ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς
|
|
- Παναγιωτάκης Γιάγκος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Ενότητα: Ανάπτυγμα σε Σειρά Fourir Ιωάννης Στυλιανού Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
2 B B B B Αθροισµα ηµιτονοειδ ων ορων Η σχ εση "! # &%"' δηλ ωνει οτι οταν προσθ ετουµε ηµιτονοειδ η σ ηµατα που σχετ ιζονται αρµονικ α, δηλ. που περι εχουν συχν οτητες οι οπο ιες ε ιναι ακ εραια πολλαπλ ασια µιας θεµελι ωδους (βασικ ης) συχν οτητας ( *) προκ υπτει ενα σ ηµα περιοδικ ο µε περ ιοδο:,. ( που δεν περιγρ αφεται οµως οπως προηγουµ ενως ως ενα απλ ο ηµ ιτονο, αλλ α ως ενα αθροισµα ηµιτονοειδ ων ορων. Παρ αδειγµα: Εστω: τ οτε το σ ηµα 0/ :9 0=<>=*= :9 0=<A@**= C >D θα ε ιναι περιοδικ ο µε περ ιοδο =* / 21 (Σχ. 1). Πρ αγµατι τα σ ηµατα και εχουν συχν οτητες J@:KGFLH αντ ιστοιχα, που ε ιναι αρµονικ α συσχετισµ ενες, δηλ. ε ιναι ακ εραια ( E=*GFIH και ( πολλαπλ ασια µιας βασικ ης συχν οτητας: ( ( *) ( M ( K) οπου ( NO=KCFIHQP Αν στα παραπ ανω 7 6 (a) (b) (c) Tim in sc. RTSVUKWYX"Z K[]\ ^` abdc\fg hq\jik h*bylm\fn hq\jobpc\fgyqrbylm\fn σ ηµατα προσθ εσουµε το σ ηµα ps* 3 Gt5s 68:9 0=<>u=KK τ οτε το σ ηµα 3 C ŸI ds& θα ε ιναι περιοδικ ο µε περ ιοδο K / `1 (Σχ. 2) επειδ η η συχν οτητα ( KGFLH ε ιναι τ ωρα η µ εγιστη συχν οτητα που διαιρε ι ακ εραια ολες τις συχν οτητες των σηµ ατων που προσθ εσαµε. Σηµει ωστε οτι η συχν οτητα ( KGFIH ε ιναι ο Μ εγιστος Κοιν ος ιαιρ ετης (ΜΚ ) ολων των συχνοτ ητων που προσθ εσαµε. ( 2v ( vwwmwv ( πλ εον ενα περιοδικ ο σ ηµα. Οταν οι συχν οτητες των σηµ ατων που προσθ ετουµε δεν σχετ ιζονται αρµονικ α, τ οτε το αθροισµ α τους δεν ε ιναι Ας δο υµε το φασµατικ ο περιεχ οµενο των σηµ ατων που µ ολις αναφ εραµε Gy5 768*9 z{<>=*= }5 68*9 z{<a@:k= Ä}5,s 68*9 0{<>uKKK
3 B B B 5 5 B B 7 (a) (b) (c) 1 RSVUKWQX Z οπου αυθα ιρετα διαλ εγουµε[ Χρησιµοποι ωντας την αντ ιστροφη σχ εση G Tim in sc. []\ ^2bk~`\fn\jikT Kc\fg bpc\fgyqrbylm\fn hp\jot 2lm\fg *c\fnyqibk~m\fg ƒ 5 ƒ 5sKP WY VZX ) το σ ηµα!= " % K!K " % "!{ˆ " % * "!{ˆ % > και το φ ασµα πλ ατους φα ινεται στο σχ ηµα 3 P Σηµει ωστε οτι το φ ασµα φ ασης ε ιναι για κ αθε συχν οτητα µηδενικ ο. γρ αφεται ως[ 5 s "!= % * "!= % Αν χρησιµοποι ησουµε µη µηδενικ ες A3/2 A3/2 A1/2 A1/2 A2/2 A2/ f(hz) RTSŠU*WYX ZŒ [ Φ ασµα πλ ατους του l \fg a φ ασεις π.χ. Ž * u=< v Ž t < και Ž s KV < αντ ιστοιχα για τα σ ηµατα v και s 3 ) τ οτε το ν εο σ ηµα ) B s 3 ) που θα προκ υψει απ ο την πρ οσθεσ η τους θα ε ιναι επ ισης περιοδικ ο µε περ ιοδο 2 & KC/ 21 αλλ α θα διαφ ερει πολ υ στο χρ ονο απ ο το σ ηµα 3 P Πρ αγµατι, στο σχ ηµα 4 3* εχουµε σχεδι ασει το σ ηµα οπου τα σ ηµατα )7 ) και s εχουν µηδενικ ες φ ασεις, και στο σχ ηµα 4 d εχουµε σχεδι ασει το σ ηµα s οπου τα σ ηµατα )p ) και s εχουν ΜΗ µηδενικ ες φ ασεις. Παρατηρε ιστε π οσο διαφορετικ α ε ιναι στο χρ ονο, αν και εχουν το ιδιο φ ασµα πλ ατους. Εποµ ενως, η φ αση εν ος σ ηµατος ειναι αρρηκτα δεµ ενη µε τη χρονικ η δοµ η εν ος σ ηµατος.
4 ½ ½ ½ 8 (a) (b) Tim in sc [\ ^2 2l`\fg Αθροισµα σηµ ατων µηδενικ ης φ ασης \jik `~`\fg Αθροισµα των ιδιων σηµ ατων οπως στο \ ^2 αλλ α µε φ ασεις µη µηδενικεςa ιαµ ορφωση συχν οτητας š œ]ÿž œ «ªNž ` Œ ±kỹ³² Μ εχρι τ ωρα βλ επαµε σ ηµατα που οι συχν οτητ ες τους ηταν χρονικ α αµετ αβλητες. Σε αυτ η τη παρ αγραφο θα δο υµε σ ηµατα των οπο ιων η συχν οτητα µεταβ αλλεται γραµµικ α ως προς το χρ ονο. Τα σ ηµατα αυτ α λ εγονται σ ηµατα σειρ ηνας 6µ SVX 9 SVUK 9 και ε ιναι µια ειδικ η κατηγορ ια σηµ ατων διαµορφωµ ενων κατ α συχν οτητα. Υπενθυµ ιζουµε τους ορους φ αση και φ αση µετατ οπισης. Σε ενα σ ηµα 3 Cy5 68*9 0{< ( Ž το ορισµα του συνηµιτ ονου 3 ¹{< ( Ž ) ονοµ αζεται φ αση του σ ηµατος ) εν ω Ž ) ονοµ αζεται η φ αση µετατ οπισης. Ονοµ αζουµε στιγµια ια συχν οτητα: ({º G {<¼ Εποµ ενως το σ ηµα T ) εχει σταθερ η στιγµια ια συχν οτητα: ({º C {<«( Για γραµµικ α ως πρ ος το χρ ονο µεταβαλλ οµενη συχν οτητα το πολυ ωνυµο της φ ασης θα πρ επει να ε ιναι δευτ ερου βαθµο υ: οπου ¾ ονοµ αζεται σταθερ α διαµ ορφωσης. Οπ οτε Cy{<A¾ {< ( A> {< ( Σε κ αθε χρονικ η στιγµ η )Y º ) η στιγµια ια συχν οτητα θα µεταβ αλλεται γραµµικ α: ( º G {< Gy=¾ A ( Παρ αδειγµα: Θ ελουµε να δηµιουργ ησουµε ενα σ ηµα σειρ ηνας, του οπο ιου η στιγµια ια συχν οτητα να µεταβ αλλεται απ ο ( ykkgflh σε ( y KGFIH σε χρ ονο / 21 P
5 ½ Â % Ã Η στιγµια ια συχν οτητα ε ιναι: ( º 4 ( ( > ( {*=A}KK Η φ αση του σ ηµατος θα δ ινεται απ ο το ολοκλ ηρωµα: οπου το Ž ε ιναι τυχα ια σταθερ α. 3 Á {< ( º 3Ã7 =< u=g {<ÄKK=7 Ž Οταν το φασµατικ ο περιεχ οµενο (πλ ατη, φ ασεις, συχν οτητες) των σηµ ατων που αναλ υουµε δεν µεταβ αλλεται µε το χρ ονο το φ ασµα πλ ατους και φ ασης αρκε ι για να περιγρ αψει τα σ ηµατα. Μια τ ετοια παρ ασταση δεν αρκε ι για τα σ ηµατα που εξετ αζουµε εδ ω. που λ εγεται: Χρ ονου Συχν οτητας 3Å SVÆZÇnRYX"ZmÈ:WYZ 6É Για τ ετοιου ε ιδους σ ηµατα χρησιµοποιο υµε µια παρ ασταση οπου µπορε ι ε υκολα να παρουσιασθε ι η αλλαγ η της συχν οτητας ως προς το χρ ονο. Σε αυτ ην την παρ ασταση ο χρ ονος ε ιναι ο οριζ οντιος αξονας και η συχν οτητα ο κατακ ορυφος αξονας. Η κατανοµ η της εν εργειας ( η της ισχ υος) του σ ηµατος αναπαριστ αται σε εναν τρ ιτο αξονα κ αθετο προς αυτο υς του χρ ονου και της συχν οτητας. Συν ηθως οµως χρησιµοποιο υµε χρ ωµατα για την αναπαρ ασταση της εν εργειας εχοντας αντιστοιχ ησει το µα υρο χρ ωµα σε χαµηλ η εν εργεια εν ω το κ οκκινο σε υψηλ η εν εργεια. Ενα παρ αδειγµα αναπαρ αστασης Χρ ονου Συχν οτητας δ ιδεται στο σχ ηµα 5. Αναπαριστ α το σ ηµα σειρ ηνας που µ ολις δηµιουργ ησαµε. Στο σχ ηµα 6 εχουµε σχεδι ασει τα πρ ωτα δε ιγµατα του σ ηµατος αυτο υ στο χρ ονο. Παρατηρ ηστε πως αλλ αζει η συχν οτητα του σ ηµατος µε την π αροδο του χρ ονου. Για Frquncy Tim RTSVUKWYX"Z u [ Αναπαρ ασταση Χρονου Συχνοτητας για ενα σ ηµα σειρ ηνας µε αρχικ η συχνοτητα ÊË`Ë>Ì«Í τελικ η ÊmÎ`ËmËÌ«Í a ι αρκεια: Î`ÏÐÑÒ σ υγκριση, δ ινουµε στο σχ ηµα 7 ενα ηµιτονοειδ ες σ ηµα δι αρκειας 9 Z 6 µε σταθερ η συχν οτητα
6 Tim in sc. RTSVUKWYX"ZŒÓ [ Ενα σ ηµα σειρ ηνας στο χρ ονο Frquncy RTSŠU*WYX Z Tim in sc. [ Αναπαρ ασταση Χρ ονου Συχνοτητας για ενα σ ηµα σταθερ ης συχν οτητας Î`ËmË`Ë`Ì«Í a u
7 Ô ( ( ( Ô Ô Σ ηµατα και Ν οτες Ενα σ ηµα το οπο ιο µας ε ιναι πολ υ οικε ιο και οπου οι συχν οτητες του σ ηµατος αλλ αζουν ως συν αρτηση του χρ ονου ε ιναι η µουσικ η. Οι ν οτες δεν ε ιναι παρ α ηµ ιτονα κ αποιας συχν οτητας. Για παρ αδειγµα η ν οτα ΛΑ της τ εταρτης οκτ αβας ε ιναι ενα ηµ ιτονο µε συχν εν ω το ΝΤΟ της ιδιας οκτ αβας εχει συχν οτητα Ó FIHdP Μια οκτ αβα περι εχει 12 ν οτες: Ντο Ντο# Ρε Ρε# Μι Φα Φα# Σολ Σολ# Λα Λα# Σι, οπου # σηµα ινει δ ιεση. Ο λ ογος της συχν οτητας µιας ν οτας προς τη συχν οτητα της αµ εσως προηγο υµενης ε ιναι σταθερ ος και ισος µε Ô P Για παρ αδειγµα: %3Õ Ö %3Õ (= º ({ØQÙ Ö Επ ισης η πρ ωτη ν οτα µιας οκτ αβας, µε την πρ ωτη ν οτα της εποµ ενης οκτ αβας εχουν λ ογο ισο µε 2. ηλαδ η ε ιναι αρµονικ ες. Ας παραστ ησουµε τις ν οτες µιας οκτ αβας µε: Ú v Ú vmwwmwv Ú επ οµενης οκτ αβας µε Ú s*p Τ οτε µε οσα ε ιπαµε: Ú Ú Ô v Ú s Ú Ô v>www Ú s Ú ÔÜÛ Ú s Ú Οµως απ ο τα παραπ ανω ξ ερουµε οτι: Ú s y Ú P Εποµ ενως: ÛÞÔ ßµ ÛÞÔÄà K *uká*u και την πρ ωτη ν οτα της Γνωρ ιζοντας την τιµ η του Ô µπορο υµε να βρο υµε τη συχν οτητα σε â,ã που αντιστοιχε ι σε κ αθε ν οτα αν εχουµε µ ια ν οτα ως αναφορ α. Στη µουσικ η αυτ η η ν οτα ε ιναι η Λα οκτ αβας που αντιστοιχε ι στη συχν Το πι ανο εχει συνολικ α 88 πλ ηκτρα και η ν οτα αναφορ ας, Λα, ε ιναι το 49 πλ ηκτρο, εν ω η ν οτα Ντο της ιδιας οκτ αβας ε ιναι το πλ ηκτρο 40. Γνωρ ιζοντας τη συχν οτητα αναφορ ας, η ν οτα Ντο οκτ αβας θα εχει συχν οτητα: (2èYé &ê ˆ ˆ"ë"ì ß à Ó =FLH ]æpç Στο σχ ηµα 8 φα ινονται τα πλ ηκτρα απ ο το Ντο της äå Ó οκτ αβας (πλ ηκτρο 28) µ εχρι το Σολ της äå οκτ αβας (πλ ηκτρο 71). Εποµ ενως, για να βρο υµε τη συχν οτητα µιας ν οτας µε αριθµ ο πλ ηκτρου í δεν εχουµε παρ α να εφαρµ οσουµε τη σχ εση: οπου ( ({î ( èyé &ê î ˆ"ë"ì ß Στο σχ ηµα 8 εµφαν ιζονται επ ισης οι αξ ιες µιας ν οτας. Αυτ ες καθορ ιζουν τη δι αρκεια του ηχου. Ó παρ αδειγµα, αν εµε ις θελ ησουµε κ αθε τ εταρτο ν οτας (1/4) να ε ιναι δι αρκειας Kïr/ `1 ) τ οτε η ολ οκληρη ν οτα θα ε Ó KŒ{@**ïr/ 21 Ó και κ αθε ογδοο (1/8) θα ε ιναι: * KGï / 21 Το σχ ηµα 9 δε ιχνει την αναπαρ ασταση Χρ ονου Συχν οτητας για τις ν οτες: Ντο, Ρε, Μι, Φα, Σολ, Λα, Σι, äå Ó οκτ αβας, κ αθε ν οτα εχει αξ ια 1/4 και δι αρκεια KKï / 21 zk Για Ó
8 4 ΟΚΤΑΒΑ Ντο# Ρε # Φα# Σολ# Λα# Αξια 1 Ντο Ρε Μι Φα Σολ Λα Σι 1/2 1/4 1/8 1/16 RTSŠU*WYX"Z Q[ Κ αποια πλ ηκτρα πι ανου, πεντ αγραµµο και αξιες Frquncy (Hz) RTSŠU*WYX Z á Tim in sc. [ Αναπαρ ασταση Χρονου Συχνοτητας για τις ν οτες: Ντο, Ρε, Μι, Φα, Σολ, Λα, Σι, της ñ2ò"ó οκτ αβαςa
9 [ [ æ Εχουµε δει οτι: γρ αφεται ως[ χρησιµοποι ωντας τη σχ εση του Το 3 T C WY ŠZmX ε ιναι περιοδικ ο µε περ ιοδο εξ ισωση 4 γρ αφεται ως: T C Σειρ ες Œž š œš, ( 3 Cú,u 68:9 0{< u :õö! % = ô< 1 /* C "ø "ø u * :õö * "! % 3@: / 21 Αν θ εσουµε και ùu *õö ) τ οτε η :ûzõ ü % Üý kû0õ ü % οπου ý ε ιναι ο συζυγ ης του P Σκοπ ος µας ε ιναι να βρο υµε µια σχ εση που συνδ εει τα µιγαδικ α πλ ατη και µε το σ ηµα P Πολλαπλασι αζουµε και τα δ υο µ ελη της εξ ισωσης (5) µε kû0õ ü % ) και ολοκληρ ωνουµε και τα δ υο µ ελη σε δι αστηµα µιας περι οδου, Οπ οτε: Yû0õ ü % Á T :ûzõ ü % þ ÿ &ûzõ ü % &û0õ ü % þ ÿ æ 3 kû0õ ü % Στην εξ ισωση (6) κ αναµε χρ ηση της σχ εσης ορθογωνι οτητας: ûzõ ü ê ì % αν αν Üý :ûzõ ü % &ûzõ ü % þ ÿ = zuk Ó Για τον υπολογισµ ο του απλ α ολοκληρ ωνουµε το σ ηµα σε δι αστηµα µιας περι οδου[ Á T þ ÿ ûzõ ü % þ ÿ ý ü ûzõ % þ ÿ 0á* Εποµ ενως: δηλαδ η το ε ιναι ισο µε τη µ εση τιµ η του σ ηµατος στη δι αρκεια µιας περι οδου, Αν γρ αψουµε το αρχικ ο σ ηµα (εξ ισωση (3)) σε µια πιο γενικ η µορφ η T Á T Á 5 }5 68*9 0{< ( > Ž 5 5 ûzõ ü % 5 ü ûzõ % =P * *
10 s τ οτε: οπου 5 v 5 u v Ž 5 5 < P T ü ûzõ % T και Ας δο υµε τ ωρα τι θα υπολογ ιζαµε ως πλ ατος σε µια συχν οτητα που δεν υπ αρχει στο σ ηµα T P παρ αδειγµα, στη συχν οτητα: ( ( [ Yûzõ ü % 5 T ü ûzõ % 5 ûzõ ü % þ ÿ 5 ü û0õ % ü û0õ % > 5 ý ü ûzõ % ü ûzõ % 5 ü ûzõ % 5 ý ü ûzõ % þ ÿ þ ÿ K Για Συµπ ερασµα: Αν µια συχν οτητα ( υπ αρχει στο σ ηµα 3 ) τ οτε η σχ εση: 5 3 "! # % δ ινει το πλ ατος 5 και τη φ αση Ž του σ ηµατος στη συχν οτητα ( P Αν, αντ ιθετα, η συχν οτητα ( δεν υπ αρχει στο σ ηµα ) τ οτε: 5 Τ ωρα µπορο υµε να γενικε υσουµε τα παραπ ανω: Ενα περιοδικ ο σ ηµα 3 µε περ ιοδο ε ιναι απερι οριστα µεγ αλο (π.χ. )): 3 C5 T! # % G µπορε ι να αναπτυχθε ι σε αθροισµα ορων ( οπου 5 68:9 {< uk µπορε ι να Ž Ó οπου: 5 = =< = Η σχ εση (16) ονοµ αζεται αν απτυγµα σε σειρ α Ú Ã Ô Ôr η Σ υνθεσηú Ã Ô Ô, εν ω οι σχ εσεις (17) ονοµ αζονται Αν αλυση Ú Ã Ô Ô. á
11 ,. % % % æ ƒ ƒ æ % % % % οπου Παρ αδειγµα: Θ ελουµε να αναπτ υξουµε σε σειρ α Ú Ã Ô Ô το περιοδικ ο σ ηµα! } "} ε ιναι η περ ιοδος του σ ηµατος. Γραφικ α το σ ηµα T φα ινεται στο σχ ηµα 10. ` 1 0 To/2 To t 1 RTSŠU*WYX Z Ÿ #*< #*< # µß {< [ Το περιοδικ ο σ ηµα της Εξισωσης (18)a T {< =< C &%! #*<! ß Ct "ß g =< ß # {< {< '%! οµως: Εποµ ενως:! )( v ( v ( u vmwwmw (δηλ. περιττο υς) t v ( v (@ vmwwmw (δηλ. αρτιους), * #*< για )( για t αρτια v ( v ( u vwmww η[ *. < < για /( για αρτια v ( v ( u vwwmw Απ ο το παραπ ανω αποτ ελεσµα προκ υπτει οτι: 5 0 για περιττ α < 21 και περιττ α < ]D<Lú< ƒ και περιττ α
12 3 Αν για παρ αδειγµα E K@/ `1 τ οτε ( KuFIH. ηλαδ η το φ ασµα συχνοτ ητων θα περι εχει µη µηδενικο υς ορους στις συχν οτητες: ( KuKFIH v ( v Ku=FIH v ( Ku{FIH v κ.λ.π. Το φ ασµα πλ ατους και φ ασης δ ινονται στα σχ ηµατα 11 και 12 P Εποµ ενως το 3 µπορε ι να γραφτε ι ως: o o o o o o f(hz) RSVUKWQX Z 0 K*[ Φ ασµα πλ ατουςa π/2 o o o o o o f(hz) π/2 RSVUKWQX < [ Φ ασµα φ ασηςa < 87 %"' < 68:9 :9 < 9 SŠ 9 < 9 SV 9 >M 9 SV 9 >Mu 9 SŠ zu 9 m wmww οπου σηµα ινει πραγµατικ ο µ ερος, 9 y{< και > v v v vmwww Στο σχ ηµα 13 εµφαν ιζουµε στο π ανω µ ερος την προσ εγγιση του σ ηµατος χρησιµοποι ωντας ορους απ ο το παραπ ανω αθροισµα. Στο κ ατω µ ερος του ιδιου σχ ηµατος σχεδι ασαµε το προσεγγιστικ ο σ ηµα χρησιµοποι ωντας ορους. Ε ιναι φανερ ο οτι οσο µεγαλ ωνουµε τον αριθµ ο των ορων που χρησιµοποιο υµε στη σειρ α Ú Ã Ô Ô τ οσο πιο µικρ ο θα ε ιναι το λ αθος προσ εγγισης. Επ ισης παρατηρο υµε οτι το προσεγγιστικ ο σ ηµα ταλαντ ωνεται γ υρω απ ο τις τιµ ες v. Αν και το πλ ατος αυτ ων των ταλαντ ωσεων µικρα ινουν καθ ως ο αριθµ ος των ορων στη σειρ α Ú Ã Ô Ô µεγαλ ωνει, ποτ ε δεν θα εξαφανιστο υν. Αυτ ο το φαιν οµενο το µελ ετησε ο <=>> / το 1899, και για το λ ογο αυτ ο το φαιν οµενο ονοµ αζεται φαιν οµενο <=>> /. < µ ονο K
13 (a) N = (b) N = 10 RTSVUKWYX"Z [ Π ανω: αθροισµα 3 ορων της σειρ Κ ατω: αθροισµα 10 ορων της σειρ Παρατηρειστε το φαιν οµενο H'FJIKIÏ a Αρτιο και περιττ ο µ ερος σ ηµατος Ενα σ ηµα ονοµ αζεται αρτιο, οταν: εν ω ονοµ αζεται περιττ ο οταν T g MLp T C!L7 Εστω T Cy5 N *9 9 m Ž το αν απτυγµα σε Ú Ã Ô Ô του σ ηµατος 3 το οπο ιο γρ αφεται ισοδ υναµα ως: 3 C5, 35 5 K2 87:"% ' á* Αν στην παραπ ανω εξ ισωση το αντικατασταθε ι µε εχουµε: T g Cy {{ 87: %"' 0K* Προσθ ετωντας τις εξισ ωσεις (19) και (20) και χρησιµοποι ωντας την εξ ισωση του O ÃP Ô, πα ιρνουµε: 3 >D g yk5 K365 5 { 68*9 9 ` ' 0 Αν 3 ε ιναι αρτια συν αρτηση, δηλ. 3 Ct g, τ οτε η εξ ισωση (21) γρ αφεται: = 3 Á K5 KQ { 68:9 :9 ' T 5, :9 Ž 68*9 9 0*K
14 ! S Παρατηρο υµε οτι αν T, δηλαδ η αν το σ ηµα ηταν περιττ ο, τ οτε το αθροισµα στην εξ ισωση (21) θα ηταν µηδ εν. Απ ο τα παραπ ανω συµπερα ινουµε οτι οταν το σ ηµα 3 ε ιναι αρτιο, τ οτε περι εχει µ ονο συνηµιτονοειδ ης ορους (Εξ ισωση (21)). Αντ ιθετα, ενα περιττ ο σ ηµα δεν περι εχει συνηµιτονοειδ ης ορους. Αν αντ ι να προσθ εσουµε τις Εξισ ωσεις (19) και (20) τις αφαιρ εσουµε, θα προκ υψει: T G T g ,R365 5 { 87 % 87 % ' 5 { G# 9 SŠ 9 m ' 5 T9 SV Ž 9 SV :9 0 Αν 3 ε ιναι περιττ ο σ ηµα, τ οτε: C¹ T και η Εξ ισωση (23) γρ αφεται ως: { T Á,R SŠ Ž 9 SV : SV Ž 9 SV 9 0=@: Συµπ ερασµα: Ενα αρτιο σ ηµα περι εχει µ ονο συνηµιτονοειδ η ορους (Εξ ισωση (22)), εν ω ενα περιττ ο σ ηµα εχει µ ονο ηµιτονοειδ η ορους (Εξ ισωση (24)). Κ αθε πραγµατικ ο σ ηµα T µπορε ι να γραφτε ι ως: = 4 3 >D g ô T Ü Û T 3 >D g 3 Ü g þ ÿ þ ÿ ST ê % ì õ ê % ì οπου U> 3 δηλ ωνει το αρτιο µ ερος εν ος σ ηµατος και! 3 δηλ ωνει το περιττ ο µ ερος εν ος σ ηµατος. Εποµ ενως κ αθε πραγµατικ ο σ ηµα T µπορε ι να γραφτε ι ως αθροισµα εν ος αρτιου και εν ος περιττο υ µ ερους: T Ct U >D Απ ο τα παραπ ανω και απ ο τις Εξισ ωσεις (22) και (24) προκ υπτει οτι κ αθε πραγµατικ ο σ ηµα µπορε ι να γραφτε ι ως: T Á T Á 5 N *9 Ž 68:9 :9 þ ÿ 5 N365 5 N365 αρτιο µ ερος 3 V SV Ž 9 SV 9 þ ÿ περιττ ο µ ερος 5 68:9 Ž 68*9 9 9 SV Ž 9 SV 9 " Û 5 68*9 9 Ž η οπο ια ε ιναι η σχ εση που µ εχρι τ ωρα χρησιµοποι ησαµε ως αν απτυγµα εν ος πραγµατικο υ περιοδικο υ σ ηµατος σε σειρ α Ú Ã Ô Ô. Στο σχ ηµα 14 δε ιχνουµε το αρτιο και περιττ ο µ ερος εν ος σ ηµατος 0*uK
15 @ A (t) t (t) A/2 Αρτιο t (t) A/2 Περιττο RTSVUKWYX"Z [ Αρτιο, b:w7\fn, και περιττ ο µερος, b:xq\fn, ενος πραγµατικο υ σ ηµατος b7\fn a
16 u ~ u a B a! #"%'&)(*,/.0&" (,/789:7'/.3254 <'9=7'7)>A@CBD2575. E=F@CBG7H&(&5IJ77K/7('%LM &'KN75.M*O *P.Q,%46RS'TVUXWZYPU[ >F@CB]\ E=F@CBt\ v&/ƒ'ƒ7(ƒ7m.q45 %&'KN7 7 "%'& <'9:7'P7 =O(75IJ,/K%&'9:*/[ \ >F@CB EkA@CBC '@ ^vuv P '@ š a^v bd g:i ažbd :i bd g:i ^ f u \ ^vuvc=a bd ^ f u f :i \ ^vuvc=a bd ^ f u f ` :i = >F@CB EkA@CBC '@ \ ^vuvacbd :i (&5)254K/79:*,/<LM!K (7,%7254!c71&1%<1!K[ ^`acbd ^ fkj S'lmonpq@kasr f B :i uvawbd j S'lmzy{pq@ka} ~ % g:i >F@CBˆE=F@CB 2575.'&1ƒ'&2ƒ L,%ŠK%&'KN7 & 7(&1%Œƒ*! 9=7 *9kIJ7 (*,/IŽ&"%& a uvkbd ^ f j S'lmonpX@œasr f :i j S'lmFy{pq@ka} Bˆ '@ š j S'lmŸnpX@kasr f B j SLlFy{pX@œa# P j S'lm npx@kasr f a} f Bœa ^ f u f j S'lmŸr f f B j SLlmor f f B BC '@ j S'lmor f f BPO '@ º 7K >A@CB\EkA@CB %* j S'lonpX@kasr f B j S'lmzy{pq@ka} «: y± \²n j f y³\²n S'lmonpX@œasr 8.Q7H2 4%µ:* n j S'lmŸ 5B j S'lŸ!B¹\ ^` \ uv ^ f \ u f r f \ f 8.Q7{254%µ=*¼n:½G%M.M )(7,%7(4K%cM Œ (75I¾,%K%*. % )9=&,% M<[ j SLlmŸ a} Bœa j S'lmz!B = > /A@CBC '@\²^` a bd :i ^ f ~ŸÁ'
17 [ \ \ \ ã ã ì Ò Ò a â Ò ~ ë ½ æ Ò i a ë â a Ò B ÂÃ*!Ä/IŽ *I0K%75.&}(*!,/I¾ M '9:&µ:*!Š,% '9:7ÅP&ÇÆÈLUXlCYÉ1ÈLÊv&}&(&5IË&s"%*PIË VK%*P.Ì( Í2 7'7K%Œ9:*75.` *K%Œ!,Î8*P.Q76P&6 <'9=7'& V/.0 ¼"/.Q45 M&,%* ' VK ~oál % 1Î* ¼npN½ v7,%45"%*.08v9=7 Ï 7K%7('%'Ä%&'9=*¼ * *P.Q,%4RS'TUXWÐYU& <'9=7[ >A@CB\lXWÐÑ ÒGA@CB (&56 (*,/IË&5"%& P&6 <'9=7'& *IÓK/75.V=Ì\ÕÔ Ø,% 'M.Q9=&(&5.3ŠKN75 % ) VŒ!M &6ÙTÊÐYPU 8.Q7'/I Ö 257.% )"/.3K/L9k.325<H *.Q,%4 [ lxwðñ A@CB\ÛÚh܈ Pß Ú1Þ1Ü A> EB Ò \à> Ò Çá > âheaäã1> E Çá > E5âa}E Ò 8,%4 :&'9:*/[ >F@CB¹\ lxwzñ Ò F@CBä\ å ˆ Ú Þ1Ü ß Çá Ú Þ1܈ aäã Ú Þ1Ü Bœaäã ãèç Ú Þ1Ü Çá j S'lê #ë j >F@CB¹\ ë j Âí*K%Œ!,Î8*P.Q76P&6 <'9=7'& *9=.Q7{(*,/IË&5"%&*IÓK/75.Ð[ = > /A@CBC '@\ Ô j S'l î lcwðñvïf@cbˆ '@\ Oá ˆ Ú Þ1Ü Ï,%7[ î ò >A@CB ò '@G\Ô ð3 'ñ ì á \ ð ëó1ô õm.q7 K%7 "%&5L9=* ( 2 7'7K%Œ9:*75.V *!K%Œ,Î8*.Q7 71%< *254/µ:*öML VK % 17 & <'9:7'P& /½ D% ' K % 17 'øèù ~Ÿú¼û 'K/.ËVΊ 7 Œ! V&'9=* *!K%Œ,Î8*.Q7[ Ô¼^ \ÕÔ ð á ã \ ü *!,ΊKN75 % èý57m.32 <þ ' VK % 17ž% LKÿ2575K%&'K/.325&(&5.Ž '9:ŒK% # ' VK % 17p \ ð á'á Ú Þ1Ü ðq 'ñ Bšé ì á ð Ú Þ1Ü ýƒœ(&'9=* /.& <'9=7 9:7 vœ! V*P./.Ë ` ' VK % 1Î* /[ p2575. á p DÎ ' VK % /P7 p&6 'KN%*ƒ*!V%<' % ' O *P.Q,%4 vrs'tuxwðyu Á
18 ~ ~ ~ Á [ á Ô Ô Ô ½ a ì ì ì ó ~ *PIÓK%75.œ9= '"%Œ!K ^ i \ (*,/.QŒ! V*.% 6 ' VK % /P7 po& <'9:7 4,%7è"%*!K{Œ! V*P.œ*!K%Œ,Î8*.Q7 &ÿ <'9:7 *71Î<Î ML VK % 17 <"/.Q75 M&,%*/.3254 "%*!K D% ö ' VK % 17 p&` 'KN%*!ƒ'*V%<' m% ' *P.Q,%4 RS'TVUCWÐYPUk*PIÓK%75./9: O9: '"%*K/.32 45,%71(45,% V*.1 ' K % 17 po& <'9:7H2575.: 6*K%Œ!,Î8*P.Q7H(&56Œ! V*P. 2577K%*9: Nµ=*I= *71%<LK *PIÓK%75.Ð[ ^ B \àô \ÕÔ ð ó \ ð ì ô Lñ º 9=&5.Q7ä"%*!K Œ V*. *K%Œ!,Î8*P.Q7Ç&ä <'9:7äV% þ ' VK % 17 p *KΊwV% Å ' K % 17 *K%Œ!,Î8*P.Q7[ ^ Ò \Ô ë B \Ô ð3 L ñ ë \ ðž áó á php&} <'9=7#Œ! V*. Ï ƒ'ƒ'* 'K/.0NŠM*! & <'9=7 "/*!Kv(*!,/.QŒ V*.н `,/&µ=œh&'kn75 Oƒ&5.3( K ƒ* /.0 (75,%7(4KÎ #*K%Œ!,%8V*P.Q*! ö%.ë "/.Q45 M&,%* ¼ ' VK % /%* ¼Œ! V&'9=*%[ ^ ^ Ò sæ Ô å ^` a \Ô ð3 'ñ ì á \ ð ë'ólô ƒœ(&'9=* /.D*PIÓK%75.&äIJ"/.0&Ç7(&/%Œ!ƒ'* 9=7#9:*Í71 (&5 ý5,%<l25759:* 75K L(&/ƒ&18IŽ 79=*ÍÎ ž 'K%&1ƒ.325< *K%Œ!,Î8*P.Q76P&6 <'9=7'& 1½ v7,%45"%*.08v9=7 Ì*v(,%& L8&'9=*!K%&9=4%µ= L9=7*IŽ V79:* 7K%7('%'Ä%*.: * *P.Q,%4RS'TUXWÐYU& <'9=7[ >F@CB\ «Âí*K%Œ!,Î8*P.Q76P&6 <'9=7'& s: ä: : > /F@CBC '@G\ 257.&7K/4('%189=7{&H <'9:7'P& ¼ * *P.Q,%4{RS'TUXWÐYUDý5,%<L2579=* K%7*IÓK/75.Ð[ >F@CB\ zlcwðñ ApX@CBœa lxwðñ pˆ@cbma lxwzñ ó px@cbœažb Ï KHL(&1ƒ&/8 IŽ &'9:*69:*&µ=*Š,% '9=7 &ÍÆÈLUClXYÉ1ÈLÊGÎ 'K*!K/Œ!,Î8*.Q7ÿ(& Œ! V*.m254%µ=* ' VK % /P7ÍP&Í < 9=7'& ( 254K/79:*)2575.V& (,%& L8&'9:*K%&ÿ(7,%4"%*P.Ó89=7µ:7è"%&'9=* /.mv/.0 %,%*PIË (,ΊG%* (*!,/.ÓNÎŒ ' VK % 1Î* &.45,N/.Q*! 6ML VK % 1%*! "%*K{Œ V&'K*!K%Œ,Î8*.Q7 V½ÛÎ ' ¼MLK/&/ƒ.325<' *!K%Œ,Î8*.Q7 ¼& <'9:7& M* 9=IJ7(*,/IŽ&"%&½ º. V&'K *!K/Œ!,Î8*.Q7 ½ {<½ (*!,/.QŒ &5LK 'K%&1ƒ.3254 *!K/Œ!,Î8*.Q7 [½ < H(,ΊG&5.:(*!,1. N&5I,%&5.=(*!,1.QŒ % ' 'K%&1ƒ.325<' *K%Œ!,Î8*P.Q7 & <'9:7& *¼9kIJ7(*!,/IŽ&"%& ½ öœ!ƒ'&5 &5.!" ÈLÑ#l&%HÈ! ÊÐÈ')(*( (,ΊG&5.V(*,/. N& I,/&5.V(*!,1.QŒ! V&'K *K%Œ!,Î8*P.Q7½,,./,¼< ½0 % ' 'K%&1ƒ.32 <L *!K%Œ,Î8*.Q7 ¼&6M<L9=7'&5 ¼ *9=I¾7H(*,/IŽ&"%&½
