HMY 333 Φωτονική Διάλεξη 07. Ταχύτητα φάσης, ταχύτητα ομάδας και διασπορά. n 2 n O

Transcript

1 Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου HMY 333 Φωτονική Διάλεξη 7 Ταχύτητα φάσης, ταχύτητα ομάδας και διασπορά Σε ένα μέσο διασποράς, όπως οι οπτικές ίνες, η μορφή του παλμού αλλάζει καθώς κινείται κατά μήκος του άξονα διάδοσης: Οπτικός παλμός Παραμορφώνεται με τη διάδοσή στην ίνα (βλέπουμε διεύρυνση) Μέσο με διασπορά Π.χ. μονότροπη οπτική ίνα z κατεύθυνση διάδοσης Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 3 Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 4 Ήδη έχουμε δει το θέμα της διασποράς για πολύτροπες οπτικές ίνες 3 O Έστω και αν δεν υπάρχει όμως πολύτροπη διασπορά, το γεγονός ότι ακόμα και το λέιζερ δεν είναι μονοχρωματική πηγή και ότι ο δείκτης διάθλασης μεταβάλλεται με το μήκος κύματος θα οδηγήσει σε διασπορά (δηλαδή χρωματική διασπορά). Αυτή η μορφή της διεύρυνσης του παλμού μπορεί να εξηγηθεί με την γεωμετρική οπτική. Το πιο κάτω απλό μοντέλο προβλέπει πως οι μονότροπες ίνες, όπως πιο κάτω δεν έχουν διασπορά, και όντως δεν υπάρχει πολύτροπη διασπορά O U. of Washio Oial fibre z

2 Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 5 Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 6 Ταχύτητα ομάδας και ταχύτητα φάσης Όλες οι οπτικές πηγές (ακόμα και τα λέιζερ) έχουν ένα ορισμένο εύρος φάσματος: Ένταση (αυθαίρετες μονάδες) Iesiy (arbirary uis) Φασματικό εύρος : seral widh, FWHM Μήκος κύματος μέγιστης έντασης Κάθε μήκος κύματος «βλέπει» μια διαφορετική τιμή δείκτη διάθλασης, και άρα ταξιδεύει και με διαφορετική ταχύτητα στο μέσο: Η σχέση που συνδέει το δείκτη διάθλασης και το μήκος κύματος είναι μη γραμμική Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 7 Παρά το ότι δουλεύουμε με μήκη κύματος αντί με συχνότητα, για την συζήτηση που ακολουθεί είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσουμε την έννοια της συχνότητας. Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 8 Το φως είναι ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Θεωρούμε ότι το ηλεκτρικό πεδίο είναι ένα ημιτονοειδές οδεύον κύμα (στην κατεύθυνση + z), και για ένα συγκεκριμένο μήκος κύματος, έχουμε: Iesiy (arbirary uis) ( z, ) ( z ) () ( f) () (3) (4) σταθερά φάσης γωνιακή συχνότητα ταχύτητα φάσης = - Προς το παρόν, υποθέτουμε ότι η οπτική πηγή εκπέμπει δύο συχνότητες, με πολύ μικρή διαφορά μεταξύ τους. / / free sae hase a

3 Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 9 Το ηλεκτρικό πεδίο είναι ημιτονοειδές και κάθετο στον άξονα και τη διεύθυνση διάδοσης. Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου Εάν πάρουμε την απλοποιημένη περίπτωση που προυποθέτει ότι η πηγή μας εκπέμπει δύο πολύ κοντινές συχνότητες ω και ω, τα αντίστοιχα κύματα είναι: ( z ) ( z ) Δύο κύματα που έχουν κοντινές συχνότητες x z Η επαλληλία αυτών των δύο κυμάτων μας δίνει το συνολικό κύμα: ( z ) ( z ) (5) Η συνολική κυματομορφή Επαλληλία των δυο κυμάτων Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου Καταστροφική συμβολή Εποικοδομητική συμβολή Χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα: ( ) ( ) παίρνουμε: z z (6) ( z ) ( z ) z z z

4 Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 3 Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 4 z z Εάν οι συχνότητες είναι πολύ κοντά η μια στην άλλη τότε: (7) Άρα η τυπική μορφή του είναι: z z NVLOP Περιβάλλουσα CARRIR Φορέας Modulaio frequey = Συχνότητα διαμόρφωσης Carrier frequey = Συχνότητα φέροντος Normalised field Η επαλληλία δύο κυμάτων είναι παρόμοια με τη διαμόρφωση πλάτους - ime Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 5 z z Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 6 z z NVLOP Περιβάλλουσα CARRIR Φορέας NVLOP Περιβάλλουσα CARRIR Φορέας Ταχύτητα του «φέροντος» είναι: Ταχύτητα της «περιβάλλουσας» είναι: Phase eloiy Ταχύτητα φάσης (8) d d Grou eloiy Ταχύτητα ομάδας (9)

5 Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 7 Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 8 Το σήμα διαδίδεται με ταχύτητα ομάδας. Η περιβάλλουσα αντιπροσωπεύει την μέγιστη τιμή του πλάτους του κύματος σε κάθε χρονική στιγμή. Normalised field - ime hs:// Από (8): Αντικαθιστώντας στην (9): Τώρα, = /, άρα: d d d d d d d d d d d d () () Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 9 Εάν, λοιπόν, οι ταχύτητες ομάδας και φάσης είναι ίσες, τότε η περιβάλλουσα θα ταξιδέυει με την ίδια ταχύτητα όπως και το φέρον κύμα, και ως εκ τούτου δεν θα υπάρχει διασπορά. Από την εξίσωση (), αυτό υπονοεί ότι η ταχύτητα φάσης δεν πρέπει να εξαρτάται από το μήκος κύματος εάν θέλουμε να πετύχουμε διάδοση χωρίς διασπορά. Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου Η γραφική παράσταση μεταξύ ω και ονομάζεται σχέση διασποράς. Από την (9), η κλίση αυτής της γραφικής παράστασης μας δίνει την ταχύτητα ομάδας: o disersio Χωρίς διασπορά disersio Διασπορά x x x d d x x

6 Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου Στην κανονική διασπορά, η ταχύτητα ομάδας είναι μικρότερη από την ταχύτητα φάσης. Στην ανώμαλη διασπορά, η ταχύτητα ομάδας υπερβαίνει την ταχύτητα φάσης. aomalous disersio Ανώμαλη διασπορά ormal disersio Κανονική διασπορά Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 3 Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 4 Πακέτο κυμάτων Προηγουμένως θεωρήσαμε ότι εκπέμπονται μόνο δύο πολύ κοντινές συχνότητες (μέσα στην ομάδα), από μία οπτική πηγή (πχ. ένα λέιζερ): Iesiy (arbirary uis) Θα εξετάσουμε τώρα ολόκληρο το φάσμα. δ Πακέτο κυμάτων Ένας παλμός που συνίσταται από πολλά κύματα Εάν λάβουμε υπόψη όλο το φάσμα που εκπέμπεται από μια πηγή, μπορούμε και πάλι να πάρουμε ένα κύμα με μια ταχύτητα ομάδος όπως είχαμε και προηγουμένως.

7 ,5,5 -,5 - -,5,5,5 Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 5 Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 6 Μετασχηματισμός Fourier f ( ) F( j ) e d F( ) f ( ) e j d () Στο πεδίο χρόνου Στο πεδίο συχνότητας UCSD F() Το φάσμα της οπτικής πηγής έχει γκαουσιανή μορφή - ea frequey + Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 7 Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 8 Το F() είναι ίσο με κάποιο φάσμα G(ω) το οποίο έχει το ίδιο σχήμα αλλά το κέντρο του είναι στο ω = αντί στο ω : Άρα: f ( ) ( ) e j (6) G() F() Αντιστοιχεί σε μια ημιτονοειδή καμπύλη με συχνότητα - Έχουμε, F ) G( ) ( - (3) + Κρουστική απόκρουση (imulse resose) του: G() F( ) f ( ) e d G( ) ( ) e j ( ) j j j ( ) e e d (4) (5) d δίνει: () Ο μετασχηματισμός Fourier ενός γκαουσιανού παλμού είναι επίσης γκαουσιανής μορφής

8 Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 9 Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 3 Με άλλα λόγια, η κρουστική απόκριση (imulse resose) που σχετίζεται με την οπτική πηγή παίρνει τη μορφή ενός διαμορφωμένου κυματοπακέτου (modulaed waeae): Θεωρήστε ότι ένας οπτικός παλμός μπαίνει μέσα σε μια μονότροπη οπτική ίνα. Λόγω του φασματικού εύρους της πηγής, αυτός ο παλμός αποτελείται από μια ομάδα από μήκη κύματος τα οποία ταξιδεύουν με ταχύτητα ομάδας: () Οπτική ισχύς d d f () Μήκος κύματος Αυτό το κυματοπακέτο αντιπροσωπεύει ένα παλμό φωτός που εκπέμπεται από την πηγή, και περιέχει έναν αριθμό από συχνότητες (μήκη κύματος). Τώρα πρέπει να εξετάσουμε τι θα συμβεί στην ταχύτητα ομάδος αυτού του παλμού καθώς διαδίδεται μέσα στην οπτική ίνα. απόσταση Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 3 Άρα ο χρόνος που χρειάζεται η κυματοομάδα να ταξιδέψει απόσταση L μέσα στην ίνα δίδεται από την καθυστέρηση ομάδας : L d L d (7) Καθυστέρηση ομάδας Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 3 Η εξίσωση (9) δείχνει ότι η καθυστέρηση ομάδας ανά μονάδα μήκους εξαρτάται από το και το d/dω. Εξαρτάται επίσης από την συχνότητα ω. Προτιμούμε όμως να δουλεύουμε με το μήκος κύματος λ: αντί... Η ταχύτητα φάσης του κεντρικού μήκους κύματος λ δίδεται από: (8) Λόγω της αντίστροφης σχέσης μεταξύ της συχνότητας και του μήκους κύματος ( = f = /), θα περιμέναμε ότι: Αντικαθιστώντας την (8) στην (7): d d L d d (9) L d d Ας αποδείξουμε αυτή τη σχέση... d d ()

9 Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 33 Παραγώγιση της (): f f d d d L d d d d d d d Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 34 Δείκτης διάθλασης ομάδας (Grou idex) Φανταστείτε ότι έχουμε μια ίνα με δ.δ. πυρήνα. Σε αυτή την περίπτωση, Εάν μεταδίδεται ένα φάσμα από μήκη κύματος, τότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η ομάδα που προκύπτει συναντά ένα δ.δ. ομάδας, ο οποίος ορίζεται ως: d d () () (3) Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 35 Uiersiy of Cyrus Πανεπιστήμιο Κύπρου 36 L d d (4) d d d d Ο δ.δ. εξαρτάται από το μήκος κύματος Miimum Σημείο ελάχιστου d d d d disersio Poi of ifleio Σημείο καμπής d d Ο δείκτης διάθλασης ομάδας εξαρτάται επίσης από το μήκος κύματος d d d d (5).3 m Για το γυαλί πυριτίου: Στα.3 m, ο δείκτης διάθλασης έχει σημείο καμπής, ο ομαδικός δ.δ. είναι ελάχιστος, άρα η ταχύτητα ομάδας είναι μέγιστη.