Η στατική τριβή σε ρόλο κεντροµόλου και επιτρόχιας δύναµης

Transcript

1 Η ατική τριβή σε ρόλο κεντροµόλου και επιτρόχιας δύναµης Στον τροχό του σχήµατος 1 ακτίνας =m και µάζας Μ=4,75kg έχει τοποθετηθεί ένα σώµα Σ 1 πολύ µικρών διαάσεων µάζας m=kg σε απόαση =0,5m, από το κέντρο του τροχού. ο σύηµα αρχικά ηρεµεί και την t=0s αρχίζει να ασκείται συνεχώς εφαπτοµενική δύναµη ον τροχό η ροπή της οποίας µεταβάλλεται όπως φαίνεται ο σχήµα. τ(ν m) Σχήµα F Σχήµα t(s) ο σώµα εµφανίζει τριβές µε τον τροχό και ο µέγιος συντελεής ατικής τριβής που µπορεί να αναπτυχθεί µεταξύ του σώµατος και του τροχού είναι µ=0,6. Αν γνωρίζουµε ότι σε κάποιο άδιο της κίνησης το σώµα ολισθαίνει και χάνεται η επαφή του σώµατος µε τον τροχό να βρεθεί: α) Η γωνιακή ταχύτητα του τροχού την t=6s και να αποδειχθεί ότι δεν έχει χαθεί η επαφή του τροχού µε το σώµα Σ 1. β) Να βρεθεί η δύναµη επαφής που δέχεται το σώµα από τον τροχο την t=10s. γ) Να βρεθεί η χρονική ιγµή που χάνεται η επαφή του σώµατος µε τον τροχό. δ) Να γίνει το διάγραµµα της γωνιακής επιτάχυνσης σε συνάρτηση µε το χρόνο και να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα του τροχού την t=s ε) Να βρεθεί η δύναµη που δέχεται ο τροχός από τον άξονα την ιγµή 0s. ίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s. Η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας Ι cm = ½ M. Επιπλέον θεωρείε ότι µόλις αρχίσει η ολίσθηση του σώµατος Σ 1 πάνω ον τροχό, το σώµα Σ 1 φθάνει σχεδόν ακαριαία ην περιφέρεια του τροχού και τον εγκαταλείπει. Απάντηση α) Στο σύηµα επιδρούν µόνο οι εξωτερικές ροπές. Έτσι η µόνη εξωτερική ροπή για το σύηµα ως προς τον άξονα περιροφής είναι η ροπή της δύναµης που ασκείται ον τροχό. Για όσο χρόνο τα σώµατα ρέφονται ως ενιαίο σώµα η γωνιακή επιτάχυνση θα µεταβάλλεται για το σύηµα όπως ακριβώς µεταβάλλεται η ροπή της δύναµης F. ο πρόβληµα που προκύπτει είναι ότι δεν ξέρουµε ποια χρονική ιγµή χάνεται η επαφή των σωµάτων. Αυτό σηµαίνει ότι θα πρέπει να εξετάζουµε κάθε φορά αν τα σώµατα είναι µαζί. Στον κατακόρυφο άξονα το σώµα m ισορροπεί και έτσι ΣF =0 N w=0 N=w N=0N. Έτσι η µέγιη ατική τριβή είναι,ma =µν=0,6 0,ma =1Ν Η ροπή αδράνειας του συήµατος είναι Ι Σ =Ι τρ +Ι m Ι Σ = ½ M + m Ι Σ = 9,5+0,5 Ι Σ =10kg m. 1

2 Υποθέτουµε ότι τα σώµατα είναι σε επαφή. Από το εµβαδό του διαγράµµατος ροπής χρόνου παίρνουµε τη µεταβολής της ροφορµής. Έτσι από (0 6)s kg m L(0 6) s = 9 L6 s L0 s = 9 IΣω6s 0 = 9 10 ω6s = 9 kg m / s ω6s = 0, 9 / s s Από (0 6)s η ροπή αυξάνεται γραµµικά. Η ροπή του συήµατος είναι ευθεία της µορφής τ εξ = λ t από όπου για t=6s προκύπτει τ=ν και τελικά λ= 0,5 Ν m/s δηλ. τ εξ = 0,5 t Ενώ κάθε ιγµή ισχύει και τ εξ = Ι Σ α γ 0,5t=10 α γ α γ = t/0 Για t=6s α γ =/s και το διάγραµµα της γωνιακής επιτάχυνσης από (0 6)s φαίνεται ο σχήµα. α γ (/s ) 6 t(s) Σχήµα Η δύναµη της ατικής τριβής αναλύεται ο επίπεδο του τροχού σε δύο συνιώσες. Μία επιτρόχια,επ η οποία επιταχύνει το σώµα m και µία ακτινική η οποία έχει ρόλο κεντροµόλου,κ. κάτοψη,επ =m α ε,m =m α γ,επ =1 α γ,κ =m ω = ω 0,5,κ =ω T, επ = 1 αγ Από (0 6) s T, κ = 1 ω για t=6s προκύπτει,επ =Ν και,k =0,9 =0,81Ν,επ,κ Η ατική τριβή είναι =, επ +, κ = 0, + 0,81 = 0, , 6561 = 0, 7461 = 0,86Ν Σχήµα 4 Η ατική τριβή είναι µικρότερη από την οριακή που σηµαίνει ότι ο τροχός και το σώµα ρέφονται σαν ένα σώµα. Έτσι η γωνιακη ταχύτητα του τροχού είναι ω=0,9/s. β) Εάν δεν χάνεται η επαφή των σωµάτων τότε η γωνιακή επιτάχυνση από (6 10)s παραµένει αθερή και ίση µε α γ =/s όση έχει αποκτήσει την t=6s. ο σύηµα εκτελεί οµαλά επιταχυνόµενη ροφική κίνηση. ο διάγραµµα της γωνιακής επιτάχυνσης είναι το διπλανό από όπου και παίρνουµε ω (0-10)s =,1/s ω 10s ω 0s =,1 ω 10s =,1/s,επ =m α ε,m =m α γ,επ =Ν,κ =m ω = ω 0,5,κ =ω Από T, επ = Ν (6 10) s T, κ = 1 ω α γ (/s ) 6 10 t(s) Σχήµα 5

3 Η κεντροµόλος ατική τριβή είναι:,κ =ω από όπου για t=10s προκύπτει,κ =,1 =4,41Ν Η ατική τριβή είναι: =, επ +, κ = + 4, 41 = 0, , 4481 = 19, 581 4, 4Ν Η τιµή είναι µικρότερη από την οριακή άρα δεν έχει χαθεί η επαφή των σωµάτων και η γωνιακή ταχύτητα είναι αυτή που υπολογίσαµε. Η δύναµη επαφής είναι η συνιαµένη της ατικής τριβής και της κατακόρυφης Ν, το µέτρο της οποίας είναι ίσο µε 0Ν. ι δύο αυτές συνιώσες είναι κάθετες µεταξύ τους. Έτσι προκύπτει F επ.., επ., κ θ Ν F επ. F = + Ν = 4, = 19, = 419,564 F 0, 48Ν επ. επ. Σχήµα 6 εϕθ Ν = = 4,4 γ) Θα δούµε αν η επαφή συνεχίζεται εως την t=18s. Εάν δεν χάνεται η επαφή των σωµάτων τότε η γωνιακή επιτάχυνση από (6 18)s παραµένει αθερή και ίση µε α γ =/s. ο σύηµα εκτελεί οµαλά επιταχυνόµενη ροφική κίνηση. ο διάγραµµα της γωνιακής επιτάχυνσης είναι το διπλανό από όπου και παίρνουµε ω (0-18)s =4,5/s ω 18s ω 0s =4,5 ω 18s =4,5/s Η επιτρόχια ατική τριβή θα είναι,επ = Ν ίση µε αυτή που είχε την t=6s. Η κεντροµόλος ατική τριβή θα είναι:,κ =m ω,κ =ω από όπου για t=18s προκύπτει,επ =4,5 =0,5Ν Η ατική τριβή είναι: =, +, + = 0, + 0, 5 = 0, , 065 = 410,155 επ κ 0, 5Ν α γ (/s ) 6 18 t(s) Η τιµή αυτή είναι µεγαλύτερη από την οριακή τιµή της ατικής τριβής που σηµαίνει ότι η επαφή έχει χαθεί κάποια προηγούµενη χρονική ιγµή. Από την οριακή τιµή της ατικής τριβής βρίσκουµε την οριακή γωνιακή ταχύτητα. Η,επ έχει την ίδια τιµή από (0 18)s δηλ.,επ =Ν. Συνεπώς η κεντροµόλος ατική τριβή θα καθορίσει και την µέγιη οριακή τριβή και από αυτή θα βρούµε την οριακή γωνιακή ταχύτητα. Σχήµα 7

4 = + 1 = = ,ma, επ, κ,ma, κ,ma, κ,ma, κ,ma = 14,91, κ,ma = 11,99 ωma 11,99 ωma = 11,99 ω ma =,46 / s Η γωνιακή ταχύτητα του συήµατος τροχού σώµατος έως ότου χαθεί η επαφή θα είναι ω = ω + α ( t 6) ω = 0,9 + ( t 6) αρχ γ Για ω=,46/s,46=0,9+(t 6),56=(t 6),56=t 1,8 4,6=t t=4,6/ 14,5s δ) Από (0 6)s η γωνιακή επιτάχυνση αυξάνεται γραµµικά δηλ. α γ,1 = t/0 Από (6 14,5 ) η γωνιακή επιτάχυνση είναι αθερή α γ, = /s Από ( 14,5 18)s η ροπή που δέχεται ο τροχός δεν αλλάζει αλλά επειδή εφαρµόζεται µόνο ον τροχό δεδοµένου ότι έχει χαθεί η επαφή του σώµατος και του τροχού θα αλλάξει η γωνιακή επιτάχυνση. Στ = Ι τρ α γ, =9,5 α γ α γ, = /9.5 /s Από (18 )s η γωνιακή επιτάχυνση µειώνεται γραµµικά δηλ. είναι της µορφής α γ,4 = λ (t t 0 ) + β α γ,4 = λ (t 18) + β για t=18s η α γ,4 =/9,5 /s β= /9,5 /s για t=s η α γ,4 =0 αφού η ροπή είναι µηδενική 0= λ ( 18) + /9,5 0= λ 4 + /9,5 4 λ= /9,5 λ = /8 /s αγ,4 = (t 18)+ 8 9,5 Από το εµβαδό του διαγράµµατος βρίσκουµε τη µεταβολή της γωνιακής ταχύτητας, ω. ω (0-)s = Εµβ, τρ.(0-14,5) + Εµβ, τρ.(14,5-) ω (0-)s = Εµβ, τρ.(0-14,5) + Εµβ, τρ.(14,5-) ω (0-)s =,45 + /19 ω (0-)s = 98,55/19 ω (0-) =5,18/s ω s ω 0s =5,18/s ω s =5,18/s α γ (/s ) /9,5 0, ,5 18 t(s) Σχόλιο Λόγω της προσέγγισης t=4,6/ 14,5s το εµβαδό από (0 14,5)s θα έπρεπε να ήταν,46/s όση και η ταχύτητα του τροχού την ιγµή που χάνεται η επαφή των σωµάτων. ε) Επειδή ο άξονας περνά από το κέντρο µάζας του τροχού και το κέντρο µάζας παραµένει ακίνητο θα ισχύει ΣF=0. άξονας περιροφής ασκεί ον κύλινδρο δύναµη A τέτοιου µέτρου και διεύθυνσης ώε σε κάθε άξονα κάθε χρονική ιγµή να ισχύει ΣF = 0 A = F και ΣF = 0 A = w. Η δύναµη του άξονα Α ο επίπεδο της δύναµης F και η δύναµη F αποτελούν ζεύγος δυνάµεων! 4

5 Για t=0s: 6 αγ,4 = (0 18)+ αγ,4 = + = + = 8 9,5 8 9,5 19 9,5 19 αγ,4 = / 19 s Στ = Iaγων F = 9,5 F = 1,5 N m F = 0.75N 19 Έτσι F=A =0.75N ΣF = 0 A = w A = 47, 5N. A φ A F Έτσι η δύναµη A του άξονα που ασκείται ο κύλινδρο είναι A = A + A A w A= A + A 0,75 +47,5 = = 0, , 5 A= 56,815 = N µε A εφφ= = A Χ. Αγριόδηµας 5