Φύση και διάδοση φωτός

Transcript

1 Σημειώσεις Γενικής Φυσικής - ΒΕΤ Μ. Μπενής / 2016 Κυματική Φύση και διάδοση φωτός Ακτινικό μοντέλο διάδοσης. Στο κεφάλαιο των κυμάτων αναπαραστήσαμε τη διάδοση των κυμάτων με τα κυματομέτωπα. Μια απλούστευση της παραπάνω εικόνας είναι να θεωρήσουμε ακτίνες κάθετες στα κυματομέτωπα οι οποίες δείχνουν την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος, όπως για παράδειγμα παρουσιάζεται στο σχήμα 3.13 για σφαιρικά κι επίπεδα κυματομέτωπα. Η απλή αυτή εικόνα είναι επαρκής για την μελέτη πολύ βασικών οπτικών φαινομένων όπως η ανάκλαση και η διάθλαση χωρίς να χρειάζεται η επιστράτευση των λύσεων των εξισώσεων Maxwell. Εξάλλου και στην καθημερινή μας ζωή ο όρος "ακτίνες φωτός" είναι πολύ δόκιμος. Στο κεφάλαιο αυτό όπως και σε αυτό της Γεωμετρικής Οπτικής θα χρησιμοποιήσουμε αυτή την εικόνα για την περιγραφή των φυσικών φαινομένων. Σχήμα 3.13 Ανάκλαση και Διάθλαση. Είναι κοινή εμπειρία ότι όταν ένα φωτεινό κύμα πέσει πάνω σε μια λεία επιφάνεια που διαχωρίζει δυο διαφανή υλικά (π.χ. αέρας και γυαλί) το κύμα γενικά εν μέρει ανακλάται κι εν μέρει διαθλάται (διαδίδεται) στο δεύτερο υλικό. Χρησιμοποιώντας το ακτινικό μοντέλο θεωρούμε ότι μια ακτίνα φωτός προσκρούει στη λεία επιφάνεια διαχωρισμού όπου και χωρίζεται σε δυο ακτίνες, μια ανακλώμενη και μια διαθλώμενη όπως στο διπλανό σχήμα. Η συμπεριφορά αυτή του φωτός οφείλεται στην εξάρτηση της ταχύτητας διάδοσής του από το εκάστοτε μέσο. Για το λόγο αυτό εισάγουμε την έννοια του δείκτη διάθλασης ως τον λόγο της ταχύτητας του φωτός στο κενό προς την ταχύτητα του φωτός σε κάποιο μέσο, δηλαδή (3.30) Η ταχύτητα του φωτός στα υλικά είναι μικρότερη αυτής του φωτός στο κενό κι επομένως ο δείκτης διάθλασης είναι πάντα μεγαλύτερος της μονάδας (και προφανώς αδιάστατος). Η ανάκλαση και διάδοση του φωτός διέπονται από τους εξής εμπειρικούς κανόνες (που ωστόσο προκύπτουν από τις εξισώσεις του Maxwell). 1. Η προσπίπτουσα, η ανακλώμενη και η διαθλώμενη ακτίνα, καθώς και η κάθετη στην επιφάνεια, κείνται όλες στο ίδιο επίπεδο. Το επίπεδο αυτό είναι κάθετο προς το επίπεδο της οριακή επιφάνειας μεταξύ των δυο υλικών. 18

2 Σημειώσεις Γενικής Φυσικής - ΒΕΤ Μ. Μπενής / 2016 Κυματική 2. Νόμος της ανάκλασης: Η γωνία ανάκλασης είναι ίση με την γωνία πρόσπτωσης για οποιοδήποτε μήκος κύματος και για οποιοδήποτε ζεύγος υλικών. (3.31) 3. Νόμος της διάθλασης ή Νόμος του Snell: Για μονοχρωματικό φως και ένα δεδομένο ζεύγος υλικών, α και b, ο λόγος των ημιτόνων των γωνιών της ανακλώμενης προς την διαθλώμενη ακτίνα ισούται με το αντίστροφο του λόγου των δυο δεικτών διάθλασης. (3.32) Η σχέση 3.32 δείχνει ότι μια ακτίνα φωτός που διέρχεται από ένα υλικό (α) σε ένα υλικό (b) που έχει μεγαλύτερο δείκτη διάθλασης, δηλ., η γωνία διάθλασης θα είναι μικρότερη από την προσπίπτουσα. Επομένως η ακτίνα κάμπτεται πλησιάζοντας την κάθετο στο δεύτερο υλικό. Στην αντίθετη περίπτωση, όταν δηλ., η γωνία διάθλασης θα είναι μεγαλύτερη από την προσπίπτουσα. Επομένως η ακτίνα κάμπτεται απομακρυνόμενη από την κάθετο στο δεύτερο υλικό. Ο νόμος του Snell εξηγεί γιατί όταν παρατηρούμε αντικείμενα μέσα στο νερό φαίνονται σε θέση κοντύτερα στην επιφάνεια από ότι είναι στην πραγματικότητα, όπως παραστατικά φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Σχήμα 3.14 Στην ειδική περίπτωση που η γωνία πρόσπτωσης είναι κάθετη στην διαχωριστική επιφάνεια τότε και η ανακλώμενη και η διαθλώμενη διαδίδονται κάθετα στην επιφάνεια. Οι εντάσεις της διαθλώμενης και της ανακλώμενης εξαρτώνται από την γωνία πρόσπτωσης. Στην κάθετη πρόσπτωση η ανακλώμενη ακτίνα έχει την ελάχιστη τιμή της, 4%, η οποία αυξάνεται βαθμιαία κοντά στο 100% για γωνίες πρόσπτωσης κοντά στις 90ο. Ολική εσωτερική ανάκλαση. Ο νόμος του Snell προβλέπει τις συνθήκες για ολική ανάκλαση του φωτός από μια διεπιφάνεια χωρίς καθόλου διάθλαση, δηλαδή διάδοση του φωτός μέσα από το διαφανές υλικό. Πράγματι εάν η διάδοση του φωτός γίνεται από ένα υλικό (α) με δείκτη διάθλασης μεγαλύτερο από αυτόν του δεύτερου υλικού (b), όταν δηλ., τότε ο νόμος προβλέπει ότι κι άρα η εξερχόμενη ακτίνα απομακρύνεται από την κάθετο. Ωστόσο επειδή η μέγιστη τιμή του είναι η μονάδα, όταν η, κι επειδή είναι, θα υπάρχει μια γωνία για την οποία θα πληρούνται η παραπάνω συνθήκες. Μάλιστα η τιμή της θα είναι (3.33) 19

3 Σημειώσεις Γενικής Φυσικής - ΒΕΤ Μ. Μπενής / 2016 Κυματική και ονομάζεται κρίσιμη γωνία. Για τιμές της γωνίας πρόσπτωσης μεγαλύτερες της κρίσιμης ( το ημίτονο της γωνίας πρόσπτωσης αυξάνεται με το αδύνατο αποτέλεσμα να αυξηθεί και το ημίτονο τη γωνίας διάθλασης σε τιμές μεγαλύτερες της μονάδας. Σε αυτές τις συνθήκες το φως δεν μπορεί να διαδοθεί μέσα στο δεύτερο υλικό κι επομένως ανακλάται ολικά. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται ολική εσωτερική ανάκλαση και παρουσιάζεται παραστατικά στο σχήμα Σχήμα 3.15 Οι εφαρμογές αυτού του φαινομένου είναι όχι μόνο αρκετές αλλά και πολύ σημαντικές. Για παράδειγμα σε μια διεπιφάνεια γυαλιού-αέρα, με n=1.52 για το γυαλί, η κρίσιμη γωνία είναι 41.1ο. Το γεγονός αυτό βρίσκει εφαρμογή στα πρίσματα Porro με γωνίες 45ο-45ο-90ο που χρησιμοποιούνται σε διόπτρες (κιάλια). Το φως εισέρχεται σε γωνία 45ο, μεγαλύτερης της κρίσιμης γωνίας, και μετά από διπλή εσωτερική ανάκλαση εξέρχεται παράλληλα αλλά με αντίθετη φορά ως προς την προσπίπτουσα ακτίνα, όπως εξηγείται στο σχήμα 3.16(α,b). Σχήμα 3.16 Μια άλλη εφαρμογή είναι οι οπτικές ίνες, που είναι φτιαγμένες από διαφανές και εύκαμπτο πλαστικό υλικό, που παγιδεύουν το φως εντός τους μεταφέροντάς το μεταξύ των δυο άκρων τους όπως φαίνεται επίσης στο σχήμα 3.16 (δεξιά). Οι οπτικές ίνες είναι ότι και τα καλώδια στον 20

4 Σημειώσεις Γενικής Φυσικής - ΒΕΤ Μ. Μπενής / 2016 Κυματική ηλεκτρισμό. Μεταφέρουν φως, κι άρα πληροφορία και μάλιστα σε όγκο πολλές τάξεις μεγαλύτερο από ότι τα κοινά καλώδια, εξ ου και η χρήση τους στις μοντέρνες τηλεπικοινωνίες. Η πολύ μικρή διάμετρός τους τις κάνει κατάλληλες για ιατρικές εφαρμογές σε όργανα όπως τα ενδοσκόπια που επιτρέπουν την απευθείας ιατρική εξέταση εσωτερικών βιολογικών οργάνων. Πόλωση. Η έννοια της πόλωσης έχει νόημα μόνο για εγκάρσια κύματα όπως τα ηλεκτρομαγνητικά. Η πόλωση σχετίζεται με την ταλάντωση του ηλεκτρικού πεδίου. Προφανώς ταλαντώνεται αντίστοιχα και το μαγνητικό πεδίο, ωστόσο επειδή είναι ασθενέστερο του ηλεκτρικού συνήθως το παραλείπουμε. Το διάνυσμα του ηλεκτρικού πεδίου μπορεί να ταλαντωθεί σε διάφορα επίπεδα τα οποία εξετάζονται παρακάτω. Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το ηλεκτρικό πεδίο στη γενικότητά του μπορεί να αναλυθεί σε δυο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες. Θεωρώντας το άξονα διάδοσης γράφουμε: και Τότε διακρίνουμε τις εξής τρεις περιπτώσεις: 1. Γραμμική πόλωση: Το πεδίο ταλαντώνεται μόνο προς μια κατεύθυνση. Συμβαίνει για τυχαία (αλλά δεδομένα) πλάτη, όταν όπως στο παρακάτω σχήμα 2. Κυκλική πόλωση. Οι δυο συνιστώσες έχουν ίσα πλάτη, φάσης, και διαφορά. Η κυκλική πόλωση μπορεί να είναι είτε δεξιόστροφη είτε αριστερόστροφη. 21

5 3. Ελλειπτική πόλωση. Είναι η γενικότερη περίπτωση πόλωσης. Προκύπτει είτε για τυχαία (αλλά δεδομένα άνισα) πλάτη, είτε για ίσα πλάτη και φάση Η ελλειπτική πόλωση περιλαμβάνει την γραμμική και κυκλική ως ειδικές περιπτώσεις. Κάθε άλλη κατάσταση είναι κατάσταση τυχαίας πόλωσης και χαρακτηρίζεται ως κατάστασης μη πόλωσης. Για παράδειγμα το φυσικό φως είναι μη πολωμένο. Αν και τα εκπεμπόμενα από τα άτομα ηλεκτρομαγνητικά κύματα είναι πολωμένα εντούτοις η τυχαία επαλληλία τους έχει ως αποτέλεσμα το φως που βλέπουμε να μην έχει πόλωση. Η πόλωση του φωτός μπορεί να ελεγχθεί με ειδικά φίλτρα τους πολωτές. Για παράδειγμα το υλικό Polaroid, που χρησιμοποιείται ευρέως στα γυαλιά ηλίου, έχει την ιδιότητα να απορροφά επιλεκτικά την μια από τις δυο συνιστώσες του ηλεκτρομαγνητικού κύματος κι έτσι το διερχόμενο κύμα να είναι πολωμένο σε μεγάλο βαθμό. Η εικόνα φαίνεται παραστατικά στο παρακάτω σχήμα. Τέλος, η πόλωση μπορεί να ελεγχθεί περεταίρω, δηλαδή να μετατραπεί από γραμμική σε κυκλική ή ελλειπτική και αντίστροφα, με τη χρήση ειδικών υλικών που λέγονται διπλοθλαστικά πλακίδια κι έχουν την ιδιότητα να αναλύουν το προσπίπτων φως σε δυο συνιστώσες και να επιφέρουν την επιθυμητή φάση μεταξύ τους έτσι ώστε να προκύψει η κατάλληλη πόλωση. Αξίζει να αναφερθεί ότι πολλές χημικές ουσίες αλληλεπιδρούν διαφορετικά με το φως ανάλογα με την πόλωσή του. Για παράδειγμα το ζαχαρόνερο έχει την ιδιότητα να στρέφει το γραμμικό επίπεδο πόλωσης του φωτός που διαδίδεται εντός. Η ιδιότητα αυτή λέγεται στροφική ικανότητα. 22

6 Σημειώσεις Γενικής Φυσικής - ΒΕΤ Μ. Μπενής / 2016 Κυματική Πόλωση από ανάκλαση. Το μη πολωμένο φως μπορεί να πολωθεί μερικά ή και ολικά μέσω ανάκλασης από λεία επιφάνεια. Είναι πειραματικό δεδομένο (και αποδεικνύεται θεωρητικά) ότι για πρόσπτωση φυσικού φωτός στη διεπιφάνεια διαφανών υλικών, ανακλάται ισχυρότερα η συνιστώσα με πόλωση κάθετη στο επίπεδο της πρόσπτωσης (το επίπεδο που περιέχει την προσπίπτουσα και την ανακλώμενη). Έτσι το προκύπτον ανακλώμενο φως είναι μερικά γραμμικά πολωμένο. Μάλιστα για μια συγκεκριμένη γωνία πρόσπτωσης που ονομάζεται γωνία πόλωσης το ανακλώμενο φως είναι πλήρως γραμμικά πολωμένο. Σε κάθε περίπτωση το διαθλώμενο φως είναι μερικώς πολωμένο με πόλωση κάθετη στην πόλωση του ανακλώμενου. Tο 1812 ο Βρετανός επιστήμονας D. Brewster παρατήρησε ότι όταν η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με τη γωνία πόλωσης, η ανακλώμενη ακτίνα και η διαθλώμενη ακτίνα σχηματίζουν γωνία 90ο. Αυτό επιτρέπει τον υπολογισμό της γωνίας πόλωσης με βάση τον νόμο του Snell. Πράγματι είναι Η σχέση αυτή είναι γνωστή ως νόμος του Brewster. Η περίπτωση αυτή φαίνεται παραστατικά στο διπλανό σχήμα. Στην πόλωση από ανάκλαση οφείλεται η αντηλιά από την λεία επιφάνεια του οδοστρώματος ή μιας λίμνης για παράδειγμα. Τα γυαλιά ηλίου Polaroid, φτιαγμένα να επιτρέπουν να διέρχονται κύματα με κάθετη πόλωση σχετικά με το οριζόντιο επίπεδο παρατήρησης μειώνουν σε πολύ μεγάλο βαθμό τη διέλευση του πολωμένου φωτός από ανάκλαση, κι επομένως η όραση γίνεται καθαρότερη χωρίς την ενοχλητική αντηλιά. Παράδειγμα 3.6 Ηλιακό φως ανακλάται από επιφάνεια πισίνας. (α) Για ποια γωνία πρόσπτωσης το φως είναι ολικά πολωμένο; (α) Ποια είναι στην περίπτωση αυτή η γωνία διάθλασης; (γ) Πώς αλλάζουν οι απαντήσεις των προηγούμενων ερωτημάτων εάν η πισίνα φωτίζεται από υποβρύχιο προβολέα; Ο δείκτης διάθλασης το νερού δίνεται ενώ του αέρα. (α) (β) (γ), Διασκεδασμός. Το λευκό φως είναι υπέρθεση κυμάτων από όλο το ορατό φάσμα. Η ταχύτητα διάδοσης του φωτός είναι βέβαια ίδια για όλα τα κύματα στο κενό αλλά στα υλικά εξαρτάται από το μήκος κύματος. Επομένως και ο δείκτης διάθλασης θα εξαρτάται από το μήκος κύματος γεγονός που είναι γνωστό ως διασκεδασμός ή διασπορά. Στα συνήθη υλικά και για το ορατό φως ο δείκτης 23

7 διάθλασης μειώνεται με την αύξηση του μήκους κύματος. Στον διασκεδασμό οφείλονται για παράδειγμα η ανάλυση μιας δέσμης λευκού φωτός στα χρώματα της ίριδας όταν διέρχεται μέσα από ένα πρίσμα και η εμφάνιση του ουράνιου τόξου μετά από βροχή. Χωρίς να χρειαστεί να κάνουμε υπολογισμούς μπορούμε ποιοτικά να καταλάβουμε την φυσική των παραπάνω φαινομένων. (α) Ανάλυση πρίσματος. Το φως κατά τη διάδοσή του μέσα από ένα πρίσμα ακολουθεί τον νόμο του Snell δυο φορές, μια για κάθε διεπιφάνεια. Τα μεγάλα μήκη κύματος (κόκκινο) που αντιστοιχούν σε μικρότερο δείκτη διάθλασης θα εκτραπούν λιγότερο από τα μικρότερα μήκη κύματος (μπλέ) όπως φαίνεται και στην διπλανή εικόνα. (β) Ουράνιο τόξο. Το ουράνιο τόξο σχηματίζεται λόγω ανάκλασης διάθλασης και διασκεδασμού σε σταγόνες νερού στην ατμόσφαιρα. Οι πορείες που ακολουθούν οι ακτίνες του ήλιου μέσα σε μια σταγόνα φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Αρχικά διαθλώνται για να υποστούν στη συνέχεια μερική ανάκλαση και δεύτερη διάθλαση. Όλες οι ακτίνες αναδύονται εντός μιας γωνίας Δ (~ 41 ο ) που διαφέρει λίγο ανάλογα με το χρώμα λόγω του διασκεδασμού. Όταν πληρούνται οι παραπάνω κατάλληλες γεωμετρικές συνθήκες παρατήρησης, δηλαδή ο παρατηρητής να βρίσκεται στην κατάλληλη γωνία παρατήρησης, τότε γίνεται μάρτυρας του πανέμορφου αυτού φυσικού φαινομένου. 24

8 Προβλήματα 1. Δυο κάτοπτρα είναι κάθετα μεταξύ τους. Μια ακτίνα διαδιδόμενη σε επίπεδο κάθετο και στα δυο κάτοπτρα ανακλάται από το ένα κάτοπτρο και στη συνέχεια υφίσταται δεύτερη ανάκλαση από το δεύτερο κάτοπτρο. Δείξτε ότι μετά τη δεύτερη ανάκλαση η ακτίνα διαδίδεται παράλληλα προς την προσπίπτουσα αλλά με αντίθετη φορά. 2. Φως διαδιδόμενο στον αέρα προσπίπτει υπό γωνία πάνω στην επιφάνεια ενός διαφανούς πλακιδίου πάχους και δείκτη διάθλασης κι εξέρχεται από αυτό υπό γωνία. (α) Δείξτε ότι. (β) Δείξτε ότι η ίδια σχέση ισχύει στην περίπτωση περισσότερων διαφορετικών παράλληλων πλακιδίων. (γ) Υπολογίστε την εγκάρσια μετατόπιση της εξερχόμενης από το πλακίδιο δέσμης. 3. Κοιτάζετε προς την κατεύθυνση του χείλους ενός ποτηριού με κατακόρυφο πλευρικό τοίχωμα, έτσι ώστε το χείλος του ποτηριού και το κάτω χείλος της απέναντι πλευράς να κείνται στην ίδια ευθεία με το μάτι σας. Το ποτήρι είναι λεπτός κύλινδρος ύψους 16.0 cm ενώ η διάμετρος της βάσης και του άνω χείλους είναι 8.0 cm. Ενώ κρατάτε το βλέμμα σας σταθερό στην παραπάνω θέση γεμίζετε το ποτήρι με διαφανές υγρό, οπότε διαπιστώνετε την ύπαρξη κέρματος 10 λεπτών που έχει τοποθετηθεί στο κέντρο της βάσης του ποτηριού. Ποιος ο δείκτης διάθλασης του υγρού. 4. Οι υπέρηχοι είναι ηχητικά κύματα υψηλής συχνότητας (f=1-5 MHz) που χρησιμοποιούνται στην απεικόνιση των εσωτερικών οργάνων βιολογικών οργανισμών. Η ταχύτητα των υπερήχων στον αέρα είναι 344 m/s και στον μυϊκό ιστό 1480 m/s. Ποια γωνία με την κάθετο σχηματίζει μια δέσμη υπερήχων εισερχόμενη στην καρδιά αν εξέρχεται από τους πνεύμονες υπό γωνία 9.73 ο ως προς την κάθετο προς το τοίχωμα της καρδιάς; β) Ποια η κρίσιμη γωνία σε αυτή την περίπτωση; 25

