17 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ» Θεωρητική Εξέταση

Transcript

1 17 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ» Θεωρητική Εξέταση

2 Παρακαλούμε, διαβάστε προσεκτικά τα παρακάτω: 1. Ο διαθέσιμος χρόνος για την απάντηση των θεωρητικών προβλημάτων είναι 4 ώρες. Θα έχετε: 3 προβλήματα σύντομης ανάπτυξης (Προβλήματα 1 ως 3), 2 μεσαίας ανάπτυξης (Προβλήματα 4 και 5) και 2 μακράς ανάπτυξης (Προβλήματα 6 και 7). 2. Χρησιμοποιείστε μόνο μολύβια και στυλό χρώματος μαύρου ή μπλε. 3. ΜΗΝ χρησιμοποιήσετε το πίσω μέρος της κόλλας στην οποία απαντάτε τα προβλήματα. 4. Κάθε πρόβλημα να το απαντάτε σε ξεχωριστή κόλλα απαντήσεων. 5. Συμπληρώστε τα πλαίσια στο άνω μέρος κάθε κόλλας με τον κωδικό που σας δόθηκε, τον «αριθμό του προβλήματος» και τον συνολικό αριθμό των σελίδων που χρησιμοποιήσατε για την επίλυση του συγκεκριμένου προβλήματος. 6. Η αρχή και το τέλος του χρόνου της εξέτασης θα αναγγέλλεται με ένα κουδούνισμα. 7. Η τελική απάντηση σε κάθε ερώτηση πρέπει να συνοδεύεται από τις μονάδες της, οι ο- ποίες πρέπει να είναι στο σύστημα SI ή στις μονάδες στις οποίες αναφέρεται το πρόβλη- μα. Αν η απάντηση δοθεί χωρίς μονάδες, ακόμη κι αν είναι σωστή, θα αφαιρεθεί ένα πο- σοστό 20% από τη βαθμολογία που αναλογεί στην απάντηση. 8. Η απαιτούμενη αριθμητική ακρίβεια των απαντήσεων, εξαρτάται από το πλήθος των ψηφίων που δίνονται στα δεδομένα κάθε προβλήματος. Αν η απάντηση δοθεί χωρίς την απαιτούμενη από το πρόβλημα ακρίβεια, ακόμη κι αν είναι σωστή, θα αφαιρεθεί ένα πο- σοστό 20% από την βαθμολογία που αναλογεί στην απάντηση. Χρησιμοποιείστε τις στα- θερές ακριβώς όπως δίνονται στον πίνακα των σταθερών. 9. Στο τέλος της εξέτασης, βάλτε όλα τα χαρτιά σας, ακόμη και τα πρόχειρα, μέσα στον φά- κελο που σας δόθηκε. 17 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας η φάση Θεωρητική Εξάσκηση 2

3 Πίνακας Σταθερών (όλες οι μονάδες είναι στο σύστημα SI) Σταθερά Σύμβολο Τιμή Σταθερά της βαρύτητας G 6, N m 2 kg - 2 Σταθερά του Πλανκ h 6, J s Ταχύτητα του φωτός c 3, m s - 1 Μάζα του Ήλιου M 1, kg Ακτίνα του Ήλιου R 6, m Λαμπρότητα του Ήλιου L 3, w Φαινόμενο μέγεθος Ήλιου m - 26,8 Περίοδος περιστροφής Ήλιου ~27 ημέρες Ηλιακή σταθερά b 1, w m - 2 Μάζα του Δία 1, kg Μάζα της Γης M 5, kg Ακτίνα της Γης R 6, m Μέση πυκνότητα της Γης ρ kg m - 3 Επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της θάλασσας g 9,81 m s - 2 Τροπικό έτος 365,24 ημέρες Συνοδικό έτος 365,26 ημέρες Συνοδική ημέρα s Κλίση του ισημερινού ως προς την εκλειπτική Ε 23 ο,5 Parsec pc 3, m Έτος φωτός ly 9, m Αστρονομική Μονάδα AU 1, m Απόσταση Γης Σελήνης 3, m Μάζα της Σελήνης M L 7, kg Ακτίνα της Σελήνης R L 1, m Απόσταση Ήλιου από το κέ- ντρο του Γαλαξία R pc Σταθερά του Hubble H 75 km s - 1 Mpc - 1 Μάζα του ηλεκτρονίου m e 9, kg Μάζα του πρωτονίου m p 1, kg Μάζα πυρήνα ηλίου (Helium) m he 6, kg 17 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας η φάση Θεωρητική Εξάσκηση 3

4 Σύντομης Ανάπτυξης Προβλήματα (4 μονάδες έκαστο) Πρόβλημα 1 ο : Ο μεγάλος ημιάξονας της τροχιάς του Ερμή γύρω από τον Ήλιο είναι 0,387 AU και της Αφροδίτης 0,723 AU. (α) Να βρεθεί η μέγιστη γωνιώδης απόσταση (α- ποχή) των δύο αυτών πλανητών από τον Ήλιο. (β) Είναι δυνατόν να παρατηρηθούν οι δύο αυτοί πλανήτες από τον Βόλο τα μεσάνυχτα κάποια ημέρα του έτους; Δικαιολογεί- στε την απάντησή σας; (α) Η μέγιστη αποχή, φε του Ερμή είναι sin - 1 φε = 0,387 φε = 22,8 και της Αφροδίτης φα = (β) Προφανώς αυτό είναι αδύνατον, εφόσον η αποχή των δύο εσωτερικών αυτών πλανητών από τον Ήλιο είναι μικρή (φ < 90 ). Βαθμολογικό Σχήμα: Αν γράψει ότι η μέγιστη αποχή Ερμή των 0,387 AU σημαίνει sin - 1 φ Ε, τότε: 1 μονάδα Αν υπολογίσει το τόξο ημιτόνου: 0,5 μονάδα Αν γράψει ότι η μέγιστη αποχή Αφροδίτης των 0,723 AU σημαίνει sin - 1 φ Ε, τότε: 1 μονάδα Αν υπολογίσει το τόξο ημιτόνου: 0,5 μονάδα Αν απαντήσει ότι είναι αδύνατον: 1 μονάδα 17 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας η φάση Θεωρητική Εξάσκηση 4

5 Πρόβλημα 2 ο : Ο πλανήτης Ουρανός απέχει από τον Ήλιο 19,19 AU. Ποια είναι η μέγιστη γωνιακή απόσταση της Γης από τον Ήλιο, για ένα υποθετικό παρατηρητή που βρίσκεται στον Ουρανό; Για ένα παρατηρητή που βρίσκεται στον Ουρανό, η Γη θα έχει τη μέγιστη γωνιακή της απόσταση από τον Ήλιο, όταν η ευθεία Ουρανού - Γης είναι εφαπτομένη της τροχιάς της Γης περί τον Ήλιο. Θα έχουμε, λοιπόν, ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΟΓΗ, με ορθή γωνία στο Γ, που η υποτείνουσά του (ΟΗ) έχει μήκος 19,19 AU και η μικρότερη από τις κάθετες πλευ- ρές (ΓΗ) έχει μήκος 1 AU. Ζητείται η γωνία Ο. Με απλή τριγωνομετρία, sin(ο) = 1/19,19 = 0,05211, άρα Ο = 2,987 ο (τρεις μοίρες). Βαθμολογικό Σχήμα: Αν φτιάξει σωστό σχήμα (όπως περιγράφεται πιο πάνω στη λύση): 2 μονάδες Αν εφαρμόσει τον τύπο της τριγωνομετρίας: 1 μονάδα Αν βρει σωστό αποτέλεσμα: 1 μονάδα 17 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας η φάση Θεωρητική Εξάσκηση 5

6 Πρόβλημα 3 ο : Σύμφωνα με την Ελληνική μυθολογία, ο Λέανδρος, που κατοικούσε στην Ασιατική ακτή του Ελλησπόντου, πήγαινε κάθε βράδυ κολυμπώντας να συναντήσει την αγαπημένη του Ηρώ, που κατοικούσε στην Ευρωπαϊκή πλευρά και λίγο πριν από το ξη- μέρωμα επέστρεφε, κολυμπώντας πάλι. Η ιστορία είχε τραγική κατάληξη (πνιγμός του Λέανδρου και εν συνεχεία της Ηρούς), αλλά ενέπνευσε πολλούς συγγραφείς, μουσικούς, ζωγράφους και ποιητές (ακόμα και τον λόρδο Μπάιρον). Να μια ζωγραφιά του William Etty, από το 1827, με τίτλο «Ο χωρισμός» (δηλ. η επιστροφή του Λέανδρου στην Ασιατι- κή ακτή): Τι λάθος υπάρχει σ' αυτόν τον πίνακα; Ο μηνίσκος της Σελήνης είναι «αύξων», δηλ. λίγες μέρες μετά τη Νέα Σελήνη. Αλλά τότε η Σελήνη δύει λίγο μετά τη δύση του Ήλιου, επομένως εκείνη την ώρα μάλλον θα έπρεπε να ξεκινάει ο Λέανδρος για να συναντήσει την καλή του, παρά να επιστρέφει. (Ανατολή αποκλείεται να είναι, διότι τότε θα έπρεπε ήδη να λάμπει ο Ήλιος) Βαθμολογικό Σχήμα: Αν αναφέρει τη λέξη «αύξων» ή ότι η Σελήνη είναι λίγες μέρες μετά τη Νέα Σελήνη: 2 μο- νάδες. Αν αναφέρει ακριβώς το λάθος (ότι η Σελήνη δεν μπορεί να βρίσκεται στη Δύση ως μηνί- σκος αύξων): 2 μονάδες 17 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας η φάση Θεωρητική Εξάσκηση 6

7 Μεσαίας Ανάπτυξης Προβλήματα (8 μονάδες έκαστο) Πρόβλημα 4 ο : Σε απόσταση 400 ε.φ. βρίσκεται το άστρο δ Σκορπιού. Αν υποθέσουμε ότι εκρήγνυται ως υπερκαινοφανής μετατρέποντας σε ακτίνες γ μάζα ίση προς το 1/10 της ηλιακής μάζας, να βρείτε αν είναι θανατηφόρα για τους ανθρώπους στη Γη αυτή η έκρηξη. Δίνεται ότι η κατανομή της ακτινοβολίας είναι ισότροπη γύρω από το άστρο και ότι η θανατηφόρα δόση για τον άνθρωπο είναι 600 J/kg. Θεωρείστε ότι η μάζα του μέσου αν- θρώπου είναι 100 kg και ότι η μετωπική εξωτερική επιφάνεια που δέχεται την ακτινοβο- λία είναι 0,5 m 2. Η ατμόσφαιρα της Γης απορροφά το 99% της κοσμικής ακτινοβολίας γ. Η ενέργεια που εκπέμπεται από την έκρηξη είναι: ( ) 2 = 1, J E = mc 2 = 1 10 M H c2 = Η ακτινοβολία όταν διαδίδεται στο χώρο ισότροπα, φθάνει στη Γη με πυκνότητα ενέρ- γειας ανά m 2 ίση με: E = E 1, = 2 4π R 4π 400 = 1, , , ( ) = 1, , ,56 14, = 1010 J m 2 Αν απορροφήσει η ατμόσφαιρα το 99% αυτής της ακτινοβολίας, μένουν 10 8 J/m 2, δό- ση η οποία είναι θανατηφόρα για τον άνθρωπο, αφού η ελάχιστη θανατηφόρα δόση εί- ναι 600 J/m 2. Βαθμολογικό Σχήμα: Για τον υπολογισμό της ενέργειας: 3 μονάδες Για τον υπολογισμό της ακτινοβολίας: 4 μονάδες Τελικό συμπέρασμα: 1 μονάδα 17 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας η φάση Θεωρητική Εξάσκηση 7

8 Πρόβλημα 5 ο : Ο Σείριος A, με οπτικό μέγεθος ma = 1,47 (o λαμπρότερος αστέρας τoυ ου- ρανού) και ακτίνα RA = 1,7R είναι o πρωτεύων αστέρας ενός διπλού συστήματος. Ο συνο- δός του, Σείριος Β, ανιχνεύθηκε το 1844 αστρομετρικά από τον Bessel, χωρίς να εντοπισθεί οπτικά. Υποθέτοντας ότι οι δύο αστέρες ανήκουν στον ίδιο φασματικό τύπο και ότι ο Σεί- ριος Β είναι κατά 10 μεγέθη αμυδρότερος, ο Bessel υπολόγισε την ακτίνα του Σείριου Β. Πώς την υπολόγισε και πόση την βρήκε; Επειδή και οι δύο αστέρες βρίσκονται στην ίδια απόσταση, m B m A = 2,5log L A 4πr 2 L B 4πr 2 = 2,5log L A L B (1) από όπου προκύπτει LA = 10 4 LB (2) Από τη σχέση L = 4πR 2 σteff 4 βρίσκουμε: LA/LB = (RA/RB) 2 (TA/TB) 4 (3) και υποθέτοντας ότι οι δύο αστέρες ανήκουν στον ίδιο φασματικό τύπο (επομένως TA = TB) βρίσκουμε: RB = 0,01RA = 0,01 1, km = km Άρα η ακτίνα του Σείριου Β που βρήκε ο Bessel ήταν km. Ας σημειωθεί ότι η ακτίνα του Σειρίου Β είναι περίπου η μισή από αυτή που βρήκε ο Bessel. Βαθμολογικό Σχήμα: Για τον πρώτο τύπο: 3 μονάδες Για την σχέση (2): 1 μονάδα Για την σχέση (3): 3 μονάδες Για την σχέση την τελική: 1 μονάδα. 17 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας η φάση Θεωρητική Εξάσκηση 8

9 Μακράς Ανάπτυξης Προβλήματα (11 μονάδες έκαστο) Πρόβλημα 6 ο : Η αποστολή Euro Moon 2000 (που τελικά δεν πραγματοποιήθηκε), είχε σχεδια- στεί να χρησιμοποιήσει ένα πύραυλο της σειράς Ariane- 4, του οποίου ο ρόλος ήταν να θέσει ένα διαστημικό όχημα μάζας m = 3000 kg σε κυκλική τροχιά, η οποία θα διέρχονταν πάνω από τους πόλους της Σελήνης, σε ύψος h L =200 km. Συμβολίζουμε με R L την ακτίνα της Σελήνης και Μ L τη μάζα της. α) Να δείξετε ότι η συνολική μηχανική ενέργεια του οχήματος στο ύψος h L είναι: E = GM L m 2( R L + h L ) Yποθέτουμε ότι η δυναμική ενέργεια είναι μηδέν στο άπειρο και ότι τα βαρυτικά πεδία άλλων σωμάτων (πχ. Γης, Ηλίου, κλπ.) δεν επηρεάζουν το όχημα. β) Να υπολογιστεί αριθμητικά η συνολική μηχανική ενέργεια Ε του συγκεκριμένου διαστημικού οχήματος. γ) Ένα άλλο στάδιο της αποστολής ήταν η τοποθέτηση ενός σεληνιακού εργαστηρίου μάζας m =1000 kg, κοντά στο νότιο πόλο της Σελήνης, σε μία περιοχή που φωτίζεται συνεχώς από τον Ήλιο. Να υπολογισθεί το έργο W το οποίο απαιτείται, ώστε το εργαστήριο το οποίο επίσης βρί- σκεται σε κυκλική τροχιά γύρω από τη Σελήνη σε ύψος h L = 200 km να προσεληνωθεί με μηδενι- κή ταχύτητα. α) Ε μηχ.= Ε κιν. + Ε δυν., όπου: Ε μηχ. = 1/2 mυ 2 (1) και Ε δυν. = - G M L m / (R L + h L) (2) όμως, στο ύψος h L η ελκτική δύναμη της Σελήνης πάνω στο όχημα, δρα ως κεντρομόλος. Άρα: G M L m / (R L + h L) 2 = mυ 2 / (R L + h L) υ 2 = G M L / (R L + h L) (3). Αντικαθιστώ την (3) στην (1) και έχω: Ε κιν.= 1/2 m G M L/ (R L+h L) = G M L m / 2 (R L + h L ) (4). Συνεπώς, η Ε μηχ. προκύπτει από το άθροισμα των (2) και (4), ήτοι: Ε μηχ. = - GM L. m / 2 (R L + h L) (5). β) Αντικαθιστούμε στην (5) τις τιμές και βρίσκουμε την Ε μηχ. σε Joules. γ) Στο ύψος των 200 km, το σεληνιακό εργαστήριο μάζας m =1000 kg έχει μηχανική ενέργεια που υπολογίζεται από τη σχέση (5) με αντικατάσταση. Στην επιφάνεια της Σελήνης, εφόσον προσεδαφίζεται με μηδενική ταχύτητα, θα έχει μόνο δυνα- μική ενέργεια ίση με: Ε δυν. = - G M L m / R L. Εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μεταξύ των δύο θέσεων θα έχουμε: - GM Lm / 2 (R L+ h L) + W = - G M L m / R L W= - GM Lm / R L + GM Lm / 2 (R L + h L). Με αντικατάσταση, βρίσκουμε το απαιτούμενο έργο σε Joules. Βαθμολογικό Σχήμα Για την απόδειξη του τύπου: 5 μονάδες Για την αντικατάσταση (β): 2 μονάδες Για την εύρεση του έργου: 3 μονάδες, και για τον αριθμητικό υπολογισμό: 1 μονάδα 17 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας η φάση Θεωρητική Εξάσκηση 9

10 Πρόβλημα 7ο: Ο Ήλιος, για όσο διάστημα θα βρίσκεται στην κύρια ακολουθία, είναι, ου- σιαστικά, μια μονάδα παραγωγής ενέργειας η οποία χρησιμοποιεί την θερμοπυρηνική σύντηξη και ειδικότερα την διαδικασία της αλυσίδας πρωτονίου- πρωτονίου συντήκο- ντας 4 πυρήνες υδρογόνου σε έναν πυρήνα ηλίου. Επίσης θεωρούμε ότι η φωτεινότητά του παραμένει σταθερή, τουλάχιστον για όσο χρόνο θα βρίσκεται στην κύρια ακολουθία. α) Να υπολογίσετε την επί τοις εκατό (%) απόδοση της θερμοπυρηνικής σύντηξης, δη- λαδή το ποσοστό της αρχικής μάζας που μετατρέπεται σε ενέργεια. β) Εάν γνωρίζετε ότι ο Ήλιος αποτελούνταν αρχικά από 70% υδρογόνο και ότι μπορεί να συντήξει μόνο το 13% αυτού (μόνο το υδρογόνο του πυρήνα και ένα μικρό μέρος γύρω από τον πυρήνα), να υπολογίσετε τον χρόνο παραμονής του στην κύρια ακολουθία. α) Για την αλυσίδα πρωτονίου- πρωτονίου η αρχική μάζα είναι αυτή των 4 πυρήνων υδρογόνου, δηλαδή των 4 πρωτονίων: 𝑚! = 4 𝑚! = 4 1,67 10!!" = 6,688 10!!" 𝑘𝑔 (1 μονάδα) Η τελική μάζα είναι αυτή του ενός πυρήνα ηλίου άρα η απόδοση είναιo λόγος της μάζας που με- τατρέπεται σε ενέργεια, δηλαδή της διαφοράς ανάμεσα στην αρχική και την τελική μάζα προς την αρχική μάζα: 𝑚! 𝑚! 6,688 6, % = 100% = 0,7% 𝑚! 6,688 (2 μονάδες) β) Η μάζα του Ήλιου που λαμβάνει μέρος στις θερμοπυρηνικές είναι: 0,7 0,13 1,99 10!" = 1,81 10!" 𝑘𝑔 (1 μονάδα) Εφόσον η απόδοση των αντιδράσεων είναι 0,7% η μάζα που θα μετατραπεί σε ενέργεια θα είναι: 0,7 1,81 10!" = 1,27 10!" 𝑘𝑔 100 (1 μονάδα) Άρα η ενέργεια που μπορεί να παράξει ο Ήλιος είναι: 𝛦 = 𝑚𝑐! = 1,27 10!" 3 10!! = 11,43 10!" 𝐽 (2 μονάδες) Όμως ο ρυθμός με τον οποίο ο Ήλιος εκλύει ενέργεια είναι σταθερός και ίσος με: 𝐸 𝐽 𝐸 11,43 10!" 𝐿 = = 3,82 10!" 𝑡 = = = 2,99 10!" 𝑠 𝑡 𝑠 𝐿 3,82 10!" (3 μονάδες) Άρα ο Ήλιος μας θα ζήσει στην κύρια ακολουθία για: 2,99 10!" 𝑡 = 3,27 10!" 𝑠 = = 9,47 10! 𝑦 365, (1 μονάδα) Δηλαδή ο Ήλιος θα ζήσει συνολικά στην κύρια ακολουθία για 9,47 δισεκατομμύρια χρόνια. 17ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας η φάση Θεωρητική Εξάσκηση 10