2.4) γράφεται {[ ( ) ( )] [ ] } (2.6) Για τον υπολογισμό της δεξιάς πλευράς της εξίσωσης (2.1) γράφουμε ( ) (2.7) οπού είναι ο συντελεστής απόσβεσης και. Λαμβάνοντας υπόψη ότι τόσο ο όσο και ο είναι πολύ μικρά μεγέθη σε σχέση με το μπορούμε να γράψουμε ( ) (2.8.a) και (2.8.b) απ όπου τελικά προκύπτει και ( ) { [ ] (2.9) { [ ] (2.10) Συνδυάζοντας τις (2.6), (2.9) και (2.10) προκύπτει τελικά [ ] ( ) (2.11) Επειδή η κάθετη κατανομή αλλάζει πολύ αργά ως προς τα μπορούμε να γράψουμε (2.12) και αντικαθιστώντας το με η (2.11) γράφεται ( ) (2.13) Πολλαπλασιάζοντας την (2.13) με το προκύπτει τελικά και ολοκληρώνοντας σε όλη την κάθετη περιοχή Σελίδα 24

26 (2.14) όπου (2.15) Ο συντελεστής για τυπικές συνθήκες λειτουργίας, όταν η κανονικοποιημένη συχνότητα είναι 1.5<ν<2.4. Σχ. 2.2 Εξάρτηση του συντελεστή από την κανονικοποιημένη συχνότητα ν για τον ρυθμό. Βάση των συνθηκών ασθενούς κυματοδήγησης θεωρούμε ότι (2.16) και διαιρώντας την (2.14) με το 2 προκύπτει (2.17) Το ανάπτυγμα της σταθεράς σε σειρά Taylor είναι. (2.18) Αντικαθιστώντας την (2.18) στην (2.17) προκύπτει (2.19) και με εφαρμογή των ιδιοτήτων του μετασχηματισμού Fourier (2.20) Σελίδα 25

27 λαμβάνουμε τελικά [ ] (2.21) Η εξίσωση (2.21) είναι η μη γραμμική εξίσωση Schrödinger που περιγράφει τη συμπεριφορά της περιβάλλουσας ενός παλμού φωτός κατά τη διάδοσή της σε οπτική ίνα με μη γραμμικότητα τύπου Kerr όταν δηλαδή ισχύει η σχέση. Η εξίσωση (2.21) συνήθως γράφεται στην μορφή: (2.22) όπου η μη γραμμική παράμετρος είναι (2.23) λαμβάνοντας στην (2.15). Η παράμετρος ορίζεται ως ( ) (2.24) Για προσέγγιση της με Γκαουσιανή κατανομή η προκύπτει ίση με. Οι τιμές της κυμαίνονται από 1 έως 100μm 2 στην περιοχή των 1.5 μm. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα η μη γραμμική παράμετρος να κυμαίνεται από 1 έως 100 W -1 /km για 2.6x10-20 m 2 /W. Η εξίσωση (2.22) εξηγεί με επιτυχία πολλά μη γραμμικά φαινόμενα, πρέπει όμως να τροποποιηθεί σε περίπτωση ισχυρών παλμών, όταν το κατώφλι κάποιου από τα φαινόμενα Raman η Brillouin έχει επιτευχθεί. Σε περίπτωση που οι παλμοί έχουν εύρος συχνοτήτων μεγαλύτερο από 0.1 THz το φαινόμενο Raman είναι ικανό να προκαλέσει την ενίσχυση των χαμηλότερων συχνοτήτων, αντλώντας ενέργεια από τις υψηλές συχνότητες του φάσματος του παλμού. Η επιδεκτικότητα τρίτης τάξις της εξίσωσης (1.1.33) στην περίπτωση της ενσωμάτωσης σε αυτήν του φαινομένου Raman μπορεί να εκφραστεί ως: (2.25) και η μη γραμμική βαθμωτή πόλωση παίρνει τη μορφή: (2.26) Σελίδα 26

