Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
|
|
- Ίρις Παπαφιλίππου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 7: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Cretive Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
2 ÌÜèçìá 7 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÙÍ - ÌÅÑÏÓ I ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá 6, ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò I(f) = f() d ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò ôïõ, êáé ii) üôáí äåí åßíáé ãíùóôüò ï ôýðïò ôçò óõíüñôçóçò, áëëü ìüíïí ïé ôéìýò ôçò óå ïñéóìýíá óçìåßá Ïé ðñïóåããßóåéò ðïõ èá åîåôáóôïýí óôï ìüèçìá áõôü âáóßæïíôáé óôïí ôýðï ðáñåìâïëþò ôïõ Newton. Óýìöùíá ìå ôïí áñéèìü êáé ôïí ôñüðï ðïõ óõíäõüæïíôáé ôá óçìåßá ðáñåìâïëþò ðñïêýðôïõí ïé ìýèïäïé õðïëïãéóìïý Þ üðùò óõíþèùò ëýãïíôáé ïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò.
3 ÐñïóÝããéóç ïëïêëçñùìüôùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò 7. Áðëïß êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ÁíÜëïãá ìå ôï èåùñïýìåíï áñéèìü ôùí óçìåßùí ðáñåìâïëþò Ý ïõìå ôïõò ðáñáêüôù êáíüíåò. 7.. Êáíüíáò ôïõ ïñèïãùíßïõ ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò óôù ôï ïñéóìýíï ïëïêëþñùìá I(f) = f() d (7.. - ) üðïõ ç f() èåùñåßôáé üôé åßíáé ìßá óõíå Þò óõíüñôçóç óôï [; ] Þ ãåíéêüôåñá óôçí ðåñßðôùóç ðïõ äåí åßíáé ãíùóôüò ï ôýðïò ôçò üôé åßíáé ãíùóôýò ïé ôéìýò ôçò óôá n + äéáöïñåôéêü óçìåßá 0,, : : :, n ôïõ [; ]. Ôüôå, üðùò åßíáé Þäç ãíùóôü, éó ýåé ï ðáñáêüôù ôýðïò ðáñåìâïëþò ôïõ Newton f() P n () = f [ 0 ] + f [ 0 ; ] ( 0 ) + : : : (7.. - ) +f [ 0 ; ; : : : ; n ] ( 0 ) ( n ) : ÕðïèÝôïíôáò üôé f() > 0 ãéá êüèå [; ], ôï ïëïêëþñùìá (7:: ) ãåùìåôñéêü éóïýôáé ìå ôï åìâáäüí ôïõ ó Þìáôïò ðïõ ïñßæåôáé áðü ôïí - Üîïíá, ôéò åõèåßåò =, = êáé ôï äéüãñáììá ôçò y = f() (Ó ). Óçìåßï ðáñåìâïëþò : 0 ÅðåéäÞ õðüñ åé Ýíá óçìåßï ðáñåìâïëþò, áðü ôçí (7:: ) ðñïêýðôåé ôüôå üôé f() P 0 () = f [ 0 ] = f ( 0 ) ; ïðüôå I(f) = f() d f ( 0 ) d = ( )f ( 0 ) (7.. - ) ñá n + = 0 +, ïðüôå n = 0 êáé åðïìýíùò ôï ðïëõþíõìï ðáñåìâïëþò èá åßíáé ìçäåíéêïý âáèìïý. ÂëÝðå ÌÜèçìá Èåþñçìá ôïõ Lgrnge.
4 Áðëïß êáíüíåò ïëïêëþñùóçò f Ó Þìá : ÃåùìåôñéêÞ åñìçíåßá ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò f() d ðïõ åßíáé ãíùóôüò óáí ï êáíüíáò ôïõ ïñèïãùíßïõ (rectngle rule). ÁíÜëïãá ìå ôéò èýóåéò ôïõ óçìåßïõ 0 äéáêñßíïõìå ôéò åîþò ðåñéðôþóåéò: Áí 0 =, áíôßóôïé á 0 =, ôüôå áðü ôçí (7:: ) Ý ïõìå (Ó ) I(f) = áíôßóôïé á (Ó ) I(f) = f() d ( )f(); (7.. - ) f() d ( )f(): ( ) óôù ôþñá üôé 0 = ( + )=. Ôüôå ç (7:: ) ãñüöåôáé I(f) = ( ) + f() d ( )f ( ) ðïõ åßíáé ãíùóôüò óáí ï êáíüíáò ôïõ ìýóïõ óçìåßïõ (midpoint rule). (Ó )
5 ÐñïóÝããéóç ïëïêëçñùìüôùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò f f y y (i) (ii) Ó Þìá : (i) ÐñïóÝããéóç (7:: ) ìå: 0 =, y = f() êáé (ii) (7:: 5) ìå: 0 =, y = f(). Ç ìðëå êáìðýëç äåß íåé ôï äéüãñáììá ôçò f() f f y c y c c c Ó Þìá : Êáíüíáò ôïõ ìýóïõ óçìåßïõ (7:: 6) ìå: c = 0 = + êáé y c = f(c). Ç ìðëå êáìðýëç äåß íåé ôï äéüãñáììá ôçò f() 7.. Êáíüíáò ôïõ ôñáðåæßïõ Óçìåßá ðáñåìâïëþò : 0, Ôüôå, åðåéäþ ôá óçìåßá ðáñåìâïëþò åßíáé, áðü ôçí (7:: ) ðñïêýðôåé üôé f() P () = f ( 0 ) + f [ 0 ; ] ( 0 ) ; äçëáäþ ôï ðïëõþíõìï ðáñåìâïëþò åßíáé ïõ âáèìïý, ïðüôå ðñüêåéôáé ãéá åõèåßá ãñáììþ. ÈÝôïíôáò (Ó ) 0 = ; = êáé h = ; áðü ôçí (7:: ) ôåëéêü ðñïêýðôåé üôé I(f) P () d = h {f() + f()}: (7.. - )
6 Áðëïß êáíüíåò ïëïêëþñùóçò 5 f f y y y y Ó Þìá : Áðëüò êáíüíáò ôïõ ôñáðåæßïõ (7:: ) ìå: 0 =, y = f() êáé =, y = f(). Ç ìðëå êáìðýëç äåß íåé ôï äéüãñáììá ôçò f() êáé ç êüêêéíç ôïõ ðïëõùíýìïõ P () Ï ôýðïò (7:: ) åßíáé ãíùóôüò óáí ï êáíüíáò ôïõ ôñáðåæßïõ (trpezoidl rule). 7.. Êáíüíáò ôïõ Simpson Óçìåßá ðáñåìâïëþò : 0,, Ôüôå, åðåéäþ ôá óçìåßá åßíáé, ôï ðïëõþíõìï ðáñåìâïëþò åßíáé ïõ âáèìïý (ðáñáâïëþ), äçëáäþ f() P () = f ( 0 ) + f [ 0 ; ] ( 0 ) ÈÝôïíôáò (Ó ) +f [ 0 ; ; ] ( 0 ) ( ) : 0 = ; = + ; = ìå h = êáé áíôéêáèéóôþíôáò óôçí (7:: ) ôåëéêü Ý ïõìå ôïí ðáñáêüôù êáíüíá ïëïêëþñùóçò I(f) = 6 P () d { f() + f ( + ) } + f() = h {f ( 0) + f ( ) + f ( )} (7.. - )
7 6 ÐñïóÝããéóç ïëïêëçñùìüôùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò f f y y y c y c c c Ó Þìá : Áðëüò êáíüíáò ôïõ Simpson (7:: ) ìå: 0 =, = c = +, =, y = f(), y c = f(c) êáé y = f(). Ç ìðëå êáìðýëç äåß íåé ôï äéüãñáììá ôçò f() êáé ç êüêêéíç ôïõ ðïëõùíýìïõ P () ðïõ åßíáé ãíùóôüò óáí ï êáíüíáò ôïõ Simpson (Simpson's rule). 7.. Êáíüíáò ôùí /8 Óçìåßá ðáñåìâïëþò : 0,,, ¼ìïéá, åðåéäþ ôá óçìåßá åßíáé, ôï ðïëõþíõìï ðáñåìâïëþò åßíáé ïõ âáèìïý, äçëáäþ f() P () = f ( 0 ) + f [ 0 ; ] ( 0 ) +f [ 0 ; ; ] ( 0 ) ( ) +f [ 0 ; ; ; ] ( 0 ) ( ) ( ) : Áêïëïõèþíôáò ðáñüìïéïõò õðïëïãéóìïýò ìå åêåßíïõò ôçò ÐáñáãñÜöïõ 7.. èåùñþíôáò üôé ôï äéüóôçìá [; ] õðïäéáéñåßôáé óå éóïáðý ïíôá äéáóôþìáôá áðü ôá óçìåßá (Ó ) 0 = ; = ; = 0 + ( + ) ; = ìå h = áðïäåéêíýåôáé üôé ï ôýðïò õðïëïãéóìïý ôïõ ïëïêëçñþìáôïò (7:: ) ôåëéêü ãñüöåôáé ùò åîþò: I(f) P () d ÁêñéâÝóôåñá êáíüíáò ôïõ Simpson ìå ïõ âáèìïý ðïëõþíõìï ðáñåìâïëþò (Simpson's rule with qudrtic interpolting polynomil).
8 Áðëïß êáíüíåò ïëïêëþñùóçò 7 f f y y y y c d c d Ó Þìá : Áðëüò êáíüíáò ôùí =8 ôïõ Simpson (7:: ) ìå: 0 =, = c = +, = c = (+), =, y = f() êáé y = f(). Ç ìðëå êáìðýëç äåß íåé ôï äéüãñáììá ôçò f() êáé ç êüêêéíç ôïõ ðïëõùíýìïõ P () = h 8 {f ( 0) + f ( ) + f ( ) + f ( )} : (7.. - ) Ï ôýðïò (7:: ) åßíáé ãíùóôüò óáí ï êáíüíáò ôùí =8 ôïõ Simpson (Simpson's =8 rule). ¼ëïé ïé ðáñáðüíù êáíüíåò ïëïêëþñùóçò åßíáé ãíùóôïß åðßóçò êáé óáí êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ôùí Newton-Cotes (Newton-Cotes rules) êáé áñáêôçñéóôéêü ôïõò åßíáé ç ðñïóýããéóç ôïõ ïëïêëçñþìáôïò(7:: ) ìå éóïáðý ïíôá óçìåßá. Ïé áíôßóôïé ïé ôýðïé ëýãïíôáé ôüôå êáé ôýðïé ïëïêëþñùóçò ôùí Newton-Cotes (Newton-Cotes formuls). 7. Óýíèåôïé êáíüíåò Ç áêñßâåéá ôùí ôýðùí óôïõò áðëïýò êáíüíåò ïëïêëþñùóçò åßíáé ðåñéïñéóìýíç, êõñßùò üôáí ôï äéüóôçìá ïëïêëþñùóçò åßíáé ìåãüëï. íáò ôñüðïò ãéá íá Ý ïõìå êáëýôåñç áêñßâåéá åßíáé íá áõîçèåß ï áñéèìüò ôùí óçìåßùí ðáñåìâïëþò, ðïõ üìùò üðùò åßíáé öõóéêü èá äõóêïëýøåé ðåñéóóüôåñï ôïí õðïëïãéóìü ôïõ ôýðïõ. íáò Üëëïò ôñüðïò ôüôå, ðïõ ðáñáêüìðôåé ôéò äõóêïëßåò áõôýò, åßíáé íá õðïäéáéñåèåß êáôüëëçëá ôï äéüóôçìá ïëïêëþñùóçò óå åðéìýñïõò õðïäéáóôþìáôá êáé íá åöáñìïóôåß Ýíáò áðü ôïõò ðáñáðüíù êáíüíåò óå êáèýíá áðü ôá Åðßóçò åßíáé ãíùóôüò êáé óáí êáíüíáò ôïõ Simpson ìå ïõ âáèìïý ðïëõþíõìï ðáñåìâïëþò (Simpson's rule with cuic interpolting polynomil). Ï áíáãíþóôçò ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá êáé óôï âéâëßï Á. ÌðñÜôóïò [] Êåö. 9.
9 8 ÐñïóÝããéóç ïëïêëçñùìüôùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò õðïäéáóôþìáôá áõôü. Ç ðáñáðüíù äéáäéêáóßá, üôáí ãåíéêåõôåß, ïäçãåß óôïõò ëåãüìåíïõò óýíèåôïõò êáíüíåò ïëïêëþñùóçò (composite qudrture rules), ïé êõñéüôåñïé ôùí ïðïßùí óõíáíôþíôáé óôéò åöáñìïãýò äßíïíôáé óôç óõíý åéá. 7.. Óýíèåôïò êáíüíáò ôïõ ôñáðåæßïõ óôù üôé ôï äéüóôçìá ïëïêëþñùóçò [; ] õðïäéáéñåßôáé óå N ôï ðëþèïò õðïäéáóôþìáôá ðëüôïõò (Ó ) h = N áðü ôá N + óçìåßá i = + ih; i = 0; ; : : : ; N: Ôüôå óýìöùíá ìå ãíùóôþ éäéüôçôá ôùí ïñéóìýíùí ïëïêëçñùìüôùí êáé ôïí ôýðï (7:: ) Ý ïõìå I(f) = =N f() d = = 0 0 f() d + f() d + : : : + N N f() d h {f ( 0) + f ( )} + h {f ( ) + f ( )} + : : : + h {f ( N ) + f ( N )} ; äçëáäþ I(f) h {f ( 0) + [f ( ) + : : : + f ( N )] + f ( N )} (7.. - ) ðïõ åßíáé ãíùóôüò óáí ï óýíèåôïò êáíüíáò ôïõ ôñáðåæßïõ (composite trpezoidl rule). Ï õðïëïãéóìüò äßíåôáé óôïí Áëãüñéèìï
10 Óýíèåôïò êáíüíáò ôïõ ôñáðåæßïõ 9 f Ó Þìá : óýíèåôïò êáíüíáò ôïõ ôñáðåæßïõ. Ç ìðëå êáìðýëç äåß íåé ôï äéüãñáììá ôçò f() Áëãüñéèìïò (óýíèåôïõ êáíüíá ôïõ ôñáðåæßïõ) ÄåäïìÝíá ; ; N; h = ( )=N óôù S 0 = f () + f () ; S = 0: Ãéá i = ; ; : : : ; N = 0 + ih; S := S + f() ôýëïò i I = h (S 0 + S )
11 0 ÐñïóÝããéóç ïëïêëçñùìüôùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò 7.. Óýíèåôïò êáíüíáò ôïõ Simpson Õðïäéáéñþíôáò ôï äéüóôçìá ïëïêëþñùóçò [; ] óå N ôï ðëþèïò õðïäéáóôþìáôá 5 ðëüôïõò h = ( )=N áðü ôá N + óçìåßá 0,, : : :, N, üìïéá óýìöùíá ìå ãíùóôþ éäéüôçôá ôùí ïñéóìýíùí ïëïêëçñùìüôùí êáé ôïí ôýðï (7:: ) Ý ïõìå I(f) = = N = 0 f() d = 0 f() d + f() d + : : : + N N f() d h {f ( 0) + f ( ) + f ( )} + h {f ( ) + f ( ) + f ( )} + : : : + h {f ( N ) + f ( N ) + f ( N )} ; äçëáäþ I(f) h {f ( 0) + [f ( ) + f ( ) + : : : + f ( N )] + [f ( ) + f ( ) + : : : + f ( N )] +f ( N )} (7.. - ) ðïõ åßíáé ãíùóôüò óáí óýíèåôïò êáíüíáò ôïõ Simpson (composite Simpson's rule). Ï õðïëïãéóìüò äßíåôáé óôïí Áëãüñéèìï ÐáñÜäåéãìá Æçôåßôáé íá õðïëïãéóôåß ìå ôï óýíèåôï êáíüíá ôïõ ôñáðåæßïõ, áíôßóôïé á ôïõ Simpson ôï ïëïêëþñùìá I = : 0 d ; üôáí h = 0:: + 5 ÅðåéäÞ ï áðëüò êáíüíáò ôïõ Simpson áðáéôåß ãéá ôçí åöáñìïãþ ôïõ óçìåßá, äçëáäþ õðïäéáóôþìáôá, ç õðïäéáßñåóç ôïõ [; ] ðñýðåé íá ãßíåé óå Üñôéï áñéèìü õðïäéáóôçìüôùí.
12 Óýíèåôïò êáíüíáò ôïõ Simpson f Ó Þìá : óýíèåôïò êáíüíáò ôïõ Simpson. Ç ìðëå êáìðýëç äåß íåé ôï äéüãñáììá ôçò f() Áëãüñéèìïò (óýíèåôïõ êáíüíá ôïõ Simpson) ÄåäïìÝíá ; êáé n = N Üñôéïò óôù h = ( )=n; S 0 = f () + f () ; S = S = 0: Ãéá i = ; ; : : : ; n = 0 + ih áí i Üñôéïò S = S + f(); äéáöïñåôéêü S = S + f() ôýëïò i I = h (S 0 + S + S )
13 ÐñïóÝããéóç ïëïêëçñùìüôùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ðßíáêáò : ÐáñÜäåéãìá : ïé ôéìýò ( i ; f ( i )) i f ( i ) i f ( i ) ( Ç èåùñçôéêþ ôéìþ åßíáé I = ln + ) : + : Ëýóç. Áí 0 = 0 = 0 êáé = = :, ôüôå ï ôýðïò (7:: ) ãéá ôï óýíèåôï êáíüíá ôïõ ôñáðåæßïõ äßíåé I h {f ( 0) + [f ( ) + : : : + f ( )] + f ( )} = :05 7; áíôßóôïé á ï ôýðïò (7:: ) ãéá ôï óýíèåôï êáíüíá ôïõ Simpson I h {f ( 0) + [f ( ) + f ( ) + f ( 5 ) + f ( 7 ) + f ( 9 ) + f ( )] + [f ( ) + f ( ) + f ( 6 ) + f ( 8 ) + f ( 0 )] + f ( )} = :05 97: Óôïí Ðßíáêá äßíïíôáé ïé ôéìýò ( i ; f ( i )) ôùí ðáñáðüíù õðïëïãéóìþí, åíþ óôïí Ðßíáêá ïé ôéìýò ôùí óöáëìüôùí ôïõ ïëïêëçñþìáôïò I ãéá äéüöïñåò ôéìýò ôïõ h. Áðü ôá áðïôåëýóìáôá ôïõ Ðßíáêá ðñïêýðôåé üôé ï óýíèåôïò êáíüíáò ôïõ Simpson ãéá ôéìýò ôïõ h ìå h 0:00, ïðüôå ôï n åßíáé áñêåôü ìåãüëï, äßíåé áêñéâýóôåñá áðïôåëýóìáôá áðü ôïí áíôßóôïé ï ôïõ ôñáðåæßïõ, åíþ, üôáí h = 0:000, ïðüôå Ý ïõìå ìåãáëýôåñç áýîçóç ôïõ n, áêñéâýóôåñá áðïôåëýóìáôá ðñïêýðôïõí áðü ôïí êáíüíá ôïõ ôñáðåæßïõ. ÈåùñçôéêÜ åßíáé
14 Óýíèåôïò êáíüíáò ôùí /8 Ðßíáêáò : ÐáñÜäåéãìá : ôá óöüëìáôá ôçò ïëïêëþñùóçò ôïõ I ãéá ôéò äéüöïñåò ôéìýò ôïõ h h ÓöÜëìá ôñáðåæßïõ ÓöÜëìá Simpson E E E-05.9E E E E E E E-0 áíáìåíüìåíï, üôáí ç ëåðôüôçôá ôçò äéáìýñéóçò ôåßíåé óôï ìçäýí Þ äéáöïñåôéêü üôáí ôï h ôåßíåé óôï ìçäýí, ç áñéèìçôéêþ ôéìþ ôïõ ïëïêëçñþìáôïò íá ôåßíåé óôç èåùñçôéêþ ôéìþ ôïõ. ÐïëëÝò öïñýò üìùò, üðùò êáé ðáñáðüíù, óõìâáßíåé ôï h íá åëáôôþíåôáé, ùñßò íá Ý ïõìå êáé áíôßóôïé ç ìåßùóç ôïõ óöüëìáôïò. Áõôü êýñéá ïöåßëåôáé áöåíüò ìåí óôï óöüëìá ðïõ ðáñïõóéüæåé ï êáíüíáò ïëïêëþñùóçò ðïõ ñçóéìïðïéåßôáé êáé áöåôýñïõ óôá óöüëìáôá óôñïããõëïðïßçóçò ðïõ õðåéóýñ ïíôáé óôïõò äéüöïñïõò õðïëïãéóìïýò. 7.. Óýíèåôïò êáíüíáò ôùí /8 Õðïäéáéñþíôáò ôï äéüóôçìá ïëïêëþñùóçò óå N ôï ðëþèïò õðïäéáóôþìáôá 6 ðëüôïõò h = ( )=N áðü ôá N + óçìåßá 0,, : : :, N. Ôüôå üìïéá Ý ïõìå I(f) = = N f() d = = 0 0 f() d + 6 f() d + : : : + N N f() d 6 ÅðåéäÞ ï áðëüò êáíüíáò ôùí =8 áðáéôåß ãéá ôçí åöáñìïãþ ôïõ óçìåßá, äçëáäþ õðïäéáóôþìáôá, ç õðïäéáßñåóç ôïõ [; ] ðñýðåé íá ãßíåé óå áñéèìü õðïäéáóôçìüôùí, ðïõ íá åßíáé ðïëëáðëüóéï ôïõ.
15 ÐñïóÝããéóç ïëïêëçñùìüôùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò f Ó Þìá : óýíèåôïò êáíüíáò ôùí =8 ôïõ Simpson. Ç ìðëå êáìðýëç äåß íåé ôï äéüãñáììá ôçò f() h 8 {f ( 0) + f ( ) + f ( ) + f ( )} + h 8 {f ( ) + f ( ) + f ( 5 ) + f ( 6 )} + : : : ïðüôå + h 8 {f ( N ) + f ( N ) + f ( N ) + f ( N )} ; I(f) h 8 {f ( 0) + [f ( ) + f ( ) + : : : + f ( N )] + [f ( ) + f ( 5 ) + : : : + f ( N )] + [f ( ) + f ( 6 ) + : : : + f ( N )] +f ( N )} (7.. - ) ðïõ åßíáé ãíùóôüò óáí óýíèåôïò êáíüíáò ïëïêëþñùóçò ôùí =8 ôïõ Simpson (composite =8 Simpson's rule).
16 Óýíèåôïò êáíüíáò ôùí /8 5 ÐáñÜäåéãìá óôù üôé æçôåßôáé íá õðïëïãéóôåß ìå ôï óýíèåôï êáíüíá ôùí /8 ôï ïëïêëþñùìá I ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò Ôüôå óýìöùíá ìå ôïí ôýðï (7:: ), üôáí h = 0:, Ý ïõìå I h 8 {f ( 0) + [f ( ) + f ( ) + f ( 7 ) + f ( 0 )] + [f ( ) + f ( 5 ) + f ( 8 ) + f ( )] + [f ( ) + f ( 6 ) + f ( 9 )] +f ( )} = :05 97: ÁóêÞóåéò. óôù üôé ôï äéüóôçìá ïëïêëþñùóçò [; ] õðïäéáéñåßôáé óå N ôï ðëþèïò õðïäéáóôþìáôá ðëüôïõò (Ó ) h = N áðü ôá N + óçìåßá i = + ih; i = 0; ; : : : ; N: Åöáñìüæïíôáò ôïí ôýðï (7:: 6) ôïõ áðëïý êáíüíá ôïõ ìýóïõ óçìåßïõ óå êüèå Ýíá õðïäéüóôçìá, õðïëïãßóôå ôïí áíôßóôïé ï ôýðï ôïõ óýíèåôïõ êáíüíá. Óôç óõíý åéá åöáñìüóôå ôïí ôýðï áõôü óôïí õðïëïãéóìü ôïõ ïëïêëçñþìáôïò ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò êáé óõãêñßíáôå ôá áðïôåëýóìáôá ìå ôá áíôßóôïé á ôùí Üëëùí ìåèüäùí.. Íá õðïëïãéóôåß ìå ôïõò ðáñáðüíù óýíèåôïõò êáíüíåò ôï ïëïêëþñùìá : 0 e d; üôáí h = 0: êáé íá ãßíåé óýãêñéóç ôùí áðïôåëåóìüôùí ìå ôç èåùñçôéêþ ôéìþi = 0: Åßíáé ãíùóôü üôé 0 d + = :
17 6 ÐñïóÝããéóç ïëïêëçñùìüôùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò f Ó Þìá : óýíèåôïò êáíüíáò ôïõ ìýóïõ óçìåßïõ. Ç ìðëå êáìðýëç äåß íåé ôï äéüãñáììá ôçò f() Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá ìå ôï óýíèåôï êáíüíá ôïõ ôñáðåæßïõ êáé ôïõ Simpson üôáí ôï h = 0:; 0:0 êáé íá ãßíåé óýãêñéóç ôùí áðïôåëåóìüôùí ìå ôç èåùñçôéêþ ôéìþ.. Ìå ôï óýíèåôï êáíüíá ôïõ ôñáðåæßïõ íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá 0 e d; üôáí h = 0: êáé íá ãßíåé óýãêñéóç ôïõ áðïôåëýóìáôïò ìå ôç èåùñçôéêþ ôéìþ ôïõ ïëïêëçñþìáôïò. 5. ¼ìïéá ìå ôï óýíèåôï êáíüíá ôïõ Simpson êáé ôùí /8 ôï ïëïêëþñùìá 0:6 0 ( ) = d; üôáí h = 0:, 0:05 êáé íá ãßíåé óýãêñéóç ôùí áðïôåëåóìüôùí ìå ôç èåùñçôéêþ ôéìþ ôïõ ïëïêëçñþìáôïò (0:9 99). 7 7 Áðáãïñåýåôáé ç áíáäçìïóßåõóç Þ áíáðáñáãùãþ ôïõ ðáñüíôïò óôï óýíïëü ôïõ Þ ôìçìüôùí ôïõ ùñßò ôç ãñáðôþ Üäåéá ôïõ Êáè. Á. ÌðñÜôóïõ. E-mil: rtsos@teith.gr URL:
18 Âéâëéïãñáößá [] Aêñßâçò, Ã., ÄïõãáëÞò, Â. (995), ÅéóáãùãÞ óôçí ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç, ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò, ÁèÞíá, ISBN 978{960{5{0{6. [] ÌðñÜôóïò, Á. (0), ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç, ÁèÞíá, ISBN 978{960{5{87{7. [] ÌðñÜôóïò, Á. (00), Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç, ÁèÞíá, ISBN 960{5{5{5/978{960{5{5{. [] ÓôåöáíÜêïò,., Ðñïãñáììáôéóìüò Ç/Õ ìå MATLAB, Ãêïýñäáò ÅêäïôéêÞ, ISBN 978{960{87{856{8. [5] Brtsos, A. G., The solution of the two-dimensionl sine-gordon eqution using the method of lines, J. Comput. Appl. Mth., vol. 06 No. (006), pp. 5{77. [6] Burden, Richrd L. nd Fires, J. Dougls (000), Numericl Anlysis (7th ed.), Brooks/Cole, ISBN 978{0{5{86{. [7] Conte, S. D., Crl de Boor (98), Elementry Numericl Anlysis: An Algorithmic Approch (rd ed.), McGrw-Hill Book Compny, ISBN 978{0{07{07{9. [8] Don, E., Schum's Outlines { Mthemtic (006), Åêäüóåéò ÊëåéäÜñéèìïò, ISBN 978{960{6{000{6. [9] Kendell A. Atkinson (989), An Introduction to Numericl Anlysis (nd ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0{7{500{. 7
19 8 ÐñïóÝããéóç ïëïêëçñùìüôùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò [0] Leder, Jeery J. (00), Numericl Anlysis nd Scientic Computtion, Addison Wesley, ISBN 978{0{0{799{7. [] Schtzmn, M. (00), Numericl Anlysis: A Mthemticl Introduction, Clrendon Press, Oford, ISBN 978{0{9{85079{. [] Stoer, Josef; Bulirsch, Rolnd (00), Introduction to Numericl Anlysis (rd ed.), Springer, ISBN 978{0{87{955{. [] Sli, E. nd Myers, D. (00), An Introduction to Numericl Anlysis, Cmridge University Press, ISBN 978{0{5{0079{8. ÌáèçìáôéêÝò âüóåéò äåäïìýíùí Pge
20 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
21 Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, 0. Αθανάσιος Μπράτσος. «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά. Ενότητα 7: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος Ι». Έκδοση:.0. Αθήνα 0. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teith.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Cretive Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή.0 [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.
ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ
ÌÜèçìá 7 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÅéóáãùãÞ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí, ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí I(f) = f(x) dx i) ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 8: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ
ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß
ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò
Διαβάστε περισσότεραÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ
ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΘερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση
Διαβάστε περισσότεραÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç
ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ
ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò
Διαβάστε περισσότεραSPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá
ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότερα3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò
Διαβάστε περισσότεραΔιοικητική Λογιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 1 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 11 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 111 Ïñéóìïß Êñßíåôáé áñ éêü áðáñáßôçôï íá ãßíåé óôïí áíáãíþóôç õðåíèýìéóç ôùí ðáñáêüôù âáóéêþí ìáèçìáôéêþí åííïéþí: Ïñéóìüò 111-1 (åîßóùóçò) ËÝãåôáé
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 8: Τριπλά Ολοκληρώματα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότερα( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
. Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΘερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση Ποιότητας,
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)
Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ
28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò
ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)
44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.
Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότερα16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.
55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð
Διαβάστε περισσότεραÓ ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X
V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότερα2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr
2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6 η Άσκηση - DFS δένδρα Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΔιοικητική Λογιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 6: Μέθοδοι ς Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Emil: zro@ei.uptrs.r Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ
55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 11: Προσέγγιση μερικών διαφορικών εξισώσεων - Παραβολικές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση
Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)
Διαβάστε περισσότεραΔιεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 8: Η Οικονομική πολιτική της Ευρωπαϊκής Ένωσης Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkstra
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 1η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkra Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upara.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 2: Διαφορικές Εξισώσεις Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΒάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων Ενότητα 3: Μοντέλα βάσεων δεδομένων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται
Διαβάστε περισσότεραΣυντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραÌáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskal
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskl Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Emil: zro@ei.uptrs.r Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 13: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 13: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικό Σχέδιο - CAD
Τεχνικό Σχέδιο - CAD Προσθήκη Διαστάσεων & Κειμένου ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Εντολές προσθήκης διαστάσεων & κειμένου Στο βασική (Home)
Διαβάστε περισσότεραΜηχανολογικό Σχέδιο Ι
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ
ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 2: Οργάνωση και Διοίκηση Εισαγωγή Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων
Ενότητα 1 Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων 2 1.1 Βάσεις Δεδομένων Ένα βασικό στοιχείο των υπολογιστών είναι ότι έχουν τη δυνατότητα να επεξεργάζονται εύκολα και γρήγορα μεγάλο πλήθος δεδομένων και πληροφοριών.
Διαβάστε περισσότεραΠΙΝΑΚΕΣ. Θερμοδυναμική 2012 Σελίδα 292
ΠΙΝΑΚΕΣ 2012 Σελίδα 292 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες: Ιδανικά αέρια Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 4: Στρατηγικοί προσανατολισμοί Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 9: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΤΟΠΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 11: Θεωρία Οργάνωσης & Διοίκησης Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές δεδομένων Άσκηση αυτοαξιολόγησης Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ2, Ενότητα : Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Ενότητα : Υλοποίηση Λεξικών µε
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας
Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 4: Κλασσική και Κβαντική Πιθανότητα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1)
Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ Ενότητα 8: ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΤΑΤΜΗΣΗΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων Ενότητα 1
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Εισαγωγή Απόστολος Παπαδόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός Η/Υ. Βασικές Προγραμματιστικές Δομές. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος
Προγραμματισμός Η/Υ Βασικές Προγραμματιστικές Δομές ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Δομή Ελέγχου Ροής (IF) Η εντολή IF χρησιμοποιείται όταν
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6: 1η εργαστηριακή άσκηση και προσομοίωση με το SPICE Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους
Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικό Σχέδιο - CAD
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τεχνικό Σχέδιο - CAD Ενότητα 7: SketchUp Αντικείμενα Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 4: Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραΜυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης
Δωρεά Κυττάρων Αίματος και Μυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης για τη Δωρεά Κυττάρων Αίματος και Μυελού των Οστών Αλέξανδρος Σπυριδωνίδης Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 7: Παράγωγος, ελαστικότητα, παραγώγιση συναρτήσεων (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτική Πληροφορικής
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διδακτική Πληροφορικής Ενότητα 4: Διδακτικός μετασχηματισμός βασικών εννοιών πληροφορικής Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons
Διαβάστε περισσότεραΔιοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας
Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας Ενότητα 8: Αξιολόγηση και επιλογή αγορών στόχων από ελληνική εταιρία στον κλάδο παραγωγής και εμπορίας έτοιμου γυναικείου Καθ. Αλεξανδρίδης Αναστάσιος Δρ. Αντωνιάδης
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων.
Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Εικόνων
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα # 14: Τμηματοποίηση με χρήση τυχαίων πεδίων Markov Καθηγητής Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τμηματοποίηση εικόνων
Διαβάστε περισσότερα1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων
1 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 3 2 η Άσκηση... 3 3 η Άσκηση... 3 4 η Άσκηση... 3 5 η Άσκηση... 4 6 η Άσκηση... 4 7 η Άσκηση... 4 8 η Άσκηση... 5 9 η Άσκηση... 5 10
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικό Σχέδιο - CAD. Τόξο Κύκλου. Τόξο Κύκλου - Έλλειψη. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος
Τεχνικό Σχέδιο - CAD Τόξο Κύκλου - Έλλειψη ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Τόξο Κύκλου Τόξο κύκλου Στην ορολογία του Autocad: Arc Εντολή: arc
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 3: Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας ΤΕ Το
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 9: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 6: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙII. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 1: Μετασχηματισμός Laplace. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙII Ενότητα 1: Μετασχηματισμός aplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΙστορία της μετάφρασης
ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Μεταφραστές και πρωτότυπα. Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότερα