PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERHS KAI ANWTERHS TAXHS
|
|
- Νίκων Πανταζής
- 4 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERHS KAI ANWTERHS TAXHS 1. Grammikèc diaforikèc exis seic deôterhc kai an terhc tˆxhc me stajeroôc suntelestèc pou èqoun eidik morf b' mèlouc. 1
2 Grammikèc diaforikèc exis seic deôterhc kai an terhc tˆxhc me stajeroôc suntelestèc pou èqoun eidik morf b' mèlouc. 'Estw h D.E. Y + k 1 y + k 2 y = fx) [A cosωx) + B sinωx)] e px 1) ìpou k 1, k 2, A, B, ω, p eðnai stajerèc kai fx) polu numo. Upojètoume akìmh ìti r eðnai h pollaplìthta thc rðzac sth qarakthristik algebrik exðswsh thc antðstoiqhc omogenoôc. H 1) èqei mða merik lôsh thc morf c: y µ x) = x r [πx) cosωx) + ϕx) sinωx)] e px 2) ìpou πx), ϕx) eðnai polu numa tou Ðdiou bajmoô me to fx). H plhroforða aut, ìpwc ja doôme sth sunèqeia, eðnai arket gia ton prosdiorismì mðac merik c lôshc opìte apofeôgetai h diadikasða thc mejìdou metabol c twn stajer n. Na prostejeð akìmh ìti ta parapˆnw isqôoun kai gia grammikèc D.E. opoiasd pote tˆxhc arkeð na èqoun stajeroôc suntelestèc. 'Askhsh 1: Na lujeð h diaforik exðswsh: y 4y = x LUSH 'Eqoume grammik D.E. deôterhc tˆxhc me stajeroôc suntelestèc. AkoloujoÔme thn parakˆtw diadikasða: a) JewroÔme thn antðstoiqh omogen : me algebrik qarakthristik : y 4y = 0 opìte h lôsh thc antðstoiqhc omogenoôc eðnai: λ 2 4 = 0 λ 1 = 2, λ 2 = 2 y 0 x) = c 1 e 2x + c 2 e 2x 1) 2
3 b) EÔresh merik c lôshc. ParathroÔme ìti to b' mèloc thc eðnai eidik c morf c: me Akìmh y 4y = x x = fx) [A cosωx) + B sinωx)] e px fx) = x 2 + 1, ω = 0, p = 0, A = 1. p + iω = 0 + i0 = 0 pou den eðnai rðza thc qarakthristik c algebrik c. 'Ara r = 0. r eðnai h pollaplìthta thc rðzac p + iω sth qarakthristik algebrik, opìte an to p + iω den eðnai rðza thc, ja bˆzoume r = 0). H merik lôsh prèpei na èqei th morf : kai me p = ω = r = 0 grˆfetai: y µ x) = x r [πx) cosωx) + ϕx) sinωx)] e px y µ x) = x 0 [πx) cos0x) + ϕx) sin0x)] e 0x = πx) y µ x) = πx) ìpou πx) eðnai polu numo Ðdiou bajmoô me to polu numo fx) = x Autì eðnai arketì gia ton prosdiorismì thc merik c lôshc. AfoÔ to πx) eðnai deuterobˆjmio polu numo ìpwc to fx)) mporoôme na upojèsoume: πx) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 y µ x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 2) ìpou a 2, a 1, a 0 ˆgnwstoi suntelestèc. 'Omwc h y µ x) prèpei na ikanopoieð th D.E. y 4y = x y µ 4y µ = x a2 x 2 + a 1 x + a 0 ) 4 a2 x 2 + a 1 x + a 0 ) = x a 2 4a 2 x 2 4a 1 x 4a 0 = x a 2 x 2 4a 1 x + 2a 2 4a 0 ) = x ) 3
4 Apì thn sqèsh 3), prèpei oi suntelestèc twn omobajmðwn ìrwn sta dôo mèlh na eðnai Ðsoi) prokôptei: 4a 2 = 1, 4a 1 = 0, 2a 2 4a 0 = 1 opìte prokôptoun oi timèc: a 2 = 1 4, a 1 = 0, a 0 = 3 8 kai h zhtoômenh merik lôsh eðnai: y µ x) = 1 4 x g) Genik lôsh : yx) = y 0 x) + y µ x) yx) = c 1 e 2x + c 2 e 2x 1 4 x 'Askhsh 2: Na lujeð h diaforik exðswsh: y 3y + 2y = xe x. LUSH a) JewroÔme thn antðstoiqh omogen : me qarakthristik algebrik : opìte h lôsh thc antðstoiqhc omogenoôc eðnai: y 3y + 2y = 0 λ 2 3λ + 2 = 0 λ 1 = 2, λ 2 = 1 y 0 x) = c 1 e 2x + c 2 e x 1) 4
5 b) EÔresh merik c lôshc. ParathroÔme ìti to b' mèloc thc y 3y + 2y = xe x eðnai eidik c morf c: xe x = fx) [A cosωx) + B sinωx)] e px me fx) = x, ω = 0, p = 1, A = 1. H p + iω = 1 + i0 = 1 eðnai rðza thc qarakthristik c algebrik c me bajmì pollaplìthtac r = 1. H merik lôsh prèpei na èqei th morf : y µ x) = x r [πx) cosωx) + ϕx) sinωx)] e px y µ x) = x 1 [πx) cos0x) + ϕx) sin0x)] e x y µ x) = xπx)e x 2) ìpou πx) eðnai omobˆjmio polu numo tou fx), dhlad pr tou bajmoô. 'Estw: H y µ x) prèpei na ikanopoieð th D.E. πx) = a 1 x + a 0 y µ x) = xa 1 x + a 0 )e x y µ x) = a 1 x 2 + a 0 x ) e x 3) y 3y + 2y = xe x [ a1 x 2 + a 0 x ) e x] 3 [ a1 x 2 + a 0 x ) e x] + 2 a1 x 2 + a 0 x ) e x = xe x 2a 1 x + 2a 1 a 0 = x 4) ìpou to e x aplopoieðtai metˆ tic prˆxeic. Apì thn isìthta twn poluwnômwn, me exðswsh twn suntelest n twn omobajmðwn ìrwn, paðrnoume: 2a 1 = 1, 2a 1 a 0 = 0, kai h merik lôsh sqèsh 3)) grˆfetai: a 1 = 1 2, a 0 = 1 y µ x) = 1 ) 2 x2 x e x g) H genik lôsh thc D.E. eðnai: yx) = y 0 x) + y µ x) yx) = c 1 e 2x + c 2 e x + 1 ) 2 x2 x e x. 5