28 Κατόπιν η εξίσωση κύματος μπορεί να γραφτεί στο πεδίο της συχνότητας ως: + (2.27) ( ) Μετά από αλλαγή της μεταβλητής σύμφωνα με τη σχέση: (2.28) και λαμβάνοντας επιπλέον τον τέταρτο όρο αναπτύγματος της σταθεράς διάδοσης, τον δεύτερο όρο του αναπτύγματος της σταθεράς και την απόκριση Raman, προκύπτει ότι η περιβάλλουσα του παλμού πρέπει να ακολουθεί την εξίσωση: [ ] (2.29) όπου και το η ροπή πρώτης τάξης της συνάρτησης απόκρισης Raman η οποία προκύπτει από όπου (2.30) (2.31) Το πρώτο μέρος της (2.31) ευθύνεται για την απόκριση των ηλεκτρονίων και είναι αμελητέο λόγω της πολύ σύντομης απόκρισης ( ).Το δεύτερο μέρος προκύπτει από τη δόνηση των μορίων υπό την επίδραση του οπτικού πεδίου. Ο αντιπροσωπεύει το ποσοστό της επίδρασης της απόκρισης Raman στη μη γραμμική πόλωση και εμπειρικά έχει προκύψει ότι ( ) ( ) (2.32) Σχ.2.3 Απόκριση Raman. Σελίδα 27

29 Η φυσική σημασία των σταθερών στην εξίσωση (2.29) είναι η ακόλουθη: Οι σταθερές και είναι ο τρίτος και τέταρτος όρος του αναπτύγματος κατά Taylor της σταθεράς μετάδοσης και είναι η διασπορά και η κλήση της διασποράς της ταχύτητας ομάδας. Η τελευταία έχει μεγάλη σημασία για πολύ μικρής διαρκείας παλμούς. Ο όρος ανάλογος του προέρχεται από την εξάρτηση της από τη συχνότητα και προκαλεί το φαινόμενο αύξησης της κλήσης του παλμού. Ο όρος ανάλογος του εισάγει στην εξίσωση την επίδραση της απόκρισης Raman, και ευθύνεται για την μετατόπιση συχνότητας, λόγω της ανελαστικής σκέδασης Raman. Ο όρος αυτός συσχετίζεται με την κλήση του κέρδους Raman όταν θεωρούμε ότι η εξάρτησή του από τη συχνότητα στην περιοχή της είναι γραμμική. Το κέρδος Raman σχετίζεται με την επιδεκτικότητα : [ ] (2.33) Έχει βρεθεί εμπειρικά ότι Για παλμούς διάρκειας στην περιοχή 1.55μm. οι όροι: είναι πολύ μικροί και η εξίσωση (2.29) γράφεται στη μορφή: (2.34) Για η εξίσωση (2.34) έχει την ίδια μορφή με τη γνωστή μη γραμμική εξίσωση Schrödinger (NLS), όπου η μεταβλητή πήρε τη θέση του χρόνου. Η εξίσωση (2.29) ονομάζεται γενικευμένη NLS. Η μελέτη της συμπεριφοράς της περιβάλλουσας του παλμού κατά τη μετάδοση του σε μονόρρυθμη ίνα, με τη βοήθεια του προγράμματος Matlab, θα αποτελέσει τη συνέχεια της εργασίας. Σελίδα 28

30 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος δέσμης στις οπτικές ίνες Η μέθοδος δέσμης αρχικά αναπτύχτηκε για τη μελέτη του φαινομένου εστίασης του φωτός μεγάλης πυκνότητας ισχύος, όταν αυτό διαδίδεται σε ένα μη γραμμικό μέσο, στο οποίο ο δείκτης διάθλασης εμφανίζει εξάρτηση από την ένταση του φωτός. Αφετηρία σε περίπτωση μονόρρυθμης οπτικής ίνας είναι η εξίσωση (2.29), που περιγράφει την εξέλιξη της περιβάλλουσας του μεταδιδόμενου οπτικού παλμού: [ ] (3.1) Θέτοντας και (3.2) ( ) (3.3) η εξίσωση (3.1) γράφεται σε συμπαγή μορφή ως (3.4) Η δύο τελεστές και δρούν ταυτόχρονα σε όλο το μήκος του διαστήματος ( Σχ.3.1). Σχ. 3.1 Ταυτόχρονη επίδραση των γραμμικών και μη γραμμικών φαινομένων. Ο υπολογισμός της συνάρτησης υλοποιείται στην πράξη θεωρώντας ότι η γραμμική επίδραση, που εκφράζεται με τον τελεστή, δρα ανεξάρτητα από τη μη γραμμική επίδραση του τελεστή. Θεωρούμε ότι στο πρώτο μισό έχουμε τη γραμμική επίδραση, στο μέσο έχουμε την επίδραση του μη γραμμικού τελεστή (σκιασμένη περιοχή Σχ.3.2), στο δεύτερο μισό έχουμε πάλι την επίδραση του γραμμικού τελεστή. Η μη γραμμική επίδραση στο κέντρο του διαστήματος έχει την ίδια επίδραση με την κατανεμημένη δράση της σε όλο το διάστημα. Η επιλογή κατάλληλα μικρού διαστήματος δίνει Σελίδα 29

