1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)

Transcript

1 . Μετάπτωση Larmor (γενικά) Τι είναι η μετάπτωση; Μετάπτωση είναι η αλλαγή της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου. Αν ο άξονας περιστροφής ενός αντικειμένου περιστρέφεται κι αυτός γύρω από έναν άλλο, δεύτερο άξονα, τότε το περιστρεφόμενο αντικείμενο εκτελεί μετάπτωση γύρω από τον δεύτερο άξονα. Τι είναι η μετάπτωση Larmor; Μετάπτωση Larmor είναι η μετάπτωση της μαγνητικής ροπής ενός αντικειμένου, που έχει μαγνητική ροπή, γύρω από ένα εξωτερικό μαγνητικό πεδίο. Τα αντικείμενα που έχουν μαγνητική ροπή έχουν στροφορμή και εσωτερικά ρεύματα ηλεκτρικού φορτίου που συνδέονται με τη στροφορμή τους. Τέτοια συστήματα είναι, για παράδειγμα, τα ηλεκτρόνια, τα πρωτόνια, άλλα φερμιόνια, πολλά ατομικά και πυρηνικά συστήματα, καθώς επίσης και μακροσκοπικά συστήματα. Το εξωτερικό μαγνητικό πεδίο ασκεί ροπή στη μαγνητική ροπή του συστήματος ίση με () Υπενθυμίζουμε ότι η μαγνητική ροπή είναι η μαγνητική διπολική ροπή, δηλαδή θεωρούμε ότι το σύστημά μας είναι ένα μαγνητικό δίπολο. Για μια στατική (ακίνητη) μαγνητική ροπή ή για έναν κλασικό βρόχο ρεύματος, η ροπή τείνει να προσανατολίσει τη μαγνητική ροπή παράλληλα στο μαγνητικό πεδίο, ώστε η μαγνητική δυναμική ενέργεια U του διπόλου να γίνει ελάχιστη. Αν όμως η μαγνητική ροπή οφείλεται, για παράδειγμα, στην κίνηση ενός φορτισμένου σωματίου, τότε είναι ανάλογη της στροφορμής του, αφού, όπως έχουμε δείξει, η μαγνητική ροπή που δημιουργεί σωμάτιο φορτίου q, μάζας m, και τροχιακής στροφορμής L r p είναι q L () m Εξάλλου, η χρονική παράγωγος της τροχιακής στροφορμής ενός σωματίου είναι dl d dr dp r p p r v p r F dl (3) p p m Για την περίπτωση της ροπής (), η (3) γράφεται

2 dl Με τη βοήθεια της (), η τελευταία σχέση γράφεται dl q L (4) m Επειδή L L, από την (4) συμπεραίνουμε ότι η μεταβολή της στροφορμής του σωματίου είναι κάθετη στη στροφορμή του. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα το διάνυσμα της στροφορμής να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα του μαγνητικού πεδίου, δηλαδή να εκτελεί μετάπτωση γύρω από τον άξονα του μαγνητικού πεδίου. Από τη () συμπεραίνουμε ότι την ίδια μεταπτωτική κίνηση κάνει και η μαγνητική ροπή. Η μετάπτωση αυτή ονομάζεται μετάπτωση Larmor και η συχνότητά της ονομάζεται συχνότητα Larmor. Μετάπτωση Larmor Στην κβαντική μηχανική, η στροφορμή είναι τελεστής, επομένως και η μαγνητική ροπή είναι τελεστής. Σε αυτήν την περίπτωση, μετάπτωση Larmor κάνει η μέση τιμή της μαγνητικής ροπής (ή της στροφορμής, που μπορεί να είναι η τροχιακή στροφορμή ή το σπιν, όπως θα δούμε παρακάτω). Παραπομπές. Μετάπτωση Larmor μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα Κβαντικό σύστημα έχει μαγνητική ροπή J, όπου J είναι η στροφορμή του συστήματος (τροχιακή στροφορμή ή σπιν) και ο γυρομαγνητικός του λόγος. Το σύστημα τοποθετείται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο που είναι παράλληλο στον άξονα. Υπολογίστε τη χρονική παράγωγο της μέσης

3 τιμής της στροφορμής του συστήματος,. Δείξτε ότι το μέτρο του διανύσματος J παραμένει σταθερό, ενώ το ίδιο το διάνυσμα περιστρέφεται γύρω από το μαγνητικό πεδίο σχηματίζοντας σταθερή γωνία με αυτό, δηλαδή κάνει μεταπτωτική κίνηση (μετάπτωση Larmor). Ποια είναι η συχνότητα της περιστροφής (συχνότητα Larmor); Λύση Το ομογενές μαγνητικό πεδίο είναι παράλληλο στον άξονα, επομένως e () Η μαγνητική δυναμική ενέργεια του συστήματός μας είναι U () Όμως J. Αντικαθιστώντας στη () παίρνουμε U J Με τη βοήθεια της (), η τελευταία σχέση γράφεται U J (3) Έτσι, η Χαμιλτονιανή του συστήματός μας είναι H J (4) Βλέπουμε ότι η Χαμιλτονιανή (4) δεν εξαρτάται ρητά από τον χρόνο. Επομένως, από το θεώρημα του Ehrenfest, θα έχουμε i H, J (5) Ο μεταθέτης της Χαμιλτονιανής με τη στροφορμή είναι H, J J, J J, J Έτσι, η (5) γράφεται i i J, J J, J i J, J Από την (6) παίρνουμε (6)

