Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Transcript

1 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 8: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Cretive Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

2 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3 Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, 14. Αθανάσιος Μπράτσος. «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά. Ενότητα 8: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος ΙΙ». Έκδοση: 1.. Αθήνα 14. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teith.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Cretive Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4. [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

4 ÌÜèçìá 8 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÙÍ - ÌÅÑÏÓ II 8.1 Êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ôïõ Guss ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ¼ëïé ïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ôïõ ÌáèÞìáôïò 7 åß áí ðñïêýøåé áðü ôï ðïëõþíõìï ðáñåìâïëþò ôïõ Newton èåùñþíôáò êüèå öïñü Ýíá áñéèìüéóïáðå- üíôùí óçìåßùí. Ïé ôýðïé õðïëïãéóìïý ôùí óýíèåôùí êáíüíùí ôåëéêü ëáìâüíïõí ôç ìïñöþ: Ôñáðåæßïõ I(f) h f (x ) + h f (x 1 ) + : : : + h f (x N ) + h f (x N) Simpson = w f (x ) + w 1 f (x 1 ) + : : : + w N f (x N ) + w N f (x N ) : I(f) h 3 f (x ) + 4h 3 f (x 1) + 4h 3 f (x 3) + : : : + 4h 3 f (x N) + h 3 f (x ) + h 3 f (x 4) + : : : + h 3 f (x N ) + h 3 f (x N) 1

5 Êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ôïõ Guss Êáè. Á. ÌðñÜôóïò = h 3 f (x ) + 4h 3 f (x 1) + h 3 f (x ) + : : : + h 3 f (x N ) + 4h 3 f (x N) + h 3 f (x N) = w f (x ) + w 1 f (x 1 ) + w f (x ) + : : : + w N f (x N ) +w N f (x N ) + w N f (x N ) : 3=8 ôïõ Simpson I(f) 3h 8 f (x ) + 9h 8 f (x 1) + : : : + 9h 8 f (x 3N ) + 9h 8 f (x ) + : : : + 9h 8 f (x 3N) + 6h 8 f (x 3) + : : : + 6h 8 f (x 3N 3) + 3h 8 f (x 3N) = 3h 8 f (x ) + 9h 8 f (x 1) + 9h 8 f (x ) + 6h 8 f (x 3) + : : : + 6h 8 f (x 3N 3) + 9h 8 f (x 3N ) + 9h 8 f (x 3N) + 3h 8 f (x 3N) = w f (x ) + w 1 f (x 1 ) + w f (x ) + w 3 f (x 3 ) + : : : +w 3N 3 f (x 3N 3 ) + w 3N f (x 3N ) + w 3N f (x 3N ) +w 3N f (x 3N ) : ÅðïìÝíùò üëïé ïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò åßíáé äõíáôü íá ãñáöïýí ôåëéêü - ðáñáëåßðïíôáò ùñßò âëüâç ôçò ãåíéêüôçôáò êáé ãéá ëüãïõò åõêïëßáò ôïí üñï ìå äåßêôç - óôç ìïñöþ I(f) = f(x)dx w 1 f (x 1 ) + w f (x ) + : : : + w n f (x n ) ( ) üðïõ ïé óõíôåëåóôýò ôùí ôéìþí f (x i ); i = 1; ; : : : ; n Þ üðùò óõíþèùò ëýãïíôáé ôá âüñç (weights) w i ; i = 1; ; : : : ; n äåí åîáñôþíôáé áðü ôç óõíüñôçóç f(x).