31 αποδεκτά αποτελέσματα. Θεωρώντας ότι ο τελεστής είναι ανεξάρτητος του (3.4) γράφεται: η λύση της [ ] (3.5) Σχ. 3.2 Επίδραση του γραμμικού μέρους σε όλο το διάστημα και του μη γραμμικού στο κέντρο του διαστήματος. Χρησιμοποιούμε το θεώρημα του Barker-Hausdorff για δύο μη μεταθετικούς τελεστες: [ [ ] [ [ ]] ] (3.6) όπου [ ]. Για επαρκώς μικρό διάστημα δε λαμβάνουμε τους όρους τάξης μεγαλύτερης του, δηλαδή στο δεξιό μέρος της (3.6) αφήνουμε στον εκθέτη μόνο το. Αντικαθιστώντας και από την (3.5) και (3.6) προκύπτει [ ]. (3.7) Η ακρίβεια βελτιώνεται στην τάξη του αν η (3.7) τροποποιηθεί σε [ ] (3.8) και τελικά η (3.5) παίρνει την μορφή: ( ) ( ) (3.9) Στην τελευταία εξίσωση το ηλεκτρικό πεδίο μεταδίδεται στο γραμμικό διάστημα, στη θέση λαμβάνεται η μη γραμμική επίδραση για όλο το και ακολουθείται από διάδοση σε γραμμικό μέσο στο διάστημα. Σελίδα 30

32 Στο πρώτο διάστημα από τη σχέση, όπου Α είναι συνάρτηση του χρόνου και της απόστασης, έχουμε { } { } (3.10) από την οποία προκύπτει ( ) (3.11) Η λύση της εξίσωσης (3.11) είναι ( ) [( ) ] (3.12) και το ηλεκτρικό πεδίο στην θέση ως συνάρτηση του χρόνου θα είναι ( ) [ ( )] { [( ) ] } (3.13) Στην θέση επιδρά ο μη γραμμικός τελεστής για όλο το διάστημα ( ) ( ) (3.14) Αν στην εξίσωση (3.4) ο τελεστής (3.15) η λύση της οποίας είναι ( ) { [ ]} Ο τελεστής δίνεται από την εξίσωση (3.3), (3.16) ( ) και επομένως { [ ]} (3.17) και η εξίσωση (3.14) για το πεδίο στη θέση αποκτά τη μορφή Σελίδα 31

33 ( ) { [ ]} ( ) (3.18) Ο υπολογισμός της εξίσωσης (3.18) συναντά δυσκολίες, διότι το δεν είναι γνωστό στο σημείο. Στην πράξη είναι απαραίτητο να ακολουθήσουμε υπολογισμό κάνοντας διαδοχικές προσεγγίσεις. Αρχικά λαμβάνουμε την τιμή της. Υπολογίζουμε την ( ) και ακολούθως την. Από την υπολογίζουμε προσεγγιστικά την, την όποια χρησιμοποιούμε στην εξίσωση (3.18). Ακλουθώντας την διαδικασία μερικές φορές προσεγγίζουμε την τιμή της με τη ζητούμενη ακρίβεια. Στο διάστημα από το έως το έχουμε πάλι διάδοση σε γραμμικό μέσο, δηλαδή ( ) ( ) { [( ) ] [ ( )]} (3.19) Για να μπορεί να γίνει ο υπολογισμός της παραπάνω διαδικασίας με υπολογιστή πρέπει οι εξισώσεις (3.12),(3.18) και (3.19) να γραφούν με την μορφή διακριτού μετασχηματισμού Fourier. Θεωρούμε αρχικά ότι ο αριθμός δειγμάτων στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας είναι ίδιος και ισούται με, όπου. Είναι γνωστό ότι τέτοια επιλογή του απλοποιεί τους υπολογισμούς και επιτρέπει την χρήση του αλγορίθμου του γρήγορου μετασχηματισμού Fourier (FFT). Αρχικά επιλέγουμε το χρονικό παράθυρο στην διάρκεια του οποίου θα λαμβάνονται τα δείγματα. Το χρονικό διάστημα μεταξύ διαδοχικών δειγμάτων επομένως θα είναι. Από τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier προκύπτει και η απόσταση μεταξύ διαδοχικών δειγμάτων στο πεδίο των συχνοτήτων. Με αυτό τον τρόπο προκύπτει: 1. Διάδοση στο πρώτο γραμμικό μισό διάστημα : ( ) ( ) { [( ) ] [ ]} (3.20) 2. Επίδραση του μη γραμμικού τελεστή στην θέση για όλο το διάστημα : ( ) { [ ]} ( ) (3.21) 3. Διάδοση στο δεύτερο γραμμικό διάστημα : ( ) ( ) (3.22) Σελίδα 32

