Θέμα: «Monte Carlo προσομοιώσεις φαινομένων αλλαγής φάσης σε κοκκώδη μαγνητικά υλικά»

Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής ΔΠΜΣ Ν&Ν Διπλωματική εργασία για το πρόγραμμα μεταπτυχιακών σπουδών «Νανοεπιστήμες & Νανοτεχνολογίες» Επιβλέπων Καθηγητής : κ. Πάνος Αργυράκης Θέμα: «Monte Carlo προσομοιώσεις φαινομένων αλλαγής φάσης σε κοκκώδη μαγνητικά υλικά» Μπατιστάκης Χρυσόστομος Θεσσαλονίκη 2009

2 Ευχαριστίες Η παρούσα διπλωματική εργασία έγινε στα πλαίσια του μεταπτυχιακού «Νανοεπιστήμες & Νανοτεχνολογίες». Επιβλέπων καθηγητής ήταν ο κ. Πάνος Αργυράκης τον οποίο θέλω να ευχαριστήσω θερμά, τόσο για την αφοσίωση που έδειξε στη δουλειά μου όσο και για τις χρήσιμες πληροφορίες και γνώσεις τις οποίες μου παρείχε, ώστε να παραχθεί ένα ολοκληρωμένο αποτέλεσμα. Η εκτέλεση της εργασίας καθώς και μεγάλο μέρος των προσομοιώσεων έγινε στο εργαστήριο του γκρουπ υπολογιστικής φυσικής του Α.Π.Θ. Θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους τους συναδέλφους μου για την αφοσίωση που έδειξαν σε κάθε πρόβλημα που αντιμετώπισα αλλά και για την ευχάριστη παρέα κατά τη διάρκεια της καθημερινής δουλειάς. Συγκεκριμένα, ευχαριστώ πολύ τους κυρίους Λουκά Σκαρπαλέζο και Νίκο Τσακίρη για την πολύ σημαντική συνεισφορά τους στην ολοκλήρωση του έργου μου, αλλά και για την τεράστια υπομονή τους κατά την εκπαίδευσή μου στις μεθόδους των προσομοιώσεων. Επίσης, ευχαριστώ πολύ τους κυρίους Κοσμά Κοσμίδη και Αντώνη Γκάρα για τις πολύτιμες επιστημονικές συμβουλές τους σε διάφορα προβλήματα που αντιμετώπισα κατά τη διάρκεια εκπόνησης αυτής της διπλωματικής εργασίας. Ευχαριστώ πολύ τον κύριο Αριστοτέλη Κίττα για τις γνώσεις που μου μετέδωσε στον προγραμματισμό. Θα ήθελα να ευχαριστώ τις γραμματείς του εργαστηρίου κα. Σοφία Τουράκου και κα. Ντίνα Χανιώτη για την ευχάριστη παρέα τους και της στήριξής τους σε όλη τη διάρκεια αυτής της δουλειάς. Θα ήθελα να ευχαριστήσω τη διεύθυνση και τους καθηγητές του μεταπτυχιακού, τόσο για τη γενικότερη γνώση που απέκτησα χάριν σε αυτούς όσο και για τη βοήθεια τους σε πρακτικά θέματα που προέκυπταν κατά τη διάρκεια της φοίτησής μου στο μεταπτυχιακό. Τέλος, ευχαριστώ τους γονείς μου, τον αδερφό μου και του φίλους για όλη τη στήριξη που μου παρέχουν όλα αυτά χρόνια.

3 Περίληψη Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετήθηκαν με Monte Carlo προσομοιώσεις τα φαινόμενα που διέπουν την αγωγιμότητα σε κοκκώδη μαγνητικά υλικά τα οποία κατασκευάζονται σε κάποια συγκεκριμένη συγκέντρωση μαγνητικού υλικού. Τα κοκκώδη αυτά μαγνητικά υλικά παρουσιάζουν ιδιαίτερες και μοναδικές καμπύλες μαγνητοαντίστασης, με απότομες και πολλές διακυμάνσεις σε συγκεκριμένες τιμές του μαγνητικού πεδίου. Όταν μαγνητικά νανοσωματίδια εναποτίθενται σε ένα μονωτικό υπόστρωμα τείνουν να σχηματίζουν νησίδες. Όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των νανοσωματιδίων, τόσο περισσότερες είναι οι νησίδες που σχηματίζονται οι οποίες με την πάροδο του χρόνου δημιουργούν μεγάλα συσσωματώματα (clusters). Η αγωγιμότητα τέτοιων υλικών καθορίζεται από τους κανόνες που διέπουν το φαινόμενο της διήθησης (percolation), το οποίο μας λεει ότι για να υπάρξει αγωγιμότητα πρέπει η συγκέντρωση των νησίδων να είναι μεγαλύτερη από κάποια κρίσιμη συγκέντρωση p c. Τα πάχος των υλικών στα οποία η συγκέντρωση των νησίδων είναι κοντά στην κρίσιμη συγκέντρωση ονομάζεται κρίσιμο πάχος. Τα υλικά που κατασκευάστηκαν κοντά στο κρίσιμο πάχος έδειξαν τις ιδιαίτερες διακυμάνσεις στη μαγνητοαντίσταση. Η εξήγηση που δόθηκε για τις διακυμάνσεις αυτές στηρίχθηκε στη θεωρία της διήθησης και συγκεκριμένα στην ύπαρξη των κόκκινων δεσμών. Σαν κόκκινοι δεσμοί ορίζονται οι δεσμοί από τους οποίους περνάει όλο σχεδόν το ρεύμα του υλικού και για αυτό το λόγο θεωρήθηκε ότι οι διακυμάνσεις οφείλονται στην αλλαγή της κατεύθυνσης της μαγνητικής ροπής τέτοιων δεσμών. Με σκοπό να μελετηθεί καλύτερα το παραπάνω φαινόμενο, έγινε μια προσπάθεια μοντελοποίησης των παραπάνω υλικών. Η μοντελοποίηση στηρίχθηκε στο μοντέλο των δικτυωτών αντιστάσεων (resistor network), το οποίο έχει χρησιμοποιηθεί εκτενώς στις προσομοιώσεις μαγνητικών υλικών λόγω της απλότητάς του και της ευελιξίας του. Οι κόμβοι του δικτύου των αντιστάσεων θεωρήθηκε ότι είναι μαγνητικά νανοσωματίδια με δύο πιθανές κατευθύνσεις της μαγνητικής ροπής και ότι οι αγωγιμότητες του δικτύου ότι αντικατοπτρίζουν την αγωγιμότητα μεταξύ κάθε ζεύγους κόκκων ή νησίδων που έρχεται σε επαφή. Έτσι έγινε μια ρεαλιστική αναπαράσταση της επιφάνειας του μαγνητικού υλικού. Τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων για την μαγνητοαντίσταση του υλικού ήρθαν σε πολύ καλή συμφωνία με τα πειραματικά δεδομένα. Μελετήθηκε επίσης η επιρροή των κόκκινων δεσμών στο σύστημα, μετρώντας τη συνολική αντίσταση πριν και μετά την αφαίρεση ενός κόκκινου δεσμού, για διάφορες τιμές της συγκέντρωσης των νανοσωματιδίων. Βρέθηκε ότι ο λόγος της αντίστασης μετά και πριν την αφαίρεση του κόκκινου δεσμού (R cut /R) εμφανίζει φαινόμενο κλίμακας σύμφωνα με τους τύπους κ 4/3 /L και κ/l 1/1.3, όπου κ είναι ο βαθμός αταξίας του συστήματος (αντιστρόφως ανάλογος με την συγκέντρωση) και L είναι το μέγεθος του συστήματος.

4 Summary In this work we studied with monte carlo simulations critical phenomena in granular ferromagnets embedded in an insulating substrate and constructed in a critical density of nanomagnetic grains. These kind of materials have characteristic magnetoresistance curves with many unique fluctuations. Magnetic nanoparticles that evaporated in an insulating matrix form islands. As the number of nanoparticles increases, islands begin to form that coalesce to larger clusters. The conductivity in such systems is determined in the terms of percolation theory. According to the percolation theory conductivity exists only when the concentration of nanomagnetic grain is higher than a critical density p c. The width of the materials whose density of islands is above the critical point p c is called critical width. Granular ferromagnets which formed near the critical width have these characteristic fluctuations in the magnterosistance curves. In order to explain these fluctuations, it is assumed that the total conductivity depends from some bottleneck grains, which acts as red bonds. A red bond is a bond of the system through which almost all the electrical current flows. Some pairs of grains may have the same properties as the red bonds. So the fluctuations are caused by the flip of the magnetic moment of the bottleneck grains. In order to test this hypothesis, we have performed large scale computer simulations. We constructed a Miller Abrahams two dimensional Random Resistor Network which has been previously used for the modeling of magnetic materials. The sites of the network are assumed to be nanomagnetic grains with two possible dimensions of their magnetic moments (up and down) and the local conductivities are assumed to be the contacts between neighboring pairs of grains. This way we have constructed a realistic model of the surface of the granular ferromagnetic material. The magnetoresistance curves are in good agreement with the experimental results. We also studied the impact of the red bonds in total conductivity. By measuring the quantity R cut /R (where R is the total resistance and R cut is the total resistance after removing a red bond) we confirm that it scales as κ 4/3 /L and κ/l 1/1.3, where κ is the measure of the disorder of the system ( κ is inversely proportional to the density of grains) and L is the system size.

5 Περιεχόμενα σελ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Περίληψη 1.1 Η χρησιμότητα των προσομοιώσεων στην επιστήμη Η μέθοδος προσομοιώσεων Monte Carlo Σκοπός της διπλωματικής εργασίας 4 5 Κεφάλαιο 2 Κοκκώδη σιδηρομαγνητικά υλικά Περίληψη 2.1 Γιγαντιαία μαγνητοαντίσταση Των μοντέλο των δυο ρευμάτων Κοκκώδη σιδηρομαγνητικά υλικά Καμπύλες μαγνητοαντίστασης κοκκώδους Ni πάνω σε μονωτικά υποστρώματα Συμπεράσματα Κεφάλαιο 3 Η θεωρία της διήθησης (Percolation Theory) Περίληψη 3.1 Εισαγωγή Το μοντέλο διήθησης σημείων (site percolation) Το μοντέλο διήθησης δεσμών (bond percolation) Καθορισμός των clusters (cluster labeling) Υπολογισμός των κρίσιμων πιθανοτήτων Κρίσιμες πιθανότητες στη διήθηση σημείων Κρίσιμες πιθανότητες στη διήθηση δεσμών 30 32

6 3.4 Η διήθηση σαν κρίσιμο φαινόμενο Δομικές ιδιότητες και fractal συμπεριφορά του φαινομένου της διήθηση Συμπεράσματα Κεφάλαιο 4 Το φαινόμενο της διήθησης σε κοκκώδεις σιδηρομαγνήτες Περίληψη 4.1 Εισαγωγή Το μοντέλο δικτύου αντιστάσεων Αντίσταση δύο σημείων στο δίκτυο αντιστάσεων Επίλυση του δικτύου αντιστάσεων εφαρμόζοντας του νόμους του Kirchhoff Κατανομή των αγωγιμοτήτων στο μοντέλο του δικτύου αντιστάσεων Προσομοιώσεις σε κοκκώδη μαγνητικά υλικά Καμπύλες μαγνητοαντίστασης Επιρροή των κόκκινων δεσμών Διακυμάνσεις της συνολικής αντίστασης 54 Συμπεράσματα Κεφάλαιο Τελικά συμπεράσματα Μελλοντική εργασία Μελλοντικές εφαρμογές 59 Αναφορές 60

7 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Περίληψη Σε αυτό το εισαγωγικό κεφάλαιο γίνεται μια αναφορά στην χρήση των προσομοιώσεων στην επιστήμη. Αναλύεται η φιλοσοφία της μεθόδου Monte Carlo και δίνονται κάποια συγκεκριμένα παραδείγματα που εφαρμόζεται. Τέλος, υπάρχει αναλυτικά ο σκοπός και οι στόχοι αυτής της διπλωματικής εργασίας

8 1.1 Η χρησιμότητα των προσομοιώσεων στην επιστήμη Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές τα τελευταία χρόνια λόγω της ραγδαίας ανάπτυξής τους έχουν γίνει αναπόσπαστο κομμάτι της επιστήμης. Η σημερινή υπολογιστική ισχύς, η χωρητικότητα της μνήμης ram, η χωρητικότητα των σκληρών δίσκων και η βελτιστοποίηση των υπολογιστικών πράξεων σε κλίμακα ακρίβειας (10 15 ) έχουν φέρει επανάσταση στον τομέα των προσομοιώσεων. Μεγάλης κλίμακας συστήματα με εκατοντάδες χιλιάδες μεταβλητές είναι πια προσιτό να επιλυθούν μέσα σε λίγα μόλις δευτερόλεπτα. Έτσι, γίνεται μια προσπάθεια μοντελοποίησης κάποιων φυσικών φαινομένων και επίλυσής τους στον ηλεκτρονικό υπολογιστή. Στον τομέα της φυσικής οι προσομοιώσεις έχουν γίνει απαραίτητο στοιχείο για μια ολοκληρωμένη έρευνα. Κάθε πειραματική έρευνα για να θεωρηθεί ολοκληρωμένη πρέπει να περιέχει την θεωρία από την οποία προήλθε και τα αποτελέσματα από τις αντίστοιχες προσομοιώσεις. Ούτως ή άλλως, η προσομοίωση από μόνη της θεωρείται ένα πείραμα, μιας και υπάρχει η διαδικασία κατασκευής της προσομοίωσης, η υλοποίησή της και τα αποτελέσματα. Οι προσομοιώσεις δεν αντικαθιστούν τη θεωρία αλλά είναι εργαλεία υλοποίησης της θεωρίας ώστε να γίνουν πιο κατανοητά κάποια περίπλοκα φαινόμενα. Η ερώτηση πώς μπορώ να προσομοιώσω ένα φυσικό πρόβλημα στον υπολογιστή οδήγησε σε νέους φορμαλισμούς των φυσικών νόμων και στην αντίληψη ότι είναι και πρακτικό αλλά και φυσικό να εκφραστούν οι νόμοι της φύσης σαν κανόνες που να τους αντιλαμβάνεται ένας ηλεκτρονικός υπολογιστής, χωρίς να αλλάζει το νόημα των νόμων, απλά αν εκφράζεται με διαφορετικές εξισώσεις. Αυτός ο νέος τρόπος σκέψης για τις φυσικές διαδικασίες έχει οδηγήσει πολλούς επιστήμονες να αντιλαμβάνονται τον υπολογιστή σαν ένα φυσικό σύστημα όπου πρέπει να κατασκευαστούν νέες υπολογιστικές δομές ώστε να μπορούν πιο αποδοτικά να μοντελοποιήσουν τα φυσικά φαινόμενα.

9 1.2 Η μέθοδος προσομοιώσεων Monte Carlo Η μέθοδος Monte Carlo είναι ουσιαστικά μια τεχνική αριθμητικής ανάλυσης η οποία στηρίζεται σε σειρές τυχαίων αριθμών οι οποίες αναπαριστούν τις τιμές του προς μελέτη προβλήματος. Η μέθοδος υπολογισμών που χρησιμοποιείται στις Monte Carlo προσομοιώσεις είναι ένα υπολογιστικό πρόγραμμα που είναι μαθηματικά ισοδύναμο με το πρόβλημα που μελετάται, π.χ. για τον υπολογισμό μίας μεταβλητής γίνεται στατιστική μελέτη κάποιες χιλιάδες φορές και ο μέσος όρος που προκύπτει αντικατοπτρίζει την τιμή αυτή. Έτσι η μέθοδος αυτή μπορεί εύκολα να θεωρηθεί μία πειραματική μέθοδος. Όπως σε όλες τις πειραματικές μεθόδους μπορεί να υπάρχουν σφάλματα σε μία μέτρηση τα οποία λύνονται επαναλαμβάνοντας το ίδιο πείραμα κάποιες φορές, έτσι και στις Monte Carlo προσομοιώσεις αυτό που καθορίζει την ακρίβεια ενός αποτελέσματος είναι το μέγεθος της στατιστικής μελέτης που πραγματοποιήθηκε για να παρθεί αυτό το αποτέλεσμα. Στις προσομοιώσεις Monte Carlo, ο σημαντικός παράγοντας είναι η χρήση των τυχαίων αριθμών. Η χρήση των τυχαίων διαδικασιών όμως για τη λύση μαθηματικών προβλημάτων είναι γνωστή με τον ένα ή τον άλλο τρόπο εδώ και πολλές δεκαετίες. Το 18 ο αιώνα ο μαθηματικός Georges Luis εφηύρε μια πειραματική μέθοδο για τον υπολογισμό του π, βασισμένη στη στατιστική ανάλυση. [26] Υπάρχουν διάφορα μαθηματικά και φυσικά προβλήματα τα οποία μπορούν να επιλυθούν με Monte Carlo μεθόδους. Παραδείγματα τέτοιων προβλημάτων είναι η διήθηση, το μοντέλο του Ising κ.α. Συγκεκριμένα το φαινόμενο της διήθησης είναι ένα καθαρά μαθηματικό μοντέλο που σε διάφορους τομείς του έχει προς το παρόν μόνο στατική λύση, η οποία φυσικά μπορεί να προέλθει μόνο μέσω Monte Carlo προσομοιώσεων. Εκτεταμένη χρήση γίνεται επίσης και σε πολύπλοκα δίκτυα, όπως οικονομικά, κοινωνικά και στη δομή του internet. Η επιλογή της γλώσσας προγραμματισμού είναι καθαρά θέμα του ίδιου του προγραμματιστή. Παλαιότερες γλώσσες όπως η Fortran και η C δίνουν τη δυνατότητα προσομοιώσεων σε μεγάλες τάξεις μεγέθους, αλλά είναι πιο δύσκολες στην εκμάθησή τους σε σχέση με πιο σύγχρονες γλώσσες όπως η C# και η Mathematica, οι οποίες όμως είναι πιο αργές. Ένας ολοκληρωμένος επιστήμονας των προσομοιώσεων θα πρέπει να ξέρει διάφορες γλώσσες, ώστε να μπορεί αναλόγως να λύσει το κάθε πρόβλημα που αντιμετωπίζει.

10 1.3 Σκοπός της διπλωματικής εργασίας Ο κύριος σκοπός αυτής της διπλωματικής εργασίας είναι η μοντελοποίηση διεπιφανειών μεταξύ αγώγιμων μαγνητικών νανοσωματιδίων και μονωτικών μη μαγνητικών στρωμάτων, όπου τα νανοσωματίδια κατανέμονται τυχαία πάνω στην επιφάνεια και προσκολλούνται σε αυτή. Τα συστήματα αυτά παρουσιάζουν μοναδικές διακυμάνσεις στην μαγνητοαντίσταση και για αυτό το λόγο είναι ιδιαίτερης σημασίας. Το ενδιαφέρον στο φαινόμενο της μαγνητοαντίστασης υπάρχει από πολλά χρόνια πριν[1]. Η μαγνητοαντίσταση είναι η αλλαγή της ηλεκτρικής αντίστασης ενός υλικού όταν εφαρμόζεται σε αυτό ένα μαγνητικό πεδίο. Το φαινόμενο της γιγαντιαίας μαγνητοαντίστασης (GMR) [2] έχει απασχολήσει πολύ την επιστημονική κοινότητα τα τελευταία 20 χρόνια. Οι βιομηχανικές εφαρμογές του φαινομένου (σκληροί δίσκοι, μαγνητικοί ανιχνευτές, μνήμες μαγνητικής εγγραφής (mram) κ.λ.π.) έδωσαν το βραβείο νόμπελ φυσικής σε αυτούς που το ανακάλυψαν[3]. Το φαινόμενο της μαγνητοαντίστασης βασίζεται στο γεγονός ότι μια πολυστρωματική δομή που αποτελείται από σιδηρομαγνητικά και μη σιδηρομαγνητικά στρώματα έχει μικρότερη αντίσταση όταν τα σιδηρομαγνητικά στρώματα είναι παράλληλα μαγνητισμένα. Γι αυτό ακριβώς το λόγο η GMR είναι ευαίσθητη στην παρουσία εξωτερικού μαγνητικού πεδίου. Ένα παρόμοιο φαινόμενο είναι η μαγνητοαντίσταση λόγω φαινομένου σήραγγος (tunneling magnetoresistance (TMR)), όπου το μημαγνητικό στοιχείο είναι μονωτικό υλικό. Σε αυτή την περίπτωση η αγωγιμότητα μεταξύ των σιδηρομαγνητικών στρωμάτων επιτυγχάνεται λόγω φαινομένου σήραγγος και είναι μέγιστη ξανά όταν τα σιδηρομαγνητικά στρώματα έχουν παράλληλη μαγνήτιση. Η TMR είναι η βασική αρχή που διέπει τη λειτουργία των μνημών μαγνητικής εγγραφής MRAM[4] Τα κοκκώδη σιδηρομαγητικά υλικά παρουσιάζουν επίσης φαινόμενα GMR και TMR, ωστόσο η θεωρητική κατανόησή τους αλλά και η μοντελοποίησή τους βρίσκεται ακόμη σε πολύ αρχικό στάδιο. Τα μαγνητικά νανοσωματίδια παρουσιάζουν πολλές μαγνητικές ιδιότητες (όπως μαγνήτιση, πεδία κόρου και μαγνητική ανισοτροπία) που διαφέρουν πολύ από τις αντίστοιχες στα bulk υλικά. Το κυριότερο χαρακτηριστικό τους όμως είναι ότι όταν ενσωματώνονται πάνω σε μονωτικό υπόστρωμα η αγωγιμότητά τους καθορίζεται από τη θεωρία της διήθησης (percolation theory). Πειραματικές έρευνες έδειξαν ότι τέτοια υλικά παρουσιάζουν πολλές ιδιομορφίες στις καμπύλες τις μαγνητοαντίστασης. Στις τελευταίες

11 βρέθηκαν πολλές διακυμάνσεις, αλλά και απότομα άλματα που έφταναν ακόμη και σε θετικές τιμές. Για κάποιες τιμές δηλαδή του εφαρμοζόμενου μαγνητικού πεδίου, υπήρχε μείωση και όχι αύξηση της αρχικής αντίστασης του υλικού. Οι ανακαλύψεις αυτές ώθησαν την επιστημονική κοινότητα στην προσπάθεια βαθύτερης κατανόησης του φαινομένου. Προτάθηκαν διάφορα υπολογιστικά μοντέλα και ένα από αυτά εφαρμόστηκε στην παρούσα δουλειά. Το συγκεκριμένο μοντέλο στηρίζεται στην προσομοίωση μαγνητικών υλικών με δίκτυο αντιστάσεων (resistor network), όπου οι κόμβοι του δικτύου θεωρούνται ότι είναι τα μαγνητικά νανοσωματίδια και οι αγωγιμότητές του σε κάθε κόμβο θεωρούνται ότι είναι οι αγωγιμότητα του μεταξύ κάθε ζεύγους νανοσωματιδίων που είναι σε επαφή. Η μοντελοποίηση τέτοιων υλικών είναι ιδιαίτερης σημασίας διότι είναι ο μοναδικός τρόπος για την πλήρη κατανόηση του φαινομένου. Μέχρι στιγμής έχουν γίνει σημαντικά βήματα στα μοντέλα προσομοιώσεων, πολλοί όμως είναι οι παράγοντες και τα φαινόμενα που δεν έχουν συμπεριληφθεί, γι αυτό υπάρχει πολύς δρόμος ακόμη μέχρι κάποιος να πει με σιγουριά ότι μπορούμε να προσομοιώσουμε όλες τις μαγνητικές και ηλεκτρικές ιδιότητες σε τέτοια υλικά. Σκοπός αυτής της εργασίας είναι να γίνει μια ανάλυση των πειραματικών δεδομένων που υπάρχουν μέχρι σήμερα (state of the art). Να υπάρξει πλήρης κατανόηση του φαινομένου της διήθησης και των υπολογιστικών μεθόδων που χρησιμοποιούνται για επίλυσή του και τον υπολογισμό των κρίσιμων σημείων του, τα οποία το κάνουν και τόσο σημαντικό. Τέλος, με τις προσομοιώσεις που έγιναν, σκοπός είναι να εξηγηθεί ο μηχανισμός διάχυσης του ηλεκτρικού ρεύματος στα προαναφερθέντα υλικά, να δοθεί μια πλήρης εικόνα των τροχιών του ρεύματος, να παραχθούν καμπύλες μαγνητοαντίστασης που να συμβαδίζουν με τα πειραματικά δεδομένα και να καθοριστεί εξάρτηση της μαγνητοαντίστασης από τη συγκέντρωση του μαγνητικού υλικού πάνω στο υπόστρωμα.

12 Κεφάλαιο 2 Κοκκώδη σιδηρομαγνητικά υλικά Περίληψη Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται μια εισαγωγή στο φαινόμενο της μαγνητοαντίστασης και στους φυσικούς νόμους που το διέπουν. Αναλύεται ο επικρατέστερος μηχανισμός που έχει προταθεί για την ροή του ηλεκτρικού ρεύματος μέσα σε μαγνητικά υλικά (μοντέλο των δύο ρευμάτων). Τέλος, παρουσιάζονται πειραματικά αποτελέσματα από κάποια κοκκώδη μαγνητικά υλικά τα οποία έχουν δημιουργηθεί σε κάποιο συγκεκριμένο πάχος. Τα υλικά αυτά παρουσιάζουν διακυμάνσεις στις καμπύλες της μαγνητοαντίστασης, οι οποίες και αναλύονται

13 2.1 Γιγαντιαία μαγνητοαντίσταση Το 1856 ο William Thomson παρατήρησε μεταβολές (<1 %) στην ηλεκτρική αντίσταση ενός αγώγιμου υλικού όταν τοποθετηθεί μέσα σε μαγνητικό πεδίο. Αυτό, όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, είναι το φαινόμενο της μαγνητοαντίστασης. Τα πειράματα που έκανε έδειξαν ότι ο σίδηρος και το νικέλιο (κλασσικά στοιχειακά σιδηρομαγνητικά υλικά μαζί με το Co) αντιλαμβάνονταν διαφορετικά το μαγνητικό πεδίο ανάλογα με τη σχετική του κατεύθυνση σε σχέση με το ηλεκτρικό ρεύμα που διαπερνούσε το υλικό. H μη ισότροπη αυτή συμπεριφορά της ηλεκτρικής αντίστασης με το μαγνητικό πεδίο ονομάστηκε ανισοτροπική μαγνητοαντίσταση και ποσοτικοποιήθηκε από μετρήσεις σε δύο μεταξύ τους κάθετους προσανατολισμούς, ενώ η φυσική της ερμηνεία αναζητήθηκε πολύ αργότερα σε μηχανισμούς σύζευξης μαγνητικών ροπών που κατά περίπτωση ευνοούν ή παρεμποδίζουν τη δίοδο των ηλεκτρονίων μέσα από υλικά ελαττώνοντας ή αυξάνοντας έτσι την αντίσταση τους. Το φαινόμενο της μαγνητοαντίστασης δεν βρήκε εφαρμογή για πολλά χρόνια, ώσπου το 1988 δύο ερευνητικά γκρουπ ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, ανακάλυψαν ότι κάποια υλικά εμφανίζουν πολύ μεγάλη μαγνητοαντίσταση, γνωστή ως γιγαντιαία μαγνητοαντίσταση (GMR). Τα υλικά αυτά είναι πολυστρωματικά λεπτά υμένια, αποτελούμενα από σιδηρομαγνητικά και μη μαγνητικά στρώματα πάχους κάποιων ατομικών στρωμάτων(εικόνα 1). Το πρώτο γκρουπ, με υπεύθυνο τον Peter Grunberg[3a], χρησιμοποίησε μια τριστρωματική δομή από Fe/Cr/Fe. Το δεύτερο γκρουπ με υπεύθυνο τον Albert Fert[3b], χρησιμοποίησε πολυστρωματικά υμένια (Fe/Cr) n, όπου το n μπορούσε να είναι έως 60. Nano Εικόνα 2.1.[3] Τα πολυστρωματικά λεπτά υμένια που χρησιμοποίησαν οι Grunberg (αριστερά) κ Fert (δεξιά). Στρώματα πάχους λίγων nm χωρίζονται από ένα άλλο μέταλλο, π.χ. χρώμιο ή χαλκό. Στην αριστερή εικόνα φαίνεται η τριστρωματική δομή Fe/Cr/Fe και στη δεξιά η πολυστρωματική δομή (Fe/Cr) n, με το n να φτάνει έως 60

14 Στην πραγματικότητα, δύο αξιοπρόσεκτες ιδιότητες παρατηρήθηκαν σε αυτά τα συστήματα: Α) Η πρώτη είναι η ύπαρξη μιας ισχυρής αντισιδηρομαγνητικής σύζευξης μεταξύ των στρωμάτων σιδήρου στα διάφορα στρώματα του χρωμίου. Για τα ιδιαίτερα διαστήματα πάχους του χρωμίου, αυτή η σύζευξη τείνει να ευθυγραμμίσει τη μαγνήτιση των διαδοχικών ταινιών Fe σε μια αντιπαράλληλη διαμόρφωση σε μηδενικό μαγνητικό πεδίο. Όταν ένα μαγνητικό πεδίο εφαρμόζεται στο επίπεδο της δομής, οι μαγνητικές στιγμές περιστρέφονται προς την κατεύθυνση τομέων έως ότου γίνουν παράλληλες στον κορεσμό. Β) Η δεύτερη αξιοπρόσεκτη παρατήρηση που γίνεται σε αυτά τα πολυστρωματικά υλικά είναι ότι η αλλαγή στη σχετική κατεύθυνση της μαγνήτισης των διαδοχικών στρωμάτων Fe συνοδεύεται από μια σημαντική μείωση στην ηλεκτρική ειδική αντίσταση της δομής όπως διευκρινίζεται στην εικόνα 2. Εδώ βλέπουμε αριστερά (εικόνα 2.2α) τις μετρήσεις από το γκρουπ του Grunberg και αριστερά τις μετρήσεις από το γκρουπ του Fert (εικόνα 2.2β). Καθόσον τα συστήματα του Fert περιείχαν μεγάλες ποσότητες στρωμάτων, έδειξαν μείωση της αντίστασης κατά 50%, όταν τέθηκαν σε μαγνητικό πεδίο. Η επιρροή του μαγνητικού πεδίου ήταν πολύ μικρότερη στα συστήματα Grunberg, αφού είχε τριστρωματική δομή αλλά και επειδή τα πειράματα έγιναν σε θερμοκρασία δωματίου (4.2Κ). Εικόνα 2.2. [3] Αριστερά: Μετρήσεις της μαγνητοαντίστασης για την τριστρωματική δομή Fe/Cr/Fe[3a] όπου η πολυστρωματική διαμόρφωση Fe/Cr οδηγεί σε μαγνητοαντίσταση > 60% σε χαμηλές θερμοκρασίες (4.2 Κ). Τέρμα δεξιά αλλά και τέρμα αριστερά της καμπύλης οι μαγνητίσεις των στρωμάτων του σιδήρου είναι παράλληλες στο μαγνητικό πεδίο, ενώ στην μέση είναι αντιπαράλληλες. Δεξιά: Μετρήσεις μαγνητοαντίστασης για την πολυστρωματική δομή (Fe/Cr) n [3b]. Τέρμα δεξιά (>Ηs, όπου το Hs είναι το πεδίο κόρου) και τέρμα αριστερά (< Hs) οι μαγνητίσεις όλων των στρωμάτων του σιδήρου είναι παράλληλες στο εξωτερικό μαγνητικό πεδίο. Στην περιοχή του χαμηλού μαγνητικού πεδίου κάθε δεύτερο στρώμα σιδήρου μαγνητίζεται παράλληλα στο εξωτερικό μαγνητικό πεδίο.

15 Το σημαντικά μεγαλύτερο μέγεθος στις μεταβολές αντίστασης έδωσε νέα ώθηση στην αναζήτηση και άλλων συστημάτων που να εμφανίζουν τέτοια συμπεριφορά αλλά και στην αναγκαιότητα θεωρητικής ερμηνείας των αποτελεσμάτων αυτών. Η κύρια πηγή της GMR είναι η εξάρτηση της σκέδασης των ηλεκτρονίων από το spin. Το μαγνητικό υλικό αντιδρά διαφορετικά στα ηλεκτρόνια ανάλογα με την κατεύθυνση του spin τους (2 δυνατές καταστάσεις πάνω και κάτω). Στην εικόνα 2.3 γίνεται μια σχηματική αναπαράσταση της σκέδασης των ηλεκτρονίων ανάλογα με τον προσανατολισμό του σπιν τους και φαίνεται ξεκάθαρα ο μηχανισμός που διέπει το φαινόμενο της μαγνητοαντίστασης. Αρχικά τα μαγνητικά στρώματα έχουν αντιπαράλληλη μαγνήτιση και έτσι λίγα ηλεκτρόνια φτάνουν από τη μια άκρη στην άλλη. Με την εφαρμογή μαγνητικού πεδίου τα μαγνητικά στρώματα αποκτούν παράλληλη μαγνήτιση οπότε σκεδάζονται μόνο τα ηλεκτρόνια με αντίθετο προσανατολισμό του σπιν και έτσι προκύπτει μικρότερη αντίσταση. Εικόνα Σχηματική απεικόνιση της σκέδασης των ηλεκτρονίων ανάλογα με τον προσανατολισμός του spin τους. Ένα μη μαγνητικό στρώμα (γκρι) περικλείεται από δύο μαγνητικά στρώματα (πράσινο) με παράλληλη (Α) και αντιπαράλληλη ευθυγράμμιση των μαγνητικών τους ροπών. Ηλεκτρόνια με διαφορετικό σπιν (κόκκινα άσπρα) επιχειρούν να περάσουν τη τριστρωματική διάταξη. Μεγαλύτερος αριθμός ηλεκτρονίων σκεδάζεται στην δεύτερη περίπτωση όπου τα δύο στρώματα έχουν αντιπαράλληλες μαγνητικές ροπές οδηγώντας σε μεγαλύτερες τιμές αντίστασης.(1) Η πιο σημαντική παράμετρος ελέγχου για να φτιάξει κάποιος GMR υλικά είναι το πάχος του διαχωριστικού μη μαγνητικού στρώματος. Ανάλογα με το πάχος αυτού του στρώματος έχει βρεθεί σε πλήθος συστημάτων ότι οι μαγνητικές ροπές των διαδοχικών στρωμάτων αλλάζουν προσανατολισμό από αντιπαράλληλο σε παράλληλο και άρα το φαινόμενο ενισχύεται ή υποβαθμίζεται αντίστοιχα. Καθώς το πάχος του διαχωριστικού μη μαγνητικού υλικού αυξάνει, τα διαδοχικά μαγνητικά στρώματα «χάνουν» την ικανότητα να αλληλεπιδρούν και η δυνατότητα κοινής ευθυγράμμισης υποβαθμίζεται εκθετικά.

16 Η αλληλεπίδραση αυτή όπου τα διάφορα μαγνητικά στρώματα μπορούν να διατηρούν παράλληλη ή αντιπαράλληλη ευθυγράμμιση επικοινωνώντας διαμέσου των μη μαγνητικών στρωμάτων ονομάζεται διαστρωματική σύζευξη (σιδηρομαγνητική ή αντισιδηρομαγνητική αντίστοιχα) και είχε παρατηρηθεί λίγα χρόνια πριν την ανακάλυψη της GMR. Ο P. Grunberg είχε διαπιστώσει το 1986 ότι η τριστρωματική δομή Fe/Cr/Fe εμφανίζει αντισιδηρομαγνητική σύζευξη, ενώ δύο χρόνια αργότερα διαπίστωσε και το φαινόμενο της GMR στο ίδιο σύστημα. Μετά από λεπτομερείς ελέγχους από πολλές επιστημονικές ομάδες σε όλο τον κόσμο (στα ερευνητικά εργαστήρια της IBM η ομάδα του St. Parkin εξέτασε περισσότερα από διαφορετικά πολυστρωματικά υμένια!) μπορεί κανείς να επαληθεύσει με βεβαιότητα τη γενικότητα της GMR ως φαινόμενο αλλά και της σύνδεσης της με τη διαστρωματική σύζευξη. Ας σημειωθεί ότι το αξιοθαύμαστο είναι ότι μπορεί κανείς να επιτύχει πραγματικά γιγαντιαίες μεταβολές της μαγνητοαντίστασης απλά αλλάζοντας τα πάχη των στρωμάτων των δύο υλικών.! 2.2 Το μοντέλο των δυο ρευμάτων Η βασική ιδέα του μοντέλου των δύο ρευμάτων στηρίζεται σε υπο ομάδες από spin, τα spin up και spin down, οι οποίες καθορίζουν ανεξάρτητες η μία από την άλλη την αγωγιμότητα ή αντίστοιχα την αντίσταση του υλικού. Θεωρούμε ότι τα spin up και spin down ηλεκτρόνια δημιουργούν δύο ανεξάρτητα ρεύματα, σαν να περνούν δηλαδή από μια παράλληλη συνδεσμολογία αντιστατών R και R,με τη συνολική αντίσταση να δίνεται από τον γνωστό τύπο για παράλληλη συνδεσμολογία R R R ολ =. (2.1) R + R Αν λάβουμε υπόψη τις εναλλαγές του σπιν, τότε η έκφραση για την συνολική αντίσταση μπορεί να διαφοροποιηθεί δημιουργώντας μια παράμετρο R η οποία θα εκφράζει την αναλογία των εναλλαγών του σπιν. Η εισαγωγή αυτής της παραμέτρου μας οδηγεί στην εξίσωση R R R ολ =. (2.2) R + R + R ( R + 4R + R )

