Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
|
|
- Φθα Βλαστός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 11: Προσέγγιση μερικών διαφορικών εξισώσεων - Παραβολικές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
2 ÌÜèçìá 11 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÌÅÑÉÊÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 11.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôçí ðáñüãñáöï áõôþ èá ôáîéíïìçèïýí ïé äéáöïñéêýò åîéóþóåéò ìå ìåñéêýò ðáñáãþãïõò çò ôüîçò êáé èá ãßíåé ìéá õðåíèýìéóç ôùí ôýðùí ðñïóýããéóçò ôùí ðáñáãþãùí Ôáîéíüìçóç åîéóþóåùí çò ôüîçò Ïñéóìüò Ç ãåíéêþ ìïñöþ ìéáò äéáöïñéêþò åîßóùóçò çò ôüîçò ìå äýï áíåîüñôçôåò ìåôáâëçôýò, Ýóôù x êáé t, åßíáé u c@ = e üðïõ u = u(x; t) ìéá åðáñêþò äéáöïñßóéìç óõíüñôçóç êáé a, b, c, e åßíáé óõíáñôþóåéò ôùí x, t, áëëü ü é ôùí çò ôüîçò ðáñáãþãùí ôïõò. óôù üôé ; ; r ; s êáé w : 1
3 ÐñïóåããéóôéêÞ ëýóç PDE's Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ôüôå ç (11:1:1 1) ãñüöåôáé ar + bs + cw = e: ( ) Áí ïé óõíáñôþóåéò u, p êáé q åßíáé ãíùóôýò óå êüèå óçìåßï (x; t) ìßáò ëåßáò êáìðýëçò ôïõ åðéðýäïõ, ôüôå ïé ôéìýò áõôýò èá ðñýðåé íá åðáëçèåýïõí ôç ó Ýóç ðïõ åêöñüæåé ôï ïëéêü äéáöïñéêü ôçò u, äçëáäþ ôçí ¼ìïéá ïé p êáé q ôéò ó Ýóåéò dx + dt = p dx + q d dx + dt = r dx + s d t; dx + dt = s dx + w d Ïé åîéóþóåéò (11:1:1 3) - (11:1:1 5) ïñßæïõí Ýíá óýóôçìá ôñéþí åîéóþóåùí ìå áãíþóôïõò r, s êáé w. Ôï óýóôçìá áõôü äå èá Ý åé ìßá áêñéâþò ëýóç óå êüèå óçìåßï (x; t), üôáí ç ïñßæïõóá ôùí óõíôåëåóôþí ôùí áãíþóôùí åßíáé ìçäýí, äçëáäþ üôáí a b c dx d t 0 = 0: ( ) 0 dx d t Áðü ôçí (11:1:1 6) ðñïêýðôåé ç åîßóùóç ( ) d t ( ) d t a b + c = 0: ( ) dx dx óôù D = b 4ac ç äéáêñßíïõóá ôçò (11:1:1 7). Ôüôå ç (11:1:1 7), áí D > 0, ëýãåôáé üôé ïñßæåé ìéá õðåñâïëéêþ, D = 0, ìéá ðáñáâïëéêþ, êáé D < 0, ìéá åëëåéðôéêþ åîßóùóç. Óôç óõíý åéá ôïõ ìáèþìáôïò èá åîåôáóôïýí ìüíïí ïñéóìýíåò áñáêôçñéóôéêýò ìïñöýò ìïíïäéüóôáôùí ðáñáâïëéêþí åîéóþóåùí. 1 1 Ï áíáãíþóôçò ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá [1, 15, 16].
4 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ôýðïé ðåðåñáóìýíùí äéáöïñþí Åßíáé Þäç ãíùóôü áðü ôï ÌÜèçìá 6 ôýðïò (6:1: ) üôé ï ôýðïò ôïõ Taylor ãéá óõíüñôçóç ìéáò ìåôáâëçôþò, Ýóôù f(x), ãñüöåôáé f(x + h) f(x) + h 1! f (x) + h! f (x) + : : : + h! f () (x); üôáí h > 0 ç áýîçóç ôçò ìåôáâëçôþò x. ÅðïìÝíùò ãéá ôç óõíüñôçóç u = u(x; t) ìå ðåäßï ïñéóìïý, Ýóôù D, üðïõ D åßíáé Ýíá êëåéóôü äéüóôçìá óôï ïðïßï ç u åßíáé óõíå Þò êáé Ý åé ðáñáãþãïõò ìý ñé êáé -ôüîç óõíå åßò óõíáñôþóåéò, áíüëïãá ôüôå èá éó ýïõí u(x + h; t) u(x; t) + h 1! + : : : + + u n u ; ( üôáí h > 0 ç áýîçóç ôçò ìåôáâëçôþò x ôïõ äéáóôþìáôïò, åíþ, üôáí ç ìåôáâëçôþ óõìâïëßæåé ôï ñüíï t êáé ` > 0 ç áýîçóþ ôçò u(x; t + `) = u(x; t) + ` n u + : : : + : ( ) Ìå óõëëïãéóìïýò áíüëïãïõò ôïõ ÌáèÞìáôïò 6 áðü ôçí (11:1: 1) ðñïêýðôïõí ïé ðáñáêüôù @x u(x + h; t) u(x; t) h ( ) ðïõ ïñßæåé ôçí ðñïò ôá åìðñüò ðñïóýããéóç u(x; t) u(x h; t) h ôçí áíüäñïìç ðñïóýããéóç (backward-dierence formula), êáé ( )
5 4 ÐñïóåããéóôéêÞ ëýóç PDE's Êáè. u(x + h; t) u(x h; t) h ôçí êåíôñéêþ ðñïóýããéóç (central-dierence formula). ( ) Åðßóçò áðïäåéêíýåôáé u u(x + h; t) u(x; t) + u(x h; t) h ( ) ðïõ ïñßæåé ôçí êåíôñéêþ ðñïóýããéóç u=@x. 11. Åîßóùóç äéüäïóçò èåñìüôçôáò Ïñéóìüò êáé ìïñöþ óõóôþìáôïò ëýóçò Ïñéóìüò Ç åîßóùóç äéüäïóçò èåñìüôçôáò óå ìßá äéüóôáóç ïñßæåôáé ùò u(x; üðïõ a < x < b êáé t > 0; ( ) üôáí èåôéêþ óôáèåñü êáé u(x; t) ìéá åðáñêþò äéáöïñßóéìç óõíüñôçóç. ÐáñáôçñÞóåéò Ç ìåôáâëçôþ t óõìâïëßæåé ôï ñüíï êáé ç x ôï äéüóôçìá. Óôç öõóéêþ ç óõíüñôçóç u ðåñéãñüöåé ôç ìåôáâïëþ ôçò èåñìïêñáóßáò. Ï åßíáé ï óõíôåëåóôþò èåñìéêþò äéü õóçò (thermal diusivity) êáé óôï åîþò èá èåùñåßôáé üôé åßíáé = 1. Ç åîßóùóç èåñìüôçôáò åßíáé èåìåëéþäïõò óçìáóßáò óå äéüöïñïõò ôïìåßò ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí üðùò: óôá ìáèçìáôéêü ùò ôï ðñüôõðï ôçò ëýóçò ðáñáâïëéêþí PDE's, óôç èåùñßá ðéèáíïôþôùí, óôá ïéêïíïìéêü ìáèçìáôéêü ê.ëð. ÂëÝðå âéâëéïãñáößá êáé http : ==en:wikipedia:org=wiki=heat equation
6 Åîßóùóç äéüäïóçò èåñìüôçôáò 5 Ãéá ôçí ðñïóåããéóôéêþ ëýóç ôçò (11::1 1) èåùñïýíôáé ïé ðáñáêüôù óõíïñéáêýò óõíèþêåò (boundary conditions) 3 u (a; t) = u (b; t) = 0 üðïõ t > 0; ( ) åíþ ùò áñ éêþ óõíèþêç (initial condition) ç u(x; 0) = u 0 (x) = g(x) üðïõ a x b; ( ) üôáí g(x) åßíáé ìßá ãíùóôþ óõíå Þò óõíüñôçóç ôïõ x, ðïõ óõíþèùò óõìðßðôåé ìå ôç èåùñçôéêþ ëýóç, üôáí t = 0. ÐáñáôÞñçóç Äåí åßíáé ðüíôïôå ãíùóôü áí u 0 (a) = 0 Þ u 0 (b) = 0, ðïõ óçìáßíåé üôé åßíáé äõíáôü íá õðüñ ïõí áóõíý åéåò ìåôáîý áñ éêþí êáé óõíïñéáêþí óõíèçêþí. ÄéáìÝñéóç Ãéá ôçí ðñïóåããéóôéêþ ëýóç ôçò (11::1 1) ôï äéüóôçìá [a; b] ôçò ìåôáâëçôþò x õðïäéáéñåßôáé óå N +1 ßóá õðïäéáóôþìáôá ðëüôïõò h (Ó ), êáé ôï [0; T ] ôçò t, üôáí t = T óõìâïëßæåé ôçí ôåëéêþ ñïíéêþ óôéãìþ ëýóçò ôçò (11::1 1), 4 óå õðïäéáóôþìáôá ðëüôïõò `. Ôüôå ç áíïéêôþ ðåñéï Þ Ω = (a; b) (0; T ] ìå ôï óýíïñü ðïõ áðïôåëåßôáé áðü ôïí Üîïíá t = 0 êáé ôéò åõèåßåò x = a êáé x = b, êáëýðôåôáé áðü Ýíá ïñèïãþíéï óýóôçìá óçìåßùí (grid), Ýóôù G (Ó ), ôá ïðïßá Ý ïõí óõíôåôáãìýíåò x m = a + mh, üôáí m = 0; 1; : : : ; N + 1 êáé t n = n` üôáí n = 0; 1; : : : : 3 Ãéá óõíïñéáêýò óõíèþêåò âëýðå ÌÜèçìá 6 ÐáñÜãñáöïò 6:. 4 ÂëÝðå áíôßóôïé ç ñïíéêþ óôéãìþ t N = b óôï ÌÜèçìá 9 ÐáñÜãñáöïò 9:1:3.
