Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Μετασχηματισμός Z Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

2 Kefˆlaio 7 Metasqhmatismìc Z 7. Orismìc tou metasqhmatismoô Z O metasqhmatismìc Z apoteleð genðkeush tou metasqhmatismoô Fourier gia ta s mata diakritoô qrìnou. O metasqhmatismìc Z tou diakritoô s matoc x(n) orðzetai wc ex c X(z) = n= x(n)z n ìpou z eðnai migadik metablht. Eˆn jèsoume z = e iω, dhlad eˆn periorisjoôme sto monadiaðo kôklo, lambˆnoume to metasqhmatismì Fourier tou s matoc. To sônolo twn tim n tou z gia tic opoðec to ˆjroisma upˆrqei, onomˆzetai perioq sôgklishc. Prìkeitai gia to sônolo twn tim n thc metablht c z gia tic opoðec upˆrqei to akìloujo ˆjroisma n= x(n) z n <. Epomènwc h perioq sôgklishc orðzetai sto migadikì epðpedo me daktulðouc pou èqoun kèntro thn arq. Gia s mata peperasmènhc diˆrkeiac h perioq sôgklishc eðnai olìklhro to migadikì epðpedo, ektìc Ðswc twn shmeðwn ìpou z = 0 /kai z =. Gia aitiatˆ s mata, an o kôkloc z = r 0 an kei sthn perioq sôgklishc, tìte kˆje shmeðo tètoio ste z r 0 an kei epðshc. O antðstrofoc metasqhmatismìc Z dðdei to arqikì s ma x(n) = i2π X(z)z n dz, ìpou h olokl rwsh gðnetai me forˆ antðstrofh ekeðnhc twn deikt n enìc rologioô pˆnw se kleist kampôlh pou an kei sthn perioq sôgklishc kai perikleðei thn arq tou migadikoô epipèdou. Gia thn antistrof idiaðtera qr simoc mporeð eðnai o oloklhrwtikìc tôpoc tou Cauchy. O metasqhmatismìc Z tou diakritoô kroustikoô s matoc orðzetai gia kˆje migadikì arijmì kai eðnai. Parˆdeigma 7... Ac jewr soume to diakritì s ma x(n) = α n u(n). 54

3 O metasqhmatismìc Z ja eðnai X(z) = α n z n = n=0 αz, me perioq sôgklishc z > α. Eˆn jèsoume α = lambˆnoume to metasqhmatismì Z tou diakritoô bhmatikoô s matoc X(z) =, z >. z Parˆdeigma Ac eðnai o metasqhmatismìc Z 'Ara Opìte X(z) = z α z = z α X(z) = n=0, z < α. αz ( z n = α) ( z n+ = α) n=0 x(n) = α n u( n ). n= α n z n Parˆdeigma Ac eðnai o metasqhmatismìc Z X(z) = ( αz )( βz ), me α > β. MporoÔme na analôsoume se klˆsmata wc ex c X(z) = ( ) α α β αz β βz. Eˆn z > α, Eˆn α > z > β, x(n) = αn+ β n+ u(n). α β x(n) = α β (αn+ u( n ) + β n+ u(n)). Eˆn z < β, x(n) = βn+ α n+ u( n ). α β 55

4 7.2 Idiìthtec tou metasqhmatismoô Z Ac èljoume t ra se merikèc idiìthtec tou metasqhmatismoô Z.. Grammikìthta Eˆn X (z) eðnai o metasqhmatismìc Z tou s matoc x (n) me perioq sôgklishc R kai X 2 (z) eðnai o metasqhmatismìc Z tou s matoc x 2 (n) me perioq sôgklishc R 2, tìte o metasqhmatismìc Z enìc grammikoô sunduasmoô twn dôo a x (n) + a 2 x 2 (n) eðnai a X (z) + a 2 X 2 (z) me perioq sôgklishc pou egkleðei thn tom R R2. 2. Qronik metatìpish n= x(n n 0 )z n = z n 0 X(z) Sthn perioq sôgklishc eðnai endeqìmeno na prostejeð afairejeð to z = 0 to z =. 3. Antistrof qrìnou An X(z) eðnai o metasqhmatismìc Z tou s matoc x(n), tìte o metasqhmatismìc Z tou s matoc x( n) eðnai X( z ), me perioq sôgklishc thn antðstrofh thc arqik c. 4. Allag klðmakac sto migadikì epðpedo An X(z) eðnai o metasqhmatismìc Z tou s matoc x(n), tìte o metasqhmatismìc Z tou s matoc z0 nx(n) eðnai X( z z 0 ), me perioq sôgklishc ste to z z 0 na an kei sthn perioq sôgklishc tou X(z). 5. Sunèlixh O metasqhmatismìc Z thc y(n), pou prokôptei wc sunèlixh thc h(n) me th x(n) èqei wc ex c Y (z) = H(z)X(z) ìpou H(z) eðnai o metasqhmatismìc Z thc h(n), kai onomˆzetai sunˆrthsh metaforˆc tou sust matoc. H perioq sôgklishc tou metasqhmatismoô Y (z) egkleðei thn tom R R2, twn perioq n sôgklishc twn dôo mel n thc sunèlixhc. 6. Parag gish sto migadikì epðpedo IsqÔei ìti n= 7. Je rhma arqik c tim c Eˆn to s ma x(n) eðnai aitiatì, tìte nx(n)z n = zx (z). x(0) = lim z X(z). Parˆdeigma Ac jewr soume to diakritì s ma tou Sq matoc 6. x(n) = α n = α n u(n) + α n u( n) δ(n). 56

5 O metasqhmatismìc Z ja eðnai X(z) = αz + αz = α 2 + α 2 α(z + z), me perioq sôgklishc α > z > α. 'Ara ja prèpei na eðnai α <. Parˆdeigma Ac eðnai to diakritì s ma x(n) = αn+ β n+ u(n). α β O metasqhmatismìc Z tou s matoc ja eðnai X(z) = ( ) α α β αz β βz H perioq sôgklishc eðnai z > max( α, β ). = ( αz )( βz ). Parˆdeigma Efarmìzontac to prohgoômeno apotèlesma gia to diakritì s ma x(n) = brðskoume ìti o metasqhmatismìc Z ja eðnai H perioq sôgklishc eðnai z > r. X(z) = sin(n + )θ r n u(n), r > 0, sin θ 2r cos θz + r 2 z 2. Parˆdeigma Ac jewr soume to diakritì s ma x(n) = cos(ω 0 n)u(n) = 2 ( e iω 0 n + e iω 0n ) u(n). O metasqhmatismìc Z me perioq sôgklishc z > ja eðnai X(z) = ( ) 2 e iω 0 z + cos ω 0 z e iω = 0 z 2 cos ω 0 z + z 2. Parˆdeigma Ac jewr soume to diakritì s ma x(n) = α n u(n). O metasqhmatismìc Z tou y(n) = nx(n) ja eðnai Y (z) = αz ( αz ) 2. O metasqhmatismìc Z tou (n + )x(n) (Sq ma 7.) ja eðnai ( αz ) 2. 57

6 Sq ma 7.: H kroustik apìkrish enìc fðltrou deôterhc tˆxhc me diplì pìlo α = Metasqhmatismìc Z kai grammikˆ qronikˆ ametˆblhta sust mata Ac jewr soume t ra ta aitiatˆ sust mata me ˆpeirh kroustik apìkrish, pou dðdontai apì mða exðswsh diafor n N M a(k)y(n k) = b(k)x(n k). k=0 Efarmìzontac thn idiìthta thc metatìpishc gia to metasqhmatismì Z prokôptei ìti h sunˆrthsh metaforˆc autoô tou sust matoc eðnai Ðsh me to lìgo dôo poluwnômwn thc migadik c metablht c z, H(z) = Y (z) X(z) = B(z) M A(z) = k=0 b(k)z k N k=0 a(k)z k Oi rðzec tou B(z) onomˆzontai mhdenikˆ tou sust matoc, en oi rðzec tou poluwnômou tou paranomast onomˆzontai pìloi tou sust matoc. k= Sq ma 7.2: H bhmatik apìkrish enìc fðltrou pr thc tˆxhc. Parˆdeigma Ac jewr soume thn exðswsh diafor n y(n) = αy(n ) + u(n), n 0, y( ) = 0, α <. Qrhsimopoi ntac to metasqhmatismì Z brðskoume Y (z) = αz Y (z) + 58 z,

7 Y (z) = 'Ara h apìkrish ja eðnai (Sq ma 7.2) ( z )( αz ). y(n) = αn+ α u(n). Parˆdeigma To sôsthma me sunˆrthsh metaforˆc H(z) = 2r cos θz + r 2 z 2 = z 2 z 2 2r cos θz + r 2 = z 2 (z re iθ )(z re iθ ), r > 0, èqei èna diplì mhdenikì sthn arq kai dôo pìlouc: re iθ, re iθ Imaginary Part Real Part Sq ma 7.3: Oi pìloi enìc sust matoc deôterhc tˆxhc me dôo migadikèc rðzec. Ikan kai anagkaða sunj kh gia thn eustˆjeia enìc sust matoc eðnai h Ôparxh tou metasqhmatismoô Z pˆnw sto monadiaðo kôklo, n= h(n) <. 'Ara ja prèpei h perioq sôgklishc tou metasqhmatismoô Z thc kroustik c apìkrishc tou sust matoc na perilambˆnei to monadiaðo kôklo z =. EÐnai fanerì apì ton orismì thc eustˆjeiac, ìti ìla ta sust mata me peperasmènh kroustik apìkrish eðnai eustaj. Opìte, gia ta sust mata pou orðzontai mèsw thc exðswshc diafor n, h sunj kh eustˆjeiac mporeð na ekfrasjeð me bˆsh th jèsh twn riz n tou poluwnômou A(z). 'Ena fðltro me sunˆrthsh metaforˆc ìpwc parapˆnw eðnai eustajèc, eˆn, kai mìno eˆn, A(z) 0 gia z, dhlad eˆn ìloi oi pìloi eurðskontai entìc tou monadiaðou kôklou. Gia èna sôsthma pr thc tˆxhc h sunj kh thc eustˆjeiac eðnai α <. Gia èna sôsthma deôterhc tˆxhc me dôo migadikèc rðzec, ìpwc autì tou ParadeÐgmatoc 7.3.2, h sunj kh thc eustˆjeiac eðnai r <. 59

8 Τέλος Ενότητας

9 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Κρήτης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

10 Σημειώματα

11 Σημείωμα αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Παρόμοια Διανομή 4.0 [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί..

12 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Κρήτης, Γιώργος Τζιρίτας. «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς. Σημειώσεις: Μετασχηματισμός Ζ». Έκδοση:.0. Ηράκλειο/Ρέθυμνο 205. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: