( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ

Transcript

1 . Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé ( ) α+ κ ãéá êüèå Î [,+ ). α β. Áí + - γ =, α, β, γ Î R ìå α ¹, íá äåßîåôå üôé ç åîßóùóç 3 α β - γ =,. + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) 3. Äßíåôáé ç óõíüñôçóç :[ α,β] R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [ α, β] êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá ( α, β), ìå ( α) = ( β). Íá äåßîåôå üôé õðüñ ïõí ξ,ξ Î ( α,β) ôýôïéá, þóôå íá éó ýåé ( ξ ) + ( ξ ) 4. Δίνεται η παραγωγίσιμη στο [,] ισχύουν : ( ) = ( ) < ( ) åßíáé ôï ìïíáäéêü óçìåßï ôïõ (,) Íá äåé ôåß üôé åßíáé ( ) < ( -).. = - συνάρτηση για την οποία - êáé áêüìç üôé ôï óçìåßï = - - óôï ïðïßï ìçäåíßæåôáé ç. 5. Δίνονται οι συναρτήσεις, g ορισμένες και παραγωγίσιμες α,β, με ( ) Î α,β και α>. στο διάστημα [ ] g ¹ για κάθε [ ] Επίσης, ( ) ¹ -g( ) για κάθε Î [ α,β], ( α) = g( β) και ( β) g( α) i) Να δείξετε ότι υπάρχει ξî ( α,β) τέτοιο, ώστε ( ξ) = -g ( ξ). ii) Αν h συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα [ α,β] με τύπο ( ) ( ) + g( ) h =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) - ώστε ( ) ( + g)( ξ) h ξ =. ξ iii) Ç åöáðôïìýíç óôï óçìåßï (,h( ξ) ) ξî τέτοιο, =. ξ ôçò ãñáöéêþò ðáñüóôáóçò C ôçò h äåí äéýñ åôáé áðü ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí. Σελίδα από 9

2 6. óôù óõíüñôçóç ðáñáãùãßóéìç óôï R ìå ( ) =, ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) ãéá êüèå Î R. Íá âñåßôå ôçí åîßóùóç ôçò åöáðôïìýíçò ôçò ãñáöéêþò ðáñüóôáóçò ôçò óôï óçìåßï (,) A. 7. Δίνεται η συνεχής και δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι, αν η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς ( ) ( ) τα άνω στο διάστημα Δ, τότε æ + ö + με ¹ ç < è ø, ενώ αν η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο διάστημα Δ, τότε για κάθε, Î Δ με ¹. æ + ç è ö > ø για κάθε ( ) ( ) + ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να αποδείξετε ότι για κάθε ψî (,+ ) æ + ψ ö ln + ψlnψ > ( + ψ) lnç, όπου ¹ ψ. è ø, ισχύει :, Î 8. Áí ç óõíüñôçóç åßíáé óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,3] óôï äéüóôçìá (,3) êáé ( 3) = ( ) + 9, íá äåßîåôå üôé õðüñ åé ξî (,3) ôýôïéï, þóôå íá éó ýåé ( ξ) = ξ Δίνεται η συνάρτηση :(, + ) R με τύπο ( ) Δ, ðáñáãùãßóéìç ( -) ln =. ln, +. Να δείξετε ότι: i) Η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ( ) ln - ln + < ln για κάθε >. ii) Ισχύει ( ) ( ) ( ) π π - êáé ln ( e ) ln( e + ) < π iii) ln ( e ) ln( e + ) < -.. Έστω οι συναρτήσεις, g δύο φορές παραγωγίσιμες στο R για τις οποίες ισχύει : = g, ii) ( ) - g( + ) + ³ e - για κάθε Î R και i) ( ) ( ) iii) ( ) > και g ( ) < για κάθε Î R. Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) - g ( e ) = έχει μοναδική λύση στο R. Σελίδα από 9

3 . Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :[,] [,] με ( ) ( ) = και η συνάρτηση g ορισμένη στο διάστημα [,] με g( ) = ( ) - ( - ). Να δείξετε ότι : α) Υπάρχει ξî (,) τέτοιο, ώστε να ισχύει g ( ξ) =. β) Υπάρχουν,ξ (,) ξ Î με ξ =,. ξ ¹ τέτοια, ώστε να ισχύει ( ξ ) ( ξ ) =. Δίνεται η συνάρτηση ( ) = e - λ + 3 για την οποία ισχύει ( ) ³ 4 για κάθε Î R. i) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ και να δείξετε ότι η ευθεία y = είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της, καθώς το -. ii) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις = και =. 3. Έστω η συνάρτηση με ( ) + α- =, αî R i) Για ποιές τιμές του α η παρουσιάζει δύο ή ένα ή κανένα ακρότατο; ii)ãéá á=, íá âñåßôå ôï åìâáäüí ôïõ ùñßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò, ôïõò Üîïíåò, y y êáé ôçí åõèåßá ìå åîßóùóç =, üðïõ óçìåßï óôï ïðïßï ç Ý åé áêñüôáôï. 4. Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, για την οποία ισχύει ( ) + ( ) = για κάθε Î R και ( ) = α, ( ) = β. Επίσης, έστω η συνάρτηση g( ) = ( ) - ασυν -βημ. Να δείξετε ότι : i) Η συνάρτηση ( g ( ) ) ( g ( ) ) ii) Ισχύει ( ) ασυν + βημ + είναι σταθερή στο R. = για κάθε Î R. Σελίδα 3 από 9

4 5. Έστω συνεχής συνάρτηση : [,] (, + ) για την οποία ισχύουν : i) ( ) =, ( ) = e και ii) δύο φορές παραγωγίσιμη στο (,) με ( ) < για κάθε Î (,). Íá äåßîåôå üôé õðüñ åé Ýíá ìüíï (,) óôï óçìåßï (, ( )) Î ôýôïéï,þóôå ç åöáðôïìýíç y =. íá åßíáé ðáñüëëçëç óôçí åõèåßá ( ) 6. Έστω συνάρτηση που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη,β γî α,β τέτοιο, ώστε στο διάστημα [ α ], α> και ( ) βγ αγ ( α) =, ( β) = και ( γ) =. αβ i) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον κî ( α,γ) και ένα τουλάχιστον λî ( γ,β) τέτοια, ώστε ( ) ( κ) κ = και ( ) ( λ) λ =. κ λ A ( κ, κ ) êáé B ( λ, ( λ) ) ïñßæïõí åõèåßá ðïõ äéýñ åôáé áðü ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, íá áðïäåßîåôå üôé ξî ôýôïéï, þóôå ( ξ) =. ii) Áí ôá óçìåßá ( ) õðüñ åé Ýíá ôïõëü éóôïí ( κ,λ) 7. Έστω η συνάρτηση ορισμένη και παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν : και α) ( ) = y + για κάθε, yî R. β) ( y) = e ( ) + e ( y) Να αποδείξετε ότι : i) Είναι ( ) = ii) = + e, Î R. iii) ( ) ( ) i m l ( ) =. Σελίδα 4 από 9

5 8. Μια βιομηχανία παράγει ποσότητα από ένα προϊόν με κόστος που δίνεται α K =, όπου το διατρέχει το ανοικτό διάστημα 4 é 9 ù και η παράμετρος α παίρνει τιμές στο κλειστό διάστημα ê, ú. ë9 û από τη συνάρτηση ( ) 3 (,+ ) Τα έσοδα από την πώληση ποσότητας του προϊόντος δίνονται από τη συνάρτηση E ( ) =, Î(,+ ) και το κέρδος δίνεται από =, Î(,+ ) τη συνάρτηση ( ) E( ) - K( ). i) Να βρείτε την ποσότητα για την οποία έχουμε το μέγιστο κέρδος, το οποίο συμβολίζουμε με M(α). é 9ù ii) Íá âñåßôå ôçí ôéìþ ôïõ α Î ê, ë9 ú ãéá ôçí ïðïßá ôï M(á) ãßíåôáé û ìýãéóôï, êáèþò êáé ôï ìýãéóôï áõôü êýñäïò. 9. i) Να δείξετε ότι η εξίσωση e + = έχει μοναδική ρίζα το μηδέν. ii) Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει + e = +, ÎR.Να δείξετε ότι: α) η είναι γνησίως αύξουσα. ( ) ( ) < για κάθε >. β) ισχύει ( ) < ( ). Έστω η συνάρτηση με ( ) ï ì ln = í -ln ïî -,ÎA,= i) Να βρείτε το σύνολο Α. ii) Να εξετάσετε αν η είναι παραγωγίσιμη στο. -. e- iii) Íá äåßîåôå üôé éó ýåé ( ) Σελίδα 5 από 9

6 ãéá êüèå Î ( + ). Áí ( ln) = + 3, êáé ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò ðåñíüåé áðü ôï óçìåßï A(,3), íá âñåßôå ôïí ôýðï ôçò êáé ôï óýíïëï ôéìþí ôçò.. Να βρείτε πολυώνυμο ( ) + λ-6 ( ) = ισχύουν : i) lim ( ) = P( ) P και αριθμό λ Î R, αν για τη συνάρτηση ± ii) οι ευθείες = και = - είναι κατακόρυφες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της και iii) ôï óçìåßï = - åßíáé èýóç ôïðéêïý áêñüôáôïõ ôçò., 3. Έστω συνάρτηση :[,] R - για την οποία ισχύουν : i) παραγωγίσιμη στο [-,] με συνεχή σε αυτό και ii) γνησίως αύξουσα στο [-, ]. Να δείξετε ότι : α) Ισχύει ( ) (- ) + ( )( + ) για κάθε [-, ] â) Åßíáé ( ) d ( ( - ) ( ) ) ò -. + Î. 4. Áí ç óõíüñôçóç åßíáé ðáñáãùãßóéìç óôï R êáé õðüñ åé αî R ôýôïéï, þóôå íá éó ýåé ( ) > ( α) üôé ( α + ) > ( α). ãéá êüèå Î R,íá äåßîåôå 5. óôù óõíüñôçóç äýï öïñýò ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá [,3] ìå ( ) < ãéá êüèå Î [,3] êáé ( ) = ( ) =. Íá äåßîåôå üôé åßíáé ( ) < êáé ( 3) <. Σελίδα 6 από 9

7 6. Áí ç óõíüñôçóç åßíáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá [,e] ìå < ( ) < êáé ( ) ³ ãéá êüèå Î éë,eùû õðüñ åé ìüíï Ýíáò áñéèìüò (,e),, íá áðïäåßîåôå üôé Î ôýôïéïò,þóôå íá éó ýåé + =. (ÃåíéêÝò åîåôüóåéò 994) ( ) ln ln-3 ln- 7. Δίνεται η συνάρτηση ( ) =, (,e) ( e,+ ) Î È. i) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, τα κοίλα και τα σημεία καμπής. ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης και να δείξετε ότι η εξίσωση ()=α,αî με α έχει ακριβώς μία λύση. R e iii) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 3 () ò e d. 8. Μια συνάρτηση είναι ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα (,+ ).Η γραφική παράσταση της έχει τρία κοινά σημεία με την ευθεία y=. Να αποδείξετε ότι : i) Η εξίσωση ( ) ( ) = έχει δύο τουλάχιστον θετικές ρίζες. ii) Áí, åßíáé äýï ñßæåò ôçò åîßóùóçò ( ) ( ) ôá óçìåßá ο (,), A (, ( )) êáé (,( )) ôüôå õðüñ åé Î (,+ ) = êáé B åßíáé óõíåõèåéáêü,. ôýôïéï, þóôå íá éó ýåé ( ) = 9. Ìéá óõíüñôçóç åßíáé óõíå Þò êáé êïßëç óôï äéüóôçìá [ α,β] êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá ( α,β) åîßóùóçò ( ) = óôï ( α,β), íá áðïäåßîåôå üôé.áí åßíáé ìéá ëýóç ôçò ( α) ( β) + - α β - <. Σελίδα 7 από 9

8 3. Ìéá óõíüñôçóç åßíáé äýï öïñýò ðáñáãùãßóéìç óôï R êáé éó ýåé ( ) + ( ) = ãéá êüèå Î R. Åðßóçò, ç ãñáöéêþ A êáé ç åöáðôïìýíç ôçò C óôï Á Ý åé êëßóç. Íá áðïäåßîåôå üôé : ðáñüóôáóç C ôçò äéýñ åôáé áðü ôï óçìåßï (,) i) ( ( ) ) ( ( ) ) = ii) Åßíáé ( ) ημ + + ãéá êüèå Î R. = συν, Î R. αln Äßíåôáé ç óõíüñôçóç ( ) β =. Íá âñåßôå ôéò ôéìýò ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí á êáé â ãéá ôéò ïðïßåò ç Ý åé åëü éóôï ôï ( ) = 3. Óôç óõíý åéá, íá áðïäåßîåôå ότι η εξίσωση ()=4 έχει ακριβώς ρίζες στο (, + ). 3. óôù óõíüñôçóç ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ) ôýôïéá, þóôå íá éó ýïõí : i) ( ) ( ) ( ) iii) ãéá êüèå Î (,+ ) e = > ãéá êüèå Î (,+ ), ii) ( ) e = êáé. Íá âñåßôå ôïí ôýðï ôçò. + æ ö =, αî R *. è ø 33. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) = και g( ) α + çα+ i) Να βρείτε την τιμή του α, ώστε το ακρότατο της g να βρίσκεται στην κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της. α =, να αποδείξετε ότι υπάρχει κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων των, g στο οποίο αυτές έχουν την ίδια εφαπτομένη. ii) Αν iii) Íá õðïëïãßóåôå ôï åìâáäüí ôïõ ùñßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôéò ãñáöéêýò ðáñáóôüóåéò ôùí óõíáñôþóåùí, g êáé ôéò åõèåßåò ìå åîéóþóåéò = êáé =. Σελίδα 8 από 9

9 34. óôù üôé ç åõèåßá y = + 5 åßíáé áóýìðôùôç ôçò ãñáöéêþò ðáñüóôáóçò ìéáò óõíüñôçóçò, êáèþò ôï +. κ( ) + 4 Íá âñåßôå ôïí ðñáãìáôéêü áñéèìü ê, áí lim ( ) =. 35. Δίνεται ο θετικός πραγματικός αριθμός α και η συνάρτηση = α -, >. ( ) ln i) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η είναι κυρτή ή κοίλη. ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης C A, και να προσδιορίσετε το α, ώστε της συνάρτησης στο σημείο ( ( )) η εφαπτομένη αυτή να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. iii) Ãéá ôçí ôéìþ áõôþ ôïõ á íá âñåßôå ôï åìâáäüí ôïõ ùñßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôç C,ôçí åöáðôïìýíç êáé ôéò åõèåßåò ìå åîéóþóåéò = êáé =. 36. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ln =. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο της γραφικής παράστασης C της στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα. ii) Να δείξετε ότι ισχύει ln - e. ³ για κάθε Î(,+ ) iii) Íá âñåßôå ôï åìâáäüí ôïõ ùñßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôç C, ôïí Üîïíá êáé ôéò åõèåßåò ìå åîéóþóåéò =t êáé =, üðïõ t åßíáé ôï óçìåßï óôï ïðïßï ç ðáñïõóéüæåé áêñüôáôï. Σελίδα 9 από 9

10 37. Δίνεται η συνάρτηση :R R με ( α) = ( β) =. που είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [,β] i) Να δείξετε ότι για τη συνάρτηση ( ) ( ) g =, [ α,β] ξî τέτοιο, ώστε g ( ξ) = υπάρχει ( α,β). - Ï, ii) Íá äåßîåôå üôé ç åöáðôïìýíç (å) ôçò ãñáöéêþò ðáñüóôáóçò ξ, ξ N,. ôçò óôï óçìåßï M ( ( )) äéýñ åôáé áðü ôï óçìåßï ( ) α, 38. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την συνάρτηση ( ) Óôç óõíý åéá íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç æ ö 5 - < æ ö 5 - ç ç. è ø è ø æ3ö æ4ö = ç + ç. 5 5 ø è ø è 39. óôù ç óõíüñôçóç :[, 4] R Áí ãéá êüèå [ ] ðïõ åßíáé ðáñáãùãßóéìç. æ 4 ö æ ö æ 5 ö Î, 4 éó ýåé ç = 4ç êáé åßíáé ç =, è ø è ø èø, Î,4, þóôå ( ) + ( ) + ( ) =., 3 íá äåßîåôå üôé õðüñ ïõí ( ) 3 4. Έστω συνάρτηση :[ α,β] R δύο φορές παραγωγίσιμη με α> και ( α) = ( β) =. Να δείξετε ότι : i) Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξî ( α,β) τέτοιο, ώστε ξ ( ξ) = ( ξ) ii) Αν ( ) ¹ για κάθε Î ( α,β), τότε το ξ είναι μοναδικό.. iii) Ç åöáðôïìýíç ôçò ãñáöéêþò ðáñüóôáóçò ôçò óôï M ξ, ξ äéýñ åôáé áðü ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí. óçìåßï ( ( )) Σελίδα από 9

11 4. Äßíåôáé ç ðáñáãùãßóéìç óõíüñôçóç :(, ) R ïðïßá éó ýïõí : ( ln ) = - ημ - συν =. Íá äåßîåôå üôé ( π) êáé ( ) συν + ãéá ôçí ãéá êüèå > συνeπ =. π 4. Íá äåßîåôå üôé éó ýåé ( y) v v -( v + y v ) e * + ãéá êüèå,y>, vî N. 43. i) Αν η συνάρτηση ορισμένη στο R είναι γνησίως αύξουσα, να δείξετε ότι και η συνάρτηση o είναι επίσης γνησίως αύξουσα στο R. go g, ii) Íá ìåëåôþóåôå ùò ðñïò ôç ìïíïôïíßá ôç óõíüñôçóç üðïõ ( ) ( + ) g = e. 44. óôù óõíüñôçóç ïñéóìýíç óôï R ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé lim + 3 ( ( ) ) =. Íá âñåßôå ôçí áóýìðôùôç ôçò ãñáöéêþò ðáñüóôáóçò ôçò, êáèþò ôï óôù ( ) α + β + γ + δ 3 = êáé, R Íá áðïäåßîåôå üôé : i) Éó ýåé ( ) + ( ) = ii) Áí <, õðüñ åé [, ]. Î, þóôå ( ) = ( ) =. Î, þóôå ( ). = 46. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα [,β] Αν είναι ( α) < και ( β) > ένα τουλάχιστον ξî ( α,β) τέτοιο, ώστε ( ξ) =. α., να αποδείξετε ότι υπάρχει Σελίδα από 9

12 47. i) Αν για κάθε Î(,+ ) ισχύουν ( ) = g( ) και g ( ) = - ( ), να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h( ) = ( ( e )- ημ) + ( g( e )- συν) είναι σταθερή στο (,+ ). ii) Áí åðß ðëýïí éó ýïõí : ( e π ) = êáé g( e π ) - íá áðïäåßîåôå üôé åßíáé ( ) ημ( ln) =, = êáé ( ) συν( ln) g =. 48. Δίνεται η συνάρτηση ( ) - + α 4 =, αî R. i) Αν A (, ( ), B (, ( ), (, ( ) Γ είναι τοπικά ακρότατα 3 3 της γραφικής παράστασης της και < <, 3 να αποδείξετε ότι η ευθεία ΑΒ είναι κάθετη στην ευθεία ΒΓ. ii) Αν <α<, να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) μια λύση στο διάστημα (,) = έχει ακριβώς -. (ÈÝìá 995) 49. Δίνεται η συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, για την οποία ισχύει ( ) ¹ για κάθε R g = για κάθε Î R καμπής το A (, ( )) B,g είναι παράλληλη στην ευθεία y =. στο σημείο ( ( )) Î και η συνάρτηση g τέτοια, ώστε ( ) ( ) ( ). Να αποδείξετε ότι αν η γραφική παράσταση της έχει σημείο, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g (ÈÝìá 995) 5. Δίνεται η συνάρτηση :[, ) R ισχύει: ( ) = ( ) = και ( ) < στο (,+ ) + δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία.να δείξετε ότι η συνάρτηση ì( ) ï, > g ( ) = í είναι : α) συνεχής και β) γνησίως φθίνουσα στο[, + ). ï î, = Σελίδα από 9

13 5. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο (,+ ) με ( ) για κάθε Î (,+ ) από το σημείο (, ) = ln +. Αν η γραφική παράσταση της διέρχεται M να βρείτε τον τύπο της και να κάνετε τον πίνακα μεταβολών της. ( ) 5. Δίνεται η συνάρτηση ( ) + α + β =. i) Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, ώστε η ευθεία με εξίσωση y = - να εφάπτεται της γραφικής παράστασης M 3,. C της στο σημείο της ( ) ii) Για τα α, β που βρήκατε, να μελετήσετε τη συνάρτηση g ( ) ( ) + = ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 53. Ένας βιοτέχνης υπολογίζει ότι μπορεί να πουλήσει. παιχνίδια το μήνα, αν καθορίσει 3 ευρώ την τιμή κάθε παιχνιδιού. Επιπλέον υπολογίζει ότι για να αυξήσει τις πωλήσεις του μηνιαίως σε κάθε παιχνίδια πρέπει να μειώνει την τιμή κάθε παιχνιδιού κατά λεπτά. Να βρείτε τον αριθμό των παιχνιδιών τα οποία θα πρέπει να πουλάει κάθε μήνα για να έχει μέγιστη είσπραξη. 54. Η ραδιενέργεια που εκλύεται από τη διάσπαση mg ενός ραδιενεργού σώματος δίνεται από τη συνάρτηση α e α ( ) =, Î (,+ ), όπου α> σταθερά που εξαρτάται e από το υλικό του σώματος. Να βρείτε : i) Τη μέγιστη τιμή Μ(α) της. ii) Τον αριθμό αî R, ώστε η Μ(α) να παίρνει την ελάχιστη τιμή της. Σελίδα 3 από 9

14 55. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει ( ) ( -) + + = + για κάθε Î R. g e - Αν για τη συνάρτηση g ισχύει ( ) ( ) Î και = + για κάθε R η γραφική παράσταση C της g έχει οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο A (,g( ) ), να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός μ, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης C της στο σημείο B (, ( ) ) να είναι παράλληλη στην ευθεία ε : ( μ ) + y - 3 = Έστω οι συναρτήσεις ( ) = - e και ( ) Αν (, ) μ μ g = e, όπου μ>. A y κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων C και C των συναρτήσεων και g αντίστοιχα, να βρείτε το μ, ώστε οι εφαπτομένες των C και C στο Α να είναι κάθετες. 57. i) Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ, ώστε η γραφική παράσταση C της συνάρτησης ( ) = α + β + γe να εφάπτεται του άξονα στην αρχή των αξόνων και η εφαπτομένη, να τέμνει τον άξονα y,. της C στο σημείο ( ( )) y στο σημείο ( ) ii) Για τα α, β, γ που βρήκατε, να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. iii) Να αποδείξετε ότι ισχύει e ³ + για κάθε Î R. 58. Δίνεται η συνάρτηση :R R με ( ) κα + λβ + μγ =, όπου < α,β,γ ¹ και κ, λ,μ Î R με κ + λ + μ ¹. i) Αν ισχύει ( ) κ + λ + μ ³ για κάθε Î R, να δείξετε ότι είναι ακ μ βλ γ =. ii) Αν επιπλέον κ,λ,μ ³, να δείξετε ότι η συνάρτηση δεν έχει σημείο καμπής. Σελίδα 4 από 9

15 3 = με ρίζες ρ < ρ < ρ Δίνεται η συνάρτηση ( ) α α 3α Να δείξετε ότι : i) Το [, ] αï. ii) Η παρουσιάζει ένα τοπικό ελάχιστο στη θέση και ένα τοπικό μέγιστο στη θέση. iii) Ισχύει ( )( + ) = Δίνεται η συνάρτηση ( ) = ( -κ)( 3 -λ) 5 με κ<λ. ( ) 3 5 Να αποδείξετε ότι : i) = +, ¹ κ, λ. ( ) -κ -λ ii) Η συνάρτηση g ( ) = ln ( ) στρέφει τα κοίλα κάτω στο διάστημα (,λ) κ. 6. Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει 3 ) ³ ( ) + για κάθε Î R.Να αποδείξετε ότι : ( α) η εξίσωση () = έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο (-,). β) (-) = ( ) = ( ). γ) η συνάρτηση έχει τέσσερα τουλάχιστον πιθανά σημεία καμπής στο (-,). 6. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα [,] με ( ) = και ( ) > για κάθε Î [,]. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μόνο ένας αριθμός Î (,) τέτοιος, ώστε ( ) e = e +. Σελίδα 5 από 9

16 α - e 63. Δίνεται η συνάρτηση ( ) =, όπου α>. α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η είναι κυρτή ή κοίλη. β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση C της έχει ένα μόνο σημείο καμπής, το οποίο και να προσδιορίσετε. γ) Να βρείτε την τιμή του α για την οποία η εφαπτομένη της C στο σημείο καμπής είναι παράλληλη προς τον άξονα. 64. Δίνεται η συνάρτηση 3 ( ) = + α + β+ γ. Να βρείτε τις τιμές των α, β,γî R για τις οποίες το σημείο A (, ( ) ) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης C της και η ευθεία ε : y = - 3 είναι εφαπτομένη της C στο σημείο καμπής. 65. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει ( ( ) )- ( ) = ( - + 3) e για κάθε Î R. Να αποδείξετε ότι η δεν έχει κρίσιμα σημεία Έστω η συνάρτηση ( ) μ =, όπου μî R. α) Να μελετήσετε τη μονοτονία και να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της. β) Να βρείτε τα όρια της στο - και στο +. γ) Αν - 8 < μ < 9, να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης ( ) =. =, >. 67. Έστω η συνάρτηση ( ) ( ln) - ln + - i) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της. ii) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση C της έχει μοναδικό σημείο καμπής (, ( )) με (, ) Î. Σελίδα 6 από 9

17 68. Έστω συνάρτηση ορισμένη στο R για την οποία ισχύουν : για κάθε Î R και α) ( ) < ( ) β) η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στη θέση =, το ( ) =. i) Να αποδείξετε ότι ( ) < ( ) για κάθε < και ( ) > ( ) για κάθε >. ii) Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης ( ) ( ) g =, Î R. e iii) Να βρεθεί το είδος του τοπικού ακρότατου της στο =. 69. Δίνεται η συνάρτηση 3 ( ) = α, Î R. i) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. ii) Να βρείτε τα όρια της στο + και στο -. iii) Αν <α<, να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών 3 της εξίσωσης + α = Δίνεται συνάρτηση : R R παραγωγίσιμη με ( ) + + e lim για κάθε R για την οποία ισχύει: ( ) ³ Να βρείτε τα όρια: α) ( ) + β) lim ( ) - συνεχή στο R, Î και ( ) =. 7. Δίνεται η παραγωγίσιμη συναρτήση :R R e - ( =α+α ) για κάθε Î R για την οποία ισχύει:. Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο Μ(,()) έχει εξίσωση ψ=+. Να δείξετε ότι: i) ( ) Î R. =e +, ii) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης ()=κ για τις διάφορες πραγματικές τιμές του κ. Σελίδα 7 από 9

18 7. Να βρείτε συνάρτηση ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο (, + ), τέτοια ώστε να ισχύουν: ( ) - ( ) + ( ) = για κάθε > και ( ) ( ) = 4 =. 73. α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση h ( ) ( - ) e + + =. β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις - των συναρτήσεων ( ) = e + και g( ) = e έχουν μοναδικό κοινό σημείο την αρχή των αξόνων. γ) Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις ãñáöéêýò ðáñáóôüóåéò ôùí, g êáé ôéò åõèåßåò = -, =. 74. Έστω η παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση και οι πραγματικοί αριθμοί α και β με Να αποδείξετε ότι υπάρχει α ¹ β τέτοιοι ώστε να είναι ( α) = ( β) =. Î R τέτοιο, ώστε να ισχύει ( ) ( ). 75. i) Αν η συνάρτηση :A R είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα A = [ α, β], έχει σύνολο τιμών ( A) [-, ] ( α), ( β) (-, ) = και ισχύει Î, να αποδείξετε ότι υπάρχουν, ( α,β) =. τέτοια, ώστε να ισχύει ( ) = ( ) Î ii) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο Α τότε η εξίσωση ( ) + λ ( ) με κ = * κ, λ Î R έχει ρίζα στο (,β) α. Σελίδα 8 από 9

19 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) = και g( ) + 3α + β όπου α, βî R. =, i) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της. ii) Να προσδιορίσετε τα α, β ώστε η g να έχει τοπικό μέγιστο στην κατακόρυφη ασύμπτωτη της C και η καμπής, που να ανήκει στην πλάγια ασύμπτωτη της 77. Έστω συνάρτηση συνεχής στο [, 3] + C g να έχει σημείο C. -, παραγωγίσιμη στο ( -, 3) και η συνάρτηση g με τύπο ( ) ( ) + Αν ( - ) = -3 και ( 3) = 7 ( -, 3) ξ,ξ Î με g =. +, να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ ¹ ώστε να ισχύει ( ξ ) ( ξ ) ξ = óôù óõíüñôçóç äýï öïñýò ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá [ α,β] ìå ( α) = ( β).áí ç óôñýöåé ôá êïßëá ðñïò ôá Üíù óôï [ α,β], ôüôå ( ) ( α) ãéá êüèå Î [ α,β], åíþ áí ç óôñýöåé ôá êïßëá ðñïò ôá êüôù óôï [ α,β], ôüôå ( ) ³ ( α) ãéá êüèå Î [ α,β]. 79. Έστω μια συνάρτηση τρείς φορές παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει = +,Î α) Να αποδείξετε ότι η είναι σταθερή στο R. ( ) R. ( ) ( ) β) Να βρείτε τον τύπο της αν ()= και ()=. 8. Δίνεται η συνάρτηση () = z + z -, zîc, Î R, με lim () =. Να βρείτε : i) τον μιγαδικό αριθμό z. + ii) την πλάγια ασύμπτωτη στο + της συνάρτησης g()= ()+, Î R. Σελίδα 9 από 9