9 Γεωμετρική Οπτική Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε το πώς δημιουργούνται τα είδωλα κατά την ανάκλαση, διάθλαση κι εστίαση από τα οπτικά στοιχεία των κατόπτρων και των φακών. Θα χρησιμοποιήσουμε την έννοια της ακτίνας φωτός που εισάγαμε παραπάνω ενώ τα αποτελέσματά μας θα είναι ανεξάρτητα από το μήκος κύματος. Το πλαίσιο αυτό της θεώρησης της διάδοσης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων καλείται γεωμετρική οπτική. Ανάκλαση και διάθλαση σε επίπεδη επιφάνεια. Αρχικά θα χρειαστεί να εισάγουμε τις έννοιες του αντικειμένου και του ειδώλου. Με τον όρο αντικείμενο εννοούμε οποιοδήποτε πράγμα από το οποίο εκπέμπονται φωτεινές ακτίνες είτε αυτόφωτα είτε ετερόφωτα (π.χ. ανάκλαση πάνω του φωτός άλλης πηγής). Για να ορίσουμε το είδωλο θα χρειαστούμε τη βοήθεια του διπλανού σχήματος. Θεωρούμε σημειακό αντικείμενο P οι φωτεινές ακτίνες του οποίου προσκρούουν σε επίπεδη λεία επιφάνεια και ανακλώνται προς το μάτι του παρατηρητή. Το μάτι μας ωστόσο έχει την ψευδαίσθηση ότι οι ακτίνες φωτός πηγάζουν από το σημείο P' το οποίο και καλείται είδωλο. Ένα είδωλο σχηματίζεται κι από μια διαθλώσα επιφάνεια όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Σε αυτή την περίπτωση το αντικείμενο και το είδωλο βρίσκονται στην ίδια περιοχή του διαθλαστικού υλικού. Το είδωλο σχηματίζεται σε απόσταση μικρότερη από αυτή του αντικειμένου με αποτέλεσμα την ψευδαίσθηση ότι το αντικείμενο είναι κοντύτερα από ότι στην πραγματικότητα, όπως για παράδειγμα συμβαίνει για τα αντικείμενα που βρίσκονται μέσα σε νερό και η παρατήρησή τους γίνεται από τον αέρα. Να σημειωθεί πως και στις δυο περιπτώσεις οι ακτίνες δεν διέρχονται από το σημείο του ειδώλου. Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι το είδωλο είναι φανταστικό. Υπάρχουν περιπτώσεις ωστόσο που το είδωλο είναι πραγματικό εφόσον οι ακτίνες φωτός διέρχονται πραγματικά από αυτό όπως για παράδειγμα τα είδωλα που σχηματίζονται σε οθόνη προβολής. Για τα είδωλα που προέρχονται από ανάκλαση μπορούμε να βρούμε την ακριβή θέση του ειδώλου και γενικά να ποσοτικοποιήσουμε την όλη γεωμετρία του σχηματισμού του με βάση το διπλανό σχήμα. Ονομάζουμε s κι s' τις αποστάσεις του αντικειμένου και του ειδώλου από την επιφάνεια, αντίστοιχα. Με βάση τους κανόνες της ανάκλασης είναι εύκολο να δει κανείς ότι τα δυο ορθογώνια τρίγωνα PBV και P'BV είναι ίσα κι άρα s=s'. Με άλλα λόγια, το είδωλο βρίσκεται ακριβώς απέναντι από το αντικείμενο σε απόσταση από την επιφάνεια όση και το αντικείμενο. Για πολυπλοκότερα συστήματα σχηματισμού ειδώλων που θα μελετήσουμε παρακάτω, όπως ο σχηματισμός ειδώλου από σφαιρική ανακλαστική ή διαθλαστική επιφάνεια, είναι αναγκαία 26

10 η εισαγωγή μερικών κανόνων σχετικών με τα πρόσημα των αποστάσεων στην κάθε γεωμετρία. Αυτοί οι λεγόμενοι κανόνες προσήμων δεν είναι ίδιοι σε όλη τη βιβλιογραφία, χωρίς βέβαια αυτό να επηρεάζει το τελικό αποτέλεσμα αφού είναι απλά συμβάσεις. Εδώ ακολουθούνται οι εξής: 1. Κανόνας προσήμου για την απόσταση του αντικειμένου: Όταν το αντικείμενο βρίσκεται στην ίδια πλευρά της ανακλαστικής (ή διαθλαστικής) επιφάνειας με το προσπίπτων φως η απόσταση αντικειμένου s είναι θετική. Διαφορετικά είναι αρνητική. 2. Κανόνας προσήμου για την απόσταση του ειδώλου: Όταν το είδωλο βρίσκεται στην ίδια πλευρά της ανακλαστικής (ή διαθλαστικής) επιφάνειας με το εξερχόμενο φως η απόσταση ειδώλου s' είναι θετική. Διαφορετικά είναι αρνητική. 3. Κανόνας προσήμου για την ακτίνα καμπυλότητας μιας σφαιρικής επιφάνειας: Όταν το κέντρο καμπυλότητας C βρίσκεται στην ίδια πλευρά με το εξερχόμενο φως η ακτίνα καμπυλότητας R είναι θετική. Διαφορετικά είναι αρνητική. Για παράδειγμα, με βάση τους παραπάνω κανόνες για την σημειακή ανάκλαση που εξετάσαμε ισχύει ότι s = -s'. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε τον σχηματισμό του ειδώλου από ένα εκτεταμένο αντικείμενο. Χάριν απλότητας θεωρούμε το αντικείμενο σε μια διάσταση, όπως για παράδειγμα ένα βέλος ύψους y τοποθετημένο στο σημείο P και προσανατολισμένο παράλληλα στην ανακλαστική επιφάνεια. Η κατασκευή του ειδώλου εξηγείται στο διπλανό σχήμα. Κάνουμε χρήση δυο ακτίνων που εκκινούν από το σημείο Q για να συναντήσουν την επιφάνεια στα σημεία V και V'. Από τις ανακλώμενες ακτίνες και την προέκτασή τους πίσω από την ανακλώμενη επιφάνεια βρίσκουμε την θέση και το ύψος του ειδώλου. Από την ισότητα των τριγώνων QPV και Q'P'V προκύπτει ότι το είδωλο έχει το ίδιο μέγεθος με το αντικείμενο, δηλ., και τον ίδιο προσανατολισμό. Γενικά, για κάθε περίπτωση, ισχύει ότι ο λόγος των υψών του ειδώλου προς του αντικειμένου ονομάζεται εγκάρσια μεγέθυνση, δηλ., (3.34) Για το επίπεδο κάτοπτρο η εγκάρσια μεγέθυνση είναι μονάδα, όπως εύκολα γίνεται αντιληπτό από το είδωλό μας στον καθρέπτη. Όταν το είδωλο είναι προσανατολισμένο στην ίδια κατεύθυνση με το αντικείμενο ισχύει ότι, και τότε λέμε ότι το είδωλο είναι ορθό. Εάν είναι προσανατολισμένο στην αντίθετη κατεύθυνση ισχύει ότι, και τότε λέμε ότι το είδωλο είναι αντεστραμμένο. Ο σχηματισμός ειδώλου ενός τρισδιάστατου σχήματος από επίπεδη ανακλαστική επιφάνεια παρουσιάζεται στο διπλανό σχήμα. Με βάση τα προαναφερθέντα είναι εύκολο να κατασκευάσει κανείς τα είδωλα των δακτύλων του χεριού και να συνθέσει το τελικό αποτέλεσμα. Θα αντιληφθεί ότι ο καθρέπτης, αν και διατηρεί το μέγεθος των αντικειμένων, εν τούτοις παρουσιάζει το δεξί χέρι ως αριστερό. Για την ακρίβεια ο καθρέπτης δεν αναστρέφει τα είδωλα από δεξιά σε αριστερά ούτε από πάνω σε κάτω, όπως μπορεί κανείς να διαπιστώσει από τον σχηματισμό των 27

11 ειδώλων PQ και PS. Αυτό που αναστρέφεται είναι το PR δηλαδή η διάσταση μπρος-πίσω που τελικά δίνει την ψευδαίσθηση της αλλαγής από δεξιό σε αριστερό κι αντίστροφα. Ανάκλαση σε κοίλη σφαιρική επιφάνεια. Θα θεωρήσουμε τον σχηματισμό ειδώλου από σφαιρικό κάτοπτρο ακτίνας καμπυλότητας R και την κοίλη επιφάνειά του στραμμένη προς το προσπίπτον φως, όπως στο διπλανό σχήμα. Το σημείο V είναι η κορυφή του κατόπτρου ενώ το σημείο C είναι το κέντρο καμπυλότητας της επιφάνειας, δηλαδή το κέντρο της σφαίρας, τμήμα της οποίας είναι επιφάνεια. Η ευθεία CV ονομάζεται οπτικός άξονας. Στη γεωμετρία αυτή θεωρούμε σημειακό αντικείμενο τοποθετημένο στο σημείο P σε απόσταση μεγαλύτερη της ακτίνας καμπυλότητας. Ο σχηματισμός του ειδώλου προκύπτει από την γεωμετρία των ανακλάσεων των ακτίνων φωτός που παρουσιάζεται στο σχήμα. Παρατηρούμε ότι το P' είναι ένα πραγματικό είδωλο. Εάν δηλαδή είχαμε μια φωτεινή πηγή τοποθετημένη στο σημείο P και τοποθετούσαμε ένα φωτογραφικό φιλμ στο σημείο P', τότε το φιλμ θα αμαυρώνονταν σχηματίζοντας μια φωτεινή κηλίδα που είναι το πραγματικό είδωλο της φωτεινής πηγής. Για την ακρίβεια το είδωλο θα σχηματιστεί στη θέση αυτή από όλες τις φωτεινές γραμμές όπως εξηγείται στο διπλανό σχήμα. Αυτή βέβαια είναι και η αρχή λειτουργίας της φωτογραφικής μηχανής και των αστρονομικών τηλεσκοπίων που θα εξετάσουμε στο τέλος αυτού του κεφαλαίου. Ο υπολογισμός της θέσης του πραγματικού ειδώλου προκύπτει από τριγωνομετρικούς κανόνες στην παραπάνω εικόνα. Το αποτέλεσμα μπορεί να απλοποιηθεί εάν υποθέσουμε ότι η γωνία α είναι μικρή. Αυτό σημαίνει ότι οι ακτίνες φωτός σχηματίζουν μικρή γωνία με τον οπτικό άξονα ή αλλιώς είναι σχεδόν παράλληλες. Στις περισσότερες εφαρμογές (π.χ. αστρονομία) αυτή η συνθήκη ισχύει. Τέτοιες ακτίνες ονομάζονται παραξονικές και η αντίστοιχη προσέγγιση ονομάζεται παραξονική προσέγγιση. Ουσιαστικά τα αποτελέσματα της Γεωμετρικής οπτικής στηρίζονται σε αυτήν την προσέγγιση. Με βάση αυτή λοιπόν αποδεικνύεται ότι η σχέση αντικειμένου-ειδώλου για το σφαιρικό κάτοπτρο είναι η εξής: Μπορούμε να διερευνήσουμε δυο «ακραίες» περιπτώσεις της παραπάνω σχέσης. (3.35). Δηλαδή το σημειακό αντικείμενο να βρίσκεται πολύ πιο μακριά από το κέντρο καμπυλότητας. Τότε η σχέση 3.35 γράφεται Επομένως μια παράλληλη δέσμη εστιάζεται σε απόσταση ίση με την μισή της ακτίνας καμπυλότητας όπως φαίνεται στο 28

12 Σημειώσεις Γενικής Φυσικής - ΒΕΤ Μ. Μπενής / 2016 Κυματική διπλανό σχήμα. Η απόσταση αυτή ονομάζεται εστιακό μήκος ή εστιακή απόσταση και συμβολίζεται σε όλα τα οπτικά στοιχεία με το γράμμα. Επομένως για το κοίλο σφαιρικό κάτοπτρο η εστιακή απόσταση είναι.. Δηλαδή να τοποθετήσουμε το αντικείμενο στην εστιακή απόσταση. Τότε η σχέση 3.35 γράφεται Επομένως οι ανακλώμενες ακτίνες ανακλώνται παράλληλα προς τον οπτικό άξονα και δεν σχηματίζουν είδωλο όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Στην περίπτωση που το αντικείμενο δεν είναι σημειακό αλλά έχει πεπερασμένο μέγεθος, τότε όπως και στην περίπτωση του επίπεδου κατόπτρου, μπορούμε γεωμετρικά να κατασκευάσουμε το σχηματιζόμενο είδωλο με βάση την γεωμετρία των παραξονικών ακτίνων του διπλανού σχήματος, όπως κάναμε και στο επίπεδο κάτοπτρο. Λόγω της ομοιότητας των τριγώνων PVQ και P'VQ' ισχύει η σχέση το κοίλο σφαιρικό κάτοπτρο είναι κι επομένως η εγκάρσια μεγέθυνση για (3.36) κι άρα το είδωλο είναι αντεστραμμένο. Παράδειγμα 3.7 Ένα κοίλο κάτοπτρο σχηματίζει το είδωλο, πάνω σε τοίχο που απέχει 3 m από το κάτοπτρο, του πυρακτωμένου νήματος ενός προβολέα τοποθετημένου 10 cm μπροστά από το κάτοπτρο. α) Ποια η ακτίνα καμπυλότητας και το εστιακό μήκος του κατόπτρου; β) Ποιο είναι το ύψος του ειδώλου εάν το ύψος του αντικειμένου είναι 5 cm; γ) Υποθέστε ότι το αριστερό ήμισυ της ανακλώσας επιφάνειας του κατόπτρου επικαλύπτεται με μη ανακλαστική αιθάλη. Ποια επίδραση θα έχει στο σχηματισμό του ειδώλου του νήματος; α) β) γ) Το είδωλο δεν πρόκειται να αλλάξει αφού κάθε σημείο του σχηματίζεται από την ανάκλαση σε όλη την σφαιρική επιφάνεια του κατόπτρου. Η μόνη αλλαγή θα είναι στη φωτεινότητά του που θα μειωθεί στο μισό. 3.8 Σχηματισμός ειδώλου από κυρτό κάτοπτρο. Στο διπλανό σχήμα περιγράφεται ο σχηματισμός πεπερασμένου ειδώλου σε αυτή την περίπτωση. Οι ακτίνες που εκκινούν από το σημείο Q ανακλώνται από την κυρτή σφαιρική επιφάνεια κι αποκλίνουν σαν να εκκινούσαν από το σημείο Q'. Το είδωλο είναι φανταστικό και ορθό σε αντίθεση με αυτό του κοίλου κατόπτρου. Πράγματι, οι 29

