2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

Transcript

1 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι πάντοτε σωστή; ν ν ν ν 4. ν η τιμή του γινομένου 0 ν Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε την πράξη a b Τότε η τιμή της παράστασης 6. ν είναι a. 1 b το 3 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΛΥΚΕΙΟΥ είναι ίσο με: 1

2 7. Το είναι τετράγωνο τα σημεία ΕΗ είναι τα μέσα των όπως φαίνεται στο σχήμα. ν το εμβαδόν του τριγώνου ΕΖ είναι 1 το εμβαδόν του Ζ Ε Όταν ρώτησαν την Άννα τι γωνία σχηματίζουν οι διαγώνιες των εδρών του κύβου του σχήματος απάντησε χωρίς να σκεφτεί. Η σωστή απάντηση διαφέρει από την απάντηση της Άννας κατά: 9. Tο κλάσμα 0 φ είναι θετικό για κάθε τιμή του Η που ανήκει στο σύνολο: 10. Στο σχήμα δίνονται οι ευθείες. Το εμβαδόν του σκιασμένου μέρους 8 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Κανένα από τα

3 Στο σχήμα το ορθογώνιο αποτελείται από έξι τετράγωνα πλευράς. Η μικρότερη απόσταση μεταξύ των περιφερειών των δύο κύκλων Ένα αυτοκίνητο διάνυσε μια ορισμένη διαδρομή με μέση ταχύτητα Τα πρώτα 10 km της διαδρομής διάνυσε με ταχύτητα 10 τα επόμενα 40km το υπόλοιπο της διαδρομής διάνυσε με ταχύτητα 5 διάνυσε με ταχύτητα 8. Η συνολική διαδρομή ήταν: 70km 60km 80km 100km 90km 13. Ο αριθμός 105 μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα θετικών διαδοχικών ακεραίων αριθμών με πόσους τρόπους; Ένας μικρός κήπος σχήματος 14. ορθογωνίου χωρίζεται σε ένα ορθογώνιο ΖΕ ένα τετράγωνο ΖΕ έτσι A Ζ B E ώστε 5 m το εμβαδόν του τριγώνου Ε να είναι 4 m. Το εμβαδόν του κήπου είναι 4 m 0 m 16 m 3 m 15. Στο διπλανό σχήμα το είναι 10 5 m τετράγωνο στις πλευρές του έχουμε πάρει δώδεκα ίσα ευθύγραμμα τμήματα. Ο λόγος του εμβαδού του λευκού σταυρού προς το εμβαδόν του τετραγώνου είναι 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΛΥΚΕΙΟΥ E. 1 3

4 Το πλήθος των αρνητικών λύσεων της εξίσωσης Το γινόμενο 1 4 Σε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α Ρ είναι τυχαίο σημείο της πλευράς Η περίμετρος του τετραπλεύρου Ν Ρ Μ Κανένα από τα 19. Έστω ακολουθία αριθμών με με 0. ν το 1 για κάθε ισχύει 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΛΥΚΕΙΟΥ Εάν αγελάδες μας δίνουν δοχεία γάλα σε χρειαστούν αγελάδες για να πάρουμε. ν για τη συνάρτηση 1.. Ο μέρες πόσες μέρες θα δοχεία γάλα; Κανένα από τα 4

5 3. Οκτώ σημεία είναι τοποθετημένα όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Πόσα τρίγωνα μπορούμε να σχηματίσουμε έχοντας αυτά τα σημεία ως κορυφές; ν η τιμή της παράστασης: 0 1 Κανένα από τα 5. Πόσες διατεταγμένες τριάδες μη αρνητικών ακεραίων υπάρχουν που ικανοποιούν την ισότητα πάνω από 8 6. ν η απόλυτη τιμή της διαφοράς των είναι μικρότερη της μονάδας το πλήθος των φυσικών αριθμών είναι ν το είναι ίσο με: Κανένα από τα 8. Ο Κώστας σχεδιάζει ορθογώνιο παραλληλόγραμμο χρωματίζοντας με κόκκινο τις δύο πλευρές μήκους 4 με κίτρινο τις άλλες δύο πλευρές μήκους 36. Στη συνέχεια χρωματίζει κάθε εσωτερικό σημείο με το χρώμα της πλευράς που βρίσκεται πιο κοντά στο σημείο. Το εμβαδόν του κόκκινου μέρους θα Πάνω σε ένα τραπέζι υπάρχουν 3 μπάλες 3 κύβοι 3 κώνοι. Με πόσους τρόπους μπορεί κάποιος να επιλέξει ομάδα από αυτά τα αντικείμενα έτσι ώστε η ομάδα να περιέχει τουλάχιστον μια μπάλα τουλάχιστον ένα κύβο τουλάχιστον ένα κώνο Κανένα από τα 11 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΛΥΚΕΙΟΥ 5

6 30. Έστω κύκλος εγγεγραμμένος σε τρίγωνο όπως στο σχήμα. Μια ευθεία εφαπτομένη του κύκλου παράλληλη στην πλευρά του τριγώνου τέμνει τις πλευρές του στα σημεία αντίστοιχα. ν το τρίγωνο μεταβάλλεται έτσι ώστε η περίμετρός του να ισούται με 1 η μέγιστη τιμή του μήκους του ευθυγράμμου τμήματος είναι Κανένα από τα 11 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΛΥΚΕΙΟΥ 6