ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ

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1 ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò ôçò, ii) üôáí äåí åßíáé ãíùóôüò ï ôýðïò ôçò óõíüñôçóçò, áëëü ìüíïí ïé ôéìýò ôçò óå ïñéóìýíá óçìåßá, êáé iii) óôçí ðñïóåããéóôéêþ ëýóç ôùí äéáöïñéêþí åîéóþóåùí. áõôþ èá åîåôáóôåß óôá ìáèþìáôá ðïõ áêïëïõèïýí. Ç ðåñßðôùóç 6.1 ÓõíáñôÞóåéò ìéáò ìåôáâëçôþò Õðïëïãéóìüò ìå ðïëõþíõìï ðáñåìâïëþò óôù fx) ìßá óõíå Þò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï [a; b] êáé ðáñáãùãßóéìç ãéá êüèå x a; b). Ôüôå, áí x 0, x 1, : : :, x n åßíáé n + 1 äéáöïñåôéêü óçìåßá ôïõ [a; b], üðùò åßíáé Þäç ãíùóôü éó ýåé ï ðáñáêüôù ôýðïò ðáñåìâïëþò ôïõ Newton fx) P n x) = f [x 0 ] + f [x 0 ; x 1 ] x x 0 ) + : : : ) +f [x 0 ; x 1 ; : : : ; x n ] x x 0 ) x x n 1 ) : 1

2 2 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Äéáêñßíïíôáé ôþñá ïé ðáñáêüôù åéäéêýò ðåñéðôþóåéò ãéá ôïí áñéèìü ôùí óçìåßùí ðáñåìâïëþò. Óçìåßá ðáñåìâïëþò : x 0, x 1 óôù a = x 0 êáé b = x 1 : ôüôå áðü ôïí ôýðï 6:1:1 1) ðñïêýðôåé fx) P 1 x) = f x 0 ) + f [x 0 ; x 1 ] x x 0 ) ; ïðüôå f ) P 1 ) = f [x 0 ; x 1 ] ) ìéá Ýêöñáóç ðïõ åßíáé áíåîüñôçôç áðü ôï óçìåßï î. Áí: i) î = x 0 êáé h = x 1 x 0, áðü ôïí ôýðï 6:1:1 2) ðñïêýðôåé f fî + h) fî) î) f[î; î + h] = ; ) h ðïõ åßíáé ãíùóôüò ùò ï ðñïò ôá åìðñüò ôýðïò forward-dierence formula) ðñïóýããéóçò ôçò 1çò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò. ii) î = x 1, ôüôå f fî) fî h) î) f[î h; î ] = h ) ãíùóôüò ùò ï áíüäñïìïò ôýðïò backward-dierence formula) ðñïóýããéóçò ôçò 1çò ðáñáãþãïõ. iii) î = x 0 + x 1 ) =2, ïðüôå ôá óçìåßá x 0 êáé x 1 âñßóêïíôáé óõììåôñéêü åêáôýñùèåí ôïõ óçìåßïõ î, ìå x 0 = î h, x 1 = î + h êáé h = x 1 x 0 ) =2. Ôüôå f î) f[î h; î + h] = fî + h) fî h) 2h ) ãíùóôüò ùò ï ìå êåíôñéêýò äéáöïñýò ôýðïò central-dierence formula) ðñïóýããéóçò ôçò ðñþôçò ðáñáãþãïõ.

3 Õðïëïãéóìüò ìå ðïëõþíõìï ðáñåìâïëþò 3 Áðü ôïõò ôýðïõò 6:1:1 3) - 6:1:1 5) ðñïêýðôåé üôé, üôáí ôá óçìåßá x 0 êáé x 1 åßíáé áñêåôü êïíôü, ôüôå ç f [x 0 ; x 1 ] äßíåé ìßá ðïëý êáëýôåñç ðñïóýããéóç ôçò ðáñáãþãïõ f î) óôï ìýóïí î = x 0 + x 1 ) =2 ðáñü óôá Üêñá óçìåßá x 0 êáé x 1, Ýíá óõìðýñáóìá ðïõ Üëëùóôå óõìöùíåß êáé ìå ôï Èåþñçìá ôçò ÌÝóçò ÔéìÞò. Óçìåßá ðáñåìâïëþò : x 0, x 1 x 2 óôù a = x 0 êáé b = x 2. Ôüôå P 2 x) = f x 0 ) + f [x 0 ; x 1 ] x x 0 ) +f [x 0 ; x 1 ; x 2 ] x x 0 ) x x 1 ) ; ) ïðüôå f ) P 2) = f [x 0 ; x 1 ] + f [x 0 ; x 1 ; x 2 ] 2 x 0 x 1 ) : ) 1 Äéáêñßíïíôáé ôþñá ïé ðáñáêüôù ðåñéðôþóåéò ãéá ôï î. Áí i) î = x 0, x 1 = î + h êáé x 2 = î + 2h, ôüôå áðü ôçí 6:1:1 7) ðñïêýðôåé f î) 3fî) + 4fî + h) fî + 2h) : ) 2h ii) î = x 1, x 0 = î h êáé x 2 = î + h, ôüôå ÔåëéêÜ, áí f î) fî h) + fî + h) : ) 2h iii) î = x 2, x 0 = î 2h êáé x 1 = î h, ôüôå f î) fî 2h) 4fî h) + 3fî) 2h ) üðïõ ðñïöáíþò üôé ï ôýðïò 6:1:1 10) ðñïêýðôåé áðü ôïí 6:1:1 8) èýôïíôáò üðïõ h ôï h. ÅðïìÝíùò ôåëéêü ïé äéáöïñåôéêïß ôýðïé õðïëïãéóìïý ôçò 1çò ðáñáãþãïõ óôçí ðåñßðôùóç áõôþ åßíáé ïé 6:1:1 8) êáé 6:1:1 9), ðïõ åßíáé ãíùóôïß êáé óáí ïé ôýðïé ôùí 3 óçìåßùí. 1 Ïé ôýðïé 6:1:1 8) - 6:1:1 10) íá ðáñáëåéöèïýí óå ðñþôç áíüãíùóç.

4 4 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ðáñáãùãßæïíôáò ôþñá ôçí 6:1:1 6), Ý ïõìå f ) P 2 ) = 2f [x 0 ; x 1 ; x 2 ] : ) Áí î = x 1, x 0 = î h êáé x 2 = î + h, ôüôå áðü ôçí 6:1:1 11) ðñïêýðôåé f fî h) 2fî) + fî + h) î) h ) ðïõ åßíáé ãíùóôüò ùò ï ìå êåíôñéêýò äéáöïñýò ôýðïò central-dierence formula) ðñïóýããéóçò ôçò 2çò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò. Ðñïóåããßóåéò ðáñáãþãùí áíþôåñçò ôüîçò ðñïêýðôïõí áíüëïãá èåùñþíôáò ìåãáëýôåñïõ âáèìïý ðïëõþíõìá ðáñåìâïëþò Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor Åßíáé Þäç ãíùóôü üôé, áí f a; b) åßíáé ìéá óõíüñôçóç ðáñáãùãßóéìç ìý ñé êáé - ôüîç óôï a; b), ôüôå, áí a; b), éó ýåé ï ðáñáêüôù ôýðïò ôïõ Taylor 2 fx) f) + f ) 1! x ) + f ) x ) 2 2! + : : : + f ) ) x ) ; )! üôáí ïé áñéèìïß f), f ), : : :, f ) ) åßíáé ïé óõíôåëåóôýò ôïõ ðïëõùíýìïõ óôï. óôù ôþñá üôé óôïí ôýðï 6:1:2 1) ôá x êáé î áíôéêáèßóôáíôáé áðü ôá x + h êáé x áíôßóôïé á ìå h > 0. Ôüôå fx + h) fx) + h 1! f x) + h2 2! f x) + h3 3! f x) + : : : + h! f ) x): ) 2 ¼ôáí = 0, ï ôýðïò 6:1:2 1) ãñüöåôáé óôçí ðáñáêüôù ìïñöþ fx) f0) + f 0) 1! x + f 0) 2! x 2 + : : : + f ) 0)! ðïõ åßíáé ãíùóôüò óáí ôýðïò ôïõ Maclaurin, åíþ ïé áñéèìïß f0), f 0), : : :, f ) 0) åßíáé ïé áíôßóôïé ïé óõíôåëåóôýò ôïõ ðïëõùíýìïõ. x

5 Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor 5 Ï ôýðïò 6:1:2 2), üôáí ôï h áíôéêáôáóôáèåß ìå ôï h, ãñüöåôáé fx h) fx) h 1! f x) + h2 2! f x) h3 3! f x) Ðñïóåããßóåéò 1çò ðáñáãþãïõ + : : : + 1) h óôù ï ôýðïò 6:1:2 2) óôç ìïñöþ ÐáñáôÞñçóç ! f ) x): ) fx + h) = fx) + h 1! f x) + O h 2) : ) Óôçí 6:1:2 4) ï üñïò O h 2) èá óõìâïëßæåé óôï åîþò êüèå ðáñüóôáóç ìå üñïõò h âáèìïý ìåãáëýôåñïõ Þ ßóïõ ôïõ h 2. ÅðåéäÞ ôüôå ï óõìâïëéóìüò óõìðåñéëáìâüíåé êáé ôçí ðåñßðôùóç ôïõ áèñïßóìáôïò ôùí Üðåéñùí üñùí äçëáäþ ôçò óåéñüò, ç 6:1:2 4) êáé êüèå áíüëïãç áõôþò Ýêöñáóç èá ãñüöåôáé ìå ßóïí, äéáöïñåôéêü èá ñçóéìïðïéåßôáé ôï óýìâïëï ôïõ êáôü ðñïóýããéóç ßóïí ). Ëýíïíôáò ôçí 6:1:2 4) ùò ðñïò f x) Ý ïõìå f fx + h) fx) x) = + O h) ; ) h ðïõ óõìðßðôåé ìå ôçí 6:1:1 3), üôáí x =. Óôçí 6:1:2 5) ï üñïò O h) äçëþíåé üôé ç ðñïóýããéóç åßíáé 1ïõ âáèìïý, äçëáäþ éóïýôáé ìå ôï âáèìü ôïõ üñïõ h. ¼ìïéá áðü ôïí ôýðï 6:1:2 3) ðñïêýðôåé üôé ïðüôå ëýíïíôáò ùò ðñïò f x) Ý ïõìå fx h) = fx) h 1! f x) + O h 2) ; f fx) fx h) x) = + O h) ; ) h äçëáäþ ç 6:1:1 4) ìå x = êáé ðñïóýããéóç åðßóçò 1ïõ âáèìïý. Áí ç 6:1:2 2) ãñáöåß ùò åîþò: fx + h) = fx) + h 1! f x) + h2 2! f x) + h3 3! f x) + O h 4) )

6 6 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò êáé 6:1:2 3) ùò: fx h) = fx) h 1! f x) + h2 2! f x) h3 3! f x) + O h 4) ; ) ôüôå áöáéñþíôáò êáôü ìýëç ôéò 6:1:2 7) êáé 6:1:2 8) ðñïêýðôåé üôé fx + h) fx h) = 2h f x) + O h 3) ; ïðüôå f fx + h) fx h) x) = 2h äçëáäþ ç 6:1:1 5) ìå x = êáé ðñïóýããéóç 2ïõ âáèìïý. + O h 2) ; ) ÐñïóÝããéóç 2çò ðáñáãþãïõ ÐñïóèÝôïíôáò êáôü ìýëç ôéò 6:1:2 7) êáé 6:1:2 8) ðñïêýðôåé fx + h) + fx h) = 2fx) + h 2 f x) + O h 4) ; ïðüôå äéáéñþíôáò êáôü ìýëç ìå h 2 ôåëéêü Ý ïõìå f x) = fx + h) 2 fx) + fx h) h 2 + O h 2) ; ) äçëáäþ ç 6:1:1 12) ìå x = êáé ðñïóýããéóç 2ïõ âáèìïý. ÓõíäõÜæïíôáò êáôüëëçëá ôéò 6:1:2 2) êáé 6:1:2 3) ðñïêýðôïõí ðñïóåããßóåéò ãéá êüèå ðáñüãùãï ôçò f. ÐáñÜäåéãìá óôù ç óõíüñôçóç fx) = e x2 êáé = 1: Ôüôå ïé ôýðïé 6:1:1 3) êáé 6:1:1 12), üôáí h = 0:1; 0:01 êáé 0:001; äßíïõí ôá áðïôåëýóìáôá ôïõ Ðßíáêá f 1) 0: êáé f 1) 0: Ïé èåùñçôéêýò ôéìýò åßíáé

7 Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor 7 Ðßíáêáò : ÐáñÜäåéãìá : ðñïóýããéóç 1çò êáé 2çò ðáñáãþãïõ h f 1) áðüëõôï óöüëìá f 1) áðüëõôï óöüëìá E Å E Å E-06 ÁóêÞóåéò 1. Íá õðïëïãéóôåß ìå áêñßâåéá 6 äåêáäéêþí øçößùí ç 1çò êáé ç 2çò ôüîçò ðáñüãùãïò ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí i) ln e 2x 2 ) iii) x ln x) x ii) x ln x iv) e x=3 + x 2. óôï óçìåßï = 1:5, üôáí h = 0:1, 0:01 êáé 0: ¼ìïéá ôùí óõíáñôþóåùí i) x cos x x 2 sin x ii) tan x óôï óçìåßï î = ð=4. 3. Ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor íá õðïëïãéóôïýí ðñïóåããßóåéò ôùí ðáñáãþãùí f 3) ) êáé f 4) ). 6.2 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor óôù u = ux; t) ìéá óõíüñôçóç äýï ìåôáâëçôþí üðïõ ôï x óõìâïëßæåé óõíþèùò ôç ìåôáâëçôþ ôïõ äéáóôþìáôïò êáé ôï t ôïõ ñüíïõ. Ôüôå ï ôýðïò 6:1:2 1) ãñüöåôáé ux + h; t) ux; t) + h 1! + : : : + h2 2 u ;

8 8 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò üôáí h > 0 ç áýîçóç ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôßóôïé á ux; t + `) ux; t) + `2 2 u 2 + : : : + u ; üôáí ` > 0 ç áýîçóç ôçò t. ÈÝôïíôáò üðïõ h ôï h, áíôßóôïé á üðïõ ` ôï `, ðñïêýðôïõí áíüëïãïé ôýðïé ôçò 6:1:2 3). ¼ìïéá ôüôå ìå ôçí ÐáñÜãñáöï áðïäåéêíýåôáé üôé éó ýïõí ãéá ôçí 1ç ìåñéêþ ðáñüãùãï ùò ðñïò x = ux + h; t) ux; t) h + Oh) ) = = ux; t) ux h; t) + Oh) ) h ux + h; t) ux h; t) 2h + O h 2) ) ìå áíüëïãåò åêöñüóåéò ãéá åíþ ãéá ôç 2ç ìåñéêþ ðáñüãùãï ùò ðñïò x ç ðñïóýããéóç áíôßóôïé 2 u ux + h; t) 2ux; t) + ux h; t) h 2 u ux; t + `) 2ux; t) + ux; t `) `2 + O h 2) ; ) + O `2) : ) ÓõíäõÜæïíôáò êáôüëëçëá ôçí 6:2:1 1), áíôßóôïé á 6:2:1 2) åßíáé äõíáôüí íá ðñïêýøïõí êáé Üëëåò ðñïóåããßóåéò 3 ãéá ôéò ìåñéêýò ðáñáãþãïõò ôçò u. Äßíåôáé óôç óõíý åéá ìéá óçìáíôéêþ åöáñìïãþ ôïõ ôýðïõ 6:2:1 5) óôçí ðñïóåããéóôéêþ ëýóç ôùí äéáöïñéêþí åîéóþóåùí. 3 Åêôüò áðü ôéò ìéêôýò ðáñáãþãïõò ðïõ õðïëïãßæïíôáé óôçí ÐáñÜãñáöï

9 Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor 9 x 0 x 1 x 2 x N 1 x N... Ó Þìá : äéáìýñéóç ôïõ [a; b]. Ôá x 0 êáé x N åßíáé ôá óõíïñéáêü, åíþ ôá x 1 ; : : : ; x N 1 ôá åóùôåñéêü óçìåßá x 1 x 0 x 1 x N 1 x N x N 1 o... Ó Þìá : äéáìýñéóç ôïõ [a; b]. Ôá óçìåßá x 1 êáé x N+1 åßíáé åêôüò ôïõ äéáóôþìáôïò [a; b] o ÓõíïñéáêÝò óõíèþêåò Óôïí ðñïóåããéóôéêü õðïëïãéóìü ôçò ëýóçò ìéáò äéáöïñéêþò åîßóùóçò ç ðáñüãùãïò ùò ðñïò ôç ìåôáâëçôþ x áíüëïãá ìå ôçí ôüîç ôçò áíôéêáèßóôáôáé ìå ôéò ðñïóåããßóåéò 6:2:1 3) - 6:2:1 6) ê.ëð. Áõôü óçìáßíåé ôüôå üôé ôï äéüóôçìá [a; b] ðñýðåé íá õðïäéáéñåèåß óå åðß ìýñïõò éóïáðý ïíôá õðïäéáóôþìáôá áðü ôá óçìåßá Ó ) a = x 0 < x 1 < x 2 < : : : < x N 1 < x N = b ) êáé óôç óõíý åéá óå êüèå Ýíá áðü áõôü íá åöáñìïóôåß ï áíüëïãïò ðñïóåããéóôéêüò ôýðïò. Ôï ðñüâëçìá ôüôå ìå ôéò ôéìýò ôçò óõíüñôçóçò äçìéïõñãåßôáé, üôáí ç áíôéêáôüóôáóç ôùí ðáñáãþãùí ãßíåôáé óôá Üêñá óçìåßá x 0 êáé x N Þ óå ãåéôïíéêü ôùí. Ãéá ðáñüäåéãìá, Ýóôù üôé áðáéôåßôáé ç ðñïóýããéóç ôçò u xx óôï óçìåßï x 0. Ôüôå óýìöùíá ìå ôïí ôýðï 6:2:1 6) Ý ïõìå u xx x=x0 = u x 0 h; t) 2u x 0 ; t) + u x 0 + h; t) h 2 üðïõ üìùò ôï óçìåßï x 0 h åßíáé åêôüò ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý [a; b] Ó ). ÁíÜëïãï ðñüâëçìá õðüñ åé êáé óôï óçìåßï x N. Ãéá ôçí áíôéìåôþðéóç áõôþí ôùí ðñïâëçìüôùí ðñýðåé íá åßíáé ãíùóôþ ç óõìðåñéöïñü ôçò óõíüñôçóçò u óôá óõíïñéáêü óçìåßá x 0 êáé x N. Áõôü ãßíåôáé ìå ôéò ëåãüìåíåò óõíïñéáêýò óõíèþêåò boundary conditions) ôïõ ðñïâëþìáôïò ðïõ áíáöýñåôáé ç äéáöïñéêþ åîßóùóç.

10 10 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ïé êõñéüôåñåò áðü áõôýò åßíáé: Neumann óõíïñéáêýò óõíèþêåò u x x=x0 = 0 êáé u x x=xn = 0: Ôüôå áðü ôçí 6:2:1 5) ðñïêýðôïõí ôá åîþò Ó ): u x x=x0 = u x 0 + h; t) u x 0 h; t) 2h u x 0 h; t) = u x 0 + h; t) ; êáé = 0; ïðüôå ) u x x=xí = u x Í + h; t) u x Í h; t) 2h = 0; ïðüôå u x N + h; t) = u x N h; t) : Dirichlet óõíïñéáêýò óõíèþêåò u x 0 ) = v 0 êáé u x N ) = v 1 ; üôáí v 0 êáé v 1 ãíùóôýò ôéìýò. Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ, åöüóïí äåí åßíáé ãíùóôýò Üëëåò óõíèþêåò, ç ðñïóýããéóç ôùí äéáöïñéêþí åîéóþóåùí ãßíåôáé ìüíï óôá åóùôåñéêü óçìåßá Ó ). ÐáñÜäåéãìá Ç åîßóùóç äéüäïóçò èåñìüôçôáò óå ìßá äéüóôáóç = ux; 2 üðïõ a < x < b; t > 0; ) üôáí a èåôéêþ óôáèåñü êáé ux; t) ìéá åðáñêþò äéáöïñßóéìç óõíüñôçóç üðïõ ç t óõìâïëßæåé ôç ìåôáâëçôþ ôïõ ñüíïõ êáé ç x ôïõ äéáóôþìáôïò. Óôç öõóéêþ ç óõíüñôçóç u ïñßæåé ôç ìåôáâïëþ ôçò èåñìïêñáóßáò, åíþ ç óôáèåñü a ôï óõíôåëåóôþ èåñìéêþò äéü õóçò. Ç åîßóùóç èåñìüôçôáò åßíáé èåìåëéþäïõò óçìáóßáò óå äéáöüñïõò ôïìåßò ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí üðùò: óôá ìáèçìáôéêü ùò ôï ðñüôõðï ôçò ëýóçò

11 Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor 11 0 U 1 n n U 2 n U N Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá : ïé ðñïóåããéóôéêýò ôéìýò U n m; m = 0; : : : ; N ôçò óõíüñôçóçò ux; t) óôá óçìåßá 6:2:1 12), üôáí ëçöèïýí õð' üøéí ïé óõíïñéáêýò óõíèþêåò 6:2:1 11), äçëáäþ U n 0 = 0 êáé U n N = 0 ðáñáâïëéêþí PDE's, óôç èåùñßá ðéèáíïôþôùí, óôá ïéêïíïìéêü ìáèçìáôéêü ê.ëð. Ãéá ôçí ðñïóåããéóôéêþ ëýóç ôçò 6:2:1 10) èåùñïýíôáé ïé ðáñáêüôù óõíïñéáêýò óõíèþêåò Dirichlet boundary conditions) u a; t) = u b; t) = 0; üôáí t > 0; ) Ãéá ôçí ðñïóåããéóôéêþ ëýóç ôçò 6:2:1 10) ôï äéüóôçìá [a; b] ôçò ìåôáâëçôþò x õðïäéáéñåßôáé óå N ßóá õðïäéáóôþìáôá ðëüôïõò h ìå h = b a)=n Ó ) áðü ôá óçìåßá a = x 0 < x 1 < x 2 < : : : < x N 1 < x N = b: ) óôù ãéá åõêïëßá üôé ç ôéìþ ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôçò ux; t) óôá óçìåßá x m ; m = 0; 1; : : : ; x N, äçëáäþ ç u x m ; t) óõìâïëßæåôáé óôï åîþò ìå U n m ãéá êüèå m = 0; 1; : : : ; N: ÅðåéäÞ óýìöùíá ìå ôçí 6:2:1 11) äßíïíôáé ïé óõíïñéáêýò ôéìýò óôá óçìåßá x 0 = a êáé x N = b, ç 6:2:1 10) åöáñìüæåôáé óå êüèå ñïíéêþ óôéãìþ ôçò ìïñöþò t = n` üðïõ ` ôï âþìá ôïõ ñüíïõ êáé n = 1; 2; : : : óå üëá ôá åóùôåñéêü óçìåßá Ó ) ôçò äéáìýñéóçò 6:2:1 12). Ôüôå óýìöùíá ìå ôçí 6:2:1 6) Ý ïõìå ôï ðáñáêüôù óýóôçìá N äéáöïñéêþí

12 12 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò åîéóþóåùí 1çò ôüîçò: x = x 1 : d U n 1 dt = 0 {}}{ U n 0 2U n 1 + U n 2 h 2 x = x 2 : d U n 2 dt = U n 1 2U n 2 + U n 3 h ) x = x N 1 : x = x N : d U n N 1 dt d U n N dt = U n N 2 2U n N 1 + U n N h 2 = U n N 1 2U n N + h 2 0 {}}{ UN+1 n Ôï óýóôçìá áõôü ãñüöåôáé óå äéáíõóìáôéêþ ìïñöþ ùò åîþò: dut) dt = AUt); ) üôáí Ut) = [U 1 t); : : : ; U N t)] T åßíáé ôï äéüíõóìá ôùí ðñïóåããéóôéêþí ëýóåùí ôçò åîßóùóçò 6:2:1 10) óå åðßðåäï ñüíïõ t êáé A Ýíáò ôñéäéáãþíéïò ðßíáêáò ôçò ìïñöþò A = h : Áðü ôç ëýóç ôïõ óõóôþìáôïò 6:2:1 14) ðñïêýðôïõí ôüôå ïé ðñïóåããéóôéêýò ôéìýò ôçò u óôá óçìåßá 6:2:1 12). Ç ëýóç ôçò 6:2:1 10) ãéá ôéò äéüöïñåò ôéìýò ôïõ t èá äïèåß óå ìüèçìá, ðïõ áêïëïõèåß.

13 Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor 13 ÁóêÞóåéò 1. Ç ãñáììéêþ ìïñöþ ôçò åîßóùóçò äéü õóçò-ìåôáöïñüò diusion-convection) óå ìßá äéüóôáóç Ý åé 2 üðïõ 0 < x < b êáé t > 0 üðïõ ì > 0 åßíáé ç ðáñüìåôñïò ìåôáöïñüò convection parameter). Ïé óõíïñéáêýò óõíèþêåò, üôáí t > 0, t) u0; t) = vt) êáé = Ìå õðïëïãéóìïýò áíüëïãïõò ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò äåßîôå üôé ç äéáíõóìáôéêþ ìïñöþ ôçò ëýóçò ôçò åîßóùóçò 6:2:1 15) åßíáé üðïõ dut) = A Ut) + b ìå U0) = g dt ìh ìh ìh A = ìh ìh 2 2 êáé b = h 2 [ ìh ) U t n`); 0; : : : ; 0] T. 2. Ìå ôïí ôýðï 6:1:2 1) áíôéêáèéóôþíôáò êáôüëëçëá ôï h ìå 2h êáé ôï h ìå 2h äåßîôå üôé êáé óôç óõíý åéá üôé ux + 2h; t) 2ux; t) + ux 2h; t) = 4h h O h 4 4 = 1 [ux + 2h; t) 4ux + h; t) + 6ux; t) h4 4ux h; t) + ux 2h; t)] + O h 2) :

14 14 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor ãéá äýï ìåôáâëçôýò Ï ôýðïò ôïõ Taylor ãéá ôçí ðåñßðôùóç ìéáò óõíüñôçóçò, Ýóôù u = ux; t), üôáí ôï áíüðôõãìá ãßíåôáé êáé ãéá ôéò äýï ìåôáâëçôýò x êáé ` ãñüöåôáé ux + h; t + `) = ux; t) + 1 1! + 1 2! ) h 2 + u + 2 h 3 + u 2 + 3h : : : : ) Áðü ôçí 6:2:2 1) åýêïëá áðïäåéêíýåôáé ôüôå ìå êáôüëëçëïõò óõíäõáóìïýò ôùí ðñïóþìùí ôùí h êáé ` üôé 2 = 1 [ux + h; t + `) ux + h; t `) 4h` ux h; t + `) + ux h; t `)] 4 Óôçí 6:2:2 1) èýôïíôáò êáôüëëçëá üðïõ h ôï h êáé üðïõ ` ôï `, ðñïêýðôïõí ïé ó Ýóåéò ux h; t + `) = ux; t) + 1 h ux + ` ut) 1! + 1 2! h 2 uxx 2h` uxt + `2 utt) + : : : ; ux + h; t `) = ux; t) + 1 1! h u x ` ut) + 1 2! h 2 uxx 2h` uxt + `2 utt) + : : : ; ux h; t `) = ux; t) + 1 1! h u x ` ut) + 1 2! h 2 uxx + 2h` uxt + `2 utt) + : : : :

15 Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor 15 u x Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá : ç ìïñöþ ôïõ êýìáôïò ux; t) = 4 tan 1 [expx t)], üôáí t = 1; 2; 3 êáé x [ 5; 10] ) h + `) 4 +O : ) hl ÓõíäõÜæïíôáò êáôüëëçëá ôçí 6:2:2 1) åßíáé äõíáôüí íá ðñïêýøïõí êáé Üëëåò áíþôåñçò ôüîåéò ðñïóåããßóåéò ôùí ìåñéêþí ìéêôþí ðáñáãþãùí ôçò u. ÐáñÜäåéãìá Ç óõíüñôçóç ux; t) = 4 tan 1 [expx t)] ) ðåñéãñüöåé Ýíá êýìá, ðïõ äéáäßäåôáé Ó ) ùñßò íá áëëüæåé ìïñöþ soliton). Ôüôå u xt = 4 et+x e 2t + e 2x) e 2t + e 2x ) 2 ; ïðüôå u xt x=0; t=1 = 0: : Åöáñìüæïíôáò ôïí ôýðï 6:2:2 2) ãéá h = ` = 0:01, üôáí x = 0; t = 1 Ý ïõìå u xt x=0; t=1 = 1 [u0 + 0:01; 1 + 0:01) u0 + 0:01; 1 0:01) 4h`

16 16 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò u0 0:01; 1 + 0:01) + u0 0:01; 1 0:01)] = 0: : ñá õðüñ åé óöüëìá óôçí ðñïóýããéóç: e = ÁóêÞóåéò 1. ¼ìïéá ìå ôç óõíüñôçóç ux; t) ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò ç óõíüñôçóç vx; t) = 4 tan 1 {exp[ x t)] } ðåñéãñüöåé Ýíá êýìá soliton. Åöáñìüæïíôáò ôïí ôýðï 6:2:2 2) ãéá h = ` = 0:01, üôáí x = 0; t = 1 íá õðïëïãéóôåß ç u xt x=0; t=1 êáé íá ãßíåé óýãêñéóç ìå ôçí áíôßóôïé ç èåùñçôéêþ. Óôç óõíý åéá íá ãßíåé ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò óõíüñôçóçò ux; t) + vx; t), üôáí x [ 5; 10] êáé t = 1; 2; 5. Ôé ðáñáôçñåßôå; 2. óôù ç óõíüñôçóç [ ] u x; y) = 4 tan 1 exp x) + tan 1 exp y) : ) ¼ìïéá ìå ôïí ôýðï 6:2:2 2) ãéá h = k = 0:01, üôáí x = y = 1 íá õðïëïãéóôåß ç u xy x=1; y=1 êáé íá ãßíåé óýãêñéóç ìå ôçí áíôßóôïé ç èåùñçôéêþ. 3. ¼ìïéá ôçò ) u x; y) = 4 tan 1 exp 3 x 2 + y ) Óçìåßùóç Ç 6:2:2 4), áíôßóôïé á ç 6:2:2 5), üôáí åßíáé ç ëýóç ôç ñïíéêþ óôéãìþ t = 0 ôçò äéäéüóôáôçò çìéôïíïåéäïýò äéáöïñéêþò åîßóùóçò ôïõ Gordon sine- Gordon equation) u x; y) sin óôçí ðåñßðôùóç üðïõ = 0 êáé x; y) = 1 äçìéïõñãïýí ìå ôçí ðüñïäï ôïõ ñüíïõ 5 ÂëÝðå äçìïóßåõóç A. G. Bratsos [5].

17 Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor 17 äýï åõèýãñáììá êýìáôá ðïõ áðïìáêñýíïíôáé ìåôáîý ôïõò êáôü ôç äéåýèõíóç y = x Ó ), áíôßóôïé á Ýíá êõêëéêü êýìá ðïõ áëëüæåé ìïñöþ Ó êáé ). a) b) Ó Þìá : Åîßóùóç êýìáôïò 6:2:2 4), üôáí x; y [ 6; 6] ôçí a) ñïíéêþ óôéãìþ t = 0 êáé b) t = 7 a) b) Ó Þìá : Åîßóùóç êýìáôïò 6:2:2 5): ÃñáöéêÞ ðáñüóôáóç ôçò óõíüñôçóçò z = sin 1 2 ux; y), üôáí x; y [ 7; 7] ôçí a) ñïíéêþ óôéãìþ t = 0 êáé b) t = 5:6

18 18 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò a) b) Ó Þìá : Åîßóùóç êýìáôïò 6:2:2 5): ÃñáöéêÞ ðáñüóôáóç ôçò óõíüñôçóçò z = sin 1 2 ux; y), üôáí x; y [ 7; 7] ôçí a) ñïíéêþ óôéãìþ t = 8:4 êáé b) t = 11:2 6 6 Áðáãïñåýåôáé ç áíáäçìïóßåõóç Þ áíáðáñáãùãþ ôïõ ðáñüíôïò óôï óýíïëü ôïõ Þ ôìçìüôùí ôïõ ùñßò ôç ãñáðôþ Üäåéá ôïõ Êáè. Á. ÌðñÜôóïõ. bratsos@teiath.gr URL:

19 Âéâëéïãñáößá [1] Aêñßâçò, Ã., ÄïõãáëÞò, Â. 1995), ÅéóáãùãÞ óôçí ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç, ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò, ÁèÞíá, ISBN 978{960{524{022{6. [2] ÌðñÜôóïò, Á. 2011), ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç, ÁèÞíá, ISBN 978{960{351{874{7. [3] ÌðñÜôóïò, Á. 2002), Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç, ÁèÞíá, ISBN 960{351{453{5/978{960{351{453{4. [4] ÓôåöáíÜêïò,., Ðñïãñáììáôéóìüò Ç/Õ ìå MATLAB, Ãêïýñäáò ÅêäïôéêÞ, ISBN 978{960{387{856{8. [5] Bratsos, A. G., The solution of the two-dimensional sine-gordon equation using the method of lines, J. Comput. Appl. Math., vol. 206 No ), pp. 251{277. [6] Burden, Richard L. and Faires, J. Douglas 2000), Numerical Analysis 7th ed.), Brooks/Cole, ISBN 978{0{534{38216{2. [7] Conte, S. D., Carl de Boor 1981), Elementary Numerical Analysis: An Algorithmic Approach 3rd ed.), McGraw-Hill Book Company, ISBN 978{0{07{012447{9. [8] Don, E., Schaum's Outlines { Mathematica 2006), Åêäüóåéò ÊëåéäÜñéèìïò, ISBN 978{960{461{000{6. [9] Kendell A. Atkinson 1989), An Introduction to Numerical Analysis 2nd ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0{471{50023{2. 19

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