Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής.

Transcript

1 η Εφαρμογή (Το επιτυχημένο service) Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. Νεαρός τενίτας που έχει ύψος h ν =,6m εκτελεί service και το μπαλάκι φεύγει από ύψος h =,4m πάνω από το κεφάλι του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ. H θέη από την οποία πραγματοποιείται το service απέχει από το δίχτυ οριζόντια απόταη =m.ο τενίτας για να μη διακινδυνεύει την επιτυχία του service φροντίζει το μπαλάκι να περνάει ε κατακόρυφη απόταη τουλάχιτον h =cm πάνω από το δίχτυ που έχει ύψος h δ =,9m. Το service είναι επιτυχημένο όταν το μπαλάκι κτυπάει εντός της περιοχής του service δηλαδή ε οριζόντια απόταη το πολύ =6,4m από το δίχτυ. Να προδιοριτούν οι επιτρεπτές τιμές για το μέτρο της ταχύτητας βολής, ώτε το service να είναι επιτυχημένο. Δίνονται : =m/s, =, 44 και 5 =, 6, η αντίταη του αέρα θεωρείται αμελητέα. υ h δ h h h ν Λύη Το μπαλάκι εκτελεί οριζόντια βολή από ύψος h ν h από το έδαφος. Η ανάλυη της κίνηής του το κατακόρυφο ύτημα υντεταγμένων Ο του χήματος δίνει ότι η προβολή της μπάλας τον άξονα Ο εκτελεί ευθύγραμμη κίνηη, άρα =υ t () και τον κατακόρυφο άξονα Ο εκτελεί ελεύθερη πτώη, άρα = t (). Με απαλοιφή του χρόνου από τις () και () προκύπτει η εξίωη τροχιάς που είναι παραβολική : = υ ()

2 (, h h ν -(h δ h )) Γ O υ h δ h ( Γ, h h ν ) h h ν Για να είναι επιτυχημένο το service πρέπει:. όταν το μπαλάκι βρίκεται πάνω από το δίχτυ το ημείο Α (, h h ν -(h δ h )) να ιχύει: h ν h - (h δ h ) () = υ h ν h - (h δ h ) υ h h (h h ) ν δ υ h h (h h ) ν δ υ,6,4 (,9,) υ 6,8 m/s (4) και. όταν το μπαλάκι κτυπάει το έδαφος το ημείο Γ ( Γ, h h ν ) να ιχύει: Γ (5) υ 5 m/s Ο ολικός χρόνος κίνηης μέχρι να φθάει το μπαλάκι το έδαφος υπολογίζεται από τη χέη (): = h ν h t ολ = h ν h t ολ = ν h h διανύει το μπαλάκι μέχρι να κτυπήει το έδαφος(βεληνεκές) είναι : Γ (s ) = υ t = υ ν (7) β ολ Γ h h (6).Η μέγιτη οριζόντια απόταη που Από (5) (7) h h υ ν υ h h ν υ 6, 4 υ 9, 5 υ, 6, 4 9, 87 m/s (8). Από (4) και (8) : 6,8 m/s υ 9, 87 m/s

3 Σχόλιο Το μήκος ενός γηπέδου τένις για «μονό» αγώνα είναι,77m 8,m(,97m το «διπλό») και διαιρείται από το δίχτυ ε δύο ία τμήματα μήκους,89m καθένα. Το δίχτυ έχει ύψος,94m και ο χώρος του service έχει μήκος 6,4m.Το μπαλάκι έχει διάμετρο από 6,5cm έως 6,67cm. Συνεπώς τα αριθμητικά δεδομένα της εφαρμογής είναι χεδόν ρεαλιτικά. Η ταχύτητα των 9,87m/s αντιτοιχεί ε 4,7 Km/h, η μεγαλύτερη ταχύτητα service που έχει καταγραφεί είναι 6Km/h. η Εφαρμογή (Όταν το μήκος του νήματος καθορίζει την επιτυχία της βολής) Στην οροφή τερεώνεται το ένα άκρο αβαρούς μη ελατικού νήματος μήκους το άλλο άκρο του οποίου έχει υνδεθεί μικρή φαίρα μάζας m.το ύτημα αρχικά ιορροπεί την κατακόρυφη θέη του νήματος και η φαίρα απέχει από το δάπεδο απόταη ίη με το μήκος του νήματος.ανυψώνουμε τη φαίρα μέχρι το νήμα να βρεθεί την οριζόντια θέη και την αφήνουμε ελεύθερη. Αν το νήμα πάει όταν βρεθεί την κατακόρυφη θέη: α. Να υπολογίετε το όριο θραύης του νήματος (Τ θρ ). β. Μετά τη θραύη του νήματος η φαίρα εκτελεί οριζόντια βολή. Να υπολογίετε το μήκος του νήματος, ώτε η φαίρα να κτυπήει μικρό κουτί-τόχο που βρίκεται το δάπεδο ε οριζόντια απόταη από τη θέη βολής της φαίρας και το ίδιο κατακόρυφο επίπεδο με αυτό που κινείται η φαίρα. Δίνονται η μάζα της φαίρας m, η απόταη, η Η αντίταη του αέρα θεωρείται αμελητέα. Λύη α. Κατά την κίνηη της φαίρας από τη θέη Α τη θέη Ο δέχεται την επίδραη του βάρους και της δύναμης από το νήμα (τάη).το βάρος είναι υντηρητική δύναμη και η τάη του νήματος δεν εκτελεί έργο καθώς είναι διαρκώς κάθετη την ταχύτητα, έτι η μηχανική ενέργεια διατηρείται ταθερή : Ε Μ(Α) =Ε Μ(Ο) U β(α) Κ (Α) = U β(ο) Κ (Ο). Θεωρούμε ως επίπεδο μηδενικής βαρυτικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από τη θέη Ο: () () (O) T (O) (O) m υ Σ(, )

4 m = mυ υ = () Η υνιταμένη των δυνάμεων κατά τη διεύθυνη του νήματος τη θέη Ο αποτελεί την () mυ m κεντρομόλο δύναμη : F κ(o) = T(O) - m = T(O) - m = T(O) - m T(O) m Επειδή το νήμα πάει τη θέη (Ο), Τ θρ =m. β. Για την οριζόντια βολή που εκτελεί η φαίρα μετά την θραύη του νήματος από ύψος : Αναλύουμε την κίνηη της φαίρας το κατακόρυφο ύτημα υντεταγμένων Ο του χήματος, η προβολή της φαίρας τον άξονα Ο εκτελεί ευθύγραμμη κίνηη, άρα =υ t () και τον κατακόρυφο άξονα Ο εκτελεί ελεύθερη πτώη, άρα = t ().Με απαλοιφή του χρόνου από τις () και () προκύπτει η εξίωη τροχιάς που είναι παραβολική : = υ (4) Για να κτυπήει η φαίρα το κουτί τόχο πρέπει το ημείο Σ (s β =, ) να είναι το τελευταίο ημείο της τροχιάς της, δηλαδή να επαληθεύει με τις υντεταγμένες του το ύτημα O την εξίωη τροχιάς: Από την (4) (=s β =) (= ) = υ (=s β =) () = = (= ). υ 4 η Εφαρμογή (Η ταχύτητα του νερού καθορίζει το πλάτος του πεζόδρομου) Ένας αρχιτέκτονας χεδιάζει έναν τεχνητό καταρράκτη για την επικείμενη ανάπλαη του Φαληρικού Δέλτα. Το νερό που ρέει ε ένα οριζόντιο τεχνητό κανάλι με ταχύτητα μέτρου υ =m/s πρόκειται να πέφτει από ύψος h=,m μέα ε μία τεχνητή λίμνη. α. Ο χώρος κάτω από τον καταρράκτη θα είναι αρκετός για να επιτρέπει τον περίπατο των πεζών, αν το πλάτος του πεζόδρομου πρέπει να είναι τουλάχιτον =,5m; β. Ποια η ελάχιτη τιμή του μέτρου της ταχύτητας των μορίων του νερού ώτε να διαφαλίζεται το ελάχιτο πλάτος πεζόδρομου του προηγούμενου ερωτήματος; γ. Ο αρχιτέκτονας για να παρουιάει το χέδιό του θέλει να κατακευάει μία μακέτα με κλίμακα :6. Με ποια ταχύτητα πρέπει να ρέει το νερό το κανάλι της μακέτας; Να θεωρήετε ότι τα μόρια του νερού κινούνται μόνο υπό την επίδραη της βαρυτικής δύναμης. Δίνεται =m/s. h 4

5 Λύη α. Τα μόρια του νερού εκτελούν οριζόντια βολή από ύψος h=,m. Όταν φτάνουνε το ύψος της λίμνης οι υντεταγμένες τους είναι (s β,h). Από την εξίωη τροχιάς έχουμε: =s β h β υ =h = s = υ h O υ, s β = s β =,6m Επειδή s β >=,5m ο χώρος του χεδιαζόμενου πεζόδρομου είναι αρκετός. h β. Πρέπει sβ υ υ υmin υmin,5 h h 6, 4 υ,875m / s min γ. Επειδή η μακέτα θα κατακευατεί με κλίμακα :6 θα πρέπει αυτήν το ύψος βολής του νερού h να γίνει h = h και το πλάτος του πεζόδρομου να γίνει =. Επαληθεύοντας την 6 6 εξίωη τροχιάς για τις διατάεις της μακέτας προκύπτει h = ' h υ' 6 6 υ' υ',6, υ' h υ',6 υ',5m / s 4 η Εφαρμογή (Συνάντηη το κεκλιμένο) Από Ο λείου κεκλιμένου επιπέδου πολύ μεγάλου μήκους και γωνίας κλίης ˆφ = εκτοξεύεται οριζόντια μικρή φαίρα με ταχύτητα μέτρου u.ταυτόχρονα από το ίδιο ημείο Ο μια δεύτερη όμοια φαίρα εκτοξεύεται κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου με ταχύτητα μέτρου υ =m/s.οι δύο φαίρες κινούνται το ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Να υπολογίετε : α. το χρόνο υνάντηης (t ) των δύο φαιρών, β. το μέτρο της ταχύτητας u, ώτε οι δύο φαίρες να υναντώνται ε ημείο του κεκλιμένου επιπέδου, γ. την απόταη του ημείου υνάντηης των δύο φαιρών από το ημείο Ο. Δίνεται η =m/s, η αντίταη του αέρα θεωρείται αμελητέα. Ο υ u ο 5

6 Λύη α. ος τρόπος Έτω ότι δύο φαίρες υναντώνται το ημείο Α του κεκλιμένου επιπέδου. Η φαίρα που βάλλεται οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ το καρτειανό ύτημα υντεταγμένων O του Σχήματος έχει μετατόπιη so μέτρου ίου με αυτό της μετατόπιης της φαίρας που βάλλεται επί του λείου κεκλιμένου επιπέδου με αρχική ταχύτητα υ, άρα: so υt t so υt (ημ )t s = t,5t () O Ο υ u ο ( ο, ) (Σχήμα ) Αναλύουμε την κίνηη της φαίρας που βλήθηκε με αρχική ταχύτητα u και για τις προβολές της τους άξονες Ο και O αντίτοιχα έχουμε: = ut () και = t () Αλλά = sοαυν (4) και = sοαημ (5). () Από (5) () t = 5t, 5t 5t, 5t 5t, 75t - 5t = t = απορ. t = s (6), 5t (t - 4) = 4 () β. Από (4) () u m / s (7) ος τρόπος ut ( t,5t )υν ο (6) u = 9 Η ευθεία που αντιτοιχεί το κεκλιμένο επίπεδο τέμνει την παραβολική τροχιά που διαγράφει η φαίρα που βάλλεται οριζόντια το ημείο Α (, ), άρα: o = εφ t = ut 5t u t = u t = απορ. t = (') 5 Αλλά =s O ημ ο () = (t, 5t )ημ 5t 5t, 5t, 75t 5t = 6

7 t = απορ., 5t (t - 4) = 4 t = s (') Από ( ) και ( ): 5 4 υ = m / s ος τρόπος Επιλέγουμε να αναλύουμε την κίνηη της φαίρας που βάλλεται με οριζόντια ταχύτητα u ε ένα ύτημα αξόνων O όπου ο άξονας O έχει τη διεύθυνη το κεκλιμένο επίπεδο και ο άξονας Ο (Σχήμα ) είναι κάθετος το κεκλιμένο επίπεδο: = υ t ημ t = () ο () = u υν t ημt = u ημ t - υν t ο ο ο Από () και (): () (4) u Ο ο u υ u ο ( ο, ) (Σχήμα ) υ t ημ t = u υν t ημt ο ο υ u = = = m / s υν Από () και (4): (5) u 4 4 () = t,5 t t -,5 t =,5 t ( - t) = t = s γ. Από τον ο τρόπο (Σχήμα ) έχουμε: (6) Από () (7) (6) Από () 8 = m 9 8 = m 9 Η απόταη (ΟΑ)= s O = Α ΟΑ s ΟΑ = s = m

8 8