PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS.

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1 PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS h Seirˆ Ask sewn Diaforikèc eis seic <<qwrizomènwn metablht n>> << OmogeneÐc >> diaforikèc eis seic Diaforikèc eis seic <<qwrizomènwn metablht n>> Jèma. Na brejeð h genik lôsh twn parakˆtw D.E.: i. y = y 2 cos ii. y = y 2 + ) iii. y = y iv. 2 d + cos y = 0 v. y 2 + d = 0. Jèma 2. Na breðte th lôsh thc diaforik c eðswshc y 2 + ) d + 2 y y ) = 0 pou epalhjeôei tic arqikèc sunj kec y = ìtan = 0. Na lujoôn oi D.E.: i. y d + + ) = 0 ii. y = y y iii. y = e y+e y iv. e d y = 0, y0) =. ASKHSEIS PROS LUSH

2 << OmogeneÐc >> diaforikèc eis seic Jèma 3. Na brejeð h genik lôsh twn diaforik n eis sewn : a) 2 + y 2) d 2y = 0 b) y = y g) y = 3 +y 3 y 2. [ + ln y )] Jèma 4. Na lujeð h diaforik eðswsh 2yy y = 0. Jèma 5. Na lujeð h diaforik eðswsh y = + y y. ASKHSEIS PROS LUSH DeÐte ìti oi parakˆtw D.E. eðnai omogeneðc kai lôste tic: i. y = y + y ii y ) d + y = 0 iii. y = y 2 y 2 iv. 2 + y + y 2) d 2 = 0 v. y d + 2 y 2) = 0 vi. y = 2 +3y 2 2y vii. y = +3y y. Anaplhrwt c Kajhght c : Dr. Pappˆc G. Alèandroc 2

3 Jèma. Na brejeð h genik lôsh twn parakˆtw D.E.: i. y = y 2 cos ii. y = y 2 + ) iii. y = y iv. 2 d + cos y = 0 v. y 2 + d = 0. LUSH i. H D.E. èqei th morf me y = y 2 cos y = f) gy) f) = cos kai gy) = y 2. MporeÐ na grafeð sth morf Prˆgmati Me olokl rwsh thc ) paðrnw P) d + Qy) = 0 y = y 2 cos d = y2 cos = y 2 cos d = cos d y2 = cos d ) y2 y 2 cos d = c pou eðnai h lôsh thc D.E. se peplegmènh morf. 3 sin = c to c eðnai aujaðreth stajerˆ) y

4 ii. H D.E. èqei th morf me y = y 2 + ) y = f) gy) f) = kai gy) = y 2 +. MporeÐ na grafeð sth morf P) d + Qy) = 0 Prˆgmati y = y 2 + ) Me olokl rwsh thc ) paðrnw d = y 2 + ) = y 2 + ) d y 2 + = d y 2 d = 0 ) + y 2 + y 2 + d = c d = c τoξεϕy 2 2 = c. H teleutaða sqèsh apoteleð th genik lôsh thc dosmènhc D.E. se peplegmènh morf. 4

5 iii. H D.E. y = y èqei th morf me y = y y = f) gy) f) = kai gy) = y. MporeÐ na grafeð sth morf P) d + Qy) = 0 Prˆgmati Me olokl rwsh thc ) paðrnw ìpou y = y d = y = y d y = d y d = 0 ) d y = 0 ln y ln = c ln y = c y = e c y = c y = c 2 c = e c kai c 2 = ±c. 5

6 iv. 2 d + cos y = 0. Me olokl rwsh thc D.E. paðrnw: 2 d + cos y = c sin y = c pou eðnai h genik lôsh thc dosmènhc D.E. se peplegmènh morf. v. y 2 + d = 0 H dosmènh D.E. mporeð na grafeð: Me olokl rwsh prokôptei: y 2 + d = 2 d = y 2 + ) 2 d y 2 + ) = 0 2 d y 2 + ) = c 3 3 y 2 = c y3 y = c. 6

7 Jèma 2. Na breðte th lôsh thc diaforik c eðswshc y 2 + ) d + 2 y y ) = 0 pou epalhjeôei tic arqikèc sunj kec y = ìtan = 0. LUSH H D.E. y 2 + ) d + 2 y y ) = 0 mporeð na grafeð sth morf Prˆgmati Me olokl rwsh prokôptei: ìpou P) d + Qy) = 0 y 2 + ) d + y 2 ) = 0 2 d + y + y 2 = 0 2 d + y + y 2 = c 2 ln ln + y 2) = c ln 2 + y 2) = 2c + y 2 ) 2 = e c = c 2 c = 2c kai c 2 = e c. H lôsh thc D.E. se peplegmènh morf eðnai: LÔseic eðnai kai oi eujeðec + y 2 = c 2 2. = kai =. Gia tic arqikèc sunj kec èqoume: 'Wste h zhtoômenh merik lôsh eðnai: + 2 = + y 2 = c 2 = 2. c

8 Jèma 3. Na brejeð h genik lôsh twn diaforik n eis sewn: a) 2 + y 2) d 2y = 0 b) y = y g) y = 3 +y 3 y 2. [ + ln y )] LUSH a) H dosmènh D.E. 2 + y 2) d 2y = 0 èqei th morf ìpou P, y) d + Q, y) = 0, P, y) = 2 + y 2 kai Q, y) = 2y eðnai omogeneðc sunart seic Ðdiou bajmoô, afoô isqôoun: P λ, λy) = λ) 2 + λy) 2 = λ y 2) = λ 2 P, y) k = 2 Qλ, λy) = 2λ λy = λ 2 2y) = λ 2 Q, y) k = 2. 'Ara èqoume na lôsoume mða omogen D.E. Je roume thn antikatˆstash: Apì th sqèsh ) paðrnw: y = u [u = u)] ) = du ) = u ) d = u + u ) d = u + u) d 2) H dosmènh D.E. grˆfetai: 2 + u 2 2) d 2 u u + u) d = u 2) ) du d 2 2 u d + u d = 0 2 [ + u 2) d 2u du 2u 2 d ] = 0 8

9 kai apì to mhdenismì thc agkôlhc paðrnoume: u 2 ) d 2u du = 0 dhlad D.E. qwrizomènwn metablht n. An oloklhr soume paðrnoume: 2 [ u 2) d 2u du ] = 0 3) u 2 ) d = 2u du d = ln = ln = d = 2udu u 2 4) 2udu u 2 u 2 du2 u 2 d u 2 ) ln = ln u 2 + c ln + ln u 2 = c ln u 2 ) = c u 2 ) = c 5) ìtan o logˆrijmoc mðac posìthtac eðnai stajerìc, tìte h posìthta eðnai stajer : ln z = c z = e c ). Me antikatˆstash sth sqèsh 5) tou u = y prokôptei h genik lôsh thc dosmènhc D.E. : se peplegmènh morf. [ y ) ] 2 9 y 2 = c = c

10 b) H dosmènh D.E. grˆfetai isodônama: y = y [ y + ln )] d = y [ y + ln )] [ y = y + ln d )] [ y y + ln d = 0 ) )] Oi sunart seic [ y P, y) = y + ln )] kai Q, y) = eðnai omogeneðc pr tou bajmoô omogèneiac, afoô isqôoun : P λ, λy) = λy ˆra h D.E. ) eðnai omogen c. [ )] λy + ln λ [ y = λ y + ln = λ P, y) k = )] Qλ, λy) = λ = λ ) = λ Q, y) k = Je roume thn antikatˆstash: Apì th sqèsh ) paðrnw: kai h diaforik eðswsh grˆfetai: y = u [u = u)] ) = du ) = u ) d = u + u ) d = u + u) d = u d + u d 2) [ u )] u + ln d u d + u d) = 0 [u d + u ln u d u d u d] = 0. Me u d = du 0

11 kai mhdenismì thc agkôlhc paðrnoume: dhlad D.E. qwrizomènwn metablht n. u ln ud du = 0 du u ln u = d An oloklhr soume paðrnoume: du d u ln u = dln u) ln u = d ln ln u = ln + c ln ln u = c ln u = c kai me antikatˆstash u = y, ftˆnoume sth genik lôsh thc dosmènhc D.E. se peplegmènh morf : y ) ln = c. Parat rhsh : 'Otan se D.E. a' tˆhc upˆrqei o lìgoc y y eðnai omogen c.

12 g) H dosmènh D.E. grˆfetai: y = 3 + y 3 y 2 d = 3 + y 3 y y 3) d y 2 = 0 ) H ) eðnai profan c mða omogen c D.E. Jewr thn antikatˆstash: y = u = u + u)d H ) grˆfetai: 3 + u 3 3) d u 2 2 u + u)d = u 3) ) du d 3 u 2 d + u d = 0 3 [ + u 3 u 3) d u 2 du ] = 0 3 d u 2 du ) = 0. Apì to mhdenismì thc parènjeshc prokôptei: d u 2 du = 0 d u2 du = 0. H teleutaða D.E. eðnai D.E. qwrizomènwn metablht n. An oloklhr soume paðrnoume: An jèsoume sthn 2) to ln 3 u3 = c. 2) u = y prokôptei: ln 3 y ) 3 = c pou eðnai h genik lôsh thc D.E. se peplegmènh morf. 2

13 Jèma 4. Na lujeð h diaforik eðswsh 2yy y = 0. LUSH H dosmènh D.E. grˆfetai isodônama: 2yy y = 0 2y d y2 + 2 = 0 2y d = y2 2 2y = y 2 2) d y 2 2) d 2y = 0 ) Oi sunart seic P, y) = y 2 2) kai Q, y) = 2y eðnai omogeneðc sunart seic Ðdiou bajmoô, afoô isqôoun: P λ, λy) = [ λy) 2 λ) 2] = λ 2 y 2 λ 2 2) = λ 2 y 2 2) = λ 2 P, y) k = 2 Qλ, λy) = 2λ)λy) = λ 2 2y) = λ Q, y) k = 2 ˆra h D.E. ) eðnai omogen c. Je roume thn antikatˆstash: Apì th sqèsh ) paðrnw: y = u [u = u)] ) = du ) = u ) d = u + u ) d = u + u) d 2) kai h diaforik eðswsh grˆfetai: u 2 2 2) d 2u u + u) d = 0 3

14 2 u 2 ) d 2 2 u u + u) d = 0 2 [ u 2 ) d 2u u + u) d ] = u 2 ) d 2u u + u) d = 0 u 2 ) ) du d 2u d + u d = 0 u 2 ) d 2u du + ud) = 0 u 2 ) d 2udu 2u 2 d = 0 u 2 ) d 2udu = 0 u 2 + ) d 2udu = 0 u 2 + ) d = 2udu d = 2u u 2 + du d + 2u u 2 + du = 0 H teleutaða D.E. eðnai D.E. qwrizomènwn metablht n. An oloklhr soume paðrnoume: d + 2u u 2 + du = c ln + u 2 + d u 2 + ) = c ln + ln u 2 + ) = c ln u 2 + ) = c 4

15 ìtan o logˆrijmoc mðac posìthtac eðnai stajerìc, tìte h posìthta eðnai stajer ) u 2 + ) = c An jèsoume u = y prokôptei: ) y = c pou eðnai h genik lôsh thc D.E. se peplegmènh morf. 5

16 Jèma 5. Na lujeð h diaforik eðswsh y = + y y. LUSH H dosmènh D.E. grˆfetai isodônama: y = + y y d = + y y y) = + y)d + y)d y) = 0 ) Oi sunart seic P, y) = + y) kai Q, y) = y) eðnai omogeneðc pr tou bajmoô omogèneiac, afoô isqôoun : ˆra h D.E. ) eðnai omogen c. P λ, λy) = λ + λy) = λ + y) = λ P, y) k = Qλ, λy) = λ λy) = λ [ y)] = λ Q, y) k = Je roume thn antikatˆstash: y = u [u = u)] ) Apì th sqèsh ) paðrnw: = du ) = u ) d = u + u ) d kai h diaforik eðswsh grˆfetai: = u + u) d 2) + u)d u) u + u) d = 0 + u)d u) u + u) d = 0 6

17 [ + u)d u) u + u) d] = u)d u) u + u) d = 0 ) du + u)d u) d + u d = 0 + u)d u) du + ud) = 0 d + ud du ud + udu + u 2 d = 0 + u 2 ) d + u )du = 0 + u 2 ) d = u )du d = u + u 2 du d + u + u 2 du = 0 H teleutaða D.E. eðnai D.E. qwrizomènwn metablht n. An oloklhr soume paðrnoume: An jèsoume prokôptei: u d + + u 2 du = c u ln + u 2 + du u 2 + du = c ln + 2 u 2 + d u 2 + ) τoξεϕu = c ln + 2 ln u 2 + ) τoξεϕu = c ln + 2 ln y 2 u = y ) 2 + y τoξεϕ = c ) pou eðnai h genik lôsh thc D.E. se peplegmènh morf. 7

Σχετικά έγγραφα

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERHS KAI ANWTERHS TAXHS

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERHS KAI ANWTERHS TAXHS 1. Grammikèc diaforikèc exis seic deôterhc kai an terhc tˆxhc