Ταξινόµηση. Παύλος Εφραιµίδης. οµές εδοµένων και

Transcript

1 Παύλος Εφραιµίδης 1

2 Το πρόβληµα της ταξινόµησης 2

3 3 ίνεται πολυ-σύνολο Σ µε στοιχεία από κάποιο σύµπαν U (πχ. U = το σύνολο των ακεραίων αριθµών). του Σ είναι η επιβολή µιας διάταξης στα στοιχεία του συνόλου Σ. Ένας αλγόριθµος ταξινόµησης δέχεται ως είσοδο ένα πολυ-σύνολο Σ και µε βάση µια δεδοµένη σχέση διάταξης δίνει στην έξοδο τα στοιχεία του Σ διατεταγµένα.

4 ταξινόµησης Φυσαλιδωτή ταξινόµηση (Bubble sort) Ενθετική ταξινόµηση (Insertion sort) Ταχυταξινόµηση (Quicksort) Συγχωνευτική ταξινόµηση (Merge sort) 4

5 Φυσαλιδωτή (Bubble sort) Ένας απλός και ιδιαίτερα διαδεδοµένος αλγόριθµος ταξινόµησης Βασική αρχή του αλγορίθµου: Σαρώνει τη λίστα των αριθµών εναλλάσσοντας παρακείµενα στοιχεία που είναι εκτός διάταξης Μετά από ένα αριθµό σαρώσεων η λίστα θα ταξινοµηθεί 5

6 Ψευδοκώδικας 1. for (int i = 0; i < A.length; i++ ) { 2. for (int j = A.length - 1; j > i; j-- ) { 3. if (A[j] < A[j-1]) { 4. ανταλλαγή (swap) A[j-1], A[j] 5. } 6. } 7. } 6

7 Πολυπλοκότητα Πολυπλοκότητα χειρότερης περίπτωσης για πίνακα µε n στοιχεία Στο 1o πέρασµα θα χρειαστούν n-1 συγκρίσεις Στο 2 ο πέρασµα n-2 συγκρίσεις Στο n-1 πέρασµα, 1 σύγκριση Σύνολο: 2 ( n -1) + ( n - 2) = n( n 1) = O( n ) 1 2 7

8 Σέικερ (Shaker sort) 8 Παραλλαγή της ταξινόµησης φυσαλίδων Βασική αρχή του αλγορίθµου: Η shaker sortείναι µια απλά παραλλαγή της ταξινόµησης φυσαλίδων (bubble sort) στην οποία η σάρωση του πίνακα γίνεται εναλλάξ από την αρχή προς το τέλος και από το τέλος προς την αρχή Ποια η πολυπλοκότητα χειρότερης περίπτωσης;

9 Ενθετική ταξινόµηση (Insertion sort) Βασική αρχή: Επιλέγει ένα-ένα τα στοιχεία της µη- ταξινοµηµένης ακολουθίας και τα εισαγάγει σε µια ταξινοµηµένη λίστα 9

10 Ψευδοκώδικας 1. for (int j = 2; j < A.length; j++ ) { 2. κλειδί = Α[j]; 3. // Ενθέτουµε το A[j] στην ταξινοµηµένη // ακολουθία Α[1..j-1] 4. i = j 1; 5. while (i > 0 && A[i] > κλειδί) { 6. A[i+1]=A[i]; 7. i--; 8. } 9. A[i+1] = κλειδί 10.} 10

11 Πολυπλοκότητα Έχουµε δείξει ότι η πολυπλοκότητα χειρότερης περίπτωσης είναι O(n 2 ) 11

12 Συγχωνευτικήταξινόµηση (Merge sort) Βασική αρχή: Για να ταξινοµήσουµε τα στοιχεία ενός µιας ακολουθίας ιαίρει:χωρίζουµετην : ακολουθία σε δύο ίσου (ή σχεδόν ίσου) µεγέθους τµήµατα Κυρίευε: Εφαρµόζουµε αναδροµικά τη συγχωνευτική ταξινόµηση σε κάθε ένα από τα τµήµατα Συνδύασε:Όταν τα δύο τµήµατα έχουν ταξινοµηθεί, τα συγχωνεύουµε (merge) σε µία ενιαία ταξινοµηµένη ακολουθία 12

13 Παράδειγµα MergeSort βήµα Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Αλγοριθµικές Τεχνικές

14 Ψευδοκώδικας 1. mergesort (A, p, r) { 2. if (p < r) { 3. q = (p+r)/2 4. mergesort(a, p, q); 5. mergesort(a, q+1, r); 6. merge(a, p, q, r); 7. } 8. } 14

15 Πολυπλοκότητα ιαίσθηση: Για n στοιχεία θα έχουµε logn+1 επίπεδα διαιρέσεων Σε κάθε επίπεδο το κόστος είναι της τάξης του n Σύνολο; 15

16 συγχωνευτική ταξινόµηση αναδροµική σχέση για το χρόνο εκτέλεσης: T ( n ) λύση: Θ (1),εάν n= 1 = 2 T ( n / 2) +Θ ( n),εάν n> 1 T(n)=Θ(n lgn) 16

17 Ταχυταξινόµηση (Quicksort) Βασική αρχή: Σε κάθε βήµα του αλγορίθµου επιλέγεται ένα τυχαίο στοιχείο A[q] του πίνακα Α,, ιαίρει: τα στοιχεία του Αχωρίζονται σε αυτά που είναι µικρότερα από το Α[q] και σε αυτά που είναι µεγαλύτερα από το A[q] Κυρίευε: Εφαρµόζεταιαναδροµικά η ίδια διαδικασία σε κάθε ένα από τα τµήµατα του Α που προέκυψαν Συνδύασε: εν απαιτεί καµία ενέργεια 17

18 ΨευδοκώδικαςΤαχυταξινόµησης 1. quicksort(α, p, r) { 2. if (p < r) { 3. q = ιαµέριση(a, p, r); 4. quicksort(a, p, q-1); 5. quicksort(a, q+1, r); 6. } 7. } 18

19 Πολυπλοκότητα Χειρότερη περίπτωση: O(n 2 ) Ιδανική Περίπτωση: Ο(nlogn) Μέση/Αναµενόµενη περίπτωση: Ο(nlogn), όπου ο συµβολισµός O(nlogn)κρύβει µια σταθερά λίγο µεγαλύτερη από ότι στην ιδανική περίπτωση 19

20 Πηγές/Αναφορές Εισαγωγή στους αλγορίθµους, Κεφάλαια 2, 3 και 7 οµές εδοµένων, Π. Μποζάνης, Κεφάλαια 3, 4 και οµές εδοµένων, N. Wirth, Κεφάλαιο 2 20