13 Σημειώσεις Γενικής Φυσικής - ΒΕΤ Μ. Μπενής / 2016 Κυματική σχέσεις 3.35 και 3.36 ισχύουν και σε αυτή την περίπτωση ωστόσο με το κατάλληλο πρόσημο στις εμπλεκόμενες μεταβλητές. Με βάση του κανόνες των προσήμων, η ακτίνα καμπυλότητας και η απόσταση του ειδώλου είναι αρνητικά μεγέθη. Επομένως η μεγέθυνση είναι θετικός αριθμός κι άρα το είδωλο ορθό. Διάθλαση σε σφαιρική επιφάνεια. Όπως αναφέραμε είδωλα μπορούν να σχηματιστούν και μετά από διάθλαση. Θεωρούμε μια σφαιρική διεπιφάνεια και σημειακό αντικείμενο όπως στο παρακάτω σχήμα. Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε τον σχηματισμό του ειδώλου στην περιοχή του μεγαλύτερου δείκτη διάθλασης με βάση δυο ακτίνες φωτός εφαρμόζοντας τον νόμο Snell. Όπως και στην περίπτωση της κοίλης σφαιρικής επιφάνειας αποδεικνύεται ότι, στην παραξονική προσέγγιση, ότι η σχέση αντικειμένου-ειδώλου για το σφαιρικό κάτοπτρο είναι η εξής: (3.37) Ο σχηματισμός του ειδώλου ενός εκτεταμένου αντικειμένου μπορεί ομοίως να βρεθεί με την εφαρμογή του νόμου του Snell όπως στο παρακάτω σχήμα. Η εγκάρσια μεγέθυνση τότε προκύπτει ίση με 30

14 Σημειώσεις Γενικής Φυσικής - ΒΕΤ Μ. Μπενής / 2016 Κυματική (3.38) Παραδείγματα 3.9 Πότισμα φυτών. Το πότισμα των φυτών κατά τις μεσημβρινές ώρες αποφεύγεται. Ο λόγος είναι ότι οι σταγόνες που μένουν πάνω στα φύλλα των φυτών δρουν ως διαθλαστικέ επιφάνειες εστιάζοντας το φως προς την επιφάνεια των φύλλων με αποτέλεσμα την πιθανή πρόκληση βλάβης σε αυτό Επίπεδη διαθλώσα επιφάνεια. Στο όριο του η σχέση 3.37 γράφεται που σε συνδυασμό με την σχέση 3.38 δίνει ότι. Δηλαδή, ότι όπως και στο επίπεδο κάτοπτρο το αντικείμενο και το είδωλο έχουν το ίδιο μέγεθος κι ότι το είδωλο είναι ορθό Φαινόμενο βάθος κολυμβητικής πισίνας. Άμεση εφαρμογή του παραδείγματος 3.10 όπου η επιφάνεια της πισίνας αντιστοιχεί στην ακτίνα άπειρης καμπυλότητας. Θεωρώντας τους δείκτες διάθλασης του νερού και του αέρα τότε έχουμε ότι. Εάν το βάθος της πισίνας είναι, τότε το φαινόμενο βάθος προκύπτει ίσο με. Η ος απόσταση είναι αρνητική επειδή το είδωλο σχηματίζεται μέσα στην πισίνα (2 κανόνας προσήμων). Λεπτοί φακοί. Η περισσότερο οικεία κι ευρύτερα χρησιμοποιούμενη οπτική συσκευή μετά το επίπεδο κάτοπτρο είναι ο φακός. Φακός είναι ένα οπτικό σύστημα με δυο διαθλαστικές επιφάνειες. Ο απλούστερος φακός έχει δυο σφαιρικές επιφάνειες αρκετά κοντά η μια στην άλλη ώστε να μπορούμε να αγνοήσουμε την απόστασή τους, δηλαδή το πάχος του φακού. Ένας συγκλίνων φακός έχει την ιδιότητα όταν πέφτει πάνω του μια παράλληλη δέσμη φωτός να την εστιάζει δημιουργώντας ένα πραγματικό είδωλο στο σημείο F2. Αντίστροφα, ακτίνες που διέρχονται από το σημείο F1 αναδύονται ως παράλληλη δέσμη ακτίνων, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Τα σημεία F1 και F2 ονομάζονται πρώτο και δεύτερο εστιακό σημείο ενώ η απόσταση (μετρούμενη από το κέντρο του φακού) εστιακή απόσταση ή εστιακό μήκος. Η ευθεία που ενώνει τα εστιακά σημεία είναι ο οπτικός άξονας. Οι δυο εστιακές αποστάσεις είναι πάντα ίσες στους λεπτούς φακούς. Το είδωλο ενός εκτεταμένου αντικειμένου σχηματίζεται με τη βοήθεια γεωμετρικών γραμμών, όπως και στα κάτοπτρα, όπως στο παρακάτω σχήμα. Ο συμβολισμός και οι κανόνες προσήμων είναι αυτοί που ορίσαμε αρχικά στο κεφάλαιο αυτό. 31

15 Από τα όμοια τρίγωνα OPQ και OP'Q' προκύπτει ότι. Επί πλέον από τα όμοια τρίγωνα OAF 2 και F 2 P'Q' προκύπτει ότι. Συνδυάζοντας αυτές τις δυο εξισώσεις εύκολα προκύπτει η εξίσωση των λεπτών φακών για την σχέση αντικειμένου-ειδώλου ενώ η εγκάρσια μεγέθυνση τότε προκύπτει ίση με (3.39) (3.40) όπου το αρνητικό σημαίνει ότι όταν τα και είναι θετικά το είδωλο είναι αντεστραμμένο. Στο διπλανό σχήμα παρουσιάζεται ο τρόπος με τον οποίο εστιάζεται ένα τρισδιάστατο αντικείμενο όταν αυτό βρίσκεται σε απόσταση μεγαλύτερη από την εστιακή απόσταση του λεπτού φακού. Παρατηρείστε ότι, εν αντιθέσει με τον επίπεδο καθρέπτη, ο φακός αλλάζει τα αριστερά σε δεξιά και τα πάνω σε κάτω ενώ αφήνει αναλλοίωτο το μπρος-πίσω. Αυτή η διπλή αναστροφή έχει ως αποτέλεσμα να διατηρείται η συμμετρία αριστερό-δεξί, με άλλα λόγια ένα αριστερό χέρι παραμένει αριστερό έπειτα από εστίαση από ένα λεπτό φακό. Ουσιαστικά υπόκειται σε μια στροφή 180 ο γύρω από τον οπτικό άξονα. Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζεται η οπτική ενός αποκλίνοντα φακού. Τα εστιακά σημεία έχουν ανάστροφη διάταξη από ότι στον συγκλίνοντα φακό. Οι σχέσεις 3.39 και 3.40 ισχύουν επίσης και για αποκλίνοντες φακούς λαμβανομένου υπόψη βέβαια τα σωστά πρόσημα. 32