34 { [( ) ] [ ( )]} Στις παραπάνω τρεις εξισώσεις έχουμε Η υλοποίηση των σχέσεων (3.20), (3.21) και (3.22) με την βοήθεια του προγράμματος Matlab απαιτεί λίγο διαφορετική επιλογή των και, λόγο του τρόπου με τον οποίον το Matlab υπολογίζει το ζεύγος και. Η υλοποίηση αυτή περιγράφεται στο παράρτημα στην παράγραφο 2.1. Σελίδα 33

35 Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές εφαρμογές 4.1 Διασπορά ταχύτητας ομάδας Στην περίπτωση που το μήκος διασποράς είναι συγκρίσιμο με το μήκος της ίνας και ταυτόχρονα το μη γραμμικό μήκος είναι πολύ πιο μεγάλο από το μήκος της ίνας, λαμβάνονται υπόψη μόνο τα φαινόμενα που έχουν σχέση με την εξάρτηση της σταθεράς διάδοσης από τη συχνότητα. Η σταθερά θεωρείται ίση με το μηδέν. Η εξίσωση (3.1) παίρνει τη μορφή: και η λύση της γράφεται: (4.1.1) (4.1.2) Ο γραμμικός τελεστής είναι (4.1.3) Η υπολογισμός της εξίσωσης (4.1.1) υλοποιείται στο πεδίο της συχνότητας, (4.1.4) όπου ο τελεστής προκύπτει από την ιδιότητα του μετασχηματισμού Fourier: ( ) (4.1.5) και στο πεδίο συχνοτήτων έχει την μορφή ( ) (4.1.6) Ο παλμός στην είσοδο για τους υπολογισμούς θεωρείται ότι έχει την Γκαουσιανή μορφή [ ] (4.1.7) ή την μορφή υπερβολικής τέμνουσας ( ) ( ) (4.1.8) Σελίδα 34

36 Σχ Γκαουσιανός και sech παλμός. όπου είναι το χρονικό πλάτος του παλμού και είναι η σταθερά τετερίσματος. Το τετέρισμα περιγράφει μεταβολές της στιγμιαίας συχνότητας ακτινοβολίας που προκαλεί η ίδια η μορφή του παλμού. Το τετέρισμα για τον Γκαουσιανό παλμό της εξίσωσης (4.1.7) προκύπτει: ( ) (4.1.9) Και στις δυο μορφές των συναρτήσεων εισόδου των εξισώσεων (4.1.7) και (4.1.8) το τετέρισμα είναι γραμμική συνάρτηση του χρόνου. Το τετέρισμα, όπως θα διαπιστωθεί στη συνέχεια, επηρεάζει σημαντικά τον τρόπο διάδοσης των παλμών φωτός στις οπτικές ίνες. Αρχικά θα αναφέρουμε την απλή περίπτωση διάδοσης χωρίς διασπορά, άρα οι σταθερές και. Η απόσταση μετάδοσης περιορίζεται μόνο από τις απώλειες της ίνας. Στο Σχ υπολογίστηκε η εξέλιξη του παλμού για απώλειες, τιμή που τυπικά συναντάται στην πράξη. Σχ Εξέλιξη Γκαουσιανού παλμού χωρίς διασπορά. Σελίδα 35

37 Η παραπάνω θεώρηση ισχύει στην πράξη για παλμούς με, και μήκος ίνας. To αναπαριστά το μέγιστο της ισχύος στην είσοδο. Στην περίπτωση που το μήκος διασποράς είναι συγκρίσιμο με το μήκος της ίνας πρέπει να ληφθεί η διασπορά της ταχύτητας ομάδας, δηλαδή οι παράμετροι (4.1.10) Όταν η η επίδραση της είναι γενικά ασήμαντη για παλμούς με. Σχ Εξέλιξη του παλμού για Στο Σχ παρατηρείται η χρονική διεύρυνση του παλμού, που οφείλεται στη διασπορά. Η χρονική διεύρυνση, όπως ορίζεται στην παράγραφο 2.2 του παραρτήματος, σε αυτή την περίπτωση είναι, αποτέλεσμα που συμφωνεί με τον αναλυτικό υπολογισμό της (4.1.12). Το φάσμα συχνοτήτων παραμένει αναλλοίωτο. Η εξίσωση που περιγράφει την εξέλιξη του παλμού για είναι [ ] (4.1.11) Ο Γκαουσιανός παλμός διατηρεί επομένως το σχήμα του, αλλά το χρονικό του πλάτος διευρύνεται με την απόσταση [ ( ) ] [ ] (4.1.12) Τιμή που συμφωνεί με την. Στο σχήμα παρατηρείται η δημιουργία τετερίσματος, αν και ο αρχικός παλμός δεν είχε τετέρισμα. Αναλυτικά το τετέρισμα στην εξεταζόμενη περίπτωση είναι ( ) (4.1.13) Σελίδα 36

38 Σχ Τετέρισμα για δεδομένα του Σχ Στην συγκεκριμένη περίπτωση για Αποτέλεσμα που συμφωνεί με αυτό που προκύπτει από το Σχ Ο τρόπος εξέλιξης του παλμού αλλάζει σημαντικά παρουσία τετερίσματος στον παλμό εισόδου. Η εξέλιξη έχει διαφορετικά χαρακτηριστικά ανάλογα με το πρόσημο του γινομένου. Περίπτωση. Σχ Εξέλιξη του παλμού για Η διεύρυνση σε αυτή την περίπτωση είναι, ενώ το φάσμα συχνοτήτων παραμένει αναλλοίωτο. Αποτέλεσμα που συμφωνεί με τον αναλυτικό υπολογισμό της διεύρυνσης του παλμού για Σελίδα 37

39 [( ) ( ) ] [( ) ( ) ] (4.1.14) Τιμή που προκύπτει από την (4.1.14) συμφωνεί με την τη σχέση:. Η σχέση (4.1.14) προκύπτει από [ ] [ [ ] ] (4.1.15) που περιγράφει την εξέλιξη ενός αρχικά τετερισμένου Γκαουσιανού παλμού. Από το μετασχηματισμό Fourier της (4.1.7) προκύπτει ( ) [ ] (4.1.16) που σημαίνει ότι το τετέρισμα του αρχικού παλμού αυξάνει το εύρος συχνοτήτων του κατά: (4.1.17) To συμβολίζει το εύρος του παλμού που υπολογίζεται παρακάτω: (4.1.18) όπου είναι δείκτης για. Σχ Μορφή του φάσματος για C=2 και C=0. Στο Σχ αποτυπώνεται η διεύρυνση του φάσματος που προκαλεί το γραμμικό τετέρισμα που έχει ο παλμός στην είσοδο της ίνας. Το φάσμα συχνοτήτων δεν αλλάζει κατά την μετάδοση. Η αριθμητική τιμή της διεύρυνσης που προκύπτει από τα δυο σχήματα του Σχ βρέθηκε με την εφαρμογή της διαδικασίας find να είναι 2.241, ενώ η εφαρμογή της (4.1.16) δίνει τιμή Σελίδα 38

40 Σχ Τετέρισμα για δεδομένα του Σχ Το τετέρισμα αλλάζει και η σταθερά C μετά από μήκος γίνεται: ( ) (4.1.19) Αποτέλεσμα που συμφωνεί με αυτό του Σχ Περίπτωση Στην περίπτωση όπου η εξέλιξη του παλμού εμφανίζει διαφορετικά χαρακτηριστικά. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, η διασπορά δημιουργεί τετέρισμα. Το τετέρισμα που δημιουργείται λόγω του αρχικού τετερίσματος του παλμού και το τετέρισμα από τη διασπορά έχουν διαφορετικό πρόσημο. Αρχικά το συνολικό τετέρισμα μειώνεται και σύμφωνα με τη σχέση (4.1.20) ισούται με μηδέν για (4.1.20) Στη συνέχεια το τετέρισμα πάλι αυξάνει με την απόσταση. Στο Σχ παρατηθούμε ότι αρχικά ο παλμός στενεύει χρονικά και έχει ελάχιστο πλάτος για την απόσταση για την οποία το τετέρισμα είναι μηδέν (4.1.20). Για τα δεδομένα του Σχ αυτό συμβαίνει για ή για =8km. Η διεύρυνση στο τέλος της ίνας είναι = και είναι πιο μικρή από το που βρέθηκε για και τις υπόλοιπες παραμέτρους ίδιες. Στο Σχ το μήκος της ίνας επιλέχτηκε, έτσι ώστε το τετέρισμα να έχει μηδενιστεί στο τέλος της, όπως διαπιστώνεται στο Σχ Παρατηρείται ότι ο παλμός έχει στενέψει, καθώς ο συντελεστής διεύρυνσης = και είναι ακριβώς ίδιος με τον υπολογισμένο με την (4.1.14). Σελίδα 39

41 Σχ Εξέλιξη του παλμού για Σχ Εξέλιξη του παλμού για Σχ Τετέρισμα για δεδομένα του Σχ Στην περίπτωση που ο παλμός έχει τη μορφή της υπερβολικής τέμνουσας (4.1.11) η εξέλιξή του είναι παρόμοια με αυτή του Γκαουσιανού παλμού. Το τετέρισμα σε περίπτωση παλμού sech δεν είναι γραμμική συνάρτηση του χρόνου όπως στην περίπτωση Γκαουσιανού παλμού. Σελίδα 40

42 Σχ Εξέλιξη του παλμού sech για Σχ Τετέρισμα για δεδομένα του Σχ Ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση του υπεργκαουσιανού παλμού της μορφής: [ ( ) ] (4.1.21) όπου ο φυσικός αριθμός. Για η (4.1.21) περιγράφει Γκαουσιανό παλμό. Παλμός με μεγάλα μοιάζει με τετραγωνικό παλμό και χρησιμοποιείται για την προσομοίωσή του. Στα Σχ και Σχ παρουσιάζεται η εξέλιξη υπεργκαουσιανού παλμού για. Παρατηρείται ότι η ύπαρξη της διασποράς μειώνει την κλήση του παλμού και ταυτόχρονα αυξάνει το χρονικό του εύρος, που είναι Η χρονική διεύρυνση ενός τέτοιου παλμού προσδιορίζεται αναλυτικά: [ ( ) ] (4.1.22) και για τα δεδομένα του πειράματος είναι [ ( ) ] Σελίδα 41

43 που συμφωνεί με το, που υπολόγισε το πρόγραμμα. Το είναι η ρίζα του μέσου τετράγωνου (RMS): [ ] (4.1.23) όπου η ροπή ορίζεται ως: (4.1.24) Σχ Εξέλιξη του υπεργκαουσιανού παλμού για Σχ Τετέρισμα για δεδομένα του Σχ Στην περίπτωση που η σταθερά και για παλμούς με πρέπει να λαμβάνεται υπόψη η διασπορά τρίτης τάξης. Πέρίπτωση που δύσκολα ικανοποιείται στην πράξη, καθώς πρέπει να ισχύει για παλμό με. Η κατάσταση διαφέρει για παλμούς με, όπου η συμβολή της είναι σημαντική. Στην περίπτωση αυτή η λύση της (4.1.1) έχει την μορφή: (4.1.25) Σελίδα 42

44 και για Γκαουσιανό παλμό η αναλυτική λύση υπάρχει και εμπλέκει τη συνάρτηση Airy Ai(x). Από το Σχ αυτό που παρατηρείται είναι η ύπαρξη ταλάντωσης κατά την κάθοδο της ισχύος και η χρονική μετατόπιση του σημείου της μέγιστης ισχύος. Η ταλάντωση, όταν το πρόσημο της αλλάζει, μετατοπίζεται στην άνοδο του παλμού. Σχ Εξέλιξη Γκαουσιανού παλμού για Σχ Εξέλιξη του Γκαουσιανού παλμού για Η διασπορά τρίτης τάξης προκαλεί διεύρυνση του παλμού, που στην προκειμένη περίπτωση είναι Σελίδα 43

45 4.2 Αυτοδιαμόρφωση φάσης (SPM) Η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου (4.2.1) είναι αυτή που προκαλεί τη διαμόρφωση φάσης του ίδιου του παλμού. Για την καλύτερη κατανόηση του φαινομένου αυτού αρχικά θα παραλείψουμε την διασπορά και τα μη γραμμικά φαινόμενα ανώτερης τάξης. Η εξίσωση (3.1) παίρνει τη μορφή: (4.2.2) όπου. Η εξίσωση (4.2.2) έχει βρεθεί να έχει λύση: [ ], (4.2.3) όπου η μη γραμμική φάση είναι (4.2.4) Ο τελεστής που χρησιμοποιεί το πρόγραμμα είναι (4.2.5) και η λύση της εξίσωσης για είναι { [ ]} (4.2.6) Το ενεργό μήκος της ίνας περιέχει τις απώλειες και είναι [ ] (4.2.7) και ισούται με το μήκος της ίνας για. Η χρονικά μεταβαλλόμενη φάση της εξίσωσης (4.2.4) προκαλεί αλλαγές στο φάσμα του παλμού, καθώς ( ) (4.2.8) και για έναν υπεργκαουσιανό παλμό είναι ( ) ( ) [ ( ) ] (4.2.9) Σελίδα 44

46 Η μεταβολή της σημαίνει ότι η συχνότητα αλλάζει γύρω από την κεντρική συχνότητα του laser κατά. Από την εξίσωση (4.2.3) προκύπτει ότι η SPM διατηρεί τη μορφή του παλμού, ενώ μεταβάλλει το φασματικό περιεχόμενό του. Η μέγιστη μη γραμμική φάση είναι (4.2.10) Σχ Χρονική εξέλιξη Γκαουσιανού παλμού για Σχ Εξέλιξη του φάσματος ως συνάρτηση του Σελίδα 45

47 Σχ Εξέλιξη του φάσματος ως συνάρτηση του Ο συντελεστής φασματικής διεύρυνσης για τα δεδομένα του Σχ είναι Το τετέρισμα που δημιουργείται κατά τη μετάδοση του παλμού, που οφείλεται στην SPM δεν είναι γραμμικό όπως στην περίπτωση της διασποράς και εξαρτάται από τη μορφή του παλμού, μια και η φάση εξαρτάται από τη στιγμιαία ισχύ του παλμού αυτού. Στα σχήματα και παρατηρείται η διαφορά που έχει το τετέρισμα για Γκαουσιανό παλμό και υπεργκαουσιανό παλμό με. Σχ Τετέρισμα για Σχ Τετέρισμα για Σελίδα 46

48 Σχ Εξέλιξη του φάσματος ως συνάρτηση του για Ο συντελεστής φασματικής διεύρυνσης για τα δεδομένα του Σχ είναι Σημαντική αλλαγή της φασματικής εξέλιξης του παλμού έχει το αρχικό τετέρισμα, το οποίο επηρεάζει τόσο το εύρος όσο και τη μορφή του - Σχ Σχ Μορφή του φάσματος για για διάφορες τιμές της σταθεράς τετερίσματος. Σελίδα 47

