PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN.
|
|
- Αοιδή Παπαστεφάνου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN h Seirˆ Ask sewn Akrìtata pragmatik n sunart sewn 1. Na brejoôn ta topikˆ akrìtata twn sunart sewn: (a) f(x, y) = 1 x 4xy + 9y + 3x 14y
2 (b) g(x, y) = x 3 + y 3 1(x + y).. Na deiqjeð ìti h sunˆrthsh f(x, y) = x y 4 (x y) èqei trða kritikˆ shmeða kai na brejeð h fôsh touc. Eidikˆ gia to (0, 0) na deiqjeð ìti den eðnai shmeðo topikoô akrotˆtou. 3. Na brejoôn ta topikˆ akrìtata thc sunˆrthshc f : R R, me f(x, y) = 1 x y + e x + e y. 4. Na brejoôn ta topikˆ akrìtata thc sunˆrthshc f : R R, me f(x, y) = x y 4 x 4 y, x 0, y Na brejeð sto xy-epðpedo èna shmeðo M(x, y) tètoio ste to ˆjroisma twn tetrag nwn twn apostˆsewn tou apì tic eujeðec x = 0, y = 0, x y + 1 = 0 na eðnai to elˆqisto dunatì.
3 6. Na prosdiorðsete ta topikˆ akrìtata thc sunˆrthshc f : R R pou orðzetai me ton tôpo f(x, y) = sin x + sin y + sin(x + y), an 0 < x < π kai 0 < y < π. 7. Na prosdiorðsete èna shmeðo P (x 0, y 0 ) tou kartesianoô epipèdou (Π) to opoðo èqei thn idiìthta ìti to ˆjroisma twn tetrag nwn twn apostˆsewn tou apì ta tèssera dosmèna shmeða na eðnai to elˆqisto. A(x 1, y 1 ), B(x, y ), Γ(x 3, y 3 ) kai (x 4, y 4 ) tou (Π) 8. Na brejeð h apìstash tou shmeðou P (1, 0, ) apì to epðpedo (Π) me exðswsh x + y + z = Na prosdioristoôn treic jetikoð pragmatikoð arijmoð x, y, z twn opoðwn to ˆjroisma eðnai 1 kai to ginìmenì touc lambˆnei mègisth tim. 10. H jermokrasða T sta shmeða enìc q rou eðnai T (x, y, z) = 400xyz. BreÐte th mègisth kai thn elˆqisth jermokrasða pˆnw sth sfaðra x + y + z = 1. 3
4 11. Na brejeð h elˆqisth apìstash thc kwnik c epifˆneiac apì thn arq twn axìnwn O(0, 0, 0). z = (x 1) + (y 1) 1. 'Ena sqoinð m kouc 1 cm dipl netai ètsi ste na sqhmatisteð èna trapèzio qwrðc ˆnw bˆsh, ìpwc sto sq ma. Na brejeð to mègisto embadì. y x 1 x x ϑ y u O x 13. Na upologisjoôn oi diastˆseic enìc kibwtðou epifˆneiac 500 cm mègisthc qwrhtikìthtac. 4
5 14. Na breðte thn elˆqisth apìstash thc arq c twn axìnwn O(0, 0, 0) apì thn epifˆneia z = xy Na breðte thn elˆqisth apìstash thc arq c twn axìnwn O(0, 0, 0) apì to epðpedo x + 3y z = Qreiˆzetai na kataskeuˆsoume anoiktì kib tio me ìgko 1000 cm 3. Na brejoôn oi diastˆseic ste to ulikì pou ja qreiasteð na eðnai elˆqisto. 5
6 17. Na prosdiorðsete ta topikˆ akrìtata thc sunˆrthshc f : R R pou orðzetai me ton tôpo f(x, y) = e y 8x +x 4. Anaplhrwt c Kajhght c : Dr. Pappˆc G. Alèxandroc 6
7 . Lumènec Ask seic 7
8 Jèma 1 : Na brejoôn ta topikˆ akrìtata twn sunart sewn: (a) (b) f(x, y) = 1 x 4xy + 9y + 3x 14y + 1. g(x, y) = x 3 + y 3 1(x + y). LÔsh (a) H sunˆrthsh f(x, y) eðnai dôo forèc suneq c paragwgðsimh (akèraio polu numo). B ma 1 o = BrÐskoume ta stˆsima shmeða. Ta stˆsima shmeða (upoy fièc jèseic akrotˆtwn) eðnai lôseic tou sust matoc twn exis sewn x (x, y) = 0 f x (x, y) = 0 'Omwc y (x, y) = 0 f y (x, y) = 0 f x = x 4y + 3 (1) f y = 4x + 18y 14 () To sôsthma twn exis sewn grˆfetai: f x (x, y) = 0 f y (x, y) = 0 x 4y + 3 = 0 (3) 4x + 18y 14 = 0 (4) Apì th lôsh tou sust matoc twn exis sewn (3), (4) prokôptei wc stˆsimo shmeðo to x = 1, y = 1 dhlad to (1, 1). B ma o = BrÐskoume ta topikˆ akrìtata. Apì parag gish twn (1), () prokôptoun: f xx = 1, f xy = f yx = 4, f yy = 18. pou eðnai stajerèc. 'Ara sth jèsh (1, 1) èqw: = f xx f xy f yx 'Ara sth jèsh (1, 1) èqw topikì akrìtato. f yy = = > 0. 8
9 B ma 3 o = ProsdiorÐsoume to eðdoc akrotˆtou (topikì mègisto topikì elˆqisto). Epeid èqw topikì elˆqisto sto (1, 1). f xx = 1 > 0, B ma 4 o = ProsdiorÐsoume thn tim f(x 0, y 0 ). H tim tou eðnai f min = f(1, 1) = = 5. (b) B ma 1 o = BrÐskoume ta stˆsima shmeða. Ta stˆsima shmeða (upoy fièc jèseic akrotˆtwn) eðnai lôseic tou sust matoc twn exis sewn 'Omwc g x (x, y) = 0 g y (x, y) = 0 g x (x, y) = 0 g y (x, y) = 0 g x = 0 3x 1 = 0 (5) g y = 0 3y 1 = 0 (6) To sôsthma twn exis sewn grˆfetai: g x (x, y) = 0 g y (x, y) = 0 3x 1 = 0 3y 1 = 0 Apì th lôsh tou sust matoc prokôptei ìti ta stˆsima shmeða eðnai: (, ), (, ), (, ), (, ). 9
10 B ma o = BrÐskoume ta topikˆ akrìtata. Epiplèon brðskoume: kai h orðzousa: = g xx g xx = 6x, g xy = 0 = g yx, g yy = 6y. g yx g xy g yy = 6x 0 0 6y = 36xy = (x, y). Sto shmeðo (, ) èqw (, ) = 36 = 144 > 0. 'Ara upˆrqei topikì akrìtato sth jèsh (, ). Sto shmeðo (, ) èqw (, ) = 36 ( ) < 0. 'Ara ed den upˆrqei topikì akrìtato. Sto shmeðo (, ) èqw (, ) = 36 ( ) < 0, ˆra oôte sto shmeðo autì upˆrqei topikì akrìtato. Sto shmeðo (, ) èqw 'Ara sth jèsh (, ) upˆrqei topikì akrìtato. (, ) = 36 ( ) ( ) = 144 > 0. B ma 3 o = ProsdiorÐsoume to eðdoc akrotˆtou (topikì mègisto topikì elˆqisto). Epeid èqw topikì elˆqisto sto (, ). Epeid èqw topikì mègisto sto (, ). g xx (, ) = 6 = 1 > 0 g xx (, ) = 6 ( ) < 0, B ma 4 o = ProsdiorÐsoume thn tim g(x 0, y 0 ). g(, ) = ( + ) = 3. g(, ) = ( ) 3 + ( ) 3 1( ) = 3. 10
11 Jèma : Na deiqjeð ìti h sunˆrthsh f(x, y) = x y 4 (x y) èqei trða kritikˆ shmeða kai na brejeð h fôsh touc. Eidikˆ gia to (0, 0) na deiqjeð ìti den eðnai shmeðo topikoô akrotˆtou. LUSH x = 4x3 4(x y) = 0 y = 64y3 4(x y)( ) = 0 Prosjètoume thn pr th exðswsh sthn deôterh kai prokôptei x 3 x + y = 0 x 3 + 8y 3 = 0 x 3 + 8y 3 = 0 x3 x + y = 0 x3 x + y = 0 8y 3 + x y = 0 x 3 x + y = 0 x 3 + (y) 3 = 0 x 3 x + y = 0 (x + y) (x xy + 4y ) = 0 x 3 x + y = 0 x = y x 3 x = 0 x = y x = 0 x = x = x = y 'Ara èqoume ta ex c stˆsima shmeða: ( ),, ( ),, (0, 0). 11
12 f x = 4x 3 4(x y) = 4x 3 4x + 8y f xx = 1x 4 f x = 4x 3 4x + 8y f xy = 8 f y = 64y 3 4(x y)( ) = 64y 3 + 8x 16y f yy = 19y 16 = 8 ( 4y ) f y = 64y 3 + 8x 16y f yx = 8. = f xx f yx f xy f yy = 1x ( 4y ) 'Ara = 64 ( 3x 1 ) ( 1y 1 ) 64. = 64 ( 3x 1 ) ( 1y 1 ) 64 kai f xx = 1x 4. 'Elegqoi : i. Gia to ( ), èqoume ( ), = 64 4 > 0 kai f xx = 1 4 > 0 ˆra sth jèsh ( ), èqoume topikì elˆqisto. ii. Gia to (, ) èqoume = 64 4 > 0 kai f xx ( ), = 1 4 > 0 ˆra sth jèsh (, ) (, ) èqoume topikì elˆqisto. 1
13 iii. Gia to (0, 0) èqoume opìte pˆme ston orismì: = = 0 Orismìc : 'Estw h sunˆrthsh f(x, y) orismènh se ènan tìpo τ. Lème ìti èqoume topikì mègisto (antðstoiqa topikì elˆqisto) sth jèsh (x 0, y 0 ) tou tìpou τ, ìtan upˆrqei perioq B ((x 0, y 0 ), δ) ètsi ste (x, y) B ((x 0, y 0 ), δ), na isqôei h sqèsh f(x, y) f(x 0, y 0 ) 0 (antðstoiqa f(x, y) f(x 0, y 0 ) 0) efarmìzoume to Mejodologikì sqìlio. Mejodologikì sqìlio : JewroÔme th diaforˆ A = f(x, y) f(x 0, y 0 ) thc opoðac exetˆzoume to prìshmo gôro apì to (x 0, y 0 ). Sun jwc gia (x 0, y 0 ) èqoume to (0, 0). i. An mèsw tautot twn (p.q. tetrˆgwna) deðxoume ìti se perioq gôrw apì to (x 0, y 0 ) isqôei A 0 A 0, tìte èqoume akrìtato. ii. Epilègoume kampôlec pou pernˆne apì to (0, 0), (p.q. y = λx, y = λx ). (a) Gia y = x èqoume f(x, y) = f(x, x), opìte ja eðnai A = f(x, x) f(0, 0) kai exetˆzoume to prìshmo gôrw apì to 0 wc proc x. (b) Gia y = λx èqoume f(x, y) = f(x, λx) me katˆllhlo λ, opìte A = f(x, λx) f(0, 0) kai exetˆzoume to prìshmo gôrw apì to 0 wc proc x. An sto α) β) h diaforˆ A paðrnei jetikèc kai arnhtikèc timèc, tìte den èqoume akrìtato. 13
14 A = f(x, y) f(0, 0) = x y 4 (x y). Gia x = y A = 16y y 4 = 3y 4, ˆra ìtan to y paðrnei timèc sthn perioq tou mhdenìc kai epð thc eujeðac x = y, èqoume A > 0. (1) Gia x = y A = 16y y 4 3y = 3y ( y 1 ) 'Ara ìtan to y paðrnei timèc sthn perioq tou mhdenìc kai epð thc eujeðac x = y, èqoume A < 0. () Apì tic sqèseic (1) kai () sumperaðnoume ìti den upˆrqei akrìtato sth jèsh (0, 0). 14
15 Jèma 5 : Na brejeð sto xy-epðpedo èna shmeðo M(x, y) tètoio ste to ˆjroisma twn tetrag nwn twn apostˆsewn tou apì tic eujeðec na eðnai to elˆqisto dunatì. x = 0, y = 0, x y + 1 = 0 LUSH y x y + 1 = 0 1 d 3 M(x, y) d 1 d O x Gia to shmeðo M(x, y) tou XOY epipèdou, to ˆjroisma twn tetrag nwn apì tic eujeðec eðnai: Epomènwc zhtˆme to elˆqisto thc sunˆrthshc Upologismìc twn pijan n akrotˆtwn: x = 0 d 1 = x y = 0 d = y ( ) x y + 1 x y + 1 = 0 d 3 = = (x y + 1). f(x, y) = y + x + 1 (x y + 1). EpÐshc x = 0 y = 0 = f xx f yx f xy f yy 3x y = 1 x + 3y = 1 x 0 = 1 4 y 0 = 1 4 = = 8 > 0 kai f xx = 3 > 0. 'Ara sto shmeðo ( 1 4, 1 4) èqoume elˆqisto. 15
16 Jèma 6 : Na prosdiorðsete ta topikˆ akrìtata thc sunˆrthshc f : R R pou orðzetai me ton tôpo f(x, y) = sin x + sin y + sin(x + y), an 0 < x < π kai 0 < y < π. LUSH H sunˆrthsh f(x, y) eðnai dôo forèc suneq c paragwgðsimh sto R. Ta stˆsima shmeða (upoy fièc jèseic akrotˆtwn) eðnai lôseic tou sust matoc twn exis sewn x = 0 f x = 0 cos x + cos(x + y) = 0 y = 0 f y = 0 cos y + cos(x + y) = 0 cos x = cos y. (1) Apì thn (1) kai ton periorismì 0 < x < π kai 0 < y < π sunepˆgetai ìti 'Etsi apì to sôsthma sunepˆgetai h exðswsh x = y. cos x + cos x = 0. () H trigwnometrik exðswsh () grˆfetai sth morf cos x + cos x 1 = 0, dhl. cos x + cos x 1 = 0. (3) H lôseic thc deuterobˆjmiac exðswshc (3) wc proc cos x eðnai cos x = 1, cos x = 1. Allˆ 0 < x < π, epomènwc h tim cos x = 1 aporrðptetai. Sunep c h monadik epitrept tim tou cos x sto diˆsthma (0, π) eðnai 1. H lôsh thc exðswshc eðnai 'Omwc x = y, sunep c cos x = 1 sto (0, π) x = π 3. x = π 3 kai y = π 3. 'Ara h pijan jèsh akrotˆtou thc f eðnai to shmeðo ( π 3, π 3 ). 16
17 = f xx f yx ( π f xx = sin x sin(x + y) f xx 3, π ) = sin π 3 3 sin π = = 3. ( π f yy = sin y sin(x + y) f yy 3, π ) = sin π 3 3 sin π = = 3. ( π f xy = sin(x + y) = f yx f xy 3, π ) = sin π 3 ( π 3 3 = = f yx 3, π ). 3 = f xx f xy f yx f yy = = = 9 4 > 0. 'Ara sth jèsh ( π 3, π 3 ) èqw topikì akrìtato. f xy f yy. Epeid ( π f xx 3, π ) = 3 < 0, 3 h sunˆrthsh f parousiˆzei topikì mègisto sto shmeðo ( π 3, π 3 ). H mègisth tim thc f sto orjog nio pou orðzetai me 0 < x < π kai 0 < y < π eðnai ( π f 3, π ) 3 = sin π 3 + sin π 3 + sin π 3 = 3 sin π 3 =
18 Jèma 7 : Na prosdiorðsete èna shmeðo P (x 0, y 0 ) tou kartesianoô epipèdou (Π) to opoðo èqei thn idiìthta ìti to ˆjroisma twn tetrag nwn twn apostˆsewn tou apì ta tèssera dosmèna shmeða na eðnai to elˆqisto. A(x 1, y 1 ), B(x, y ), Γ(x 3, y 3 ) kai (x 4, y 4 ) tou (Π) LUSH To ˆjroisma twn tetrag nwn twn apostˆsewn enìc shmeðou P (x, y) tou (Π) apì ta shmeða A(x 1, y 1 ), B(x, y ), Γ(x 3, y 3 ) kai (x 4, y 4 ) eðnai [ (x x1 ) + (y y 1 ) ] + [ (x x ) + (y y ) ] + [ (x x 3 ) + (y y 3 ) ] + [ (x x 4 ) + (y y 4 ) ]. Sunep c eðnai fanerì ìti prèpei na prosdiorðsoume to elˆqisto thc sunˆrthshc pou orðzetai me ton tôpo f : R R f(x, y) = (x x 1 ) + (y y 1 ) + (x x ) + (y y ) + (x x 3 ) + (y y 3 ) + (x x 4 ) + (y y 4 ). H sunˆrthsh f(x, y) eðnai dôo forèc suneq c paragwgðsimh sto R wc poluwnumik sunˆrthsh me pedðo orismoô R. Ta stˆsima shmeða (upoy fièc jèseic akrotˆtwn) eðnai lôseic tou sust matoc twn exis sewn x = 0 f x = 0 (x x 1 ) + (x x ) + (x x 3 ) + (x x 4 ) = 0 y = 0 f y = 0 (y y 1 ) + (y y ) + (y y 3 ) + (y y 4 ) = 0 4x = x 1 + x + x 3 + x 4 x 0 = x1+x+x3+x4 4 4y = y 1 + y + y 3 + y 4 y 0 = y 1+y +y 3 +y 4 4 Gia ton prosdiorismì tou eðdouc tou krðsimou shmeðou thc f ja upologðsoume tic deôterec merikèc parag gouc thc f sto shmeðo (x 0, y 0 ). EÐnai = f xx f xy f yx f yy = = 64 > 0 (x 0, y 0 ) = 64 > 0. 'Ara sth jèsh (x 0, y 0 ) èqw topikì akrìtato. Epeid f xx (x 0, y 0 ) = 8 > 0 h sunˆrthsh f parousiˆzei topikì elˆqisto sto shmeðo (x 0, y 0 ). Sunep c to zhtoômeno shmeðo eðnai to ( x1 + x + x 3 + x 4 P 4, ) y 1 + y + y 3 + y
19 Jèma 8 : Na brejeð h apìstash tou shmeðou P (1, 0, ) apì to epðpedo (Π) me exðswsh x + y + z = 4. LUSH H apìstash enìc tuqìntoc shmeðou A(x, y, z) tou R 3 apì to shmeðo P (1, 0, ) dðnetai me ton tôpo d = d(a, P ) = (x 1) + (y 0) + (z + ). (1) 'Omwc to shmeðo A(x, y, z) an kei sto epðpedo (Π), sunep c z = 4 x y. Epomènwc h (1) grˆfetai d = (x 1) + y + (6 x y). () JewroÔme th sunˆrthsh pou orðzetai me ton tôpo To prìblhma elaqistopoðhshc thc sunˆrthshc () eðnai isodônamo me to prìblhma elaqistopoðhshc thc sunˆrthshc (3). f(x, y) = (x 1) + y + (6 x y). (3) H sunˆrthsh f(x, y) eðnai dôo forèc suneq c paragwgðsimh sto R wc poluwnumik sunˆrthsh me pedðo orismoô R. Ta stˆsima shmeða (upoy fièc jèseic akrotˆtwn) eðnai lôseic tou sust matoc twn exis sewn x = 0 y = 0 f x = 0 f y = 0 (x 1) (6 x y) = 0 y + (6 x y)( ) = 0 to opoðo èqei monadik lôsh 4x + 4y 14 = 0 4x + 10y 4 = 0 x + y 7 = 0 x + 5y 1 = 0 (x, y) = ( ) 11 6, 5. 3 x + y = 7 x + 5y = 1 19
20 Gia ton prosdiorismì tou eðdouc tou krðsimou shmeðou thc f ja upologðsoume tic deôterec merikèc parag gouc thc f sto shmeðo (x 0, y 0 ). EÐnai = f ( ) xx f xy f yx f yy = = 4 > 0 6, 5 = 4 > 0. 3 'Ara sth jèsh ( 11 6, 5 3) èqw topikì akrìtato. Epeid ( ) 11 f xx 6, 5 = 4 > 0 3 h sunˆrthsh f parousiˆzei topikì elˆqisto sto shmeðo ( 11 6, 5 3). 'Etsi h elˆqisth apìstash tou shmeðou P (1, 0, ) apì to epðpedo (Π) eðnai d = = (11 ) (5 ) + = ( ) ( ) ( ) = 3 ( ) 5 = 6 0
21 Jèma 9 : Na prosdioristoôn treic jetikoð pragmatikoð arijmoð x, y, z twn opoðwn to ˆjroisma eðnai 1 kai to ginìmenì touc lambˆnei mègisth tim. LUSH Upojètoume ìti x, y, z eðnai oi zhtoômenh jetikoð pragmatikoð arijmoð gia touc opoðouc x + y + z = 1. (1) 'Estw h sunˆrthsh f : R R pou orðzetai me ton tôpo Apì thn (1) lambˆnoume f(x, y, z) = xyz. () z = 1 x y. (3) Apì tic sqèseic () kai (3) orðzoume thn sunˆrthsh g : R R me ton tôpo dhl. f(x, y) = xy(1 x y) f(x, y) = 1xy x y xy. (4) H sunˆrthsh f(x, y) eðnai dôo forèc suneq c paragwgðsimh sto R wc poluwnumik sunˆrthsh me pedðo orismoô R. Ta stˆsima shmeða (upoy fièc jèseic akrotˆtwn) eðnai lôseic tou sust matoc twn exis sewn x = 0 f x = 0 1xy xy y = 0 y = 0 f y = 0 1x x xy = 0 To sôsthma èqei tic lôseic (x, y) = (0, 0) kai (x, y) = (4, 4). To shmeðo (0, 0) profan c aporrðptetai. Epomènwc ja exetˆsoume an sto shmeðo (4, 4) h sunˆrthsh f parousiˆzei akrìtato. Gia ton prosdiorismì tou eðdouc tou krðsimou shmeðou thc f ja upologðsoume tic deôterec merikèc parag gouc thc f sto shmeðo (x 0, y 0 ). EÐnai 'Ara f xx = y f xx (4, 4) = 8 f xy = 1 x y f xy (4, 4) = 4 f yx = 1 x y f yx (4, 4) = 4 f yy = x f xx (4, 4) = 8 = f xx f yx f xy f yy = = 48 > 0. 'Ara sth jèsh (4, 4) èqw topikì akrìtato. 1
22 Epeid f xx (4, 4) = 8 < 0 h sunˆrthsh f parousiˆzei topikì mègisto sto shmeðo (4, 4). Apì thn (3) prokôptei z = = 4. Epomènwc oi zhtoômenoi jetikoð pragmatikoð arijmoð eðnai x = 4, y = 4, z = 4.
23 Jèma 11 : Na brejeð h elˆqisth apìstash thc kwnik c epifˆneiac apì thn arq twn axìnwn O(0, 0, 0). z = (x 1) + (y 1) LUSH H apìstash enìc tuqìntoc shmeðou A(x, y, z) thc dosmènhc epifˆneiac apì thn arq twn axìnwn O(0, 0, 0) dðnetai me ton tôpo d = d(o, A) = x + y + z. (1) 'Omwc to shmeðo A(x, y, z) an kei sthn epifˆneia, sunep c z = (x 1) + (y 1). Epomènwc h (1) grˆfetai d = x + y + (x 1) + (y 1). () JewroÔme th sunˆrthsh pou orðzetai me ton tôpo To prìblhma elaqistopoðhshc thc sunˆrthshc () eðnai isodônamo me to prìblhma elaqistopoðhshc thc sunˆrthshc (3). f(x, y) = x + y + (x 1) + (y 1). (3) H sunˆrthsh f(x, y) eðnai dôo forèc suneq c paragwgðsimh sto R wc poluwnumik sunˆrthsh me pedðo orismoô R. Ta stˆsima shmeða (upoy fièc jèseic akrotˆtwn) eðnai lôseic tou sust matoc twn exis sewn x = 0 y = 0 f x = 0 f y = 0 x + (x 1) = 0 y + (y 1) = 0 x + x = 0 y + y = 0 4x = 4y = x = 1 y = 1 to opoðo èqei monadik lôsh (x, y) = ( ) 1, 1. 3
24 Gia ton prosdiorismì tou eðdouc tou krðsimou shmeðou thc f ja upologðsoume tic deôterec merikèc parag gouc thc f sto shmeðo (x 0, y 0 ). EÐnai = f xx f xy = = 16 > 0. f yx 'Ara sth jèsh ( 1, 1 ) èqw topikì akrìtato. Epeid f yy ( ) 1 f xx, 1 = 4 > 0 h sunˆrthsh f parousiˆzei topikì elˆqisto sto shmeðo ( 1, 1 ). 'Etsi h elˆqisth apìstash thc kwnik c epifˆneiac apì thn arq twn axìnwn O(0, 0, 0) eðnai: d = x + y + (x 1) + (y 1) = (1 ) ( ) ( ) ( ) = = (1 ) ( ) ( 1 = ( + ) 1 = ) ( ) 1 = 4 = = 1 = = 1. 4
25 Jèma 1 : 'Ena sqoinð m kouc 1 cm dipl netai ètsi ste na sqhmatisteð èna trapèzio qwrðc ˆnw bˆsh, ìpwc sto sq ma. Na brejeð to mègisto embadì. y x 1 x x ϑ y u O x To embadìn tou trapezðou eðnai Allˆ Epomènwc, E = LUSH (B + β) β = 1 x, y = x cos θ, υ = x sin θ, B = 1 x + x cos θ + x cos θ = 1 x + x cos θ. E = (B + β) υ = = (1 x + x cos θ) + (1 x) x sin ϑ = = 4 4x + x cos θ x sin ϑ = = (1 x + x cos θ) x sin ϑ = = (1 x + x cos θ) x sin θ = υ = 1x sin θ x sin θ + x sin θ cos θ E(x, θ) = 1x sin θ x sin θ + x sin θ cos θ. 5
26 EÐnai: E(x, θ) = 1x cos θ x cos θ + x cos θ x sin θ θ E(x, θ) = 1 sin θ 4x sin θ + x sin θ cos θ. x Oi anagkaðec sunj kec gia akrìtata dðnoun to sôsthma: x ( 1 cos θ x cos θ + x cos θ x sin θ ) = 0 To sôsthma dðnei tic lôseic sin θ (6 x + x cos θ) = 0. M 1 ( θ = 60 0, x = 4 ), M ( θ = 0 0, x = 0 ). Oi timèc θ = 0 0 kai x = 0 aporrðptontai. Oi timèc eðnai dunatèc kai dðnoun to mègisto embadìn. θ = 60 0 kai x = 4 6
27 Jèma 16 : Qreiˆzetai na kataskeuˆsoume anoiktì kib tio me ìgko 1000 cm 3. Na brejoôn oi diastˆseic ste to ulikì pou ja qreiasteð na eðnai elˆqisto. LUSH 'Etsw x, y, z oi diastˆseic tou kibwtðou. ElaqistopoÐhsh ulikoô shmaðnei elaqistopoðhsh thc epifˆneiac twn tessˆrwn pleur n kai tou pˆtou, dhlad thc èkfrashc E πιϕ = f(x, y, z) = xy + xz + yz. Epeid o ìgkoc eðnai prokôptei ìti opìte h sunˆrthsh èqei th morf 1000 cm 3 = xyz z = 1000 xy f(x, y) = xy + x 1000 xy, + y 1000 xy f(x, y) = xy y x. Aut eðnai h sunˆrthsh pou prèpei na elaqistopoihjeð. H sunˆrthsh f(x, y) eðnai dôo forèc suneq c paragwgðsimh. 7
28 B ma 1 o = BrÐskoume ta stˆsima shmeða. Ta stˆsima shmeða (upoy fièc jèseic akrotˆtwn) eðnai lôseic tou sust matoc twn exis sewn 'Omwc x (x, y) = 0 y (x, y) = 0 f x (x, y) = 0 f y (x, y) = 0 f x = y 000 x (1) f y = x 000 y () To sôsthma twn exis sewn grˆfetai: f x (x, y) = 0 f y (x, y) = 0 y 000 x = 0 (3) x 000 y = 0 (4) Apì th lôsh tou sust matoc twn exis sewn (3), (4) prokôptei x = 0 y = 0 x = y. Gia to prìblhma oi timèc x = 0 kai y = 0 aporrðptontai, en apì th sqèsh x = y prokôptei x = y = (000) = 10 'Ara to stˆsimo shmeðo eðnai to (10 3, 10 3 ). B ma o = BrÐskoume ta topikˆ akrìtata. Apì parag gish twn (1), () prokôptoun: f xx = 4000 x 3, f xy = f yx = 1, f yy = 4000 y 3. 'Ara sth jèsh (10 3, 10 3 ) èqw: = f xx f yx f xy f yy 4000 = x y 3 = 4000 x y 3 1. 'Ara sth jèsh (10 3, 10 3 ) èqw topikì akrìtato. (10 3,10 3 ) > 0. 8
29 B ma 3 o = ProsdiorÐsoume to eðdoc akrotˆtou (topikì mègisto topikì elˆqisto). Epeid f xx (10 3, 10 3 ) = 4000 (10 3 ) = = > 0, èqw topikì elˆqisto sto ( 10 3, 10 3 ). Ara èqoume topikì elˆqisto ìtan oi diastˆseic tou kibwtðou eðnai: x = 10 3, y = 10 3, z = 1000 xy = 1000 (10 3 )(10 3 ) = = 3 10 = = 10 3 =
SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN. 5h Seirˆ Ask sewn. Allag metablht n sto diplì olokl rwma
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN 5h Seirˆ Ask sewn Allag metablht n sto diplì olokl rwma Jèma. Qrhsimopoi ntac
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERHS KAI ANWTERHS TAXHS
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERHS KAI ANWTERHS TAXHS 1. Grammikèc diaforikèc exis seic deôterhc kai an terhc tˆxhc
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS.
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS h Seirˆ Ask sewn Diaforikèc eis seic > diaforikèc
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS.
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS 6h Seirˆ Ask sewn OmogeneÐc grammikèc diaforikèc exis seic me stajeroôc suntelestèc Jèma
GENIKEUMENA OLOKLHRWMATA
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA I GENIKEUMENA OLOKLHRWMATA Anplhrwt c Kjhght c: Dr. Pppˆc G. Alèndroc GENIKEUMENA OLOKLHRWMATA H ènnoi tou orismènou
Anaplhrwt c Kajhght c : Dr. Pappˆc G. Alèxandroc PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA I
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA I. Aìristo Olokl rwma 2. Orismèno Olokl rwma 3. Diaforetik èkfrash tou aìristou oloklhr matoc H Sunˆrthsh F ()
25 OktwbrÐou 2012 (5 h ebdomˆda) S. Malefˆkh Genikì Tm ma Majhmatikˆ gia QhmikoÔc
Mˆjhma 9 0 25 OktwbrÐou 2012 (5 h ebdomˆda) Diaforikèc Exis seic TÔpoi Diaforik n exis sewn H pio apl diaforik exðswsh y = f (x) Diaforikèc Exis seic TÔpoi Diaforik n exis sewn H pio apl diaforik exðswsh
6h Seirˆ Ask sewn. EpikampÔlia oloklhr mata
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METLHTWN 6h Seirˆ Ask sewn EpikampÔlia oloklhr mata 1 Jèma 1. Na upologisjeð to epikampôlio
11 OktwbrÐou 2012. S. Malefˆkh Genikì Tm ma Majhmatikˆ gia QhmikoÔc
Mˆjhma 7 0 11 OktwbrÐou 2012 Orismìc sunart sewn mèsw orismènwn oloklhrwmˆtwn To orismèno olokl rwma prosfèrei ènan nèo trìpo orismoô sunˆrthshc afoô to orismèno olokl rwma mia suneqoôc sunˆrthshc f (t),
9. α 2 + β 2 ±2αβ. 10. α 2 ± αβ + β (1 + α) ν > 1+να, 1 <α 0, ν 2. log α. 14. log α x = ln x. 19. x 1 <x 2 ln x 1 < ln x 2
UpenjumÐseic gia thn Jetik kai Teqnologik KateÔjunsh Kajhght c: N.S. Maurogi nnhc 1 Tautìthtec - Anisìthtec 1. (α ± ) = α ± α +. (α ± ) 3 = α 3 ± 3α +3α ± 3 3. α 3 ± 3 =(α ± ) ( α α + ) 4. (α + + γ) =
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Θέματα Εξετάσεων Όνομα Καθηγητή : Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ο δυϊκός χώρος Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Δειγματοληψία Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Kefˆlaio 5 DeigmatolhyÐa 'Estw èna sônolo periodikˆ
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN. Ask seic kai Jèmata sthn Pragmatik Anˆlush I TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN Ask seic kai Jèmata sthn Pragmatik Anˆlush I TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN Anaplhrwt c Kajhght c: Dr. Pappˆc G. Alèandroc Perieqìmena. Sumbolismìc kai OrologÐa..
JEMATA EXETASEWN Pragmatik Anˆlush I
JEMATA EXETASEWN Pragmatik Anˆlush I JEMA 1o. A)(M. 1.5) Na qarakthrðsete (me aitiolìghsh) tic protˆseic pou akoloujoôn me thn èndeixh Swstì Lˆjoc: (i) 'Estw x 0 tètoio ste x < ε, gia kˆje ε > 0. Tìte
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Διγραμμικές και Τετραγωνικές μορφές Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Μετασχηματισμός Z Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Kefˆlaio 7 Metasqhmatismìc Z 7. Orismìc tou metasqhmatismoô
Diakritˆ Majhmatikˆ I. Leutèrhc KuroÔshc (EÔh Papaðwˆnnou)
Diakritˆ Majhmatikˆ I Leutèrhc KuroÔshc (EÔh Papaðwˆnnou) PlhroforÐec... Tetˆrth, 09.00-11.00, Paraskeu, 18.00-20.00 SÔggramma 1: Λ. Κυρούσης, Χ. Μπούρας, Π. Σπυράκης. Διακριτά Μαθηματικά: Τα Μαθηματικά
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Μηχανική Μάθηση. Ενότητα 10: Θεωρία Βελτιστοποίησης. Ιωάννης Τσαμαρδίνος Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μηχανική Μάθηση Ενότητα 10: Θεωρία Βελτιστοποίησης Ιωάννης Τσαμαρδίνος Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών To genikì prìblhma, na broôme to mègisto elˆqisto miac sunˆrthshc
Pragmatik Anˆlush ( ) TopologÐa metrik n q rwn Ask seic
Pragmatik Anˆlush (2010 11) TopologÐa metrik n q rwn Ask seic Omˆda A' 1. 'Estw (X, ρ) metrikìc q roc kai F, G uposônola tou X. An to F eðnai kleistì kai to G eðnai anoiktì, deðxte ìti to F \ G eðnai kleistì
Ανάλυση ις. συστήματα
Σήματα Συστήματα Ανάλυση ourier για σήματα και συνεχούς χρόνου Λυμένες ασκήσει ις Κνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής συστήματα Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 3 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Μετασχηματισμός Laplace Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Kefˆlaio 8 Metasqhmatismìc Laplace 8. Orismìc
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN EPIKAMPULIA OLOKLHRWMATA
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METLHTWN EPIKAMPULIA OLOKLHRWMATA 1. EpikampÔlio Olokl rwma 1ou eðdouc Efarmogèc 2. Dianusmatikˆ
Mègisth ro - elˆqisth tom
15 DekembrÐou 2009 DÐnetai grˆfoc (N, A) me ìria ro c x ij [b ij, c ij ] gia kˆje akm (i, j) kai dôo epilegmènouc kìmbouc s kai t. Jèloume na upologðsoume th ro sto grˆfo, ste na megistopoieðtai h apìklish
Eisagwg sthn KosmologÐa
Eisagwg sthn KosmologÐa BasileÐou S. Gerogiˆnnh Kajhght Tm matoc Fusik c PanepisthmÐou Patr n Patra 2009 Kefˆlaio 1 Eisagwgikˆ 1.1 Gwniakì mègejoc, parsèk, ètoc fwtìc O parathrht c tou Sq matoc 1.1 parathreð
5. (12 i)(3+4i) 6. (1 + i)(2+i) 7. (4 + 6i)(7 3i) 8. (1 i)(2 i)(3 i)
Peiramatiko Lukeio Euaggelikhc Sqolhc Smurnhc Taxh G, Majhmatika Jetikhc kai Teqnologikhc Kateujunshc, Askhseic Kajhght c: Oi shmei seic autèc eðnai gia sqolik qr sh. MporoÔn na anaparaqjoôn kai na dianemhjoôn
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΙΙ Εξετάσεις Ιουνίου 2002
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Εξετάσεις Ιουνίου (α) Αναπτύξτε την µέθοδο του τραπεζίου για τον αριθµητικό υπολογισµό του ολοκληρώµατος: b I( f ) = f ( x) a όπου f (x) συνεχής και ολοκληρώσιµη
Ανάλυση ασκήσεις. συστήματα
Σήματα Συστήματα Ανάλυση Fourier για σήματα και διακριτού χρόνου Λυμένες ασκήσεις Κωνσταντίνος Κοτρόουλος Τμήμα Πληροφορικής συστήματα Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 3 Άδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται
È Ö Ñ Ø Ó ÄÙ Ó Ù Ð ËÕÓÐ ËÑÙÖÒ Ì Ü Å Ñ Ø Â Ø Ì ÕÒÓÐÓ Ã Ø Ù ÙÒ Ë Ñ Û Â ÛÖ Ã Ø ÆºËº Å ÙÖÓ ÒÒ Ç Ñ ô ÙØ Ò ÕÓÐ ÕÖ º ÅÔÓÖÓ Ò Ò Ò Ô Ö Õ Ó Ò Ò Ò Ñ Ó Ò Ð Ö Ö¹ Ò Ñ Ò ÐÐ Ü ÑÓÖ ØÓÙº ØÓÒ Ô Ö ÓÖ Ñ ØÛÒ Ò Ô Ù ØÛÒ Ð ôò
Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PAR
Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARAMETRWN - 2 8 DekembrÐou 202 t.m. X me mèsh tim µ t.m. X 2 me mèsh tim µ 2 Diaforˆ µ µ 2? [X kai X 2 anexˆrthtec] DeÐgma {x, x 2,..., x n } x DeÐgma {x 2,
Ask seic me ton Metasqhmatismì Laplace
Ask seic me ton Metasqhmatismì Laplace Epimèleia: Gi rgoc Kafentz c Upoy. Didˆktwr Tm m. H/U Panepist mio Kr thc 8 IounÐou 4. 'Estw to s ma { A, t T x(t), alloô () (aþ) Na upologðsete to metasq. Fourier
1 η Σειρά Ασκήσεων Θεόδωρος Αλεξόπουλος. Αναγνώριση Προτύπων και Νευρωνικά Δίκτυα
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναγνώριση Προτύπων και Νευρωνικά Δίκτυα η Σειρά Ασκήσεων Θεόδωρος Αλεξόπουλος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Jerinì SqoleÐo Fusik c sthn EkpaÐdeush 28 IounÐou - 1 IoulÐou 2010 EstÐa Episthm n Pˆtrac
Kbantik Perigraf tou Kìsmou mac KwnstantÐnoc Sfètsoc Kajhght c Fusik c Genikì Tm ma, Panepist mio Patr n Jerinì SqoleÐo Fusik c sthn EkpaÐdeush 28 IounÐou - 1 IoulÐou 2010 EstÐa Episthm n Pˆtrac Ti ennooôme
Diˆsthma empistosônhc thc mèshc tim c µ. Statistik gia Hlektrolìgouc MhqanikoÔc EKTIMHSH EKTIMHSH PARAMETRWN - 2. Dhm trhc Kougioumtz c.
Statistik gia Hlektrolìgouc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARAMETRWN - 2 6 Maòou 2010 EktÐmhsh Diast matoc empistosônhc Melet same thn ektim tria ˆθ paramètrou θ: An gnwrðzoume thn katanom thc X kai eðnai F X (x;
AM = 1 ( ) AB + AΓ BΓ+ AE = AΔ+ BE. + γ =2 β + γ β + γ tìte α// β. OΓ+ OA + OB MA+ MB + M Γ+ MΔ =4 MO. OM =(1 λ) OA + λ OB
Peiramatiko Lukeio Euaggelikhc Sqolhc Smurnhc Taxh B, Majhmatika Jetikhc kai Teqnologikhc Kateujunshc, Askhseic Kajhght c: Shmei seic gia sqolik qr sh. MporoÔn na anaparaqjoôn kai na dianemhjoôn eleôjera
Anagn rish ProtÔpwn & Neurwnikˆ DÐktua Probl mata 2
Jeìdwroc Alexìpouloc, Anaplhrwt c Kajhght c Theodoros Alexopoulos, Associate Professor EJNIKO METSOBIO POLUTEQNEIO NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY SQOLH EFARMOSMENWN MAJHMATIKWN KAI DEPARTMENT OF PHYSICS
Shmei seic sto mˆjhma Analutik GewmetrÐa
Shmei seic sto mˆjhma Analutik GewmetrÐa Didˆskwn: Lˆppac D. Ejnikì Kapodistriakì Panepist mio Ajhn n B' MEROS 3 EPIFANEIES sto QWRO Epifˆneia gia thn perigraf thc qreiˆzontai dôo parˆmetroi mia eidik
στο Αριστοτέλειο υλικού.
Σήματα Συστήματα Μετασχηματισμός aplace Λυμένες ασκήσεις Κωνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 03 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Ενότητα 3: Συσχέτιση & Γραμμική Παλινδρόμηση Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών
Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc ELEGQOS UPOJ
Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc ELEGQOS UPOJESEWN 18 DekembrÐou 2012 'Elegqoc Upojèsewn 1 Statistik upìjesh 2 Statistik elègqou kai perioq apìrriyhc 3 Apìfash elègqou Statistik upìjesh mhdenik upìjesh
Statistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARA
Statistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARAMETRWN - 2 20 Maòou 200 t.m. X me mèsh tim µ t.m. X 2 me mèsh tim µ 2 Diaforˆ µ µ 2? [X kai X 2 anexˆrthtec] DeÐgma {x, x 2,..., x n } x DeÐgma {x 2, x 22,...,
Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς Ενότητα 3: Έλεγχος Υποθέσεων Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Χημικών Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
SofÐa ZafeirÐdou: GewmetrÐec
Tm ma Majhmatik n Panepist mio Patr n Bohjhtikèc Shmei seic gia to mˆjhma GewmetrÐec SofÐa ZafeirÐdou Anaplhr tria Kajhg tria Pˆtra 2018 Oi shmei seic autèc grˆfthkan gia tic anˆgkec tou maj matoc GewmetrÐa.
APEIROSTIKOS LOGISMOS I
1 OktwbrÐou 2012 Kwdikìc Maj matoc: 101 (U) 'Etoc didaskalðac: 2012-2013, Qeimerinì Exˆmhno Hmèrec didaskalðac: Deut. - Tet. - Par., 11:00-13:00 Didˆskontec Tm ma 1 o (AM pou l gei se 0,1,2) Amf 21, BasÐleioc
ISTORIKH KATASKEUH PRAGMATIKWN ARIJMWN BIBLIOGRAFIA
ΛΟΓΙΣΜΟΣ CALCULUS Διαφορικός Λογισμός, Απειροστικός Λογισμός 1670 1740 Ουράνια Μηχανική Isaac Newton 1648-1727 Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716 απειροστάπολύ μικρά μεγέθη, άπειροπάρα πολύ μεγάλο, όριο
Κλασσική Ηλεκτροδυναμική II
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασσική Ηλεκτροδυναμική II Πεδία Σημειακών Φορτίων Διδάσκων : Καθ. Κ. Ταμβάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Shmei seic Sunarthsiak c Anˆlushc
Shmei seic Sunarthsiak c Anˆlushc Apìstoloc Giannìpouloc 1 Panepisthmio Krhthc Tmhma Majhmatikwn Anoixh 2003 1 Tm. Majhmatik n, Panep. Ajhn n 2 Perieqìmena 1 Μετρικοί χώροι 5 1.1 Ορισμός................................................
2+sin^2(x+2)+cos^2(x+2) Δ ν =[1 1 2 ν 1, ν ) ( ( π (x α) ημ β α π ) ) +1 + a 2
Parathr seic sta Jèmata Jetik c kai Teqnologik c KateÔjunshc tou ètouc 7 Peiramatikì LÔkeio Euaggelik c Sqol c SmÔrnhc 1 IounÐou 7 PerÐlhyh Oi shmei seic autèc anafèrontai sta jèmata Majhmatik n Jetik
Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς Ενότητα 4: Συσχέτιση & Γραμμική Παλινδρόμηση Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Χημικών Μηχανικών Άδειες Χρήσης
f(x) =x x 2 = x x 2 x =0 x(x 1) = 0,
NÐkoc E. AggourÐdhc To Je rhma tou Sarkovskii Panepist mio Kr thc Tm ma Majhmatik n 2 Thn kritik epitrop apotèlesan oi Ajanasìpouloc KwnstantÐnoc Katsoprin khc Emmanou l Kwst khc Ge rgioc (epiblèpwn) touc
Hmiomˆdec telest n sônjeshc kai pðnakec Hausdorff se q rouc analutik n sunart sewn
ARISTOTELEIO PANEPISTHMIO JESSALONIKHS SQOLH JETIKWN EPISTHMWN TMHMA MAJHMATIKWN TOMEAS MAJHMATIKHS ANALUSHS PETROS GALANOPOULOS Hmiomˆdec telest n sônjeshc kai pðnakec Hausdorff se q rouc analutik n sunart
Shmei seic sto mˆjhma Analutik GewmetrÐa
Shmei seic sto mˆjhma Analutik GewmetrÐa Didˆskwn: Lˆppac D. Ejnikì Kapodistriakì Panepist mio Ajhn n A' MEROS 3 Eisagwg Suntetagmènwn H perðptwsh tou epipèdou (E) E epðpedo thc EukleÐdiac Gewmètriac me
Ανάλυση ΙΙ Σεπτέµβριος 2012 (Λύσεις)
Ανάλυση ΙΙ Σεπτέµβριος 01 (Λύσεις) Θέµα 1ο: Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της µερικής παραγώγου να ϐρείτε τις τιµές των παραγώγων f (0,0) και f (0,0) της συνάρτησης Λύση: Σύµφωνα µε τον ορισµό έχουµε ( )
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση Ι. Γ. Στρατής Καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα, 2006 Εισαγωγή
HU215 - Frontist rio : Seirèc Fourier
HU5 - Frontist rio : Seirèc Fourier Epimèleia: Gi rgoc P. Kafentz c Upoy. Didˆktwr Tm m. H/U Panepist mio Kr thc MartÐou 4. Na sqediˆsete to fˆsma plˆtouc kai to fˆsma fˆshc tou s matoc xt + cosπt sinπt
N.Σ. Μαυρογιάννης 2010
N.Σ. Μαυρογιάννης 200 Το παρόν µπορεί να διανεµηθεί και να αναπαραχθεί ελεύθερα µε την παράκληση να διατηρηθεί η αρχική του µορφή Προλεγόµενα Στην µαθηµατική λέσχη http://clubs.pathfinder.gr/mathematica/
Φυλλο 3, 9 Απριλιου Ροδόλφος Μπόρης
FÔlla Majhmatik c PaideÐac Φυλλο 3, 9 Απριλιου 2010 StoiqeiojeteÐtai me to L A TEX 2ε Epimèleia: N.S. Maurogi nnhc, Dr Majhmatik n Peiramatikì LÔkeio Euaggelik c Sqol c SmÔrnhc mavrogiannis@gmail.com 1
Farkas. αx+(1 α)y C. λx+(1 λ)y i I A i. λ 1,...,λ m 0 me λ 1 + +λ m = m. i=1 λ i = 1. i=1 λ ia i A. j=1 λ ja j A. An µ := λ λ k = 0 a λ k
Kefˆlaio 1 DiaqwrÐzon UperepÐpedo L mma Farkas 1.1 Kurtˆ SÔnola 'Ena uposônolo C tou R n onomˆzetai kurtì an, gia kˆje x,y C kai kˆje λ [0,1], αx+(1 α)y C. An a i, i = 1,2,...,m eðnai dianôsmata ston R
Ergasthriak 'Askhsh 2
Kefˆlaio 2 Ergasthriak 'Askhsh 2 Οπου θα δούμε πώς μπορούμε να ορίζουμε δικές μας διαδικασίες και θα παρουσιάσουμε τις primitive διαδικασίες χειρισμού λιστών, τις μεταβλητές και τα side effects. 2.1 P
ΜΕΤΑΒΟΛΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΕΥΘΕΡΩΝ ΣΥΝΟΡΩΝ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΝΙΠΥΡΑΚΗ ΜΑΡΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΜΕΤΑΒΟΛΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΕΥΘΕΡΩΝ ΣΥΝΟΡΩΝ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΝΙΠΥΡΑΚΗ ΜΑΡΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ
2
LOGISMOS METABOLWN & EFARMOGES STH MAJHMATIKH MONTELOPOIHSH PTUQIAKH ERGASIA DIONUSHS JEODOSHS-PALIMERHS A.M. : 311/2003028 EPIBLEPWN: NIKOLOPOULOS QRHSTOS A PANEPISTHMIO AIGAIOU TMHMA MAJHMATIKWN SAMOS
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Φωνής Άσκηση 2η Στυλιανού Ιωάννης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών HU578: 2 η Seirˆ Ask sewn AporÐec: yannis@csd.uoc.gr 1. (aþ) Sac dðdetai o anadromikìc
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Βασικές Έννοιες Σημάτων και Συστημάτων Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Kefˆlaio 2 Basikèc ènnoiec
1, 3, 5, 7, 9,... 2, 4, 6, 8, 10,... 1, 4, 7, 10, 13,... 2, 5, 8, 11, 14,... 3, 6, 9, 12, 15,...
To Je rhma tou Dirichlet Dèspoina NÐka IoÔlioc 999 Majhmatikì Tm ma Panepist mio Kr thc 2 Prìlogoc Oi pr toi arijmoð, 2, 3, 5, 7,,..., eðnai ekeðnoi oi fusikoð arijmoð oi opoðoi èqoun akrib c dôo diairètec,
Anaz thsh eustaj n troqi n se triplˆ sust mata swmˆtwn
Tmhma Fusikhc Aristoteleio Panepisthmio Jessalonikhc Ptuqiakh Ergasia Anaz thsh eustaj n troqi n se triplˆ sust mata swmˆtwn Ajanˆsioc MourtetzÐkoglou A.E.M.:13119 epiblèpwn kajhght c G. Bougiatz c 8 IoulÐou
στο Αριστοτέλειο υλικού.
Σήματα Συστήματα Μετασχηματισμός Κωνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 203 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
thlèfwno: , H YHFIAKH TAXH A' GumnasÐou Miqˆlhc TzoÔmac Sq. Sumb. kl.
A' GumnasÐou Sq. Sumb. kl. PE03 GiatÐ epibˆlletai h eisagwg thc sôgqronhc teqnologðac sthn ekpaðdeush. Η Πληροφοριοποίηση της κοινωνίας. Η αυξανόμενη πολυπλοκότητα του εκπαιδευτικού συστήματος. Η σημερινή
Eukleideiec Gewmetriec
Eukleideiec Gewmetriec 1. Ta stoiqeða tou EukleÐdh To pio shmantikì biblðo sthn IstorÐa twn Majhmatik n allˆ kai èna apì ta pio shmantikˆ sthn IstorÐa tou anjr pinou politismoô eðnai ta StoiqeÐa tou EukleÐdh.
SUNOLA BIRKHOFF JAMES ϵ ORJOGWNIOTHTAS KAI ARIJMHTIKA PEDIA
EJNIKO METSOBIO POLUTEQNEIO SQOLH EFARMOSMENWN MAJHMATIKWN & FUSIKWN EPISTHMWN TOMEAS MAJHMATIKWN DIDAKTORIKH DIATRIBH SUNOLA BIRKHOFF JAMES ϵ ORJOGWNIOTHTAS KAI ARIJMHTIKA PEDIA Qr stoc S. Qwrianìpouloc
Ανάλυση. σήματα και συστήματα
Σήματα Συστήματα Ανάλυση ourier διακριτού χρόνου Κωνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής για σήματα και συστήματα Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 23 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Σχόλια για το Μάθημα. Λουκάς Βλάχος
Σχόλια για το Μάθημα Λουκάς Βλάχος Σκοπός του μαθήματος Ηεξοικείωσημετολογισμότωνμεταβολών σε περισσότερες διαστάσεις Η άνετη χρήση του διανυσματικού λογισμού και των μετασχηματισμών συστημάτων συντεταγμένων
Statistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARA
Statistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARAMETRWN - 1 12 AprilÐou 2013 Eisagwgikˆ sthn ektðmhsh paramètrwn t.m. X me katanom F X (x; θ) Parˆmetroc θ: ˆgnwsth θ µ, σ 2, p DeÐgma {x 1,..., x n }: gnwstì
Ergasthriak 'Askhsh 3
Kefˆlaio 3 Ergasthriak 'Askhsh 3 Οπου θα δούμε τις λογικές συναρτήσεις και θα εμβαθύνουμε λίγο περισσότερο στις λίστες και τις μεταβλητές. 3.1 Logikèc Sunart seic Οι λογικές συναρτήσεις (logical ή boolean
KBANTOMHQANIKH II (Tm ma A. Laqanˆ) 28 AugoÔstou m Upìdeixh: Na qrhsimopoihjeð to je rhma virial 2 T = r V.
Jèma 1: KBANTOMHQANIKH II (Tm ma A. Laqanˆ) 8 AugoÔstou 001 SwmatÐdio mˆzac m kineðtai sto kentrikì dunamikì V (r) = λ log (r/a). Gia tic idiokatastˆseic thc enèrgeiac na brejeð h mèsh tim tou tetrag nou
Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Ενότητα 2: Εκτίμηση Παραμέτρων Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών
Eisagwg sth Grammik 'Algebra Tìmoc B DeÔterh 'Ekdosh Dhm trhc B rsoc Dhm trhc Derizi thc Miq lhc Mali kac OlumpÐa Talèllh Prìlogoc Sto pr to mèroc autoô tou tìmou meletoôme idiìthtec enìc tetragwnikoô
GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c
GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία
MELETH TWN RIZWN TWN ASSOCIATED ORJOGWNIWN
IWANNH D. STAMPOLA MAJHMATIKOU MELETH TWN RIZWN TWN ASSOCIATED ORJOGWNIWN q-poluwnumwn DIDAKTORIKH DIATRIBH TMHMA MAJHMATIKWN SQOLH JETIKWN EPISTHMWN PANEPISTHMIO PATRWN PATRA 2004 Stouc goneðc mou kai
Upologistikˆ Zht mata se Sumbibastikèc YhfoforÐec
Panepisthmio Patrwn - Poluteqnikh Sqolh Tm ma Mhqanik n Hlektronik n Upologist n kai Plhroforik c Upologistikˆ Zht mata se Sumbibastikèc YhfoforÐec Dhmhtrioc Kalaðtzhc Diplwmatik ErgasÐa sto plaðsio tou
spin triplet S =1,M S =0 = ( + ) 2 S =1,M S = 1 = spin singlet S =0,M S =0 = ( )
SummetrÐec kai Quarks Nikìlaoc A. Tetr dhc Iw nnhc G. Flwr khc 2 Perieqìmena Eisagwgikèc ènnoiec 5. Eisagwg............................. 5.2 SummetrÐa Isospin......................... 0 2 StoiqeÐa JewrÐac
Upologistik Fusik Exetastik PerÐodoc IanouarÐou 2013
Upologistik Fusik Exetastik PerÐodoc IanouarÐou 03 Patra, 6 Ianouariou 03 Jèma A. Na exhg sete grafikˆ thn mèjodo thc diqotìmhshc. B. Na exhg sete grafikˆ thn mèjodo Runge Kutta. Jèma. DiatÔpwsh Oi migadikèc
2 PerÐlhyh Se aut n thn ergasða, parousi zoume tic basikìterec klassikèc proseggðseic epðlushc Polu-antikeimenik n Problhm twn BeltistopoÐhshs(PPB) ka
MejodologÐec sthn Polu-Antikeimenik BeltistopoÐhsh apì Antwnèlou E. GewrgÐa Diplwmatik ErgasÐa Sqol Jetik n Episthm n Tm ma Majhmatik n Panepist mio Patr n Epiblèpousa: EpÐk.Kajhg tria J. N. Gr ya P tra,
Sunarthsiakèc anisìthtec kai sugkèntrwsh tou mètrou. Prìqeirec Shmei seic
Sunarthsiakèc anisìthtec kai sugkèntrwsh tou mètrou Prìqeirec Shmei seic Tm ma Majhmatik n Panepist mio Ajhn n Aj na 01 Perieqìmena 1 Ισοπεριμετρικές ανισότητες και συγκέντρωση του μέτρου 1 1.1 Μετρικοί
Apeirostikìc Logismìc. Pragmatikèc Sunart seic Miac Pragmatik c Metablht c
Apeirostikìc Logismìc Prgmtikèc Sunrt seic Mic Prgmtik c Metblht c Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Proktrktikˆ. Οι σημειώσεις αυτές ασχολούνται με τον απειροστικό λογισμό,
Σήματα Συστήματα Ανάλυση Fourier για σήματα και συστήματα συνεχούς χρόνου Περιοδικά Σήματα (Σειρά Fourier)
Σήματα Συστήματα Ανάλυση Fourier για σήματα και συστήματα συνεχούς χρόνου Περιοδικά Σήματα (Σειράά Fourier) Κωνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 3 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Å Ó Ó ÐÅÉÑÁÌÁÔÉÊÏ ËÕÊÅÉÏ. ÁóêÞóåéò. ôçò ÅÕÁÃÃÅËÉÊÇÓ Ó ÏËÇÓ ÓÌÕÑÍÇÓ Å ÅÔÏÓ É ÉÄÑÕÓÇÓ
ÐÅÉÑÁÌÁÔÉÊÏ ËÕÊÅÉÏ ôçò ÅÕÁÃÃÅËÉÊÇÓ Ó ÏËÇÓ ÓÌÕÑÍÇÓ Å Ó Ó Å ÅÔÏÓ É ÉÄÑÕÓÇÓ 1733 ÔÁÎÇ Ã MáèçìáôéêÜ ÃåíéêÞò Ðáéäåßáò ÁóêÞóåéò EEEbbBBeee ÊáèçãçôÞò: Í.Ó. ÌáõñïãéÜííçò Ó ïëéêü ôïò 2008-2009 Πειραματικο Λυκειο
Apeirostikìc Logismìc. Mia Pragmatik Metablht
Apeirostikìc Logismìc Mi Prgmtik Metblht Μ. Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Proktrktikˆ. Οι σημειώσεις αυτές ασχολούνται με τον απειροστικό λογισμό, δηλαδή τον λογισμό των απειροστών
Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA
Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Eisagwg Οι δυναμοσειρές είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα κατηγορία σειρών. Βρίσκουν πολύ σημαντικές εφαρμογές στον ορισμό συναρτήσεων καθώς και σε διάφορες
majhmatikoð upologismoð. To biblðo mporeð na qwristeð jematikĺ se treic enìthtec. Thn prÿth enìthta apoteloôn
Prìlogoc To parìn sôggramma apeujônetai se proptuqiakoôc foithtèc TmhmĹtwn Poluteqnikÿn Sqolÿn kai Teqnologikÿn Ekpaideutikÿn IdrumĹtwn sta opoða didĺskontai eisagwgikĺ topografikĺ majămata. Epiplèon apeujônetai
t t j=1 span(x) = { 1-1
Διάλεξη 1: 08.10.2014 Θεωρία Γραμμικού Προγραμματισμού Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 1.1 Γραμμική και αφινική ανεξαρτησία Τα διανύσματα x 1,..., x t R n, καλούνται γραμμικά ανεξάρτητα αν
G. A. Cohen ** stìqo thn kubernhtik nomojesða kai politik, den upˆrqei tðpota to qarakthristikì sth morf thc.)
Εκεί που βρίσκεται η πράξη: Περί του πεδίου της διανεμητικής δικαιοσύνης G. A. Cohen ** Mετάφραση: Νικόλας Βρούσαλης Ι Σε αυτή την εργασία υπερασπίζομαι έναν ισχυρισμό που μπορεί να εκφραστεί με ένα οικείο
+#!, - ),,) " ) (!! + Henri Poincar e./ ', / $, 050.
Topologik Taxinìmhsh Dunamik n Susthm twn StaÔroc AnastasÐou Didaktorikh Diatribh Panepisthmio Patrwn Sqolh Jetikwn Episthmwn Tmhma Majhmatikwn Patra 2012 H Trimelhc Sumbouleutikh Epitroph SpÔroc N. Pneumatikìc,
MÐa SÔntomh Eisagwgă stic SÔgqronec JewrÐec Isìthtac
MÐa SÔntomh Eisagwgă stic SÔgqronec JewrÐec Isìthtac Nikìlac BroÔsalhc nicholas.vrousalis@lmh.ox.ac.uk 29 OktwbrÐou 2007 1 KĹpoiec basikèc diakrðseic 1.1 Ish Mèrimna Φέροµαι εξίσου στην Α και στον Β vs.
9.2 Μελετώντας τρισδιάστατα γραφικά στο επίπεδο Oi sunartήseiv Contour Plot kai DensityPlot
trisdiastatastoepipedo_.nb 9. Μελετώντας τρισδιάστατα γραφικά στο επίπεδο 9.. Oi sunartήseiv Contour Plot kai DensityPlot Me thn ContourPlot[f[x,y], {x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}] scediάzoume thn f[x,y]
10/2013. Mod: 02D-EK/BT. Production code: CTT920BE
10/2013 Mod: 02D-EK/BT Production code: CTT920BE GR ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΧΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ σελ. 1 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΚΕΦ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 3 ΚΕΦ 2 ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ... 3 2.1 ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΣΥΣΚΕΥΑΣΙΑ...3 2.2 ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ
YWMIADH BASILEIOU fifianalush PROSARMOGHS ELASTOPLASTIKWN METALLIKWN KATASKEUWN UPO TO TRISDIASTATO KRITHRIO DIARROHS TRESCA ME TEQNIKES TOU HMIJETIKO
ARISTOTELEIO PANEPISTHMIO JESSALONIKHS TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN TOMEAS EPISTHMHS KAI TEQNOLOGIAS TWN KATASKEUWN YWMIADH BASILEIOU PtuqioÔqou PolitikoÔ MhqanikoÔ fifianalush PROSARMOGHS ELASTOPLASTIKWN
EUSTAJEIA DUNAMIKWN SUSTHMATWN 1 Eisagwg O skop c tou par ntoc kefala ou e nai na parousi sei th basik jewr a gia th mel th thc eust jeiac en c mh gra
EUSTAJEIA DUNAMIKWN SUSTHMATWN Eisagwg O skop c tou par ntoc kefala ou e nai na parousi sei th basik jewr a gia th mel th thc eust jeiac en c mh grammiko sust matoc. 'Opwc e nai gnwst, h genik l sh en
Σχήμα 1.1: Διάφορες ισόχρονες καμπύλες με διαφορετικές μεταλλικότητες Ζ, και περιεκτικότητα σε ήλιο Υ.
Perieqìmena 1 Astrik sm nh 3 1.1 Sm nh kai astrik exèlixh.................... 4 1.1.1 Isìqronec - Jewrhtik HR diagr mmata........ 4 1.1.2 Parathrhsiak diagr mmata............... 7 1.1.3 Astrik sm nh san
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 4-5 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων:. f (x) = (3x ) 4x. f (x) = ln(4 x x 56) 3. f 3 (x) = ln [
PANEPISTHMIO KRHTHS SQOLH JETIKWN KAI TEQNOLOGIKWN EPISTHMWN TMHMA MAJHMATIKWN ELENH TZANAKH SUNDUASTIKH GENIKEUMENWN SUMPLEGMATWN SMHNWN KAI PARATAGMATWN UPEREPIPEDWN DIDAKTORIKH DIATRIBH HRAKLEIO 2007