Μμκηειμπμίεζε θαη Aκάιοζε Βημσαηνηθώκ θαη Φοζηθώκ Σοζηεμάηςκ

Transcript

1 Μμκηειμπμίεζε θαη Aκάιοζε Βημσαηνηθώκ θαη Φοζηθώκ Σοζηεμάηςκ Γκδμπακεπηζηεμηαθό Δίθηομ Πακεπηζηεμίμο Παηνώκ Γπηζηεμμκηθόξ Υπεύζοκμξ:Τάζμξ Μπμύκηεξ Τμήμα Μαζεμαηηθώκ

2 MATHEMATICS DEPARTMENT Laboratory of Nonlinear Systems and Applied Analysis Tassos Bountis Spyros Pnevmatikos Jacobus P. van der Weele Vassilios Papageorgiou Computational Intelligence Laboratory Michael N. Vrahatis Panagiotis Alevizos Kostas Parsopoulos George Androulakis PHYSICS DEPARTMENT Laser Laboratory Petros Persefonis Vassilios Gianetas Mihalis Fakis George Tsigaridas DEPARTMENT OF MEDICINE Biosignal Processing Group Anastassios Bezerianos George Nikiforidis Eua Zacharaki

3 CHEMICAL ENGINEERING DEPARTMENT Process Control Laboratory Kostas Kravaris Ioannis Koukos Ekaterini Stamatelatou Computational Fluid Dynamics Laboratory Ioannis Tsamopoulos Vlasis Mavratzas Giannis Dimakopoulos MECHANICAL & AERONAUTICAL ENGINEERING DEPARTMENT Stochastic Mechanical Systems & Automation Laboratory Spilios Fassois Ioannis Sakellariou Dimitrios Dimogiannopoulos Fotis Kopsaftopoulos Ioannis Chios Minas Spyridonakos Pavlos Michailidis

4 ELECTRICAL & COMPUTER ENGINEERING DEPARTMENT Digital Signal and Image Processing Laboratory Thanos Stouraitis Applied Networked Μicro Mechatronics Antonios Tzes George Nikolakopoulos Marialena Vagia Leonidas Dritsas Ioannis Stergiopoulos Kostas Alexis Vaso Reppa Athanasia Panousopoulou Ioannis Koveos Efthymios Kolivas Statistical Signal Processing Group Nikos Galatsanos George Moustakidis Panagiotis Niavis George Avramides

5 Μαζεμαηηθή Θεςνία Γιέγπμο Δοκαμηθώκ Σοζηεμάηςκ Mηα δηδαθηηθή εηζαγςγή Τάζμξ Μπμύκηεξ Τμήμα Μαζεμαηηθώκ Πακεπηζηήμημ Παηνώκ

6 Σηαζενμπμίεζε Αζηαζμύξ Ιζμννμπίαξ: Η μέζμδμξ Ακαδναζηηθμύ Γιέγπμο Ακάιμγμο ηςκ Μεηαβιεηώκ (Proportional Feedback Control) Γλίζςζε θίκεζεξ: m mg sin u Θέημκηαξ θαη ιόγς ηεξ πνμζέγγηζεξ: sin o( ) Έπμομε ηειηθά ut () Φνεζημμπμηώ ημκ έιεγπμ: u( t) a ( t), a 0 Ακ θ > 0, μ έιεγπμξ ζπνώπκεη ημ εθθνεμέξ δεληά Ακ, θ< 0, μ έιεγπμξ ημ ζπνώπκεη ανηζηενά

7 Άνα ημ δοκαμηθό ζύζηεμα πμο πνέπεη κα ιύζμομε είκαη: a Οη ηδημηημέξ ηεξ ελίζςζεξ αοηήξ 0 2 a 1 0 i a 1 μδεγμύκ γηα α > 1 ζε ηαιακηώζεηξ, επμμέκςξ ΠΟΤΓ δεκ ζα μπμνέζμομε κα μδεγήζμομε ημ εθθνεμέξ ζε ηζμννμπία, με θ(t) 0 θαη dθ/dt 0, γηα t. Φνεζημμπμηώκηαξ όμςξ έιεγπμ ακάιμγμ ηεξ παναγώγμο u( t) a( t) b( t) Τμ δοκαμηθό ζύζηεμα γνάθεηαη ( t) b ( t) ( a 1) 0 με ηδημηημέξ 1,2 2 b b 4( a 1), b 0, a 1 2 μπόηε μ έιεγπμξ επηηογπάκεηαη γηα αιιά ζε άπεηνμ πνόκμ Τ=!... b 2 4( a1)

8 Χεθηαθόξ Έιεγπμξ Δηαθνηημύ Φνόκμο Μηα άιιε εθδμπή είκαη κα μεηαηνέρμομε ηε ζέζε θαη ηεκ ηαπύηεηα ζε ρεθηαθή μμνθή θαη κα βάιμομε ημκ Η/Υ κα οπμιμγίδεη ημοξ ειέγπμοξ. Οη ηημέξ ηςκ ( t), ( t) οπμιμγίδμκηαη ζε δηαθνηημύξ πνόκμοξ: 0, δ, 2δ, 3δ,...,δειαδή, ( k ), ( k ). Ο έιεγπμξ uk() t vk δηαηενείηαη ζηαζενόξ ζημ δηάζηεμα [kδ, (k+1)δ]

9 Λύκμκηαξ ηεκ ελίζςζε βνίζθμομε: θαη ut () γηα ημκ έιεγπμ αοηό ( k ) ( k ) uk tk ( k ) ( k ) uk tk () t e e u 2 2 ( k ) ( k ) uk tk ( k ) ( k ) uk () t e e 2 2 μπόηε ε ιύζε γνάθεηαη: k tk ( k ) ( k ) A ( k ) ( k ) Bu k με cosh sinh cosh 1 A, B sinh cosh sinh Θέημκηαξ: x k ( k) ( k) xk 1 Axk Buk x 1 ( A BF) x k k ακαδεημύμε έιεγπμ ηεξ μμνθήξ F ( f1, f2)

10 2 ( ABF) 0 Γίκαη όκηςξ δοκαηόκ κα βνμύμε f 1, f 2 ώζηε ώζηε κα έπμομε μδεγήζεη ημ ζύζηεμα ζε ηζμννμπία ζε 2 βήμαηα, δειαδή Τ=2δ. Αοηό επηηογπάκεηαη με ηεκ επηιμγή: f cosh 1 cosh 1 f cosh 1 sinh Γεκηθόηενα γηα Α θαη Β nxn πίκαθεξ, οπάνπεη ζεώνεμα πμο ελαζθαιίδεη όηη μπμνμύμε κα μδεγήζμομε ημ ζύζηεμα ζηεκ ανπή ηςκ αλόκςκ, 0, ακ θαη μόκμκ ακ μ πίκαθαξ Kalman ηθακμπμηεί C=C[A,B,]=[B,AB,A 2 B,.,A n-1 B] rank C[A,B]=n

11 Πανάδεηγμα: Έζης όηη ε ανπηθή μαξ ελίζςζε είκαη Υπμιμγίδμομε cos A sin sin cos 0 B 1 ut () 0 sin μπόηε μ πίκαθαξ CA, B έπεη rank = 2 1 cos δειαδή μ έιεγπμξ επηηογπάκεηαη ακ θαη μμκμκ ακ sinδ 0 Γεκηθά ημ πνόβιεμα ηεξ ειεγλημόηεηαξ εκόξ δοκαμηθμύ n ζοζηήμαημξ x( t) f ( x( t), u( t)), x( t), είκαη ε εύνεζε m θαηάιιειμο, ut () ώζηε κα μδεγείηαη ημ ζύζηεμα ζηεκ ηζμννμπία x = 0, γηά θάζε x(0), ζε πεπεναζμέκμ πνόκμ Τ.

12 Γιεγλημόηεηα Γναμμηθώκ Σοζηεμάηςκ Θεςνμύμε ημ δοκαμηθό ζύζηεμα ζοκεπμύξ πνόκμο: x( t) Ax( t) Bu( t), A nxn, B nxm πίκαθεξ πμο μπμνεί κα ελανηώκηαη από ημκ πνόκμ. Τμ Θεώνεμα Πνμζδημνηζμμύ Φάζμαημξ, γηα ζηαζενα Α, Β, ελαζθαιίδεη όηη γνάθμκηαξ u( t) Fx( t) μπμνμύμε γεκηθά κα βνμύμε F ηέημηεξ ώζηε όιεξ μη ηδημηημέξ ημο A BF κα έπμοκ ανκεηηθό πναγμαηηθό μένμξ. Αοηό ζεμαίκεη όηη x 0 για t = Τ. Βέιηηζημξ έιεγπμξ επηηογπάκεηαη όηακ μπμνμύμε κα βνμύμε u(t), πμο κα μδεγεί ζημ x(t) = 0 γηά θάζε Τ>0. Ονηζμέκμη ζογγναθείξ μάιηζηα μκμμάδμοκ αοηή ηε ζοκζήθε, ειεγλημόηεηα.

13 Σοκζήθε ημο Kalman To δοκαμηθό ζύζηεμα είκαη ειέγλημμ ζε πνόκμ Τ > 0, ακ θαη μόκμκ ακ μ πίκαθαξ Kalman έπεη rank C[A,B]=n. C=C[A,B,]=[B,AB,A 2 B,.,A n-1 B] Tη θάκμομε, όμςξ, όηακ μη πίκαθεξ Α θαη Β ελανηώκηαη από ημκ πνόκμ; Υπάνπεη ζεώνεμα πμο ελαζθαιίδεη ηεκ ειεγλημόηεηα ακ μ πίκαθαξ είκαη ακηηζηνέρημμξ. x( t) Ax( t) Bu( t) r( t) T 1 T 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C T M t B t B t M t dt 0

14 Παναδείγμαηα: 1) To ζύζηεμα με 2) Τμ ςξ άκς ζύζηεμα με x( t) Ax( t) Bu( t) t A( t) 0 t 0, B( t) t 1 είκαη ειέγλημμ, εκώ με Β=(0 0 1) δεκ είκαη! 0 1 cost A( t), B( t) 1 0 sint δεκ είκαη ειέγλημμ γηα θακέκα Τ>0. Γηαηί;

15 Μέζμδμη ζηαζενμπμίεζεξ πενημδηθώκ ηνμπηώκ 1) Έιεγπμξ OGY (Ott, Grebogi and Yorke, 1990) Έζης ημ δοκαμηθό ζύζηεμα μηα πανάμεηνμξ θαη, όπμο μηα αζηαζήξ ηνμπηά, πμο ζέιμομε κα ζηαζενμπμηήζμομε. Καηαζθεοάδμομε ηεκ aπεηθόκηζε Poincare θαη ηεκ γναμμηθμπμημύμε γύνς από ημ ζηαζενό ηεξ ζεμείμ xˆ P( xˆ, u k ), όπμο ˆx ηοπόκ (ζαγμαηηθό) ζεμείμ ηεξ xt ˆ( ) Αθμιμύζςξ, μεηαβάιιμομε ημ u k ζε θάζε επακάιερε, ώζηε ημ x k x F( x, u) xˆ( t) xˆ( t ) x k 1 P( xk, uk ), x k x( tk ) x( t ) k κα θείηαη πάκς ζηεκ εοζηαζή (εοθιείδεηα) πμιιαπιόηεηα ημο ζαγμαηηθμύ ζεμείμο. u

16 2) Η μέζμδμξ Continuous Feedback Control Πνμζζέημομε ζηεκ ελίζςζε ημο ζοζηήμαημξ x t πμο έπεη ηε γκςζηή ιύζε ˆ έκακ γναμμηθό όνμ x( t) F( x, t) L( xˆ ( t) x) όπμο L πναγμαηηθή πανάμεηνμξ. Αθμιμύζςξ, μεηαβάιιμομε ημ L θαη παναηενμύμε όηη γηα L > L crit (ή L< L crit ) ε ηνμπηά γίκεηαη εοζηαζήξ! Πανάδεηγμα: Θεςνμύμε έκα ζύζηεμα 2Ν+1 με γναμμηθώκ ηαιακηςηώκ d 2 u 2 n V u n u 1 2 u u 1, n N,..., 1,0,1,..., N n n n dt πμο δηαζέηεη γηα θάπμηεξ ηημέξ ημο α > α c μηα αζηαζή πενημδηθή ηνμπηά. uˆ ( t) uˆ ( t ) n x( t) x( t) n ( ) F( x, t)

17 d dt Γνάθμομε ηηξ εληζώζεηξ ηεξ θίκεζεξ ζηε μμνθή: 2 u ˆ 2 n V un un 1 un un 1 L un un d dt 2 όπμο ημ ˆ u n t ηθακμπμηεί 2 d dt 2 ˆ u n V ˆ u ˆ u 2 ˆ u ˆ u n n 1 n n 1 θαη εθανμόδμομε Continuous Feedback Control, όπςξ πενηγνάθεηαη ζηα: J. Bergamin, Ph.D. Thesis, Univ. of Patras, 2004, T. Bountis, J. Bergamin and V. Basios, Phys. Lett. A295, (2002).

18 Έπμομε απμδείλεη ηεκ θάηςζη Πνόηαζε: Γηα θάζε ηημή ηεξ ζηαζενάξ οπάνπεη ηημή L c ηέημηα ώζηε ε ιύζε u t ˆ u t κα είκαη αζομπηςηηθά εοζηαζήξ γηα L > L c. n n Έηζη, μέζς ηεξ παναμέηνμο L επηηύπαμε κα εηζαγάγμομε μηα επί πιέμκ δηάζηαζε ζε έκα εθηεηαμέκμ πώνμ θάζεςκ, ζημκ μπμίμ ημ L = 0 ακηηζημηπεί ζημκ ανπηθό πώνμ ημο πνμβιήμαημξ. Μεηαβάιιμκηαξ ηώνα ημ L μπμνμύμε κα ζοκεπίζμομε ηηξ ιύζεηξ μαξ ζε ηημέξ ημο α, γηα ηηξ μπμίεξ ε ιύζε μαξ un t ˆ un t γίκεηαη εοζηαζήξ θαη θαηόπηκ κα επηζηνέρμομε ζημ L=0, όπμο ε ιύζε είκαη αζηαζήξ, απμθεύγμκηαξ έηζη ημ ζεμείμ δηαθιάδςζεξ ζημ α = α c.

19 Bifurcation point O δνόμμξ πμο αθμιμοζμύμε ζημ πώνμ παναμέηνςκ α, L

20 α = 0.08 L=0 Η εοζηάζεηα μθείιεηαη ζημ όηη όιεξ μη ηδημηημέξ ημο μμκόδνμμμο πίκαθα θείκηαη πάκς ζημ μμκαδηαίμ θύθιμ.

21 α = 0.08, L=0.13 H πενημδηθή ιύζε έπεη γίκεη εοζηαζήξ

22 α = 0.082, L=0.13 Καη παναμέκεη εοζηαζήξ, εκώ...

23 α = 0.082, L=0...ακ θαηεβμύμε ζημ L=0, ηεκ ζοκακηάμε αζηαζή.

24 Σομπενάζμαηα Η μαζεμαηηθή ζεςνία ειέγπμο είκαη πμιύ πιμύζηα ζε μαζεμαηηθά απμηειέζμαηα πμο αθμνμύκ θονίςξ ζε γναμμηθά ζοζηήμαηα. Η με γναμμηθή ζεςνία ειέγπμο πενηέπεη επίζεξ πμιύ ζεμακηηθά απμηειέζμαηα πμο βαζίδμκηαη ζημ ακ ε πανάγςγμξ Frechet ημο δηακοζμαηηθμύ πεδίμο είκαη επί (surjective). Ακ δεκ είκαη, ημ πνόβιεμα ακάγεηαη ζηε ιύζε Φαμηιηώκημο ζοζηήμαημξ με δεζμμύξ ( H/ u 0). Σηα με γναμμηθά ζοζηήμαηα εηζάγεηαη ζοπκά ε έκκμηα ηεξ ζοκάνηεζεξ «θόζημοξ» T C( u) L( t, x( t), u( t)) dt 0 0 πμο πνέπεη κα ειαπηζημπμηεζεί ζηα πιαίζηα ηεξ Ανπήξ Μεγίζημο ημο Pondryagin.

25 Βηβιημγναθία Emmanuel Trélat, Controle Optimal: Théorie et Applications, Mathématiques Concrètes, Ed. Vuibert, Eduardo Sontag, Mathematical Control Theory, Texts on Applied Mathematics, Springer, 2 nd ed., 1998.