49 Σχ Εξέλιξη του φάσματος ως συνάρτηση του για Στο Σχ παρατηρούμε την εξέλιξη του φάσματος όταν το τετέρισμα έχει αρνητικό πρόσημο. Αρχικά το φάσμα στενεύει και μετά από ένα ελάχιστο, πάλι το εύρος του αυξάνει. Περίπτωση, για την οποία ταυτόχρονα και και το μήκος διασποράς και το μη γραμμικό μήκος είναι συγκρίσιμα ή μικρότερα από το μήκος της ίνας, παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον. Νέα φαινόμενα εμφανίζονται και βρίσκουν πρακτικές υλοποιήσεις. Παραλείποντας τα φαινόμενα ανώτερης τάξης που προκύπτουν από την και το η εξίσωση (3.1) γράφεται (4.2.11) Για πιο εύκολο μαθηματικό χειρισμό η εξίσωση (4.2.11) παίρνει τη μορφή: (4.2.12) Για να προκύψει η μορφή (4.2.12) λάβαμε: ( ) (4.2.13) Η παράμετρος είναι (4.2.14) Η παράμερος καθορίζει την επίδραση της αυτοδιαμόρφωση φάσης σε σχέση με την επίδραση της διασποράς της ταχύτητας ομάδας (GVD). Όταν το η SPM υπερισχύει Σελίδα 48

50 της GVD, ενώ για υπερισχύει η GVD. Όταν το τα δύο φαινόμενα έχουν παρόμοια σημασία. Σχ Εξέλιξη Γκαουσιανού παλμού για Σχ Εξέλιξη φάσματος Γκαουσιανού παλμού για τα δεδομένα του Σχ Σχ Τετέρισμα για δεδομένα του Σχ Για τα δεδομένα του Σχ παρατηρούμε ότι ο Γκαουσιανός παλμός παρουσιάζει αρχικά πολύ πιο μικρή διεύρυνση από αυτή που είχε, παρουσία μόνο της διασποράς. Μετά την απόσταση έχει πλέον σταθερό πλάτος και η μορφή του δεν αλλάζει. Αυτή η Σελίδα 49

51 συμπεριφορά οφείλεται στο ότι το τετέρισμα της SPM, που δίνεται από την εξίσωση (4.2.7), έχει θετικό πρόσημο, ενώ το τετέρισμα της διασποράς για, που δίνεται από την εξίσωση (4.1.13), έχει αρνητικό πρόσημο. Ο συντελεστής χρονικής διεύρυνσης, ενώ το φασματικό πλάτος μειώνεται καθώς. Στο Σχ το τετέρισμα έχει πολύ πιο μικρές τιμές από την περίπτωση του Σχ Σχ Εξέλιξη Γκαουσιανού παλμού για Σχ Εξέλιξη φάσματος Γκαουσιανού παλμού για τα δεδομένα του Σχ Σχ Τετέρισμα για δεδομένα του Σχ Στην περίπτωση που, στα δεδομένα του προηγούμενου πειράματος αλλάξουμε το πρόσημο της σταθεράς, προκύπτει τελείως διαφορετική εξέλιξη του παλμού. Όπως Σελίδα 50

52 διαπιστώνουμε στο Σχ ο παλμός διευρύνεται πολύ πιο γρήγορα από την διεύρυνση που είχε τόσο στην περίπτωση μόνο της διασποράς ή μόνο της SPM. Το τετέρισμα αυξάνεται πολύ περισσότερο, επειδή αθροίζονται η συμβολή της διασποράς και της SPM σε αυτό, έχοντας το ίδιο πρόσημο. Ενδεικτικά για το Σχ ο συντελεστής χρονικής διεύρυνσης, ενώ το φασματικό πλάτος αυξάνεται καθώς. Στην περίπτωση, που η σταθερά, παρατηρείται το φαινόμενο της διάσπασης του παλμού. Σε πολύ μικρή απόσταση ο Γκαουσιανός παλμός γίνεται σχεδόν τετραγωνικός και το φάσμα διευρύνεται πολύ. Στην περίπτωση του Σχ έχουμε, σε απόσταση. Το φαινόμενο αυτό οφείλεται στη μη γραμμικότητα του ολικού τετερίσματος. Στην προκειμένη περίπτωση για οι μετατοπισμένες προς τα μεγαλύτερα μήκη κύματος συχνότητες της ανόδου του παλμού ταξιδεύουν πιο γρήγορα από τις συχνότητες χωρίς τετέρισμα (κεντρικές συχνότητες του παλμού), ενώ στην κάθοδο του παλμού συμβαίνει το αντίθετο. Και στην άνοδο και στην κάθοδο το φως έχει δύο συχνότητες που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, προκαλώντας ταλαντώσεις στις άκρες του παλμού, όπως διαπιστώνεται στο Σχ Σχ Διάσπαση του παλμού για. Σελίδα 51