dλ (7) l A = l B = l = λk B T

Transcript

1 Αριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ 2ο Σετ Ασκήσεων Αστρονομίας Author: Σταμάτης Βρετινάρης Supervisor: Νικόλαος Στεργιούλας Λουκάς Βλάχος November 0, 205

2 Άσκηση (α) Αν η μέση αριθμητική πυκνότητα των αστέρων στην γειτονία του Ηλιου είναι 0.08 αστέρες/pc 3, πόσων περίπου αστέρων μπορεί να μετρηθεί η απόσταση με τη μέθοδο της παράλλαξης; (β) Εάν μέχρι την απόσταση αυτή υπήρχε ομοιόμορφη κατανομή αστέρων στο χώρο που όλοι είχαν τα ίδια χαρακτηριστικά με αυτά του Ηλιου, υπολογίστε την συνολική φαινόμενη λαμπρότητα αυτών στη Γη ( συνυπολογίζοντας τη συνεισφορά όλων) και συγκρίνετέ την με εκείνη του Ηλιου. (α) Η μέθοδος της παράλλαξης λειτουργεί καλά για κοντινούς αστέρες, όμως σε μεγαλύερες αποστάσεις δεν λειτουργεί σωστά. Η μέγιστη απόσταση στην οποία μπορούμε να εφαρμόσουμε χωρίς σφάλματα την μέθοδο της παράλλαξης είναι 00pc. Δίνεται η μέση αριθμητική πυκνότητα των αστέρων οπότε εύκολα υπολογίζουμε τον αριθμό των αστέρων που μπορούμε να παρατηρήσουμε N = 0.08V = π003 N = stars () (β) Θεωρούμε στοιχειώδη δακτύλιο με διαστάσεις r, r + dr. Ο αριθμός των αστέρων μέσα στον δακτύλιο θα δίνεται από το γινόμενο του εμβαδού επί την πυκνότητα των αστέρων στην δεδομένη περιοχή. Συνεπώς : Αντίστοιχα η στοιχειώδη φαινόμενη λαμπρότητα θα δίνεται από τον τύπο ολοκληρώνοντας την σχέση (3) από 0 εως 00 pc έχουμε : N = 4πr 2 ρ (2) dl = NL 4πr 2 dr dl = ρl dr (3) l = ˆ 00 0 ρl dr l = L l 0 2 erg cm 2 s (4) Η λαμπρότητα του Ηλιου είναι l = 0 6 erg αστέρων δεν επηρεάζει καθόλου. 2 Άσκηση cm 2 s συνεπώς ο Ηλιος υπερισχύει και η λαμπρότητα των γύρω Δείξε ότι αν γνωρίζουμε το δείκτη χρώματος ενός αστέρα είναι δυνατόν να υπολογίσουμε τη θερμοκρασία της επιφάνειάς του (αγνοώντας τη μεσοαστρική απορρόφηση), υποθέτοντας ότι ο αστέρας εκπέμπει ως μελαν σώμα. Θα λύσουμε το πρόβλημα γενικά οπότε συμβολίζουμε ως ΑΒ τον δείκτη χρώματος. Ορίζουμε και τις φαινόμενες λαμπρότητες AB = m A m B = 2.5log(l B /l A ) (5) l A = l B = λ λ dl dλ (6) dλ dl dλ (7) dλ Οπου λ και λ 2 είναι κάθε φορά τα όρια των περιοχών για κάθε φάσμα ( Ι,Β,ΥΒ) Από τον νόμο του Planck για την λαμπρότητα σε μονάδες μήκους κύματος έχουε l = λ λ (8)

3 Η ολοκλήρωση γίνεται προσεγγιστικά οπότε Στην περιοχή που ολοκληρώνουμε το = υπολογίζουμε τον λόγο l B /l A l = λ f(λ, T )dλ f(λ 0, T ) λ οπότε μπορούμε να γράψουμε χωρίς πρόβλημα λ λ λ 5 λ (9) l B l A = Αντικαθιστούμε στην εξίσωση () 2 2 λ 5 b 2 2 λ 5 A AB = 2.5log e λ B k B T e λ B k B T λ λ = 22 λ B λ 5 A e 2 2 λ A λ 5 B e [ λ B λ A ( λa λ B λ A k B T λ B k B T ) ] 5 kt ( λ A λ ) B (0) () Μετά απο πράξεις καταλήγουμε στον τύπο: 3 Άσκηση T = ( 2.5 λ A λ B ) k B [AB 2.5log( λ B λ A ) 2.5log (λ A /λ B ) ] (2) Ο λαμπρός αστέρας Κάστωρ φαίνεται απλός με γυμνό μάτι, ενώ με ένα τηλεσκόπιο αναγνωρίζεται ως διπλό σύστημα στέρων, με αστρικά μεγέθη m =.99 και m 2 = Ποιο αστρικό μέγεθος φαίνεται να έχει ο Κάστωρ με γυμνό μάτι; Οι σχέσεις που θα χρησιμοποιήσουμε θα είναι οι εξής : Ξεκινώντας από την σχέση (3) έχουμε m = 2.5logl + c (3) m 2 = 2.5logl 2 + c (4) m oλ = 2.5log(l + l 2 ) + c (5) m 2 m = 2.5log(l /l 2 ) (6) m 2 m = 2.5log(l /l 2 ) = 2.5log(l /l 2 ) = log(l l 2 l l 2 =.4 Συνεχίζουμε με την σχέση (2) (7) l =.4l 2 (8) m oλ = 2.5log(l + l 2 ) + c (4) = 2.5log(.4l 2 + l 2 ) + c = 2.5log(2.4l 2 ) + c = 2.5log logl 2 + c (0) = m oλ =.765 (9) 2

4 4 Άσκηση Η γωνιώδης διάμετρος οτυ σφαιρωτού σμήνους M3, στον αστερισμό του Ηρακλή, είναι d Σ = 5 και το φαινόμενο μέγεθός του,ως συνόλου, m Σ = 5.7. Το φαινόμενο μέγεθος του καθενός από τους αστέρες RR Lyrae (M=0.6)που περιέχει το σμήνος είναι m = 5.5. Υποθέστε ότι δεν υπάρχει μεσοαστρική απορρόφηση. (α) Να υπολογισθούν η απόσταση r Σ και η διάμετρος D Σ του Μ3 σε pc. (β) Να υπολογισθεί ο αριθμός των αστέρων του σμήνους, εάν όλοι είχαν την ίδια φωτεινότητα με αυτήν του Ηλιου. Η απόσταση βρίσκεται εύκολα από τον τύπο Κάνοντας τις πράξεις βρίσκουμε ότι Για την διάμετρο από το σχήμα βλέπουμε ότι ισχύει: M m = 5 5logr Σ (20) r Σ = 9.55 kpc (2) tan d Σ 2 = D/2 tan2.5 D = r kpc (22) D = tan2.5 kpc = kpc = pc 4 pc Για το δεύτερο σκέλος της άσκησης θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο m Σ m = 2.5log ( L ) 4πr NL 4πr Σ (23) όπου r η απόσταση Γης- Ηλιου επίσης είναι γνωστό το m ίσο με -26,7. Συνεχίζοντας αντικαθιστούμε στον τύπο (9) και αφού κάνουμε τις πράξεις προκύπτει ότι N = αστɛρɛς (24) 3

5 5 Άσκηση Για πέντε αστέρες δίνονται στον παρακάτω πίνακα τα φαινόμενα αστρικά μεγέθη τους στην οπτική περιοχή και ο φασματικός τους τύπος. Ποιος είναι (α) ο θερμότερος, (β) ο απόλυτα λαμπρότερος, και (γ) ο πλησιέστερος; Αιτιολογείστε τις απαντήσεις σας. Αστέρας Σείριος Β Betelgeuse Λ726-8Α Προκύων τ Cet m V Sp A2VII M2Ia M5.5V F5IV G8V Για την επίλυση της άσκησης θα χρησιμοποιήσουμε το διάγραμμα HR το οποίο φαίνεται στο Σχήμα. Σχήμα : HR diagram Συνδυάζοντας τις πληροφορίες που μας δίνει η άσκηση και τοποθετώντας τες πάνω στο διάγραμμα καταλήγουμε ότι Θερμότερος είναι ο Σείριος Β ( Κ ) Λαμπρότερος είναι ο Betelgeuse και κοντινότερος ο Σείριος Β. 4

6 6 Άσκηση Η μέση λαμπρότητα l v ενός τετραγωνικού δευτερολέπτου του τόδου του νυκτερινού ουρανού είναι ίση με την λαμπρότητα ενός αστέρα φαινόμενου αστρικού μεγέθους m v = Να θπολογισθεί σε τι φαινόμενο μέγεθος αντιστοιχεί η συνολική λαμπρότητα του νυκτερινού ουρανού, όπως φαίνεται από κάποιο τόπο. Θεωρούμε ουράνια σφαίρα ακτίνας r. Το εμβαδόν της ουράνιας σφαίρας εκφράζεται ως E = 2πr 2. Το μήκος τόξου d που αντιστοιχεί σε γωνία θ είναι: = οπότε το μήκος τόξου θα είναι r d = Το εμβαδόν ενός τετραγωνικού δευτερολέπτου συνεπώς είναι: rad (25) (26) ( d 2 r ) 2 = (27) Εμάς μας ενδιαφέρει το ένα μόνο ημισφαίριο και κάνοντας χρήση του τύπου της διαφορά των αστρικών μεγεθών έχουμε: ( ) 2πr 2 m v m sky = 2.5log m v m sky = 2.5log ( ) m sky = m v l 2 m sky 6 (28) 5