17 Οι υποθετικές αντιστάσεις R και R δεν μπορούν να μετρηθούν απευθείας. συνήθως καθορίζονται μετρώντας την εξάρτηση της θερμοκρασίας από την αντίσταση από διπλά κράματα[21]. 2.3 Κοκκώδη σιδηρομαγνητικά υλικά Οι κοκκώδεις σιδηρομαγνήτες είναι μείγματα δύο υλικών, όπου το ένα είναι σιδηρομαγνητικό σε πολυκρυσταλλικούς κόκκους νανοδιαστάσεων και το άλλο είναι παραμαγνητικό. Το μη μαγνητικό υλικό μπορεί να είναι μέταλλο (Ag, Au, Cu, ) ή μονωτής (SiO 2, Al 2 O 3, ) σε κρυσταλλική ή σε άμορφη μορφή. Το μείγμα που θα μελετήσουμε είναι Ni πάνω στο μονωτικό υπόστρωμα του SiO 2. Ένα τέτοιο σύστημα παρουσιάζει καμπύλες αρνητικής μαγνητοαντίστασης και αυτό διότι: Σε μηδενικό μαγνητικό πεδίο H=0 η αντίσταση είναι μέγιστη, μιας και όλοι οι κόκκοι έχουν τυχαίο προσανατολισμό μαγνήτισης. Έτσι, σύμφωνα με το μοντέλο των δύο ρευμάτων (βλέπε 2.2) τα περισσότερα ηλεκτρόνια θα σκεδάζονται κατά την κίνησή τους μέσα στο υλικό. Καθώς εφαρμόζουμε ένα μαγνητικό πεδίο Η, η αντίσταση μειώνεται μέχρι να φτάσει στον κόρο. Το φαινόμενο αυτό έχει αποδοθεί στην εξαρτώμενη από σπιν αγωγιμότητα μέσο φαινομένου σήραγγος, μεταξύ των τυχαία προσανατολισμένων κόκκων. Θα μπορούσαμε λοιπόν να πούμε ότι η μαγνητοαντίσταση εξαρτάται από το σχετικό προσανατολισμό των γειτονικών κόκκων. Το πλάτος της μαγνητοαντίστασης (που ορίζεται σαν ΔR/R=(R(H ) R(0))/R(0)) ενός ζεύγους κόκκων δίνεται από τον τύπο ΔR/R =(1+P 2 cos(α))/(1+p 2 ) 1, (2.3) όπου P είναι η πόλωση των ηλεκτρονίων και α η γωνία ανάμεσα στις μαγνητίσεις τους όταν το μαγνητικό πεδίο είναι μηδέν. Παρουσία μαγνητικού πεδίου, ο προσανατολισμός της μαγνήτισης των κόκκων εξαρτάται από δύο παράγοντες. Ο πρώτος είναι ο άξονας εύκολης μαγνήτισης του κόκκου (easy axis) λόγω της ανισοτροπίας του και ο δεύτερος είναι το εξωτερικό μαγνητικό πεδίο. Η συνολική μαγνητική ενέργεια ενός κόκκου ανά μονάδα όγκου δίνεται από τον τύπο[7]

18 W/V=m 0 /2*M s 2 sin 2 (u) μ 0 M s Hcos(φ), (2.4) όπου μ 0 είναι η μαγνητική διαπερατότητα του κενού, v είναι ο παράγοντας ανισοτροπίας, Μ s είναι η μαγνήτιση κόρου, θ είναι η γωνία μεταξύ της μαγνητικής ροπής και του άξονα εύκολης μαγνήτισης, και φ είναι η γωνία μεταξύ της μαγνητικής ροπής και του μαγνητικού πεδίου. Ο προσανατολισμός της μαγνήτισης κάθε κόκκου, οπότε και το πλάτος της μαγνητοαντίστασης, σε μηδενική θερμοκρασία καθορίζεται με ελαχιστοποίηση της ενέργειας στην εξ.2. Όταν αναφερόμαστε σε ιδιότητες μεταγωγής σε ένα κοκκώδες σιδηρομαγνητικό υλικό με μονωτικό υπόστρωμα, καταλαβαίνουμε ότι δεν συμμετέχουν όλοι οι κόκκοι στην αγωγιμότητα του συστήματος. Καθώς οι κόκκοι εναποτίθενται στο υπόστρωμα σχηματίζουν νησίδες. Μόνο οι νησίδες που ενώνονται με το spanning cluster (βλέπε 3.1) συμμετέχουν στην αγωγιμότητα. Θεωρώντας ότι έχουμε ένα μοντέλο διήθησης (bond percolation, βλέπε 3.1,3.2),, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι κάθε ζεύγος γειτονικών κόκκων είναι ένας αντιστάτης, με την αντίσταση μεταξύ δύο γειτονικών κόκκων να δίνεται από τον τύπο R ij = R 0 exp(2r ij /ξ + E ij /k B T), (2.5) όπου r ij είναι η απόσταση μεταξύ των γειτονικών κόκκων, το ξ παριστά την εξασθένηση της ηλεκτρονικής πυκνότητας στο μονωτικό υλικό και το E ij είναι η ενεργειακή διαφορά μεταξύ των ηλεκτρονιακών καταστάσεων. Η κοκκώδης επιφάνεια λοιπόν μπορεί να παρασταθεί με ένα δίκτυο αντιστάσεων (βλέπε 4.2) το οποίο περιλαμβάνει παράλληλες και σε σειρά αντιστάσεις, διαμέσου των οποίων διέρχεται το ρεύμα. Αφού λοιπόν η αγωγιμότητα είναι ένα μοντέλο διήθησης, θα υπάρχουν κάποιοι κρίσιμοι αντιστάτες (κόκκοι δηλαδή) που θα την καθορίζουν. Για αυτό το λόγο, σαν βαθμός ανομοιογένειας θεωρείται η ακτίνα διήθησης, Lc, που εδώ μπορεί να θεωρηθεί σαν η μέση απόσταση μεταξύ των κρίσιμων αντιστατών. Όταν οι πλευρικές διαστάσεις του δείγματος μειώνονται κάτω από το Lc, τότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ακόμη και ένας κόκκος καθορίζει την αγωγιμότητα του συστήματος!

19 2.3.1 Καμπύλες μαγνητοαντίστασης κοκκώδους Ni πάνω σε μονωτικά υποστρώματα Οι A.Cohen, A.Frydman και R.Berkovits, μελέτησαν κοκκώδη υμένια από Ni τα οποία αναπτύχθηκαν με την μέθοδο quench condensation [9]. Η μέθοδος αυτή προσφέρει τη δυνατότητα ανάπτυξης ενός υμενίου σε συγκεκριμένο πάχος. Ανέπτυξαν υμένια κοντά στο κρίσιμο πάχος dc. Σαν κρίσιμο πάχος ορίζεται το πάχος όπου το μείγμα αρχίζει να γίνεται αγώγιμο (η συγκέντρωση του Ni δηλαδή φτάνει στο percolation threshold (βλέπε 3.1)). Τα αποτελέσματά τους ήταν εντελώς διαφορετικά από αυτά στα κοκκώδη κράματα σε συνηθισμένα μεγέθη. Συγκεκριμένα παρατήρησαν ότι: Από δείγμα σε δείγμα αλλάζουν σημαντικά οι ιδιότητες μεταγωγής Τα υπεραγώγιμα υμένια έδειξαν παρόμοιες μεταβολές μαγνητοαντίστασης με αυτές που έχουν παρατηρηθεί σε υπεραγώγιμες κοκκώδεις ίνες Τα αποτελέσματα αυτά δείχνουν ότι είναι πιθανό, παρόλο που τα δείγματα έχουν μακροσκοπικές διαστάσεις (~0.05cm 2 ), το δίκτυο διήθησης (percolation network) που σχηματίζεται μπορεί να κυβερνάται από λίγους μόνο κόκκους. Οι καμπύλες μαγνητοαντίστασης από τέτοια δείγματα (εικόνα 2.4) έδειξαν πολλά σημαντικά αποτελέσματα.[11] Εικόνα 2.4. Αναφορά[11] Αριστερά: Τυπική καμπύλη μαγνητοαντίστασης του Ni όταν είναι σε κανονικές διαστάσεις Δεξιά: Καμπύλες μαγνητοαντίστασης όπου το δείγμα αναπτύχθηκε μέχρι το κρίσιμο πάχος dc. Παρατηρούμε ότι η καμπύλη έχει ένα απότομο άλμα.

