ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 5: Διασπορά Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

2 ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 ΘΕΩΡΙΑ

5 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (1) Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς ομάδες έχουν μέση βαθμολογία 6.

6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (2) Όμως αν δημιουργήσουμε τα σημειογράμματα τα για κάθε μία ομάδα χωριστά θα παρατηρήσουμε ότι διαφέρουν σημαντικά ως προς το πώς συγκεντρώνονται οι παρατηρήσεις γύρω από τον αριθμητικό μέσο.

7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (3) Ομάδα 1 Ομάδα 2 Ομάδα 3

8 ΤΙ ΔΕΙΧΝΕΙ Η ΔΙΑΣΠΟΡΑ Η διασπορά δείχνει το πόσο συγκεντρωμένες (ή το πόσο διασκορπισμένες είναι οι παρατηρήσεις του δείγματός μας γύρω από τον αριθμητικό μέσο.

9 ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ 1. Εύρος (Range) 2. Ενδοτεταρτημοριακή απόκλιση (Quartile Deviation) 3. Μέση απόκλιση (Mean Deviation) 4. Διακύμανση (Variance) 5. Τυπική απόκλιση (Standard Deviation) 6. Συντελεστής μεταβλητότητας (Coefficient of Variation)

10 ΕΥΡΟΣ (RANGE) Σύμβολο: R Τύπος: R=x max -x min με x max : η μέγιστη σε μέγεθος παρατήρηση x min : η ελάχιστη σε μέγεθος παρατήρηση Πλεονέκτημα: απλό στον υπολογισμό Μειονέκτημα: εξαρτάται μόνο από τις δύο ακραίες παρατηρήσεις του δείγματος x max και x min

11 ΕΝΔΟΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΑΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ Σύμβολο: QD Τύπος: QD=Q 3 -Q 1 με Q 1 : το πρώτο τεταρτημόριο Q 3 : το τρίτο τεταρτημόριο Πλεονέκτημα: απλό στον υπολογισμό Μειονέκτημα: εξαρτάται μόνο από τα 2 τεταρτημόρια

12 Σύμβολο: MD ΜΕΣΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ n xi x fi xi x Τύπος: MD= i 1 i 1 ή MD= (για κλάσεις) n με x i : η παρατήρηση i x : ο αριθμητικός μέσος των παρατηρήσεων Πλεονέκτημα: λαμβάνει υπόψη όλες τις παρατηρήσεις. Μειονέκτημα: Εκτός της ελάχιστης τιμής που μπορεί να λάβει δεν έχει κάποιο άνω φράγμα. n n

13 ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ Σύμβολο: Var, s 2 (για το δείγμα), σ 2 (για τον πληθυσμό) n ( x Τύπος: s 2 i = ή s 2 i i = (για κλάσεις) i 1 n x) 2 με x i : η παρατήρηση i x : ο αριθμητικός μέσος των παρατηρήσεων f i : η συχνότητα της παρατήρησης i Πλεονέκτημα: λαμβάνει υπόψη όλες τις παρατηρήσεις. Μειονέκτημα: Εκτός της ελάχιστης τιμής που μπορεί να λάβει δεν έχει κάποιο άνω φράγμα. Επίσης τετραγωνίζει τις μονάδες μέτρησης της. k i 1 f ( x n x) 2

14 ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ Σύμβολο: s (για το δείγμα), σ (για τον πληθυσμό) n ( x i i i Τύπος: s= ή s= (για κλάσεις) i 1 n x) 2 με x i : η παρατήρηση i x : ο αριθμητικός μέσος των παρατηρήσεων f i : η συχνότητα της παρατήρησης i Πλεονέκτημα: λαμβάνει υπόψη όλες τις παρατηρήσεις. Αποτετραγωνίζει τις μονάδες μέτρησης.7 Μειονέκτημα: Εκτός της ελάχιστης τιμής που μπορεί να λάβει δεν έχει κάποιο άνω φράγμα. Επίσης τετραγωνίζει τις μονάδες μέτρησης της. k i 1 f ( x n x) 2

15 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ Σύμβολο: CV Τύπος: CV= με s: η τυπική απόκλιση x s x 100% : ο αριθμητικός μέσος Πλεονέκτημα: Δεν έχει μονάδες μέτρησης. Λαμβάνει τιμές από 1 ως 100. Μειονέκτημα: Προϋποθέτει τον υπολογισμό του μέσου και της τυπικής απόκλισης.

16 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (1) 1. Αν σε κάθε παρατήρηση προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε την ίδια σταθερή τιμή, τότε η διακύμανση δεν μεταβάλλεται. s x c 2. Αν κάθε παρατήρηση πολλαπλασιαστεί ή διαιρεθεί με τον ίδιο αριθμό τότε η διακύμανση των νέων παρατηρήσεων πολλαπλασιάζεται ή διαιρείται με το τετράγωνο του αριθμού αυτού. s x

17 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (2) s c 2 s x c x 3. Αν όλες οι παρατηρήσεις είναι μεταξύ τους ίσες, τότε η διακύμανση είναι 0. Αν x 1 =x 2 = =x n =c, τότε s=0.

18 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (1)

19 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (2) μ=μ=τ 0

20 ΘΕΤΙΚΑ ΑΣΥΜΜΕΤΡΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Τ 0 <Μ<μ

21 ΑΡΝΗΤΙΚΑ ΑΣΥΜΜΕΤΡΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ μ<μ<τ 0

22 ΒΑΣΙΚΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Μπορούμε να μελετήσουμε μόνο το ένα μέρος της κατανομής και να εκτιμήσουμε με ακρίβεια τι θα συμβεί για το άλλο. Παράδειγμα: Συμμετρική κατανομή με μέσο μ=5 και 1 ο τεταρτημόριο 3, θα έχει τρίτο τεταρτημόριο το 7

23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

24 ΑΣΚΗΣΗ 1 (1) Πωλήσεις 400 επιχειρήσεων Πωλήσεις σε ευρώ Αριθμός Επιχειρήσεων Σύνολο 400

25 ΑΣΚΗΣΗ 1 (2) Να υπολογιστούν: 1. Μέσες πωλήσεις 2. Διάμεσες πωλήσεις 3. Επικρατούσες πωλήσεις 4. Μέση απόκλιση πωλήσεων

26 ΑΣΚΗΣΗ 1 (3) 5. Διακύμανση πωλήσεων 6. Τυπική απόκλιση πωλήσεων 7. Συντελεστής μεταβλητότητας πωλήσεων 8. Να ελέγξετε τη συμμετρία των πωλήσεων

27 ΤΕΛΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