16 Τη θέση και το μέγεθος του ειδώλου που σχηματίζεται από έναν λεπτό φακό μπορούμε να τα προσδιορίσουμε γραφικά, όπως και στα σφαιρικά κάτοπτρα, με τρεις κύριες ακτίνες. Αυτές είναι: 1. Μια ακτίνα παράλληλη προς τον οπτικό άξονα η οποία μετά το φακό είτε α) οδεύει προς το εστιακό σημείο F 2 για συγκλίνοντα φακό β) δείχνει να προέρχεται από το εστιακό σημείο F 2 για αποκλίνοντα φακό. 2. Μια ακτίνα διερχόμενη από το κέντρο του φακού η οποία και δεν παρεκκλίνει της ευθύγραμμης πορείας της. 3. Μια ακτίνα διερχόμενη από το εστιακό σημείο F 1 και που αναδύεται παράλληλα προς τον οπτικό άξονα Για πραγματικό είδωλο δυο από οποιεσδήποτε από τις παραπάνω αρκούν για τον προσδιορισμό της θέσης και του μεγέθους του ειδώλου. Όταν το είδωλο είναι φανταστικό προεκτείνουμε τις εξερχόμενες αποκλίνουσες ακτίνες προς τα πίσω ως το σημείο τομής τους. Παρακάτω παρουσιάζονται γραφικά οι παραπάνω κανόνες για συγκλίνοντα κι αποκλίνοντα φακό. Παραδείγματα 3.12 Συγκλίνων φακός έχει εστιακή απόσταση. Βρείτε γραφικά και υπολογιστικά την θέση του ειδώλου ενός αντικειμένου που βρίσκεται στις ακόλουθες αποστάσεις από τον φακό: α) 50 cm, β) 20 cm, γ) 15 cm και δ) -40 cm. Επίσης προσδιορίστε τη μεγέθυνση για κάθε περίπτωση. α) Το είδωλο είναι αντεστραμμένο και μικρότερο του αντικειμένου β) Η δέσμη εξέρχεται παράλληλη και δεν σχηματίζεται είδωλο. Η τρίτη κύρια ακτίνα δεν διέρχεται δια μέσω του φακού. 33

17 γ) Το είδωλο είναι φανταστικό, ορθό και μεγαλύτερο του αντικειμένου. Η τρίτη κύρια ακτίνα δεν διέρχεται δια μέσω του φακού. δ) Ένα φανταστικό αντικείμενο μπορεί να σχηματιστεί ως το είδωλο ενός συγκλίνοντα φακού που έχει τοποθετηθεί αριστερά αυτού που εξετάζουμε. Έτσι το πραγματικό είδωλο του ενός γίνεται το φανταστικό αντικείμενο του άλλου. Το είδωλο είναι πραγματικό, ορθό και μικρότερο του αντικειμένου Το «ματάκι» της πόρτας εισόδου. Είναι ένας λεπτός αποκλίνων φακός που σχηματίζει ένα μικρότερο ορθό είδωλο για την αναγνώριση του επισκέπτη. Πράγματι αν θεωρήσουμε ότι ο επισκέπτης είναι το πραγματικό αντικείμενο του διπλανού σχήματος που βρίσκεται σε απόσταση 40 cm από το ματάκι της πόρτας τότε, με βάση τα όσα αναφέραμε παραπάνω σχηματίζεται ένα ορθό φανταστικό και μικρότερο είδωλο το οποίο και τελικά θα παρατηρήσουμε από τις αποκλίνουσες ακτίνες φωτός. Εάν το είδωλο έχει το 1/3 του ύψος του αντικειμένου τότε ποια η εστιακή απόσταση του φακού; 3.14 Σύστημα φακών. Θεωρούμε σύστημα δυο λεπτών συγκλίνοντων φακών τοποθετημένων όπως στο διπλανό σχήμα. Έστω ότι οι δυο φακοί εστιακών αποστάσεων και απέχουν απόσταση ίση με. Εάν το αντικειμένου ύψους 8 cm είναι τοποθετημένο σε απόσταση από τον πρώτο φακό, να χαρακτηρίσετε το σχηματιζόμενο είδωλο. 34

18 Το πρώτο αντεστραμμένο πραγματικό είδωλο θα σχηματιστεί σε απόσταση. Το μέγεθός του θα είναι κι άρα. Το δεύτερο αντεστραμμένο πραγματικό είδωλο θα σχηματιστεί σε απόσταση Το μέγεθός του θα είναι κι άρα. Αυτός ο απλός συνδυασμός φακών είναι η αρχή των φωτογραφικών μηχανών, μικροσκοπίων και τηλεσκοπίων Μεγεθυντικός φακός. Το φαινόμενο μέγεθος ενός αντικειμένου προσδιορίζεται από το μέγεθός του ειδώλου στον αμφιβληστροειδή του ματιού, το οποίο εξαρτάται από τη γωνία που που υποτείνεται από το αντικείμενο στο μάτι. Επειδή ωστόσο η απόσταση στην οποία μπορεί να εστιάσει με ευκρίνεια το μάτι ενός μέσου ανθρώπου είναι γύρω στα 25 cm το φαινόμενο μέγεθος έχει ένα άνω όριο, όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα.. Σε αυτή την περίπτωση μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένας συγκλίνων φακός για να αυξήσει το φαινόμενο μέγεθος ως εξής. Τοποθετούμε το αντικείμενο προς παρατήρηση στην περιοχή της εστίας του φακού κι έτσι δημιουργείται ένα φανταστικό είδωλο στο άπειρο. Το μέγεθος του ειδώλου στον αμφιβληστροειδή του ματιού ωστόσο είναι μεγαλύτερο εφόσον έχει μεγαλώσει η γωνία που που υποτείνεται από το αντικείμενο στο μάτι, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Η μεγέθυνση αυτή ονομάζεται γωνιακή μεγέθυνση και δίνεται από τη σχέση (3.41) Ένας φακός που χρησιμοποιείται με αυτόν τον τρόπο ονομάζεται μεγεθυντικός φακός. Η γωνιακή μεγέθυνση δεν πρέπει να συγχέεται με την εγκάρσια μεγέθυνση, που στην περίπτωση του μεγεθυντικού φακού δεν έχει πρακτική χρησιμότητα. Η σχέση 3.41 δείχνει ότι η γωνιακή μεγέθυνση μπορεί να πάρει πολύ μεγάλες τιμές. Ωστόσο στην πράξη το μέτρο της είναι γύρω στο x 3 ή x 4 εξαιτίας αποκλίσεων από την ακριβή εστίαση όλων των ακτινών. Ένα τέτοιο παράδειγμα αποκλίσεων (που δεν είναι η μοναδική περίπτωση βέβαια) δίνεται στο παρακάτω σχήμα 35

19 3.16 Μικροσκόπιο. Η αρχή λειτουργίας του μικροσκοπίου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Χρησιμοποιεί ένα σύστημα δυο φακών όπου ο πρώτος φακός, ο αντικειμενικός, σχηματίζει ένα πραγματικό είδωλο, ενώ ο δεύτερος, ο προσοφθάλμιος, χρησιμοποιείται ως μεγεθυντικός φακός. Έτσι το αντικείμενο τοποθετείται λίγο μακρύτερα από την εστιακή απόσταση του αντικειμενικού φακού σχηματίζοντας ένα πραγματικό μεγεθυσμένο είδωλο. Το είδωλο αυτό βρίσκεται σε απόσταση λίγο μικρότερη από την εστιακή απόσταση του προσοφθάλμιου φακού κι έτσι ο προσοφθάλμιος δρα ως μεγεθυντικός φακός. Η συνολική μεγέθυνση είναι το γινόμενο της εγκάρσιας μεγέθυνσης του αντικειμενικού φακού και της γωνιακής μεγέθυνσης του προσοφθάλμιου. 36

20 Πως λειτουργεί το μάτι Το μάτι λειτουργεί σαν μια φωτογραφική μηχανή ακριβείας και αποτελείται από διαφορετικά μέρη που δουλεύοντας όλα μαζί μας επιτρέπουν να βλέπουμε. Η ίριδα είναι το χρωματιστό μέρος του ματιού με μία οπή στο μέσο που ονομάζεται κόρη. Μπροστά από την ίριδα βρίσκεται ένας διάφανος χιτώνας, ο κερατοειδής, που λειτουργεί σαν το πρόσθιο προστατευτικό κέλυφος του ματιού αλλά και σαν εστιακός φακός. Ο πρόσθιος θάλαμος είναι ο ενδιάμεσος χώρος μεταξύ του κερατοειδή και της ίριδας. Ο πρόσθιος θάλαμος διατηρεί το σχήμα του καθώς περιέχει υδατοειδές υγρό το οποίο προμηθεύει με οξυγόνο και θρεπτικά συστατικά το εσωτερικό του ματιού. Ο κερατοειδής είναι ο πιο δυνατός φακός του οπτικού συστήματος του ματιού. Είναι σχεδόν αόρατος καθώς αποτελείται από διάφανο ιστό. Το κυρτό του σχήμα, του επιτρέπει να λειτουργεί και σαν φακός, προσφέροντας τα δύο τρίτα της συνολικής δύναμης εστίασης του ματιού. Η υπόλοιπη δύναμη εστίασης προέρχεται από τον κρυσταλλοειδή φακό, που βρίσκεται στο πρόσθιο μέρος του ματιού, πίσω από την ίριδα. Ο αμφιβληστροειδής λειτουργεί σαν το φιλμ της φωτογραφικής μηχανής καλύπτοντας την εσωτερική επιφάνεια στο πίσω μέρος του ματιού. Αποτελείται από νευρικό ιστό και φωτουποδοχείς που μετατρέπουν τις ακτίνες φωτός σε ηλεκτρικά σήματα τα οποία πηγαίνουν στον εγκέφαλο μέσο του οπτικού νεύρου. Η ίριδα και ο φακός μέσα στο μάτι λειτουργούν μαζί σαν το μπροστινό μέρος φωτογραφικής μηχανής, επιτρέποντας τις ακτίνες του φωτός από ένα αντικείμενο να περάσουν στον αμφιβληστροειδή στο πίσω μέρος του ματιού, οπού η εικόνα εντυπώνεται αλλά ανεστραμμένη. Ο εγκέφαλος μετά αναλύοντας την εικόνα τη ξαναστρέφει στη κανονική της θέση. Καθ όλη τη διάρκεια ο φακός μέσα στο μάτι αλλάζει το σχήμα του προσαρμόζοντας το βάθος εστίασης που χρειάζεται για το μάτι να βλέπει καθαρά. 37

21 Στη συνέχεια παρουσιάζονται τυπικά παραδείγματα διόρθωσης της εστίασης του ματιού στοπν αμφιβληστροειδή α) Υπερμετρωπία β) Μυωπία 38

22 δ) Αστιγματισμός Προβλήματα 1. Η διάμετρος του Άρη είναι 6794 Km και η ελάχιστη απόστασή του από τη Γη είναι 5.58 x 10 7 Km. Όταν ο Άρης βρίσκεται σε αυτήν την απόσταση, βρείτε την διάμετρο του ειδώλου του Άρη που σχηματίζεται από σφαιρικό κοίλο κάτοπτρο εστιακής απόστασης 1.75 m; 2. Στην πλευρά του συνοδηγού του αυτοκινήτου έχει προσαρμοσθεί κυρτό κάτοπτρο με ακτίνα καμπυλότητας μεγέθους (κατ απόλυτη τιμή) 18 cm. Ένα άλλο αυτοκίνητο είναι ορατό στο πλευρικό αυτό κάτοπτρο που βρίσκεται 13 m πίσω από το κάτοπτρο. Αν το αυτοκίνητο έχει ύψος 1.5 m, α) ποιο το ύψος του ειδώλου του; β) Το κάτοπτρο φέρει γραπτό μήνυμα που προειδοποιεί τον οδηγό ότι τα αντικείμενα που απεικονίζονται ως είδωλα βρίσκονται στην πραγματικότητα πλησιέστερα από ότι φαίνονται. Γιατί συμβαίνει αυτό; 3. Μικρό χρυσόψαρο βρίσκεται στο κέντρο μιας σφαιρικής γυάλας γεμάτης με νερό διαμέτρου 18 cm. α) Βρείτε τη φαινόμενη θέση και τη μεγέθυνση του ψαριού ως προς παρατηρητή έξω από τη γυάλα. Αγνοείστε την επίδραση του λεπτού τοιχώματος της γυάλας. β) Ένας φίλος συμβούλευε τον ιδιοκτήτη του χρυσόψαρου να βάλει τη γυάλα στη σκιά για να αποφευχθεί η τύφλωση του ψαριού το οποίο καθώς κολυμπά θα μπορούσε να βρεθεί στο εστιακό σημείο των παράλληλων ακτίνων του ηλιακού φωτός. Έχει δίκιο ο φίλος του ή πρόκειται για φιδέμπορα ; 4. Φακός σχηματίζει είδωλο ενός αντικειμένου. Το αντικείμενο απέχει 16 cm από το φακό. Το είδωλο απέχει 12 cm από το φακό και βρίσκεται στην ίδια πλευρά με το αντικείμενο. Ποια η εστιακή απόσταση του φακού; Είναι συγκλίνων ή αποκλίνων φακός; β) Αν το αντικείμενο έχει ύψος 8.5 cm ποιο είναι το ύψος του ειδώλου; Το είδωλο αυτό είναι ορθό ή αντεστραμμένο; γ) Σχεδιάστε ένα διάγραμμα των κύριων ακτίνων. 5. Εξετάζετε ένα ψύλλο με μεγεθυντικό φακό που έχει εστιακή απόσταση 4 cm. Εάν το είδωλο του ψύλλου είναι 6.5 φορές το μέγεθός του, σε πόση απόσταση από τον φακό βρίσκεται ο ψύλλος; Πού βρίσκεται το είδωλό του σε σχέση με τον φακό; 6. Το είδωλο που σχηματίζεται από τον αντικειμενικό μικροσκοπίου, εστιακής απόστασης 5 mm, απέχει 160 mm από το δεύτερο εστιακό του σημείο. Ο προσοφθάλμιος έχει εστιακή απόσταση 26 mm. α) Ποια είναι η γωνιακή μεγέθυνση του μικροσκοπίου; β) Το ανθρώπινο μάτι μπορεί να ξεχωρίσει δυο σημεία, στο εγγύτατο σημείο ευκρινούς όρασης, δηλ. 25 cm, αν απέχουν μεταξύ τους απόσταση όχι μικρότερη από 0.1 mm. Ποια είναι η ελάχιστη διαχωριστική απόσταση που μπορεί να γίνει διακριτή με αυτό το μικροσκόπιο; 39