20 Από την εικόνα 2.4 φαίνεται ότι τα δείγματα που αναπτύχθηκαν μέχρι το κρίσιμο πάχος dc παρουσιάζουν παρόμοια συμπεριφορά στην μαγνητοαντίσταση με τα δείγματα σε μεγαλύτερες διαστάσεις, όταν βρισκόμαστε σε χαμηλό μαγνητικό πεδίο, αλλά δεν συμβαίνει το ίδιο όταν το πεδίο αυξάνει. Παρατηρήθηκε ότι σε υψηλά μαγνητικά πεδία υπάρχει απότομη αύξηση της μαγνητοαντίστασης η οποία γίνεται θετική. Είναι αξιοπρόσεκτο ότι παρόλο που η ποιοτική συμπεριφορά των δειγμάτων αυτών στα χαμηλά πεδία είναι παρόμοια με αυτή των συνηθισμένων κοκκώδη υλικών, η τιμή της μαγνητοαντίστασής τους αλλάζει σημαντικά μέχρι να φτάσουμε στο πεδίο κορεσμού. Στην εικόνα 2.5 παρατηρούμε καμπύλες μαγνητοαντίστασης για διάφορα κοκκώδη λεπτά υμένια. Εικόνα 2.5. Εξάρτηση του πλάτους της μαγνητοαντίστασης από την θερμοκρασία.[11] Βλέπουμε ότι παρόλο που το πλάτος της μαγνητοαντίστασης κυμαίνεται συνήθως μέχρι 2% στα συνήθη κοκκώδη υμένια του Ni, στα μικρά υμένια το πλάτος μπορεί να φτάσει μέχρι και 60%. Είναι προφανές ότι αυτά τα μικρά δείγματα παρουσιάζουν πολύ μεγάλες αποκλίσεις στις καμπύλες της μαγνητοαντίστασης αλλά και στα πλάτη των αλμάτων που κάνει η μαγνητοαντίσταση.

21 Δύο χρόνια αργότερα ο A.Y.Dokow [8] μελέτησε καμπύλες μαγνητοαντίστασης από κοκκώδες Ni πάνω σε SiO 2 με μέγεθος μικρότερο της Lc(~0.5μm) και τις σύγκρινε με τις αντίστοιχες μεγαλύτερων δειγμάτων (εικόνα 2.6). Δημιούργησε δείγματα λίγων μόνο δεκάδων nm και αν σκεφτούμε ότι η διάμετρος ενός κόκκου κυμαίνεται από 10~15 nm, το υλικό είχε περίπου 100 κόκκους. Στην εικόνα 2.6 βλέπουμε τις καμπύλες ΔR/R σε συνάρτηση με το μαγνητικό πεδίο για δείγμα 3mm X 3mm και για δείγμα 100nm X 100nm. Εικόνα 2.6. ΔR/R για μεγέθη 3mm X 3mm (αριστερά) και για 100nm X 100 nm (δεξιά).[8] Παρατηρούμε ότι η καμπύλη της μαγνητοαντίστασης διαφέρει αρκετά όταν το υλικό έχει νανοδιαστάσεις. Το πλάτος της μαγνητοαντίστασης στο μεγάλο δείγμα (αριστερά) είναι περίπου 2% και το μαγνητικό πεδίο κόρου (saturation field) είναι 0.5 Τ. Αντίθετα, στο μικρό δείγμα (δεξιά) το πλάτος της μαγνητοαντίστασης είναι 12% και το μαγνητικό πεδίο κόρου φτάνει τα 6 Τ. Το πλάτος της μαγνητοαντίστασης αλλάζει από δείγμα σε δείγμα, αλλά όπως φαίνεται και στην εικόνα 2.7, είναι ξεκάθαρο ότι το μέσο πλάτος της μαγνητοαντίστασης αυξάνει απότομα όταν μειώνεται αρκετά το μέγεθος του δείγματος. Εικόνα 2.7. Το πλάτος ΔR/R της μαγνητοαντίστασης για διάφορα δείγματα σε συνάρτηση με το Lc.[8]

22 Τα αποτελέσματα αυτά μας οδηγούν στο συμπέρασμα ότι οι ηλεκτρικές ιδιότητες στα δείγματα που κατασκευάζονται κοντά στο κρίσιμο πάχος ίσως να καθορίζονται από λίγους μόνο κόκκους. Τα απότομα άλματα στις καμπύλες της μαγνητοαντίστασης ίσως να οφείλονται σε αλλαγή της κατεύθυνσης της μαγνήτισης των κόκκων αυτών που είναι οι κρίσιμοι κόκκοι για το σύστημα και σύμφωνα με τη θεωρία της διήθησης ονομάζονται κόκκινοι δεσμοί. Συμπεράσματα Οι ανακαλύψεις των A.Cohen, A.Frydman και A.Y.Dokow είναι ιδιαίτερης σημασίας. Οι καμπύλες της μαγνητοαντίστασης στις εικόνες 2.4 και 2.5 παρουσιάζουν πολύ μεγάλα και απότομα άλματα, κάτι που σημαίνει ότι σε κάποιες τιμές του μαγνητικού πεδίου, το υλικό αλλάζει εντελώς συμπεριφορά. Στην εικόνα 2.6 φαίνεται η μεγάλη διαφορά στη μαγνητοαντίσταση όταν το υλικό έχει νανοδιαστάσεις. Αυτό επιβεβαιώνεται και από την εικόνα 2.8, όπου γίνεται σύγκριση της μαγνητοαντίστασης για διάφορα μεγέθη του δείγματος. Τα συμπεράσματα από αυτές τις καμπύλες είναι ότι τα δείγματα σε πολύ μικρή διάσταση δεν υπακούουν στον απλό κανόνα της μαγνητοαντίστασης, ότι δηλαδή καθώς αυξάνει το μαγνητικό πεδίο η αντίσταση του υλικού μειώνεται. Η αντίσταση εδώ καθορίζεται, όπως θα εξηγηθεί και παρακάτω, από τη θεωρία της διήθησης και από την ύπαρξη των κόκκινων δεσμών. Αλλαγή στη μαγνητική ροπή ενός τέτοιου δεσμού φέρνει μεγάλη αλλαγή στη συνολική αντίσταση του δείγματος.

23 Κεφάλαιο 3 Η θεωρία της διήθησης (Percolation Theory) Περίληψη Σε αυτό το κεφάλαιο γίνεται μια εκτεταμένη μελέτη του φαινόμενου της διήθησης (percolation). Αρχικά παρουσιάζεται μια περιγραφή των δύο μοντέλων διήθησης, διήθηση δεσμών και διήθηση σημείων. Στη συνέχεια παρουσιάζονται αποτελέσματα από προσομοιώσεις που έγιναν για τον υπολογισμό των κρίσιμων πιθανοτήτων αλλά και των δομικών χαρακτηριστικών των πλεγμάτων που μελετήθηκαν τα δύο μοντέλα. Παρουσιάζονται αποτελέσματα στις δύο και στις τρεις διαστάσεις. Η μελέτη της διήθησης σημείων έγινε με τον αλγόριθμο των Hoshen και Kopelman και της διήθησης δεσμών με μια παραλλαγή αυτού του αλγορίθμου. Τα αποτελέσματα ήρθαν σε πολύ καλή ακρίβεια με τη βιβλιογραφία. Τέλος, γίνεται ανάλυση της fractal συμπεριφοράς του φαινομένου της διήθησης καθώς και της κρισιμότητας των κόκκινων δεσμών (red bonds) στο σύστημα.

24 3.1 Εισαγωγή Το μοντέλο της διήθησης είναι το πιο απλό μοντέλο ενός άμορφου συστήματος. Ουσιαστικά είναι μια κατανομή σημείων μέσα σε ένα πλέγμα η οποία γίνεται με κάποια συγκεκριμένη πιθανότητα p. Ένα ποσοστό p των θέσεων του πλέγματος θα είναι κατειλημμένες και το υπόλοιπο (1 p) θα είναι ελεύθερες. Οι κατειλημμένες και μη κατειλημμένες θέσεις μπορούν να αφορούν διάφορα φυσικά μεγέθη. Για απλότητα από δω και στο εξής θα θεωρήσουμε ότι οι κατειλημμένες θέσεις είναι αγώγιμα σωματίδια και μη κατειλημμένες ότι είναι μονωτικά σωματίδια (εικόνα 3.1). Βέβαια όταν μια θέση καταληφθεί, τότε θα θεωρούμε ότι ο αριθμός των αγώγιμων κόκκων αυξήθηκε κατά ένα και των μονωτικών ότι μειώθηκε κατά ένα. Εικόνα 3.1. Μείγμα από αγώγιμους και μη αγώγιμους κόκκους Σε πολύ χαμηλές πιθανότητες p, λίγοι είναι οι αγώγιμοι κόκκοι οι οποίοι ενώνονται μεταξύ τους. Από δω και στο εξής όταν δύο οι περισσότεροι αγώγιμοι κόκκοι ενώνονται μεταξύ τους θα λέμε ότι σχηματίζουν ένα cluster. Καθώς η πιθανότητα συγκέντρωσης αυξάνει, όλο και περισσότεροι αγώγιμοι κόκκοι θα υπάρχουν μέσα στο υλικό και τα clusters συνεχώς θα μεγαλώνουν. Για πολύ μεγάλη συγκέντρωση αγώγιμων σωματιδίων θα υπάρχει σίγουρα ένα cluster το οποίο θα φτάνει από τη μια άκρη του υλικού μέχρι την άλλη και το υλικό θα είναι αγώγιμο.

