ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΟΥΣ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΟΥΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΔΙΑΤΟΜΩΝ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΟΥΣ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΟΥΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΔΙΑΤΟΜΩΝ"

Transcript

1 ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ : Φυσικής και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Μάθημα : Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Διδάσκων: Αν. καθηγητής Χρ. Σχοινάς Προαιρετική Εργασία : ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΟΥΣ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΟΥΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΔΙΑΤΟΜΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΦΟΙΤΗΤΗ Επίθετο : Μαξιμίδης Όνομα : Ρόνις Εξάμηνο : 1 Α.Μ.: 369 1

2

3 Περιεχόμενα 1. Η εξαγωγή της εξίσωσης κύματος Ορισμός ρυθμών κυματοδήγησης Ορθογωνικός Κυματοδηγός Λύση της εξίσωσης κύματος Εκφράσεις για τις συνιστώσες πεδίου Ρυθμοί TM ( 0, =0) Ρυθμοί T ( =0, 0) Κυματοδηγοί Κυκλικής Διατομής Λύση της Εξίσωσης Κύματος Οι συνιστώσες πεδίου Ρυθμοί T ( =0, 0) Ρυθμοί TΜ ( 0, =0) Κυματοδηγός Ελλειπτικής Διατομής Ρυθμοί T ( =0, 0) Ρυθμοί TΜ ( 0, =0)... 3

4 4

5 1. Η εξαγωγή της εξίσωσης κύματος Στην παρούσα εργασία θα ασχοληθούμε με την εύρεση αναλυτικών εκφράσεων για τις κατανομές πεδίου μέσα στους κυματοδηγούς διαφορετικών διατομών. Για την εύρεση των κατανομών αυτών θα πρέπει να λύσουμε την εξίσωση κύματος για κάθε μια από τις περιπτώσεις. Άρα το πρώτο βήμα είναι η εξαγωγή της εξίσωσης κύματός της από τις εξισώσεις Mawell. Οι γενικοί διαφορική μορφή των χρονομεταβλητών εξισώσεων Mawell είναι η εξής M t J t J (1.1) Ενώ επειδή για τα χρονικά αρμονικά πεδία (με εξάρτηση από τον χρόνο της μορφής j t e ) ισχύει / t j οι εξισώσεις Mawell παίρνουν την παρακάτω μορφή: j M j J (1.) Στα ανώτερα και είναι τα διανύσματα της έντασης ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου, J και M είναι πυκνότητες ηλεκτρικού και μαγνητικού ρεύματος, και είναι πυκνότητες ηλεκτρικού και μαγνητικού φορτίου, είναι η ηλεκτρική διαπερατότητα και είναι η μαγνητική διαπερατότητα του μέσου. Σημειώνουμε ότι τα M και αντιπροσωπεύουν "πλασματικά" μεγέθη, και δεν υπάρχουν στην πραγματικότητα. Εντούτοις αντιπροσωπεύουν ισοδύναμα μεγέθη με πολύ βολικό και υπολογιστικά αποτελεσματικό τρόπο. Έτσι χρησιμοποιούνται κατά κόρον στις εξισώσεις Mawell που με την προσθήκη τους αποτελούν ένα πλήρες μαθηματικό σύνολο εξισώσεων με ενδιαφέρουσες ιδιότητες όπως αυτή της Δυαδικότητας μεταξύ ηλεκτρικών και μαγνητικών μεγεθών. Παίρνοντας την στροφή των δυο πρώτων εξισώσεων, καταλήγουμε στις παρακατω εξισώσεις : j J M j M J (1.3) Επειδή ο σκοπός μας είναι να δούμε τα διαδεδομένα μέσα στον κυματοδηγό πεδία θεωρούμε ότι είμαστε αρκετά μακριά από την πηγή, άρα J M = 0 και 0 όποτε θα έχουμε. 0 0 (1.4) 5

6 Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να απλοποιηθεί με την διανυσματική ταυτότητα : Ορίζουμε επίσης μια σταθερά A = ( A) A (1.5) που λέγεται κυματάρυθμος ή σταθερά διάδοσης του μέσου και επειδή 0και 0 για τις περιοχές χωρίς φορτία τελικά καταλήγουμε στις παρακάτω εξισώσεις: + 0 (1.6) + 0 (1.7) Οι εξισώσεις αυτές είναι η εξισώσεις κύματος ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου αντίστοιχα στην ελεύθερη φορτιών και ρευμάτων περιοχή.. Ορισμός ρυθμών κυματοδήγησης Αν θεωρούμε ότι η διάδοση γίνεται στη διεύθυνση του άξονα, τότε το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο μεταβάλλεται κατά τη διεύθυνση εκθετικά με τη μορφή : e (1.8) Ο n ονομάζεται σταθερά διάδοσης για τον ρυθμό n, και ένας μιγαδικός αριθμός ( j ) που εξαρτάται από την διατομή, την συχνότητα και το υλικό n n n κατασκευής του κυματοδηγού. Εδώ είναι ο συντελεστής απωλειών και είναι η σταθερά διάδοσης. Έτσι για την περίπτωση που δεν έχουμε απώλειες 0 και j. n Γενικά ένας κυματοδηγός μπορεί να επιτρέπει την διάδοση ορισμένων μορφών ηλεκτρομαγνητικών πεδίων γνωστών ως ρυθμοί. Ένας ρυθμός εξαρτάται από την συχνότητα, τη θέση και το είδος της πηγής διέγερσης. Για μια συγκεκριμένη συχνότητα μόνο ορισμένα είδη ρυθμών είναι δυνατά. Κωδικοποίηση των ρυθμών μπορεί να γίνει βάσει των συνιστωσών ηλεκτρικού πεδίου κατά την διεύθυνση διάδοσης. και του TM (Transverse letroagneti) όπου 0 και 0 T (Transverse letri) όπου 0 και 0 TM (Transverse Magneti) όπου 0 και 0 και (Υβριδικοί Ρυθμοί) όπου 0 και 0 Συνήθως ένας κυματοδηγός μπορεί να έχει μόνο ορισμένα είδη ρυθμών κάτω από ορισμένες συνθήκες. Στις επόμενες ενότητες θα αναλύσουμε την κυματοδήγηση σε κυματοδηγούς διάφορων διατομών. 6