4 i, i J J i d (7) Επίσης, από την (6) παίρνουμε i, i, i J J J J i d (8) Πάλι από την (6) παίρνουμε d d i (9), Από την (9) συμπεραίνουμε ότι (), η μέση τιμή της συνιστώσας της στροφορμής είναι σταθερή χρονικά. Οι (7) και (8) είναι συζευγμένες, αλλά μπορούμε να τις «ξεμπερδέψουμε» να τις αποσυζεύξουμε αν παραγωγίσουμε άλλη μια φορά. Πράγματι από την (7) παίρνουμε Με τη βοήθεια της (8), η τελευταία σχέση γράφεται d d () Η () είναι η διαφορική εξίσωση κίνησης αρμονικού ταλαντωτή με κυκλική συχνοτητα

5 () Θεωρούμε ότι. Αν, αλλάζει απλώς το πρόσημο του, δηλαδή. Επομένως, σε κάθε περίπτωση,. Αντίστοιχα, από την (8) παίρνουμε Με τη βοήθεια της (7), η τελευταία σχέση γράφεται d d (3) Η (3) είναι η διαφορική εξίσωση κίνησης αρμονικού ταλαντωτή με την ίδια κυκλική συχνοτητα Βλέπουμε λοιπόν ότι οι μέσες τιμές J και J κάνουν αρμονική ταλάντωση με την ίδια κυκλική συχνότητα, ενώ η μέση τιμή J είναι σταθερή. Η λύση της () γράφεται A ep i t ep i t (4) Ομοίως, η λύση της (3) γράφεται A ep i t ep i t (5) Θα υπολογίσουμε τώρα τους συντελεστές A,, A, συναρτήσει των αρχικών τιμών Για t, J., από τις (4) και (5) παίρνουμε J A (6) J A (7) Επίσης, τη (4) παίρνουμε d ep i A ep i t i t

6 Επομένως i A (8) Αντίστοιχα, αν παραγωγίσουμε τη (5) και θέσουμε t θα πάρουμε i A (9) Όμως, για t, οι (7) και (8) μάς δίνουν, αντίστοιχα, d d () () Συγκρίνοντας τη (8) και την () παίρνουμε i A i A A i A i () Συγκρίνοντας τη (9) και την () παίρνουμε i A i A A i A i (3) Από τις (6) και () υπολογίζουμε τις σταθερές υπολογίζουμε τις σταθερές A και. Από τις (6) και () παίρνουμε, διαδοχικά, A και Προσθέτουμε και αφαιρούμε, αντίστοιχα, τις δύο εξισώσεις κατά μέλη A J A J i J A i i A J i J J i J, ενώ από τις (7) και (3)

7 A J i J (4) J i J (5) Οι συνιστώσες της στροφορμής J, όπως και η ίδια η στροφορμή (είτε είναι τροχιακή στροφορμή είτε σπιν), είναι παρατηρήσιμα μεγέθη. Έτσι, οι αντίστοιχοι τελεστές είναι ερμιτιανοί. Αυτό σημαίνει ότι έχουν πραγματικές ιδιοτιμές, επομένως και πραγματικές μέσες τιμές, δηλαδή,, άρα,. Έτσι, από την (4) παίρνουμε, * A J i J J i J * A (6) * Για τις σταθερές A και (5), από τις (7) και (3) θα πάρουμε Προσθέτουμε και αφαιρούμε, αντίστοιχα, τις δύο εξισώσεις κατά μέλη A J A J i J A i i A J i J J i J A J i J (7) J i J (8) Όπως, και πριν, βλέπουμε ότι A (9) * Έχοντας υπολογίσει τις σταθερές A,, A,, μπορούμε να γράψουμε τις λύσεις (4) και (5) συναρτήσει των αρχικών τιμών Με τη βοήθεια των (4) και (5), η (4) γράφεται, J.

8 ep ep J i J i t J i J i t i J ep i t ep i t J ep i t ep i t i J cos t J isin t J cos t J sin t sin J J cos t J t (3) Ομοίως, με τη βοήθεια των (7) και (8), η (5) γράφεται ep ep J i J i t J i J i t i J ep i t ep i t J ep i t ep i t i J cos t J isin t J cos t J sin t sin J J cos t J t (3) Από τις (3) και (3) παίρνουμε cos sin sin cos J J J t J t J J t t cos sin sin cos sin cos sin cos J t J t J J t t t t J t t (3) Η (3) παριστάνει κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα. Επομένως, το πέρας του διανύσματος e e γράφει περιφέρεια κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα Δείξαμε επίσης (σχέση ()) ότι Επομένως, το πέρας του διανύσματος J e J e J e J e J e J e J.

9 γράφει περιφέρεια κύκλου με κέντρο το σημείο,,. Το μέτρο του διανύσματος J είναι J και ακτίνα δηλαδή είναι σταθερό (χρονικά σταθερό). Επίσης, είναι J J e το εσωτερικό γινόμενο των J και είναι σταθερό. Όμως, τα μέτρα των δύο διανυσμάτων είναι σταθερά. Επομένως είναι σταθερή και η μεταξύ τους γωνία. Αυτό προκύπτει και από το γεγονός ότι το διάνυσμα e e, δηλαδή η προβολή του διανύσματος J στο επίπεδο, έχει σταθερό μέτρο (σχέση (3)). Το διάνυσμα J περιστρέφεται (κάνει μετάπτωση) γύρω από τον άξονα, δηλαδή γύρω από τον άξονα του μαγνητικού πεδίου, με κυκλική συχνότητα (σχέση ()). Η μετάπτωση αυτή ονομάζεται μετάπτωση Larmor και η κυκλική συχνότητά της είναι. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skonstan@hotmail.com