25 To cluster το οποίο ενώνει τα απέναντι άκρα ενός πλέγματος ονομάζεται spanning cluster. Θα υπάρχει λοιπόν κάποια συγκεκριμένη πιθανότητα p c πάνω από την οποία θα έχουμε τον σχηματισμό του spanning cluster και το πλέγμα (υλικό) θα παρουσιάζει μεταβολή φάσης (phase transition).η πιθανότητα αυτή ονομάζεται κρίσιμη πιθανότητα ή κρίσιμη συγκέντρωση ή percolation threshold. Οπότε: Για p>p c το πλέγμα βρίσκεται πάνω από το percolation threshold Για p<p c το πλέγμα βρίσκεται κάτω από το percolation threshold Σε αντίθεση με τις περισσότερες θερμικές μεταβολές φάσεις, όπου σαν κρίσιμο σημείο μεταξύ των δύο φάσεων ορίζεται η θερμοκρασία, π.χ. η θερμοκρασία curie Τ c στα μαγνητικά υλικά ή οι 0 o C και 100 o C για το νερό όταν αυτό αλλάζει φάση, το percolation transition είναι μια γεωμετρική μεταβολή φάσης, που χαρακτηρίζεται από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά των μεγάλων clusters όταν βρισκόμαστε σε πιθανότητες κοντά στην κρίσιμη πιθανότητα p c. Στον πίνακα 1 βλέπουμε τις κρίσιμες πιθανότητες για το site και το bond percolation, για διάφορες περιπτώσεις συστημάτων. Percolation model Πλέγμα site bond triangular 0.5 2sin(π/18) τετραγωνικό Honeycomb sin(π/18) Face centered cubic Body centered cubic Απλό κυβικό (1 ος γείτονας) Απλό κυβικό (2 ος γείτονας) Απλό κυβικό (3 ος γείτονας) Πίνακας 1. Κρίσιμες πιθανότητες για διάφορα διδιάστατα και τρισδιάστατα πλέγματα. Στο απλό κυβικό αναφέρονται οι περιπτώσεις του percolation αν υπάρχει ένας, δύο ή τρεις γείτονες

26 Εκτός από την κρίσιμη πιθανότητα p c, μια άλλη ποσότητα που χαρακτηρίζει το percolation είναι το P, που ουσιαστικά είναι η πιθανότητα μια κατειλημμένη θέση (π.χ. ένα αγώγιμο σωματίδιο) να βρίσκεται πάνω στο spanning cluster. Το P δίνεται από τον τύπο P = (αριθμός κατειλημμένων θέσεων πάνω στο spanning cluster)/(συνολικός αριθμός κατειλημμένων θέσεων) (3.1) Ένα άλλο χρήσιμο μέγεθος είναι η μέση κατανομή του μεγέθους των clusters που δίνεται από τον τύπο n s (p)=(μέσος αριθμός των clusters με μέγεθος s)/(συνολικός αριθμός των θέσεων του πλέγματος) Από τη στιγμή που το N Σ s sn s είναι ο αριθμός των κατειλημμένων θέσεων και Ν sn s είναι ο αριθμός των κατειλημμένων θέσεων σε clusters με μέγεθος s, τότε η ποσότητα sns W s = s sn s (3.2) είναι η πιθανότητα να διαλέξουμε τυχαία μια κατειλημμένη θέση και αυτή να ανήκει πάνω σε ένα cluster μεγέθους s. Οπότε, το μέσο μέγεθος των clusters δίνεται από τον τύπο S= s sw = s s s s 2 sn sn s s (3.3) Στη συνέχεια αναλύονται τα δύο μοντέλα τα οποία υπάρχουν για τη διήθηση, διήθηση δεσμών και διήθηση σημείων (site και bond percolation), θα αναλυθεί ο αλγόριθμος επίλυσης του προβλήματος, θα παρουσιαστεί μία μέθοδος εύρεσης της κρίσιμης πιθανότητας και αναλύεται επίσης η χρησιμότητα και η φυσική σημασία των κρίσιμων εκθετών του φαινόμενου.

27 3.1.1 Το μοντέλο διήθησης σημείων (site percolation) Ας θεωρήσουμε αρχικά ένα τετραγωνικό πλέγμα σαν και αυτό που βλέπουμε στην εικόνα Εδώ υπάρχει πληρότητα δεσμών αλλά δεν υπάρχει πληρότητα σωματιδίων. Τα σωματίδια κατανέμονται στο πλέγμα με κάποια πιθανότητα p. Αυτό είναι το μοντέλο του site percolation. Δεξιά στην εικόνα βλέπουμε την περίπτωση όπου η συγκέντρωση είναι αρκετά μεγάλη ώστε να δημιουργηθεί το spanning cluster. Εικόνα Απλή περιγραφή του site percolation Η κρίσιμη πιθανότητα στο site percolation όταν γίνεται σε τετραγωνικό πλέγμα είναι p c = και σε κυβικό p c = (πίνακας 1). Εδώ πρέπει να τονιστεί ότι οι τιμές αυτές περιέχουν σφάλμα ±0.0005, μιας και προκύπτουν από στατιστική ανάλυση. Όσο μεγαλύτερο είναι το πλέγμα που χρησιμοποιούμε και όσο μεγαλύτερη είναι η στατιστική μελέτη (περισσότερα runs στο πρόγραμμα), τόσο πλησιέστερα φτάνουμε σε αυτές τις τιμές. Στην εικόνα φαίνεται μια σχηματική παράσταση της ανάπτυξης των clusters, όσο μεγαλώνει η συγκέντρωση των σωματιδίων. Εικόνα Site percolation σε τετραγωνικό πλέγμα. [12] (α) p<p c.. Μικρή συγκέντρωση σωματιδίων. Τα πρώτα clusters αρχίζουν να εμφανίζονται. (β) p=p c.δημιουργείται το spanning cluster (γ) p>p c.όλα τα σωματίδια ανήκουν στο spanning cluster

28 Αρχικά βλέπουμε (εικόνα 3.1.2α) τα πρώτα clusters να εμφανίζονται. Καθώς μεγαλώνει η συγκέντρωση των σωματιδίων (εικόνα 3.1.2β) σχηματίζεται το spanning cluster (άσπρες κουκίδες), το οποίο και ενώνει το πάνω και το κάτω άκρο του πλέγματος Καθώς η συγκέντρωση μεγαλώνει αρκετά (εικόνα 3.1.2γ), όλα τα σωματίδια βρίσκονται πάνω στο spanning cluster Το μοντέλο διήθησης δεσμών (bond percolation) Στο μοντέλο του bond percolation, δηλαδή στο μοντέλο διήθησης δεσμών θεωρούμε ότι έχουμε πληρότητα σωματιδίων και γίνεται κατάληψη των δεσμών με μια συγκεκριμένη πιθανότητα (εικόνα 3.1.3). Δύο δεσμοί θεωρούμε ότι βρίσκονται στο ίδιο cluster όταν το ένα άκρο τους καταλήγει στην ίδια θέση. Εικόνα Το bond percolation μοντέλο πάνω σε τετραγωνικό πλέγμα Το πιο διαδεδομένο μοντέλο bond percolation είναι το random resistor network, όπου έχουμε ένα πλέγμα με αντιστάσεις οι οποίες αφαιρούνται με πιθανότητα p. Εδώ η κρίσιμη πιθανότητα καθορίζει αν το σύστημα θα είναι αγώγιμο ή όχι. Η κρίσιμη πιθανότητα στο bond percolation είναι p c =0.5,όταν πρόκειται για τετραγωνικό πλέγμα, και p c = όταν πρόκειται για κυβικό πλέγμα.

29 3.2 Καθορισμός των clusters (cluster labeling) Το πιο σημαντικό βήμα προγραμματιστικά, για να λύσει κάποιος το πρόβλημα της διήθησης (σε οποιοδήποτε μοντέλο), είναι ο διαχωρισμός των clusters (cluster labeling). Το cluster labeling ουσιαστικά ο τρόπος με τον οποίο κάνουμε το πρόγραμμα να καταλάβει σε ποιο cluster ανήκει η κάθε κατειλημμένη θέση. Ο πιο διαδεδομένος και γρήγορος αλγόριθμος για να γίνει το cluster labeling είναι ο αλγόριθμος των Hoshen, Kopelman[19]. Παρακάτω φαίνεται ένα παράδειγμα από cluster labeling ενός 10x10 πίνακα. Αρχικά δημιουργούμε ένα πίνακα 10x10 και τον γεμίζουμε με έναν αριθμό π.χ. το 1 (εικόνα 3.2.1) με κάποια πιθανότητα p. Στο παρακάτω παράδειγμα χρησιμοποιήθηκε p=0.6. Εικόνα Η αρχική φάση του cluster labeling. Στη συνέχεια, εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο των Hoshen Kopelman [19], βρίσκουμε ποιοι από τους παραπάνω αριθμούς είναι γειτονικοί μεταξύ τους. Ελέγχουμε κάθε αριθμό αν έχει πάνω ή αριστερά κάποιο γείτονα. Έτσι μπορούμε να ελέγξουμε όλα τα στοιχεία του πίνακα χωρίς να βάλουμε οριακές συνθήκες στα άκρα. Αν δεν έχει γείτονα, του δίνουμε καινούργιο νούμερο (ξεκινώντας από το 1 και αυξάνοντας με τη σειρά). Αν έχει ένα γείτονα, του δίνουμε τον αριθμό του γειτονικού στοιχείου. Αν έχει δύο γείτονες, δηλαδή και πάνω και αριστερά, του δίνουμε την μικρότερη τιμή από τους δύο γείτονες. Σε ένα βοηθητικό πίνακα, ας τον ονομάσουμε n[i], βάζουμε σε κάθε θέση του την τιμή του στοιχείου η οποία, στην περίπτωση που έχουμε 0 ή 1 γείτονες θα είναι ίδια (n[1]=1). Όταν έχουμε δύο γείτονες,π.χ. στην περίπτωση του 5 (εικόνα 3.2.2), στον πίνακα n βάζουμε n[5]=5 και n[6]=5. Έτσι ξέρουμε ανά πάσα στιγμή ποια στοιχεία πρέπει να αλλάξουμε στο

30 τρίτο βήμα. Η παραπάνω διαδικασία φέρνει τον πίνακα σε μια κατάσταση όπως αυτή της εικόνας Εικόνα Η ενδιάμεση κατάσταση του πίνακα κατά το cluster labeling Το επόμενο βήμα είναι να φανούν στον πίνακά μας όλα τα cluster και το καθένα από αυτά πρέπει να αντικατοπτρίζεται με ένα διαφορετικό αριθμό,ώστε στη συνέχεια να μπορούμε να βρούμε το μέγεθός του, τη δομή του κ.λ.π. Χρησιμοποιώντας τον βοηθητικό πίνακα n[i], σαρώνουμε όλο το πλέγμα και αλλάζουμε τα υπόλοιπα στοιχεία του πίνακα, π.χ. όπου βλέπουμε 6 θα βάζουμε το n[6]=5 κ.λ.π. Έτσι παίρνουμε την τελική μορφή του πίνακα που φαίνεται στην εικόνα Εικόνα Η τελική κατανομή του πίνακα εμφανής διαχωρισμός των clusters

31 3.3 Υπολογισμός των κρίσιμων πιθανοτήτων Κρίσιμες πιθανότητες στη διήθηση σημείων Η διαδικασία καθορισμού των clusters πάνω στο πλέγμα (cluster labeling) είναι το πρώτο βήμα και μας δίνει μια πλήρη εικόνα του πλέγματος για οποιαδήποτε συγκέντρωση θέλουμε. Έχοντας ολοκληρώσει το cluster labeling μπορούμε να υπολογίσουμε διάφορα δομικά χαρακτηριστικά του πλέγματος, όπως την κρίσιμη πιθανότητα συγκέντρωσης, την πιθανότητα ένα σωματίδιο να ανήκει στο spanning cluster ή γενικότερα σε κάποιο cluster μεγέθους m, το μέσο μέγεθος των clusters, τους κρίσιμους εκθέτες κ.λ.π. Παρακάτω παρουσιάζονται μετρήσεις της κρίσιμης πιθανότητας και άλλων δομικών χαρακτηριστικών του πλέγματος για το μοντέλο διήθησης δεσμών. Οι μετρήσεις μας ήρθαν σε πολύ καλή ακρίβεια σε σχέση με τη βιβλιογραφία[13]. Η κρίσιμη πιθανότητα στο μοντέλο διήθησης σημείων (site percolation) μπορεί να δοθεί υπολογίζοντας το μειωμένο μέσο μέγεθος των clusters (reduced averaged cluster size) το οποίο δίνεται από τον τύπο : I i m p N 2 ' max max av = Iav (3.4) 2 m, όπου = max 2 im m I av = με i 2 m να είναι ο αριθμός τον clusters με μέγεθος m, p είναι = p N m 1 η πιθανότητα συγκέντρωσης και Ν η πλευρά του τετραγωνικού ή κυβικού πλέγματος. Με σκοπό να μελετήσουμε το μοντέλο της διήθησης σημείων και να υπολογίσουμε την κρίσιμη πιθανότητα, δημιουργήσαμε ένα τετραγωνικό πλέγμα 100*100 και μελετήσαμε τη συμπεριφορά του για διάφορες συγκεντρώσεις σωματιδίων (από p=0.1 έως p=1). Σε κάθε συγκέντρωση υπολογίσαμε τις ποσότητες I av και I av. Οι υπολογισμοί έγιναν και συγκεντρώθηκαν οι μέσοι όροι των αποτελεσμάτων οι οποίοι παρουσιάζονται στις εικόνες και 3.3.2

32 Iav probability% Εικόνα Το μέσο μέγεθος των clusters. Η περιοχή της αλλαγής φάσης του συστήματος είναι ορατή. Οι μετρήσεις έγιναν σε τετραγωνικό πλέγμα πλευράς 100 και αποτελούν μέσο όρο από επαναλήψεις I'av Probability% Εικόνα Το μέσο μειωμένο μέγεθος των clusters. Παρατηρούμε ότι η κορυφή του μας δίνει με πολύ καλή ακρίβεια την τιμή της κρίσιμης πιθανότητας p c =

33 Στις εικόνες και παρατηρούμε ξεκάθαρα ότι το φαινόμενο διήθησης είναι ένα φαινόμενο αλλαγής φάσης. Βλέπουμε την πολύ απότομη αλλαγή συμπεριφοράς του συστήματος όταν πλησιάζουμε κοντά στην κρίσιμη πιθανότητα. Στην εικόνα δεν φαίνεται ξεκάθαρα η τιμή της κρίσιμης πιθανότητας, αλλά φαίνεται η τιμή της κρίσιμης περιοχής, δηλαδή την περιοχή τιμών της συγκέντρωσης όπου το σύστημα αλλάζει ραγδαία την συμπεριφορά του. Στην εικόνα βλέπουμε ότι για συγκέντρωση κάτω από την κρίσιμη πιθανότητα συγκέντρωσης, υπάρχουν αρκετά μεγάλα cluster και η απομάκρυνση του μεγαλύτερου, κάτι που είπαμε ότι κάνουμε στον υπολογισμό του I av, δεν επηρεάζει τη μορφή της καμπύλης, όταν αυτή συγκρίνεται με το I av. Μετά την κρίσιμη πιθανότητα όμως, βλέπουμε ότι η απομάκρυνση του spanning cluster προκαλεί πολύ απότομη πτώση στην καμπύλη του I av η οποία τελικά φτάνει στο μηδέν. Το σημείο που το I av είναι μέγιστο ορίζεται, για κάθε τοπολογία που μελετάμε το φαινόμενο της διήθησης, να είναι και η κρίσιμη πιθανότητα συγκέντρωσης. Θέλοντας να μελετήσουμε τη συμπεριφορά του spanning cluster, υπολογίσαμε mmax την ποσότητα Pmax = (εικόνα 3.3.3) η οποία μας δίνει το ποσοστό των 2 p N σωματιδίων που καταλαμβάνει το μεγαλύτερο cluster. 1, ,0 0,8 0,8 0,6 0,6 P max 0,4 0,4 0,2 0,2 0,0 0, Probability% Εικόνα Το ποσοστό των σωματιδίων που καταλαμβάνει το μεγαλύτερο cluster για διάφορες πιθανότητες συγκέντρωσης

34 Στην εικόνα βλέπουμε ότι για μικρές συγκεντρώσεις το ποσοστό συγκέντρωσης των σωματιδίων στο μεγαλύτερο cluster είναι οριακά πάνω από το μηδέν. Αυτό συμβαίνει διότι για μικρές συγκεντρώσεις, υπάρχουν πολλά μικρά clusters. Όσο η συγκέντρωση μεγαλώνει, σχηματίζονται όλο και περισσότερα clusters μικρού μεγέθους. Για κάποια πιθανότητα συγκέντρωσης (περίπου 50% και πάνω), θα υπάρχουν κάποια κρίσιμα σημεία (κόκκινοι δεσμοί, παράγραφος 3.5) που όταν καλυφθούν θα ενώσουν δύο ή και περισσότερα clusters. Έτσι βλέπουμε ότι το spanning cluster σχηματίζεται πολύ απότομα στην κρίσιμη περιοχή. Από την κρίσιμη πιθανότητα και πάνω το μεγαλύτερο cluster είναι και το spanning cluster, άρα η πιθανότητα ένα καινούργιο σωματίδιο να προσκολληθεί στο spanning cluster αυξάνει και αυτή πολύ απότομα. Έτσι εξηγείται και απότομη αύξηση της καμπύλης της εικόνας Αντίστοιχες προσομοιώσεις για τη διήθηση σημείων έγιναν και στις τρεις διαστάσεις. Το cluster labeling έγινε πάλι με τον αλγόριθμο των Hoshen, Kopelman, χρειάστηκε όμως να κάνουμε αρκετές διαφοροποιήσεις ώστε να λειτουργήσει στις τρεις διαστάσεις. Τα αποτελέσματά μας σε ότι αφορά τον υπολογισμό της κρίσιμης πιθανότητας ήταν και πάλι σε πολύ καλή συμφωνία με τη βιβλιογραφία. Οι υπολογισμοί έγιναν και πάλι βάση της σχέσης 3.4. Στην εικόνα βλέπουμε πως εξελίσσεται το μέσο μέγεθος των clusters I av συναρτήσει της πυκνότητας συγκέντρωσης των σημείων για τις τρεις διαστάσεις. Στην εικόνα φαίνεται αντίστοιχα το μειωμένο μέσο μέγεθος των clusters I av.οι μετρήσεις έγιναν σε κυβικό πλέγμα με πλευρά L=100 και πάρθηκαν μέσοι όροι από 1000 μετρήσεις, αριθμός που θεωρείται αρκετά ικανοποιητικός για τη συγκεκριμένη μελέτη.