ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 27 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 27 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2010

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: info@hmsgr wwwhmsgr ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 7 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 7 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 Ενδεικτικές λύσεις θεμάτων μικρών τάξεων ΠΡΟΒΛΗΜΑ Να προσδιορίσετε το πλήθος των θετικών ακέραιων που δεν είναι δυνατόν να γραφούν στη μορφή 80 κ λ, όπου κλ, = 0,,, + { } Θεωρούμε τους αριθμούς της μορφής 80κ λ, + όπου κλ, = { 0,, },, σταθεροποιώντας την τιμή του κ Για κ = 0 λαμβάνουμε όλα τα πολλαπλάσια του αρχίζοντας από το 0 Για κ = λαμβάνουμε τους αριθμούς Α= 80 + λ = 6 + λ + = ρ +, ρ 6, ( ) δηλαδή όλους τους αριθμούς που διαιρούμενοι με το δίνουν υπόλοιπο, εκτός από τους 6 συνολικά αριθμούς της μορφής ρ +, για ρ = 0,,, Για κ = λαμβάνουμε τους αριθμούς Α= 60 + λ = + λ + = ρ +, ρ, ( ) δηλαδή όλους τους αριθμούς που διαιρούμενοι με το δίνουν υπόλοιπο, εκτός από τους συνολικά αριθμούς της μορφής ρ +, για ρ = 0,,, Για κ προκύπτουν αριθμοί μεγαλύτεροι ή ίσοι του 40 που έχουμε ήδη εκφράσει στη μορφή 80κ + λ, με κ, λ Έτσι συνολικά δεν μπορούμε να εκφράσουμε στη ζητούμενη μορφή τους 79 αριθμούς,,8,,77 και,4,7,, 7, που περιγράψαμε παραπάνω ΠΡΟΒΛΗΜΑ Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με πλευρές ΑΒ= α και ΒΓ= β Έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του Προεκτείνουμε την πλευρά ΒΑ προς το μέρος του Α κατά τμήμα ΑΕ = ΑΟ και την διαγώνιο ΔΒ προς το μέρος του Β κατά τμήμα ΒΖ = ΒΟ Αν το τρίγωνο ΕΖΓ είναι ισόπλευρο, τότε να αποδείξετε ότι: (i) β = α, (ii) ΑΖ = ΕΟ, (iii) ΕΟ ΖΔ Τα τρίγωνα ΕΑΓ και ΖΟΓ έχουν, λόγω των υποθέσεων τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μία, ΑΕ = ΟΓ, ΑΓ = ΟΖ και ΕΓ = ΖΓ, οπότε είναι ίσα Άρα θα έχουν και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες Έτσι προκύπτει η ισότητα

2 0 0 ΕΑΓ ˆ = ΖΟΓ ˆ 80 ΒΑΟ ˆ = 80 ΑΟΒ ˆ ΒΑΟ ˆ = ΑΟΒ ˆ, Σχήμα οπότε το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΒΟ Όμως ισχύει ΑΟ=ΟΒ, ως μισά των ίσων διαγωνίων του ορθογωνίου ΑΒΓΔ Άρα το τρίγωνο ΑΒΟ είναι ισόπλευρο πλευράς ΑΒ = α Το ύψος του τριγώνου ΑΒΟ έχει μήκος, αλλά ισούται και με το μισό της πλευράς ΒΓ = β Επομένως έχουμε β α = β = α (ii) Τα τρίγωνα ΑΖΟ και ΟΕΒ είναι ίσα, αφού έχουν ΑΟ = ΟΒ, ΟΖ = ΕΒ και ˆ ΖΟΑ = 60 = ΕΒΟ ˆ Άρα θα έχουν και ΑΖ = ΖΟ α (iii) Επειδή είναι ΑΟ=ΑΕ=ΑΒ η διάμεσος του τριγώνου ΒΟΕ ισούται με το μισό της πλευράς που αντιστοιχεί Άρα είναι ˆ ΒΟΕ = 90 και ΕΟ ΖΔ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Αν ab, είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα και οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί x, y και z έχουν γινόμενο, να αποδείξετε ότι: ( ax + b)( ay + b)( az + b) 7 Για ποιες τιμές των x, y και z αληθεύει η ισότητα; Αρκεί να αποδείξουμε την ανισότητα a xyz + a b( xy + yz + zx) + ab ( x + y + z) + b 7 () Όμως από την υπόθεση έχουμε ότι οι αριθμοί x, y και z είναι θετικοί με γινόμενο xyz =, οπότε χρησιμοποιώντας την ανισότητα αριθμητικού γεωμετρικού μέσου λαμβάνουμε x+ y+ z xyz =, ()

3 ( ) xy yz zx xyyzzx xyz + + = = Λόγω των (), () και των υποθέσεων ab>, 0 και xyz =, έχουμε ( ) ( ) a xyz a b xy yz zx ab x y z b a a b ab b , οπότε, λόγω της μεταβατικής ιδιότητας, αρκεί, αντί της (), να αποδείξουμε την ανισότητα ( ) a a b ab b a b ή + 7, που ισχύει, αφού δίνεται ότι a+ b= Η ισότητα αληθεύει για x, y και zγια τα οποία οι δύο ανισότητες () και () ι- σχύουν ως ισότητες, δηλαδή για x = y = z = ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4 Δίνονται τρεις παράλληλες ευθείες ε, ε και ε ενός επιπέδου έτσι ώστε η ευθεία ε να έχει την ίδια απόσταση α από τις ε και ε Τοποθετούμε σημεία Μ, Μ, Μ, Μ4 και Μ πάνω στις ευθείες ε, ε και ε, έτσι ώστε σε κάθε ευθεία να υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Να προσδιορίσετε το μέγιστο αριθμό ισοσκελών τριγώνων που είναι δυνατό να σχηματιστούν με κορυφές τρία από τα σημεία Μ, Μ, Μ, Μ και Μ με κατάλληλη τοποθέτησή τους πάνω στις ευθείες 4 (α) 4 ε, ε και ε, σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις: Μ, Μ, Μ ε, Μ ε και Μ ε Μ, Μ ε, Μ, Μ ε και Μ ε (β) 4 Πρώτα από όλα σημειώνουμε ότι από σημεία στα οποία δεν υπάρχουν τρία που να είναι συνευθειακά, σχηματίζονται ακριβώς = 0 τρίγωνα Στη συνέχεια για κάθε τριάδα συνευθειακών σημείων χάνεται και ένα τρίγωνο (α) Τρία από τα δεδομένα σημεία, έστω τα Μ, Μ, Μ, ανήκουν στην ευθεία ε () Σχήμα Τότε αυτά δεν σχηματίζουν τρίγωνο, ενώ τα άλλα δύο σημεία πρέπει να τοποθετηθούν από ένα σε καθεμία από τις άλλες δύο ευθείες Για το σχηματισμό ισοσκελών

4 4 τριγώνων πρέπει τα σημεία αυτά να ανήκουν σε κάποια από τις μεσοκάθετες των ευθύγραμμων τμημάτων ΜΜ, ΜΜ, ΜΜ Αν το σημείο Μ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΜΜ και τα Μ, 4 Μ ανήκουν στη μεσοκάθετη του ευθύγραμμου τμήματος ΜΜ και είναι ΜΜ ΜΜ 4 = α, τότε σχηματίζονται δύο ισοσκελή 4 α τρίγωνα και 4 Παρατηρούμε όμως ότι, αν θεωρήσουμε στη προηγούμενη περίπτωση ΜΜ =ΜΜ =ΜΜ =, που είναι δυνατόν, αφού οι παράλληλες ευθείες ισαπέχουν, τότε και τα τρίγωνα ΜΜΜ 4 και 4 καθώς και τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή, οπότε έχουμε άλλα 4 ισοσκελή τρίγωνα Επειδή και η ευθεία ε είναι μεσοκάθετη του ευθύγραμμου τμήματος ΜΜ 4 και τα τρίγωνα 4 και ΜΜ 4 Μ είναι ισοσκελή Άρα έχουμε συνολικά κατασκευάσει 8 ισοσκελή τρίγωνα με κορυφές από τα πέντε σημεία που είναι και ο μέγιστος δυνατός αριθμός στη περίπτωση αυτή, δηλαδή όλα τα σχηματιζόμενα τρίγωνα είναι ισοσκελή Στην περίπτωση που θεωρήσουμε τα Μ4 ε, Μ ε, έτσι ώστε η ΜΜ 4 να είναι μεσοκάθετη του, τότε το τετράπλευρο Μ είναι ρόμβος (τετρά- ΜΜ 4 γωνο, αν ΜΜ = α ) και από τα τέσσερα σημεία προκύπτουν 4 ισοσκελή τρίγωνα, τα 4,, 4 και 4 Το σημείο Μ μπορεί να επιλεγεί έτσι ώστε ΜΜ =ΜΜ4 =ΜΜ, οπότε πλέον σχηματίζονται άλλα τρία ισοσκελή τρίγωνα, τα Μ, και ΜΜ 4 4 Έτσι έχουμε συνολικά κατασκευάσει 7 ισοσκελή τρίγωνα Αν είναι ΜΜ ΜΜ 4 =ΜΜ, τότε θα έχουμε συνολικά ισοσκελή τρίγωνα Άρα ο μέγιστος αριθμός ισοσκελών τριγώνων στη περίπτωση αυτή είναι 8 Σχήμα (β) Σε τυχαία τοποθέτηση των σημείων Μ, Μ και των Μ, Μ 4 το τετράπλευρο Μ 4 είναι τραπέζιο, οπότε από τα 4 αυτά σημεία σχηματίζονται ένα ή δύο ισοσκελή τρίγωνα, μόνο στην περίπτωση που μία από τις βάσεις ισούται με τη μία ή με τις δύο μη παράλληλες πλευρές, αντίστοιχα

5 Σχήμα 4 Το σημείο Μ πρέπει να τοποθετηθεί, αλλά και στη μεσοκάθετη κάποιου από τα ευθύγραμμα τμήματα με άκρα τα σημεία Μ, Μ, Μκαι Μ 4 Στην περίπτωση ισοσκελούς τραπεζίου Μ 4 οι δύο βάσεις ΜΜ και ΜΜ 4 έχουν κοινή μεσοκάθετη δ, οπότε για Μ = δ ε προκύπτουν δύο ισοσκελή τρίγωνα Συνολικά στην τοποθέτηση αυτή σχηματίζονται το πολύ 4 ισοσκελή τρίγωνα Σχήμα Στην ίδια περίπτωση, αν πάρουμε τα τέσσερα σημεία Μ, Μ, Μ, Μ4, πάνω στις δύο ευθείες ε και ε, έτσι ώστε να σχηματίζουν τετράγωνο, τότε αυτά σχηματίζουν 4 ισοσκελή τρίγωνα Στη συνέχεια, αν πάρουμε το σημείο Μ, έτσι ώστε να συμπίπτει με το κέντρο του τετραγώνου που ορίζουν τα τέσσερα πρώτα σημεία, τότε με μία κορυφή το σημείο Μ σχηματίζονται άλλα τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα Έτσι έχουμε συνολικά 8 ισοσκελή τρίγωνα Στην περίπτωση που τα 4 πρώτα σημεία σχηματίζουν παραλληλόγραμμο, τότε δεν προκύπτουν ισοσκελή τρίγωνα, εκτός εάν το τετράπλευρο Μ 4 είναι ρόμβος, οπότε έχουμε συνολικά 4 ή το πολύ ισοσκελή τρίγωνα, ανάλογα με τη θέση του σημείου Μ