6 'Askhsh 3: Na lujeð h diaforik exðswsh: y 2y + y = sin 2x LUSH a) JewroÔme thn antðstoiqh omogen : me algebrik qarakthristik : y 2y + y = 0 1) λ 2 2λ + 1 = 0 λ 1 = λ 2 = 1 dipl ). DÔo grammikˆ anexˆrthtec lôseic thc 1) eðnai oi e x, xe x kai h lôsh thc antðstoiqhc omogenoôc eðnai: y 0 x) = c 1 e x + c 2 xe x 2) b) EÔresh merik c lôshc. ParathroÔme ìti to b' mèloc thc eðnai eidik c morf c: me y 2y + y = sin 2x sin 2x = fx) [A cosωx) + B sinωx)] e px fx) = 1, A = 0, B = 1, p = 0, ω = 2. en to p + iω = 0 + i2 = 2i den eðnai rðza thc qarakthristik c algebrik c, ˆra r = 0. H morf thc merik c lôshc eðnai: y µ x) = x r [πx) cosωx) + ϕx) sinωx)] e px y µ x) = x 0 [πx) cos2x) + ϕx) sin2x)] e 0x = πx) cos 2x + ϕx) sin 2x ìpou πx), ϕx) polu numa omobˆjmia tou fx) dhlad stajerèc. 'Ara telikˆ: y µ x) = a cos 2x + b sin 2x. 3) H 3) prèpei na ikanopoieð thn y 2y + y = sin 2x 6
7 a cos 2x + b sin 2x) 2 a cos 2x + b sin 2x) + a cos 2x + b sin 2x) = sin 2x 4a cos 2x 4b sin 2x + 4a sin 2x 4b cos 2x + a cos 2x + b sin 2x = sin 2x 3a 4b) cos 2x + 3b + 4a) sin 2x = sin 2x 4) Sthn isìthta 4) prèpei oi suntelestèc twn cos 2x, sin 2x sta dôo mèlh na eðnai Ðsoi: 3a 4b = 0, 3b + 4a = 1 kai h merik lôsh sqèsh 3)) eðnai: a = 4 25, b = 3 25 y µ x) = 4 25 cos 2x 3 25 sin 2x. g) H genik lôsh eðnai: yx) = y 0 x) + y µ x) yx) = c 1 e x + c 2 xe x cos 2x 3 25 sin 2x. 7
8 'Askhsh 4: Na lujeð h diaforik exðswsh: y 2y + 2y = e x cos x. LUSH a) JewroÔme thn antðstoiqh omogen : me algebrik qarakthristik : y 2y + 2y = 0 1) λ 2 2λ + 2 = 0 λ 1 = 1 + i, λ 2 = 1 i pou eðnai migadikèc suzugeðc DÔo grammikˆ anexˆrthtec lôseic eðnai: a ± bi me a = 1, b = 1. e ax cos bx = e x cos x, e ax sin bx = e x sin x kai h lôsh thc antðstoiqhc omogenoôc eðnai: y 0 x) = c 1 e x cos x + c 2 e x sin x y 0 x) = e x c 1 cos x + c 2 sin x). 2) b) EÔresh merik c lôshc. ParathroÔme ìti to b' mèloc thc y 2y + 2y = e x cos x eðnai eidik c morf c: e x cos x = fx) [A cosωx) + B sinωx)] e px me fx) = 1, A = 1, B = 0, p = 1, ω = 1. kai to p + iω = 1 + i eðnai apl rðza thc qarakthristik c algebrik c, ˆra r = 1. H morf thc merik c lôshc eðnai: y µ x) = x r [πx) cosωx) + ϕx) sinωx)] e px y µ x) = xa 1 cos x + b 1 sin x)e x. 3) ìpou πx) = a 1, ϕx) = b 1 stajerˆ polu numa omobˆjmia me to fx) = 1) 8
9 H y µ x), 3) prèpei na ikanopoieð thn y 2y + 2y = e x cos x y µ 2y µ + 2y µ = e x cos x [xa 1 cos x + b 1 sin x)e x ] 2 [xa 1 cos x + b 1 sin x)e x ] + 2xa 1 cos x + b 1 sin x)e x = e x cos x 2a 1 sin x + 2b 1 cos x = cos x. Me exðswsh twn suntelest n twn cos x, sin x twn dôo mel n paðrnoume: 2a 1 = 0, 2b 1 = 1 kai h merik lôsh sqèsh 3)) eðnai: a 1 = 0, b 1 = 1 2 y µ x) = 1 2 x sin x ex. g) H genik lôsh eðnai: yx) = y 0 x) + y µ x) yx) = e x c 1 cos x + c 2 sin x) x sin x ex. 9
10 'Askhsh 5: Na lujeð h diaforik exðswsh: y + y = 6x LUSH a) JewroÔme thn antðstoiqh omogen : me algebrik qarakthristik : y + y = 0 1) λ 3 + λ 2 = 0 λ 2 λ + 1) = 0 λ 1 = λ 2 = 0, λ 3 = 1 opìte treðc grammikˆ anexˆrthtec lôseic eðnai: e 0x = 1, xe 0x = x, e x kai h lôsh thc antðstoiqhc omogenoôc eðnai: y 0 x) = c 1 + c 2 x + c 3 e x. 2) b) EÔresh merik c lôshc. ParathroÔme ìti to b' mèloc thc eðnai eidik c morf c: me y + y = 6x x = fx) [A cosωx) + B sinωx)] e px fx) = 6x 2 + 4, A = 1, ω = 0, p = 0. kai to p + iω = 0 eðnai rðza thc qarakthristik c algebrik c me bajmì pollaplìthtac r = 2. 'Ara upˆrqei merik lôsh: y µ x) = x r [πx) cosωx) + ϕx) sinωx)] e px y µ x) = x 2 πx) y µ x) = x 2 a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ) ìpou to πx) eðnai omobˆjmio polu numo me to fx). y µ x) = a 2 x 4 + a 1 x 3 + a 0 x 2. 3) 10
11 H y µ x), 3) prèpei na ikanopoieð thn y + y = 6x y µ + y µ = 6x a2 x 4 + a 1 x 3 + a 0 x 2) + a2 x 4 + a 1 x 3 + a 0 x 2) = 6x a 2 x + 6a a 2 x 2 + 6a 1 x + 2a 0 = 6x a 2 x a 2 + 6a 1 )x + 6a 1 + 2a 0 = 6x Apì thn isìthta twn suntelest n twn omobajmðwn dunˆmewn twn dôo mel n, paðrnoume: 12a 2 = 6, 24a 2 + 6a 1 = 0, 6a 1 + 2a 0 = 4. a 2 = 1 2, a 1 = 2, a 0 = 8 kai h merik lôsh sqèsh 3)) eðnai: y µ x) = 1 2 x4 2x 3 + 8x 2. g) H genik lôsh eðnai: yx) = y 0 x) + y µ x) yx) = c 1 + c 2 x + c 3 e x x4 2x 3 + 8x 2. 11
12 Prìtash : An y 1, y 2 eðnai merikèc lôseic twn D.E. y + P x)y + Qx)y = F 1 x), y + P x)y + Qx)y = F 2 x) antðstoiqa, h y 1 thc pr thc, h y 2 thc deôterhc) tìte h y 1 + y 2 eðnai mða merik lôsh thc D.E. y + P x)y + Qx)y = F 1 x) + F 2 x). Apìdeixh H y 1 eðnai merik lôsh thc pr thc: kai h y 2 eðnai merik lôsh thc deôterhc Me prìsjesh katˆ mèlh twn 1), 2) paðrnoume: y 1 + P x)y 1 + Qx)y 1 = F 1 x) 1) y 2 + P x)y 2 + Qx)y 2 = F 2 x) 2) y 1 + y 2 ) + P x)y 1 + y 2 ) + Qx)y 1 + y 2 ) = F 1 x) + F 2 x) dhlad, prˆgmati, h y 1 + y 2 eðnai merik lôsh thc y + P x)y + Qx)y = F 1 x) + F 2 x) 3) Parat rhsh : H prìtash epitrèpei eôresh twn y 1, y 2 qwristˆ opìte h merik lôsh thc 3) eðnai y 1 + y 2. Profan c isqôei kai gia perissìterouc prosjetèouc sto b' mèloc thc 3). 12
13 'Askhsh 6: Na lujeð h diaforik exðswsh: y 5y + 6y = x + e 2x. LUSH a) JewroÔme thn antðstoiqh omogen : me algebrik qarakthristik : opìte h lôsh thc antðstoiqhc omogenoôc eðnai: y 5y + 6y = 0 1) λ 2 5λ + 6 = 0 λ 1 = 2, λ 2 = 3 y 0 x) = c 1 e 2x + c 2 e 3x 2) b) To b' mèloc, ed den eðnai eidik c morf c, afoô den mporeð na grafteð sth morf : fx) [A cosωx) + B sinωx)] e px, fx) polu numo. 'Omwc kajènac ìroc qwristˆ apì touc x, e 2x eðnai eidik c morf c. JewroÔme loipìn qwristˆ tic D.E. y 5y + 6y = x 3) y 5y + 6y = e 2x 4) β 1 ) Ja broôme mða merik lôsh thc 3). To b' mèloc eðnai eidik c morf c: x = fx) [A cosωx) + B sinωx)] e px me fx) = x, A = 1, ω = 0, p = 0 en r = 0 giatð to 0 + i0 den eðnai rðza thc qarakthristik c algebrik c. MÐa merik lôsh thc 3) èqei th morf : y 1 = x r πx) cos ωx + ϕx) sin ωx) e px y 1 = x 0 πx) = πx) = a 1 x + a 0 y 1 = a 1 x + a 0 13
14 afoô to πx) prèpei na eðnai prwtobˆjmio polu numo, ìpwc kai to fx). H y 1 prèpei na ikanopoieð th D.E. 3): a 1 x + a 0 ) 5 a 1 x + a 0 ) + 6 a 1 x + a 0 ) = x 6a 1 x + 6a 0 5a 1 ) = x. Me exðswsh twn suntelest n brðskoume 6a 1 = 1, 6a 0 5a 1 = 0 kai h merik lôsh eðnai: a 1 = 1 6, a 0 = 5 36 y 1 x) = 1 6 x ) β 2 ) Ja broôme mða merik lôsh thc 4). To b' mèloc eðnai eidik c morf c: e 2x = fx) [A cosωx) + B sinωx)] e px me fx) = 1, A = 1, ω = 0, p = 2 en r = 1 afoô to p + iω = 2 eðnai apl rðza thc qarakthristik c algebrik c. Upˆrqei merik lôsh thc morf c: y 2 = x r πx) cos 0x + ϕx) sin 0x) e px y 2 = xπx)e 2x y 2 x) = xae 2x afoô πx) = a stajerì polu numo ìpwc to fx)). H y 2 x) prèpei na ikanopoieð th D.E. 4): xae 2x ) 5 xae 2x ) + 6xae 2x = e 2x a = 1 y 2 x) = xe 2x 6) 14
15 β 3 ) H merik lôsh thc y 5y + 6y = x + e 2x eðnai Ðsh me to ˆjroisma twn merik n lôsewn twn 3) kai 4): y µ x) = y 1 x) + y 2 x) y µ x) = 1 6 x xe2x. g) H genik lôsh eðnai: yx) = c 1 e 2x + c 2 e 3x x xe2x. 15
16 'Askhsh 7: Na lujeð h diaforik exðswsh: y 2y + 5y = e x + e 2x + sin x. LUSH a) LÔsh thc omogenoôc. H antðstoiqh omogen c eðnai: kai èqei algebrik qarakthristik : y 2y + 5y = 0 1) λ 2 2λ + 5 = 0 λ 1 = 1 + 4i, λ 2 = 1 4i dhlad migadikèc suzugeðc a ± ib me a = 1, b = 4 opìte èqoume dôo grammikˆ anexˆrthtec lôseic: e ax cos bx = e x cos 4x, e ax sin bx = e x sin 4x kai h lôsh thc antðstoiqhc omogenoôc eðnai: y 0 x) = e x c 1 cos 4x + c 2 sin 4x) 2) b) To b' mèloc thc y 2y + 5y = e x + e 2x + sin x den eðnai eidik c morf c allˆ kajènac apì touc ìrouc e x, e 2x, sin x eðnai eidik c morf c, jewroôme tic diaforikèc exis seic: y 2y + 5y = e x 3) y 2y + 5y = e 2x 4) y 2y + 5y = sin x 5) β 1 ) Merik lôsh thc 3). To b' mèloc eðnai eidik c morf c: e x = fx) [A cosωx) + B sinωx)] e px me fx) = 1, A = 1, ω = 0, p = 1 en to p + iω = 1 den eðnai rðza thc qarakthristik c algebrik c : r = 0. 16
17 Upˆrqei merik lôsh thc thc morf c: y 1 = x r πx) cos ωx + ϕx) sin ωx) e px y 1 = a 1 e x ìpou to πx) = a eðnai stajerì polu numo ìpwc to fx). H y 1 ikanopoieð thn 3) : a 1 e x ) 2 a 1 e x ) + 5a 1 e x = e x 4a 1 = 1 a 1 = 1 4 kai h merik lôsh thc 3) eðnai: y 1 x) = 1 4 ex 6) β 2 ) Merik lôsh thc 4). 'Eqei th morf Me antikatˆstash sthn 4) brðskoume: a 2 e 2x. a2 e 2x) 2 a2 e 2x) + 5a2 e 2x = e 2x 5a 2 = 1 a 2 = 1 5 kai h merik lôsh thc 4) eðnai: y 2 x) = 1 5 e2x 7) β 3 ) Merik lôsh thc 5). To b' mèloc eðnai eidik c morf c: sin x = fx) [A cosωx) + B sinωx)] e px 17
18 me fx) = 1, A = 0, B = 1, p = 0, ω = 1. en to p + iω = i den eðnai rðza thc qarakthristik c algebrik c, ˆra r = 0. H morf thc merik c lôshc eðnai: y 3 x) = x r [πx) cosωx) + ϕx) sinωx)] e px y 3 x) = a 3 cos x + b 3 sin x ìpou πx) = a 3, ϕx) = b 3 omobˆjmia tou fx)) dhl. a 3, b 3 stajerèc. H y 3 prèpei na ikanopoieð th diaforik exðswsh 5): a 3 cos x + b 3 sin x) 2 a 3 cos x + b 3 sin x) + 5 a 3 cos x + b 3 sin x) = sin x 4a 3 2b 3 ) cos x + 4b 3 + 2a 3 ) sin x = sin x. Me exðswsh twn suntelest n twn cos x, sin x twn dôo mel n brðskoume: 4a 3 2b 3 = 0, 4b 3 + 2a 3 = 1 kai h merik lôsh thc 5) eðnai: SÔmfwna me th gnwst prìtash, mða merik lôsh thc D.E. a 3 = 1 10, b 3 = 2 10 y 3 x) = 1 10 cos x + 2 sin x 8) 10 y 2y + 5y = e x + e 2x + sin x. eðnai y µ = y 1 x) + y 2 x) + y 3 x) y µ = 1 4 ex e2x cos x sin x. g) H genik lôsh eðnai: yx) = y 0 x) + y µ x) yx) = e x c 1 cos 4x + c 2 sin 4x) ex e2x cos x sin x. 18
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS.
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS 6h Seirˆ Ask sewn OmogeneÐc grammikèc diaforikèc exis seic me stajeroôc suntelestèc Jèma
Διαβάστε περισσότεραPANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS.
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS h Seirˆ Ask sewn Diaforikèc eis seic > diaforikèc
Διαβάστε περισσότερα25 OktwbrÐou 2012 (5 h ebdomˆda) S. Malefˆkh Genikì Tm ma Majhmatikˆ gia QhmikoÔc
Mˆjhma 9 0 25 OktwbrÐou 2012 (5 h ebdomˆda) Diaforikèc Exis seic TÔpoi Diaforik n exis sewn H pio apl diaforik exðswsh y = f (x) Diaforikèc Exis seic TÔpoi Diaforik n exis sewn H pio apl diaforik exðswsh
Διαβάστε περισσότεραSUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN. 5h Seirˆ Ask sewn. Allag metablht n sto diplì olokl rwma
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN 5h Seirˆ Ask sewn Allag metablht n sto diplì olokl rwma Jèma. Qrhsimopoi ntac
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ο δυϊκός χώρος Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραAnaplhrwt c Kajhght c : Dr. Pappˆc G. Alèxandroc PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA I
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA I. Aìristo Olokl rwma 2. Orismèno Olokl rwma 3. Diaforetik èkfrash tou aìristou oloklhr matoc H Sunˆrthsh F ()
Διαβάστε περισσότεραPANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN.
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN h Seirˆ Ask sewn Akrìtata pragmatik n sunart sewn 1. Na brejoôn ta topikˆ akrìtata
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Θέματα Εξετάσεων Όνομα Καθηγητή : Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Διγραμμικές και Τετραγωνικές μορφές Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Δειγματοληψία Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Kefˆlaio 5 DeigmatolhyÐa 'Estw èna sônolo periodikˆ
Διαβάστε περισσότερα6h Seirˆ Ask sewn. EpikampÔlia oloklhr mata
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METLHTWN 6h Seirˆ Ask sewn EpikampÔlia oloklhr mata 1 Jèma 1. Na upologisjeð to epikampôlio
Διαβάστε περισσότεραPANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN EPIKAMPULIA OLOKLHRWMATA
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METLHTWN EPIKAMPULIA OLOKLHRWMATA 1. EpikampÔlio Olokl rwma 1ou eðdouc Efarmogèc 2. Dianusmatikˆ
Διαβάστε περισσότεραGENIKEUMENA OLOKLHRWMATA
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA I GENIKEUMENA OLOKLHRWMATA Anplhrwt c Kjhght c: Dr. Pppˆc G. Alèndroc GENIKEUMENA OLOKLHRWMATA H ènnoi tou orismènou
Διαβάστε περισσότερα9. α 2 + β 2 ±2αβ. 10. α 2 ± αβ + β (1 + α) ν > 1+να, 1 <α 0, ν 2. log α. 14. log α x = ln x. 19. x 1 <x 2 ln x 1 < ln x 2
UpenjumÐseic gia thn Jetik kai Teqnologik KateÔjunsh Kajhght c: N.S. Maurogi nnhc 1 Tautìthtec - Anisìthtec 1. (α ± ) = α ± α +. (α ± ) 3 = α 3 ± 3α +3α ± 3 3. α 3 ± 3 =(α ± ) ( α α + ) 4. (α + + γ) =
Διαβάστε περισσότεραDiakritˆ Majhmatikˆ I. Leutèrhc KuroÔshc (EÔh Papaðwˆnnou)
Diakritˆ Majhmatikˆ I Leutèrhc KuroÔshc (EÔh Papaðwˆnnou) PlhroforÐec... Tetˆrth, 09.00-11.00, Paraskeu, 18.00-20.00 SÔggramma 1: Λ. Κυρούσης, Χ. Μπούρας, Π. Σπυράκης. Διακριτά Μαθηματικά: Τα Μαθηματικά
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Μετασχηματισμός Z Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Kefˆlaio 7 Metasqhmatismìc Z 7. Orismìc tou metasqhmatismoô
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Μετασχηματισμός Laplace Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Kefˆlaio 8 Metasqhmatismìc Laplace 8. Orismìc
Διαβάστε περισσότεραEisagwg sth Grammik 'Algebra Tìmoc B DeÔterh 'Ekdosh Dhm trhc B rsoc Dhm trhc Derizi thc Miq lhc Mali kac OlumpÐa Talèllh Prìlogoc Sto pr to mèroc autoô tou tìmou meletoôme idiìthtec enìc tetragwnikoô
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση ις. συστήματα
Σήματα Συστήματα Ανάλυση ourier για σήματα και συνεχούς χρόνου Λυμένες ασκήσει ις Κνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής συστήματα Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 3 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραDiˆsthma empistosônhc thc mèshc tim c µ. Statistik gia Hlektrolìgouc MhqanikoÔc EKTIMHSH EKTIMHSH PARAMETRWN - 2. Dhm trhc Kougioumtz c.
Statistik gia Hlektrolìgouc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARAMETRWN - 2 6 Maòou 2010 EktÐmhsh Diast matoc empistosônhc Melet same thn ektim tria ˆθ paramètrou θ: An gnwrðzoume thn katanom thc X kai eðnai F X (x;
Διαβάστε περισσότεραStatistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARA
Statistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARAMETRWN - 2 20 Maòou 200 t.m. X me mèsh tim µ t.m. X 2 me mèsh tim µ 2 Diaforˆ µ µ 2? [X kai X 2 anexˆrthtec] DeÐgma {x, x 2,..., x n } x DeÐgma {x 2, x 22,...,
Διαβάστε περισσότεραStatistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PAR
Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARAMETRWN - 2 8 DekembrÐou 202 t.m. X me mèsh tim µ t.m. X 2 me mèsh tim µ 2 Diaforˆ µ µ 2? [X kai X 2 anexˆrthtec] DeÐgma {x, x 2,..., x n } x DeÐgma {x 2,
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Μηχανική Μάθηση. Ενότητα 10: Θεωρία Βελτιστοποίησης. Ιωάννης Τσαμαρδίνος Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μηχανική Μάθηση Ενότητα 10: Θεωρία Βελτιστοποίησης Ιωάννης Τσαμαρδίνος Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών To genikì prìblhma, na broôme to mègisto elˆqisto miac sunˆrthshc
Διαβάστε περισσότερα11 OktwbrÐou 2012. S. Malefˆkh Genikì Tm ma Majhmatikˆ gia QhmikoÔc
Mˆjhma 7 0 11 OktwbrÐou 2012 Orismìc sunart sewn mèsw orismènwn oloklhrwmˆtwn To orismèno olokl rwma prosfèrei ènan nèo trìpo orismoô sunˆrthshc afoô to orismèno olokl rwma mia suneqoôc sunˆrthshc f (t),
Διαβάστε περισσότεραHU215 - Frontist rio : Seirèc Fourier
HU5 - Frontist rio : Seirèc Fourier Epimèleia: Gi rgoc P. Kafentz c Upoy. Didˆktwr Tm m. H/U Panepist mio Kr thc MartÐou 4. Na sqediˆsete to fˆsma plˆtouc kai to fˆsma fˆshc tou s matoc xt + cosπt sinπt
Διαβάστε περισσότεραEisagwg sthn KosmologÐa
Eisagwg sthn KosmologÐa BasileÐou S. Gerogiˆnnh Kajhght Tm matoc Fusik c PanepisthmÐou Patr n Patra 2009 Kefˆlaio 1 Eisagwgikˆ 1.1 Gwniakì mègejoc, parsèk, ètoc fwtìc O parathrht c tou Sq matoc 1.1 parathreð
Διαβάστε περισσότεραHmiomˆdec telest n sônjeshc kai pðnakec Hausdorff se q rouc analutik n sunart sewn
ARISTOTELEIO PANEPISTHMIO JESSALONIKHS SQOLH JETIKWN EPISTHMWN TMHMA MAJHMATIKWN TOMEAS MAJHMATIKHS ANALUSHS PETROS GALANOPOULOS Hmiomˆdec telest n sônjeshc kai pðnakec Hausdorff se q rouc analutik n sunart
Διαβάστε περισσότεραJerinì SqoleÐo Fusik c sthn EkpaÐdeush 28 IounÐou - 1 IoulÐou 2010 EstÐa Episthm n Pˆtrac
Kbantik Perigraf tou Kìsmou mac KwnstantÐnoc Sfètsoc Kajhght c Fusik c Genikì Tm ma, Panepist mio Patr n Jerinì SqoleÐo Fusik c sthn EkpaÐdeush 28 IounÐou - 1 IoulÐou 2010 EstÐa Episthm n Pˆtrac Ti ennooôme
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Ενότητα 3: Συσχέτιση & Γραμμική Παλινδρόμηση Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραUpologistik Fusik Exetastik PerÐodoc IanouarÐou 2013
Upologistik Fusik Exetastik PerÐodoc IanouarÐou 03 Patra, 6 Ianouariou 03 Jèma A. Na exhg sete grafikˆ thn mèjodo thc diqotìmhshc. B. Na exhg sete grafikˆ thn mèjodo Runge Kutta. Jèma. DiatÔpwsh Oi migadikèc
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΙΙ Εξετάσεις Ιουνίου 2002
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Εξετάσεις Ιουνίου (α) Αναπτύξτε την µέθοδο του τραπεζίου για τον αριθµητικό υπολογισµό του ολοκληρώµατος: b I( f ) = f ( x) a όπου f (x) συνεχής και ολοκληρώσιµη
Διαβάστε περισσότερα1 η Σειρά Ασκήσεων Θεόδωρος Αλεξόπουλος. Αναγνώριση Προτύπων και Νευρωνικά Δίκτυα
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναγνώριση Προτύπων και Νευρωνικά Δίκτυα η Σειρά Ασκήσεων Θεόδωρος Αλεξόπουλος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραστο Αριστοτέλειο υλικού.
Σήματα Συστήματα Μετασχηματισμός aplace Λυμένες ασκήσεις Κωνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 03 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Φωνής Άσκηση 2η Στυλιανού Ιωάννης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών HU578: 2 η Seirˆ Ask sewn AporÐec: yannis@csd.uoc.gr 1. (aþ) Sac dðdetai o anadromikìc
Διαβάστε περισσότεραMègisth ro - elˆqisth tom
15 DekembrÐou 2009 DÐnetai grˆfoc (N, A) me ìria ro c x ij [b ij, c ij ] gia kˆje akm (i, j) kai dôo epilegmènouc kìmbouc s kai t. Jèloume na upologðsoume th ro sto grˆfo, ste na megistopoieðtai h apìklish
Διαβάστε περισσότεραShmei seic Sunarthsiak c Anˆlushc
Shmei seic Sunarthsiak c Anˆlushc Apìstoloc Giannìpouloc 1 Panepisthmio Krhthc Tmhma Majhmatikwn Anoixh 2003 1 Tm. Majhmatik n, Panep. Ajhn n 2 Perieqìmena 1 Μετρικοί χώροι 5 1.1 Ορισμός................................................
Διαβάστε περισσότεραISTORIKH KATASKEUH PRAGMATIKWN ARIJMWN BIBLIOGRAFIA
ΛΟΓΙΣΜΟΣ CALCULUS Διαφορικός Λογισμός, Απειροστικός Λογισμός 1670 1740 Ουράνια Μηχανική Isaac Newton 1648-1727 Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716 απειροστάπολύ μικρά μεγέθη, άπειροπάρα πολύ μεγάλο, όριο
Διαβάστε περισσότεραPragmatik Anˆlush ( ) TopologÐa metrik n q rwn Ask seic
Pragmatik Anˆlush (2010 11) TopologÐa metrik n q rwn Ask seic Omˆda A' 1. 'Estw (X, ρ) metrikìc q roc kai F, G uposônola tou X. An to F eðnai kleistì kai to G eðnai anoiktì, deðxte ìti to F \ G eðnai kleistì
Διαβάστε περισσότεραAsk seic me ton Metasqhmatismì Laplace
Ask seic me ton Metasqhmatismì Laplace Epimèleia: Gi rgoc Kafentz c Upoy. Didˆktwr Tm m. H/U Panepist mio Kr thc 8 IounÐou 4. 'Estw to s ma { A, t T x(t), alloô () (aþ) Na upologðsete to metasq. Fourier
Διαβάστε περισσότεραAnagn rish ProtÔpwn & Neurwnikˆ DÐktua Probl mata 2
Jeìdwroc Alexìpouloc, Anaplhrwt c Kajhght c Theodoros Alexopoulos, Associate Professor EJNIKO METSOBIO POLUTEQNEIO NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY SQOLH EFARMOSMENWN MAJHMATIKWN KAI DEPARTMENT OF PHYSICS
Διαβάστε περισσότεραStatistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc ELEGQOS UPOJ
Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc ELEGQOS UPOJESEWN 18 DekembrÐou 2012 'Elegqoc Upojèsewn 1 Statistik upìjesh 2 Statistik elègqou kai perioq apìrriyhc 3 Apìfash elègqou Statistik upìjesh mhdenik upìjesh
Διαβάστε περισσότερα2+sin^2(x+2)+cos^2(x+2) Δ ν =[1 1 2 ν 1, ν ) ( ( π (x α) ημ β α π ) ) +1 + a 2
Parathr seic sta Jèmata Jetik c kai Teqnologik c KateÔjunshc tou ètouc 7 Peiramatikì LÔkeio Euaggelik c Sqol c SmÔrnhc 1 IounÐou 7 PerÐlhyh Oi shmei seic autèc anafèrontai sta jèmata Majhmatik n Jetik
Διαβάστε περισσότεραFarkas. αx+(1 α)y C. λx+(1 λ)y i I A i. λ 1,...,λ m 0 me λ 1 + +λ m = m. i=1 λ i = 1. i=1 λ ia i A. j=1 λ ja j A. An µ := λ λ k = 0 a λ k
Kefˆlaio 1 DiaqwrÐzon UperepÐpedo L mma Farkas 1.1 Kurtˆ SÔnola 'Ena uposônolo C tou R n onomˆzetai kurtì an, gia kˆje x,y C kai kˆje λ [0,1], αx+(1 α)y C. An a i, i = 1,2,...,m eðnai dianôsmata ston R
Διαβάστε περισσότεραMELETH TWN RIZWN TWN ASSOCIATED ORJOGWNIWN
IWANNH D. STAMPOLA MAJHMATIKOU MELETH TWN RIZWN TWN ASSOCIATED ORJOGWNIWN q-poluwnumwn DIDAKTORIKH DIATRIBH TMHMA MAJHMATIKWN SQOLH JETIKWN EPISTHMWN PANEPISTHMIO PATRWN PATRA 2004 Stouc goneðc mou kai
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική για Χημικούς Μηχανικούς
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς Ενότητα 3: Έλεγχος Υποθέσεων Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Χημικών Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση ασκήσεις. συστήματα
Σήματα Συστήματα Ανάλυση Fourier για σήματα και διακριτού χρόνου Λυμένες ασκήσεις Κωνσταντίνος Κοτρόουλος Τμήμα Πληροφορικής συστήματα Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 3 Άδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται
Διαβάστε περισσότεραAnaz thsh eustaj n troqi n se triplˆ sust mata swmˆtwn
Tmhma Fusikhc Aristoteleio Panepisthmio Jessalonikhc Ptuqiakh Ergasia Anaz thsh eustaj n troqi n se triplˆ sust mata swmˆtwn Ajanˆsioc MourtetzÐkoglou A.E.M.:13119 epiblèpwn kajhght c G. Bougiatz c 8 IoulÐou
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική για Χημικούς Μηχανικούς
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς Ενότητα 4: Συσχέτιση & Γραμμική Παλινδρόμηση Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Χημικών Μηχανικών Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραJEMATA EXETASEWN Pragmatik Anˆlush I
JEMATA EXETASEWN Pragmatik Anˆlush I JEMA 1o. A)(M. 1.5) Na qarakthrðsete (me aitiolìghsh) tic protˆseic pou akoloujoôn me thn èndeixh Swstì Lˆjoc: (i) 'Estw x 0 tètoio ste x < ε, gia kˆje ε > 0. Tìte
Διαβάστε περισσότεραAM = 1 ( ) AB + AΓ BΓ+ AE = AΔ+ BE. + γ =2 β + γ β + γ tìte α// β. OΓ+ OA + OB MA+ MB + M Γ+ MΔ =4 MO. OM =(1 λ) OA + λ OB
Peiramatiko Lukeio Euaggelikhc Sqolhc Smurnhc Taxh B, Majhmatika Jetikhc kai Teqnologikhc Kateujunshc, Askhseic Kajhght c: Shmei seic gia sqolik qr sh. MporoÔn na anaparaqjoôn kai na dianemhjoôn eleôjera
Διαβάστε περισσότεραthlèfwno: , H YHFIAKH TAXH A' GumnasÐou Miqˆlhc TzoÔmac Sq. Sumb. kl.
A' GumnasÐou Sq. Sumb. kl. PE03 GiatÐ epibˆlletai h eisagwg thc sôgqronhc teqnologðac sthn ekpaðdeush. Η Πληροφοριοποίηση της κοινωνίας. Η αυξανόμενη πολυπλοκότητα του εκπαιδευτικού συστήματος. Η σημερινή
Διαβάστε περισσότεραShmei seic sto mˆjhma Analutik GewmetrÐa
Shmei seic sto mˆjhma Analutik GewmetrÐa Didˆskwn: Lˆppac D. Ejnikì Kapodistriakì Panepist mio Ajhn n B' MEROS 3 EPIFANEIES sto QWRO Epifˆneia gia thn perigraf thc qreiˆzontai dôo parˆmetroi mia eidik
Διαβάστε περισσότεραf(x) =x x 2 = x x 2 x =0 x(x 1) = 0,
NÐkoc E. AggourÐdhc To Je rhma tou Sarkovskii Panepist mio Kr thc Tm ma Majhmatik n 2 Thn kritik epitrop apotèlesan oi Ajanasìpouloc KwnstantÐnoc Katsoprin khc Emmanou l Kwst khc Ge rgioc (epiblèpwn) touc
Διαβάστε περισσότεραÈ Ö Ñ Ø Ó ÄÙ Ó Ù Ð ËÕÓÐ ËÑÙÖÒ Ì Ü Å Ñ Ø Â Ø Ì ÕÒÓÐÓ Ã Ø Ù ÙÒ Ë Ñ Û Â ÛÖ Ã Ø ÆºËº Å ÙÖÓ ÒÒ Ç Ñ ô ÙØ Ò ÕÓÐ ÕÖ º ÅÔÓÖÓ Ò Ò Ò Ô Ö Õ Ó Ò Ò Ò Ñ Ó Ò Ð Ö Ö¹ Ò Ñ Ò ÐÐ Ü ÑÓÖ ØÓÙº ØÓÒ Ô Ö ÓÖ Ñ ØÛÒ Ò Ô Ù ØÛÒ Ð ôò
Διαβάστε περισσότεραΚλασσική Ηλεκτροδυναμική II
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασσική Ηλεκτροδυναμική II Πεδία Σημειακών Φορτίων Διδάσκων : Καθ. Κ. Ταμβάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραSofÐa ZafeirÐdou: GewmetrÐec
Tm ma Majhmatik n Panepist mio Patr n Bohjhtikèc Shmei seic gia to mˆjhma GewmetrÐec SofÐa ZafeirÐdou Anaplhr tria Kajhg tria Pˆtra 2018 Oi shmei seic autèc grˆfthkan gia tic anˆgkec tou maj matoc GewmetrÐa.
Διαβάστε περισσότεραN.Σ. Μαυρογιάννης 2010
N.Σ. Μαυρογιάννης 200 Το παρόν µπορεί να διανεµηθεί και να αναπαραχθεί ελεύθερα µε την παράκληση να διατηρηθεί η αρχική του µορφή Προλεγόµενα Στην µαθηµατική λέσχη http://clubs.pathfinder.gr/mathematica/
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΑΒΟΛΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΕΥΘΕΡΩΝ ΣΥΝΟΡΩΝ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΝΙΠΥΡΑΚΗ ΜΑΡΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΜΕΤΑΒΟΛΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΕΥΘΕΡΩΝ ΣΥΝΟΡΩΝ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΝΙΠΥΡΑΚΗ ΜΑΡΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ
Διαβάστε περισσότερα5. (12 i)(3+4i) 6. (1 + i)(2+i) 7. (4 + 6i)(7 3i) 8. (1 i)(2 i)(3 i)
Peiramatiko Lukeio Euaggelikhc Sqolhc Smurnhc Taxh G, Majhmatika Jetikhc kai Teqnologikhc Kateujunshc, Askhseic Kajhght c: Oi shmei seic autèc eðnai gia sqolik qr sh. MporoÔn na anaparaqjoôn kai na dianemhjoôn
Διαβάστε περισσότεραShmei seic sto mˆjhma Analutik GewmetrÐa
Shmei seic sto mˆjhma Analutik GewmetrÐa Didˆskwn: Lˆppac D. Ejnikì Kapodistriakì Panepist mio Ajhn n A' MEROS 3 Eisagwg Suntetagmènwn H perðptwsh tou epipèdou (E) E epðpedo thc EukleÐdiac Gewmètriac me
Διαβάστε περισσότεραErgasthriak 'Askhsh 2
Kefˆlaio 2 Ergasthriak 'Askhsh 2 Οπου θα δούμε πώς μπορούμε να ορίζουμε δικές μας διαδικασίες και θα παρουσιάσουμε τις primitive διαδικασίες χειρισμού λιστών, τις μεταβλητές και τα side effects. 2.1 P
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση Ι. Γ. Στρατής Καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα, 2006 Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότερα1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS
1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS Γραμμικές μη ομογενείς διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξης λέγονται οι εξισώσεις τύπου y + p(x)y + g(x)y = f(x) (1.1) Οταν f(x) = 0 η εξίσωση y + p(x)y +
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση. σήματα και συστήματα
Σήματα Συστήματα Ανάλυση ourier διακριτού χρόνου Κωνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής για σήματα και συστήματα Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 23 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότερα1, 3, 5, 7, 9,... 2, 4, 6, 8, 10,... 1, 4, 7, 10, 13,... 2, 5, 8, 11, 14,... 3, 6, 9, 12, 15,...
To Je rhma tou Dirichlet Dèspoina NÐka IoÔlioc 999 Majhmatikì Tm ma Panepist mio Kr thc 2 Prìlogoc Oi pr toi arijmoð, 2, 3, 5, 7,,..., eðnai ekeðnoi oi fusikoð arijmoð oi opoðoi èqoun akrib c dôo diairètec,
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Ενότητα 2: Εκτίμηση Παραμέτρων Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Βασικές Έννοιες Σημάτων και Συστημάτων Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Kefˆlaio 2 Basikèc ènnoiec
Διαβάστε περισσότεραErgasthriak 'Askhsh 3
Kefˆlaio 3 Ergasthriak 'Askhsh 3 Οπου θα δούμε τις λογικές συναρτήσεις και θα εμβαθύνουμε λίγο περισσότερο στις λίστες και τις μεταβλητές. 3.1 Logikèc Sunart seic Οι λογικές συναρτήσεις (logical ή boolean
Διαβάστε περισσότεραStatistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARA
Statistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARAMETRWN - 1 12 AprilÐou 2013 Eisagwgikˆ sthn ektðmhsh paramètrwn t.m. X me katanom F X (x; θ) Parˆmetroc θ: ˆgnwsth θ µ, σ 2, p DeÐgma {x 1,..., x n }: gnwstì
Διαβάστε περισσότεραSUNOLA BIRKHOFF JAMES ϵ ORJOGWNIOTHTAS KAI ARIJMHTIKA PEDIA
EJNIKO METSOBIO POLUTEQNEIO SQOLH EFARMOSMENWN MAJHMATIKWN & FUSIKWN EPISTHMWN TOMEAS MAJHMATIKWN DIDAKTORIKH DIATRIBH SUNOLA BIRKHOFF JAMES ϵ ORJOGWNIOTHTAS KAI ARIJMHTIKA PEDIA Qr stoc S. Qwrianìpouloc
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση ΙΙ Σεπτέµβριος 2012 (Λύσεις)
Ανάλυση ΙΙ Σεπτέµβριος 01 (Λύσεις) Θέµα 1ο: Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της µερικής παραγώγου να ϐρείτε τις τιµές των παραγώγων f (0,0) και f (0,0) της συνάρτησης Λύση: Σύµφωνα µε τον ορισµό έχουµε ( )
Διαβάστε περισσότερα2
LOGISMOS METABOLWN & EFARMOGES STH MAJHMATIKH MONTELOPOIHSH PTUQIAKH ERGASIA DIONUSHS JEODOSHS-PALIMERHS A.M. : 311/2003028 EPIBLEPWN: NIKOLOPOULOS QRHSTOS A PANEPISTHMIO AIGAIOU TMHMA MAJHMATIKWN SAMOS
Διαβάστε περισσότεραστο Αριστοτέλειο υλικού.
Σήματα Συστήματα Μετασχηματισμός Κωνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 203 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότερα2 PerÐlhyh Se aut n thn ergasða, parousi zoume tic basikìterec klassikèc proseggðseic epðlushc Polu-antikeimenik n Problhm twn BeltistopoÐhshs(PPB) ka
MejodologÐec sthn Polu-Antikeimenik BeltistopoÐhsh apì Antwnèlou E. GewrgÐa Diplwmatik ErgasÐa Sqol Jetik n Episthm n Tm ma Majhmatik n Panepist mio Patr n Epiblèpousa: EpÐk.Kajhg tria J. N. Gr ya P tra,
Διαβάστε περισσότεραspin triplet S =1,M S =0 = ( + ) 2 S =1,M S = 1 = spin singlet S =0,M S =0 = ( )
SummetrÐec kai Quarks Nikìlaoc A. Tetr dhc Iw nnhc G. Flwr khc 2 Perieqìmena Eisagwgikèc ènnoiec 5. Eisagwg............................. 5.2 SummetrÐa Isospin......................... 0 2 StoiqeÐa JewrÐac
Διαβάστε περισσότεραUpologistikˆ Zht mata se Sumbibastikèc YhfoforÐec
Panepisthmio Patrwn - Poluteqnikh Sqolh Tm ma Mhqanik n Hlektronik n Upologist n kai Plhroforik c Upologistikˆ Zht mata se Sumbibastikèc YhfoforÐec Dhmhtrioc Kalaðtzhc Diplwmatik ErgasÐa sto plaðsio tou
Διαβάστε περισσότερα9.2 Μελετώντας τρισδιάστατα γραφικά στο επίπεδο Oi sunartήseiv Contour Plot kai DensityPlot
trisdiastatastoepipedo_.nb 9. Μελετώντας τρισδιάστατα γραφικά στο επίπεδο 9.. Oi sunartήseiv Contour Plot kai DensityPlot Me thn ContourPlot[f[x,y], {x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}] scediάzoume thn f[x,y]
Διαβάστε περισσότεραPANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN. Ask seic kai Jèmata sthn Pragmatik Anˆlush I TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN Ask seic kai Jèmata sthn Pragmatik Anˆlush I TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN Anaplhrwt c Kajhght c: Dr. Pappˆc G. Alèandroc Perieqìmena. Sumbolismìc kai OrologÐa..
Διαβάστε περισσότεραΣήματα Συστήματα Ανάλυση Fourier για σήματα και συστήματα συνεχούς χρόνου Περιοδικά Σήματα (Σειρά Fourier)
Σήματα Συστήματα Ανάλυση Fourier για σήματα και συστήματα συνεχούς χρόνου Περιοδικά Σήματα (Σειράά Fourier) Κωνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 3 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραAPEIROSTIKOS LOGISMOS I
1 OktwbrÐou 2012 Kwdikìc Maj matoc: 101 (U) 'Etoc didaskalðac: 2012-2013, Qeimerinì Exˆmhno Hmèrec didaskalðac: Deut. - Tet. - Par., 11:00-13:00 Didˆskontec Tm ma 1 o (AM pou l gei se 0,1,2) Amf 21, BasÐleioc
Διαβάστε περισσότεραΣχόλια για το Μάθημα. Λουκάς Βλάχος
Σχόλια για το Μάθημα Λουκάς Βλάχος Σκοπός του μαθήματος Ηεξοικείωσημετολογισμότωνμεταβολών σε περισσότερες διαστάσεις Η άνετη χρήση του διανυσματικού λογισμού και των μετασχηματισμών συστημάτων συντεταγμένων
Διαβάστε περισσότεραApeirostikìc Logismìc. Pragmatikèc Sunart seic Miac Pragmatik c Metablht c
Apeirostikìc Logismìc Prgmtikèc Sunrt seic Mic Prgmtik c Metblht c Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Proktrktikˆ. Οι σημειώσεις αυτές ασχολούνται με τον απειροστικό λογισμό,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 2, Έλεγχος ροής προγράμματος ΒΑΣΙΚΗ ΣΥΝΤΑΞΗ:
ΜΑΘΗΜΑ 2, 080312 Έλεγχος ροής προγράμματος Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια σειρά από λογικούς ελέγχους (συγκρίσεις) και με βάση το αποτέλεσμά τους γίνεται η λήψη αποφάσεων για τη συνέχεια του προγράμματος
Διαβάστε περισσότεραKBANTOMHQANIKH II (Tm ma A. Laqanˆ) 28 AugoÔstou m Upìdeixh: Na qrhsimopoihjeð to je rhma virial 2 T = r V.
Jèma 1: KBANTOMHQANIKH II (Tm ma A. Laqanˆ) 8 AugoÔstou 001 SwmatÐdio mˆzac m kineðtai sto kentrikì dunamikì V (r) = λ log (r/a). Gia tic idiokatastˆseic thc enèrgeiac na brejeð h mèsh tim tou tetrag nou
Διαβάστε περισσότεραt t j=1 span(x) = { 1-1
Διάλεξη 1: 08.10.2014 Θεωρία Γραμμικού Προγραμματισμού Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 1.1 Γραμμική και αφινική ανεξαρτησία Τα διανύσματα x 1,..., x t R n, καλούνται γραμμικά ανεξάρτητα αν
Διαβάστε περισσότεραTm ma Fusik c Mˆjhma: Pijanìthtec -Sfˆlmata-Statistik PerÐodoc: Febrouˆrioc 2008
Tm ma Fusik c Mˆjhma: Pijanìthtec -Sfˆlmata-Statistik PerÐodoc: Febrouˆrioc 2008 Jèma 1. a 'Enac upologist c dèqetai kajhmerinˆ e-mail. Apì prohgoômena dedomèna gnwrðzoume ìti ta 7/10 twn e-mailc pou stèlnontai
Διαβάστε περισσότερα10/2013. Mod: 02D-EK/BT. Production code: CTT920BE
10/2013 Mod: 02D-EK/BT Production code: CTT920BE GR ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΧΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ σελ. 1 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΚΕΦ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 3 ΚΕΦ 2 ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ... 3 2.1 ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΣΥΣΚΕΥΑΣΙΑ...3 2.2 ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ
Διαβάστε περισσότεραEISAGWGH STON PROGRAMMATISMO ( ) 'Askhsh 2
EISAGWGH STON PROGRAMMATISMO (2008-09) 'Askhsh 2 Pollèc forèc, èqoume dedomèna ta opoða eðnai bolikì na emfanðzontai stoiqismèna se st lec. Gia parˆdeigma, fantasteðte ìti ja jèlame na eðqame, sth morf
Διαβάστε περισσότεραEukleideiec Gewmetriec
Eukleideiec Gewmetriec 1. Ta stoiqeða tou EukleÐdh To pio shmantikì biblðo sthn IstorÐa twn Majhmatik n allˆ kai èna apì ta pio shmantikˆ sthn IstorÐa tou anjr pinou politismoô eðnai ta StoiqeÐa tou EukleÐdh.
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδος προσδιορισμού συντελεστών Euler
Μέθοδος προσδιορισμού συντελεστών Euler Η προηγούμενη μέθοδος αν και δεν έχει κανένα περιορισμό για το είδος συνάρτησης του μη ογενούς όρου, μπορεί να οδηγήσει σε πολύπλοκες ολοκληρώσεις, πολλές φορές
Διαβάστε περισσότεραΓεωργίου Κ. Λεοντάρη Καθηγητή Θεωρητικής Φυσικής. Μαθηματικές Μέθοδοι Φυσικής ΙΙ Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα 2011
1 Γεωργίου Κ. Λεοντάρη Καθηγητή Θεωρητικής Φυσικής. Μαθηματικές Μέθοδοι Φυσικής ΙΙ Πανεπιστημιακές Παραδόσεις Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα 2011 2 Perieqìmena 1 Στοιχεία Διαϕορικών Εξισώσεων 5 1.1 Συνήθεις
Διαβάστε περισσότεραARISTOTELEIO PANEPISTHMIO JESSALONIKHS POLUTEQNIKH SQOLH TMHMA HLEKTROLOGWN MHQANIKWN & MHQANIKWN UPOLOGISTWN TOMEAS THLEPIKOINWNIWN Diplwmatik ErgasÐa tou Papadìpoulou N. Iw nnh Melèth thc 'AllhlepÐdrashc
Διαβάστε περισσότεραInitial value problem in General Relativity
Εθνικο Μετσ οβιο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσ μενων Μαθηματικων & Φυσ ικων Επισ τημων Τομεασ Φυσ ικησ Initial value problem in General Relativity Stratoc Q. Papadoudhc Τριμελής Επιτροπή: Κωνσ ταντινος Αναγνωσ
Διαβάστε περισσότεραMÐa SÔntomh Eisagwgă stic SÔgqronec JewrÐec Isìthtac
MÐa SÔntomh Eisagwgă stic SÔgqronec JewrÐec Isìthtac Nikìlac BroÔsalhc nicholas.vrousalis@lmh.ox.ac.uk 29 OktwbrÐou 2007 1 KĹpoiec basikèc diakrðseic 1.1 Ish Mèrimna Φέροµαι εξίσου στην Α και στον Β vs.
Διαβάστε περισσότεραΦυλλο 3, 9 Απριλιου Ροδόλφος Μπόρης
FÔlla Majhmatik c PaideÐac Φυλλο 3, 9 Απριλιου 2010 StoiqeiojeteÐtai me to L A TEX 2ε Epimèleia: N.S. Maurogi nnhc, Dr Majhmatik n Peiramatikì LÔkeio Euaggelik c Sqol c SmÔrnhc mavrogiannis@gmail.com 1
Διαβάστε περισσότεραL mma thc 'Antlhshc. A. K. Kapìrhc
L mma thc 'Antlhshc A. K. Kapìrhc 12 MartÐou 2009 2 Perieqìmena 1 Το Λήμμα της Άντλησης για μη κανονικές γλώσσες 5 1.1 Μη κανονικές γλώσσες..................................... 5 1.2 Λήμμα άντλησης για
Διαβάστε περισσότεραApeirostikìc Logismìc. Mia Pragmatik Metablht
Apeirostikìc Logismìc Mi Prgmtik Metblht Μ. Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Proktrktikˆ. Οι σημειώσεις αυτές ασχολούνται με τον απειροστικό λογισμό, δηλαδή τον λογισμό των απειροστών
Διαβάστε περισσότεραGENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c
GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία
Διαβάστε περισσότεραG. A. Cohen ** stìqo thn kubernhtik nomojesða kai politik, den upˆrqei tðpota to qarakthristikì sth morf thc.)
Εκεί που βρίσκεται η πράξη: Περί του πεδίου της διανεμητικής δικαιοσύνης G. A. Cohen ** Mετάφραση: Νικόλας Βρούσαλης Ι Σε αυτή την εργασία υπερασπίζομαι έναν ισχυρισμό που μπορεί να εκφραστεί με ένα οικείο
Διαβάστε περισσότεραPANEPISTHMIO KRHTHS SQOLH JETIKWN KAI TEQNOLOGIKWN EPISTHMWN TMHMA MAJHMATIKWN ELENH TZANAKH SUNDUASTIKH GENIKEUMENWN SUMPLEGMATWN SMHNWN KAI PARATAGMATWN UPEREPIPEDWN DIDAKTORIKH DIATRIBH HRAKLEIO 2007
Διαβάστε περισσότερα