2.5. Απλές λύσεις κυματικών εξισώσεων σε δύο και τρεις διαστάσεις

Transcript

1 ΚΕ. Εισαγωγή στην φυσική της κυματικής κίνησης Απλές λύσεις κυματικών εξισώσεων σε δύο και τρεις διαστάσεις.5.1 Σφαιρικά κύματα ως απλές λύσεις της εξίσωσης d Alembet στις τρεις διαστάσεις.5. Κυλινδρικά κύματα ως απλές λύσεις της εξίσωσης Alembet στις δύο διαστάσεις.5.3 Σφαιρικά αρμονικά κύματα ως απλές λύσεις της εξίσωσης Helmhltz στις τρεις διαστάσεις.5.4 Κυλινδρικά αρμονικά κύματα ως απλές λύσεις της εξίσωσης Helmhltz στις δύο διαστάσεις 5//008 11:48 AM

2 ΚΕ. Εισαγωγή στη φυσική της κυματικής κίνησης Σφαιρικά κύματα ως απλές λύσεις της εξίσωσης d Alembet στις τρεις διαστάσεις. Εκμεταλλευόμενοι την ομογένεια του μέσου διάδοσης (c =σταθερό, αναζητούμε λύσεις της εξίσωσης d Alembet που να παρουσιάζουν σφαιρική συμμετρία ως προς τυχαίο σημείο του χώρου, έστω 0. Χωρίς βλάβη της γενικότητας λαμβάνουμε 0 = 0. (Αυτό ισοδυναμεί με τη θεώρηση ενός δεύτερου συστήματος συντεταγμένων με αρχή το σημείο 0 και την εισαγωγή νέων συντεταγμένων: = 0. Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι τόσο η εξίσωση d Alembet, όσο και η εξίσωση Helmhοltz παραμένουν αναλλοίωτες ως προς τις νέες συντεταγμένες. Να το αποδείξετε. Εισάγοντας σφαιρικές συντεταγμένες {, θ,φ }, με αρχή το σημείο 0, 1 3 = cs φ cs θ, (1a = cs φ sinθ, (1b = sin φ, (1c η εξισωση d Alembet γράφεται στην μορφή c sinφ =, ( t sin φ θ sinφ φ φ όπου η ποσότητα στην αγκύλη είναι η έκφραση του τελεστή Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες. Αναζητούμε τώρα λύσεις της εξίσωσης ( που παρουσιάζουν σφαιρική συμμετρία, δηλαδή λύσεις που εξαρτώνται μόνο από την απόσταση από την αρχή του συστήματος, της μορφής ( θ = (, φ, ;t,t. (3 Χρησιμοποιώντας την τελευταία σχέση στην εξίσωση d Alembet (, εύκολα καταλήγουμε στην ακόλουθη απλούστερη εξίσωση 1 c 0 t =. (4 Στην συνέχεια, αναζητούμε λύσεις της εξίσωσης (4 που εξασθενούν με την απόσταση από την αρχή του συστήματος, δηλαδή λύσεις της μορφής f,t (,t =, (5 όπου f (,t η νέα άγνωστη κυματική συνάρτηση. Αντικαθιστώντας την ανωτέρω μορφή λύσης (5 στην εξίσωση (4, η τελευταία καταλήγει μετά από απλές πράξεις στην γνωστή μας μονοδιάστατη εξίσωση d Alembet 5//008 11:50 AM

3 ΚΕ. Απλές λύσεις κυματικών εξισώσεων.- f (,t f,t t c 0 =, (6 ως προς την νέα άγνωστη κυματική συνάρτηση f (,t. Ως γνωστόν, η εξίσωση (6, επιδέχεται λύσεις της μορφής f1 ( ct και f ( + ct, οι οποίες αντιπροσωπεύουν κύματα που διαδίδονται από το κέντρο ( = 0 προς τα έξω (, και από έξω προς το κέντρο, αντίστοιχα. Καταλήγουμε λοιπόν σε λύσεις της μορφής ( f1 ct, εξερχμενα κυματα (,t = (7 f ( + ct, εισερχομενα κυματα οι οποίες αντιπροσωπεύουν σφαιρικά κύματα που διαδίδονται ομοιόμορφα προς όλες τις διευθύνσεις από το κέντρο προς τα έξω (εξερχόμενα κύματα ή από έξω προς το κέντρο (εισερχόμενα κύματα, αντίστοιχα. Αξίζει εδώ να παρατηρήσουμε, πως σε αντίθετη με τις λύσεις επιπέδου κύματος στις τρεις διαστάσεις ( ;t ( k ω f1 t, κυματα που διαδιδονται προς την διευθυνση = f ( k + ωt, κυματα αντιθετα προς την διευθυνση k k (8 που, επίσης, αποτελούν απλές λύσεις της εξίσωσης d Alembet στις τρεις διαστάσεις, όπως είχαμε δείξει στο εδάφιο., και που αντιπροσωπεύουν κύματα που διαδίδονται προς την μία ή την άλλη κατεύθυνση με αμείωτο πλάτος, οι λύσεις (7 που αντιπροσωπεύουν σφαιρικά κύματα έχουν πλάτος το οποίο ελαττώνεται με την απόσταση από το σημείο 0. Έτσι, η ένταση I της κυματικής διαταραχής που ορίζεται ως η ισχύς που διαδίδεται με το κύμα ανά μονάδα επιφάνειας απ όπου διέρχεται, και η οποία είναι ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους I (9 ελαττώνεται ανάλογα με το τετράγωνο της απόστασης από την αρχή, στην περίπτωση εξερχόμενων κυμάτων. Το αποτέλεσμα αυτό είναι συμβατό με την αρχή διατηρήσεως της ροής της κυματικής ενέργειας στις τρεις διαστάσεις. 0 C:\uses\Takis\maths\dcuments\=Saafglu=\=Kimatika Fainmena=\=01_They=\Chapte\_5_1_spheical_wave_DAl.dc

4 ΚΕ. Εισαγωγή στη φυσική της κυματικής κίνησης Κυλινδρικά κύματα ως απλές λύσεις της εξίσωσης Alembet στις δύο διαστάσεις Η εξίσωση d Alembet είναι γραμμική. Αυτό μας επιτρέπει την κατασκευή νέων λύσεων σαν γραμμική επαλληλία (υπέρθεση απλών λύσεων, τις οποίες έχουμε ήδη παράξει. Εκμεταλλευόμενοι αυτή την αρχή, η οποία συζητείται αναλυτικότερα στην συνέχεια στο κεφάλαιο 3, και την γραμμικότητα του ολοκληρωτικού τελεστή, μπορούμε να κατασκευάσουμε λύσεις της εξίσωσης d Alembet στις δύο διαστάσεις που αντιπροσωπεύουν κυλινδρικά κύματα σαν κατάλληλη υπέρθεση τρισδιάστατων σφαιρικών κυμάτων, που εκπέμπονται από πηγές ομοιόμορφα κατανεμημένες κατά μήκος ενός άξονα. Θεωρούμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας άξονα κυλινδρικής συμμετρίας τον κατακόρυφο άξονα O 3, και αναζητούμε λύσεις της εξίσωσης d Alembet της μορφής (,, ;t ( 1 3 R;t =, (1 δηλαδή λύσεις όπου το κυματικό δυναμικό εξαρτάται μόνο από την οριζόντια απόσταση R από τον άξονα O 3. Στην περίπτωση αυτή ισχύει η σχέση βλ. Σχ..5.??? = = R + z, ( Λύσεις της εξίσωσης d Alembet που αντιπροσωπεύουν εξερχόμενα κυλινδρικά κύματα μπορούν να κατασκευαστούν με υπέρθεση σφαιρικών κυμάτων που εκπέμπονται ομοιόμορφα από όλα τα σημεία του άξονα O 3, ( + f1 ct 1,, 3;t R;t dz z= Όμως σύμφωνα με την σχέση ( = =. (3 z R dz = = d R, (4 και άρα η σχέση (3 γράφεται ως ακολούθως ( ;t = ( f1 ct d. (5 = R R Χρησιμοποιώντας την βοηθητική μεταβλητή ξ = ct η σχέση (5 γράφεται τελικώς στην μορφή 5//008 11:50 AM

5 ΚΕ. Απλές λύσεις κυματικών εξισώσεων.- ( R,t = R ct f1 ( ξ ( ct ξ dξ. (6 + R Εντελώς αντίστοιχα προκύπτει η λύση της μορφής ( R,t = R+ ct f ( ξ ( ct ξ dξ (7 R η οποία αντιπροσωπεύει κυλινδρικά κύματα που διαδίδονται με κατεύθυνση προς τον άξονα συμμετρίας. O 3 Είναι ιδιαίτερης σημασίας να παρατηρήσει κανείς εδώ, συγκρίνοντας την μορφή των ανωτέρω λύσεων σε σχέση με τα αντίστοιχα σφαιρικά κύματα.5.1.(7, ότι τα κυλινδρικά κύματα (6 ή (7 που σχετίζονται με μια εντοπισμένη κυματομορφή (π.χ. παλμό f ξ 0, για ξ ξ ξ, 1, 1 ενώ διαθέτουν χαρακτηριστικό εμπρόσθιο (δηλαδή προς τη φορά της διάδοσης μέτωπο, δεν διαθέτουν χαρακτηριστικό πίσω μέτωπο. Βλέπε και Σχήμα 1 (.1.3α,β. Έτσι, η κυματική διαταραχή που αντιστοιχεί στην εκπομπή παλμού στην αρχή του χρόνου στις δύο διαστάσεις, αφού διέλθει από ένα οποιοδήποτε σημείο του χώρου, εξασθενεί με σχετικά αργό ρυθμό με την περαιτέρω παρέλευση του χρόνου. Αντίθετα, στις τρεις διαστάσεις ένας εντοπισμένος παλμός διαδίδεται με αναλλοίωτα χαρακτηριστικά σε ότι αφορά το σχήμα του (αλλά όχι και το πλάτος του, ομοιόμορφα προς όλες τις διευθύνσεις. z R Σχήμα.5. (1 Παραγωγή κυλινδρικών δισδιάστατων κυμάτων από την υπέρθεση σφαιρικών κυμάτων με συνεχή κατανομή πηγών στον άξονα Oz = O3. C:\uses\Takis\maths\dcuments\=Saafglu=\=Kimatika Fainmena=\=01_They=\Chapte\_5 cylindiical_wave_dal.dc

6 ΚΕ. Εισαγωγή στη φυσική της κυματικής κίνησης Σφαιρικά αρμονικά κύματα ως απλές λύσεις της εξίσωσης Helmhltz στις τρεις διαστάσεις Εκμεταλλευόμενοι την ομογένεια του μέσου διάδοσης ( k σταθερο =, αναζητούμε λύσεις της εξίσωσης Helmhltz που να παρουσιάζουν σφαιρική συμμετρία. Οι λύσεις αυτές θα ικανοποιούν την απλούστερη εξίσωση, 1 k = 0 (1 Αναζητώντας τώρα λύσεις που εξασθενούν με την απόσταση συστήματος, δηλαδή λύσεις της μορφής 0 από την αρχή του ( ω f, (, ω =, ( όπου f (,ω η νέα άγνωστη συνάρτηση (μιγαδικό πλάτος κύματος, εύκολα διαπιστώνουμε από την (1 ότι η f (,ω θα πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση παρακάτω δευτεροτάξια, απλή, διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές ( ω f ; + k f ( ; ω 0 =. (3 Η ανωτέρω εξίσωση έχει, ως γνωστόν, τις ακόλουθες λύσεις: ( ω f, ep = ep ( + ik ( ik (4 που, σε συνδυασμό με την ( και την αναπαράσταση.5.3, εύκολα διαπιστώνουμε ότι αντιπροσωπεύουν σφαιρικά, αρμονικά, εξερχόμενα και εισερχόμενα κύματα, αντίστοιχα, ως προς το σημείο 0 : (, ω ( + ep ik, = ep ( ik, εξερχομενα κυματα εισερχομενα κυματα (5 5//008 11:50 AM

7 ΚΕ. Απλές λύσεις κυματικών εξισώσεων.- Και στην περίπτωση της λύσης αυτής η ένταση Ι του κύματος ελαττώνεται ανάλογα με το τετράγωνο της αποστάσεως από την αρχή, δηλαδή 1 I, (6 αποτέλεσμα που είναι συμβατό με την αρχή διατηρήσεως της ροής της κυματικής ενέργειας, στις τρεις διαστάσεις. C:\uses\Takis\maths\dcuments\=Saafglu=\=Kimatika Fainmena=\=01_They=\Chapte\_5_3_spheical_wave_Helm.dc

8 ΚΕ. Εισαγωγή στη φυσική της κυματικής κίνησης Κυλινδρικά αρμονικά κύματα ως απλές λύσεις της εξίσωσης Helmhltz στις δύο διαστάσεις Εκμεταλλευόμενοι την ομογένεια του μέσου διάδοσης αναζητούμε τώρα λύσεις της εξίσωσης Helmhltz που να παρουσιάζουν κυλινδρική συμμετρία, ως προς ένα άξονα. Χωρίς βλάβη της γενικότητας επιλέγουμε ως άξονα κυλινδρικής συμμετρίας τον κατακόρυφο άξονα O 3. Εισάγοντας κυλινδρικές συντεταγμένες { R, θ,z} 1 Rcsθ = (1a = R sinθ (1b 3 = z (1c η εξίσωση Helmhltz γράφεται στην μορφή: 1 1 R R R R R θ z k = 0, ( όπου η ποσότητα στην αγκύλη είναι η έκφραση του τελεστή Laplace σε κυλινδρικές συντεταγμένες. Στην συνέχεια αναζητούμε λύσεις της εξίσωσης ( που παρουσιάζουν κυλινδρική συμμετρία, λύσεις δηλαδή που εξαρτώνται μόνο από την απόσταση R από τον άξονα, ( R, θ,z, ( ω = R;ω (3 Χρησιμοποιώντας την τελευταία σχέση στην εξίσωση Helmhltz (, εύκολα καταλήγουμε στην παρακάτω απλούστερη εξίσωση 1 R R R R + = k 0. (4 Η εξίσωση (4 ανάγεται στην εξίσωση Bessel που επιδέχεται ως λύσεις τις συναρτήσεις Hankel μηδενικής τάξης, πρώτου και δεύτερου είδους, και ορίσματος kr : ( R, ω H0 kr = J0 kr + iy0 kr = ( ( H0 kr = J0 ( kr iy0 kr ( ( ( (5a (5b Από τα ασυμπτωτικά αναπτύγματα των συναρτήσεων Hankel για μεγάλο όρισμα, ( 1 π H0 ( kr = ep i kr, kr π kr, (6a 5//008 11:51 AM

9 ΚΕ. Απλές λύσεις κυματικών εξισώσεων.- ( π H0 ( kr = ep i kr, kr π kr (6b Εύκολα μπορεί κανένας να διαπιστώσει ότι οι λύσεις της μορφής (5a αντιπροσωπεύουν αρμονικά κυλινδρικά κύματα που διαδίδονται απομακρυνόμενα από τον άξονα O 3, ενώ οι λύσεις της μορφής (5b αντιπροσωπεύουν κυλινδρικά κύματα που διαδίδονται προς τον άξονα O 3 αντίστοιχα. Σε αντίθεση με τα σφαιρικά κύματα, το πλάτος των κυλινδρικών κυμάτων εξασθενεί ανάλογα με την τετραγωνική ρίζα της αποστάσεως R από τον άξονα, και άρα η ένταση I των κυμάτων αυτών εξασθενεί ανάλογα με την απόσταση R I 1, (7 R αποτέλεσμα που είναι, επίσης, συμβατό με την αρχή διατήρησης της ροής της κυματικής ενέργειας στις δύο διαστάσεις. C:\uses\Takis\maths\dcuments\=Saafglu=\=Kimatika Fainmena=\=01_They=\Chapte\_5_4_cylindiical_wave_Helm.dc