7 6 ÐñïóåããéóôéêÞ ëýóç PDE's Êáè. Á. ÌðñÜôóïò a h b x 0 x 1 x m x m 1 x N x N 1 Ó Þìá : Ç äéáìýñéóç ôïõ äéáóôþìáôïò [a; b]: ôá óõíïñéáêü óçìåßá x 0 = a, x N+1 = b êáé ôá åóùôåñéêü óçìåßá x 1 ; : : : ; x N üðïõ õðïëïãßæåôáé ç ëýóç ôçò (11::1 1) Grid a,b 0,T t T t n t 0 x 0 x 1 x m x m 1 x N x N 1 t 1 Ó Þìá : Ôá óçìåßá (mesh) ôçò äéáìýñéóçò (grid) G ôïõ äéáóôþìáôïò [a; b] êáé ôïõ ñüíïõ [0; T ]. Ôï ïñßæåôáé áðü ôçí åõèåßá t = 0 (êáöý) êáé ôéò x = a; b (êüêêéíåò) åõèåßåò. Ôï (x m ; t n ) áðåéêïíßæåôáé óôï ðñüóéíï óçìåßï, åíþ ç ôåëéêþ ñïíéêþ óôéãìþ ëýóçò ôçò (11::1 1) áðü ôçí ðñüóéíç åõèåßá t = T
8 Åîßóùóç äéüäïóçò èåñìüôçôáò 7 time level t n a h b x 0 x 1 x m x m 1 x N x N 1 U 1 n U m n n U m 1 U N n Ó Þìá : Óõìâïëéóìüò ôùí ëýóåùí: óôá óõíïñéáêü óçìåßá x 0 = a êáé x N+1 = b ëüãù ôçò (11::1 ) åßíáé U0 n = U N+1 n = 0. Ç ðñïóåããéóôéêþ ëýóç U1 n ; U n : : : ; U N n ôçò (11::1 1) õðïëïãßæåôáé óôá åóùôåñéêü óçìåßá x 1 ; : : : ; x N Óõìâïëéóìüò ëýóåùí Óôá åðüìåíá ç èåùñçôéêþ ëýóç u (x m ; t n ) óôï óçìåßï (x m ; t n ) èá óõìâïëßæåôáé ìå u n m, êáé ç áñéèìçôéêþ ëýóç ìå U n m (Ó ). Óýìöùíá ìå ôïí ðáñáðüíù óõìâïëéóìü óå äåäïìýíç ñïíéêþ óôéãìþ t = t n = n` ç èåùñçôéêþ ëýóç u (x; t n ) ôçò (11::1 1) óôá óçìåßá x 1 ; x ; : : : ; x N èá åßíáé êáé èá ðñïóåããßæåôáé áðü ôéò ôéìýò u (x 1 ; t n ) ; u (x ; t n ) ; : : : ; u (x Í ; t n ) U n 1 ; U n ; : : : ; U n N : Ôüôå ïé ðñïóåããßóåéò áõôýò åßíáé äõíáôüí íá èåùñçèïýí óáí ïé óõíôåôáãìýíåò åíüò äéáíýóìáôïò, Ýóôù U n, üðïõ U n = [U n 1 ; U n : : : ; U n N] T : ( )
9 8 ÐñïóåããéóôéêÞ ëýóç PDE's Êáè. Á. ÌðñÜôóïò h x 1 x x m 1 x m x m 1 x N 1 x N Ó Þìá : Åîßóùóç èåñìüôçôáò: õðïëïãéóìüò ôçò ðñïóåããéóôéêþò ëýóçò óôá åóùôåñéêü óçìåßá x 1 ; : : : ; x N óå åðßðåäï ñüíïõ t = n` Ôï äéüíõóìá áõôü èá ëýãåôáé óôï åîþò êáé äéüíõóìá ëýóåùí ôçò (11::1 1) ÐñïóåããéóôéêÝò ëýóåéò ÌÝèïäïò ôïõ Taylor Ãéá ôçí ðñïóåããéóôéêþ ëýóç ôçò åîßóùóçò (11::1 1) ðñýðåé óå êüèå ñïíéêþ óôéãìþ t = `; `; : : : ç ìåñéêþ ðáñüãùãïò ùò ðñïò ôç ìåôáâëçôþ x íá áíôéêáôáóôáèåß óå êáèýíá áðü ôá N åóùôåñéêü óçìåßá (Ó ) ôçò äéáìýñéóçò G. 5 Ç ðñïóýããéóç áõôþ èá ðñïêýøåé áðü ôïí ãíùóôü ôýðï (11:1: u(x; t) u(x + h; t) u(x; t) + u(x h; h 5 Óýìöùíá ìå ôçí ÐáñÜãñáöï êáé ôéò óõíïñéáêýò óõíèþêåò (11::1 ) - óõíèþêåò Dirichlet - ç áíôéêáôüóôáóç ôçò ìåñéêþò ðáñáãþãïõ ùò ðñïò x óôá óõíïñéáêü óçìåßá x 0 = a, áíôßóôïé á x N+1 = b áðáéôåß íá åßíáé ãíùóôýò ïé ôéìýò ôçò ëýóçò óôá óçìåßá x 1 = a h, áíôßóôïé á x N+ = b + h. Ïé ôéìýò üìùò áõôýò äåí åßíáé ãíùóôýò óôï óõãêåêñéìýíï ðñüâëçìá.
10 Åîßóùóç äéüäïóçò èåñìüôçôáò 9 èåùñþíôáò ãéá ôç ñïíéêþ óôéãìþ t åßíáé t = t n = n` êáé åöáñìüæïíôáò ôïí ðáñáðüíù ôýðï óå êüèå Ýíá åóùôåñéêü óçìåßï, u(x; u (x m + h; t n ) u (x m ; t n ) + u (x m h; t n ) h t=tn; x=x m = u (x m+1; t n ) u (x m ; t n ) + u (x m 1 ; t n ) h ; üôáí m = 1; ; : : : ; N. ÅðïìÝíùò Ý ïíôáò õð' üøéí êáé ìå ôïõò óõìâïëéóìïýò ôçò ÐáñáãñÜöïõ ðñïêýðôåé u(x; U m+1 n U m n + Um 1 n h : ( ) t=tn ; x=x m ñá ç (11::1 1) óýìöùíá ìå ôçí (11:: 1), üôáí åöáñìïóôåß óå êüèå Ýíá åóùôåñéêü óçìåßï x 1 ; : : : ; x N (Ó ), ïñßæåé ôï ðáñáêüôù óýóôçìá N äéáöïñéêþí åîéóþóåùí 1çò ôüîçò du n 1 dt du n m dt = U n 0 U n 1 + U n h ; = U n m 1 U n m + U n m+1 h ãéá m = ; 3; : : : ; N 1; du n N dt = U n N 1 U n N + U n N+1 h ôï ïðïßï, åðåéäþ óýìöùíá ìå ôéò óõíïñéáêýò óõíèþêåò (11::1 ) åßíáé U0 n = 0 êáé UN+1 n = 0, ôåëéêü ãñüöåôáé du n 1 dt du n m dt = U n 1 + U n h ; = U n m 1 U n m + U n m+1 h ãéá m = ; 3; : : : ; N 1; du n N dt = U n N 1 U n N h : ( ) Ôï óýóôçìá (11:: ), üôáí ñçóéìïðïéçèåß ôï äéüíõóìá ôùí ëýóåùí (11::1 4), ãñüöåôáé ìå ñþóç ðéíüêùí óå äéáíõóìáôéêþ ìïñöþ ùò åîþò: du(t) = AU(t) ìå U 0 = g; ( ) dt
11 10 ÐñïóåããéóôéêÞ ëýóç PDE's Êáè. Á. ÌðñÜôóïò üðïõ ï A åßíáé Ýíáò ôñéäéáãþíéïò ðßíáêáò ôçò ìïñöþò A = h ( ) êáé g = U 0 = [ ] U1 0 ; U 0 ; : : : ; U 0 T N ôï äéüíõóìá ôùí áñ éêþí ôéìþí ôçò ðñïóåããéóôéêþò ëýóçò, ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôçí áñ éêþ óõíèþêç (11::1 3). 6 óôù D = d d t... d d t ( ) Ýíáò äéáãþíéïò ðßíáêáò ôüîçò N ðïõ óõìâïëßæåé ôï äéáöïñéêü ôåëåóôþ 1çò ôüîçò ãéá ôï óýóôçìá (11:: 3). Ôüôå ôï óýóôçìá (11:: 3) ôåëéêü ãñüöåôáé D U(t) = AU(t) ìå U 0 = g: ( ) ÐáñáôçñÞóåéò i) Ôï óýóôçìá (11:: 6) Ý åé áíüëïãç ìïñöþ ìå ôï ðñüâëçìá áñ éêþò ôéìþò (9:1:1 3) ôïõ ÌáèÞìáôïò 9. ii) Ç ðáñáðüíù ìýèïäïò ðñïóäéïñéóìïý ôçò ëýóçò åßíáé ãíùóôþ óáí ç ìýèïäïò ôùí åõèåéþí (method of lines Þ MOL Þ NMOL). 7 Óýìöùíá ìå ôç ìýèïäï áõôþ ç ëýóç ôïõ ðñïâëþìáôïò ðñïóåããßæåôáé óå êüèå ñïíéêþ óôéãìþ t - åõèåßåò t = `, : : : (Ó ) êáé ôåëéêü ç ðñïóåããéóôéêþ ëýóç äßíåôáé ìå ôç ìïñöþ åíüò óõóôþìáôïò óõíþèùí 6 ÂëÝðå áíôßóôïé ç áñ éêþ y 0 = y(a) = y (t 0) óôá ÌáèÞìáôá 9 êáé 10, áëëü êáé áíüëïãåò áñ éêýò ôéìýò ðïõ ñçóéìïðïéþèçêáí óôá ÌáèÞìáôá 1 êáé. 7 ÂëÝðå âéâëéïãñáößá êáé http : ==en:wikipedia:org=wiki=method of lines.
12 Åîßóùóç äéüäïóçò èåñìüôçôáò 11 äéáöïñéêþí åîéóþóåùí áíüëïãïõ ôçò ìïñöþò (11:: 6), üðïõ ç ôüîç ôïõ óõóôþìáôïò åîáñôüôáé áðü ôçí ôüîç ôùí ìåñéêþí ðáñáãþãùí ùò ðñïò t. Äéåõêñéíßæåôáé üôé óôçí (11:: ), åöüóïí ç ìåôáâëçôþ x áíôéêáèßóôáôáé áðü ôéò ôéìýò x m ; m = 1; : : : ; N, ç U åßíáé óõíüñôçóç ôïõ t, ïðüôå ç ðáñáãþãéóç èá óõìâïëßæåôáé ìå du d t Áðü ôï óýóôçìá (11:: 6) ðñïêýðôåé ôüôå áíôß t D = A ( ) ðïõ ïñßæåé êáé ôçí ðñïóýããéóç ôïõ ôåëåóôþ D ãéá ôï ðñüâëçìá (11::1 1) - (11::1 3). Ç Ýêöñáóç áõôþ èá ñçóéìïðïéçèåß óôç óõíý åéá ôïõ ìáèþìáôïò. Áðü ôï áíüðôõãìá ôçò U(t + `) êáôü Taylor U(t + `) U(t) + ` ` ` DU(t) + 1!! D U(t) + : : : +! D U(t); ( ) áí ðáñáëåéöèïýí ïé üñïé O (`), Ý ïõìå U(t + `) = U(t) + ` D U(t) ðïõ óýìöùíá ìå ôçí (11:: 7) ãñüöåôáé U(t + `) = U(t) + ` A U(t); äçëáäþ U(t + `) = (I + `A)U(t) ( ) üôáí I ï ìïíáäéáßïò ðßíáêáò ôüîçò N. óôù p = `=h : Ôüôå ãéá ôç ëýóç ôïõ ðñïâëþìáôïò (11::1 1) - (11::1 3) áðü ôçí (11:: 9) ðñïêýðôåé ç ðáñáêüôù áíáëõôéêþ (explicit) ìýèïäïò ôùí 4 óçìåßùí U n+1 1 U n+1. U n+1 N = 1 p p U 1 n p 1 p p U n ; p 1 p p. p 1 p UN n
13 1 ÐñïóåããéóôéêÞ ëýóç PDE's Êáè. Á. ÌðñÜôóïò äçëáäþ U n+1 1 = (1 p)u n 1 + pu n ; Um n+1 = (1 p)um n + p ( Um 1 n + U m+1 n ) ãéá m = ; 3; : : : ; N 1; U n+1 N = pu n N 1 + (1 p)u n N : ( ) ÐáñáôÞñçóç Áðïäåéêíýåôáé üôé ãéá ôç ëýóç ôïõ ðñïâëþìáôïò (11::1 1) - (11::1 3) ìå ôç ìýèïäï áõôþ áðáéôåßôáé íá éó ýåé ç óõíèþêç ` 1 h : ( ) Áõôü Ý åé óáí áðïôýëåóìá üôé ôï âþìá ôïõ ñüíïõ ` ðïõ ñçóéìïðïéåßôáé, ðñýðåé íá åßíáé ðïëý ìéêñü. ÅðïìÝíùò ç ìýèïäïò áõôþ, áí êáé áðëþ óáí áíáëõôéêþ, áðáéôåß Ýíá ìåãüëï áñéèìü ðñüîåùí ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò ëýóçò ôç ñïíéêþ óôéãìþ t = T. ÌÝèïäïò ôùí Crank - Nicolson Ïé Crack 8 -Nicolson 9 (1947) ðñüôåéíáí ìéá ìýèïäï, ðïõ ðåñéïñßæåé ôïí áñéèìü ôùí õðïëïãéóìþí êáé åßíáé äõíáôüí íá ñçóéìïðïéçèåß ãéá Ýíá ìåãüëï åýñïò ôéìþí ôùí h êáé `, áêñéâýóôåñá üðùò áðïäåéêíýåôáé ôïõ ëüãïõ r = ` h : Óýìöùíá ìå ôç ìýèïäï ç åîßóùóç (11::1 1), ; 8 JOHN CRANK ( ): ããëïò ìáèçìáôéêüò, ãíùóôüò êõñßùò ãéá ôçí ïìþíõìç ìýèïäï. 9 PHYLLIS NICOLSON ( ): Áããëßäá ìáèçìáôéêüò, ãíùóôþ ãéá ôçí ïìþíõìç ìýèïäï ìå ôïí Crank.
14 Åîßóùóç äéüäïóçò èåñìüôçôáò 13 t n 1 t n t n x 0 x 1 x m 1 x m x m 1 x N x N 1 Ó Þìá : ÌÝèïäïò ôùí Crank-Nicolson ðñïóåããßæåôáé óôçí åíäéüìåóç ôùí t = n` êáé t = (n + 1)` ñïíéêþ óôéãìþ; äçëáäþ ôçí ( t = n + 1 ) `; åíþ u ðñïóåããßæåôáé áðü ôï ìýóï üñï ôùí ôéìþí ôçò óôéò óôéãìýò t = (n + 1)` êáé t = n` (Ó ). n+ 1 = 1 ÅðåéäÞ óýìöùíá ìå ôçí (11:1: 5) åßíáé Um ) Um : ( t) u(x; t + `) u(x; t `) ` ç åöáñìïãþ ôçò óôçí (11:: 1) ãéá t + `= äßíåé ( ) [ ( ) x; t + ` u x; t + ` + ` ` [ x; ( t + ` ) ] ` = u(x; t + `) u(x; t) : `
15 14 ÐñïóåããéóôéêÞ ëýóç PDE's Êáè. Á. ÌðñÜôóïò n+ 1 m = U m n+1 Um n : ( ` Åßíáé Þäç ãíùóôü áðü ôçí (11:: 1) u(x; U m+1 n U m n + Um 1 n h : ( ) t=tn ; x=x m Ç (11:: 14), üôáí åöáñìïóôåß ãéá ôç ñïíéêþ óôéãìþ t = (n + 1)`, äßíåé ôçí u(x; U m+1 n+1 U n+1 m + Um 1 n+1 h : ( ) t=tn+1 ; x=x m ñá ôåëéêü ç (11:: 1) óýìöùíá ìå ôéò (11:: 14), (11:: 15) êáé (11:: 13) ãñüöåôáé Um n+1 Um n = 1 ( U n+1 m+1 U n+1 m + Um 1 n+1 ` h + U n+1 m+1 U n+1 m + Um 1 n+1 ) h äçëáäþ U n+1 m 1 ( ) p Um+1 n+1 n+1 Um + Um 1 n+1 = Um n + 1 p ( Um+1 n Um n + Um 1 n ) ( ) üðïõ åðßóçò åßíáé p = `=h : Ç (11:: 15), üôáí åöáñìïóôåß óå êüèå Ýíá åóùôåñéêü óçìåßï x 1 ; : : : ; x N (Ó ) ôçò äéáìýñéóçò G, Ý ïíôáò õð' üøéí êáé ôéò óõíïñéáêýò óõíèþêåò (11::1 ), ïñßæåé ôçí ðáñáêüôù ðåðëåãìýíç ìýèïäï ôùí 6 óçìåßùí (1 + p)u1 n+1 1 p U n+1 = (1 p)u1 n + 1 p U n ; (1 + p)u m n+1 1 ( ) p Um 1 n+1 + U m+1 n+1 = (1 p)um n + 1 p ( Um 1 n + U n ) m+1 ( ) ãéá m = ; 3; : : : ; N 1; 1 p U N 1 n+1 n+1 + (1 + p)un = 1 p U N 1 n + (1 p)un n :
16 Åîßóùóç äéüäïóçò èåñìüôçôáò 15 Ç ìýèïäïò áõôþ, ðïõ åßíáé ãíùóôþ óáí ìýèïäïò ôùí Crank-Nicolson, 10 åßíáé ëüãù ôçò áêñßâåéáò (accuracy) ôùí áðïôåëåóìüôùí ôçò ìéá áðü ôéò ðåñéóóüôåñï ñçóéìïðïéïýìåíåò ìåèüäïõò óôç ëýóç ðïëëþí Üëëùí ìïñöþí ôùí PDE's. Ç ìýèïäïò ãñüöåôáé åðßóçò ìå ñþóç ðéíüêùí ùò åîþò: Þ ôåëéêü ùò (I 1 `A ) 1 + p p p 1 + p p U1 n+1 U n p 1 + p p. p 1 + p U n+1 N p 1 p U1 n p p 1 p U n = ; p p 1 p. p 1 p UN n U(t + `) = (I + 1 ) `A U(t); ( ) üôáí ï ðßíáêáò A äßíåôáé áðü ôçí (11:: 4). ÐáñáôçñÞóåéò Ï ðñïóäéïñéóìüò ôïõ U(t + `) óôçí (11:: 18) áðáéôåß ôç ëýóç åíüò óõóôþìáôïò, üðïõ ï ðßíáêáò ôùí áãíþóôùí ( I 1 `A ) åßíáé ôñéäéáãþíéïò. ÐïëëÝò öïñýò ãéá ôïí ðåñéïñéóìü ôùí ðñüîåùí ñçóéìïðïéåßôáé ï ðáñáêüôù ôñüðïò õðïëïãéóìïý ôçò ëýóçò U(t + `): (I 1 `A ) U = U(t) U(t + `) = U U(t): 10 ÂëÝðå âéâëéïãñáößá êáé http : ==en:wikipedia:org=wiki=crank nicholson method
17 16 ÐñïóåããéóôéêÞ ëýóç PDE's Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ï õðïëïãéóìüò áõôüò áðáéôåß ôç ñþóç åíüò âïçèçôéêïý äéáíýóìáôïò U, áëëü Ý åé 3N ëéãüôåñåò ðñüîåéò áðü ôçí áðåõèåßáò ëýóç ôïõ óõóôþìáôïò (11:: 18). Óýìöùíá ìå üóá Ý ïõí ãñáöåß óôçí åéóáãùãþ, ç ìýèïäïò åßíáé äõíáôüí íá ñçóéìïðïéçèåß ãéá Ýíá ìåãüëï åýñïò ôéìþí ôïõ ëüãïõ r = `=h : åé áðïäåé èåß 11 üôé ãéá íá õðüñ åé ìéá ëåßá óõìðåñéöïñü ôçò ëýóç ðëçóßïí ôùí óõíïñéáêþí ôéìþí x = a; b, ðñýðåé íá éó ýåé üôáí k êáôüëëçëç óôáèåñü. r = ` h < k ; ÐáñÜäåéãìá Ç ìýèïäïò ôùí Crank-Nicolson åîåôüóôçêå óôï ðñüâëçìá ìå óõíïñéáêýò óõíèþêåò áñ éêþ óõíèþêç êáé èåùñçôéêþ ëýóç u(x; üðïõ 0 < x < êáé t > 0 ( ) + k=1 u (0; t) = u (; t) = 0; üôáí t > 0 ( ) u(x; 0) = 1; üôáí 0 x ( ) [1 ( 1) k] ( ) ( 1 k sin kx exp 1 ) 4 k t : ( ) Ôá áðïôåëýóìáôá ãéá ôéò äéüöïñåò ôéìýò ôùí h êáé ` óå ñüíï t = 1 êáé ìå ìýôñï ìýôñçóçò ôùí óöáëìüôùí ôï u n m U n m = max m=1; ; :::; N u n m U n m äßíïíôáé óôïí Ðßíáêá , åíþ ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò èåùñçôéêþò êáé ôçò ðñïóåããéóôéêþò ëýóçò óôï Ó , üðïõ Üìåóá ðñïêýðôåé üôé ôï ìýãéóôï óöüëìá ôçò ìåèüäïõ åßíáé ðëçóßïí ôùí Üêñùí ôïõ äéáóôþìáôïò [0; ]. 11 Lawson, J. D. and Morris, J. LI., The extrapolation of rst order methods for parabolic partial dierential equations. I, SIAM J. Numer. Anal. 15(6), (1978), pp. 11{14.
18 Åîßóùóç äéüäïóçò èåñìüôçôáò 17 Ðßíáêáò : ÐáñÜäåéãìá ÌÝèïäïò ` h e = u n m Um n E E E E-04 Ó Þìá : ÌÝèïäïò ôùí Crank-Nickolson. Ç äéáêåêïììýíç êáìðýëç äåß íåé ôçí áñéèìçôéêþ êáé ç óõíå Þò ôç èåùñçôéêþ ëýóç ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò
19 18 ÐñïóåããéóôéêÞ ëýóç PDE's Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÁóêÞóåéò 1. Íá ëõèåß ôï ÐáñÜäåéãìá ìå ôç ìýèïäï (11:: 10) êáé íá ãßíåé óýãêñéóç ôùí áðïôåëåóìüôùí ìå ôá áíôßóôïé á ôïõ Ðßíáêá Ðáñáëåßðïíôáò ôïõò üñïõò O (`3) óôï áíüðôõãìá êáôü Taylor ôçò U(t+`) äåßîôå üôé ïñßæåôáé ç ðáñáêüôù ìýèïäïò ëýóçò ôçò (11::1 1) U(t + `) = (I + `A + ` A )U(t): üôáí ï ðßíáêáò A äßíåôáé áðü ôçí (11:: 4) êáé I ï ìïíáäéáßïò ðßíáêáò ôüîçò N. Åöáñìüóôå ôç ìýèïäï áõôþ óôç ëýóç ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò êáé óõãêñßíáôå ôá áðïôåëýóìáôá ìå ôá áíôßóôïé á ôïõ Ðßíáêá Ç ãñáììéêþ ìïñöþ ôçò åîßóùóçò äéü õóçò-ìåôáöïñüò (diusion-convection) óå ìßá äéüóôáóç Ý åé @x üðïõ 0 < x < X êáé t > 0 ( ) üðïõ ì > 0 åßíáé ç ðáñüìåôñïò ìåôáöïñüò (convection parameter). Ç áñ éêþ óõíèþêç ôïõ ðñïâëþìáôïò åßíáé êáé ïé óõíïñéáêýò óõíèþêåò u(x; 0) = g(x) ìå 0 < x < X ( ) u(0; t) = v(t) ìå t > 0 ( = 0 ìå t > 0: ( ) i) Ìå êáôüëëçëç äéáìýñéóç ôïõ äéáóôþìáôïò [0; X] äåßîôå üôé, üôáí ç åîßóùóç (11:: 3) ìå ôéò ðñïóåããßóåéò (11:1: 5), (11:1: 6) êáé ôéò óõíïñéáêýò óõíèþêåò (11:: 5), (11:: 6) - äçëáäþ U n N+1 = U n N 1 - åöáñìïóôåß óôá N åóùôåñéêü óçìåßá ôçò äéáìýñéóçò óå åðßðåäï ñüíïõ t = n` üðïõ n = 1; ; : : :, ðñïêýðôåé ôï ðáñáêüôù óýóôçìá ôùí N äéáöïñéêþí åîéóþóåùí du 1 dt = h U n h ( 1 1 ìh ) U n + 1 h ( ìh ) v t ;
20 Åîßóùóç äéüäïóçò èåñìüôçôáò 19 du n m dt = 1 ( h ) ìh Um 1 n h U n + 1 ( h 1 1 ) ìh Um+1 n du n N dt ãéá m = ; 3; : : : ; N 1; ( ) = UN 1 n U N n h ðïõ ãñüöåôáé åðßóçò óå äéáíõóìáôéêþ ìïñöþ ùò üðïõ A = du(t) = A U(t) + b ìå U 0 = g ( ) dt 1 1 ìh ìh 1 1 ìh ìh 1 1 ìh êáé b = h [( ìh ) U t (n`); 0; : : : ; 0] T. Äþóôå ôç ìïñöþ ôçò ìåèüäïõ (11:: 10) ãéá ôçí ðåñßðôùóç áõôþ. ii) Ðïéá åßíáé ç ìïñöþ ôçò ìåèüäïõ ôùí Crank-Nicolson ãéá ôç ëýóç ôïõ ðñïâëþìáôïò (11:: 3) ìå óõíïñéáêýò óõíèþêåò (11:: 5) êáé (11:: 6); 1 1 Áðáãïñåýåôáé ç áíáäçìïóßåõóç Þ áíáðáñáãùãþ ôïõ ðáñüíôïò óôï óýíïëü ôïõ Þ ôìçìüôùí ôïõ ùñßò ôç ãñáðôþ Üäåéá ôïõ Êáè. Á. ÌðñÜôóïõ. bratsos@teiath.gr URL:
21
22 Âéâëéïãñáößá [1] Aêñßâçò, Ã., ÄïõãáëÞò, Â. (1995), ÅéóáãùãÞ óôçí ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç, ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò, ÁèÞíá, ISBN 978{960{54{0{6. [] ÌðñÜôóïò, Á. (011), ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç, ÁèÞíá, ISBN 978{960{351{874{7. [3] ÌðñÜôóïò, Á. (00), Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç, ÁèÞíá, ISBN 960{351{453{5/978{960{351{453{4. [4] ÓôåöáíÜêïò,., Ðñïãñáììáôéóìüò Ç/Õ ìå MATLAB, Ãêïýñäáò ÅêäïôéêÞ, ISBN 978{960{387{856{8. [5] Burden, Richard L. and Faires, J. Douglas (000), Numerical Analysis (7th ed.), Brooks/Cole, ISBN 978{0{534{3816{. [6] Conte, S. D., Carl de Boor (1981), Elementary Numerical Analysis: An Algorithmic Approach (3rd ed.), McGraw-Hill Book Company, ISBN 978{0{07{01447{9. [7] Don, E., Schaum's Outlines { Mathematica (006), Åêäüóåéò ÊëåéäÜñéèìïò, ISBN 978{960{461{000{6. [8] Henrici, P. (1966), Elements of Numerical Analysis, John Wiley & Sons, New York, ISBN 978{0{471{3738{7. [9] Kendell A. Atkinson (1989), An Introduction to Numerical Analysis (nd ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0{471{5003{. 1
23 Êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ôïõ Gauss Êáè. Á. ÌðñÜôóïò [10] Leader, Jeery J. (004), Numerical Analysis and Scientic Computation, Addison Wesley, ISBN 978{0{01{73499{7. [11] Schatzman, M. (00), Numerical Analysis: A Mathematical Introduction, Clarendon Press, Oxford, ISBN 978{0{19{85079{1. [1] Smith, G. D. (1986), Numerical Solution of Partial-Dierential Equations: Finite Dierence Methods (3rd ed.), Oxford University Press, Oxford, ISBN 978{0{19{859650{9. [13] Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (00), Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.), Springer, ISBN 978{0{387{9545{3. [14] Sli, E. and Mayers, D. (003), An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978{0{51{00794{8. [15] Twizell, E. H. (1984), Computational Methods for Partial Dierential Equations. Ellis Horwood Ltd., Chichester, West Sussex, England, ISBN 978{0{8531{383{5. [16] Twizell, E. H. (1988), Numerical Methods, with Applications in the Biomedical Sciences, Ellis Horwood, Chichester, ISBN 978{0{7458{ 007{1. ÌáèçìáôéêÝò âüóåéò äåäïìýíùí Page
24 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
25 Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, 014. Αθανάσιος Μπράτσος. «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά. Ενότητα 11: Προσέγγιση μερικών διαφορικών εξισώσεων - Παραβολικές». Έκδοση: 1.0. Αθήνα 014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.
Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò
ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò
Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ
ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =
ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç
SPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá
ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí
ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß
ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï
ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ
ÌÜèçìá 7 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÅéóáãùãÞ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí, ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí I(f) = f(x) dx i) ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ
ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr
2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé
ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 7: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)
44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 8: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ
ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò
ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.
( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
. Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò
Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση
ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 1 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 11 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 111 Ïñéóìïß Êñßíåôáé áñ éêü áðáñáßôçôï íá ãßíåé óôïí áíáãíþóôç õðåíèýìéóç ôùí ðáñáêüôù âáóéêþí ìáèçìáôéêþí åííïéþí: Ïñéóìüò 111-1 (åîßóùóçò) ËÝãåôáé
ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ
ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï
1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ
55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,
ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç
ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü
ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ
28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ
ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Âáóéêïß ïñéóìïß
ÌÜèçìá 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ôá êõñéüôåñá óôïé åßá ôùí äéáíõóìüôùí, ðïõ åßíáé áðáñáßôçôá ãéá ôçí êáôáíüçóç ôùí åðüìåíùí ìáèçìüôùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá ðëçñýóôåñç
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Ανώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 8: Τριπλά Ολοκληρώματα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ
66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ
Διοικητική Λογιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση Ποιότητας,
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος
ÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò
ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,
Ó ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X
V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò
Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé
Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)
Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Estimation Theory Exercises*
Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης
Ανώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 2: Διαφορικές Εξισώσεις Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.
ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó
å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)
16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.
55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ
Ðñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.
Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí
165 KåöÜëáéï 8 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 1. Ïñéóìüò êáé óõíý åéá óõíáñôþóåùò ðåñéóóïôýñùí ìåôáâëçôþí * ÌåôñéêÝò óå ìåôñéêïýò þñïõò Åðß ôïõ Rïñßæïõìå ôçí ìåôñéêþ d(, = - 1 1 Åðß ôïõ R ïñßæïõìå ôéò åðüìåíåò
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ
.1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé
1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï
ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé
ΠΙΝΑΚΕΣ. Θερμοδυναμική 2012 Σελίδα 292
ΠΙΝΑΚΕΣ 2012 Σελίδα 292 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες: Ιδανικά αέρια Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc.
Ανώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 2: Αναλυτική Γεωμετρία Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Πολιτικών Μηχ.ΤΕ και Μηχ. Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής
Διοικητική Λογιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 6: Μέθοδοι ς Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο
Συντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò
Μαθηματικά ΙII. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 1: Μετασχηματισμός Laplace. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙII Ενότητα 1: Μετασχηματισμός aplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση
Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
ÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò
ÌÜèçìá 2 ÓÅÉÑÅÓ 2. Áêïëïõèßåò áñéèìþí Êñßíåôáé óêüðéìï íá äïèåß ðåñéëçðôéêü ðñéí áðü ôç ìåëýôç ôùí óåéñþí ç Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò áñéèìþí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6 η Άσκηση - DFS δένδρα Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων
Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 7: Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα
Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 8: Η Οικονομική πολιτική της Ευρωπαϊκής Ένωσης Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το
Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων Ενότητα 3: Μοντέλα βάσεων δεδομένων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται
ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 3 ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 3.1 Ïñéóìüò êáé ëãåâñá óõíáñôþóåùí 3.1.1 Ïñéóìïß Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ãéá ôéò ðñáãìáôéêýò óõíáñôþóåéò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò,
Τεχνικό Σχέδιο - CAD
Τεχνικό Σχέδιο - CAD Προσθήκη Διαστάσεων & Κειμένου ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Εντολές προσθήκης διαστάσεων & κειμένου Στο βασική (Home)
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 3: Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας ΤΕ Το
Ενότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων
Ενότητα 1 Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων 2 1.1 Βάσεις Δεδομένων Ένα βασικό στοιχείο των υπολογιστών είναι ότι έχουν τη δυνατότητα να επεξεργάζονται εύκολα και γρήγορα μεγάλο πλήθος δεδομένων και πληροφοριών.
ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ ÔÏ ÌÁÈÇÌÁ: ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ. ÅðéìïñöùôÞò: Â. Á. ÄÏÕÃÁËÇÓ
Åðéìïñöùôéêü Ðñüãñáììá Ãéá ôïõò Åêðáéäåõôéêïýò-Ìáèçìáôéêïýò óôï Ìáèçìáôéêü ôìþìá ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí êáôü ôçí ðåñßïäï Äåêåìâñßïõ 2000-Éïõíßïõ 200 ìå Õðåýèõíï ôïí êáèçãçôþ Ð. ÓôñÜíôæáëï ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 4: Στρατηγικοί προσανατολισμοί Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Ανώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 4: Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 9: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΤΟΠΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων
1 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 3 2 η Άσκηση... 3 3 η Άσκηση... 3 4 η Άσκηση... 3 5 η Άσκηση... 4 6 η Άσκηση... 4 7 η Άσκηση... 4 8 η Άσκηση... 5 9 η Άσκηση... 5 10
Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας
Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 4: Κλασσική και Κβαντική Πιθανότητα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας
Ανώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 1: Διαφορικές Εξισώσεις Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Μηχανές Πλοίου ΙΙ (Ε)
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυµα Αθήνας Μηχανές Πλοίου ΙΙ (Ε) Άσκηση 5 Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση Ποιότητας,
ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ Ενότητα 8: ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΤΑΤΜΗΣΗΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons
Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1)
Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6: 1η εργαστηριακή άσκηση και προσομοίωση με το SPICE Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και
Μηχανολογικό Σχέδιο Ι
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες