ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Πειραματική Αντοχή Υλικών. Ενότητα: Στρέψη. Κωνσταντίνος Ι.

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πειραματική Αντοχή Υλικών Ενότητα: Στρέψη Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος Τμήμα Μηχανολογίας

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 2

3 1. Σκοποί ενότητας Περιεχόμενα ενότητας Η ΣΤΡΕΨΗ ΣΤΡΕΨΗ ΡΑΒΔΟΥ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΣΤΡΕΨΗ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΑΤΡΑΚΤΟΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΣΧΥΟΣ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΡΕΨΗΣ ΣΤΡΕΨΗ ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΩΝ ΚΛΕΙΣΤΩΝ ΔΙΑΤΟΜΩΝ ΣΤΡΕΨΗ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΚΛΕΙΣΤΩΝ ΔΙΑΤΟΜΩΝ ΣΤΡΕΨΗ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΛΟΓΩ ΣΤΡΕΨΗΣ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ-ΑΣΤΟΧΙΑ ΛΟΓΩ ΣΤΡΕΨΗΣ ΣΤΡΕΨΗ ΚΑΙ ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗΣ ΤΑΣΕΩΝ ΑΝΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΣΤΡΕΨΗ ΑΝΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΣΤΡΕΨΗ ΜΕ ΕΠΙΡΡΟΗ ΔΕΥΤΕΡΟΓΕΝΩΝ ΣΤΡΕΠΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ

4 1. Σκοποί ενότητας Η παρουσίαση της στρέψης η οποία αποτελεί ένα από τα είδη των απλών καταπονήσεων στα οποία καταπονούνται συνήθως ράβδοι, αλλά και δοκοί. 2. Περιεχόμενα ενότητας Η ΣΤΡΕΨΗ ΣΤΡΕΨΗ ΡΑΒΔΟΥ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΣΤΡΕΨΗ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΑΤΡΑΚΤΟΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΣΧΥΟΣ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΡΕΨΗΣ ΣΤΡΕΨΗ ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΩΝ ΚΛΕΙΣΤΩΝ ΔΙΑΤΟΜΩΝ ΣΤΡΕΨΗ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΚΛΕΙΣΤΩΝ ΔΙΑΤΟΜΩΝ ΣΤΡΕΨΗ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΛΟΓΩ ΣΤΡΕΨΗΣ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ-ΑΣΤΟΧΙΑ ΛΟΓΩ ΣΤΡΕΨΗΣ ΣΤΡΕΨΗ ΚΑΙ ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗΣ ΤΑΣΕΩΝ ΑΝΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΣΤΡΕΨΗ ΑΝΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΣΤΡΕΨΗ ΜΕ ΕΠΙΡΡΟΗ ΔΕΥΤΕΡΟΓΕΝΩΝ ΣΤΡΕΠΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 4

5 3. Η ΣΤΡΕΨΗ Η στρέψη είναι ένα από τα είδη των απλών καταπονήσεων καταπονούνται συνήθως ράβδοι, αλλά και δοκοί. στα οποία Μια ράβδος καταπονείται σε στρέψη, όταν επάνω σε αυτήν επενεργούν ζεύγη δυνάμεων ίσων μέτρων και αντίθετων φορών που τα επίπεδα τους είναι κάθετα στον κεντροβαρικό της άξονα. Τα ζεύγη των δυνάμεων αυτών προκαλούν σε κάθε διατομή της ράβδου ροπή που ονομάζεται ροπή στρέψης ή και στρεπτική ροπή. Η ροπή στρέψης συμβολίζεται με το καμπύλο διάνυσμα Μt.Θέτοντας τα δάκτυλα του δεξιού χεριού ώστε να δείχνουν κατά τη φορά της, ο αντίχειρας δείχνει κάθετα στο επίπεδο του καμπύλου της διανύσματος. Έτσι προκύπτει το χαρακτηριστικό διάνυσμα της ροπής, το οποίο επειδή έχει τη διεύθυνση του διαμήκους άξονα χ της ράβδου, συμβολίζεται και Μx.Η φορά της Μx συμπίπτει με τη φορά του αντίχειρα του δεξιού χεριού. Αρκεί βέβαια ένας από τους δύο συμβολισμούς. Στην περίπτωση που τα ζεύγη αυτά είναι περισσότερα από ένα, η ροπή στρέψης σε μία διατομή προφανώς με το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών όλων των ζευγών που είναι αριστερά ή δεξιά της διατομής αυτής. Στη στρεπτική καταπόνηση, η ράβδος τείνει να περιστραφεί περί τον άξονα της. Η ροπή στρέψης Μt προκαλεί στο υλικό της ελαστικής ράβδου μόνον διατμητικές τάσεις με αποτέλεσμα να δημιουργείται μια στροφή μεταξύ των διατομών που ονομάζεται γωνία στροφής. Η πακτωμένη ράβδος, στην οποία επενεργεί το ζεύγος των δυνάμεων Ρ, καταπονείται σε στρέψη,από ροπή στρέψης Μt =Ρ α. Το Δ.Ε.Σ παρέχει το πλεονέκτημα, η στρεπτική ροπή στο αριστερό της άκρο να φαίνεται σαν εξωτερική ροπή. Αν στη ράβδο ασκείται η μια μόνον από τις δύο δυνάμεις Ρ, η αριστερόστροφη ροπή στρέψης Μt, θα ήταν Μt =Ρ α = Μt /2. 2 Τα δύο προβλήματα που αντιμετωπίζουμε στην καταπόνηση της στέψης είναι τόσο ο προσδιορισμός των διατμητικών τάσεων τ, οι οποίες ονομάζονται ειδικότερα και τάσεις στρέψης, όσο και ο υπολογισμός της γωνίας στροφής των διατομών, που αντιπροσωπεύει την προκαλούμενη παραμόρφωση. Προκειμένου να μελετηθεί και αναλυτικά η καταπόνηση αυτή, γίνονται οι εξής απλοποιητικές παραδοχές : 1. Όλες οι διατομές της ράβδου παραμένουν επίπεδες και μετά την παραμόρφωση. Επίσης διατηρούν το σχήμα, το μέγεθος, καθώς και τη μεταξύ τους απόσταση. 2. Κάθε διατομή περιστρέφεται σαν απόλυτα στερεός δίσκος, δηλαδή σαν σύνολο, επομένως οι ακτίνες παραμένουν ευθείες. 5

6 3. Το υλικό της ράβδου είναι ομογενές και ισότροπο, ώστε οι ιδιότητες του υλικού να είναι ομοιόμορφες σε κάθε σημείο και διεύθυνση. Η διατμητική τάση τ, συνδέεται με τη γωνία διάτμησης γ μέσω του μέτρου διάτμησης G με το νόμο του Ηοοke. τ = Gγ, γ σε rad (1) Όπως υπάρχουν διαγράμματα σ-ε, υπάρχουν και αντίστοιχα διαγράμματα τ-γ. Το μέτρο διάτμησης ή ολίσθησης G, συνδέεται με το Ε και με το λόγο του Poisson ν με τη σχέση : G = E/2(1+ν) (2) Παραδείγματα καταπόνησης σε στρέψη, έχουμε σε άξονες( ατράκτους) μηχανών κοίλους ή μη, όπως επίσης και ολόκληρων κτιρίων σε περίπτωση οριζόντιων σεισμικών δυνάμεων. Η καταπόνηση σε στρέψη παρατηρείται επίσης στην περίπτωση που ευθείες επενέργειας των δυνάμεων δεν διέρχονται από τον κεντροβαρικό άξονα της ράβδου, όπως συμβαίνει σε μία έκκεντρα φορτιζόμενη δοκό. Πολλές φορές επίσης, συνυπάρχει με άλλες καταπονήσεις, όπως με κάμψη, εφελκυσμό. Η καταπόνηση σε στρέψη στη γενική της περίπτωση είναι αρκετά πολύπλοκη. Την εντατική κατάσταση ράβδου τυχαίας διατομής που καταπονείται σε στρέψη την πρωτο μελέτησε ο Saint Venant (1853). 4. ΣΤΡΕΨΗ ΡΑΒΔΟΥ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ 6

7 Η διατμητική τάση τ, καθώς και η παραμόρφωση γ σε ράβδο κυκλικής διατομής τυχαίας ακτίνας r και εξωτερικής R, λόγω στεπτικής Μt,είναι: τ=μt/ip, γ=φ/l r,0 r R όπου Ιρ είναι η πολική ροπή αδράνειας της κυκλικής διατομής, που αναλόγως είναι : Για συμπαγή διατομή ακτίνας R: Ip=πR4/2 Για κοίλη, εσωτερικής ακτίνας ρ και εξωτερικής R: Ip =π(r4-ρ4)/2 Για λεπτότοιχο σωλήνα πάχους t και μέσης ακτίνας rm :Ip 2πr3m t Το παραμορφωσιακό αποτέλεσμα της στρέψης, είναι η συστροφή των διατομών μεταξύ τους κατά γωνία φ.έτσι η σχετική γωνία στροφής φ για δυο διαδοχικά σημεία Α,Β που απέχουν l είναι: φ=μt l/gip (φ σε rad) ή φβ-φα/χβ-χα=μt/gip Καλείται ανηγμένη γωνία στροφής θ ( σε rad/m): θ=dφ/dx=φ/l=mt/gip Η μέγιστη διατμητική τάση παρατηρείται στη μεγαλύτερη ακτίνα R, δηλαδή στα σημεία της περιφέρειας, και επειδή Wp=Ip/R είναι η πολική ροπή αντίστασης της διατομής με βάση την: Τmax=Μt /Wp Για συμπαγή κυκλική διατομή η μέγιστη τιμή της τmax καθώς και η γmax αντικαθιστώντας την Wp=πR3/2, αν D η διάμετρος, είναι: τmax=2μt/πr3=16mt/πd3, για γmax= φ/l R 7

8 Η τ στην τυχαία ακτίνα r, συναρτήσει του G και της θ, είναι: τ=gθr,(θ σε rad/m) διότι γ=θr Για στοιχειώδη δίσκο, η γ είναι: arc(γγ ) γ(γδ)=γdx=rdφ => γ tanγ = rdφ dx Αντικαθιστώντας στην (1),(3). Απόδειξη = rθ Η διατμητική δύναμη σε διατομή da είναι τ da και η ροπή της ως προς το Κ είναι ( τ da)r.η συνολική ροπή προκύπτει ολοκληρώνοντας.από την ισορροπία των ροπών έχουμε: Μt- (τda)r Α =0 => Μt= r(grθda) =Gθ r^2da=gθip Α Α 8

9 Αν η διατομή είναι κοίλη κυκλική,η τmax εμφανίζεται και πάλι στην εξωτερική περιφέρεια ακτίνας R ενώ η τmin ( 0) στην εσωτερική ακτίνας ρ. Η φβ-φα συμβολίζεται και φβ/α ή φαβ.η πάκτωση θεωρείται αμετακίνητη αλλά και άστρεπτη. Για τη γωνία στροφής φ, δεχόμαστε τη σύμβαση που ισχύει και για τις στρεπτικές ροπές,ότι η θετική ροπή δημιούργει θετική γωνία στροφής, ενώ η αρνητική δημιουργεί αρνητική. Έτσι για δεξιο εξεταζόμενο άκρο η θετική ροπή δημιουργεί αριστερόστροφη γωνία, ενώ η αρνητική δεξιόστροφη. Για να προκύπτουν μεγάλες τιμές της Ip πρέπει η κατανομή της επιφάνειας να είναι όσο γίνεται πλησιέστερα στην περιφέρεια της παρά στο κέντρο της.για το λόγο αυτό, οι κοίλες διατομές είναι αισθητά οικονομικότερες έναντι των συμπαγών, καθόσον επιτυγχάνουν καλύτερη εκμετάλλευση υλικού. Το G εκφράζει την ποιοτική αντίσταση του υλικού αφού εξαρτάται μόνον από αυτό, η δε Ιρ την ποσοτική του αντίσταση. Το γινόμενο GIp εκφράζει τη συνολική αντίσταση της συγκεκριμένης ράβδου. Το γινόμενο GIp ονομάζεται μέτρο δυστρεψίας, ενώ το Μt /φ=gip/l (Nm/rad) ονομάζεται δυστρεψία.το μέτρο δυστρεψίας δηλαδή, είναι η ανηγμένη δυστρεψία μήκους l=1m. Σημειώνουμε ότι ενδιαφέρει το μέτρο της τ, και όχι το πρόσημο της. Διευκρινίζουμε όμως, ότι για τον υπολογισμό της γωνίας στροφής φ, η Mt αντικαθιστάται στις ανάλογες σχέσεις με το πρόσημο της. 9

10 Το αποτέλεσμα της επιβολής στρεπτικής ροπής σε ράβδο κυκλικής διατομής, είναι αφενός η ανάπτυξη διατμηματικών τάσεων τ( με μέγιστη τιμή στα σημεία της περιφέρειας) και αφετέρου η δημιουργία γωνίας στροφής φ μεταξύ των δύο άκρων της, που είναι το παραμορφωσιακό αποτέλεσμα της στρέψης. Ορθές τάσεις δεν αναπτύσσονται στη στρέψη. Η ροή των διατμητικών για διαμήκη τομή, σχεδιάζεται έτσι ώσε να ισχύει ο κανόνας αμοιβαιότητας των διατμητικών τάσεων. Για να μην αστοχεί μια ράβδος λόγω στρέψης, θα πρέπει η τmax (που εμφανίζεται στην περιφέρεια) να μην υπερβαίνει μια επιτρεπόμενη τιμή τεπ (που εξαρτάται από το υλικό της), δηλαδή : τmax τεπ (συνθήκη αντοχής).επίσης θα πρέπει και η ανηγμένη γωνία στροφής θ, να μην υπερβαίνει μία επιτρεπόμενη τιμή θεπ δηλαδή : θ θεπ( παραμορφωτική συνθήκη). Πρέπει δηλαδή να ικανοποιούνται συγχόνως οι δύο παρακάτω συνθήκες: τ=τεπ και θ τεπ (1) Τιμές των τεπ και θεπ δίνονται απο Πίνακες.Για τον χάλυβα για παράδειγμα η θεπ είναι 0.25 /m.ειδικά για την τεπ ελλείψει άλλων στοιχείων για όλκιμα υλικά μπορούμε σε πρώτη προσέγγιση να λαμβάνουμε : τεπ=(0.55 εώς 0.8) σεπ (2) Αν στην (1) αντικαταστήσουμε τις τεπ και θεπ και τις λύσουμε ως προς Μt,προκύπτουν δύο τιμές της,από τις οποίες προφανώς επιλέγουμε τη δυσμενέστερη περίπτωση, δηλαδή τη μικρότερη Μt. Αυτή είναι και η μέγιστη επιτρεπόμενη τιμή της στρεπτικής ροπής που μπορεί με ασφάλεια να φέρει η ράβδος, και που συνεπώς χαρακτηρίζει την φορτοι κανότητα της σε στρέψη.αντίστροφα, με γνωστά τα τεπ, θεπ η απαιτούμενη τιμή της διαμέτρου ώστε η ράβδος να φέρει με ασφάλεια την Mt,ονομάζεται διαστασιολόγηση. 10

11 5. ΣΤΡΕΨΗ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ Στρέψη σε κατά τμήματα σταθερή κυκλική διατομή: Όταν ράβδος είναι κατά τμήματα πρισματική (Σχ. 1α), η M tγ καταπονεί τόσο το τμήμα ΑΒ ή (1), όσο και το ΒΓ ή (2), ενώ η M t καταπονεί μόνον το (1). Β Η συνολική γωνία στροφής του άκρου Γ ως προς το (άστρεπτο) Α, είναι: φ Γ Α = φ Γ φ Α = M t i l i G i I pi ν i=1, i = 1,2,3 Με τον όρο M ti εννοούμε τη στρεπτική ροπή του i τμήματος, που είναι εν γένει διαφορετική της M ti+1. Οι M ti προσδιορίζονται με τη μέθοδο των τομών. Έτσι, για τομή μεταξύ Β και Γ, εξετάζοντας το δεξιά της τομής όπου δρα η M tγ, που επειδή φαίνεται σαν να εφελκύει θεωρείται θετική. Άρα M t2 =M tγ. Για τομή μεταξύ Α,Β, εξετάζοντας το δεξιό τμήμα, η M tγ είναι θετική, ενώ η M t Β φαίνεται σαν να θλίβει τη διατομή. Έτσι είναι : M t1 =M tγ -M t Β. Η αντίδραση M t υπολογίζεται από την ισορροπία των στρεπτικών ροπών: Α M t = 0 M t Α M t Γ +M t Β = 0 Οι μέγιστες τάσεις βέβαια, προκύπτουν διαφορετικές στα (1) και (2) και είναι: τ 1 = M t1 R 1 J 1, τ 2 = M t2 R 2 J 2 11

12 Στρέψη ράβδου μεταβλητής διατομής: Όταν μεταβάλλεται η διατομή (Σχ. 1β), μεταβάλλεται και η πολική ροπή αδρανείας της, δηλαδή είναι I p (χ), Σε τυχαία απόσταση χ θεωρούμε στοιχειώδη κυκλικό δίσκο μήκος dχ και (μεταβλητής) ακτίνας r(x) (που εξαρτάται δηλαδή από την απόσταση χ). Αν ασκείται και μεταβλητή ροπή Μ t (χ), έχουμε: -Η διατμητική τάση, είναι: τ(χ) = M t(x) I p (x) r(x) = M t(x) W p (x) Η μέγιστη διατμητική τάση, παρατηρείται εκεί που ο συνδυασμός Μ t (χ)/w(x) δίνει μέγιστη τιμή. Για Μ t (χ)=σταθερό, αυτό προφανώς προκύπτει στην ελάχιστη ακτίνα, που είναι στο ελεύθερο άκρο του προβόλου (Σχ. 1β). -Η στοιχειώδης γωνία στροφής dφ, είναι: l GI p (X) dφ = M t(x) dx, οπότε σε μήκος l είναι: φ = M t(x) dx GI p (x) 0 Αν προέρχεται από κατανομή στρεπτικών ροπών m(χ) σε μήκος χ, είναι: M t (x) = m(x) x. Αν η m 0 =σταθ. (Σχ. 2α,β), είναι M t (χ) = m 0 χ (Σχ. 2γ). Για τριγωνική φόρτιση (Σχ. 2δ,ε) με μέγιστη τιμή m 0, είναι m(x) = (m 0 l)x. 12

13 6. ΑΤΡΑΚΤΟΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΣΧΥΟΣ Τα χαρακτηριστικά μεγέθη με βάση τα οποία γίνεται ο υπολογισμός ενός άξονα μεταφοράς ισχύος (που στην Μηχανολογία ονομάζεται άτρακτος), είναι η ισχύς που διαβιβάζει καθώς και η γωνιακή ταχύτητα με την οποία περιστρέφεται. Ο Μηχανικός καλείται να επιλέξει το κατάλληλο υλικό και να καθορίσει την απαιτούμενη διατομή του, ώστε η δεδομένη ισχύς να διαβιβαστεί με ασφάλεια, χωρίς δηλαδή να ξεπεραστεί η επιτρεπόμενη διατμητική τάση τ επ του επιλεχθέντος υλικού. Η τ επ δίνεται από κανονισμούς, οι οποίοι πάντως προβλέπουν τιμές πολύ χαμηλότερες από τις αντίστοιχες ορθές. Η στρεπτική ροπή M t σε κινητήρια άτρακτο που περιστρέφεται από κινητήρα (Σχ. 3α) με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω και που διαβιβάζει ισχύ Ν, προκύπτει από τη σχέση: N = M t ω = M t 2πν = 2π 60 Μ tn, n σε r. p. m. Όπου η ω εκφράζεται σε rad sec, η συχνότητα περιστροφής ν σε Hz = sec 1, n σε στροφές ανά λεπτό r.p.m., Ν σε Watts (1PS = 75 kpm sec = 736Watts). Η ροπή στρέψης M t προκύπτει και από τον εύχρηστο τύπο: M t = K n, N σε PS, n σε r. p. m., M t σε kpcm 13

14 Η ισχύς που παράγεται από κάποιο κινητήρα διαβιβάζεται σε άλλον άξονα, με διάφορους τρόπους, όπως: -Γρανάζι σε γρανάζι άμεσα (Σχ. 5α), ή έμμεσα μέσω αλυσίδας (Σχ. 5β). -Τροχαλία σε τροχαλία άμεσα (Σχ. 4), ή έμμεσα μέσω ιμάντα (Σχ. 6). Αμελώντας τις μικρές απώλειες ισχύος λόγω τριβών, αν (1) και (2) είναι δύο συνεργαζόμενα γρανάζια (Σχ. 3β,γ), επειδή στο κοινό σημείο επαφής τους Α η γραμμική ταχύτητα u (=ωr) είναι ίδια, τόσο για το (1) όσο και για το (2), οι λόγοι των στροφών τους, των ακτινών τους, των στρ. ροπών τους, κ.λπ. είναι: n 1 n 2 = ω 1 ω 2 = R 1 R 2 = z 1 z 2 = M t1 M t 2, u 1 = u 2, N 1 = N 2 (3) όπου z 1, z 2 ο αριθμός οδόντων του κάθε οδοντωτού τροχού (γραναζιού). Δύο συνεργαζόμενα γρανάζια, ασκούν το ένα στο άλλο στο σημείο επαφής τους δύναμη F. Αν M t είναι η ροπή που διαβιβάζει το κινητήριο γρανάζι (Σχ. 3β), από την ισορροπία του για τις στρεπτικές ροπές, έχουμε: M t1 = FR 1 Η F λόγω δράσης-αντίδρασης μεταφέρεται και στο κινούμενο γρανάζι (Σχ.3β), δίνοντας ροπή ως προς το κέντρο του FR 2. Επειδή περιστρέφεται με σταθερή 14

15 γωνιακή ταχύτητα ω 2, πρέπει η απαιτούμενη για την ισορροπία του στρεπτική ροπή να είναι: M t2 = FR 2. Οι M t1, M t2 συνδέονται με την (3). -Τα ίδια ισχύουν και για συνεργαζόμενες τροχαλίες 7. ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΡΕΨΗΣ Στατικά αόριστο ή υπερστατικό λέγεται ένα πρόβλημα στρέψης, όταν ο αριθμός των αγνώστων υπερβαίνει τις εξισώσεις στρεπτικής ισορροπίας. Η διαφορά λέγεται βαθμός υπερστατικότητας. Αν Μ tα, Μ tγ οι άγνωστοι, στην αμφίπακτη δοκό του (Σχ. 7α), ισχύει: Μ tα Μ t + Μ tγ = 0 (1). H (1) δεν αρκεί, αφού είναι μία ενώ οι άγνωστοι δύο. Αναζητούμε μία ακόμη εξίσωση, την εξίσωση συμβιβαστού των (γωνιακών) παραμορφώσεων. 1 ος τρόπος: 15

16 Αντικαθιστούμε τη μία πάκτωση με την αντίδραση της, έστω τη δεξιά με την Μ tγ. Αυτή τώρα φαίνεται σαν εξωτερική ροπή (Σχ. 7β). Ή, εκφράζουμε τις ροπές και τις γωνίες των ΑΒ, ΒΓ συναρτήσει της Μ tγ : M ΒΓ = +Μ tγ, φ ΒΓ = M ΒΓ b GΙ Ρ, Μ ΑΓ = Μ tγ M t, φ ΑΒ = Μ ΑΒ α GI p Κατόπιν απαιτούμε το αλγεβρικό άθροισμα των φ ΑΒ, φ ΒΓ να ισούται με μηδέν: φ ΑΒ + φ ΒΓ = 0 (2) M tγ M t α GI p + M tγ b GI p = 0 (2 ) Από την (2 ) υπολογίζεται η Μ tγ. Η Μ tα υπολογίζεται από την (1). 2 ος τρόπος: Με βάση τις Μ ΑΒ, M ΒΓ του 1ου τρόπου, εκφράζουμε τις γωνίες στροφής των τμημάτων (θεωρώντας άξονα χ προς τα δεξιά), ως εξής: φ Γ φ Β = Μ ΒΓ b GI p (3), φ Β φ Α = Μ ΑΒ a GI p (4) Λόγω των πακτώσεων όμως, είναι φ Α = φ Γ = 0, οπότε επιλύουμε το σύστημα των (1), (3), (4) ως προς τα τρία άγνωστα μεγέθη Μ tα, Μ tγ, φ Β. Γενικεύοντας, όταν αμφίπακτη ράβδος χωρίζεται σε ν διαφορετικά τμήματα, δηλ. στα (1), (2), (3), ν, που το καθένα στρέφεται από ροπή Μ ti ισχύει: φ 1 + φ φ ν = 0 Μ t1 l 1 + M t 2 l M t ν l ν = 0 ή M t i l i = 0 G 1 I p1 G 2 I p2 G ν I pν G i I pi ν i=1 3 ος τρόπος: Μέθοδος της επαλληλίας 16

17 Στο (Σχ. 7β) η Μ tγ στρέφει (θετικά) όλο το μήκος a+b, ενώ η Μ t στρέφει (αρνητικά) μόνο το μήκος a. Λόγω των άστρεπτων πακτώσεων (Σχ. 7α), πρέπει: φ MtΓ + φ Mt = 0 (5) M tγ (a + b) GI p + ( M t )a GI p = 0 (5 ) Από την (5 ) υπολογίζεται η Μ tγ. Ο 3ος τρόπος είναι ο καλύτερος. -Όταν I ομοαξονικές ράβδοι στρέφονται από Μ t (Σχ. 8ε), είναι: φ α = φ β = = φ i (6) Αν ράβδοι είναι π.χ. δύο ένα μέρος Μ α της εξωτερικής ροπής, παραλαμβάνει το ένα υλικό (Σχ. 8β), και το υπόλοιπο Μ β το άλλο, οπότε (Σχ. 8δ): M a + M β = M t (7) Από το σύστημα των (6), (7) προκύπτουν οι Μ α, Μ β. 8. ΣΤΡΕΨΗ ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΩΝ ΚΛΕΙΣΤΩΝ ΔΙΑΤΟΜΩΝ Όταν το πάχος t (=R ρ ) δακτυλιδοειδούς διατομής είναι αξιόλογο συγκριτικά με τις ακτίνες, τότε η πολική ροπή αδράνειας είναι Ι p = π (R 4 ρ 4 ) 2. Λεπτότοιχος κυλινδρικός σωλήνας Αν το πάχος t του τοιχώματος είναι μικρό συγκριτικά με την ακτίνα (Σχ. 9α), τότε οι διατμητικές τάσεις μπορούν με ικανοποιητική προσέγγιση να θεωρηθούν σταθερές κατά μέγεθος στο πάχος t. Η μέση ακτίνα τότε είναι r m = R t 2 = ρ + t 2, οπότε η πολική ροπή αδράνειας δίνεται από τη σχέση: 17

18 I p 2πr m 3 t *Τυχαία λεπτότοιχη διατομή Έστω λεπτότοιχη σωληνοειδής ράβδος τυχαίας διατομής (Σχ. 9γ ή 10α), στην οποία επιβάλλεται στρεπτική ροπή M t. H διατμητική τάση τ, είναι: τ = M t 2A m t όπου A m = 1 2 r ds (1) s όπου: ds το στοιχειώδες τόξο που απέχει (μεταβλητή) απόσταση r από το κέντρο στροφής. A m το εμβαδόν που περικλείεται από τη μέση ακτίνα r m. -Από την (1) προκύπτει ότι η μέγιστη διατμητική τάση τ max θα παρατηρηθεί στο ελάχιστο πάχος τοιχώματος t min. Διατμητική ροή Στις κλειστές λεπτότοιχες διατομές το γινόμενο της διατμητικής τάσης επί το αντίστοιχο πάχος, είναι σταθερή ποσότητα και δεν μεταβάλλεται, για οποιοδήποτε πάχος t i. Η ποσότητα q s = τt ονομάζεται διατμητική ροή, έχει τη φορά της M t, και μονάδες κατανεμημένου φορτίου. Ισχύει: q s = τ 1 t 1 = τ 2 t 2 = = τ i t i = σταθερό (2) Με βάση την (2) η (1) γράφεται: M t = 2A m τt = 2A m q s (1 ) 18

19 9. ΣΤΡΕΨΗ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΚΛΕΙΣΤΩΝ ΔΙΑΤΟΜΩΝ Ορθογωνική διατομή Οι ορθές διατομές στρεβλώνονται, δηλαδή κάθε σημείο δεν κινείται μόνον κατά τη φορά της Μt, αλλά γενικά συμμετέχει και σε μετακίνηση κατά τη διεύθυνση του άξονα της ράβδου, κατά μέγεθος που εξαρτάται από τη θέση του σημείου επί της διατομής. Η λύση του προβλήματος είναι πολύπλοκη. Για h>b, αποδεικνύεται ότι η τmax εμφανίζεται στο μέσον της h, ενώ στο μέσον της b εμφανίζεται τ max<τmax.αυτές, και η ανηγμένη γωνία στροφής θ, είναι: τ max = Μ t C 1 b 2 h, τ max = τ max n, θ = Μ t C 2 Gb 3 h [rad m] Οι συντελεστές C1, C2 εξαρτώνται από το λόγο n=h/b Λεπτότοιχη ορθογωνική διατομή Σε πολύ λεπτές ορθογωνικές διατομές h t (h >>t), από τον παρακάτω πίνακα, για h/b (b=t=πάχος), προκύπτει C1=C2=0,333=1/3. Οπότε η Ip λεπτότοιχης ορθογωνικής διατομής είναι: Ip t3h/3 Αντικαθιστώντας τα παραπάνω στις παραπάνω σχέσεις έχουμε: τ max = Μ t Ι p ή τ max = 3M t ht 2, θ = Μ t I p G ή θ = 3Μ t Ght 3 19

20 Αναγωγή ανοιχτής λεπτότοιχης σταθεράς πάχους σε λεπτότοιχη ορθογωνική Από τον παρακάτω πίνακα παρατηρούμε ότι για h/b 5 είναι C1 C2. Αποδεικνύεται ότι: C 1 = C 2 = 1 1 0,63 h, αν h 5 3 b b Έτσι με ικανοποιητική προσέγγιση αν πρόκειται για σύνθετες διατομές αλλά με ομοιόμορφο πάχος t, μπορούμε να τιε αναγάγουμε σε λεπτότοιχο ορθογώνιο b h, με b το σταθερό πάχος t, και η το συνολικό μήκος της μέσης γραμμής. Έτσι στο σχήμα (α) αν t=t1=t2 το h θα είναι h=h1+h2, ενώ στο σχήμα (β) το h θα είναι h=2π rm σχισμή 2π rm. Σε διατομή Π το η θα είναι το άθροισμα των μηκών των τριών πλευρών του και του b το πάχος του t. Διατομή ισόπλευρου τριγώνου και ελλειπτική διατομή Η μέγιστη τάση σε ισόπλευρο τρίγωνο εμφανίζεται στα μέσα των πλευρών, μηδενίζεται στο Κ.Β. και από εκεί και πέρα αυξάνεται και ελαττώνεται μέχρι μηδενισμού της στις απέναντι κορυφές. Η τmax και η θ, αντίστοιχα είναι: τ max = 15 3M t 2a 3, θ = 15 3Μ t Ga 4 Συντελεστές για στρέψη ορθογωνικής διατομής h/b=n 1 1,5 1,75 2 2, C1 0,208 0,231 0,239 0,246 0,262 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333 C2 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0, ,313 0,333 Έστω έλλειψη με ημιάξονες a και b που καταπονείται από Mt. Η μέγιστη τάση και η ανοιγμένη γωνία στροφής, δίνονται από τις σχέσεις : τ max = 2M t πab 2, θ = α2 + b 2 πga 3 b 3 M t 20

21 10. ΣΤΡΕΨΗ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ Στις ανοικτές διατομές στις οποίες το Κ.Β. Κ δεν αποτελεί κέντρο συμμετρία, το κέντρο στρέψης δεν συμπίπτει γενικά με το Κ. Τότε πρέπει τα εξωτερικά φορτία να αναφέρονται στο κέντρο στρέψης και όχι στο Κ. Πολυγωνικός άξονας Η διατομή αποτελείται από λεπτά ορθογώνια στοιχεία διαστάσεων ti hi, όπου ti το πάχος του κάθε στοιχείου i (ti<<hi). Δεχόμενη προσέγγιση ότι τα διάφορα ορθογωνικά στοιχειά ανθίστανται στη στρέψη ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, και επειδή η πολική ροπή αδράνεια για το καθένα είναι t3hi/3, η συνολική, ισούται περίπου με το άθροισμα τους. Οπότε η τi στο περίγραμμα της πλευράς hi, καθώς και η ανοιγμένη γωνιά στροφής της συνολικής διατομής, είναι αντίστοιχα: τ i = M t t I i, θ = Μ t, όπου Ι p GI p = 1 p 3 t i 3 Η μέγιστη διατρητική τάση παρατηρείται στην επιμήκη πλευρά hi του ορθογωνίου ti x hi που έχει το μεγαλύτερο πάχος ti. Σημειώνουμε ότι η ανοιγμένη γωνία στροφής θi του κάθε ορθογωνίου, είναι ίδια με την θ της συνολικής διατομής, δηλαδή: θi=θ Επειδή τα ελάσματα του εμπορίου Ι,Τ,Π,L, αποτελούνται από ορθογώνια που η σύνδεση τους γίνεται μέσω ακτινών συναρμογής, στην Ιp γίνεται διόρθωση κατά συντελεστή k(k 1), που για L είναι 1, για Τ και Π είναι 1.1 ενώ για Ι είναι 1.25.Με τη διόρθωση αυτή (kip) λαμβάνεται υπόψη η αύξηση της δυστρεψίας των διατομών.αναφέρουμε, ότι στις εσοχές των ελασμάτων αναπτύσσονται τάσεις μεγαλύτερες της τmax που προαναφέραμε, λόγω συγκέντρωσης τάσεων. ν i=1 h i 21

22 Καμπύλος ανοικτός άξονας Όταν ο άξονας ανοικτής διατομής είναι καμπύλος με ανάπτυγμα μήκους s και σταθερό πάχος t για τις τ, θ ισχύουν οι σχέσεις(7.2a,b) με : Σύγκριση ανοικτής-κλειστής διατομής Ιp=t3s/3 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η ροη των τ σε κλειστή και ανοικτή διατομή. Συγκρίνοντας από άποψη στρέψεις την κλειστή και ανοικτή διατομή, του ιδίου μικρού πάχους t, έχουμε Κλειστή διατομή: I κλ p = 2πr 3 m t, τ κλ = M t 2 2πtr m, θ κλ = M t /2Gπr 3 m t Ανοικτή διατομή: Ι αν p = 2πr m t 3 3, τ αν = 3M t 2πr m t 2, θ αν = 3Μ t 2Gπr m t 3, Από τις παραπάνω σχέση προκύπτει: τ αν τ κλ = 3 r m t, θ αν θ κλ = 3 r m t 2 Έτσι αν για παράδειγμα είναι r 10t, από την παραπάνω σχέση έχουμε: ταν 30τκλ, θαν 300θκλ Δηλαδή η ανοικτή διατομή καταπονείται και παραμορφώνεται πολύ πιο έντονα από ότι η αντίστοιχή κλειστή. Για το λόγο αυτό, η ανοικτή είναι πλήρως ακατάλληλη για στρέψη και για αυτό πρέπει επιμελώς να αποφεύγεται. 22

23 11. ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΛΟΓΩ ΣΤΡΕΨΗΣ Η ενέργεια παραμόρφωσης UMt, για πρισματική κυκλική ράβδο, φαίνεται στο πιο κάτω σχέση. Αν μια ράβδος αποτελείται από n τμήματα διαφορετικών διαμέτρων και υλικών και το i τμήμα μήκους li, Gi και IPi,καταπονείται από Μti,η ολική ενέργεια παραμόρφωσης δίνεται από την σχέση: U Mt = M t 2 l 2GI p U Mt = M 2 ti l n i i=1 2G i I pi Αν η στρεπτική ροπή και η Ip μεταβάλλονται κατά μήκος της ράβδου, είναι δηλαδή Mt(x) και Ip(x), τότε για στοιχειώδες μήκος dx, ισχύει: du Mt = [M t (x)]2 2GI p (x) dx Λόγω της Μτ η ράβδος στρέφεται κατά γωνία φ. Το έργο W που παράγεται από την επιβαλλόμενη Μτ, ισούται με την ενέργεια UMt στη ράβδο. Το W ισούται με το εμβαδόν του τριγώνου οπότε W = U Mt, όπου W = Μ τφ 2 Από την παραπάνω σχέση, συνήθως υπολογίζεται η φ. 23

24 12. ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ-ΑΣΤΟΧΙΑ ΛΟΓΩ ΣΤΡΕΨΗΣ Κατά την καταπόνηση σε στρέψη, αναπτύσσονται διατμητικές τάσεις στις κάθετες διατομές καθώς και παράλληλα προς τον διαμήκη άξονα της ράβδου. Σύμφωνα με την πρόταση του Cauchy όμως, διατμητικές τάσεις θα εμφανίζονται και σε διαμήκη επίπεδα που περιέχονται από τον άξονά της. Για την περαιτέρω κατανόηση των παρακάτω, αποκόπτουμε από τη ράβδο στοιχειώδη σωλήνα ακτίνας r πάχους dr, και μήκους dx. Από το σωλήνα αυτόν, αποκόπτουμε στη συνέχεια το στοιχειώδες παραλληλεπίπεδο ΒΓΔΕΒ'Γ'Δ'Ε'. Όπως είπαμε, στην έδρα ΓΓ'Δ'Δ καθώς και στην ΒΒ'Ε'Ε θα υπάρχει μόνον η διατμητική τάση τ θα υπάρχει επίσης και στις άλλες δύο έδρες ΒΓΓ'Β' και ΕΔΔ'Ε'. Πέραν αυτής, καμία άλλη τάση δεν θα αναπτύσσεται στις 4 έδρες του παραπάνω παραλληλεπίδου. Επομένως, βρίσκεται στην εντατική κατάσταση της καθαρής διάτμησης. Η καθαρή διάτμηση όμως, είναι ισοδύναμη με αξονικό εφελκυσμό έντασης τ σε κατεύθυνση -450 ως προς την ΒΓ και με αξονική θλίψη έντασης -τ σε κατεύθυνση +45ο ως προς την ΒΓ. Οι κύριες τάσεις δηλαδή στη στρέψη: σ 1 = τ, σ 2 = τ Εντελώς ανάλογη είναι η κατάσταση και με τις παραμορφώσεις. Αυτός είναι και ο λόγος, που αν σε μία ράβδο σχεδιάζουμε μικρούς κύκλους, αυτοί μετά την επιβολή της Μτ θα γίνουν ελλείψεις. Με όσα προαναφέρθηκαν, μπορούμε προσεγγιστικά να ερμηνεύσουμε τον τρόπο αστοχίας των ράβδων λόγω στρέψης. Έτσι, η αντοχή του υλικού σε εφελκυσμό, θλίψη και διάτμηση καθορίζουν το είδος της επικίνδυνης καταπόνησης και τη μορφή της αστοχίας. Μερικές χαρακτηριστικές περιπτώσεις: i. Αν το υλικό της ατράκτου είναι όλκιμο, όπως ο κοινός χάλυβας, τότε η άτρακτος θα σπάσει λόγω εξάντλησης της αντοχής του υλικού σε διάτμηση. Συνεπώς η αστοχία παρατηρείται στο επίπεδο των μέγιστων διατμητικών τάσεων και συνήθως κατά επίπεδο κάθετο στον άξονα της ατράκτου. ii. Αν το υλικό της ατράκτου είναι ψαθυρό, που αντέχει λιγότερο σε εφελκυσμό από ότι σε θλίψη, τότε η άτρακτος θα σπάσει λόγω εξάντλησης της αντοχής του υλικού σε εφελκυσμό. Αυτό σημαίνει ότι η θραύση θα πραγματοποιηθεί κατά ελικοειδή επιφάνεια, η οποία θα σχηματίζει γωνία 45ο ως προς τη διατομή. 24

25 iii. Αν το υλικό της είναι ανισότροπο, όπως το ξύλο, που έχει μεγαλύτερη διατμητική αντοχή κατά τη διαμήκη διεύθυνση από ότι κατά την εγκάρσια, η θραύση πραγματοποιείται κατά τη διεύθυνση της ελάχιστης διατμητικής αντοχής. Αν η άτρακτος αποτελείται από ομοαξονικές ίνες, τότε αυξάνοντας την Μτ θα εμφανιστούν ρωγμές αρχικά στην εξωτερική επιφάνεια, κατά τη διεύθυνση των ινών, όπου το ξύλο έχει τη μικρότερη διατμητική αντοχή. 13. ΣΤΡΕΨΗ ΚΑΙ ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται μια ράβδος κυκλικής διατομής με συνδυασμένη φόρτιση, σε εφελκυσμό που προκαλείται από την αξονική δύναμη Ν και σε στρέψη που προκαλείται από τη ροπή στρέψης Μτ. Με την παραδοχή ότι οι φορτίσεις και από τα δύο αίτια,βρίσκονται εντός της γραμμικά ελαστικής συμπεριφοράς του υλικού, ισχύει δηλαδή ο νόμος του Hooke, μπορούμε να εφαρμόσουμε την αρχή της επαλληλίας. a) Η ορθή τάση σχ λόγω της αξονικής δύναμης Ν θα έχει σταθερή τιμή σε οποιαδήποτε σημείο της οποιαδήποτε διατομής, που είναι: σχ=ν/α b) Η μέγιστη διατμητική τάση, έστω τχy λόγω της ροπής στρέψηςμτ, είναι: τχy=μτr/ip,όπου Ιρ=πR4/2 25

26 Σε στοιχείο της περιφέρειας σχεδιάζουμε τις σχ και τχy. Η τχy στη δεξιά έδρα του, σχεδιάζεται έτσι ώστε η φορά της να συμφωνεί με τη φορά της Μτ. Οι υπόλοιπες σχεδιάζονται σύμφωνα με τον κανόνα του Cauchy: Οι κύριες τάσεις σ1, σ2, καθώς και η τmax με σy=0, είναι: σ 1,2 = σ χ 2 ± τ max, τ max = σ 2 χ 2 + τ 2 χy = σ 1 σ 2, τ 2 min = τ max Η γωνία θ0 του ενός κύριου άξονα με τον χ, με σy=0, δίνεται από τη σχέση: tan(2θ 0 ) = 2τ χy /σ χ, 45 0 θ Η τmax παρατηρείται για δεξιόστροφη στροφή του κύριου συστήματος κατά 450. Συνεπώς οι συνθήκες αντοχής του υλικού, είναι: εφ σ 1 σ επ, σ2 σ θλ επ, τ max τ επ 14. ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗΣ ΤΑΣΕΩΝ Αν στη διατομή εμφανίζεται απότομη μεταβολή της από τη διάμετρο D σε d, τότε παρατηρείται έντονη συγκέντρωση τάσεων στην περιοχή της μεταβολής. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η μεταβολή του συντελεστή συγκέντρωσης τάσεων Κ(1 Κ 3), συναρτήσει των διαμέτρων D, d αλλά και της ακτίνας συναρμογής γ, για κυκλική διατομή. Με βάση το διάγραμμα αυτό, η τmax που προκαλείται από την Μτ, αν τμ η μέση τάση, είναι: τ max = Κτ µ = Κ M td I p 2 Όπου Ιρ η πολική ροπή αδράνειας της μικρότερης διατομής διαμέτρου d. Σημειώνουμε ότι, πολύ σημαντική συγκέντρωση τάσεων παρατηρείται όταν η άτρακτος έχει κάποια εγκοπή, όπως ο σφηνόδρομος, ή ρωγμή κλπ. 26

27 Είδη στρέψης Η στρέψη διακρίνεται σε: Άμεση στρέψη: η στρεπτική ροπή είναι απαραίτητη για την ικανοποίηση των συνθηκών ισορροπίας (στρέψη ισορροπίας). Έμμεση στρέψη: η στρεπτική ροπή οφείλεται αποκλειστικά στην παρεμπόδιση της στροφής που εισάγεται από παρακείμενα στοιχεία (στρέψη συμβιβαστού). Στη περίπτωση αυτή, οι στρεπτικές ροπές δεν είναι απαραίτητες για την ισορροπία και μπορούν να αγνοηθούν στους υπολογισμούς οριακών καταστάσεων αστοχίας. Ανομοιόμορφη Στρέψη Ανομοιόμορφη Στρέψη με Επιρροή Δευτερογενών Στρεπτικών Παραμορφώσεων Στρέψη Saint Venant: η στρέψη εξασφαλίζεται με μια κλειστή ροή διατμητικών τάσεων εκ στρέψεως. Στρέψη με στρέβλωση: λόγω της παρεμπόδισης της διαμήκους παραμορφώσεως, ο φορέας ανθίσταται στις επιβαλλόμενες στρεπτικές ροπές με την ανάπτυξη ορθών και πρόσθετων διατμητικών τάσεων. Παρότι δεν υπάρχει σαφής διάκριση των τελευταίων 2 ειδών στρέψης, παρ' όλα αυτά οφείλεται να γίνει αναφορά και στις 2. 27

28 Θεωρία Coulomb Η θεωρία της στρέψης ξεκίνησε από τον Coulomb, ο οποίος μελέτησε την περίπτωση ράβδου με κυκλική διατομή. Η λύση Coulomb στηρίχθηκε στην παραδοχή ότι επίπεδες διατομές στην απαραμόρφωτη κατάσταση παραμένουν επίπεδες και κατά τη παραμορφωμένη κατάσταση. Η υπόθεση αυτή είναι ακριβής μόνο για την περίπτωση κυκλικών ή κυκλικών δακτυλιοειδών διατομών. Ομοιόμορφη Στρέψη (Saint Venant) Η θεωρία στρέψης ράβδων τυχούσας διατομής (Σχ. 3.1) δόθηκε από το Γάλλο μηχανικό Saint Venant, ο οποίος έθεσε πρώτος τα θεμέλια της κλασσικής θεωρίας της στρέψης. Ο Saint Venant βασιζόμενος στην αντίστοιχη θεωρία Coulomb εισήγαγε ορισμένες τροποποιήσεις προκειμένου να επιλύσει το πρόβλημα στρέψης που αφορούσε μη κυκλικές διατομές τυχούσας μορφής. Συγκεκριμένα απέδειξε ότι όταν μια ράβδος μη κυκλικής διατομής υπόκειται σε στρέψη, μια εγκάρσια διατομή η οποία ήταν επίπεδη πριν από τη στρέψη, δεν παραμένει επίπεδη και μετά τη στρέψη. Η διατομή αυτή υπό την επίδραση στρεπτικής καταπόνησης υπόκειται σε στρέβλωση. Σύμφωνα με τη θεωρία του Saint Venant η στρέβλωση των διατομών, λόγω της στρεπτικής έντασης, μπορεί να πραγματοποιηθεί ανεμπόδιστα (Σχ. 3.2, Σχ. 3.3). Αυτό το είδος της στρέψης ονομάζεται ομοιόμορφη στρέψη ή στρέψη Saint Venant. 28

29 Στην ομοιόμορφη στρέψη η ελευθέρως αναπτυσσόμενη στρέβλωση είναι ίδια για κάθε διατομή κατά μήκος της ράβδου. Αυτό σημαίνει ότι οι διαμήκεις ίνες υφίστανται διαμήκεις μετατοπίσεις και όχι παραμορφώσεις με αποτέλεσμα να μην αναπτύσσονται διαμήκεις ορθές τάσεις. Το μεγαλύτερο τμήμα μιας κιβωτοειδούς διατομής ανθίσταται σε στρέψη μέσω μιας κλειστής ροής διατμητικών τάσεων (Saint Venant), κοντά όμως στα διαφράγματα αναπτύσσεται στρέψη με παρεμποδιζόμενη στρέβλωση. Η διατομή αυτή ορίζεται όπως στο παρακάτω σχήμα: 29

30 όπου: t: το πάχος της διατομής A: η ολική επιφάνεια που περικλείεται από την εξωτερική περίμετρο της διατομής. u: η περίμετρος της διατομής c: η επικάλυψη των διαμηκών ραβδών Μια ανοικτή διατομή ανθίσταται σε στρέψη κυρίως με παρεμποδιζόμενη στρέβλωση, στα επιμέρους όμως ορθογωνικά τμήματα της διατομής αναπτύσσεται και στρέψη Saint Venant. Για πλήρης διατομές μορφής Τ ή L, το σχήμα της ισοδύναμης κοίλης διατομής (παραπάνω σχήμα) λαμβάνεται με εφαρμογή των κανόνων προσδιορισμού της ισοδύναμης κοίλης διατομής στα επιμέρους ορθογώνια παραλληλόγραμμα από τα οποία αποτελείται. Η αντοχή σε στρέψη ενός ρηγματωμένου στοιχείου από οπλισμένο σκυρόδεμα, με πλήρη η κοίλη διατομή, είναι ίση με την αντοχή ενός ιδεατού δικτυώματος στο χώρο (δικτύωμα Moersch). Το δικτύωμα αυτό αποτελείται από εφελκυόμενες ράβδους από χάλυβα (διαμήκεις ράβδοι και εγκάρσιοι κλειστοί συνδετήρες) και από θλιβόμενες διαγωνίους σκυροδέματος. Η κλίση των διαγωνίων αυτών μπορεί να επηρεαστεί (εντός ορισμένων ορίων) από την διάταξη των διαμήκων και των εγκάρσιων οπλισμών. Υπολογισμός σε στρέψη Ο υπολογισμός σε στρέψη (Saint Venant) γίνεται θεωρώντας μια κοίλη λεπτότοιχη κλειστή διατομή. Για τις πλήρες (συμπαγείς) διατομές θεωρείται μια ισοδύναμη κοίλη λεπτότοιχη κλειστή διατομή, όπως αυτή του παραπάνω σχήματος. Η διατομή αυτή ορίζεται ως εξής: Η εξωτερική περίμετρος της (u) συμπίπτει με αυτή της πραγματικής διατομής (ux). Έχει ένα ισοδύναμο πάχος τοιχωμάτων t=max(a/u) 2 c (στην περίπτωση κοίλων διατομών, το πάχος t δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από το πραγματικό πάχος των τοιχωμάτων του). 30

31 Ο υπολογισμός στρέψεως αποτελείται από κλειστούς συνδετήρες, κάθετους προς τον άξονα της δοκού και από διαμήκεις ράβδους κατανεμημένες περίπου ομοιόμορφα κατά μήκος της περιμέτρου της διατομής. Διαμήκεις ράβδοι πρέπει να υπάρχουν σε όλες τις γωνίες της διατομής, ενώ παράλληλα πρέπει να προβλέπεται ένας ελάχιστος οπλισμός. 15. ΑΝΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΣΤΡΕΨΗ Γενικά, η στρέβλωση στρεφόμενων διατομών παρεμποδίζεται είτε λόγω συνθηκών στήριξης (π.χ. η στρέβλωση μιας ακραίας διατομής παρεμποδίζεται λόγω πάκτωσης αυτής σε μια εγκάρσια, μετωπική πλάκα), είτε λόγω συνθηκών φόρτισης (μεταβολή δηλαδή της στρεπτικής ροπής κατά μήκος της ράβδου όπως στις περιπτώσεις π.χ. συγκεντρωμένου ή κατανεμημένου στρεπτικού φορτίου). Αυτή η στρέψη ονομάζεται ανομοιόμορφη. Εάν η στρέβλωση παρεμποδίζεται, τότε οι διαμήκεις μετατοπίσεις μεταβάλλονται κατά μήκος της ράβδου με αποτέλεσμα την ανάπτυξη διαμήκων ορθών τάσεων σxx, οι οποίες είναι ανάλογες της στρέβλωσης και επομένως μεταβάλλονται κατά μήκος του άξονα της ράβδου. Αυτό σημαίνει ότι η συστροφή θ' (φαίνεται στο σχήμα 3.3) που στην στρέψη Sant Venant ήταν σταθερή σε όλο το μήκος της δοκού, πλέον δεν είναι. Η στρέβλωση είναι ανάλογη της συστροφής. Λόγω της μεταβολής των ορθών τάσεων θα αναπτυχθούν, για λόγους ισορροπίας πρόσθετες διατμητικές τάσεις κατά τη διαμήκη διεύθυνση και άρα, σύμφωνα με το θεώρημα Cauchy (συμμετρία του τανυστή των τάσεων τij =τji), και επάνω στο επίπεδο της διατομής. Οι διατμητικές αυτές τάσεις ονομάζονται τάσεις στρέβλωσης (τs). (α) ορθές και (β) διατμητικές τάσεις λόγω στρέβλωσης. Συνεπώς στην ανομοιόμορφη στρέψη η στρεπτική ροπή αναλαμβάνεται κατά ένα ποσοστό από την κλειστή ροή των διατμητικών τάσεων Saint Venant (πρωτογενείς διατμητικές τάσεις τρ ) και κατά το υπόλοιπο ποσοστό από τις στρεπτικές διατμητικές τάσεις στρέβλωσης (δευτερογενείς διατμητικές τάσεις τs), οι οποίες ασκούνται στο επίπεδο της διατομής. Επομένως για τη ολική στρεπτική ροπή Mt που ασκείται σε μια διατομή ισχύει Mt =MtP +MtS όπου MtP η πρωτογενής στρεπτική ροπή που εξισορροπείται με την ανάπτυξη των διατμητικών τάσεων Saint Venant (τp) και MtS η δευτερογενής στρεπτική ροπή που εξισορροπείται με την ανάπτυξη των διατμητικών τάσεων στρέβλωσης (τs). Το ποσοστό της στρεπτικής ροπής που παραλαμβάνεται από πρωτογενείς και δευτερογενείς διατμητικές τάσεις καθορίζεται από τη γεωμετρία της διατομής. Σε διατομές με μικρή αντίσταση στρέβλωσης (Σχ. 3.4), μπορεί να εφαρμοστεί με ικανοποιητική ακρίβεια η θεωρία Saint Venant. Επιπλέον η θεωρία Saint Venant μπορεί να εφαρμοστεί και σε θέσεις μακριά από τα σημεία εμποδισμού της στρέβλωσης. 31

32 Όταν οι διατομές εμφανίζουν μεγάλη αντίσταση στρέβλωσης (Σχ. 3.5), είναι μεγάλης σημασίας ο προσδιορισμός των ορθών και διατμητικών τάσεων στρέβλωσης και ο συνυπολογισμός αυτών με τις αντίστοιχες τάσεις που προέρχονται από άλλα είδη φόρτισης (ορθές και διατμητικές τάσεις από καμπτοδιατμητική καταπόνηση, διατμητικές τάσεις ομοιόμορφης στρέψης, κ.λ.π.). Οι τάσεις στρέβλωσης (σxx, τs) είναι τάσεις φόρτισης και όχι καταναγκασμού. Επομένως με την πάροδο του χρόνου και την επερχόμενη ρηγμάτωση ή διαρροή του υλικού, οι τάσεις αυτές δε μειώνονται αλλά ανακατανέμονται. Λόγω της δυνατότητας ανακατανομής οι τάσεις στρέβλωσης δε θα πρέπει να αγνοούνται στα πλαίσια μιας σωστής και ασφαλούς στατικής ανάλυσης, διότι μπορεί να αναδειχθούν καθοριστικής σημασίας για τη διαστασιολόγηση του φορέα. 16. ΑΝΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΣΤΡΕΨΗ ΜΕ ΕΠΙΡΡΟΗ ΔΕΥΤΕΡΟΓΕΝΩΝ ΣΤΡΕΠΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ Στη θεωρία ανομοιόμορφης στρέψης η στρέβλωση είναι ανάλογη της συστροφής θ'. Αυτό έχει συνέπεια να λαμβάνονται υπόψιν μόνο οι πρωτογενείς διατμητικές και οι ορθές τάσεις στην καθολική εξίσωση ισορροπίας της ράβδου ενώ οι δευτερογενείς διατμητικές τάσεις υπολογίζονται μετά την επίλυσή της. Όμως η επιρροή των δευτερογενών στρεπτικών παραμορφώσεων είναι σημαντική σε κλειστές λεπτότοιχες διατομές, όπου οι διατμητικές τάσεις λαμβάνουν υψηλές τιμές λόγω της ιδιαίτερης γεωμετρίας της διατομής. 32

33 Η επιρροή αυτή μπορεί να ληφθεί υπόψιν με υιοθέτηση νέου κινηματικού μεγέθους που δίδει τη στρέβλωση της διατομής πλέον μη ανάλογη με τη συστροφή θ'. Η θεώρηση αυτή παρουσιάζει πλήρη αναλογία με τη μη γραμμική θεωρία καμπτόμενων ράβδων Timoshenko. Συνεπώς, παραβιάζει κι αυτή την τοπική διαφορική εξίσωση ισορροπίας κατά μήκος της ράβδου καθώς και την αντίστοιχη συνοριακή συνθήκη εξαιτίας της μη ικανοποιητικής κατανομής δευτερογενών διατμητικών τάσεων που προκύπτει. Τούτο έχει ως αποτέλεσμα την ανάγκη διόρθωσης της δευτερογενούς στρεπτικής αντίστασης με τη χρήση κατάλληλου διορθωτικού συντελεστή διάτμησης, ο οποίος υπολογίζεται με ενεργειακή προσέγγιση. Η συγκεκριμένη προσέγγιση οδηγεί στη σύζευξη στρεπτικών και καμπτικών καταπονήσεων ράβδων τυχούσας διατομής. Στην περίπτωση που η διατομή είναι διπλά συμμετρική, αποδεικνύεται ότι στρεπτικές και καμπτικές καταπονήσεις αποζευγνύονται. Έτσι, το πρόβλημα της ανομοιόμορφης στρέψης μπορεί να μελετηθεί ξεχωριστά από αυτό της καμπτοδιατμητικής καταπόνησης. Παραδοχές Για να μπορεί να μελετηθεί σε αυτή την περίπτωση η στρεπτική καταπόνηση, χωρίς να πρέπει να συνυπολογισθούν και άλλες παράμετροι, πρέπει να ισχύουν οι εξής παραδοχές: 1. Η ράβδος είναι ευθύγραμμη. 2. Εγκάρσιες παραμορφώσεις της διατομής σε κατάσταση φορτίσεως δεν αναπτύσσονται, δηλαδή το σχήμα της διατομής διατηρείται. 3. Η διατομή της ράβδου είναι σταθερή. 4. Η διατομή της ράβδου είναι διπλά συμμετρική. Στην περίπτωση όπου η διατομή έχει έναν ή κανέναν άξονα συμμετρίας, η στρεπτική και καµπτοδιατµητική καταπόνηση είναι συζευγµένες και πρέπει να μελετηθούν μαζί. Όταν η διατοµή διαθέτει δύο άξονες συµµετρίας, τότε η στρεπτική καταπόνηση μπορεί να μελετηθεί αυτόνομα. 5. Στη ράβδο δεν επιβάλλεται (κατασκευαστικά) κάποιος άξονας περιστροφής. Η ράβδος μπορεί να στραφεί ελεύθερα μετά την άσκηση σε αυτήν του στρεπτικού φορτίου και αποδεικνύεται ότι ο άξονας περιστροφής ταυτίζεται µε τον άξονα που διέρχεται από το γεωμετρικό κέντρο των διατομών. Η (κατασκευαστική) επιβολή οποιουδήποτε άλλου άξονα περιστροφής οδηγεί αναπόφευκτα στην ανάπτυξη καµπτοδιατµητικής έντασης πέρα από τη στρεπτική. 6. Η στρέβλωση της ράβδου είναι ανάλογη της πρωτογενούς σχετικής γωνίας στρεπτικής στροφής των διατομών ανά μονάδα μήκους (ή ανεξάρτητης παραμέτρου στρέβλωσης). Επειδή η στρέβλωση των διατομών δεν λαμβάνεται ανάλογη της συνολικής σχετικής γωνίας στρεπτικής στροφής των διατοµών ανά μονάδα μήκους, η επιρροή των δευτερογενών στρεπτικών παραµορφώσεων είναι δυνατόν να ληφθεί υπ' όψιν στην καθολική ισορροπία της ράβδου. 7. Η στροφή της διατομής θεωρείται τόσο μικρή, ώστε το τόξο µε καλή προσέγγιση να μπορεί να αντικατασταθεί από τη χορδή του. 8. Το υλικό της ράβδου θεωρείται ομογενές, ισότροπο, συνεχές και γραμμικά ελαστικό και συνεπώς ισχύουν οι σχέσεις της γραμμικής θεωρίας ελαστικότητας. 9. Η κατανομή των τάσεων στα άκρα της ράβδου είναι τέτοια, ώστε να τηρούνται όλες οι προαναφερθείσες παραδοχές. 33