6 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 3 Óôïõò êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ðïõ èá åîåôáóôïýí óôç óõíý åéá ôïõ ìáèþìáôïò êáé ðïõ åßíáé ãíùóôïß óáí êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ôïõ Guss (Gussin qudrture), ç ïëïêëçñùôýá óõíüñôçóç áíôéêáèßóôáôáé ìå Üëëá ðñïóåããéóôéêü ðïëõþíõìá, ïðüôå äçìéïõñãïýíôáé Üëëïé ôýðïé áñéèìçôéêþò ïëïêëþñùóçò ìå óõíôåëåóôýò êáôü êáíüíá ìç ñçôïýò áñéèìïýò. åé áðïäåé èåß ðåéñáìáôéêü üôé ïé ôýðïé ðïõ ðñïêýðôïõí áðü ôïõò êáíüíåò áõôïýò Ý ïõí ôï ðëåïíýêôçìá ìå êáôüëëçëç åêëïãþ ôùí óçìåßùí x i ; i = 1; ; : : : ; n íá äßíïõí ìåãáëýôåñç áêñßâåéá áõôþò ðïõ äßíåôáé áðü ôïõò ôýðïõò ôùí Newton-Cotes ìå ôïí ßäéï áñéèìü óçìåßùí. Ôá óçìåßá ðáñåìâïëþò óôéò ðåñéðôþóåéò áõôýò ãåíéêü äåí éóïáðý ïõí. óôù ôï ïëïêëþñùìá I(f) = óõíüñôçóç åßíáé äõíáôüí íá ãñáöåß óôç ìïñöþ f(x)dx. Áðïäåéêíýåôáé üôé ç ïëïêëçñùôýá f(x) = w(x) g(x); ( ) üôáí w(x) åßíáé ìßá ìç áñíçôéêþ ïëïêëçñþóéìç óõíüñôçóç óôï [; b] ðïõ ëýãåôáé óõíüñôçóç âüñïõò. Ôüôå ç (8:1:1 ) óýìöùíá ìå ôçí (8:1:1 1) ãñüöåôáé I(f) = w(x) g(x) dx ( ) w 1 g (x 1 ) + w g (x ) + : : : + w n g (x n ) üðïõ ôá âüñç w i ; i = 1; ; : : : ; n åîáñôþíôáé áðü ôá óçìåßá x i ; i = 1; ; : : : ; n êáé ôç óõíüñôçóç w(x) áëëü ü é áðü ôçí g(x). 1 ÅðåéäÞ ç ìåëýôç ôçò (8:1:1 3) óôç ãåíéêþ ðåñßðôùóç îåöåýãåé ôïõ óêïðïý ôïõ ìáèþìáôïò, åîåôüæåôáé ìüíïí ç ðåñßðôùóç üðïõ ç óõíüñôçóç g(x) åßíáé Ýíá ðïëõþíõìï âáèìïý Ýóôù m, äçëáäþ g(x) = P m (x) = + 1 x + : : : + m x m ; ( ) üôáí i R ãéá êüèå i = ; 1; : : : ; m. Óôïí ôýðï (8:1:1 3) æçôåßôáé íá ðñïóäéïñéóôïýí ôá w i êáé ôá óçìåßá x i ; i = 1; ; : : : ; n, Ýôóé þóôå ôï óöüëìá 1 Ç áðüäåéîç ðïõ áêïëïõèåß íá ðáñáëåéöèåß óå ðñþôç áíüãíùóç.

7 4 Êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ôïõ Guss Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ôçò ðñïóýããéóçò íá åßíáé åëü éóôï. Ç (8:1:1 3) äéáäï éêü ãñüöåôáé I(f) = w(x) [ + : : : + m x m ] dx = w 1 g (x 1 ) + w g (x ) + : : : + w n g (x n ) ( ) üðïõ ðñïöáíþò g (x i ) = + 1 x i + : : : + m x m i ãéá êüèå i = 1; ; : : : ; n. Áðü ôçí (8:1:1 5) ðñïêýðôåé ôüôå üôé I(f) = w(x) dx + 1 x w(x) dx + : : : + m x m w(x) dx = w 1 ( + 1 x 1 + : : : + m x m 1 ) + w ( + 1 x + : : : + m x m ) + : : : + w n ( + 1 x n + : : : + m x m n ) Þ w(x) dx + 1 x w(x) dx + : : : + m x m w(x) dx = (w 1 + w + : : : + w n ) + 1 (w 1 x 1 + w x + : : : + w n x n ) + : : : + m (w 1 x m 1 + w x m + : : : + w nx m n ) : ÅðåéäÞ ç ôåëåõôáßá éóüôçôá ðñýðåé íá éó ýåé ãéá êüèå ðïëõþíõìï ôçò ìïñöþò (8:1:1 4), áðü ôçí åîßóùóç ôùí óõíôåëåóôþí i ; i = ; 1; : : : ; m Ý ïõìå w 1 + w + : : : + w n = w 1 x 1 + w x + : : : + w n x n = w 1 x 1 + w x + : : : + w n x n =. w 1 x m 1 + w x m + : : : + w n x m n = w(x) dx x w(x) dx x w(x) dx. x m w(x) dx; ( )

8 Êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ôùí Guss-Legendre 5 ðïõ ïñßæåé Ýíá óýóôçìá m+1 åîéóþóåùí ìå n áãíþóôïõò ôá âüñç w 1 ; w ; : : :, w n êáé åðßóçò n áãíþóôïõò ôá óçìåßá x 1 ; x ; : : : ; x n. Ôï óýóôçìá áõôü èá ðñýðåé íá Ý åé ëýóç ãéá êüèå óõíüñôçóç w(x), ðïõ óçìáßíåé üôé m + 1 n, äçëáäþ m n 1: ( ) Áðïäåéêíýåôáé üôé ãéá m = n 1 ôï óýóôçìá (8:1:1 7) Ý åé ðüíôïôå ëýóç, ðïõ üìùò åßíáé áñêåôü ðïëýðëïêç áêüìá êáé üôáí ôï ðëþèïò ôùí óçìåßùí n åßíáé ðïëý ìéêñü Êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ôùí Guss-Legendre Óôïí êáíüíá ïëïêëþñùóçò ðïõ áêïëïõèåß, åîåôüæåôáé ç ëýóç ôïõ óõóôþìáôïò (8:1:1 6) ãéá ôçí ðåñßðôùóç ðïõ ç óõíüñôçóç âüñïõò w(x) = 1 êáé ôï äéüóôçìá ïëïêëþñùóçò [; b] = [; 1]. Ôüôå ôï óýóôçìá ãñüöåôáé w 1 + : : : + w n = w 1 x 1 + : : : + w n x n = w 1 x 1 + : : : + w n x n =. w 1 x m 1 + : : : + w n x m n = = 1 dx = x dx = x dx = 3. x m dx ; áí m ðåñéôôüò, 1 ; 1 + m áí m Üñôéïò. ( ) Áðü ôç èåùñßá ôùí ïñèïãþíéùí ðïëõùíýìùí ðñïêýðôåé üôé ôá óçìåßá x i ; i = 1; ; : : : ; n ðïõ åðáëçèåýïõí ôï óýóôçìá (8:1: 3) åßíáé ïé ñßæåò ôùí

9 6 Êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ôïõ Guss Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ðïëõùíýìùí P n (x) ôïõ Legendre âáèìïý n, ðïõ äßíïíôáé áðü ôïí ôýðï [ (x 1 ) n ] (n) P n (x) = n n! ãéá êüèå n = 1; ; : : :, üôáí x [; 1], åíþ åßíáé P (x) = 1. Ìå åöáñìïãþ ôïõ ôýðïõ (8:1: ) ðñïêýðôåé üôé P 1 (x) = x P 3 (x) = 1 ( ) 5x 3 3x P (x) = 1 ( ) 3x 1 P 4 (x) = 1 ( ) 35x 4 3x ( ) ê.ëð. Ïé ñßæåò x i ; i = 1; ; : : : ; n êáé ôá áíôßóôïé á âüñç w i üðïõ w i = ( ) 1 x i [P ; i = 1; ; : : : ; n n (x i )] ãéá êüèå ðåñßðôùóç äßíïíôáé áðü ðßíáêåò. Áðïäåéêíýåôáé üôé: i) ôá âüñç w i åßíáé ðüíôïôå èåôéêïß áñéèìïß, ii) ïé ñßæåò x i åßíáé ðñáãìáôéêýò êáé áíü äýï óõììåôñéêýò ùò ðñïò ôï ìçäýí, iii) ôá âüñç w i, ðïõ áíôéóôïé ïýí óå óõììåôñéêýò ñßæåò, åßíáé ßóá ìåôáîý ôïõò. Áí ôï äéüóôçìá ïëïêëþñùóçò åßíáé äéüöïñï ôïõ [; 1], ôüôå ìå ôï ìåôáó çìáôéóìü 3 (b )t x = + b + ( ) ôï ïëïêëþñùìá ìå äéüóôçìá ïëïêëþñùóçò [; b] ìåôáó çìáôßæåôáé óå áíôßóôïé ï ìå Üêñá [; 1], äçëáäþ I(f) = = b f(x) dx f [ (b )x + b + ] dx: ( ) Ï ôýðïò (8:1: ) åßíáé ãíùóôüò óáí ôýðïò ôïõ Rodrigues (Rodrigues formul). 3 Áí x =, ôüôå åýêïëá ðñïêýðôåé áðü ôçí (8:1: 3) üôé t =, åíþ, áí x = b üôé t = 1.

10 Êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ôùí Guss-Legendre 7 ÅðïìÝíùò I(f) = f(x) dx n i=1 w i { b f [ (b ) xi + b + ] } = n w i g (x i ) ; ( ) i=1 üôáí g (x i ) = b f [ (b ) xi + b + ] ( ) êáé óôï äåîéü ìýëïò ñçóéìïðïéþèçêå ãéá ëüãïõò åõêïëßáò ôï x i áíôß ôïõ t i. Ç ðáñáðüíù ìýèïäïò ïëïêëþñùóçò åßíáé ãíùóôþ óáí ïëïêëþñùóç ôùí Guss-Legendre (Guss-Legendre qudrture), åíþ ï (8:1: ) óáí ï ôýðïò ïëïêëþñùóçò ôùí Guss-Legendre. Óçìåßùóç Ç ìýèïäïò ïëïêëþñùóç ôùí Guss-Legendre i) äßíåé ôç ìåãáëýôåñç áêñßâåéá áðü êüèå Üëëç, ðïõ ñçóéìïðïéåß ôïí ßäéï áñéèìü óçìåßùí, ii) äåí åßíáé äõíáôüí íá ñçóéìïðïéçèåß ãéá ôéò ðåñéðôþóåéò åêåßíåò ðïõ ç óõíüñôçóç äßíåôáé ìå ôéò ôéìýò ôçò óå ïñéóìýíá óçìåßá x i, ôá ïðïßá äå óõìðßðôïõí ìå ôéò ñßæåò ôùí ðïëõùíýìùí Legendre, åßíáé üìùò ç êáëýôåñç ãéá ôéò ðåñéðôþóåéò ðïõ ç óõíüñôçóç f(x) äßíåôáé ìå ôïí áíáëõôéêü ôçò ôýðï. ÐáñÜäåéãìá Ìå ôïí ôýðï ôùí Guss-Legendre ãéá 4 óçìåßá íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá e x dx :

11 8 Êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ôïõ Guss Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ðßíáêáò : ñéæþí ðïëõùíýìùí ôùí P n ; n = 1; ; : : : ; 6 êáé ôùí áíôßóôïé ùí âáñþí P n x i w i P 1 x 1 = w 1 = : P x 1 = x = : w 1 = w = 1: P 3 x 1 = x 3 = : w 1 = w 3 = : x = w = : P 4 x 1 = x 4 = : w 1 = w 4 = : x = x 3 = : w = w 3 = : P 5 x 1 = x 5 = : w 1 = w 5 = : x = x 4 = : w = w 4 = : x 3 = w = : P 6 x 1 = x 6 = : w 1 = w 6 = : x = x 5 = : w = w 5 = : x 3 = x 4 = : w 3 = w 4 = :

12 Êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ôùí Guss-Legendre 9 Ðßíáêáò : ÐáñÜäåéãìá x i w i w i e x i x 1 = :86114 w 1 = :34785 w 1 e x 1 = :34785 e ( :86114) = :1657 x = :33998 w = :6514 w e x = :6514 e ( :33998) = :589 x 3 = :33998 w 3 = :6514 w 3 e x 3 = :6514 e (:33998) = :589 x 4 = :86114 w 4 = :34785 w 1 e x 1 = :34785 e (:86114) = :1657 Ëýóç. Åßíáé (Ó ) e x dx w 1 e x 1 + w e x + w3 e x 3 + w4 e x 4; üôáí ïé ñßæåò x i êáé ôá âüñç w i ; i = 1; ; 3; 4 äßíïíôáé áðü ôïí Ðßíáêá Ôüôå áðü ôá áðïôåëýóìáôá ôïõ Ðßíáêá óýìöùíá êáé ìå ôïí ôýðï (8:1: 5), üôáí óôçí ðåñßðôùóç áõôþ åßíáé g (x i ) = f (x i ), ðñïêýðôåé üôé e x dx (áêñéâþò ôéìþ I = Erf(1) 1:49365): Óçìåßùóç ¼ôáí ôï äéüóôçìá ïëïêëþñùóçò äåí åßíáé ôï [; 1], ôüôå ç ðáñáðüíù ëýóç áðáéôåß áñ éêü ôçí åöáñìïãþ ôïõ ìåôáó çìáôéóìïý (8:1: 3), üðùò áõôü ãßíåôáé óôï ðáñáêüôù ðáñüäåéãìá. ÐáñÜäåéãìá ¼ìïéá ìå ôïí ôýðï ôùí Guss-Legendre ãéá 4 óçìåßá ôï ïëïêëþñùìá (Ó ) I = e x dx:

13 1 Êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ôïõ Guss Êáè. Á. ÌðñÜôóïò fx x () fx x 1.5 x x 3.5 x 4 1. x..4 (b) Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá () Ç ìðëå êáìðýëç åßíáé ôï äéüãñáììá ôçò óõíüñôçóçò e x, åíþ ôï åìâáäüí ôïõ ó Þìáôïò éóïýôáé ìå 1 e x dx. ôçí ôéìþ ôïõ ïëïêëçñþìáôïò (b) Ç êüêêéíç êáìðýëç åßíáé ôï äéüãñáììá ôïõ ðïëõùíýìïõ P 4 (x) = 1 8 ( 3 3x + 35x 4) ôïõ Legendre, åíþ ôá óçìåßá x 1 ; x ; x 3 ; x 4 åßíáé ïé ñßæåò ôïõ Ëýóç. Áñ éêü ìå ôïí ôýðï (8:1: 3) ãßíåôáé ìåôáó çìáôéóìüò ôïõ äéáóôþìáôïò ïëïêëþñùóçò óôï äéüóôçìá [; 1] èýôïíôáò x = (1 )t = :5t + :5; ïðüôå dx = d(:5t + :5) = (:5t + :5) dt = :5 dt: ñá I = e x dx = e (:5 t+:5) :5 dt = :5 e (:5 x+:5) dx = g(x) dx; üôáí ôåèåß ãéá åõêïëßá x áíôß ôïõ t êáé g(x) = :5 e (:5 x+:5). Ôüôå áðü ôá áðïôåëýóìáôá ôïõ Ðßíáêá , üôáí w 1 g (x 1 ) = :34785 w g (x ) = :6514 w 3 g (x 3 ) = :6514 w 4 g (x 4 ) = :34785 [ :5 e [:5 ( :86114)+:5]] = : [ :5 e [:5 ( :33998)+:5]] = :9 44 [ :5 e [:5 (:33998)+:5]] = :8 143 [ :5 e [:5 (:86114)+:5]] = : ;

14 Êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ôùí Guss-Legendre 11 Ðßíáêáò : ÐáñÜäåéãìá x i w i w i g (x i ) x 1 = :86114 w 1 = :34785 w 1 g (x 1 ) = : x = :33998 w = :6514 w g (x ) = :9 44 x 3 = :33998 w 3 = :6514 w 3 g (x 3 ) = :8 143 x 4 = :86114 w 4 = :34785 w 1 g (x 4 ) = : óýìöùíá êáé ìå ôïí ôýðï (8:1: 5) ðñïêýðôåé üôé e x dx = :5 e (:5 x+:5) dx = g(x) dx w 1 g (x 1 ) + w g (x ) + w 3 g (x 3 ) + w 4 g (x 4 ) = : Ç èåùñçôéêþ ôéìþ åßíáé : êáé ôï áðüëõôï óöüëìá e = 7: ÐáñÜäåéãìá óôù ôï ïëïêëþñùìá (Ó ) I = :6 x dx 1 + x 4 : Íá ëõèåß ìå ôïí êáíüíá ôùí Guss-Seidel ãéá 3, áíôßóôïé á 6 óçìåßá êáé íá ãßíåé óýãêñéóç ôùí áðïôåëåóìüôùí ìå ôç èåùñçôéêþ ôéìþ I = 1 rcsinh ( x ) :6 : êáé ôçí áíôßóôïé ç ëýóç ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôïõò óýíèåôïõò êáíüíåò ôïõ ôñáðåæßïõ, Simpson êáé Simpson 3=8, üôáí h = :1.

15 1 Êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ôïõ Guss Êáè. Á. ÌðñÜôóïò fx fx x () x Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá () Ç ìðëå êáìðýëç åßíáé ôï äéüãñáììá ôçò óõíüñôçóçò e x, åíþ ôï åìâáäüí ôïõ ó Þìáôïò éóïýôáé ìå ôçí ôéìþ ôïõ ïëïêëçñþìáôïò 1 e x dx. (b) Ç êüêêéíç êáìðýëç åßíáé ôï äéüãñáììá ôçò óõíüñôçóçò :5 e (:5 x+:5), åíþ ôï åìâáäüí ôïõ ó Þìáôïò éóïýôáé ìå ôçí ôéìþ ôïõ ïëïêëçñþìáôïò 1 :5 e (:5 x+:5) dx Ëýóç. Êáíüíáò ôùí Guss-Seidel ãéá 3 óçìåßá (Ó ): áñ éêü ìå ôïí ôýðï (8:1: 3) ãßíåôáé ìåôáó çìáôéóìüò ôïõ äéáóôþìáôïò ïëïêëþñùóçò óôï äéüóôçìá [; 1] èýôïíôáò ñá x = (:6 )t + :6 + = :3t + :3; ïðüôå dx = d(:3t + :3) = (:3t + :3) dt = :3 dt: (b) I = = :6 1 x dx = 1 + x 4 :3t + :3 :3 dt (:3t + :3) :9 (x + 1) 1 1 dx = + (:3x + :3) 4 g(x) dx; üôáí üìïéá Ý åé ôåèåß ãéá åõêïëßá x áíôß ôïõ t êáé g(x) = :9(x+1) 1+(:3x+:3) 4. Ôüôå áðü ôá áðïôåëýóìáôá ôïõ Ðßíáêá , üôáí w 1 g (x 1 ) = : :9 ( : ) = : [:3( : ) + :3] 4

16 Êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ôùí Guss-Legendre 13 fx x Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá Ç ìðëå êáìðýëç åßíáé ôï äéüãñáììá x ôçò óõíüñôçóçò 1+x, åíþ ôï åìâáäüí ôïõ ó Þìáôïò éóïýôáé ìå ôçí ôéìþ 4 ôïõ ïëïêëçñþìáôïò :6 x dx : x 4 Ðßíáêáò : ÐáñÜäåéãìá : êáíüíáò ôùí Guss-Seidel ãéá 3 óçìåßá x i w i w i g (x i ) x 1 = : w 1 = : w 1 g (x 1 ) = :11 75 x = w = : w g (x ) = : x 3 = : w 3 = : w 3 g (x 3 ) = :

17 14 Êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ôïõ Guss Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ðßíáêáò : ÐáñÜäåéãìá : êáíüíáò ôùí Guss-Seidel ãéá 6 óçìåßá x i w i w i g (x i ) x 1 = : w 1 = : w 1 g (x 1 ) = : x = : w = : w g (x ) = : x 3 = : w 3 = : w 3 g (x 3 ) = : x 4 = : w 4 = : w 4 g (x 4 ) = : x 5 = : w 5 = : w 5 g (x 5 ) = : x 6 = : w 6 = : w 6 g (x 6 ) = : [ ] :9 ( + 1) w g (x ) = : = : (:3 + :3]) 4 [ ] :9 (: ) w 3 g (x 3 ) = : = : ; 1 + (:3 : :3]) 4 óýìöùíá êáé ìå ôïí ôýðï (8:1: 5) ðñïêýðôåé üôé :6 x dx 1 + x 4 = :9 (x + 1) 1 dx = + (:3x + :3) 4 g(x) dx w 1 g (x 1 ) + w g (x ) + w 3 g (x 3 ) = ; äçëáäþ õðüñ åé áðüëõôï óöüëìá e = 7: Êáíüíáò ôùí Guss-Seidel ãéá 6 óçìåßá (Ó b): üìïéá áðü ôá áðïôåëýóìáôá ôïõ Ðßíáêá , óýìöùíá êáé ìå ôïí ôýðï (8:1: 5), Ý ïõìå

18 Êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ôùí Guss-Legendre 15 :6 x dx 1 + x 4 = :9 (x + 1) 1 dx = + (:3x + :3) 4 g(x) dx w 1 g (x 1 ) + w g (x ) + w 3 g (x 3 ) + w 4 g (x 4 ) +w 5 g (x 5 ) + w 6 g (x 6 ) = êáé óõãêñßíïíôáò ìå ôç èåùñçôéêþ ôéìþ ðñïêýðôåé áðüëõôï óöüëìáe = 3: gx x x 1 x x () gx x x 1 x x 3 x 4 x 5 x 6..4 (b) Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá : Ç ìðëå êáìðýëç åßíáé ôï :9(x+1) äéüãñáììá ôçò óõíüñôçóçò g(x) =. Ç êüêêéíç êáìðýëç 4 1+(:3x+:3) åßíáé ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôïõ ðïëõùíýìïõ: () P 3 (x) = 1 ( 3x + 5x 3 ) ôïõ Legendre, åíþ ôá óçìåßá x 1 ; x ; x 3 åßíáé ïé ñßæåò ôïõ êáé (b) P 6 (x) = ( x 315x x 6) ôïõ Legendre, åíþ ôá óçìåßá x 1 ; : : : ; x åßíáé ïé ñßæåò ôïõ Óýíèåôïé êáíüíåò Óýìöùíá ìå ôéò ôéìýò ôïõ Ðßíáêá ðñïêýðôïõí ôá åîþò: Ôñáðåæßïõ I h {f (x ) + [f (x 1 ) + : : : + f (x 5 )] + f (x 6 )} = : ìå áðüëõôï óöüëìá: e = : Simpson I h 3 {f (x ) + 4 [f (x 1 ) + f (x 3 ) + f (x 5 )] + [f (x ) + f (x 4 )] + f (x 6 )} = :176 3

19 16 Êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ôïõ Guss Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ðßíáêáò : ÐáñÜäåéãìá Óýíèåôïé êáíüíåò: ïé ôéìýò ôùí óçìåßùí x i êáé ôùí ôéìþí f (x i ) = x i 1+x 4 x i f (x i ) x i f (x i ) x = : x 4 = :4 : x 1 = :1 : x 5 = :5 : x = : : x 6 = :6 : x 3 = :3 :98 79 i ìå áðüëõôï óöüëìá: e = : =8 ôïõ Simpson I 3h 8 {f (x ) + 3 [f (x 1 ) + f (x 4 )] + 3 [f (x ) + f (x 5 )] + f (x 3 ) + f (x 6 )} = : ìå áðüëõôï óöüëìá: e = 6: Óõãêñßíïíôáò ôï åëü éóôï ôùí óöáëìüôùí ôùí ðáñáðüíù óýíèåôùí êáíüíùí ìå ôï áíôßóôïé ï óöüëìá e = 3: ôïõ êáíüíá ôùí Guss- Legendre ãéá 6 óçìåßá Ý ïõìå ìéá ðñïöáíþ ðåéñáìáôéêþ åðáëþèåõóç ôçò ÐáñáôÞñçóçò (i). óêçóç óôù ôï ïëïêëþñùìá I = :6 x 3 dx 1 + x : i) Íá ëõèåß ìå ôïí êáíüíá ôùí Guss-Seidel ãéá 6 óçìåßá êáé íá ãßíåé óýãêñéóç ôùí áðïôåëåóìüôùí ìå ôç èåùñçôéêþ ôéìþ I = 1 3 ( x :6 ) 1 + x :

20 Êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ôùí Guss-Legendre 17 êáé ôçí áíôßóôïé ç ëýóç ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôïõò óýíèåôïõò êáíüíåò ôïõ ôñáðåæßïõ, Simpson êáé 3=8 ôïõ Simpson, üôáí h = :1. ii) (ðñïáéñåôéêü) Ôï ïëïêëþñùìá íá ãñáöåß ùò åîþò: I = :6 x 3 :1 dx = x 3 :6 dx x 1 + x : : : + x 3 dx 1 + x :5 = I 1 + : : : + I 6 : Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá I åöáñìüæïíôáò óå êüèå Ýíá áðü ôá ðáñáðüíù ïëïêëçñþìáôá I i ; i = 1; : : : ; 6 ôïí êáíüíá ôùí Guss-Seidel ãéá 6 óçìåßá êáé íá ãßíåé óýãêñéóç ôïõ áðïôåëýóìáôïò ìå ôïí áíôßóôïé ï ôçò ðåñßðôùóçò (i). Óôç óõíý åéá íá ãñáöåß ôï ðñüãñáììá ëýóçò ôçò (ii) ìå ôï MATLAB. 4 4 Áðáãïñåýåôáé ç áíáäçìïóßåõóç Þ áíáðáñáãùãþ ôïõ ðáñüíôïò óôï óýíïëü ôïõ Þ ôìçìüôùí ôïõ ùñßò ôç ãñáðôþ Üäåéá ôïõ Êáè. Á. ÌðñÜôóïõ. E-mil: brtsos@teith.gr URL:

21

22 Âéâëéïãñáößá [1] Aêñßâçò, Ã., ÄïõãáëÞò, Â. (1995), ÅéóáãùãÞ óôçí ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç, ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò, ÁèÞíá, ISBN 978{96{54{{6. [] ÌðñÜôóïò, Á. (11), ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç, ÁèÞíá, ISBN 978{96{351{874{7. [3] ÌðñÜôóïò, Á. (), Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç, ÁèÞíá, ISBN 96{351{453{5/978{96{351{453{4. [4] ÓôåöáíÜêïò,., Ðñïãñáììáôéóìüò Ç/Õ ìå MATLAB, Ãêïýñäáò ÅêäïôéêÞ, ISBN 978{96{387{856{8. [5] Brtsos, A. G., The solution of the two-dimensionl sine-gordon eqution using the method of lines, J. Comput. Appl. Mth., vol. 6 No. 1 (6), pp. 51{77. [6] Burden, Richrd L. nd Fires, J. Dougls (), Numericl Anlysis (7th ed.), Brooks/Cole, ISBN 978{{534{3816{. [7] Conte, S. D., Crl de Boor (1981), Elementry Numericl Anlysis: An Algorithmic Approch (3rd ed.), McGrw-Hill Book Compny, ISBN 978{{7{1447{9. [8] Don, E., Schum's Outlines { Mthemtic (6), Åêäüóåéò ÊëåéäÜñéèìïò, ISBN 978{96{461{{6. [9] Kendell A. Atkinson (1989), An Introduction to Numericl Anlysis (nd ed.), John Wiley & Sons, ISBN {471{53{. 19

23 Êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ôïõ Guss Êáè. Á. ÌðñÜôóïò [1] Leder, Jeery J. (4), Numericl Anlysis nd Scientic Computtion, Addison Wesley, ISBN 978{{1{73499{7. [11] Schtzmn, M. (), Numericl Anlysis: A Mthemticl Introduction, Clrendon Press, Oxford, ISBN 978{{19{8579{1. [1] Stoer, Josef; Bulirsch, Rolnd (), Introduction to Numericl Anlysis (3rd ed.), Springer, ISBN 978{{387{9545{3. [13] Sli, E. nd Myers, D. (3), An Introduction to Numericl Anlysis, Cmbridge University Press, ISBN 978{{51{794{8. ÌáèçìáôéêÝò âüóåéò äåäïìýíùí Pge

24 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

25 Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, 14. Αθανάσιος Μπράτσος. «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά. Ενότητα 8: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος ΙΙ». Έκδοση: 1.. Αθήνα 14. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teith.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Cretive Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4. [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.