7 3. Ορθογωνικός Κυματοδηγός Υποθέτουμε ότι ο κυματοδηγός έχει τις τρεις διαστάσεις τοποθετημένες κατά τους άξονες,, (σχήμα 1) Σχήμα 1. Κυματοδηγός ορθογωνικής διατομής. Θεωρείται ότι η διατομή του είναι ομοιόμορφη στα επίπεδα κάθετα στον άξονα και ότι ο κυματοδηγός εκτείνεται απεριόριστα. Για να βρούμε τις εκφράσεις ηλεκτρομαγνητικού πεδίου πρέπει να λύσουμε την κυματική εξίσωση (1.6). Εάν το θα αναλυθεί σε συνιστώσες (,, ) τότε η εξίσωση (1.6) για την συνιστώσα γράφεται (1.9) Για την επίλυση της παραπάνω εξίσωσης μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο χωρισμού μεταβλητών, έτσι θέτουμε την στην ακόλουθη μορφή : Εάν θα αντικαταστήσουμε την (1.10) στην (1.9) παίρνουμε : X ( ) Y( ) Z( ) (1.10) X ( ) Y( ) Z( ) X ( ) Y ( ) Z( ) X ( ) Y( ) Z ( ) X ( ) Y( ) Z( ) (1.11) Διαιρούμε τα δυο μελή του (1.11) με το γινόμενο X ( ) Y( ) Z( ) και έχουμε : X ( ) Y( ) Z( ) X ( ) Y( ) Z( ) φυσικά υποθέτουμε ότι X ( ) Y( ) Z( ) 0 (1.1) Το δεξιό μέλος της παραπάνω εξίσωσης αποτελείται από τρεις όρους, που ο καθένας είναι συνάρτηση και μιας από τις ανεξάρτητες μεταβλητές,,. Για να ισχύει η (1.1) θα πρέπει ο κάθε όρος να είναι ίσος με μια σταθερή ποσότητα. Ορίζουμε : X ( ) ( ) ( ), Y, Z (1.13) X ( ) Y( ) Z( ) όπου τα,, είναι σταθεροί μιγαδικοί αριθμοί που υπακούουν στη σχέση : (1.14) 7

8 Επειδή όπως έχουμε αναφέρει η μεταβολή του πεδίου κατά τον άξονα διάδοσης n δίνεται από e για το παίρνουμε : n Z ( ) ( e ) n (1.15) n Z e Αντικαθιστώντας το από την (1.15) στην (1.14) παίρνουμε (1.16) n Στην περίπτωση της διάδοσης στο χωρίς απώλειες n j άρα η (1.16) γίνεται : (1.17) Ορίζουμε τώρα, και έτσι τελικά καταλήγουμε στην : (1.18) 3.1 Λύση της εξίσωσης κύματος. Οι λύση της εξίσωσης (1.13) για τις συναρτήσεις X( ) και Y( ) θα πάρουμε τις εκφράσεις της μορφής : Όπου A, B, C, D είναι τυχαίες σταθερές. X ( ) Asin( j ) Bos( j ) (1.19) Y( ) Csin( j ) Dos( j ) (1.0) Για τον υπολογισμό των και χρησιμοποιούμε οριακή συνθήκη για τη εφαπτομενική συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου. Θεωρώντας ότι τα τοιχώματα του κυματοδηγού είναι ιδανικοί ηλεκτρική αγωγοί τότε για τη εφαπτομένη συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου ισχύει : ˆn = 0 (1.1) Άρα επειδή είναι παράλληλη στα τοιχώματα του κυματοδηγού πρέπει : X ( ) 0 0, a (1.) Y( ) 0 0, b (1.3) Όπου a και b είναι διαστάσεις του κυματοδηγού στον και στον άξονα αντίστοιχα. Εφαρμόζοντας την οριακή συνθήκη (1.) στην (1.19) παίρνουμε : X (0) A0 B1 0 B 0 (1.4) X ( a) Asin( j a) Bos( j a) 0 Για να έχουμε μη-τετριμμένη λύση A 0 άρα Asin( ja) 0 (1.5) 8

9 sin( j a) 0 j a n j n / a (1.6) Άρα η σχέση που ισχύει για το X( ) είναι X ( ) Asin n a Τώρα εφαρμόζοντας την οριακή συνθήκη (1.3) στην (1.0) παίρνουμε : (1.7) Y(0) C 0 D1 0 D 0 (1.8) Y( b) C sin( j b) Dos( j b) 0 Για να έχουμε μη-τετριμμένη λύση C 0 άρα Csin( jb) 0 (1.9) sin( j b) 0 j b j / b (1.30) Άρα η σχέση που ισχύει για το Y( ) είναι Οι γενική λύση για την Y( ) C sin b μετά από όσα αναφέρθηκαν θα είναι : n X ( ) Y( ) Z( ) e sin sin a b t j t 0 (1.31) (1.3) όπου 0 A C Τα και n είναι ακέραιοι αριθμοί και μπορούν να πάρουν όλες τις δυνατές τιμές. Κάθε συνδυασμός και n δίνει και μια λύση στις εξισώσεις του Mawell, ενώ κάθε λύση δίνει και έναν διαφορετικό ρυθμό κυματοδήγησης. Τα και n είναι οι ιδιοτιμές του προβλήματος, ενώ η λύση (1.3) είναι η αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση. 3. Εκφράσεις για τις συνιστώσες πεδίου Για την περιοχή ελεύθερη πηγών οι δυο πρώτες εξισώσεις Mawell γράφονται: j j Εάν θα τις αναλύσουμε σε συνιστώσες παίρνουμε : j j j (1.33) (1.34) 9

10 j j j (1.35) Όμως ξέρουν ότι το πεδίο κατά τον άξονα έχει την εξάρτηση της μορφής έτσι η οι παραπάνω εξισώσεις ανάγονται στις : j e, j j j j j j j j j j Από τις έξι αυτές εξισώσεις χρησιμοποιώντας την σχέση (1.36) προκύπτουν οι παρακάτω σχέσεις για τις τέσσερις εγκάρσιες συνιστώσες των πεδίων συναρτήσει των και : j j j j Οι συνιστώσες του πεδίου στο επίπεδο είναι συναρτήσεις των και (1.37) που μπαίνουν στις παραπάνω εξισώσεις ως ανεξάρτητες συναρτήσεις. Οι δυο αυτές ανεξάρτητες συναρτήσεις δίνουν τις εξισώσεις ανεξαρτήτων πεδίων (1.37). Ένα ερώτημα είναι αν μπορούν να είναι σύγχρονος τα και διάφορα του μηδενός και να δίνουν ένα ρυθμό. Τα δυο παραπάνω πεδία δίνουν εντελώς ανεξάρτητες λύσεις μη συνδεδεμένες μεταξύ τους, με αποτέλεσμα να μη δίνουν 10

11 κάποιο καινούργιο ρυθμό. Έτσι σε περίπτωση που υπάρχουν και τα δύο πρέπει να συνυπάρχουν περισσότεροι από ένας ρυθμοί. Ετσι ξεχωριζουμε τους TM και T ρυθμούς, με 0 ή 0 αντίστοιχα. 3.3 Ρυθμοί TM ( 0, =0) Αν αντικαταστήσουμε στις εξισώσεις (1.37), 0 και από την (1.3) παίρνουμε : j n n j os sin a a b 0 j n j sin os b a b 0 n j t 0 sin sin a b j n j sin os b a b 0 j n n j 0 os sin a a b Ρυθμοί T (=0, 0) Από τις εξισώσεις (1.37) για 0 παίρνουμε t t t t (1.38) j, j Όμως οι συνοριακές συνθήκες δίνουν ότι : 0 0, b 0 0, a Εφαρμόζοντας αυτές τις οριακές συνθήκες στις (1.39) παίρνουμε : (1.39) (1.40) Επειδή η κυματική εξίσωση για την την κυματική εξίσωση για την είναι ίδια με την προηγούμενη ανάλυση για την 0, a 0, b (1.41) συνιστώσα του πεδίου είναι ακριβώς ίδια με συνιστώσα, η ανάλυση για την συνιστώσα συνιστώσα θα X ( ) Asin( j ) Bos( j ) (1.4) Y( ) Csin( j ) Dos( j ) (1.43) 11

12 Παραγωγίζοντας την λύση αυτή παίρνουμε : Όπου A, B, C, D είναι τυχαίες σταθερές. X( ) Aos( j ) Bsin( j ) (1.44) Y '( ) C os( j ) Dsin( j ) (1.45) Εφαρμόζοντας την οριακή συνθήκη (1.) στην (1.19) παίρνουμε : X '(0) A1 B0 0 A 0 (1.46) X ( a) Aos( j a) Bsin( j a) 0 Για να έχουμε μη-τετριμμένη λύση B 0 άρα Bsin( j a) 0 (1.47) sin( j a) 0 j a n j n / a (1.48) Άρα η σχέση που ισχύει για το X( ) είναι n n X ( ) Bsin X ( ) Bos a a Τώρα εφαρμόζοντας την οριακή συνθήκη (1.3) στην (1.0) παίρνουμε : (1.49) Y(0) C 1 D0 0 C 0 (1.50) Y( b) C os( j b) Dsin( j b) 0 Για να έχουμε μη-τετριμμένη λύση D 0 άρα Dsin( j b) 0 (1.51) sin( j b) 0 j b j / b (1.5) Άρα η σχέση που ισχύει για το Y( ) είναι Y ( ) Dsin Y( ) Dos b b Οι γενική λύση για την μετά από όσα αναφέρθηκαν θα είναι : όπου 0 B D n X ( ) Y( ) Z( ) e os os a b t j t 0 Αντικαθιστώντας στις εξισώσεις (1.37) 0 και από την (1.54) παίρνουμε : (1.53) (1.54) j n j os sin b a b 0 j n n j sin os a a b 0 t t (1.55) 1

13 j n n j sin os a a b 0 j n j os sin b a b 0 n a b j t 0 os os t t (1.56) Στο παρακάτω σχήμα σχεδιαστήκαν κατανομές των πρώτων 15 ρυθμών του ορθογωνικού κυματοδηγού. Σχήμα. Κατανομές των πρώτων 15 ρυθμών του ορθογωνικού κυματοδηγού 13

14 4. Κυματοδηγοί Κυκλικής Διατομής 4.1 Λύση της Εξίσωσης Κύματος Στο προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε την έκφραση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου σε κυματοδηγούς ορθογωνικής διατομής. Εδώ θα μελετήσουμε τι συμβαίνει σε κυματοδηγό κυκλικής διατομής. Οι ρυθμοί διάδοσης όπως θα δούμε, είναι αρκετά πολύπλοκοι και έχουν σε μερικές περιπτώσεις δυσκολία στον καθορισμό τους. Οι κυματοδηγοί κυκλικής διατομής μας οδηγούν από τη γεωμετρία τους στη χρήση κυλινδρικών συντεταγμένων r,,, όπως φαίνονται στο σχήμα 3 Σχήμα 3. Κυματοδηγοί κυκλικής διατομής. Όταν το πεδίο εκφράζεται σε καρτεσιανές συντεταγμένες, είδαμε ότι και συνιστώσες του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου μπορούν να ορίσουν τις υπόλοιπες. Θα δείξουμε ότι το ίδιο συμβαίνει και στις κυλινδρικές συντεταγμένες. Εκφράζοντας την Λαπλασιανή σε κυλινδρικές συντεταγμένες οι (1.6) και (1.7) για τις συνιστώσες αντίστοιχα γράφονται ως: και 1 1 r r r r (1.57) 1 1 r r r r (1.58) Οι επίλυση των παραπάνω εξισώσεων προκύπτει πάλι με την μέθοδο χωρισμού μεταβλητών ( r,, ), ( r,, ) R( r) ( ) Z( ) (1.59) Κάνουμε αντικατάσταση στην εξίσωση κύματος R( r) 1 R( r) 1 ( ) Z( ) r r r r ( ) Z( ) ( ) Z( ) R( r) Z( ) R( r) ( ) R( r) ( ) Z( ) Διαιρώντας την παραπάνω εξίσωση με R( r) ( ) Z( ) παίρνουμε : 1 R( r) 1 1 R( r) 1 1 ( ) 1 Z( ) R( r) r R( r) r r ( ) r Z( ) (1.60) 14

15 Επειδή η διάδοση γίνεται προς την διεύθυνση, η εξάρτηση του πεδίου κατά την διεύθυνση αυτή θα είναι e ( a e j ). j η εξάρτηση θα είναι της μορφής e. Έτσι : Στην περίπτωση που δεν υπάρχουν απώλειες 1 Z ( ) 1 ( ) j e j Z() e (1.61) Τώρα πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (1.60) με (1.61) και καταλήγουμε στην : r και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις r R( r) r R( r) 1 ( ) r R( r) r R( r) r ( ) (1.6) Το αριστερό μέρος της εξίσωσης αυτής εξαρτάται μόνο από την r, ενώ το δεξιό μέρος μόνο από την. Έτσι, το κάθε μέρος πρέπει αν εξισωθεί με μια σταθερά έστω, όποτε : ή και επίσης 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 R( r) R( r) r r ( r ) ( ) 0 R r r r Η η γενική λύση της εξίσωσης (1.64) είναι : (1.63) (1.64) (1.65) ( ) Asin Bos (1.66) Επειδή δεν υπάρχουν ασυνέχειες στον κυματοδηγό το πεδίο μέσα στον κυκλικό κυματοδηγό πρέπει να είναι επαναλαμβάνεται κάθε. Επειδή η λύση είναι περιοδική στο το πρέπει να είναι ένας ακέραιος αριθμός n, όποτε (1.66) γίνεται : ενώ η (1.65) ( ) Asin n Bos n (1.67) R( r) R( r) r r ( r ) ( ) 0 n R r r r που είναι η διαφορική εξίσωση Bessel, με λύση (1.68) R( r) CJ ( r) DY ( r) (1.69) n n όπου Jn( ) και Yn ( ) είναι οι συναρτήσεις Bessel πρώτου και δεύτερου είδος αντίστοιχα. Επειδή το Y ( r ) γίνεται άπειρο στο r 0, ο όρος αυτός είναι n 15

16 απαράδεκτος, γιατί δεν έχει φυσική έννοια στον κυκλικό κυματοδηγό, επομένως D 0. Η λύση της κυματικής εξίσωσης γίνεται τότε : j jt, ( Asin n Bos n) J ( r) (1.70) n Τα τοιχώματα του κυματοδηγού, όπως φαίνεται στο σχήμα 3 βρίσκονται σε ακτίνα r a. Επειδή 0 πάνω στα τοιχώματα πρέπει J ( a) 0 (1.71) n Η έκφραση (1.71) δείχνει τις δυνατές τιμές του a για διαφορές τάξεις συνάρτησης Bessel. Η πρώτη τιμή μηδενισμού καθορίζεται από τον αριθμό 1, ενώ η -οστή από τον. Οι ρυθμοί χαρακτηρίζονται πάλι ως T και TM και είναι εξαρτημένοι από τα και n. 4. Οι συνιστώσες πεδίου Εφαρμόζοντας τις εξισώσεις Mawell σε κυλινδρικές συντεταγμένες παίρνουμε : και 1 j r r r j r 1 1 j r r r (1.7) 1 jr r r j r 1 1 j r r r (1.73) Από τις παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε εκφράσεις για τις εγκάρσιες συνιστώσες συνάρτηση και : r r j r r j r r j r r j r r (1.74) 16

17 4.3 Ρυθμοί T (=0, 0) Αντικαθιστώντας στην (1.74) 0 και την από την (1.70) παίρνουμε : jn j ( Aos n Bsin n) J ( r) r n r j j ( Asin n Bos n) J n( r) 0 j j r ( Asin n B os n) J n( r) jn j ( Aos n Bsin n) J n( r) r ( Asin n Bos n) J ( r) e n j j t e jt jt jt jt (1.75) 4.4 Ρυθμοί TΜ ( 0, =0) Αντικαθιστώντας στην (1.74) 0 και την από την (1.70) παίρνουμε : j j r ( Asin n Bos n) J n( r) jn j ( Aos n Bsin n) J n( r) r j ( Asin n Bos n) J ( r) n jn j ( Aos n Bsin n) J ( r) r n r jt jt j j ( Asin n Bos n) J n( r) 0 jt jt jt (1.76) Στο επόμενο σχήμα φαίνονται κατανομές των πρώτων 15 ρυθμών του κυκλικού κυματοδηγού. 17

18 Σχήμα 4. Κατανομές των πρώτων 15 ρυθμών του κυκλικού κυματοδηγού 18

19 5. Κυματοδηγός Ελλειπτικής Διατομής Στο σχήμα 5 έχουμε έναν κυματοδηγό ελλειπτικής διατομής. Σχήμα 5. Κυματοδηγός ελλειπτικής διατομής. Για την επίλυση του εισάγουμε αντί των καρτεσιανών,, ένας σύστημα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων u, v, και τις σχέσεις συσχέτισης : C osh uos v, C sinh usin v (1.77) 0 0 Στο επίπεδο onst οι καμπύλες u u0 ( u0 onst ) σχηματίζουν μια οικογένεια συνεστιακών ελλείψεων με τις απόσταση μεταξύ των εστιών (σημεία P 1 και P στο σχήμα 6), να ισούται C 0. Σχήμα 6. Ελλειπτικό σύστημα συντεταγμένων Ο μεγάλος και ο μικρός άξονας της έλλειψης ( u0 onst) ισούται αντίστοιχα με : a C osh u, b C sinh u (1.78) Εάν είναι γνώστες οι διαστάσεις του μικρού και του μεγάλου άξονα της έλλειψης είναι γνωστές, τότε : C0 a b, e 1 ( b / a) όπου e είναι η εκκεντρότητα της έλλειψης. (1.79) 19

20 Καμπύλες v v0 ( v0 onst ) πάνω στο επίπεδο onst σχηματίζουν μια οικογένεια συνεστιακών υπερβολών (σχήμα 6). Για το πλήρες επίπεδο ( onst ) ισχύουν 0 u και 0 v. Οι εξισώσεις που μας δίνουν συσχέτιση των καθέτων στην διάδοση συνιστωσών πεδίου από τις και είναι η εξής : u v u v j 1 C u v u v 0 osh os j 1 C u v v u 0 osh os j 1 C u v v u 0 osh os j 1 C u v u v 0 osh os (1.80) Η συνιστώσες και όπως και στα προηγούμενα βρίσκονται με την επίλυση αντιστοιχών κυματικών εξισώσεων οι οποίες στο ελλειπτικό σύστημα συντεταγμένων έχουν την παρακάτω μορφή : u v h (osh u os v) 0 u v h (osh u os v) 0 (1.81) (1.8) όπου h C / Ρυθμοί T (=0, 0) Για την ανάλυση θα χρησιμοποιήσουμε την σχέση (1.81), το όποιο λύνεται με την μέθοδο χωρισμού μεταβλητών, δηλαδή : Αντικαθιστώντας την (1.83) στην (1.81) παίρνουμε : U( u) V( v) Z( ) (1.83) U( u) V ( v) V v Z U u Z h u v U u V v Z u v Διαιρώντας την παραπώ εξίσωση δια U( u) V( v) Z( ) παίρνουμε : ( ) ( ) ( ) ( ) (osh os ) ( ) ( ) ( ) 0 ή U( u) V( v) U( u) V ( v) h (osh u os v) 0 (1.84) U ( u) V( v) U( u) V ( v) h osh u h os v (1.85) 0

21 Η ισότητα (1.85) πρέπει αν ικανοποιείται για οποιεσδήποτε τιμές u και v. Έτσι επειδή οι μεταβλητές u και v είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους αυτό δυνατό μόνο εάν το αριστερό και το δεξί μέλος τις εξίσωσης (1.85) είναι ίσο με μια σταθερά. Ας συμβολίσουμε την σταθερά αυτή με. Έτσι καταλήγουμε στις δυο εξισώσεις : ( ) ( os ) ( ) 0 (1.86) V v h v V v ( ) ( osh ) ( ) 0 (1.87) U u h u U u Η δυο παραπάνω εξισώσεις που προέκυψαν είναι έχουν την μορφή εξισώσεων Mathieu. Η συνιστώσα για να πάρει την αρχική της τιμή μετά από μια πλήρη περιστροφή πάνω στο περίγραμμα της έλλειψης στην τομή του κυματοδηγού (σχήμα 5), πρέπει να έχει περίοδο στην συντεταγμένη v. Άρα πρέπει να βρούμε τέτοιες λύσεις για την εξίσωση (1.86) ώστε να έχουν περίοδο. Οι λύσεις της (1.86) που ικανοποιούν αυτήν την συνθήκη λέγονται γωνιακές συναρτήσεις Mathieu πρώτης τάξης και συμβολίζονται με : e ( v, h) V A (1.88) se ( v, h ) όπου ισούται με έναν ακέραιο αριθμό ή με το μηδέν. Η συνάρτηση e ( v, h ) αντιστοιχεί στους ρυθμούς κυμάτων του ελλειπτικού κυματοδηγού για τα οποία οι κατανομές είναι συμμετρικές ως προς μεγάλο άξονα της έλλειψης, ενώ se ( v, h ) αντιστοιχεί στους ρυθμούς οι κατανομές των οποίων έχουν συμμετρία ως προς μικρό άξονα της έλλειψης. Εύκολα παρατηρούμε ότι με την αλλαγή της μεταβλητής v με iu στην εξίσωση (1.86) καταλήγει στην (1.87). Άρα η εξίσωση (1.87) έχει λύσεις e ( iu, h ) και se (, ) iu h. Οι συναρτήσεις αυτές πήραν όνομα συνδεδεμένων ακτινωτών συναρτήσεων Mathieu πρώτης τάξης και εισάγονται με την βοήθεια των ισοτήτων J ( u, h) e ( iu, h) και Js ( u, h) ise ( iu, h). Ο τρόπος μεταβολής αυτών των συναρτήσεων μοιάζει πολύ με τον τρόπο μεταβολής των συναρτήσεων Bessel J ( r ). Αντίστοιχα η λύση της (1.87) θα είναι : J( u, h) U B (1.89) Js ( u, h ) Όπου u αλλάζει από 0 έως u, όπου 0 u 0 ορίζει την επιφάνεια του κυματοδηγού. Αντικαθιστώντας (1.88) και (1.89) στην (1.83) παίρνουμε : όπου 0 AB. J ( u, h) e ( v, h) (1.90) Js u h se v h j t 0 j t (, ) (, ) 1

22 Για να βρούμε τις υπόλοιπες συνιστώσες πεδίου θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις (1.80), όπου αντικαθιστούμε από (1.90) και 0. j t J( u, h) e( v, h) j 0 u u C0 osh u os v j t Js( u, h) se( v, h) u j t J( u, h) e( v, h) j 0 v v C0 osh u os v j t Js( u, h) se( v, h) v j t J( u, h) e ( v, h) j 0 v u C0 osh u os v j t Js( u, h) se( v, h) v j t J( u, h) e( v, h) j 0 u v C0 osh u os v j t Js( u, h) se( v, h) u (1.91) Για τον υπολογισμό του θα χρησιμοποιήσουμε την οριακή συνθήκη για το εφαπτομενικό στο τέλειο αγώγιμο σώμα ηλεκτρικό πεδίο. Έτσι η συνιστώσα 0 πάνω στα τοιχώματα του κυματοδηγού, και από την (1.90) προκύπτουν δυο ισότητες J (, ) 0 u0 h (1.9) Js (, ) 0 u0 h (1.93) Υπάρχει άπειρος αριθμός τιμών του h για τις οποίες ισχύουν οι παραπάνω εξισώσεις η οποίες είναι ρίζες των ακτινωτών συναρτήσεων Mathieu πρώτης τάξης. Τα συμβολίζουμε αντίστοιχα h n και h sn, η n είναι ο αριθμός της ρίζας. Η κάθε ρίζα έχει τον αντίστοιχο, το οποίο βρίσκομαι από τις ισότητες: για τα TM n κύματα hn / C0 για τα TM sn κύματα hsn / C0 Στην κάθε τιμή και n αντιστοιχεί μια συγκεκριμένη μορφή πεδίου στον κυματοδηγό. 5. Ρυθμοί TΜ ( 0, =0) Επειδή η κυματική εξίσωση για την την κυματική εξίσωση για την είναι ίδια με την προηγούμενη ανάλυση για την συνιστώσα του πεδίου είναι ακριβώς ίδια με συνιστώσα, η ανάλυση για την συνιστώσα συνιστώσα : θα

23 J ( u, h) e ( v, h) (1.94) Js u h se v h j t 0 j t (, ) (, ) Για να βρούμε τις υπόλοιπες συνιστώσες πεδίου θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις (1.80), όπου αντικαθιστούμε από (1.94) και 0. j t J( u, h) e( v, h) j 0 u u C0 osh u os v j t Js( u, h) se( v, h) u j t J( u, h) e( v, h) j 0 v v C0 osh u os v j t Js( u, h) se( v, h) v j t J( u, h) e ( v, h) j 0 v u C0 osh u os v j t Js( u, h) se( v, h) v j t J( u, h) e( v, h) j 0 u v C0 osh u os v j t Js( u, h) se( v, h) u (1.95) Για τον υπολογισμό του θα χρησιμοποιήσουμε την οριακή συνθήκη για το εφαπτομενικό στο τέλειο αγώγιμο σώμα ηλεκτρικό πεδίο. Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε v 0 πάνω στα τοιχώματα του κυματοδηγού, και από την (1.95) προκύπτουν δυο ισότητες : J (1.96) ( u, ) 0 0 h Js (1.97) ( u, ) 0 0 h Υπάρχει άπειρος αριθμός τιμών του h για τις οποίες ισχύουν οι παραπάνω εξισώσεις η οποίες είναι ρίζες των ακτινωτών συναρτήσεων Mathieu πρώτης τάξης. Τα συμβολίζουμε αντίστοιχα h n και h sn, η n είναι ο αριθμός της ρίζας. Η κάθε ρίζα έχει τον αντίστοιχο, το οποίο βρίσκομαι από τις ισότητες: για τα Tn κύματα h n / C0 για τα Tsn κύματα h sn / C0 Στην κάθε τιμή και n αντιστοιχεί μια συγκεκριμένη μορφή πεδίου στον κυματοδηγό. Οι ρυθμοί TM 01, T 01, TM 11, T 11 και TM s11, T s11 ενός ελλειπτικού κυματοδηγού με εκκεντρότητα e 0.75 φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. 3

24 Σχήμα 7. Η κατανομή ρυθμών στο ελλειπτικό κυματοδηγό. 4

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 14-15, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: Πρόβλημα 1. Για κάθε μια από τις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΟΠΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Καθ. Ηλίας Γλύτσης, Τηλ. 21-7722479, e-mail:

Διαβάστε περισσότερα

11 ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΑ ΠΕΔΙΑ

11 ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΑ ΠΕΔΙΑ xx ΤΟΜΟΣ ΙI 11 ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΑ ΠΕΔΙΑ 741 11.1 Διαφορική και ολοκληρωτική μορφή των εξισώσεων Maxwell Ρεύμα μετατόπισης...................................... 741 11.2 Οι εξισώσεις Maxwell σε μιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα διάλεξης

Περιεχόμενα διάλεξης 4η Διάλεξη Οπτικές ίνες Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 1 Περιεχόμενα διάλεξης Ηλεκτρομαγνητικά κύματα Κυματική Εξίσωση Ακριβής Λύση Οπτικών Ινών Ταξινόμηση Τρόπων Αριθμός Τρόπων Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( )z. HMY Φωτονική. Διάλεξη 08 Οι εξισώσεις του Maxwell. r = A r. B r. ˆ det = Βαθμωτά και διανυσματικά μεγέθη

( ) ( ) ( )z. HMY Φωτονική. Διάλεξη 08 Οι εξισώσεις του Maxwell. r = A r. B r. ˆ det = Βαθμωτά και διανυσματικά μεγέθη HMY - Φωτονική Διάλεξη 8 Οι εξισώσεις του Mawell Βαθμωτά και διανυσματικά μεγέθη Πολλαπλασιασμός Πρόσθεση διανυσμάτων Βαθμωτό: το μέγεθος που για τον προσδιορισμό του χρειάζεται μόνο το μέτρο του και η

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΟΠΤΙΚΗΣ & ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Καθ. Η. Ν. Γλύτσης, Tηλ.: 21-7722479 - e-mail:

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο

Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο Στο σχήμα φαίνεται μια γνώριμη διάταξη δύο παράλληλων αγωγών σε απόσταση, που ορίζουν οριζόντιο επίπεδο, κάθετο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης.

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Η Εξίσωση Euler-Lagrange Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους

Διαβάστε περισσότερα

Λύση Εξίσωσης Laplace: Χωρισμός Μεταβλητών

Λύση Εξίσωσης Laplace: Χωρισμός Μεταβλητών Λύση Εξίσωσης Laplace: Χωρισμός Μεταβλητών Δομή Διάλεξης Μέθοδος χωριζόμενων μεταβλητών σε καρτεσιανές συν/νες (οριακές συνθήκες σε επίπεδο). Μέθοδος χωριζόμενων μεταβλητών σε σφαιρικές συν/νες (οριακές

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 4.9.

Πρόβλημα 4.9. Πρόβλημα 4.9. Να βρεθεί το δυναμικό V() παντού στο χώρο ενός θετικά φορτισμένου φύλλου απείρων διαστάσεων με επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ. Πάρτε τον άξονα κάθετα στο φύλλο και θεωρήστε ότι το φύλλο

Διαβάστε περισσότερα

HMY 333 Φωτονική Διάλεξη 12 Οπτικοί κυματοδηγοί

HMY 333 Φωτονική Διάλεξη 12 Οπτικοί κυματοδηγοί 4 Hsiu. Ha Ανάκλαση και μετάδοση του φωτός σε μια διηλεκτρική επαφή HMY 333 Φωτονική Διάλεξη Οπτικοί κυματοδηγοί i i i r i si c si v c hp://www.e.readig.ac.u/clouds/awell/ c 3 Γωνία πρόσπτωσης < κρίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος ΘΕΜΑ α) Υλικό σημείο μάζας κινείται στον άξονα Ο υπό την επίδραση του δυναμικού V=V() Αν για t=t βρίσκεται στη θέση = με ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνησή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 1 .1 ΤΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ Ας θεωρούμε το μαγνητικό πεδίο ενός κινούμενου σημειακού φορτίου q. Ονομάζουμε τη θέση του φορτίου σημείο πηγής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

α) f(x(t), y(t)) = 0,

α) f(x(t), y(t)) = 0, Ρητές καμπύλες Μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη V (f) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου K 2 που μηδενίζουν κάποιο συγκεκριμένο ανάγωγο πολυώνυμο f K[x, y], δηλαδή V (f) = {(x 0, y 0 ) K 2 f(x

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Μαγνητικό πεδίο Νίκος Ν. Αρπατζάνης Μαγνητικοί πόλοι Κάθε μαγνήτης, ανεξάρτητα από το σχήμα του, έχει δύο πόλους. Τον βόρειο πόλο (Β) και τον νότιο πόλο (Ν). Μεταξύ των πόλων αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους τους άξονες και.

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Σύνοψη Αυτό το κεφάλαιο έχει επίσης επαναληπτικό χαρακτήρα. Σε πρώτο στάδιο διερευνάται η μορφή της καμπύλης την οποία γράφει το

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ενότητα 12: Συνάρτηση Green από ιδιοσυναρτήσεις Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να μελετήσει την συνάρτηση Green από

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει Πρόβλημα 22. Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα συνοριακών τιμών για τη εξίσωση του Laplace u + u = 0, 1 < < 1, 1 < < 1, u(, 1) = f(), u(, 1) = 0, u( 1, ) = 0, u(1, ) = 0. α) Σωστό ή λάθος; Αν f( ) = f() είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική

Διαβάστε περισσότερα

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά) . Μετάπτωση Larmor (γενικά) Τι είναι η μετάπτωση; Μετάπτωση είναι η αλλαγή της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου. Αν ο άξονας περιστροφής ενός αντικειμένου περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής. ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1 ΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 7 1.1 Μονάδες και σύμβολα φυσικών μεγεθών..................... 7 1.2 Προθέματα φυσικών μεγεθών.............................. 13 1.3 Αγωγοί,

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ ΧΧ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΠΟΛΩΜΕΝΟΥ ΦΩΤΟΣ - ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ FRESNEL

ΑΣΚΗΣΗ ΧΧ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΠΟΛΩΜΕΝΟΥ ΦΩΤΟΣ - ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ FRESNEL ΑΣΚΗΣΗ ΧΧ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΠΟΛΩΜΕΝΟΥ ΦΩΤΟΣ - ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ FRESNEL ΧΧ.1 Σκοπός Σκοπός αυτής της άσκησης είναι η μελέτη της συμπεριφοράς του γραμμικά πολωμένου φωτός, όταν ανακλάται σε επίπεδη επιφάνεια διηλεκτρικού

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 2015

ΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 2015 ΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 15 Ct 1. Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται σε ευθεία γραμμή είναι a At Be, όπου Α, B, C είναι θετικές ποσότητες. Η αρχική ταχύτητα του σώματος είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΜΑΣ00: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να κατατάξετε τις διαφορικές εξισώσεις, δηλ να δώσετε την τάξη της, να πείτε αν είναι γραμμική ή όχι, να δώσετε την ανεξάρτητη μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΗΣΗ. «Μικροοπτικές διατάξεις-ολοκληρωµένα οπτικά»

ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΗΣΗ. «Μικροοπτικές διατάξεις-ολοκληρωµένα οπτικά» ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΗΣΗ Επίπεδοι κυµατοδηγοί Προσέγγιση γεωµετρικής οπτικής Προσέγγιση κυµατικής οπτικής και συνοριακών συνθηκών Οπτικές ίνες ιασπορά Μέθοδοι ανάπτυξης κυµατοδηγών Ηχρήση των κυµάτων στις επικοινωνίες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΟΠΤΙΚΗΣ & ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Καθ. Η. Ν. Γλύτσης, Tηλ.: 210-7722479 - e-mail:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέματα και Λύσεις. Ox υπό την επίδραση του δυναμικού. x 01

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέματα και Λύσεις. Ox υπό την επίδραση του δυναμικού. x 01 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ 1 Θέματα και Λύσεις ΘΕΜΑ 1 Υλικό σημείο κινείται στον άξονα x' Ox υπό την επίδραση του δυναμικού 3 ax x V ( x) a x, a 3 α) Βρείτε τα σημεία ισορροπίας και την ευστάθειά τους

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου

Δομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Κεντρικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Ακτινική Συνιστώσα Ορμής Έστω Χαμιλτονιανή

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ηλεκτρικό Δυναμικό Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

x 2 + y 2 x y

x 2 + y 2 x y ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 014-15 Τμήμα Μαθηματικών και Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΜΕΜ0 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Φυλλάδιο Προβλημάτων Κύκλος, Ελλειψη, Υπερβολή, Παραβολή

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανυσμάτων Θεωρούμε χώρο δύο διαστάσεων και συμβατικά ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων για την περιγραφή κάθε ανύσματος του χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου

Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου 1. Μία ράβδος ΟΑ έχει μήκος l και περιστρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα Οz, που είναι κάθετος στο άκρο της Ο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί r η επαγώμενη ΗΕΔ στη

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ Σχολικό Έτος 016-017 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ Α. ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ Οριζόντια βολή, ονομάζουμε την εκτόξευση ενός σώματος από ύψος h από το έδαφος, με οριζόντια ταχύτητα u o, όταν στο σώμα επιδρά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος B1) Δεδομένου του τύπου E = 2kλ/ρ που έχει αποδειχθεί στο μάθημα και περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο Ε μιας άπειρης γραμμής φορτίου με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ σε σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

2.5. Απλές λύσεις κυματικών εξισώσεων σε δύο και τρεις διαστάσεις

2.5. Απλές λύσεις κυματικών εξισώσεων σε δύο και τρεις διαστάσεις ΚΕ. Εισαγωγή στην φυσική της κυματικής κίνησης.-0.5. Απλές λύσεις κυματικών εξισώσεων σε δύο και τρεις διαστάσεις.5.1 Σφαιρικά κύματα ως απλές λύσεις της εξίσωσης d Alembet στις τρεις διαστάσεις.5. Κυλινδρικά

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/ Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 3: Συνδυασμός αντιστάσεων και πηγών Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ-ΙΟΥΝΙΟΣ 2011

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ-ΙΟΥΝΙΟΣ 2011 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ-ΙΟΥΝΙΟΣ 2011 Κυκλώνουμε τις σωστές απαντήσεις στο παρών φυλλάδιο το άλλο φυλλάδιο είναι πρόχειρο. Κάθε σωστή απάντηση μετρά 0.5 μονάδες ενώ κάθε λάθος -0.1 μονάδες. Δίδεται k=1/(4πε

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές Λύσεις Θεμάτων Τελικών Εξετάσεων στη Θεματική Ενότητα ΦΥΕ34

Ενδεικτικές Λύσεις Θεμάτων Τελικών Εξετάσεων στη Θεματική Ενότητα ΦΥΕ34 Κυματική ΦΥΕ34 0/07/0 Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Ενδεικτικές Λύσεις Θεμάτων Τελικών Εξετάσεων στη Θεματική Ενότητα ΦΥΕ34 KYMATIKH Διάρκεια: 80 λεπτά Ονοματεπώνυμο: Τμήμα: Θέμα ο (Μονάδες:.5) Α) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schöing για κεντρικά δυναμικά Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03 Κεντρικά δυναμικά Εξάρτηση δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο Ενότητα 1 η : Μηχανικά Κύματα Θεωρία Γ Λυκείου

Κεφάλαιο 2 ο Ενότητα 1 η : Μηχανικά Κύματα Θεωρία Γ Λυκείου Κεφάλαιο 2 ο Ενότητα 1 η : Μηχανικά Κύματα Θεωρία Γ Λυκείου Τρέχοντα Κύματα Κύμα ονομάζεται η διάδοση μιας διαταραχής σε όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου με ορισμένη ταχύτητα. Κατά τη διάδοση ενός κύματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Ηλεκτρικής Ισχύος Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ (Αριθμητικές μέθοδοι υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Κύματα κατά μήκος τεντωμένου νήματος Στο τεντωμένο με δύναμη νήμα του Σχήματος 1.1α δημιουργούμε μια εγκάρσια διαταραχή (παράλληλη με τη διεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος /8/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωμα / I y dyd συντεταγμένες. Επίσης σχεδιάστε το χωρίο ολοκλήρωσης. Λύση: Το

Διαβάστε περισσότερα

Κύλινδρος κοιμώμενος εντός κώνου

Κύλινδρος κοιμώμενος εντός κώνου Κύλινδρος κοιμώμενος εντός κώνου Γιώργος Μπαλόγλου gbaloglou@gmail.com 7 η Μαθηματική Εβδομάδα, 18- Μαρτίου 015, Θεσσαλονίκη Εισαγωγή Περίληψη: Υπολογίζεται ο μέγιστος όγκος οριζοντίου κυλίνδρου εγγεγραμμένου

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Λύση: Η δύναμη σε ρευματοφόρο αγωγό δίνεται από την

Λύση: Η δύναμη σε ρευματοφόρο αγωγό δίνεται από την 1) Στο παρακάτω σχήμα το τμήμα της καμπύλης ΚΛ μεταξύ x = 1 και x = 3.5 αντιστοιχεί σε ένα αγωγό που διαρρέεται από ρεύμα Ι = 1.5 Α με τη φορά που δείχνεται. Η καμπύλη είναι δευτεροβάθμια ως προς x με

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 7: Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Κίνηση σε δύο διαστάσεις (επίπεδο)

Κεφάλαιο 3. Κίνηση σε δύο διαστάσεις (επίπεδο) Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε δύο διαστάσεις (επίπεδο) Κινηματική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουμε τη διανυσματική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης με περισσότερες λεπτομέρειες. Σαν ειδικές περιπτώσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Ι 10. Η μέθοδος των ειδώλων

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Ι 10. Η μέθοδος των ειδώλων ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Ι. Η μέθοδος των ειδώλων Περιγραφή της μεθόδου Σημειακό φορτίο και αγώγιμο επίπεδο Φορτίο μεταξύ δύο αγωγίμων ημιεπιπέδων Σημειακό φορτίο έξω από γειωμένη σφαίρα Σημειακό φορτίο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες... 7

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες... 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 Φυσικά µεγέθη... 1 1.2 ιανυσµατική άλγεβρα... 2 1.3 Μετατροπές συντεταγµένων... 6 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1 Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την (μη ομογενή) κυματική εξίσωση σε D χωρικές και 1 χρονική διάσταση :

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την (μη ομογενή) κυματική εξίσωση σε D χωρικές και 1 χρονική διάσταση : Η Κυματική Εξίσωση. Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την (μη ομογενή κυματική εξίσωση σε χωρικές και 1 χρονική διάσταση : t ( Ψ (, rt = f(, rt (139 ( Εδώ είναι μια σταθερά με διαστάσεις ταχύτητας.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις

Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις Όπως είδαμε μέχρι τώρα η ομαλότητα της ακριβούς λύσης επηρεάζει τις εκτιμήσεις σφάλματος με τέτοιο τρόπο ώστε ολα όσα αποδείξαμε ισχύουν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS Εισαγωγή Η μελέτη ενός ΣΑΕ μπορεί να γίνει με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης που το περιγράφει και είναι τόσο πιο δύσκολο, όσο μεγαλυτέρου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ενότητα 22: Κυματοπακέτα-Κυματοδηγοί Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσιάσει την έννοια του κυματοπακέτου,

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα