ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΙΙ Εξετάσεις Ιουνίου 2002

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Εξετάσεις Ιουνίου (α) Αναπτύξτε την µέθοδο του τραπεζίου για τον αριθµητικό υπολογισµό του ολοκληρώµατος: b I( f ) = f ( x) a όπου f (x) συνεχής και ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο διάστηµα [ a, b]. Γράψτε το ολοκλήρωµα I( f ) σε µία κλειστή µορφή (ως άθροισµα) ώστε να µπορεί να υπολογιστεί αριθµητικά. (1.5Μ) (β) Χρησιµοποιώντας την µέθοδο του τραπεζίου για το υπολογισµό του ολοκληρώµατος I( f ) = 3 3 exp( x µε αριθµό υποδιαστηµάτων Ν=1 βρίσκουµε I ( f ) = 5.. Η πραγµατική τιµή του ολοκληρώµατος είναι 3 exp( x ) 3 ) π. ικαιολογήστε την απόκλιση της τιµής που υπολογίζουµε αριθµητικά από την ακριβή τιµή χρησιµοποιώντας το παρακάτω σχήµα: (1Μ) ΘΕΜΑ (α) Αναφέρετε τις αριθµητικές µεθόδους που γνωρίζετε για την εύρεση ριζών εξισώσεων της µορφής f( x ) = και τα απαραίτητα δεδοµένα που χρειάζεται η κάθε µία από αυτές προκειµένου να εφαρµοστεί.(.5μ) (β) Περιγράψτε τη µέθοδο Newton-Raphson και επιλέγοντας το κατάλληλο αρχικό σηµείο υπολογίστε τη θετική ρίζα της εξίσωσης ln( x) +.3x= µε υπολογιστή τσέπης και ακρίβεια τεσσάρων δεκαδικών ψηφίων.(1.5μ)

2 (γ) Αποδώστε σε πρόχειρα γραφήµατα δύο περιπτώσεις συναρτήσεων και αρχικών συνθηκών για τις οποίες η µέθοδος των Newton-Raphson αποτυγχάνει να συγκλίνει. (.5Μ) Θεωρείστε ότι έχετε καταχωρηµένα σε πίνακες τα ζεύγη τιµών ( x, f(x) ) ως εξής: x i x 1 x x 3 x 4 f(x i )=f i f 1 f f 3 f 4 Θεωρήστε επίσης ένα πολυώνυµο βαθµού n της µορφής n Pn( x) = a + a1x+ ax + + anx (α) Ποιος είναι ο µικρότερος βαθµός του πολυωνύµου (παρεµβολής) που διέρχεται και από τα τέσσερα ζεύγη τιµών του παραπάνω πίνακα; Αιτιολογήστε την απάντηση σας. (1 Μ) (β) Υπολογίστε τους συντελεστές ενός πολυωνύµου ου βαθµού που να διέρχεται από τα τρία πρώτα ζεύγη τιµών. (Ως συνάρτηση των δεδοµένων (x i, f i ), i=1,,3.) (1.5Μ) (α) Αναπτύξτε τη µέθοδο Taylor για την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης = f ( x, y) στο διάστηµα x [ a, b]µε αρχική συνθήκη y ( x = a) = c. (Για την αναδροµική σχέση κρατήστε µέχρι όρους δευτέρας τάξης στο ανάπτυγµα Taylor. ) (.75Μ) (β) Αναπτύξτε τη µέθοδο Euler για την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης d y + a y ( x) + b( x) = y ( x = a) = c και = d. (.75Μ) x= a στο διάστηµα x [ a, b] και µε αρχικές συνθήκες (γ) Η παρακάτω διαφορική εξίσωση είναι γνωστή ως εξίσωση απόσβεσης: dn = γ ( t) n( t), γ ( t) >. Εάν γ ( t) = ( t + 1) και n( t = ) = 1, επιλύστε την dt παραπάνω εξίσωση µε διαµέριση 5 σηµείων στο διάστηµα t [, 1] µε τη µέθοδο Taylor. (1Μ) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

3 Tm ma Epist mhc twn Ulik n Plhroforik II Exetˆseic periìdou IounÐou 5 HmeromhnÐa: 9/6/5 Ep numo:... 'Onoma:... Arijmìc mhtr ou: Jewr ste to parakˆtw orismèno olokl rwma: E n = 1 x n exp(x 1), n = 1,, Gia ton arijmhtikì upologismì tou E n qrhsimopoioôme tic parakˆtw anadromikèc sqèseic gia thn kataskeu sqetik n algorðjmwn: ìpou E 1 = 1/e. (a) E n = 1 ne n 1, n =, 3, (b) E n 1 = (1 E n )/n, n =,, 3 ìpou E =. UpodeÐxte poiìc apì touc dôo algìrijmouc eðnai eustaj c dokimˆzontac na upologðsete to olokl rwma gia n = 1, dhlad to E 1. DÐnetai h akrib c tim tou E 1 = Pou ofeðletai to sfˆlma ston upologismì tou E 1 ston astaj algìrijmo?. Qrhsimopoi ste th mèjodo Newton-Raphson gia thn eôresh thc rðzac thc exðswshc sin x.1x +.3 = sto diˆsthma [5, 7] me upologist tsèphc kai akrðbeia tri n dekadik n yhfðwn. 3. Gia thn kataskeu enìc amìrfou ulikoô yôqoume apìtoma to t gma tou apì uyhl jermokrasða se jermokrasða ugroô hlðou T = 4 K. Katˆ th diˆrkeia thc apìtomhc yôxhc sullèqjhkan oi parakˆtw timèc thc jermokrasðac se diaforetikèc qronikèc stigmèc: t (s) T (K)

4 UpologÐste tic timèc thc jermokrasðac T kai tou rujmoô yôxhc dt/dt tic qronikèc stigmèc t =, 36, 47 s qrhsimopoi ntac thn poluwnumik parembol (Lagrange). 4. DÐnetai to parakˆtw prìblhma arqik n tim n: = x y + me y() = kai x [, 1]. H analutik lôsh tou probl matoc eðnai y(x) = y anl (x) = 4e x + x(x ) + 4 BreÐte thn ˆgnwsth sunˆrthsh y num (x) kai arijmhtikˆ efarmìzontac th mèjodo Euler me b ma h =.. 'Eqontac epilôsei to prìblhma kai arijmhtikˆ sumplhr ste ton parakˆtw pðnaka: x y num y anl E ìpou E = y anl y num eðnai to sfˆlma ston arijmhtikì prosdiorismì thc sunˆrthshc. 'Ola ta jèmata eðnai isodônama H diˆrkeia thc exètashc eðnai rec

5 ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 5 (19-9-5) Επώνυμο:... Όνομα:... Α. Μ. :... Αναλύστε τη μέθοδο της διχοτόμησης για την εύρεση της ρίζας μιας εξίσωσης χρησιμοποιώντας κατάλληλο παράδειγμα ΘΕΜΑ Επιλύστε το παρακάτω γραμμικό σύστημα εξισώσεων εφαρμόζοντας απαλοιφή Gauss και πίσω αντικατάσταση. x + 3x + 3x x = x x + x + x = 1 x + x x + x = 1 x1+ x + x3+ x4 = Υπολογίστε το παρακάτω ολοκλήρωμα αριθμητικά χρησιμοποιώντας μια μέθοδο της αρεσκείας σας. 1 x sin x 1 Η ακρίβεια στον υπολογισμό του ολοκληρώματος να είναι μικρότερη του 1 -. Σώμα μάζας m = Kg αφήνεται να πέσει ελεύθερα ( v = ) από μεγάλο ύψος. Στο σώμα, εκτός από το βάρος του mg ασκείται οπισθέλκουσα δύναμη (τριβή του αέρα) ανάλογη της ταχύτητας του σώματος ( F = bv, b= 6Νs/m). Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα για το σώμα γράφεται: dv m = mg bv dt Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Euler συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα: t (s) v (m/s) Πόση είναι η οριακή ταχύτητα που αποκτά το σώμα; Δίνεται ότι g = 1 m/s.

6 ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Εξεταστική Ιουνίου 6 (1-9-6) Επώνυμο:... Όνομα:... Α. Μ. :... Περιγράψτε τη διαδικασία αριθμητικής εύρεσης της ρίζας μιας εξίσωσης με την μέθοδο Newton Raphson, χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. ΘΕΜΑ Ένα σωματίδιο κινείται σε μία διάσταση και η θέση του x για κάποιες χρονικές στιγμές t δίνεται από τον παρακάτω πίνακα: t (sec) x (cm) Χρησιμοποιώντας πολυωνυμική παρεμβολή, υπολογίστε τη θέση του σωματιδίου για t=.5,.75,1.5, καθώς και την ταχύτητά του για τις ίδιες χρονικές στιγμές. Ένα ραδιενεργό υλικό διασπάται σύμφωνα με την εξίσωση: dn = bn dt όπου Ν είναι οι πυρήνες που απομένουν αδιάσπαστοι και b σταθερά. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Euler συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα: t (s) Ν Δίνεται ότι b=1.5 s -1 ενώ για t= έχουμε Ν=1 πυρήνες. Υπολογίστε το παρακάτω ολοκλήρωμα αριθμητικά χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Simpson 1 3 I = ( x 3x + x 7) διαμερίζοντας το διάστημα της ολοκλήρωσης σε 5 διαστήματα. Κατόπιν, υπολογίστε το ολοκλήρωμα και αναλυτικά. Βρείτε το σχετικό σφάλμα της αριθμητικής ολοκλήρωσης (πόσο τοις εκατό διαφέρει η αριθμητική τιμή από το ακριβές αποτέλεσμα). Διάρκεια εξέτασης: ώρες ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

7 ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Εξεταστική Σεπτεμβρίου 6 (6-9-6) Επώνυμο:... Όνομα:... Α. Μ. :... Βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης f ( x) = xexp( x ) στο διάστημα [,1] με ακρίβεια.1 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Newton Raphson. ΘΕΜΑ Επιλύστε το παρακάτω γραμμικό σύστημα εξισώσεων εφαρμόζοντας απαλοιφή Gauss και πίσω αντικατάσταση. x + x 3x x = 1 x 3x + x + x = 1 x + x x + x = x1 x + x3 3x4 = 3 Δίνεται η διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης: xy = Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Euler συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα: Δίνεται ότι y()=1. x y Υπολογίστε το παρακάτω ολοκλήρωμα αριθμητικά χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Romberg 1 I x sin xd = x διαμερίζοντας το διάστημα της ολοκλήρωσης σε N=5 και 1 υποδιαστήματα. Διάρκεια εξέτασης: ώρες ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