ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: info@hmsgr wwwhmsgr ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 7 Φεβρουαρίου 6 Θέματα μικρών τάξεων Πρόβλημα Οι θετικοί ακέραιοι p q και r είναι πρώτοι και έχουν γινόμενο ίσο με n Αν αυξήσουμε καθέναν από τους p q κατά τότε το γινόμενο προσδιορίσετε όλες τις δυνατές τιμές του n p q r είναι ίσο με n 8 Να Σύμφωνα με την υπόθεση έχουμε: pqr n pqr n pqr n p q r n 8 pqr p qr r n 8 p q r 8 Από την εξίσωση p q r 8 () θα προσδιορίσουμε τις δυνατές τιμές των pqr και στη συνέχεια από την εξίσωση pqr n θα βρούμε τις δυνατές τιμές του n Επειδή οι θετικοί ακέραιοι pqr είναι πρώτοι οι δυνατές τιμές του r είναι ή ή οπότε έχουμε τις περιπτώσεις: Αν r τότε p q 69 p q 68 από την οποία αφού pqπρώτοι προκύπτουν τα ζεύγη: p q p q p q p q Επομένως για το αρχικό γινόμενο προκύπτουν οι τιμές: n ή n 7 94 Αν r τότε προκύπτει η εξίσωση p q 46 p q 45 από την οποία αφού pqπρώτοι προκύπτουν τα ζεύγη: Αν p q 4 p q 4 και η τιμή n 4 58 r τότε p q p q p q p q 6 5 ή οπότε θα είναι n 8 Επομένως οι δυνατές τιμές του n είναι οι: και 94 Πρόβλημα Οι πραγματικοί αριθμοί x y z με x z είναι διαφορετικοί από το και ικανοποιούν τις ισότητες

2 x y xy 9 y z yz 4 Να προσδιορίσετε την τιμή της παράστασης: x y z y z x z x y y x x y z y y z x z z x Οι δεδομένες σχέσεις γίνονται: x y xy 7 () y z yz 7 () από τις οποίες με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει: x z xy yz x z x z y x z x z x z y Από την τελευταία ισότητα επειδή είναι από την υπόθεση xz έπεται ότι: x y z () Θεωρούμε τώρα καθέναν χωριστά τους παράγοντες της παράστασης Έχουμε x y z x y z y z x x y z y x x y x y z y y z y z z x y x y z x z z x z x οπότε η παράσταση γίνεται : x y z xyz Από τη σχέση() λαμβάνουμε : z x y οπότε x y z x y x y x y x y (4) xy x y xy z xyz (5) Η σχέση (5) προκύπτει άμεσα και από την ταυτότητα του Euler Επομένως από τη σχέση (4) λαμβάνουμε x y z xyz 7 xyz xyz Πρόβλημα Θεωρούμε τραπέζιο ( // ) με ˆ ˆ 9 και Ονομάζουμε το σημείο τομής των μη παράλληλων πλευρών ΑΒ και ΓΔ το συμμετρικό του ως προς την ευθεία και το μέσον της Αν δίνεται ότι η ευθεία είναι κάθετη στην ευθεία να αποδείξετε ότι η ευθεία είναι κάθετη στην ευθεία Έστω ότι η τέμνει τις στα αντίστοιχα Τότε στο τρίγωνο έχουμε ότι μέσον του και // οπότε έχουμε ότι μέσον του Επομένως στο τρίγωνο η συνδέει τα μέσα δύο πλευρών οπότε: // () Επιπλέον στο τρίγωνο τα είναι ύψη άρα το σημείο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου οπότε:

3 Από τις σχέσεις () και () έπεται ότι () που είναι το ζητούμενο Σχήμα Πρόβλημα 4 Να υπολογίσετε το πλήθος των διατεταγμένων εξάδων ) που μπορούν να ( δημιουργηθούν αν οι αριθμοί μπορούν να πάρουν τις τιμές και και το άθροισμα είναι άρτιος Το άθροισμα είναι άρτιος αν και μόνο αν το πλήθος των είναι άρτιο δηλαδή 46 6 Αν δεν έχουμε καθόλου οι δυνατές επιλογές είναι αφού για καθέναν από τους a i έχουμε δύο επιλογές ( ή ) 6 Αν έχουμε δύο τότε τη θέση τους μπορούμε να την επιλέξουμε με τρόπους και στις 4 6 υπόλοιπες 4 θέσεις έχουμε επιλογές Δηλαδή συνολικά έχουμε 4 δυνατές εξάδες 6 Αν έχουμε τέσσερα τότε τη θέση τους μπορούμε να την επιλέξουμε με τρόπους και 4 6 στις υπόλοιπες θέσεις έχουμε επιλογές Δηλαδή συνολικά έχουμε δυνατές 4 εξάδες Αν έχουμε έξι τότε είναι φανερό ότι έχουμε έναν τρόπο Επομένως συνολικά έχουμε: εξάδες 4

4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: info@hmsgr wwwhmsgr ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 7 Φεβρουαρίου 6 Θέματα μεγάλων τάξεων Πρόβλημα Να βρείτε όλες τις τριάδες μη αρνητικών ακεραίων ( x y z) με x y που ικανοποιούν την εξίσωση: z x y 6 77 Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν z τότε έχουμε να λύσουμε την εξίσωση x y 8 Τότε πρέπει οι x y να είναι πολλαπλάσια του 4 δηλαδή x 4a y 4b a b και η εξίσωση γίνεται a b 5 οπότε ( a b) ( ) δηλαδή ( xy ) (48) Αν z τότε αριστερό μέλος δηλαδή ίδια με τα υπόλοιπα των 7 y z 7 6 (επειδή 6 x πρέπει x 7 y 7 x y 7 ) και 7 77 επομένως το 7 πρέπει να διαιρεί και το Τα πιθανά υπόλοιπα ενός τετραγώνου με το 7 είναι τα που είναι 4 Οπότε για να ισχύει 7 και γράφουμε x 7x και y 7y με x y z Αντικαθιστώντας στην () έχουμε 49( x y ) 6 77 z Αν z τότε 49 6 οπότε αφού διαιρεί και το αριστερό μέλος θα πρέπει που είναι άτοπο Αν z τότε 49( x y ) ( 88 ) 77 5 Δηλαδή πρέπει x y 5 Αφού τις λύσεις ( x y) {(5)()} Τελικά οι λύσεις είναι: Πρόβλημα Τα πολυώνυμα Px x y έχουμε ότι y 5 y 8 Για y 89 βρίσκουμε ( xy ) {(48)(5 7)(477) } Q x με πραγματικούς συντελεστές είναι μη σταθερά έχουν συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου ίσο με και επιπλέον ικανοποιούν τις ισότητες: ( x ) ( x ) P ( x) Q Q για κάθε x P P x και Q x Να βρείτε τα πολυώνυμα

5 n n Έστω Q( x) x an x a Τότε ο μεγιστοβάθμιος όρος του πολυωνύμου ( x ) ( x ) Q Q προέρχεται από το ανάπτυγμα των μεγιστοβάθμιων όρων ( x ) n ( x ) n Ο μεγιστοβάθμιος όρος του τελευταίου ισούται με n n nx nx 4n n n n n x () Όμως ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου στο αριστερό μέλος ισούται με οπότε πρέπει 4 n n 4n n n Όμως 4n για n οπότε n ή n και από την () ο βαθμούς του P είναι ή Για x στην αρχική σχέση παίρνουμε P () Q(/ ) Q(/ ) άρα P ( ) Αν τώρα n τότε P( x) ax και αφού P ( ) θα είναι Αν n τότε αν P( x) x και Q x x a a Q( x) x bx c έχουμε: ( x ) ( x ) 4 4 b P x Q Q ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) 4 b (8 8 ) (4 ) x x x x ( b ) x 4 Επομένως P( x) x ( b) x Επειδή επιπλέον P ( ) πρέπει b οπότε P( x) x και Q x x x c c Πρόβλημα Δίνεται ισοσκελές και οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (με ) και το ύψος του Ο κύκλος c ( ) τέμνει την στο σημείο την προέκταση της στο σημείο και τον κύκλο c ( B B ) στο σημείο Η τέλος τέμνει τον κύκλο c στο σημείο Να αποδείξετε ότι: (α) ˆ 45 (β) Τα σημεία και βρίσκονται επάνω στην ίδια ευθεία (γ) Η ευθεία είναι παράλληλη με την ευθεία (α) Από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε: ˆ ˆ 9 Η διάκεντρος των κύκλων c και c είναι μεσοκάθετη της κοινής χορδής τους Αν λοιπόν είναι το σημείο τομής των και τότε (από το ορθογώνιο τρίγωνο ) έχουμε: ˆ ˆ ˆ 9 δηλαδή ˆ ˆ ˆ ˆ () Από το ισοσκελές τρίγωνο έχουμε: ˆ ˆ και ˆ ˆ ˆ 9 οπότε ˆ ˆ 45 () Από το ισοσκελές τρίγωνο έχουμε:

6 Από τις σχέσεις ()()() έχουμε: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 9 ˆ () ()() ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Σχήμα (β) Η γωνία ˆ σχηματίζεται από την χορδή και την εφαπτομένη του κύκλου c άρα ˆ ˆ Ισχύει επίσης ˆ ˆ ˆ (διότι είναι εγγεγραμμένες στον κύκλο c και βαίνουν στο τόξο ) Επειδή όμως ˆ ˆ θα ισχύει ˆ ˆ οπότε τα σημεία είναι συνευθειακά (γ) Θα αποδείξουμε ότι ˆ 9 ˆ Ισχύει: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 9 οπότε Επιπλέον ισχύει ˆ ˆ ˆ 45 οπότε το ορθογώνιο τρίγωνο είναι ισοσκελές και η διάμεσός του είναι και ύψος δηλαδή Άρα // (ως κάθετες στην ευθεία ) Πρόβλημα 4 Τετράγωνο ABCD διαιρείται σε n ίσα μικρά (στοιχειώδη) τετράγωνα σχεδιάζοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές του Τις κορυφές των στοιχειωδών τετραγώνων τις ονομάζουμε σημεία του πλέγματος Ένα ρόμβο θα τον ονομάζουμε καλό όταν: δεν είναι τετράγωνο οι κορυφές του είναι σημεία του πλέγματος οι διαγώνιές του είναι παράλληλες με τις πλευρές του τετραγώνου ABCD Να βρεθεί συναρτήσει του n (με κλειστό τύπο) το πλήθος των καλών ρόμβων όπου n ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του Από τις κορυφές του ρόμβου φέρουμε παράλληλες ευθείες προς τις πλευρές τους πλέγματος οπότε βρίσκουμε το ελάχιστο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που περιέχει το ρόμβο Λόγω της συμμετρίας ως προς κέντρο του ρόμβου θα πρέπει το ορθογώνιο αυτό να έχει άρτια μήκη πλευρών

7 Επομένως αρκεί να μετρήσουμε τα ορθογώνια με άρτια μήκη πλευρών s t για τα οποία ισχύει s t Για το σκοπό αυτό θα μετρήσουμε όλα τα ορθογώνια s t και στη συνέχεια θα αφαιρέσουμε τα τετράγωνα s s Έστω ότι n k Αριθμούμε τις κάθετες ευθείες του πλέγματος από αριστερά προς τα δεξιά k και τις γραμμές του πλέγματος από κάτω προς τα πάνω k Ένα ορθογώνιο s t προσδιορίζεται από δύο κάθετες γραμμές του πλέγματος και δύο οριζόντιες που έχουν άρτια Σχήμα απόσταση Για να έχουν άρτια απόσταση πρέπει και οι δύο να έχουν άρτιο αριθμό ή και οι δύο k περιττό αριθμό Για να διαλέξουμε δύο κάθετες γραμμές με άρτιο αριθμό έχουμε επιλογές k ενώ για να διαλέξουμε δύο κάθετες γραμμές με περιττό αριθμό έχουμε επιλογές Οπότε k k για να επιλέξουμε δύο κάθετες γραμμές με άρτια απόσταση έχουμε k επιλογές 4 Όμοια έχουμε k επιλογές για τις στήλες Οπότε συνολικά έχουμε k k k ορθογώνια s t Μένει τώρα να αφαιρέσουμε τα τετράγωνα s s Τα τετράγωνα είναι ( n ) (k ) Τα 4 4 είναι ( n 4 ) (k 4 ) Γενικά τα s s είναι ( n s ) (k s k s ) (k s ) Άρα όλα μαζί είναι k s (k ) 4s(k ) 4s k( k )(k ) k(k )(k ) k(k ) (k ) k( k ) k(k )(k ) k( k )(k k ) Επομένως οι ρόμβοι είναι: k k k Όταν n k εντελώς όμοια με παραπάνω έχουμε k( k ) επιλογές για την επιλογή των δύο κάθετων γραμμών και k ( k ) επιλογές για την επιλογή των οριζόντιων Επομένως έχουμε συνολικά τα τετράγωνα συνολικά k s s s που είναι (k s) k s (k ) ( k ( k )) ορθογώνια s t και πρέπει να αφαιρέσουμε ( n s ) (k s ) (k s 4(k ) s 4s k( k )(k ) k( k )(k ) k(k ) (k ) k( k ) 4 6 Επομένως οι ρόμβοι είναι συνολικά: ( k ( k )) k k( k )(k ) k( k )(k ) ) Δηλαδή

8 ος τρόπος Υποθέτουμε ότι το μήκος των πλευρών των στοιχειωδών τετραγώνων είναι Αν οι διαγώνιες του ρόμβου είναι παράλληλες με τις πλευρές του τετραγώνου τότε οι κορυφές του θα είναι τα μέσα των πλευρών ορθογωνίου παραλληλογράμμου του οποίου οι πλευρές έχουν μήκη πολλαπλάσια του και είναι παράλληλες με τις πλευρές του αρχικού τετραγώνου Σχήμα Σχήμα 4 Στα δύο παραπάνω σχήματα βλέπουμε ορθογώνια παραλληλόγραμμα (που οι πλευρές τους είναι παράλληλες με τις πλευρές του τετραγώνου ABCD ) Σε κάθε ορθογώνιο τύπου x4 αντιστοιχεί ένας και μόνο ρόμβος τύπου x4 Σε κάθε ορθογώνιο τύπου x6 αντιστοιχεί ένας και μόνο ρόμβος τύπου x6 Για να προσδιορίσουμε λοιπόν το πλήθος των ρόμβων αρκεί να υπολογίσουμε το πλήθος των ορθογωνίων τύπου ( m )x( k ) όπου m k ακέραιοι με m k l όταν n l Για m και k έχουμε: Ένα τμήμα μήκους μπορούμε να το επιλέξουμε με n τρόπους (στην πλευρά ) Ένα τμήμα μήκους 4 μπορούμε να το επιλέξουμε με n τρόπους (στην πλευρά D ) Άρα το πλήθος των ορθογωνίων παραλληλογράμμων τύπου x4 (καθώς και των ορθογωνίων παραλληλογράμμων τύπου 4 x ) είναι ( n )(n ) Για m και k έχουμε: Ένα τμήμα μήκους μπορούμε να το επιλέξουμε με n τρόπους (στην πλευρά ) Ένα τμήμα μήκους 6 μπορούμε να το επιλέξουμε με n 5 τρόπους (στην πλευρά D ) Άρα το πλήθος των ορθογωνίων παραλληλογράμμων τύπου x6 (καθώς και των ορθογωνίων παραλληλογράμμων τύπου 6 x ) είναι ( n )(n 5 ) Για m και k l έχουμε: Ένα τμήμα μήκους μπορούμε να το επιλέξουμε με n τρόπους (στην πλευρά ) Ένα τμήμα μήκους l μπορούμε να το επιλέξουμε με n l τρόπους (στην πλευρά D ) Άρα το πλήθος των ορθογωνίων παραλληλογράμμων τύπου x( l ) (καθώς και των ορθογωνίων παραλληλογράμμων τύπου ( l )x ) είναι ( n )(n l ) ( n ) Τελικά το πλήθος των ορθογωνίων παραλληλογράμμων των οποίων η μία πλευρά έχει μήκος είναι: S ( n )(n ) ( n )(n 5 ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n 5 )

9 ( n ) n ( n )(n ) ( n ) Για m και k έχουμε: Ένα τμήμα μήκους 4 μπορούμε να το επιλέξουμε με n τρόπους (στην πλευρά ) Ένα τμήμα μήκους 6 μπορούμε να το επιλέξουμε με n 5 τρόπους (στην πλευρά D ) Άρα το πλήθος των ορθογωνίων παραλληλογράμμων τύπου 4 x6 (καθώς και των ορθογωνίων παραλληλογράμμων τύπου 6 x4 ) είναι ( n )(n 5 ) Για m και k 4 έχουμε: Ένα τμήμα μήκους 4 μπορούμε να το επιλέξουμε με n τρόπους (στην πλευρά ) Ένα τμήμα μήκους 8 μπορούμε να το επιλέξουμε με n 7 τρόπους (στην πλευρά D ) Άρα το πλήθος των ορθογωνίων παραλληλογράμμων τύπου 4 x8 (καθώς και των ορθογωνίων παραλληλογράμμων τύπου 8 x4 ) είναι ( n )(n 7 ) Για m και k l έχουμε: Ένα τμήμα μήκους 4 μπορούμε να το επιλέξουμε με n τρόπους (στην πλευρά ) Ένα τμήμα μήκους l μπορούμε να το επιλέξουμε με n l τρόπους (στην πλευρά D ) Άρα το πλήθος των ορθογωνίων παραλληλογράμμων τύπου 4 x( l ) (καθώς και των ορθογωνίων παραλληλογράμμων τύπου ( l )x4 ) είναι ( n )(n l ) ( n ) Τελικά το πλήθος των ορθογωνίων παραλληλογράμμων των οποίων η μία πλευρά έχει μήκος 4 είναι: S 4 ( n )(n 5 ) ( n )(n 7 ) ( n ) ( n ) ( n 5 ) ( n 7 ) ( n )(n 4 ) Ανακεφαλαιώνοντας και επεκτείνοντας τη διαδικασία έχουμε: ( n )(n ) S ( n )(n l )(l ) ( n )(n ) ( n )(n 4 ) S 4 ( n )(n l )(l ) ( n 5 )(n ) ( n 5 )(n 6 ) S 6 ( n 5 )(n l )(l ) ( n 7 )(n 5 ) n l n l n l n l n l n l

10 S 54 n l 68 n l l4 S n l 46 n l l 4 S l n l n l Άρα το πλήθος των ορθογωνίων παραλληλογράμμων (για n l ) δίνεται από το άθροισμα: ( n )(n ) ( n )(n 4 ) 5 4 S S S4 Sl ( n ) ( n ) ( n 4 ) ( n 4 ) 4 4 Γράφοντας n l το παραπάνω άθροισμα γίνεται: 8( l ) 4( l ) 8( l ) 4( l ) S 4((l ) ( l ) ) ((l ) ) ( l )l( l ) l l( l )(l l ) l( l ) l( l ) l( l ) 6 Άρα το πλήθος των ορθογωνίων παραλληλογράμμων (για n l ) δίνεται από το άθροισμα: ( n )(n ) ( n 5 )(n ) S S S4 Sl Sl Γ ράφοντας n l το παραπάνω άθροισμα γίνεται: (l )( l) (l 4)(l ) S 4( l l ) 4(( l ) ( l ) ) 4( ) 4( ) 4( ) 4(( l ( l ) ) ( l ( l ) )) l( l )(l ) l( l )(l l ) ( ll ( )) Τους δύο τύπους μπορούμε να τους συνοψίσουμε με τη βοήθεια του ακεραίου μέρους ως: n n n n