19 / ~ f Þ ~ f f Þ ~ / ~ M G 102Ð :=<> œ V&'9=* "%*. %.:Œ!K/7H(*,/.0&5"/.32 9k.Ó87"/.32 Ä@ <'9=7)>F@CB 7K%7('Î' M*h75.: * *P.Q,%4RS'TUXWÐYUÌ 1[ >F@CB\ bd f fcb (&5 f \ >F@CB fcb = Ú Þ1Ü '@!ÕŒ!K%7Í4ƒ'ƒ'& (*!,/.Ë&"/.32 9=.087"/.32 <'9:7 E=F@CB (&Œ! V*P.:Î 'K6I¾"/.Q7(*!,1IË&"/& =9=* P&Í <'9=7{>A@CB`2575. &&(& IË&7KÎ%IŽV&.0 V7 7K%7('Î' M*h75.: * *P.Q,%4RS'TUXWÐYUÌ 1[ EkA@CB \ bd B g Ï Þ 25&1ƒ'&5Pµ=&'9=*% 'K IJ"/.Q7Å(&,%*PIJ7 ( (7,%7(4KÎ d 9 K%&Ç(&Ί,%7 µ=7å(,%œ(*p.dk/7ç(,%& ŒÄ%&'9=*( V,% 'M.Q9=&(&5.Ë&'9:*P79=.08V75"/.3254 <'9=7'7½ ½Ž =½ 7KN/I=8.Q7E=F@CB µ=7{ V,% 'M.Q9=&(&5.Q<' &5L9=*&ML /18Œ &[ EEDPF@CB½DG%M. Œ &5L9=*%[ >F@CB E D A@CBC '@¹\ bd \ = bd (&5)254K/79:*,/<LM % L (&1ƒ)8KÎV%<' (ƒœ!&'k (&59:ŒKÎ ¼9:(&,%&'9=*¼K%7{8,%4ONM&5L9=*%[ = GF P IH B g bd f D f D ƒœ! [ KJÌ \ «>A@CBˆE D GF VŒ!M L IH B '@ n \²y :±n6\²y ~ bd f D f º P7K 7"%'&{M<L9=7'7*PIÓK%75.:IJ"/.Q7H %* (75,%7(4KÎÕ*Ä/IŽ 8,%4 :*h7.ð[ Âí VŒ : ò >F@CB ò h '@G\ bd ò f ò *PIÓK%75.& µ=*š,% '9=7HÆÈLUClXY!ÉLÈ1Êm8.Q79k.Ó87"/.32 4 <'9:77½ PRQTSVUWYX[Z\]UO^.\a`b^4cd.fVU\]gRh Z\^SigRZ^4cfkjlg[mbhnjpo[qrSioRslti.fVU\poRsluGvrw SGvX[Z\&jlmy\aU\pob^ncd]fpU\]UjaslmgRhZ\kzg{q msczgchlqru}uo^ \l`b^4cldiorslt7sajash~sltors \lzcor\ao^4cd UX[mslu grh Z\l^USV`X[ZavƒQTg)\atGoyfIoSVZjag[mbh4jVo[qr.S7s^UO^ \l`b^4clshtvzcog{pg[oyx[u V ˆŠC Œ jl\lmsatp.^lžysltpz.tvžtgf tpuugoymbh\qruijlmsaukoystp ZdboySGoR\ v ỳsvw Œ] Œ v QƒoySpZ jlg[mbh4jvo[qr.s6jlsat6ors.fvu\6`g[z grh Z\^jlmy\aU\pob^ncd]odbog`g[Z tgjlam gc^s jl\lm\pjllzyqtpuugoymbh\6orsltpui.tvzcoyg[pg[oyx[u p ˆŠC v
20 ~ ~ Ú Ú Þ ~ Ú Ú, ~ Þ a Ú Ú ~ ~, ~ ~ ~ š œ7 Iê)ž <Ÿ GrÌT< K 7 = ü *!,%&'9=*vÄ/7K%4{% 'K 7K/4('%LÄ/ 6 *9k.Ó87"/.325<{ *P.Q,%4HR SLTVUXWZYPUÌ&H <'9:7& >F@CB[ >F@CB\ bd f fcb! Ί,%7 /.Ì(,%&5(7%µ=&'9:*èK%7ä7K%7('%'Ä%&'9=*ÍP&sIJ"1.0&}M<L9=7} V,% 'M.Q9=&(&5.3ŠKÎ7 ÿ% 'KþIJ"/.Q7}%L(& *P.Q,%4 fcb 7ƒ'ƒ4Å(&Å&5.Ì 'KN%*ƒ*V%Œ! Í"/*!K *I0K%75.Ì7(7,/75IÓ% 17s&5.Ì 'KN%*ƒ*V%Œ! RS'TVUXWZYPU6 f ½ ü 7 '9 ý5&/ƒiž &'9:*O&' K%Œ!&' ¼MLKÎÎ*!ƒ*!V%Œ! v ¼ f ½ (5.3(ƒŒ&LK V,% 'M.Q9=&(&5.Ë&'9:* 9 K%& a 7( &' K%Œ&' ¼ 'KN%*ƒ*V%Œ! &( %* Œ! V&'9:* 9k.Q7{(,%& Œ!8V8.Ë P&67,/ V.32 &HM<L9=7'&5 /[ >ƒ A@CB \ ö&{ƒ4%µ=& ¼7( % 'K (,/& Œ8V8.0M 671%< 8,%4 :*h75.: 1[ F@CB\Õ>A@CB f fcb ü Œ!ƒ&'9:*¼K/7 *(5.3ƒŒ!Ä/&'9:*¼&' MLKÎÎ*!ƒ*!V%Œ! f Œh%M.:ŠV%*&̓'4/µ:& 71 K%7Í*IÓK%7.k*ƒ4.0VP&½ ÌL8 >ƒ `F@CB 25*!25,/.Q9=9:ŒK%7*(5.3ƒŒ8&'9=* K%7*ƒ7.0&(&5.Q<' &'9=*&9=Œ! &6%*h%,%78VK/.32 M4ƒ9=7[ Ï KN/.3257%µk.0VΊKNP7 V% 'K = P % ) VŒ!M ò Ú F@CB ò '@ \ 257. = A@CB D F@CBˆ '@ 9M(&,/&'9:*¼K/7H8,%4 NM&'9=*vÎ 'K A@CB\ f f B fcb ªf ª «f frb ~ (&5 &6Î*!ƒ*!175IŽ&4%µ:,/&5.0 9=7"% Lƒ'ŠK%*. ƒ*! v/.0 %.Q9=Œ! `&5Hn7( Œ *!2 &H(*!"1IË&H/.Q9MŠK A ½6ö&̓'4/µ:& F@CB (,%&2 1('%*P.= 4%µ=,%&5.Ë 9=7 "%'& '9=4'!K 9=*% LK)I¾"/.Q7(*!,1IË&"/&Í*(&59:ŒKÎ µ=7 *IÓK/ / (*,/.0&5"/.32 9:* % 'KÍIJ"1.Q7 (*!,/IŽ&"%& ½± H(*!,/.Ë&"/.32 <'9=7 9M(&,/*Ï K%7þ7K%7('%' 'µ:*pï * *P.Q,%4{RS'TUXWÐYUP[ (&5 ² f \ «² f f n f ò n A@CB\ bd fcb f š ³ òo 1[ ~ '% /
21 \ Þ ~ ò ½ Ú %* '9: MK%7Í9=*¼P&Hµ=*Š,% '9=7 P& ÆÈ1UXlXY!É1ÈLÊG8.Q7 9k.Ó87" <'9:77 *K%Œ!,%8V*P.Q7 P& <'9=7'& *9kIJ7{(*!,/IŽ&"%&*PIÓK%75.Ð[ F@CB : ò Ú F@CB ò h '@ª\ bd ò ò ² f ò f f ò a ªf ª «ò f ò Ï ( Î 'K (7,%7(45KÎà*!Ä/IŽ (75,%7'% ',%&'9:* /.&9:Œ &6Î*%,%78VK/.32 :4ƒ9:7*PIÓK%75.:*ƒ4.0& P7K f \ f ò n 257. %*v&*ƒ4.0vp&{9=œ!m&6%*î,/78vk/.32 :4ƒ9:7*I0K%75. µ ¹ ³ \ ªf ª «ò f ò Ï 1 P& 7(&1ÎŒ!ƒ*! 9=7 "%*IŽ VK%*. /.%&¼9=Œ! %*h%,%78vk/.32 M4ƒ9=7 *IÓK/75.L*ƒ4.0VP& 7Kö&5.L 'KN%*!ƒ'*V%Œ! f "/*!K *IÓK/75. 4ƒ'ƒ&5.M(7,%4&5.: 'KN%*ƒ*V%Œ! RS'TVUCWÐYPU f (&9:ŒKÎ 7K ÿ7k%4('%'ä% *6 *.Q,%4 R SLTVUXWZYPU *K { <'9:7& {(*!,/.Ë&,/.ËV%*Ï *,%&' µ=œƒ&'9=*{k/7žœ V&'9:*P&ž9k.325, %*!,/&Ń'4/µ:& 7( % 'KÍ(,%&5 Œ8V8.0 þ71%< ~ %Á' %*67K &5.D 'KN%*ƒ*!ÎŒ {!K,ÎK 71ΊK "%*K 9:(&,%*IK%7*PIÓK%75.G4ƒLƒ&5.G7( &5L 'KN%*!ƒ'*V%Œ! HRS'TUXWÐYUP½ (5.3(ƒŒ&LK *(*P.Q"%< &*!ƒ'45 V.ËV& :4ƒ9:7{*I0K%75.:4%µ:,/&5.0 9=7 µ:*/.32šk 7,/. µ:9:šk 71 µ=7{9:*p.3šk%*h7. &H& µ:77'ä%45k%*h7.ð½
22 ¾ ¾ Þ Æ b º :6G)2¹¼í ½<> œ! "%'& (*!,/.Ë&"/.3254è9=*¼% 'KHIJ"1.Q7Í(*,/IË&5"%&è9=.08V75"/.3254è <'9:77 >F@CBv2575.êE=F@CBö2 75.œP7 7K/7('%189=7'7è * RS'TVUXWZYPU 71NŠK[ Î* & <'9:7 (& i 2575.à µ:7œ *P.M75K%4('%L8V9=7RS'TVUCWÐYPU[ >F@CB¹\ EkA@CB±\ bd bd f fcb f fcb ù F@CB\ i >A@CB Á V7%µ=*!,%Œ µ:7h*iók/75.(*,/.0&"1.32 9:*`% 'K IJ"/.Q7H(*!,1IË&"/&6K >F@CB2575.ME=F@CB257.M&( %* ù A@CB]\ i bd f frb \ bd 7 i f Á \ bd ù f fcb Ä Lƒ7"%<6&.M 'KN%*!ƒ'*V%Œ! RS'TVUCWÐYPU ù f EkA@CB Á bd f B frb f fcb P&6K%Œ&6M<L9=7'&5 "%*K *PIÓK%75.M(7,%4[ ù f \ 7 i f Á f B ü *,/&'9:*v& <'9=7 ù F@CB\>A@CB E=F@CB &&(&5IŽ&*I0K%75.M2575.:71 (*,/.0&"1.32 9=*O% 'K IJ"/.Q7{(*!,1IË&"/&{!K >A@CBÌ2 75. EkA@CB!½ Ø,/ L:.Q9:&(&.3ŠKN7 77K%7('%L89:77RS'TVUCWÐYUÌKM L9=4'!KÅö>F@CBÌ2575.ME=F@CB8,%4 M&5L9=*%[ ù A@CB \ bd Æ3g Þ \ d bd Æ3g Þ \ bd d Æ ÆnB bd g Þ d bd g bd g Æ GF B f fcb ÇRÈ \lm\poyspmygch~og dbo^.dbor\lzjasvva\pjap\l^4lžsltvugƒ.fvu\por\ioydbogrz\& msv.^usajas^~slépugã`b^\a slmgo^4c.évuêlsgp\i.^\ `grh4caoyg[u or\6\bzmysh~.u\por\.ëgrzcìídbor\lzk\bzmsh4žsltvugifpu\por\6ujaslmslévugzy\ msv^4usajlsl^nsaépug orsltvu7h`b^~sltvu `grhncaog[ugv H B,
23 ¾ ¾ \ Þ \ Þ ~ Þ (&n)\½îa}y ½ G%M.:&5.MMLKÎÎ*!ƒ*!V%Œ! RS'TVUXWZYPU ù f Ï ( P7H(75,%7(4KÎà 'K%*!(48*h7. /.Ð[ &6K/Œ!&H <'9:7'P& ¼L(&/ƒ&18 IJ %&'KN75.k7( Î 'K*!Ä/IŽ [ ù f \ bd g f bd f g : >A@CBˆE=F@CB fcb Ú Þ1Ü '@ `*,/.0&5"/.325<{*h%*!,%&5 ' VŒh/.0 YUXWZS ÑVW jj UCS'lXl[Ò j S'UXUCYPÊ È! WÐSLÑ Âà(*!,1.0&"/.32 < 'K%4,ÎÎ ' *%*!,%&MLM Œ/.0 ' "%'&9=.08V75"/.32ŠK '9=4'!KO>A@CB257.EkA@CBG&,1IJ %*hp75. 1[ ~ÐÏ Ï KÎ%.32 7%µ=.ËVΊKN7 V% 'K ~ 8,%4 :*h75.: 1[ rróbôlðõb¹\ ~ = = \ bd Æ3g P ryóbô1ðõ B\ : > D F@CB EkA@kaÖÕ ~ 775KN/IËVP&5.0 V7 7K/7('%189=7'7 * *.Q,/4RS'TUXWÐYUÌ!K M L9=4'!K bd ÆŽg bd ÆŽg Æ D Æ Æ~B Æ D ÆnB Ú Þ1Ü D Æ Æ bd B g B '@ ÆnB a bd Æ D B ÆÙØ g g bf (&H2575.M(4ƒ. 2 4K%79=*¼ V,%<' % ' 8KÎV%<' ¼ KJÌ ºML M Œ ' Ï ( 7(7,%7(4K% *.Q,/4{R SLTVUXWZYPU 9:* MLKÎÎ*!ƒ*!V%Œ! OD Æ Æ ýƒœ(&'9=* /.G2575. è 'K%4,N% ' % L *Î*,%& ' VŒ%.Ë ' H75K%7('%' *hp75. * "% Lƒ7"%< ryóbô'a@cb\ bd Æ D Æ Æ~B Æ3g 2575.V*!(&9:ŒKÎ O 'K%4,N% ' ¼*%*!,%&MLM Œ/.0 ' ö*piók% %<¼(*,/.0&"1.325< 9:*Ì(*,/IË&5"%&6IŽ 9=*% LK (*!,/IŽ&"%&{KM L9=4'!K(&H ' V*h/IŽ 79=*%½ ½Z½ ½ Æ H B '@ `*,/.0&5"/.325<{71& ' VŒh/.Ë YPUCWÐS ÑVW j ÈLT! SÒ j SLUXUXYÊ È! WÐS'Ñ Ï K ' V*%IŽ &'9=*¼P& <'9=7 ~ÚÏ >F@CB9=* P&LK*71 &5 %*(,%&2 1('%*P.m MLK/4,N% ' {% L 75/P& ' VŒh/.0M L 1½Ø,/ L:.Q9:&(&.3ŠKN7 O7)7(&1%*ƒŒ 9:77)(&¼ý5,%<L2579=*ö(7,/7(4KÎ MLK/4,N% ' ¼% '
24 ½ ~ 71& ' VŒ%.Ë ' 8,%4 :*h75.: 1[ rróðõb \ : > D F@CBš>F@œaÛÕ Bˆ '@ \ bd Æ D Æ Æ~B ÆŽg ~ \ bd ò Æ ò ÆnB ÆŽg Ï K µ=*,/<lm&'9:* 9= '"%*!K/.32 <69=*h72IÓK% ' P&HM<L9=7'&5 Õ\ %*¼ '9: MK%79:*vP&)µ:*!Š,% '9:7 &HÆÈLUXlCYÉ1ÈLÊm ) 'K%45,N% LM % L 75/P& ' VŒh/.0M L ¼8.Q771%< % 'K %.Q9=< &53ÕHµ=7.0 &17.M9=*v% LK *!K%Œ,Î8*.Q7{&56 <'9=7'& 1[ rró5 B \ bd ò Æ ò \ ÆŽg (& òzò òðò '9ý5&1ƒIJ %*.% )K,%9=7*!K ¼ <'9=7'& 1½ ¾Ü *h72iók% ' ) ¼(,%& % ) V,%&'K/.32 Ï K ŒK%7 <'9:76>A@CBö7K%7('%' *75.= * *.Q,/4HRS'TVUXWZYPUÌ /[ >A@CB\ hb òðò > f frb f Ú %*¼&9:*72. K/ L9=Œ!K/& <'9:72 7'%4@ >F@ µ=77k%7('î' M*h75.kM* *.Q,%4R SLTVUXWZYPUO9=*¼ 'Ka %*ƒ*!v%œ fcb Þ1Ü ( (,%&25L('%*.*!L25&1ƒ'7 7( % 'K (,%&5 18&'9=*!K% VŒ `9=*7(ƒ'<7KÎ%.32 ν (&9=Œ!KÎ 1[ \ bd f fcb Ú Þ1Ü òðò frb
25 ~ a ^ ^ \ b Þ > àß á : œ &: á á :G6< â k¼ã572ù:ö 8v)2Ð6¼!äŒK%7 Ü Â (*!,/.Ë&"/.32 M<L9=76>A@CBP&{&(&5IË&ÍŒ! V*. (*!,/.Ë&,/.0M9:ŒK% 6"/.Q45,Î25*.Q7{@ i ö&c <'9=7#>F@CB M7 IÓK%*hP75.O&s Ì V<'9=7½ i 7ƒ'ƒ'&5 Ï Kÿµ:Œ &'9=*Í@ i \ : 2575.ö@ \t= Î* 9:(&,%&5L9=* A (t) Ì V<'9=7 K%7èµ=*,%<' &5L9=*{&Å <'9=7þ(*,/.0&5"/.32 8,%4 :*h7. 0 t1 t2 [ Ì<'9=79: (*,/.0&5"/.32 (*,/.0&,1.0 9=Œ!K% ' ¼"1.Q4,Î25*P.Q7 /½ (4ƒ.75/ ÖZÖ Öåä*ä*äåäà 7Kè*! =.Q4ƒLÎ '.ä*ä >F@CB\ = = ä@&ä: t &Ç&(&5IË&} *9=I¾7þ(*,/IŽ&"%& º ( %*Oý5Œqý575.Q79M(&5,%&'9:* K/7{&7K%7('%'Ä%&'9=* * *.Q,%4RS'TVUXWZYPUÌ257'%4{7{8KÎV%4½ Ä Lƒ7"%< Q7n \ \ = [æ ^ '@ \ f \ [æ frb : Ú Þ1Ü \ ^ ß5 n5ô B f *!(&9:ŒKÎ 1[ n4,n/.q7 f \ «n(*!,1. N%4 ß nô G%M.& <'9:7H8,%4 :*h75.= *7K/4('%189=7RS'TVUCWÐYU 1[ >F@CB\ ^ ^ ß Ô bd n¼a ^ = = '@ f bf ^ i H B
26 Á Á \ \ \ ^ ^ a ½ b b b A (t) Ì <'9=7 0 t1 To t [iö&h(*,/.0&5"/.32 <'9=76(&567KN/.ËV&5.Ë *PIkV& <'9=7)&5H Ì V<'9:7'P& º 9: O&6 <'9=7)71 (& ý5,%<l25759:*v*iók/75.(*!,/.ë&"/ M9 K%&H *O9kIJ76(*!,/IŽ&"%&H*IÓK%7. IËM&69=* &H7,%.32 Ü ÂÛ(*!,/.Ë&"/.32 <'9:7½ `,%48V9=7'/.&þ <'9:7è(&5ÿ*9:*PIË {7K%7('Î'Ä%759:*{ *) *P.Q,%4 RS'TVUXWZYPU M7 IÓK%*hP75.GV& Ì V<'9:7 ½ Ï K9=*h72. K%<' &'9=* &}(*!,/.Ë&"/.32 <Å9= Å(*!,/.Ë&"/.32 <'9:7}257'%4}: á 7,/.0Î*,%4 "% Lƒ'75"%< >F@ka#: á B *!(&9:ŒKÎ %* '9= K%7{9:*vP7H(75,%7(4KÎ >F@êa çf \ f Ú f ÜbF = á B\ ß Ô n¼a ß Ô n¼a ^ B f Ô n¼a ö& <'9=7H9=*h%4H% )9:*72 I0K% ' < &567,/.ËV%*!,%4{257Î4 ^ &K%Œ!& <'9=7 µ=7œ! V*.M 'KN%*ƒ*!ÎŒ RS'TVUCWÐYUP[ ^ Ô i H B [æ Ò f i H B [æ Ò bf î B f ß bd = á B f n¼a f GF i H B A 0 To Ì V<L9=7Í[7ö&(*!,/.Ë&"/.32 <'9=7H9=*h%4H% )9=*h72IÓK% ' < P&67,1.0V%*!,/4H2 7'%4 : á :75IÓK%*75.:V& Ì V<L9=7½t L
27 Σημειώματα Σημείωμα αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Κρήτης, Ιωάννης Στυλιανού. «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς. Ανάπτυγμα σε Σειρά Fourir. Έκδοση: 1.0. Ηράκλειο/Ρέθυμνο Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Crativ Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση, Όχι Παράγωγο Έργο 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων. [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.
28 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Κρήτης έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
που δεν περιγρ αφεται οµως οπως προηγουµ ενως ως ενα απλ ο ηµ ιτονο, αλλ α ως ενα αθροισµα ηµιτονοειδ ων ορων. Παρ αδειγµα: Εστω:
Αθροισµα ηµιτονοειδ ων ορων Η σχ εση "! # &%"' δηλ ωνει οτι οταν προσθ ετουµε ηµιτονοειδ η σ ηµατα που σχετ ιζονται αρµονικ α, δηλ. που περι εχουν συχν οτητες οι οπο ιες ε ιναι ακ εραια πολλαπλ ασια µιας
Διαβάστε περισσότερα! " # $ % & $ % & $ & # " ' $ ( $ ) * ) * +, -. / # $ $ ( $ " $ $ $ % $ $ ' ƒ " " ' %. " 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; ; < = : ; > : 0? @ 8? 4 A 1 4 B 3 C 8? D C B? E F 4 5 8 3 G @ H I@ A 1 4 D G 8 5 1 @ J C
Διαβάστε περισσότεραZ L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / / + 3 / / / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " #
Z L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / 0 1 2 / + 3 / / 1 2 3 / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " # $ % $ ' $ % ) * % @ + * 1 A B C D E D F 9 O O D H
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 8: Τριπλά Ολοκληρώματα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµ ηµα Φυσικ ης Εξ εταση στη Μηχανικ η ΙI 27 Ιουν ιου 2008 Π Ιω αννου & Θ Αποστολ ατου Απαντ ηστε στα 3 Θ εµατα µε σαφ ηνεια απλ οτητα Οι ολοκληρωµ ενες απαντ ησεις εκτιµ ωνται ιδιαιτ
Διαβάστε περισσότεραΘερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση
Διαβάστε περισσότερα) * +, -. + / - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 : ; < 8 = 8 9 >? @ A 4 5 6 7 8 9 6 ; = B? @ : C B B D 9 E : F 9 C 6 < G 8 B A F A > < C 6 < B H 8 9 I 8 9 E ) * +, -. + / J - 0 1 2 3 J K 3 L M N L O / 1 L 3 O 2,
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 2: Διαφορικές Εξισώσεις Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµ ηµα Φυσικ ης Εξετ ασεις στη Θεωρ ια της Ειδικ ης Σχετικ οτητας Σεπτεµ ρ ιου 200 Να απαντ ησετε στα 4 απ ο τα ακ ολουθα προ λ ηµατα. Θ εµα 1 Το γεγον ος βρ ισκεται εντ ος του µελλοντικο
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 2: Αναλυτική Γεωμετρία Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Πολιτικών Μηχ.ΤΕ και Μηχ. Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραΔιοικητική Λογιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 5: Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΘερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση Ποιότητας,
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας
Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 12: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)
Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkstra
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 1η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkra Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upara.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 9: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΘ εµα Α : Θ εµα Β : Θ εµα Γ :
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµ ηµα Φυσικ ης Εξετ ασεις επ ι Πτυχ ιω στη Θεωρ ια της Ειδικ ης Σχετικ οτητας 29 Απριλ ιου 2009 Να γραφο υν τα 4 απ ο τα 5 θ εµατα Σε ολα τα θ εµατα εργαστε ιτε σε σ υστηµα µον αδων
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 3: Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας ΤΕ Το
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Προσεγγιστική Λύση Εξισώσεων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 7: Προσεγγιστική Λύση Εξισώσεων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Συνόλων. Ενότητα: Διατακτικοί αριθμοί. Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών
Θεωρία Συνόλων Ενότητα: Διατακτικοί αριθμοί Γιάννης Μοσχοβάκης Τμήμα Μαθηματικών Θεωρία Συνόλων Σημειώματα Σημειώμα ιστορικού εκδόσεων έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.1. Εχουν προηγηθεί οι κάτωθι
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας
Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 4: Κλασσική και Κβαντική Πιθανότητα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας
Διαβάστε περισσότεραΔιεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 8: Η Οικονομική πολιτική της Ευρωπαϊκής Ένωσης Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6 η Άσκηση - DFS δένδρα Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 6: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές δεδομένων Άσκηση αυτοαξιολόγησης Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ2, Ενότητα : Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Ενότητα : Υλοποίηση Λεξικών µε
Διαβάστε περισσότεραΜηχανολογικό Σχέδιο Ι
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 4: Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Συνόλων. Ενότητα: Επιλογής επόμενα. Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών
Θεωρία Συνόλων Ενότητα: Επιλογής επόμενα Γιάννης Μοσχοβάκης Τμήμα Μαθηματικών Θεωρία Συνόλων Σημειώματα Σημειώμα ιστορικού εκδόσεων έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.1. Εχουν προηγηθεί οι κάτωθι
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Emil: zro@ei.uptrs.r Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Εικόνων
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα # 14: Τμηματοποίηση με χρήση τυχαίων πεδίων Markov Καθηγητής Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τμηματοποίηση εικόνων
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΘΕΜΑ Α (25 µον αδες) ΘΕΜΑ Β (25 µον αδες) η µοναδικ ΘΕΜΑ Γ (25 µον αδες) κοιν
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµ ηµα Φυσικ ης Εξ εταση στη Μηχανικ η Ι 6 Σεπτεµ ρ ιου 2005 Τµ ηµα Π Ιω αννου & Θ Αποστολ ατου Απαντ ηστε και στα 4 Θ εµατα µε σαφ ηνεια και απλ οτητα Οι ολοκληρωµ ενες απαντ ησεις
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.
Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΔιεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 3: Κλασικά Υποδείγματα της Διεθνούς Οικονομικής Θεωρίας (Heckscher-Ohlin model) Γρηγόριος
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 1 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5 2.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙII. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 1: Μετασχηματισμός Laplace. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙII Ενότητα 1: Μετασχηματισμός aplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 1: Διαφορικές Εξισώσεις Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 4: Διανυσματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 4: Διανυσματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskal
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskl Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Emil: zro@ei.uptrs.r Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας
Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 11: Είδη και μετασχηματισμοί πινάκων Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Είδη και μετασχηματισμοί
Διαβάστε περισσότεραΕκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΔιεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 4: Κλασικά Υποδείγματα της Διεθνούς Οικονομικής Θεωρίας (Heckscher-Ohlin model) Γρηγόριος
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Συναρτήσεις πολλών Μεταβλητών Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων. Άσκηση 3η. Στυλιανού Ιωάννης. Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Άσκηση 3η Στυλιανού Ιωάννης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-370: Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος
Διαβάστε περισσότεραΔιεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 9: Άσκηση εμπορικής πολιτικής Παράδειγμα άσκησης εμπορικής πολιτικής Γρηγόριος Ζαρωτιάδης
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 10 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Εικόνων
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα # 8: Ορθομοναδιαίοι μετασχηματισμοί Καθηγητής Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Ορθομοναδιαίοι μετασχηματισμοί ισοδύναμη
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 7: Παράγωγος, ελαστικότητα, παραγώγιση συναρτήσεων (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 9: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 9: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΔιοικητική Λογιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 6: Μέθοδοι ς Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο
Διαβάστε περισσότεραΔιεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 6: Διαπεριφερειακές διαφορές Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΓενική Φυσική Ενότητα: Ταλαντώσεις
Γενική Φυσική Ενότητα: Ταλαντώσεις Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Βούλγαρης Τμήμα: Μαθηματικό Σελίδα 2 1. Ερωτήσεις Ταλαντώσεων... 4 1.1 Ερώτηση 1... 4 2. Ασκήσεις Ταλαντώσεων... 4 2.1 Άσκηση 1... 4 2.2 Άσκηση
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 2: Οργάνωση και Διοίκηση Εισαγωγή Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 6
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 6: Ανάδραση Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχ. Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΔιεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 7: Επιπτώσεις του Διεθνούς Εμπορίου στη διανομή του εισοδήματος Γρηγόριος Ζαρωτιάδης
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής Ενότητα 4: Τοποθέτηση d ηλεκτρονίων σε οκτάεδρα Σύμπλοκα Περικλής Ακρίβος Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6: 1η εργαστηριακή άσκηση και προσομοίωση με το SPICE Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 3
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 3: Ενισχυτές στις χαμηλές συχνότητες Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχ. Υπολογιστών Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων
Ενότητα 1 Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων 2 1.1 Βάσεις Δεδομένων Ένα βασικό στοιχείο των υπολογιστών είναι ότι έχουν τη δυνατότητα να επεξεργάζονται εύκολα και γρήγορα μεγάλο πλήθος δεδομένων και πληροφοριών.
Διαβάστε περισσότεραΜικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής
Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Διάλεξη 12: Ελαχιστοποίηση κόστους Ανδρέας Παπανδρέου Σχολή Οικονομικών και Πολιτικών Επιστημών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Ελαχιστοποίηση κόστους
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών
Εισαγωγή στους Η/Υ Ενότητα 2β: Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εύρεση συνάρτησης Boole όταν είναι γνωστός μόνο ο πίνακας αληθείας.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 11: Θεωρία Οργάνωσης & Διοίκησης Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΙστορία της μετάφρασης
ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Μεταφραστές και πρωτότυπα. Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΜυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης
Δωρεά Κυττάρων Αίματος και Μυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης για τη Δωρεά Κυττάρων Αίματος και Μυελού των Οστών Αλέξανδρος Σπυριδωνίδης Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΒέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων
Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 7: Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙII. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 2: Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙII Ενότητα : Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραΒάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων Ενότητα 3: Μοντέλα βάσεων δεδομένων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 1
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 1: Σχεδίαση τελεστικών ενισχυτών Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχ. Υπολογιστών Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων
Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Ενότητα 7: Universal motor Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Εργαστήριο Φυσικής Ι
Τίτλος Μαθήματος: Εργαστήριο Φυσικής Ι Ενότητα: Επαναληπτικές Ασκήσεις Ενοτήτων 5, 6 & 7 Όνομα Καθηγητή: Γεωργά Σταυρούλα Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων &
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 1
Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 1 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 1. Ιστορική αναδρομή της διδακτικής της
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας
Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 4 2 η Άσκηση... 7 3 η Άσκηση... 10 Χρηματοδότηση... 12 Σημείωμα Αναφοράς... 13 Σημείωμα Αδειοδότησης...
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας
Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας ISO 17025 5.9. ΔΙΑΣΦΑΛΙΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ (1) 5.9.1 Το Εργαστήριο
Διαβάστε περισσότεραΘεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 7η: Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση
Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΓενική Φυσική Ενότητα: Εισαγωγή στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας
Γενική Φυσική Ενότητα: Εισαγωγή στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Βούλγαρης Τμήμα: Μαθηματικό Σελίδα 2 1. Ασκήσεις στην Εισαγωγή στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας... 4 1.1
Διαβάστε περισσότερα[ S Θ εµα Γ: Ενα σ υστηµα F σωµατιδ ιων, το καθ ενα µε µ αζα HG (I KJ!!LLLM! F ), κινο υνται π ανω σε µια κυκλικ η στεφ ανη ακτ ινας N. Η γωνιακ η θ ε
3 ' ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµ ηµα Φυσικ ης Εξ εταση στη Μηχανικ η ΙI Περι οδου Σεπτεµ ρ ιου 6 Σεπτεµ ρ ιου 008 Απαντ ηστε στα προ λ ηµατα που ακολουθο υν µε σαφ ηνεια, ακρ ι εια και απλ οτητα. Ολα τα προ
Διαβάστε περισσότεραΠΙΝΑΚΕΣ. Θερμοδυναμική 2012 Σελίδα 292
ΠΙΝΑΚΕΣ 2012 Σελίδα 292 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες: Ιδανικά αέρια Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc.
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής Ενότητα 9: Μέτρηση Αγωγιμότητας Διαλυμάτων Περικλής Ακρίβος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους
Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΓενική Φυσική Ενότητα: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος
Γενική Φυσική Ενότητα: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Βούλγαρης Τμήμα: Μαθηματικό Σελίδα 2 1. Ερωτήσεις Δυναμικής Άκαμπτου Σώματος... 4 1.1 Ερώτηση 1... 4 1.2 Ερώτηση 2... 4 1.3 Ερώτηση
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 4: Στρατηγικοί προσανατολισμοί Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 9: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΤΟΠΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότερα1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων
1 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 3 2 η Άσκηση... 3 3 η Άσκηση... 3 4 η Άσκηση... 3 5 η Άσκηση... 4 6 η Άσκηση... 4 7 η Άσκηση... 4 8 η Άσκηση... 5 9 η Άσκηση... 5 10
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός
1/8 Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.05: Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότερα